Επιτρέπεται η χ ρήση του εκπαιδευτικού υλικού εντός του φροντιστηρίου

Transcript

1 Θεωρία Θ Ε Ω Ρ Ι Α Παελλαδικώ εξετάσεω Βασίλης Γατσιάρης ωρεά υποστηρικτικό υλικό

2 Θεωρία Στο βιβλίο αυτό, για πρακτικούς λόγους χρησιµοποιούµε τα πιο κάτω σύµβολα, για τις διάφορες κατηγορίες τω θεµάτω της αξιολόγησης. Σύµβολο Σύµβολο Σύµβολο Σύµβολο Σύµβολο Σύµβολο Σύµβολο Σύµβολο Ορισµού Θεωρηµάτω Συµπερασµάτω, Σχολίω, Πορισµάτω κ.λ.π. Για κάθε θέµα διατύπωσης θεωρίας, στις εξετάσεις Συµπλήρωσης Σωστού Λάθους Επιλογής Ατιστοίχισης Να παρατηρήσουµε ότι τα σύολα αριθµώ στο βιβλίο αυτό, για πρακτικούς λόγους γράφοται µε µία κάθετη γραµµή και όχι µε δύο, όπως είαι καοικά. Για παράδειγµα το σύολο I R, το γράφουµε σα R Καλή επιτυχία στις εξετάσεις! Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ.

3 Θεωρία 3 Πραγµατική συάρτηση. Να ααφέρετε τι οοµάζουµε συάρτηση f από το Α στο Β Λέµε συάρτηση f από Α για Β και συµβολίζουµε f : A Β Α R κάθε διαδικασία f µε τη οποία κάθε στοιχείο του A y = f() ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο y του Β Στοιχεία συαρτήσεω. Θα ασχοληθούµε µε συαρτήσεις στις οποίες το σύολο Α που λέγεται πεδίο ορισµού της συάρτησης, είαι υποσύολο του συόλου R τω πραγµατικώ αριθµώ, εώ το B συµπίπτει µε το R και αυτές λέγοται πραγµατικές συαρτήσεις πραγµατικής µεταβλητής και τις οποίες στο εξής θα τις λέµε απλώς συαρτήσεις. Το f () λέγεται τιµή της f στο Το γράµµα που συµβολίζει οποιοδήποτε στοιχείο του Α οοµάζεται αεξάρτητη µεταβλητή εώ το y που παριστάει τη τιµή της συάρτησης στο και εξαρτάται από τη τιµή του, λέγεται εξαρτηµέη µεταβλητή. Η τιµή της συάρτησης εκφράζεται συήθως µε έα αλγεβρικό τύπο και τότε το πεδίο ορισµού της συάρτησης είαι το ευρύτερο υποσύολο του R στο οποίο το f () έχει όηµα πραγµατικού αριθµού. Η συάρτηση συµβολίζεται συήθως µε έα από τα µικρά γράµµατα f, g, κτλ. του λατιικού ή του ελληικού αλφαβήτου. Το γράµµα που χρησιµοποιείται σα µεταβλητή συάρτησης, είαι συήθως το αλλά µπορούµε α χρησιµοποιήσουµε και οποιοδήποτε άλλο.

4 Θεωρία 4 Πράξεις συαρτήσεω.3 Έστω δύο συαρτήσεις f, g που ορίζοται και οι δύο σε έα σύολο A Ορίζουµε τις συαρτήσεις Το άθροισµα Η διαφορά Το γιόµεο Το πηλίκο S = f + g, µε S () = f() + g(), A D = f g, µε D() = f() g(), A P = f g, µε P() = f() g(), A f R =, µε g f() R () =, όπου A και g() 0 g() Γραφική παράσταση συάρτησης.4 Έστω µια συάρτηση f µε πεδίο ορισµού έα σύολο Α Γραφική παράσταση ή καµπύλη της f σε έα σύστηµα συτεταγµέω Oy λέγεται το σύολο τω σηµείω M (,(f() ) για όλα τα A Εποµέως έα σηµείο M (,y) του επιπέδου τω αξόω, αήκει στη καµπύλη της f, µόο ότα y = f(), η οποία και καλείται εξίσωσης της γραφικής παράστασης. Βασικές συαρτήσεις.5 Γραφικές παραστάσεις βασικώ συαρτήσεω. f() = f() = f() = f () = e f () = ln y y y e > 0 R y y Ο Ο Ο Ο Ο >0 ln R Ευθεία Παραβολή Υπερβολή Εκθετική Λογαριθµική f () = ηµ f () = συ y y Ο π π Ο π π Ηµιτοοειδής Συηµιτοοειδής

5 Θεωρία 5 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ Γήσια αύξουσα.6 Να ααφέρετε πότε λέµε ότι µία συάρτηση f είαι γησίως αύξουσα στο διάστηµα του πεδίου ορισµού της. Η f λέγεται γησίως αύξουσα στο ότα για κάθε, µε < είαι f( ) < f( ) Γήσια φθίουσα y f() f() Ο.7 Να ααφέρετε πότε λέµε ότι µία συάρτηση f είαι γησίως φθίουσα στο διάστηµα του πεδίου ορισµού της. y f() f() Η f λέγεται γησίως φθίουσα στο ότα για κάθε, µε < είαι f( ) > f( ) Ο Μία συάρτηση γήσια αύξουσα ή γήσια φθίουσα, λέγεται γήσια µοότοη. Έστω f µία συάρτηση µε πεδίο ορισµού A Τοπικό µέγιστο.8 Να ααφέρετε πότε λέµε ότι η συάρτηση f παρουσιάζει στο Η f λέµε ότι παρουσιάζει στο A τοπικό µέγιστο. A τοπικό µέγιστο α υπάρχει περιοχή του ώστε f() f() για κάθε σηµείο της περιοχής. Α () f( ) για κάθε A, το τοπικό µέγιστο λέγεται ολικό µέγιστο. f Τοπικό ελάχιστο.9 Να ααφέρετε πότε λέµε ότι η συάρτηση f παρουσιάζει στο Η f λέµε ότι παρουσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο. A τοπικό ελάχιστο α υπάρχει περιοχή του ώστε f() f( ) για κάθε σηµείο της περιοχής. Α () f( ) για κάθε A, το τοπικό ελάχιστο λέγεται ολικό ελάχιστο. f Τα µέγιστα και τα ελάχιστα, τοπικά ή ολικά, λέγοται ακρότατα. f() f() f() f( ) y Ο y Ο C f C f

6 Θεωρία 6 Ότα θέλουµε α µελετήσουµε τη συµπεριφορά µιας συάρτησης f σε έα σηµείο ο, στο οποίο παρουσιάζεται «πρόβληµα», προσεγγίζουµε το o και αυτή η προσεγγιστική τιµή γράφεται σα lm f() o Ιδιότητες ορίω.0 Έστω οι συαρτήσεις f και g οι οποίες στο έχου όρια πραγµατικούς αριθµούς και έστω ότι lm f() = l o o, lm g() = l o lm ( ) o f() + g() = l + l lm ( ) o f()g() = l l f() lm = o g() l l, l 0 lm kf() = kl ( ) o lm c = c o, c R lm ( ) o f() = l lm f() = o l, l 0 Συέχεια. Να ααφέρετε πότε η συάρτηση f µε πεδίο ορισµού A λέγεται συεχής στο Α Μία συάρτηση f µε πεδίο ορισµού A λέγεται συεχής α για κάθε ο A ισχύει lm f() = f( ) ο ο f( ) = lm f() o o O o Γεωµετρική ερµηεία. Χαρακτηριστικό γώρισµα µιας συεχούς συάρτησης σε έα κλειστό διάστηµα, είαι ότι η γραφική της παράσταση είαι µια συεχής καµπύλη δηλαδή για το σχεδιασµό της δε χρειάζεται α σηκώσουµε το µολύβι από το χαρτί. Συέχεια βασικώ συαρτήσεω.3 Αποδεικύεται ότι οι γωστές µας συαρτήσεις, πολυωυµικές τριγωοµετρικές, εκθετικές, λογαριθµικές, αλλά και όσες προκύπτου από πράξεις µεταξύ αυτώ είαι συεχείς συαρτήσεις.

7 Θεωρία 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Η έοια της εφαπτόµεης.4 Έστω f µία συάρτηση και A(, f( )) ο ο έα σηµείο της γραφικής παράστασης Έστω έα σηµείο M( +, f( ) ) ο ο + C f µε 0, της γραφικής παράστασής της και η ευθεία AM που ορίζου τα σηµεία A, M f(o + ) = f() f( o ) Ο ω Α φ o M ε = o + Παρατηρούµε ότι καθώς το τείει στο 0, η τέµουσα AM φαίεται α παίρει µια οριακή θέση ε τη οποία οοµάζουµε εφαπτοµέη της C f στο A Επειδή η κλίση της τέµουσας AM είαι ίση µε είαι λογικό α ααµέουµε ότι η εφαπτοµέη της f( ο f + ) f( o ) = εφφ C στο σηµείο A(, f( )) ο ο θα έχει κλίση τη τιµή του ορίου και παριστάει τη εφω f( lm 0 ο + ) f( o ), ότα αυτό υπάρχει Παράγωγος σε σηµείο.5 Να ααφέρετε πότε λέµε ότι η συάρτηση f είαι παραγωγίσιµη στο σηµείο Η συάρτηση f λέµε ότι είαι παραγωγίσιµη στο σηµείο α υπάρχει το όριο f( lm 0 ο ο του πεδίου ορισµού της + ) f( o ) o του πεδίου ορισµού της. και είαι πραγµατικός αριθµός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της f στο και διαβάζεται f τοούµεο του o, συµβολίζεται µε f ( ) o o

8 Θεωρία 8 Ρυθµός µεταβολής.6 Ο παράγωγος f ( ) εκφράζει το ρυθµό µεταβολής της f () = y ως προς στο o o Μη παραγωγίσιµες συαρτήσεις.7 Υπάρχου και συαρτήσεις y οι οποίες δε έχου παράγωγο σε έα σηµείο. Όπως είαι για παράδειγµα η συάρτηση f () = στο σηµείο ο = 0 Ο f () = Γιατί ότα < 0, έχουµε f(0 + ) f(0) lm 0 = lm = 0 f(0 + ) f(0) εώ ότα > 0, έχουµε lm = lm = 0 0 που σηµαίει ότι δε υπάρχει το όριο f(0 + ) f(0) lm 0 Μη ύπαρξη ορίου.8 Να ααφέρουµε ότι έα όριο µπορεί α µη είαι πραγµατικό. Για παράδειγµα θεωρούµε τη συάρτηση f () = ορισµέη στο Ότα το παίρει τιµές που τείου στο 0 θα είαι lm f() = lm = και τότε θα λέµε ότι το όριο απειρίζεται. * R y y =

9 Θεωρία 9 Στιγµιαία ταχύτητα.9 Ας θεωρήσουµε έα σώµα Σ που κιείται κατά µήκος εός άξοα και έστω ότι S = S(t) η συάρτηση θέσης του κιητού που καθορίζει τη τετµηµέη του σώµατος τη χροική στιγµή t M ο M O S(t ο ) S(t ο+) =S(t) Υποθέτουµε ότι κάποια στιγµή t ο το Σ βρίσκεται στη θέση M ο και ότι µετά από παρέλευση χρόου 0, δηλαδή τη στιγµή t = t o + βρίσκεται στο θέση M Στο διάστηµα από t o έως t o + πλάτους η µετατόπιση του κιητού είαι ίση µε S(t + ) S(t ) o o Μέση ταχύτητα του Σ _ σ αυτό το χροικό διάστηµα οοµάζουµε τη u = S(t o + ) S(t ο ) = Mετατόπιση Xρόος Στιγµιαία ταχύτητα u(t o ) ή απλά ταχύτητα, τη χροική στιγµή t o οοµάζουµε το όριο του λόγου της µεταβολής της τετµηµέης του κιητού προς τη αύξηση του χρόου, καθώς η τελευταία τείει προς το µηδέ χωρίς στη πραγµατικότητα α γίεται ίση µε το µηδέ. ηλαδή, οοµάζουµε το όριο της µέσης ταχύτητας καθώς το τείει στο 0 S(t o + ) S(t ο ) ηλαδή u(t o ) = lm = S (t o ) 0 S(t + ) S(t) A το Σ δε κιείται, τότε u(t) = lm = 0 0 S(t + ) S(t) Α το Σ κιείται προς τα δεξιά (+), τότε u(t) = lm > 0 0 S(t + ) S(t) A το Σ κιείται προς τα αριστερά (-), τότε u(t) = lm < 0 0

10 Θεωρία 0 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Παράγωγος συάρτηση.0 Να ααφέρετε πως ορίζεται η παράγωγος συάρτηση f της f Έστω η συάρτηση f µε πεδίο ορισµού το A Η συάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύολο B A στο οποίο η f είαι παραγωγίσιµη και µε τύπο y = f () λέγεται πρώτη παράγωγος της f και συµβολίζεται µε f ώστε το κάθε B α ατιστοιχίζεται στο f( + ) f() y = f () = lm 0 Παράγωγος αώτερης τάξης. Η παράγωγος της f, λέγεται δεύτερη παράγωγος της f και συµβολίζεται µε f Τελικά αάλογα ορίζεται η τρίτη παράγωγος, η τετάρτη παράγωγος κ.λ.π. Να τοίσουµε ότι είαι s (t) = u(t) και u (t) = s (t) = α(t) α : Επιτάχυση. Στη συέχεια θα γωρίσουµε µερικούς καόες που διευκολύου το υπολογισµό της παραγώγου πιο πολύπλοκω συαρτήσεω. Παράγωγος σταθερής συάρτησης. Η παράγωγος της Απόδειξη Έστω η συάρτηση f () = c Είαι f ( + ) f() = c c = 0 f( + ) f() Για 0 είαι = 0 f( + ) f() Οπότε lm = 0 0 Άρα ( c) = 0 f () = c µε c R, είαι η f () = (c) = 0 c y = c

11 Θεωρία Παράγωγος ταυτοτικής.3 Η παράγωγος της f () =, είαι η f () = () = Απόδειξη Έστω η συάρτηση f () = Είαι f ( + ) f() = ( + ) = f( + ) f() Για 0, είαι = = f( + ) f() Εποµέως lm = lm = 0 0 Άρα ( ) = y = Παράγωγος βασικής παραβολής.4 Η παράγωγος της Απόδειξη f () =, είαι η f () = ( ) = Έστω η συάρτηση f () = y = Είαι f( + ) f() = ( + ) = + + = + = ( + ) f( + ) f() ( + ) Για 0 είαι = = + f( + ) f() Εποµέως lm = lm( + ) = 0 0 Άρα ( ) =.5 Γεικότερα είαι ( ) =, όπου : Φυσικός., R ( ρ ρ ) = ρ, όπου ρ : Ρητός αριθµός, * R + Για παράδειγµα: ( ) =, µε > 0

12 Θεωρία Βασικές παραγωγίσεις.6 ( ηµ) = συ, R ( συ) = ηµ, R ( e ) = e, R (ln ) =, > 0 Στη συέχεια, θα δούµε καόες παραγώγισης στις πράξεις συαρτήσεω. Παράγωγος γιοµέου συάρτησης µε αριθµό cf.7 ( ()) = cf () Απόδειξη, c R Έστω η συάρτηση F () = cf() Είαι F( + ) F() = cf( + ) cf() = c ( f( + ) f() ) Για 0 είαι F( + ) F() c = ( f( + ) f() ) f( + ) f() = c F( + ) F() f( + ) f() Εποµέως lm = lm c = cf () 0 0 c Άρα ( f() ) = c f () Παράγωγος αθροίσµατος συαρτήσεω f.8 ( () + g() ) = f () + g () Απόδειξη Έστω η συάρτηση F () = f() + g() Είαι F( + ) F() = f( + ) + g( + ) f() g() = f( + ) f() + g( + ) g() Για 0 είαι F( + ) F() = f( + ) f() g( + ) g() + Εποµέως F( + ) F() f( + ) f() g( + ) g() lm = lm + lm = f () + g () f Άρα ( () + g() ) = f () + g ()

13 Θεωρία 3 Παραγωγίσεις άλλω πράξεω.9 ( f () g() ) = f ()g() + f() g () f() g() = f () g() f() g () g () ( f ( g() )) = f ( g() ) g () Για παράδειγµα: (εφ) = συ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ Κριτήριο µοοτοίας.30 Α µια συάρτηση f είαι παραγωγίσιµη σε έα διάστηµα και ισχύει f () > 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του η f θα είαι γησίως αύξουσα στο Α µια συάρτηση f είαι παραγωγίσιµη σε έα διάστηµα και ισχύει f () < 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του η f θα είαι γησίως φθίουσα στο Κριτήριο ακρότατω.3 Α για µια συάρτηση f ισχύου f ( ο ) = 0 για ο (α,β) f () > 0 στο ( α, ο ) και f () < 0 στο,β) ( ο η f θα παρουσιάζει στο διάστηµα ( α,β) για = ο µέγιστο. y f (o)=0 f (o)>0 O o f (o)<0 Α για µια συάρτηση f ισχύου f ( ο ) = 0 για ο (α,β) f () < 0 στο ( α, ο ) και f () > 0 στο,β) ( ο η f θα παρουσιάζει στο διάστηµα ( α,β) για = ο ελάχιστο. y O f (o)<0 f (o)>0 f (o)=0 o Γεικότερα, α η f µηδείζεται µόο σε έα σηµείο εός αοικτού διαστήµατος και γίεται αλλαγή µοοτοίας εκατέρωθε αυτού, τότε αυτό είαι και το µοαδικό ολικό ακρότατο.

14 Θεωρία 4 Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Εισαγωγή Τι είαι η στατιστική. Στατιστική είαι έα σύολο αρχώ και µεθοδολογιώ για το σχεδιασµό της διαδικασίας συλλογής δεδοµέω τη συοπτική και αποτελεσµατική παρουσίασή τους (Σχεδιασµός πειραµάτω) (Περιγραφική στατιστική) τη αάλυση και εξαγωγή ατίστοιχω συµπερασµάτω. (Επαγωγική στατιστική) Οι έρευες σε αθρώπιους πληθυσµούς, οοµάζοται δηµοσκοπήσεις. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσµός - Μεταβλητές. Πληθυσµός είαι έα σύολο του οποίου εξετάζουµε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρακτηριστικά του. Τα στοιχεία του πληθυσµού λέγοται και µοάδες ή άτοµα του πληθυσµού. Το χαρακτηριστικό ως προς το οποίο εξετάζουµε έα πληθυσµό το οποίο είαι καλά ορισµέο, λέγεται µεταβλητή. Συήθως το συµβολίζουµε µε το κεφαλαίο γράµµα Χ Από τη διαδοχική εξέταση τω ατόµω του πληθυσµού ως προς έα χαρακτηριστικό τους, προκύπτει µια σειρά από δεδοµέα τα οποία µπορεί α είαι και ταυτόσηµα που λέγοται στατιστικά δεδοµέα ή παρατηρήσεις. Οι δυατές τιµές που µπορεί α πάρει µια µεταβλητή, λέγοται τιµές της µεταβλητής. Είδη µεταβλητώ.3 Τις µεταβλητές τις διακρίουµε: Σε ποιοτικές ή κατηγορικές και είαι οι µεταβλητές που οι τιµές τους δε είαι αριθµοί. Σε ποσοτικές και είαι οι µεταβλητές που οι τιµές τους είαι αριθµοί και µάλιστα αυτές διακρίοται: Σε διακριτές µεταβλητές που παίρου µόο µεµοωµέες τιµές Σε συεχείς µεταβλητές, που µπορού α πάρου οποιαδήποτε τιµή εός διαστήµατος πραγµατικώ αριθµώ ( α,β)

15 Θεωρία 5 Συλλογή Στατιστικώ εδοµέω Απογραφή.4 Έας τρόπος για α πάρουµε τις απαραίτητες πληροφορίες που χρειαζόµαστε για κάποιο πληθυσµό, είαι α εξετάσουµε όλα τα άτοµα (στοιχεία) του πληθυσµού ως προς το χαρακτηριστικό που µας εδιαφέρει. Η µέθοδος αυτή συλλογής τω δεδοµέω καλείται απογραφή. Ατιπροσωπευτικό δείγµα.5 Οοµάζουµε δείγµα εός πληθυσµού µια µικρή οµάδα του. Έα δείγµα θεωρείται ατιπροσωπευτικό εός πληθυσµού α έχει επιλεγεί κατά τέτοιο τρόπο ώστε κάθε άτοµο του πληθυσµού α έχει τη ίδια δυατότητα α επιλεγεί. ειγµατοληψία.6 Οι αρχές και οι µέθοδοι για τη συλλογή και αάλυση δεδοµέω από πεπερασµέους πληθυσµούς, είαι το ατικείµεο της δειγµατοληψίας που αποτελεί τη βάση της Στατιστικής. ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Στατιστικοί πίακες.7 Η παρουσίαση τω δεδοµέω σε πίακες, γίεται µε τη κατάλληλη τοποθέτηση τω πληροφοριώ σε γραµµές και στήλες, µε τρόπο που α διευκολύεται η σύγκριση τω στοιχείω και η καλύτερη εηµέρωση του ααγώστη, σχετικά µε τη δοµή του πληθυσµού που ερευάµε. Οι πίακες διακρίοται στους: Γεικούς πίακες, οι οποίοι περιέχου όλες τις πληροφορίες που προκύπτου από µία στατιστική έρευα (συήθως µε αρκετά λεπτοµερειακά στοιχεία) και αποτελού πηγές στατιστικώ πληροφοριώ στη διάθεση τω επιστηµόωερευητώ, για παραπέρα αάλυση και εξαγωγή συµπερασµάτω. Ειδικούς πίακες, οι οποίοι είαι συοπτικοί και σαφείς. Τα στοιχεία τους συήθως έχου ληφθεί από τους γεικούς πίακες. Κάθε πίακας που έχει κατασκευαστεί σωστά πρέπει α περιέχει: Το τίτλο, που γράφεται στο επάω µέρος του πίακα και δηλώει το περιεχόµεο. Τις επικεφαλίδες τω γραµµώ και στηλώ, που δείχου τις µοάδες µέτρησης. Το κύριο σώµα (κορµό), που περιέχει τα στατιστικά δεδοµέα. Τη πηγή, που γράφεται στο κάτω µέρος και δείχει τη προέλευση τω στοιχείω.

16 Θεωρία 6 Πίακες καταοµής συχοτήτω Απόλυτη συχότητα.8 Να ααφέρετε τι λέµε απόλυτη συχότητα Έστω οι τιµές,,..., κ της τιµής µιας µεταβλητής Χ εός δείγµατος µεγέθους, κ Ο φυσικός που δείχει πόσες φορές εµφαίζεται η τιµή στο σύολο τω παρατηρήσεω, οοµάζεται (απόλυτη) συχότητα Είαι κ = v της µεταβλητής Χ της Σχετική συχότητα.9 Να ααφέρετε τι λέµε σχετική συχότητα f της τιµής Σχετική συχότητα f της τιµής Εκατοστιαία σχετική συχότητα, λέγεται το πηλίκο f =, =,,..., κ.0 Να ααφέρετε τι λέµε εκατοστιαία σχετική συχότητα f % της τιµής Εκατοστιαία σχετική συχότητα f %, λέγεται το f % = 00 f, =,,..., κ Βασικές ιδιότητες. Έστω οι τιµές, µε κ Είαι 0 f Απόδειξη µιας µεταβλητής Χ, εός δείγµατος µεγέθους,,..., κ f + f fκ =...όπου =,,..., κ Επειδή 0 είαι 0 0 f για =,,..., κ κ κ Είαι f + f fκ = = = = Είαι φαερό ότι f % f % f % 00% + κ =

17 Θεωρία 7 Πίακες συχοτήτω. Το σύολο τω ζευγώ (, ) δίει τη καταοµή συχοτήτω το σύολο τω (, f ) δίει τη καταοµή σχετικώ συχοτήτω. Όµοια ορίζουµε και τη καταοµή εκατοστιαίω σχετικώ συχοτήτω. Τα πιο πάω, α κωδικοποιηθού σε πίακες, δίου τους ατίστοιχους τους πίακες καταοµής συχοτήτω ή απλά τους πίακες συχοτήτω. Αθροιστικές συχότητες.3 Να ααφέρετε τι λέµε αθροιστική συχότητα Ν της τιµής Έστω οι τιµές,,..., κ µιας ποσοτικής µεταβλητής X που είαι σε αύξουσα διάταξη. Λέµε αθροιστική συχότητα της, το αριθµό N = , =,,..., κ Η Ν εκφράζει το πλήθος τω παρατηρήσεω που είαι µικρότερες ή ίσες της Είαι φαερό ότι: = N, = N N,, κ = Nκ Nκ Σχετικές αθροιστικές συχότητες.4 Να ααφέρετε τι λέµε σχετική αθροιστική συχότητα F της Έστω οι τιµές,,..., κ µιας ποσοτικής µεταβλητής X που είαι σε αύξουσα διάταξη. Λέµε αθροιστική σχετική συχότητα της, το F = f + f f, µε =,,..., κ Η F εκφράζει το ποσοστό τω παρατηρήσεω που είαι µικρότερες ή ίσες της Είαι φαερό ότι f = F, f = F F,..., fκ = Fκ Fκ Συχά οι F πολλαπλασιάζοται επί 00, εκφραζόµεες έτσι επί τοις εκατό δηλαδή F % = 00F

18 Θεωρία 8 Γραφική παράσταση καταοµής συχοτήτω. Γραφικές παραστάσεις.5 Τα στατιστικά δεδοµέα παρουσιάζοται πολλές φορές και υπό µορφή γραφικώ παραστάσεω ή διαγραµµάτω. Οι γραφικές παραστάσεις παρέχου πιο σαφή εικόα του χαρακτηριστικού σε σχέση µε τους πίακες, είαι πολύ πιο εδιαφέρουσες και ελκυστικές χωρίς βέβαια α προσφέρου περισσότερη πληροφορία από εκείη που περιέχεται στους ατίστοιχους πίακες συχοτήτω. Επί πλέο µε τα διαγράµµατα διευκολύεται η σύγκριση µεταξύ οµοειδώ στοιχείω για το ίδιο ή για διαφορετικά χαρακτηριστικά. Υπάρχου διάφοροι τρόποι γραφικής παρουσίασης, αάλογα µε το είδος τω δεδοµέω που έχουµε. Όπως οι πίακες, έτσι και τα στατιστικά διαγράµµατα πρέπει α συοδεύοται Από Το τίτλο. Τη κλίµακα µε τις τιµές τω µεγεθώ που απεικοίζοται. Το υπόµηµα που επεξηγεί συήθως τις τιµές της µεταβλητής. Τη πηγή τω δεδοµέω. Ραβδόγραµµα.6 Το Ραβδόγραµµα χρησιµοποιείται για τη παράσταση τω τιµώ µιας ποιοτικής µεταβλητής. Το ραβδόγραµµα αποτελείται από ορθογώιες στήλες που οι βάσεις τους βρίσκοται συήθως πάω στο Σε κάθε τιµή ατιστοιχεί µια ορθογώια στήλη, της οποίας το ύψος είαι ίσο µε τη ατίστοιχη συχότητα για το ραβδόγραµµα συχοτήτω ή µε τη σχετική συχότητα για το ραβδόγραµµα σχετικώ συχοτήτω. Η απόσταση µεταξύ τω στηλώ και το µήκος τω βάσεώ τους καθορίζοται αυθαίρετα. Ο βάσεις τους µπορεί α βρίσκοται και στο άξοα y y

19 Θεωρία 9 ιάγραµµα συχοτήτω.7 Στη περίπτωση τω ποσοτικώ µεταβλητώ κάουµε το διάγραµµα συχοτήτω. Αυτό µοιάζει µε το ραβδόγραµµα, αλλά ατί α χρησιµοποιούµε ορθογώια, υψώουµε σε κάθε µία κάθετη γραµµή µε µήκος ίσο προς τη ατίστοιχη συχότητα. Υποθέτουµε ότι < < <... κ Εώοτας τα σηµεία (, ), παίρουµε το πολύγωο συχοτήτω. Αυτό µας δίει µία γεική ιδέα για τη µεταβολή της συχότητας. Αάλογα παίρουµε και το διάγραµµα και πολύγωο σχετικώ συχοτήτω. Κυκλικό ιάγραµµα.8 Το κυκλικό διάγραµµα χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση τόσο τω ποιοτικώ όσο και τω ποσοτικώ µεταβλητώ ότα οι τιµές,,..., είαι σχετικά λίγες. κ Το κυκλικό διάγραµµα είαι έας κυκλικός δίσκος χωρισµέος σε κυκλικούς τοµείς, ώστε τα εµβαδά ή τα τόξα αυτώ α είαι αάλογα προς τις ατίστοιχες συχότητες ή τις σχετικές συχότητες f τω τιµώ της µεταβλητής µε =,,..., κ Α α είαι το ατίστοιχο τόξο εός κυκλικού τοµέα, είαι Σηµειόγραµµα.9 Ότα έχουµε λίγες παρατηρήσεις η καταοµή τους µπορεί α περιγραφεί µε το σηµειόγραµµα 360 α = = 360 όπου οι τιµές παριστάοται γραφικά σα σηµεία υπεράω εός οριζότιου άξοα. Χροόγραµµα α ω o o f.0 Το χροόγραµµα ή χροολογικό διάγραµµα χρησιµοποιείται για τη απεικόιση µιας διαχροικής εξέλιξης. Συήθως ο χρησιµοποιείται σα άξοας µέτρησης του χρόου και ο y y σα άξοας µέτρησης της µεταβλητής.

20 Θεωρία 0 Οµαδοποίηση παρατηρήσεω. Οι πίακες συχοτήτω είαι δύσκολο α κατασκευαστού ότα το πλήθος τω τιµώ µιας µεταβλητής είαι πολύ µεγάλο. Σ αυτές τις περιπτώσεις οµαδοποιούµε τις παρατηρήσεις σε µικρό πλήθος οµάδω που οοµάζοται και κλάσεις και κάθε τιµή αήκει σε µία µόο κλάση. Εµείς θα ασχοληθούµε µε κλάσεις που έχου το ίδιο πλάτος. Τα άκρα τω κλάσεω καλούται και όρια τω κλάσεω. Η κάθε κλάση περιέχει το κάτω άκρο της αλλά όχι το πάω άκρο. Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης [ α,β) επειδή όπως λέµε θεωρούται όµοιες α + β ατιπροσωπεύοται από το κέτρο αυτής της κλάσης. Για τη οµαδοποίηση τω δεδοµέω, στη αρχή επιλέγουµε το αριθµό κ τω οµάδω ή κλάσεω. Το κ συήθως ορίζεται αυθαίρετα από το ερευητή σύµφωα µε τη πείρα του. Γεικά όµως µπορεί α χρησιµοποιηθεί ως οδηγός ο παρακάτω πίακας. Μέγεθος δείγµατος κ Μέγεθος δείγµατος κ < Μετά προσδιορίζουµε το πλάτος τω κλάσεω. Πλάτος c µιας κλάσης, οοµάζεται η διαφορά του κατωτέρου από το αώτερο όριο της κλάσης. Ορίζουµε τώρα σα εύρος R του δείγµατος, τη διαφορά της µικρότερης παρατήρησης από τη µεγαλύτερη παρατήρηση του συολικού δείγµατος. Για α κατασκευάσουµε ισοπλατείς κλάσεις µε πλάτος c διαιρούµε το εύρος R δια του αριθµού τω κλάσεω κ στρογγυλεύοτας α χρειαστεί για λόγους διευκόλυσης, πάτα προς τα πάω όχι στρογγυλοποιώτας. Ξεκιάµε από τη µικρότερη παρατήρηση ή λίγο πιο κάτω και προσθέτοτας κάθε φορά το c, δηµιουργούµε τις κ κλάσεις, ώστε α περιλαµβάου όλες τις τιµές. Το πλήθος τω παρατηρήσεω 0 που προκύπτου από τη διαλογή για τη κλάση, καλείται συχότητα της κλάσης αυτής ή συχότητα της κετρικής τιµής µε =,,..., κ Έτσι ατί α µιλάµε για συχότητες κλάσεω, θα µιλάµε και για συχότητες κετρικώ τιµώ και έτσι ααγόµαστε στα γωστά τω διακριτώ µεταβλητώ.

21 Ο Θεωρία Παρουσίαση στατιστικώ οµαδοποιηµέω δεδοµέω. Ιστόγραµµα συχοτήτω. Η παράσταση εός πίακα µε οµαδοποιηµέα δεδοµέα γίεται µε το λεγόµεο ιστόγραµµα συχοτήτω. Οριζότια σηµειώουµε τις κλάσεις µε κατάλληλη κλίµακα. Κατασκευάζουµε διαδοχικά ορθογώια, λεγόµεα ιστοί, µε βάσεις ίσου πλάτους. Η βάση κάθε ιστού θα θεωρούµε ότι ισούται µε (...δηλαδή µε έα c ) Το ύψος θα είαι ίσο µε τη συχότητα της κάθε κλάσης. Έτσι το εµβαδό κάθε ιστού θα έχει εµβαδό ίσο µε τη συχότητα της κλάσης. Το άθροισµα τω εµβαδώ όλω τω ορθογωίω µας δίει το µέγεθος v Α στο ιστόγραµµα συχοτήτω θεωρήσουµε δύο ακόµη υποθετικές κλάσεις στη αρχή και στο τέλος µε συχότητα 0 και εώσουµε τα µέσα τω πάω βάσεω, σχηµατίζεται το πολύγωο συχοτήτω. Το εµβαδό του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο συχοτήτω και το N ισούται µε v και ατίστοιχα µε στο πολύγωο σχετικώ. Αάλογα κατασκευάζουµε και το ιστόγραµµα αθροιστικώ συχοτήτω. Α εώσουµε τα δεξιά άκρα, όχι τα µέσα τω πάω βάσεω µε ευθύγραµµα τµήµατα, βρίσκουµε το πολύγωο αθροιστικώ συχοτήτω. Καµπύλες συχοτήτω.3 Α ο αριθµός τω κλάσεω για µια συεχή µεταβλητή είαι αρκετά µεγάλος τείει στο άπειρο οπότε το πλάτος τω κλάσεω είαι αρκετά µικρό τείει στο 0 τότε η πολυγωική γραµµή συχοτήτω, τείει α πάρει τη µορφή µιας οµαλής καµπύλης που οοµάζεται καµπύλη συχοτήτω...όπως δείχει το σχήµα. Χαρακτηριστικές καµπύλες v Ο Ο Καοική. Οµοιόµορφη. Ασύµµετρη Ασύµµετρη µε θετική µε αρητική ασυµµετρία. ασυµµετρία.

22 Θεωρία ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ Μέτρα θέσης.4 Τα µέτρα θέσης µίας καταοµής, είαι κάποια αριθµητικά µεγέθη που δίου τη θέση του κέτρου τω παρατηρήσεω στο οριζότιο άξοα. ηλαδή εκφράζου τη κατά µέσο όρο απόστασή τους από τη αρχή τω αξόω Τα πιο συηθισµέα µέτρα που χρησιµοποιούται µόο για ποσοτικές µεταβλητές είαι ο αριθµητικός µέσος ή µέση τιµή και η διάµεσος. Μέση τιµή ή αριθµητικός µέσος.5 Να ααφέρετε τι λέµε µέση τιµή ή αριθµητικό µέσο _ τω παρατηρήσεω εός δείγµατος. Έστω η µεταβλητή Χ και το δείγµα µεγέθους v µε παρατηρήσεις τις Ορίζουµε σα µέση τιµή _ αυτώ, το αριθµό.6 Α οι τιµές της µεταβλητής Χ είαι οι t = t =,t,..., t v + t,,..., κ t t =, µε =,,..., κ µε απόλυτες συχότητες τις,,..., κ και σχετικές συχότητες τις f,f,..., fκ Τότε είαι και.7 Α στις τιµές + = ,,..., κ κ κ = κ = κ = = κ = = κ = δίεται διαφορετική βαρύτητα ή έµφαση χρησιµοποιούµε το σταθµισµέο αριθµητικό µέσο ή σταθµικό µέσο. Α σε κάθε τιµή δώσουµε διαφορετική βαρύτητα, που εκφράζεται,,..., µε τους λεγόµεους συτελεστές βαρύτητας ή στάθµισης w, w,..., w w + w w τότε ο σταθµικός µέσος βρίσκεται από = w + w w Μέση τιµή σε οµαδοποιηµέα δεδοµέα = = = = κ = w f w.8 Εδώ θα θεωρούµε σα τιµές, τις κετρικές τιµές τω κλάσεω.

23 Θεωρία 3 ιάµεσος.9 Να ααφέρετε τι λέµε διάµεσο δ κάποιω παρατηρήσεω. ιάµεσο δ εός δείγµατος v παρατηρήσεω οι οποίες έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζουµε τη µεσαία παρατήρηση, ότα το v περιττός ή το ηµιάθροισµα τω µεσαίω παρατηρήσεω, ότα v άρτιος. ιάµεσος σε οµαδοποιηµέα δεδοµέα.30 Από το σηµείο εκείο του ηµιάξοα Ο y τω αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω που είαι το 50 % τω παρατηρήσεω φέρουµε τη κάθετη σ αυτό µέχρι α τµήσουµε το πολύγωο % F 50% αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω και και από εκεί τη κάθετη στο ηµιάξοα Ο O και βρίσκουµε το αριθµό δ που αποτελεί τη διάµεσο. Η διάµεσος έχει αθροιστική σχετική συχότητα F % = 50% δ Σηµασία τω µέτρω θέσης.3 Η µέση τιµή, στη ουσία είαι ο γωστός µας µέσος όρος. Από µόος του δε δίει και σηµατικές πληροφορίες, αφού δύο δείγµατα µε το ίδιο µέσο όρο, µπορεί α συµπεριφέροται διαφορετικά. Η διάµεσος, είαι έα ακόµα µέτρο θέσης, το οποίο στη ουσία µας δείχει µία «µέση τιµή» του «κέτρου τω παρατηρήσεω» και είαι αεξάρτητη από τα άκρα. Η διάµεσος είαι η τιµή που χωρίζει έα σύολο παρατηρήσεω σε δύο ίσα µέρη ότα οι παρατηρήσεις τοποθετηθού σε αύξουσα σειρά. Ακριβέστερα η διάµεσος είαι η τιµή για τη οποία το πολύ 50 % τω παρατηρήσεω είαι µικρότερες από αυτή και το πολύ 50 % τω παρατηρήσεω είαι µεγαλύτερες από τη τιµή αυτή.

24 Θεωρία 4 Μέτρα διασποράς.3 Τα µέτρα διασποράς ή µέτρα µεταβλητότητας είαι αριθµητικά µεγέθη που εκφράζου τις αποκλίσεις τω τιµώ µιας µεταβλητής γύρω από τα µέτρα κετρικής τάσης. Σπουδαιότερα είαι: το Εύρος ή Κύµαση, η ιακύµαση και η Τυπική απόκλιση. Εύρος ή κύµαση.33 Να ααφέρετε τι λέµε εύρος ή κύµαση R τω παρατηρήσεω. Ορίζεται σα η διαφορά της ελάχιστης από τη µεγαλύτερη παρατήρηση. Το εύρος είαι έα αρκετά απλό µέτρο που υπολογίζεται εύκολα, δε θεωρείται όµως αξιόπιστο µέτρο διασποράς γιατί βασίζεται µόο στις δυο ακραίες παρατηρήσεις. Εύρος σε οµαδοποιηµέα δεδοµέα.34 Ότα έχουµε οµαδοποιηµέα δεδοµέα το εύρος δίεται από τη διαφορά του κατώτερου ορίου της πρώτης κλάσης από το αώτερο όριο της τελευταίας κλάσης. ιακύµαση.35 Να ααφέρετε τι λέµε διακύµαση ή διασπορά s τω παρατηρήσεω. Λέµε διακύµαση ή διασπορά τω παρατηρήσεω t, t,..., t v (t ) + (t ) (t ) s = ή απλούστερα το s = (t ) = Η διακύµαση είαι η µέση τιµή του αθροίσµατος τω τετραγώω τω αποκλίσεω τω t από τη Επίσης s = t = = t, α η µέση τιµή δε είαι ακέραιος αριθµός. Αυτός ο τύπος, α πρέπει α χρησιµοποιηθεί, θα δίεται.

25 Θεωρία 5 ιακύµαση σε οµαδοποιηµέα δεδοµέα.36 Ότα έχουµε οµαδοποιηµέα δεδοµέα η διακύµαση ορίζεται από τη σχέση s = κ = ( ) ή s κ = v v = κ = v v όπου,,..., κ είαι τα κέτρα τω κλάσεω µε συχότητες,,..., κ Αυτός ο τύπος, α πρέπει α χρησιµοποιηθεί, θα δίεται. Οι πιο πάω τύποι µπορού α εφαρµοστού και σε µη οµαδοποιηµέα δεδοµέα..37 Η διακύµαση είαι µια αξιόπιστη παράµετρος διασποράς, αλλά έχει έα µειοέκτηµα. Αυτή δε εκφράζεται µε τις µοάδες µε τις οποίες εκφράζοται οι παρατηρήσεις. Να ααφέρουµε ότι η διακύµαση εκφράζεται µε το τετράγωο της µοάδας µέτρησης τω παρατηρήσεω..38 Η παράγωγος της f () = c µε c R, είαι η f () = (c) = 0 Βασικά για α υπολογίζαµε τη διασπορά τω παρατηρήσεω t, t,..., tv έπρεπε α αφαιρούσαµε τη µέση τιµή από κάθε παρατήρηση, για α µπορούσαµε α βρούµε το αριθµητικό µέσο τω διαφορώ αυτώ. ηλαδή θα έπρεπε α βρίσκαµε το Ο αριθµός όµως αυτός είαι ίσος µε µηδέ (t ) + (t ) (t v v ) = ( t ) + (t ) (tv ) t + t tv v αφού = = = 0 v v v Έτσι εξααγκαστήκαµε α θεωρήσουµε τις διαφορές στο τετράγωο. Τυπική απόκλιση.39 Να ααφέρετε τι οοµάζουµε τυπική απόκλιση s τω παρατηρήσεω. Οοµάζεται το s = s v = (t v )

26 Θεωρία 6 Να τοίσουµε ότι η τυπική απόκλιση εκφράζεται µε τη ίδια µοάδα µέτρησης µε τις παρατηρήσεις. Καοική καταοµή.40 Έστω η καµπύλη συχοτήτω που είαι καοική ή περίπου καοική Έστω η µέση τιµή και s η τυπική απόκλιση τω παρατηρήσεω. s s 3 s s s + s + s + 3 s 0, 5%,3 5% 3,5 % 68% 3,5 %,3 5 % 95% 99,7 % 00% 0, 5% Το 68 % περίπου τω παρατηρήσεω βρίσκεται στο διάστηµα ( s, + s) Το 95 % περίπου τω παρατηρήσεω βρίσκεται στο διάστηµα ( s, + s) Το 99,7% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσκεται στο διάστηµα ( 3s, + 3s) Είαι R 6 s Επίσης είαι = δ Έα µέτρο για α συγκρίουµε δύο δείγµατα ως προς τη µεταβλητότητα τους είαι ο συτελεστής µεταβολής ή συτελεστής µεταβλητότητας. Αποτελεί έα µέτρο το οποίο µας βοηθά στη σύγκριση οµάδω τιµώ, που είτε εκφράζοται σε διαφορετικές µοάδες µέτρησης, είτε εκφράζοται στη ίδια µοάδα µέτρησης, αλλά έχου σηµατικά διαφορετικές µέσες τιµές. ηλαδή αυτός παριστάει έα µέτρο σχετικής διασποράς.

27 Θεωρία 7 Συτελεστής µεταβολής η µεταβλητότητας.4 Να ααφέρετε τι λέµε συτελεστή µεταβολής ή µεταβλητότητας CV τω παρατηρήσεω. Λέµε συτελεστή µεταβολής ή συτελεστή µεταβλητότητας CV s το λόγο CV =, µε 0 Σχόλια.4 Σε περίπτωση που η µέση τιµή είαι αρητική, θεωρούµε σα και στη περίπτωση που η µέση τιµή είαι 0, τότε δε ορίζουµε CV CV = s Ο συτελεστής µεταβολής s συήθως εκφράζεται επί τοις εκατό, δηλαδή θεωρούµε σα CV = 00% Είαι αεξάρτητος από τις µοάδες µέτρησης και παριστάει έα µέτρο σχετικής διασποράς και όχι της απόλυτης διασποράς. Οµοιογεές δείγµα.43 Έα δείγµα είαι οµοιογεές, α ο συτελεστής µεταβολής δε ξεπερά το 0% Όσο µικρότερο συτελεστή µεταβολής έχουµε, τόσο µεγαλύτερη, δηλαδή τόσο καλύτερη οµοιογέεια έχουµε. Συσχετισµός µέσης τιµής και τυπικής απόκλισης σε γραµµικούς συδυασµούς.44 Α y + = c, = c,..., y = c όπου c µια σταθερά. y + + τότε y _ = + c και s y = s τότε Α y = c, y = c,..., y = c όπου c µια σταθερά. y = c και s y = c s

28 Θεωρία 8 Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ. ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ Πειράµατα 3. Κάθε πείραµα κατά το οποίο η γώση τω συθηκώ κάτω από τις οποίες εκτελείται, καθορίζει πλήρως το αποτέλεσµα λέγεται αιτιοκρατικό πείραµα. Υπάρχου όµως και πειράµατα τω οποίω δε µπορούµε εκ τω προτέρω α προβλέψουµε το αποτέλεσµα, µολοότι επααλαµβάοται φαιοµεικά τουλάχιστο, κάτω από τις ίδιες συθήκες. Έα τέτοιο πείραµα οοµάζεται πείραµα τύχης. Περί εδεχοµέω 3. Έστω έα πείραµα τύχης. Όλα τα αποτελέσµατα που µπορού α εµφαιστού λέγοται δυατά αποτελέσµατα ή δυατές περιπτώσεις του πειράµατος. Το σύολο όλω τω δυατώ αποτελεσµάτω λέγεται δειγµατικός χώρος και συµβολίζεται συήθως µε το γράµµα Ω Α δηλαδή ω,ω,..., είαι τα δυατά αποτελέσµατα του πειράµατος τύχης ωκ τότε ο χώρος του πειράµατος είαι το σύολο Ω = {ω,ω,..., ω } Το σύολο που έχει σα στοιχεία έα ή περισσότερα αποτελέσµατα του πειράµατος, λέγεται εδεχόµεο ή γεγοός. Ότα το αποτέλεσµα εός πειράµατος σε µια εκτέλεσή του είαι στοιχείο εός εδεχοµέου λέµε ότι το εδεχόµεο αυτό πραγµατοποιείται ή συµβαίει. Γι αυτό τα στοιχεία εός εδεχοµέου λέγοται και ευοϊκές περιπτώσεις. Έα εδεχόµεο λέγεται απλό, ότα έχει έα µόο στοιχείο και σύθετο α έχει περισσότερα στοιχεία. Ο χώρος Ω είαι εδεχόµεο βέβαιο εδεχόµεο. Λέµε βέβαιο εδεχόµεο αυτό που πραγµατοποιείται πάτοτε αφού όποιο και α είαι το αποτέλεσµα του πειράµατος θα αήκει στο Ω Το κεό σύολο είαι αδύατο εδεχόµεο. Λέµε κεό εδεχόµεο αυτό που δε πραγµατοποιείται ποτέ. Το πλήθος τω στοιχείω εός εδεχοµέου Κ συµβολίζεται µε Ν (Κ) κ

29 Θεωρία 9 Πράξεις µε εδεχόµεα Τοµή 3.3 Να ααφέρετε τι οοµάζουµε τοµή δυο εδεχοµέω. Το εδεχόµεο A B που διαβάζεται Α τοµή Β ή Α και Β και πραγµατοποιείται ότα πραγµατοποιούται συγχρόως τα Α, Β αφού έχει σα στοιχεία τα κοιά στοιχεία τω Α, Β Έωση 3.4 Να ααφέρετε τι οοµάζουµε έωση δυο εδεχοµέω. Το εδεχόµεο A B που διαβάζεται Α έωση Β ή Α ή Β και πραγµατοποιείται ότα πραγµατοποιείται έα τουλάχιστο από τα Α, Β αφού έχει σα στοιχεία όλα τα στοιχεία τω Α, Β Συµπλήρωµα Α A B Α A B Ω Β Ω Β 3.5 Να ααφέρετε τι οοµάζουµε συµπλήρωµα εός εδεχοµέου. Το εδεχόµεο A που διαβάζεται Συµπληρωµατικό του Α ή όχι Α ή Ατίθετο του Α και πραγµατοποιείται ότα δε πραγµατοποιείται το Α αφού έχει σα στοιχεία τα στοιχεία του Ω που δε αήκου στο Α ιαφορά 3.6 Να ααφέρετε τι οοµάζουµε διαφορά δυο εδεχοµέω. Το εδεχόµεο A B διαβάζεται ιαφορά του Β από το Α και πραγµατοποιείται ότα πραγµατοποιείται το Α αλλά όχι το Β αφού έχει σα στοιχεία τα στοιχεία του Α, αλλά όχι του Β Α Α Ω Α Ω Β Α Β Είαι φαερό ότι A B = Α (Α B) = A B

30 Θεωρία 30 Σύθετα εδεχόµεα 3.7 Το εδεχόµεο α πραγµατοποιείται ή µόο το Α ή µόο το Β δηλαδή µόο έα από τα Α και Β, είαι το ( A B) (Β Α) Να παρατηρήσουµε ότι: Α Β = (Α Β) (Α Β) (Β Α) Το εδεχόµεο α µη πραγµατοποιείται καέα από τα Α και Β είαι το εδεχόµεο ( A B) Α A B Α ( A B) Β Ω Β Α Β Ω Απλά, µε βάση τα διαγράµµατα Venn, είαι: ( A B) = Α Β, ( A B) = Α Β Συοπτικός πίακας εδεχοµέω 3.8 Στο παρακάτω πίακα τα Α,Β συµβολίζου εδεχόµεα εός πειράµατος και το ω έα αποτέλεσµα του πειράµατος αυτού. Στη αριστερή στήλη του πίακα ααγράφοται διάφορες σχέσεις για τα Α και Β διατυπωµέες στη κοιή γλώσσα, και στη δεξιά στήλη ααγράφοται οι ίδιες σχέσεις αλλά διατυπωµέες στη γλώσσα τω συόλω. Το εδεχόµεο Α πραγµατοποιείται. Το εδεχόµεο Α δε πραγµατοποιείται Έα τουλάχιστο από τα Α, Β πραγµατοποιείται. Πραγµατοποιούται αµφότερα τα Α και Β ε πραγµατοποιείται καέα από τα Α και Β. Πραγµατοποιείται µόο το Α και όχι το Β.. Η πραγµατοποίηση του Α συεπάγεται και τη πραγµατοποίηση του Β ω A. ω A ή ω A.... ω A B.... ω A B.... ω (A B). ω A B ή ω A B A B Ασυµβίβαστα εδεχόµεα 3.9 Να ααφέρετε τι οοµάζουµε ασυµβίβαστα εδεχόµεα. ύο εδεχόµεα Α,Β λέγοται ασυµβίβαστα ότα A B = Αυτά λέγοται και ξέα µεταξύ τους ή αµοιβαίως αποκλειόµεα. ηλαδή τα ξέα εδεχόµεα δε έχου κοιά στοιχεία δηλαδή τα ξέα εδεχόµεα δε πραγµατοποιούται ταυτόχροα. Α Α Β = Β Ω

31 Θεωρία 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Έα από τα κύρια χαρακτηριστικά του πειράµατος τύχης είαι η αβεβαιότητα για το ποιο αποτέλεσµα του πειράµατος θα εµφαιστεί σε µια συγκεκριµέη εκτέλεσή του. Εποµέως, έα εδεχόµεο δε µπορούµε µε βεβαιότητα α προβλέψουµε α θα πραγµατοποιηθεί ή όχι. Γι αυτό είαι χρήσιµο α ατιστοιχίσουµε σε κάθε εδεχόµεο έα αριθµό που θα είαι έα µέτρο της προσδοκίας µε τη οποία ααµέουµε τη πραγµατοποίησή του. Το αριθµό αυτό το οοµάζουµε πιθαότητα του εδεχοµέου. Α Α είαι το εδεχόµεο, η πιθαότητα συµβολίζεται µε Ρ (Α) Σχετική συχότητα 3.0 Να ααφέρετε τι οοµάζουµε σχετική συχότητα εός εδεχοµέου. Έστω ότι ο χώρος εός πειράµατος είαι το πεπερασµέο σύολο Ω = {ω,ω,...,ω } Α σε εκτελέσεις αυτού το εδεχόµεο Α πραγµατοποιείται κ φορές κ τότε ο λόγος οοµάζεται σχετική συχότητα του Α και συµβολίζεται µε f A v λ Θεώρηµα 3. Έστω τα απλά εδεχόµεα { ω }, {ω },..., {ω λ } εός πειράµατος τύχης τα οποία πραγµατοποιούται κ,κ,..., φορές ατιστοίχως. κ λ κ κ κλ Έστω και οι σχετικές συχότητες f =, f =,..., fλ = αυτώ. v v v κ Είαι 0 f, µε =,,..., λ λ = f f... f Απόδειξη κ Είαι 0 f, µε =,,..., λ αφού 0 κ κ + κ κ λ v Είαι f + f fλ = = = v v

32 Θεωρία 3 Νόµος µεγάλω αριθµώ 3. Ότα ο αριθµός τω δοκιµώ αυξάει απεριόριστα η σχετική συχότητα καθεός από τα στοιχειώδη εδεχόµεα τείει α στρογγυλοποιηθεί σε έα συγκεκριµέο αριθµό. Η πιο πάω ατίληψη είαι εµπειρική και οοµάζεται όµος τω µεγάλω αριθµώ ή στατιστική οµαλότητα. Κλασικός ορισµός πιθαότητας 3.3 Να ααφέρετε πως ορίζεται η πιθαότητα εός εδεχοµέου Α σε έα δειγµατικό χώρο πεπερασµέου πλήθους στοιχείω µε ισοπίθαα απλά εδεχόµεα. Έστω το πείραµα µε ισοπίθαα αποτελέσµατα δηλαδή µε αποτελέσµατα που η σχετική συχότητα καθεός από τα απλά εδεχόµεα στρογγυλοποιείται στο ίδιο αριθµό. Η σχετική συχότητα εός εδεχοµέου µε κ στοιχεία θα τείει στο αριθµό κ Έτσι σε έα πείραµα µε ισοπίθαα αποτελέσµατα ορίζουµε σα σχετική συχότητα του εδεχοµέου Α το αριθµό P (A) = Πλήθος Ευοϊκώ Περιπτώσεω Πλήθος υατώ Περιπτώσεω Αυτή οοµάζεται και πιθαότητα του εδεχοµέου Α N(A) = N(Ω) Πρόκειται για το κλασικό ορισµό πιθαότητας που διατυπώθηκε από το Laplace. Πιθαότητα βέβαιου και αδύατου εδεχόµεου N(Ω) N( ) 3.4 Α Ω είαι έας χώρος, τότε P (Ω) = = και P ( ) = = 0 N(Ω) N(Ω) Για κάθε εδεχόµεο Α του Ω ισχύει 0 P(A) Για α χρησιµοποιήσουµε το κλασικό ορισµό της πιθαότητας µε πεπερασµέο πλήθος στοιχείω, είαι απαραίτητο τα απλά εδεχόµεα α είαι ισοπίθαα. Υπάρχου πειράµατα τύχης που ο χώρος δε αποτελείται από ισοπίθαα απλά εδεχόµεα. Έτσι γεικότερα, χρησιµοποιούµε το αξιωµατικό ορισµό της πιθαότητας.

33 Θεωρία 33 Αξιωµατικός ορισµός πιθαότητας 3.5 Να ααφέρετε πως ορίζεται η πιθαότητα εός εδεχοµέου Α σε έα δειγµατικό χώρο πεπερασµέου πλήθους στοιχείω. Έστω Ω = {ω,ω,...,ω } χώρος µε πεπερασµέο πλήθος στοιχείω. Ορίζουµε σα πιθαότητα του ω το αριθµό P(ω ) το οποίο θα ατιλαµβαόµαστε σα τη σχετική συχότητα ώστε 0 P(ω ) και P(ω ) + P(ω ) P(ω ) = Επίσης σα πιθαότητα P (A) εός εδεχοµέου A = {α,α,...,α } λέµε το άθροισµα P(α ) + P(α ) +... P(α ) + Επίσης δεχόµαστε ότι P ( ) = 0 Είαι φαερό ότι για κάθε εδεχόµεο Α ισχύει 0 P(A) κ κ Εδώ προφαώς είαι Να τοίσουµε ότι P(ω ) ο αξιωµατικός ορισµός στη περίπτωση που κλασικό ορισµό πιθαότητας. v P(ω ) =, =,,..., δίει το v Σχόλια 3.6 Με τη φράση Παίρουµε τυχαία έα στοιχείο του Ω θα εοούµε ότι όλα τα δυατά αποτελέσµατα =,,..., v ω είαι ισοπίθαα µε P(ω ) = v Στη περίπτωση που δε ισχύει ο κλασικός ορισµός της πιθαότητας σα πιθαότητα του εδεχοµέου Α, λαµβάεται γεικά το όριο της σχετικής του συχότητας.

34 Θεωρία 34 Καόες λογισµού τω πιθαοτήτω Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω Απλός προσθετικός όµος 3.7 Για τα ξέα µεταξύ τους εδεχόµεα Α και Β, είαι P (A B) = P(A) + P(B ) Απόδειξη Α N (A) = κ και N (B) = λ τότε το A B έχει κ + λ στοιχεία γιατί τα Α και B είαι ξέα µεταξύ τους εδεχόµεα. Α Β Ω ηλαδή έχουµε N (A B) = κ + λ = Ν(Α) + Ν(Β) Εποµέως Ρ(A B) = Ν(A B) Ν(Ω) Ν (Α) + Ν(Β) = Ν(Ω) Ν(Α) Ν(Β) = + = Ρ (Α) + Ρ(Β) Ν(Ω) Ν(Ω) Α τα Α, Β και Γ είαι αά δύο ασυµβίβαστα, είαι P (A B Γ) = P(A) + P(B) + P(Γ ) Συµπληρωµατικά εδεχόµεα 3.8 Για δύο συµπληρωµατικά εδεχόµεα Α και A, είαι P(A ) = P(A) Απόδειξη Ω Α Επειδή A A = Ø δηλαδή τα Α και A είαι ασυµβίβαστα Α σύµφωα µε το προσθετικό όµο είαι P (A A ) = P(Α) + P(A ) P (Ω) = P(Α) + P(A ) = P(Α) + P(A ) Οπότε Ρ(Α ) = P(A)

35 Θεωρία 35 Προσθετικός όµος 3.9 Για δύο εδεχόµεα Α και Β, είαι P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Απόδειξη Είαι N( Α B) = N(A) + N(B) N(A B) αφού στο άθροισµα N (Α) + N(B) το πλήθος τω στοιχείω του A B υπολογίζεται φορές. Α A B Β Ω Α διαιρέσουµε τα µέλη της ισότητας N(Α B) = N(A) + N(B) N(A B), µε N (Ω) έχουµε: ( Α B) N(A) N(B) Ν( A B) N N(Ω) = + N(Ω) N(Ω) N(Ω) Οπότε P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) ιάταξη 3.0 Για δύο εδεχόµεα Α και Β µε A B, είαι P(A) P(B) Απόδειξη Ω Επειδή Α Β έχουµε N(A) N(B) N(A) N(Ω) N(B) N(Ω) Β Α Οπότε P(A) P(B) ιαφορά εδεχοµέω 3. Για δύο εδεχόµεα Α και Β, είαι P(A B) = P(A) P(A B) Απόδειξη Επειδή τα εδεχόµεα Α B και A B είαι ασυµβίβαστα και ( Α B) (A B) = A Ω σύµφωα µε το προσθετικό όµο Α Α Β έχουµε Ρ(Α) = P(A B) + P(A B) Α Β Οπότε είαι P(A B) = P(A) P(A B)

36 Θεωρία 36