ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ. Δημ. Εμίρης. Πειραιάς, Αναπλ. Καθηγητής

ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ Δημ. Εμίρης Αναπλ. Καθηγητής Πειραιάς, 2012

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι προβλέψεις(forecasing) είναι απαραίτητες για ένα μεγάλο αριθμό αποφάσεων σχεδιασμού και προγραμματισμού Μακροπρόθεσμες αποφάσεις: Εισαγωγή νέου προϊόντος Επέκταση εργοστασίου Απαιτούν γνώση της ζήτησης του προϊόντος Μεσοπρόθεσμες αποφάσεις: Συγκεντρωτικός προγραμματισμός παραγωγής Προγραμματισμός απαιτούμενου προσωπικού Πολιτική διαχείρισης αποθεμάτων Ορίζοντας από 6 μήνες έως 2 έτη Βραχυπρόθεσμες αποφάσεις: Προγραμματισμός παραγωγής Χρονικός προγραμματισμός εντολών παραγωγής

ΓΙΑΤΙ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ; Η αβεβαιότητα που πολλές φορές χαρακτηρίζει τη ζήτηση προϊόντων ή υπηρεσιών και, συνεπώς, τις απαιτήσεις σε μηχανές, υλικά, κεφάλαια, ανθρώπινο δυναμικό και, γενικά, δυναμικότητα που θα χρησιμοποιηθεί ώστε να ικανοποιηθεί η ζήτηση κατέστησε αναγκαία την ανάπτυξη μεθόδων πρόβλεψης. Ο προγραμματισμός και ο έλεγχος της παραγωγής, ειδικότερα, απαιτούν εκτιμήσεις όσον αφορά την ποσότητα και το χρόνο που αναμένεται να ζητηθεί το προϊόν ενός παραγωγικού συστήματος. Οι εκτιμήσεις αυτές θα χρησιμοποιηθούν για την κατάρτιση των προγραμμάτων παραγωγής, προμήθειας πρώτων υλών, απασχόλησης ανθρώπινου δυναμικού κ.λπ. Τα προγράμματα αυτά θα είναι τόσο περισσότερο αποτελεσματικά, σε σχέση με το σκοπό του παραγωγικού συστήματος, όσο περισσότερο αξιόπιστες είναι οι σχετικές προβλέψεις.

ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ Στόχοι του συστήματος Προβλέψεις ζήτησης ΣΥΣΤΗΜΑ (που πρέπει να διοικηθεί) Σχεδιασμός ενεργειών Περιορισμοί (κεφάλαιο, χώρος, κλπ.) Πόροι (ανθρώπινο δυναμικό, εξοπλισμός)

ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ Υποκειμενικές ή Διαισθητικές Μέθοδοι: Συνεντεύξεις, δημοσκοπήσεις, κλπ. Μέθοδος DELPHI Μέθοδοι βασισμένες στο μέσο όρο παλαιότερων δεδομένων: Κινούμενοι μέσοι (moving averages) Εκθετική εξομάλυνση (exponenial smoohing) Μοντέλα παλινδρόμησης σε ιστορικά δεδομένα: Προεκβολή τάσης (rend exrapolaion) Αιτιοκρατικά (causal) ή οικονομετρικά μοντέλα Ανάλυση χρονοσειρών με χρήση στοχαστικών δεδομένων Ανάλυση Box-Jenkins

ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΚΑΙ «ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ» Πρόβλεψη (Forecasing) Αντικειμενική Επιστημονική Ελεύθερη πόλωσης (Bias) Αναπαράξιμη Δυνατή η ανάλυση σφάλματος Πρόβλεψη (Predicion) Υποκειμενική Διαισθητική Ατομική πόλωση Μη αναπαράξιμη Περιορισμένη δυνατότητα ανάλυσης σφάλματος

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ Ο βασικός παράγοντας που καθορίζει την επιλογή της μεθόδου προβλέψεων είναι το είδος των αποφάσεων που θα ληφθούν βάσει των προβλέψεων που θα προκύψουν. Άλλα κριτήρια: Η ζητούμενη μορφή της πρόβλεψης Η περίοδος και ο ορίζοντας πρόβλεψης Περίοδος πρόβλεψης Ορίζοντας πρόβλεψης Εξάρτηση από είδος απόφασης (στρατηγική, τακτική, λειτουργική) Το κόστος της μεθόδου επιζητούμενη ακρίβεια πρόβλεψης απαιτήσεις που έχει η μέθοδος χρήση ειδικού εξοπλισμού Η επιζητούμενη ακρίβεια Η απλότητα και ευκολία εφαρμογής Τα διαθέσιμα στοιχεία

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ Οριζόντιο στοιχείο: Χαρακτηρίζει στάσιμες χρονοσειρές, δηλαδή σειρές τιμών που διακυμαίνονται γύρω από μια μέση τιμή, χωρίς να υπάρχει συστηματική τάση για αύξηση ή μείωση τους. Στοιχείο τάσης: Χαρακτηρίζει χρονοσειρέςόπου παρατηρείται μια συστηματική μεταβολή, αύξηση ή ελάττωση, της μέσης τιμής της μεταβλητής με την πάροδο του χρόνου. Εποχικό στοιχείο: Χαρακτηρίζει χρονοσειρές, όπου η διακύμανση των τιμών οφείλεται σε κάποιο εποχικό στοιχείο, π.χ. στον καιρό. Κυκλικό στοιχείο: Είναι παρόμοιο με το εποχικό, μόνο που το εποχικό χαρακτηρίζεται από σταθερή περιοδικότητα και διάρκεια κύκλου ενώ στο κυκλικό τόσο η περιοδικότητα όσο και ο κύκλος δεν εμφανίζουν σταθερότητα.

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΜΟΡΦΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΖΗΤΗΣΗΣ Σταθερή Γραμμική τάση Κυκλική Εποχιακή με αυξητική τάση

ΜΟΡΦΕΣ ΜΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΖΗΤΗΣΗΣ Απότομη αύξηση (π.χ., εκκαθάριση ανταγωνιστή) Παροδικός παλμός (εξαιτίας επιδημίας, περιοδικής συντήρησης, κλπ.) Απότομη πτώση (π.χ., εμφάνιση ανταγωνιστή)

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ Έστω πλήθος δεδομένων Ν, που αντιστοιχούν σε Ν περιόδους, για τις οποίες διατίθενται προβλέψεις και αντίστοιχες πραγματικές τιμές, e το σφάλμα πρόβλεψης, δηλαδή η διαφορά ανάμεσα στην πραγματική τιμή D και την πρόβλεψη F της μεταβλητής στην περίοδο, δηλαδή e = D F. 1. Μέσο σφάλμα: N e = 1 1 ( ΜΣ ) = N οι θετικές αποκλίσεις εξουδετερώνονται από τις αρνητικές, έτσι ώστε να μπορεί να εμφανιστεί τελικά μικρό μέσο σφάλμα αν και έχουν σημειωθεί στην πραγματικότητα πολύ μεγάλες (θετικές και αρνητικές) αποκλίσεις. N 1 ( ΜΑΑ ) = N e 2. Μέση απόλυτη απόκλιση πρόσθετες πληροφορίες, απαλλαγμένο από το μειονέκτημα του ΜΣ, μέτρο του μεγέθους των αποκλίσεων που παράγει η μέθοδος, δεν δίνει το πρόσημο των αποκλίσεων. = 1

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ 3. Μέσο τετραγωνικό σφάλμα πληροφορίες παρόμοιες με τη ΜΑΑ, «τιμωρεί» τις μεγαλύτερες αποκλίσεις 4. Τυπική απόκλιση σφαλμάτων N 1 ( ΜΤΣ ) = N = 1 N e ee N 1 πληροφορίες για την απόκλιση των απολύτων τιμών των σφαλμάτων από τη μέση τιμή τους 5. Ποσοστιαίο σφάλμα για μια μόνο περίοδο ( ΤΑΣ ) = e D ( ΠΣ ) = 100 = 1 2 2

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ 6. Μέσο ποσοστιαίο σφάλμα μέσο σφάλμα επί τοις 100 για Ν περιόδους N 1 ( ΜΠΣ ) = 100 N = 1 e D 7. Μέσο απόλυτο ποσοστιαίο σφάλμα N 1 ( ΜΑΠΣ ) = e 100 N = 1 D - μετράει το πόσο έξω πέφτουν οι προβλέψεις ως ποσοστά της πραγματικής τιμής της μεταβλητής

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ Μήνας Πωλήσεις Πρόβλεψη Σφάλμα Απόλυτο σφάλμα Τετραγωνικό σφάλμα Ποσοστιαίο σφάλμα % 1 32 30 2 2 4 6,2 2 33 32 1 1 1 3,0 3 35 35 0 0 0 0,0 4 38 37 1 1 1 2,6 5 38 40-2 2 4-5,3 6 40 44-4 4 16-10,0 7 35 39-4 4 16-11,4 8 40 42-2 2 4-5,0 9 44 44 0 0 0 0,0 10 44 46-2 2 4-4,5 11 37 36 1 1 1 2,7 12 40 35 5 5 25 12,5-4 24 76-9,2 ΜΣ=-0,33 ΜΑΑ=2,00 ΜΤΣ=6,33 ΤΑΣ=2,63 ΜΠΣ=0,77 ΜΑΠΣ=5,27

ΛΙΓΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στην περίπτωση διακριτών μεταβλητών Χ και Υ ισχύουν τα εξής: 1 Μ έσητιµ ή : µ = E( X ) = X = X N N i= 1 X i N ( ) 2 N 2 1 1 ( ) 2 µ X X N X µ i X 1 1 i X i N X µ = i= 1 ιασπορά : = E( X ) = ή σ N 2 N 2 1 1 Τ υπικήαπόκλιση : = σ ( µ ) ή ( µ ) X X N i X 1 1 i X i= N i= 1 X Οι αντίστοιχες συναρτήσεις στο EXCEL είναι AVERAGE, VARP ή VAR, STDEVP ή STDEV

ΠΟΙΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ Οι ποιοτικές μέθοδοι (ή μέθοδοι κρίσης) προβλέψεων αποτελούν τις πιο διαδεδομένες μεθόδους πρόβλεψης, που εφαρμόζονται μάλιστα σε ζητήματα στρατηγικής σημασίας, όπως είναι η επιλογή προϊόντος, θέσης εγκατάστασης, τεχνολογίας παραγωγής, δυναμικότητας κ.λπ. Η χρήση αυτών των μεθόδων είναι αναπόφευκτη όταν δεν υπάρχουν ιστορικά στοιχεία ή όταν τα δεδομένα του παρελθόντος, έστω κι αν υπάρχουν, δεν παρέχουν βάση για την πρόβλεψη μελλοντικών συνθηκών, οπότε οι ποσοτικές μέθοδοι δεν έχουν ισχύ. Οι ποιοτικές μέθοδοι βασίζονται στην υποκειμενική κρίση ανθρώπων, κυρίως έμπειρων ή ειδικών, στην ποιοτική ανάλυση της συμπεριφοράς του καταναλωτή, σε έρευνες αγοράς, και σε αναλογίες ανάμεσα σε παρόμοιες καταστάσεις. Κατά την εφαρμογή τέτοιων μεθόδων συχνά γίνεται χρήση ποσοτικών δεδομένων, καθώς και στατιστικών μεθόδων επεξεργασίας (π.χ. των απαντήσεων που προκύψαν κατά τη διεξαγωγή μιας έρευνας αγοράς ή μιας δημοσκόπησης). Όμως η βάση των μεθόδων είναι ποιοτικές κρίσεις και αναλύσεις.

ΠΟΙΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ Μια από τις απλούστερες και πιο διαδεδομένες ποιοτικές μεθόδους πρόβλεψης που εφαρμόζονται για τη λήψη επιχειρηματικών αποφάσεων είναι η μέθοδος της «γνώμης του συμβουλίου στελεχών». Αρχή της μεθόδου είναι η πρόβλεψη να βασίζεται σε υποκειμενικές εκτιμήσεις που εκφράζουν κατάλληλα άτομα. Τα άτομα αυτά είναι στελέχη της επιχείρησης, που προέρχονται από όλα τα βασικά τμήματα (παραγωγή, πωλήσεις, χρηματοοικονομικό κλπ). Τα άτομα αυτά συνέρχονται και αποφασίζουν ομαδικά, με τη βοήθεια ποσοτικών στοιχείων, δεικτών κ.λπ., για το ποια είναι η καλύτερη πρόβλεψη. Πλεονέκτημα της μεθόδου είναι ότι οι προβλέψεις ετοιμάζονται γρήγορα και εύκολα, ότι βασίζονται στη γνώμη και στις πληροφορίες στελεχών με διαφορετική ειδικότητα και ρόλο και ότι συχνά είναι η μόνη εφικτή μέθοδος, πράγμα που συμβαίνει όταν δεν διατίθενται στατιστικά δεδομένα ή όταν η πρόβλεψη αφορά φαινόμενα σε ένα περιβάλλον που μεταβάλλεται ταχύτατα. Μειονέκτημα της μεθόδου αυτής είναι το γεγονός ότι η βαρύτητα της γνώμης ενός στελέχους στο τελικό αποτέλεσμα είναι συνάρτηση της θέσης του στελέχους αυτού μέσα στην επιχείρηση και της προσωπικότητας του και όχι των πληροφοριών που διαθέτει ή της ικανότητας του να προβλέπει το μέλλον. Μια παραλλαγή της μεθόδου είναι η περιοδική συγκέντρωση από το γενικό διευθυντή ή άλλο ανώτατο στέλεχος γραπτών εκτιμήσεων των στελεχών της επιχείρησης και η σύνθεση των εκτιμήσεων σε μία τελική αντιπροσωπευτική εκτίμηση.

ΔΗΜΟΣΚΟΠΗΣΕΙΣ Προσωπικές συνεντεύξεις Π.χ., συλλογή απόψεων από κατά τόπους διευθυντές πωλήσεων προκειμένου να εξαχθούν προβλέψεις πωλήσεων Βάση γνώσης (εμπειρία) Υποκειμενική πόλωση Μέθοδοι ερωτηματολογίων Σχεδιασμός ερωτηματολογίου Επιλογή ερωτουμένων Συλλογή απαντήσεων Ανάλυση και παρουσίαση αποτελεσμάτων (προβλέψεων) Τηλεφωνική συνομιλία Ταχύτητα Μέθοδος Delphi

ΜΕΘΟΔΟΣ DELPHI Η μέθοδος DELPHIεφαρμόζεται για τη διενέργεια τεχνολογικών προβλέψεων, δηλαδή μακροπρόθεσμων κυρίως προβλέψεων που αφορούν την τεχνολογία και το γενικό περιβάλλον, μέσα στο οποίο αναπτύσσεται η επιχειρηματική δράση. Η μέθοδος αναπτύχθηκε στη Rand Corporaion. Χρησιμοποιεί μια ομάδα ειδικώνκατά τέτοιο τρόπο, ώστε να εξαλείφεται το ενδεχόμενο της κυριαρχίας αυτών με το μεγαλύτερο κύρος, πειθώ και δυναμισμό. Επιδιώκεται, δηλαδή, η εξουδετέρωση των φαινομένων που συνδέονται με την ομαδική συμπεριφορά και αποτελούν κίνδυνο, στον οποίον υπόκειται η μέθοδος της «γνώμης του συμβουλίου στελεχών». Το ζητούμενο είναι να επιτευχθεί τελικά η ομόφωνη γνώμη των ειδικών ως συγκερασμός των διαφόρων κρίσεων, στον οποίο να φαίνονται τόσο η εμβέλεια της κάθε γνώμης, όσο και οι αιτίες των διαφορών μεταξύ των κρίσεων. Η ομάδα των ειδικών συχνά περιλαμβάνει άτομα που προέρχονται τόσο από μέσα όσο κι απ' έξω από την επιχείρηση. Κάθε μέλος είναι ειδικός για ένα μέρος του προβλήματος, αλλά κανείς δεν είναι ειδικός για ολόκληρο το πρόβλημα.

ΜΕΘΟΔΟΣ DELPHI Δομημένη μέθοδος απόκτησης απαντήσεων από εμπειρογνώμονες Αξιοποιεί την ευρεία βάση γνώσης των εμπειρογνωμόνων Εξαφανίζει την υποκειμενική πόλωση και τον επηρεασμό των συμμετεχόντων μέσω της ανωνυμίας Έχει επαναληπτικό χαρακτήρα και στατιστική σύνοψη στο τέλος κάθε γύρου (συνήθως 3 γύροι) Προκύπτει συναίνεση (consensus) ή αποκλίνουσες απόψεις (divergen viewpoins) στο τέλος της προσπάθειας

ΜΕΘΟΔΟΣ DELPHI Συντονιστής Exper 1 Exper N Exper 2 Ερώτημα: Πότε θα εξαντληθούν τα παγκόσμια πετρελαϊκά αποθέματα; Εμπειρογνώμονες: Εκπρόσωπος USA Εκπρόσωπος EU Εκπρόσωπος Ρωσίας Εκπρόσωπος ΟΠΕΚ Εκπρόσωπος Βενεζουέλας Στατιστική επεξεργασία: Μέση τιμή Μέσος Τυπική απόκλιση 2020 2025 2030 2040 2045

ΜΕΘΟΔΟΣ DELPHI 2020 2025 2030 2040 2045 2020 2025 2030 2040 2045 2020 2025 2030 2040 2045 2020 2025 2030 2040 2045 2020 2025 2030 2040 2045 2020 2025 2030 2040 2045

ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΙ ΜΕΣΟΙ Η πιο απλή μέθοδος προεκβολής είναι η μέθοδος του κινούμενου μέσου. Σ' αυτή τη μέθοδο η προβλεπόμενη τιμή F της μεταβλητής για την περίοδο ισούται με τη μέση τιμή των τιμών D 1,..., D N της μεταβλητής κατά τις Ν αμέσως προηγούμενες περιόδους. Για την εφαρμογή της μεθόδου επιλέγεται αρχικά ο αριθμός των περιόδων Ν, για τις οποίες θα υπολογιστεί ο κινούμενος μέσος. Όσο μεγαλύτερο είναι το Ν τόσο μεγαλύτερη είναι η εξομάλυνση στις τυχαίες διακυμάνσεις της τιμής της μεταβλητής, τόσο δηλαδή θα είναι μικρότερη η επίδραση κάποιων ακραίων τιμών. Η πρόβλεψη για την επόμενη περίοδο παράγεται με την προσθήκη στη χρονοσειράτης πιο πρόσφατης τιμής της μεταβλητής και την αφαίρεση από αυτήν της παλαιότερης τιμής. Έτσι μπορεί να γίνει η πρόβλεψη F +1 για την περίοδο + 1 όταν είναι δεδομένη η πρόβλεψη F της προηγούμενης περιόδου και οι τιμές της μεταβλητής για τις περιόδους και N.

ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΙ ΜΕΣΟΙ Μήνας Ζήτηση Τρίμηνος MA Jan 199 Feb 202 Mar 199 200,00 Εξάμηνος MA E i E i E i 2 Apr 208 203,00 8,00 8,00 64,00 May 212 206,33 9,00 9,00 81,00 Jun 194 203,66 202,33-12,33 12,33 152,03 Jul 214 205,66 207,83 10,34 10,34 106,92 Aug 220 208,33 210,83 14,34 14,34 205,64 Sep 219 216,66 213,13 10,67 10,67 113,85 Oc 234 223,33 217,96 17,34 17,34 300,68 Nov 219 223,00 218,63-4,33 4,33 18,75 Dec 233 227,66 225,13 10,00 10,00 100,00 F D + D + + D 1 N 1 2 N = = N N i = 1 F + 1 F = + D N N D ΜΣ 7,00 ΜΑΑ 10,71 ΜΤΣ 126,98 RMS 11,27 D i

ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΙ ΜΕΣΟΙ 46 44 42 40 38 36 D() MA (N=4) MA (N=6) 34 32 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΥ ΜΕΣΟΥ D() D() Οι κινούμενοι μέσοι παρουσιάζουν καθυστέρηση στην παρακολούθηση της τάσης D() D() Οι κινούμενοι μέσοι είναι εκτός φάσης στην κυκλική ζήτηση Οι κινούμενοι μέσοι λειαίνουν τα ακρότατα

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΥ ΜΕΣΟΥ Το μειονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι ότι στην παραγωγή συχνά πρέπει να γίνουν προβλέψεις για μεγάλο αριθμό μεταβλητών, οπότε οι απαιτήσεις για αποθήκευση δεδομένων μπορεί να είναι σημαντικές. Η μέθοδος δεν θα δώσει καλές προβλέψεις αν τα δεδομένα εμπεριέχουν στοιχεία τάσης ή εποχικότητας ή κυκλικότητας. Έτσι, αν υπάρχει αυξητική τάση, τότε η πρόβλεψη με τη μέθοδο του κινούμενου μέσου θα δίνει συστηματικά μικρότερες τιμές σε σχέση με τις πραγματικές τιμές της μεταβλητής. Η μέθοδος δίνει την ίδια βαρύτητα σε κάθε μια από τις Ν πιο πρόσφατες τιμές, ενώ δεν λαμβάνονται καθόλου υπόψη τα δεδομένα πριν από τις Ν τελευταίες περιόδους. Επίσης, δεν είναι δυνατό να αξιοποιηθεί η γνώση για την ύπαρξη στη χρονοσειράστοιχείων όπως η εποχικότητα και η κυκλικότητα. Αυτή τη δυνατότητα παρέχουν οι μέθοδοι εκθετικής εξομάλυνσης.

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗ Οι μέθοδοι εκθετικής εξομάλυνσης βασίζονται στην εκθετική μείωση της βαρύτητας που δίνεται στα στοιχεία των προηγούμενων περιόδων. Αυτές οι μέθοδοι συνήθως χρησιμοποιούνται στο βραχυπρόθεσμο προγραμματισμό και έλεγχο της παραγωγής και, γενικά, σε περιπτώσεις όπου ο χρονικός ορίζοντας της πρόβλεψης είναι σχετικά μικρός ενώ δεν υπάρχουν διαθέσιμες πληροφορίες για την αιτιοκρατική σχέση που συνδέει την προς πρόβλεψη μεταβλητή και τους ανεξάρτητους παράγοντες που την επηρεάζουν. Οι μέθοδοι χαρακτηρίζονται από ευκολία εφαρμογής, ενώ οι απαιτήσεις σε υπολογιστικό χρόνο και αποθήκευση δεδομένων για την εφαρμογή τους είναι μικρές. Χαρακτηρίζονται από την εξομάλυνση των τυχαίων διακυμάνσεων που μπορεί να παρουσιάζουν τα διάφορα στοιχεία των χρονοσειρών(οριζόντιο, τάσης, εποχικό και κυκλικό).

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗ D()=Πραγματική ζήτηση την περίοδο F(+1)=Πρόβλεψη για την επόμενη περίοδο α=σταθεράεξομάλυνσης (μεταξύ 0 και 1), συνήθως μεταξύ 0,01 και 0,3 D F F F D F 1 1 N N N = + = + 1 + 1 ( 1 F = α ) 1 D + α F = F + α + ( D F )

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗ = α + ( 1 α) = α + ( 1 α) α + ( 1 α) = = F + 1 D F D D 1 F 1 M = α + α( 1 α) + α( 1 α) + + α( 1 α) + ( 1 α) 2 M+ 1 D D 1 D 2 D M F M Η βαρύτητα των παλαιότερων δεδομένων μειώνεται εκθετικά α(1-α) α -2 α(1-α) 2-1 Ισοδυναμία μεταξύ Ν (σε κινούμενο μέσο) και α (σε εκθετική εξομάλυνση): α=2/(ν+1)

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗ Μήνας Ζήτηση Τρίμηνος MA Jan 1 199 Feb 2 202 Εξάμηνος MA Εκθετική (α=0,1) Εκθετική (α=0,3) 198,00 198 198,90 198,70 Mar 3 199 200 201,69 201,01 Apr 4 208 203 May 5 212 206,33 199,27 199,60 207,13 205,48 Jun 6 194 203,66 202,33 211,51 210,04 Jul 7 214 205,66 207,83 195,75 198,81 Aug 8 220 208,33 210,83 212,18 209,44 Sep 9 219 216,66 213,13 219,22 216,83 Oc 10 234 223,33 217,96 219,02 218,35 Nov 11 219 223 218,63 232,50 229,30 Dec 12 233 227,66 225,13 220,35 222,09

240 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΥ ΜΕΣΟΥ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗΣ 235 230 225 220 215 210 Ζήτηση Τρίμηνος ΜΑ Εξάμηνος ΜΑ Εκθετική α=0,1 Εκθετική α=0,3 205 200 195 Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oc Nov Dec

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΑΠΛΗΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗΣ Είναι το απλούστερο από τα μοντέλα εκθετικής εξομάλυνσης. Το μοντέλο εφαρμόζεται όταν τα δεδομένα δεν έχουν στοιχεία τάσης, εποχικότητας ή κυκλικότητας. Υπάρχει μια μέση τιμή της μεταβλητής, γύρω από την οποία κυμαίνονται, εξαιτίας τυχαίων παραγόντων, οι τιμές της. Το μοντέλο χρησιμοποιεί την πρόβλεψη καθώς και την αντίστοιχη πραγματική τιμή της μεταβλητής για την τρέχουσα περίοδο για να προβλέψει την τιμή της μεταβλητής κατά τις επόμενες περιόδους. Αποτελεί μια εξέλιξη της μεθόδου του κινούμενου μέσου, αφού οι μέθοδοι εξομάλυνσης «ομαλοποιούν» τις παρατηρήσεις από το παρελθόν με σκοπό να αντιμετωπίσουν την τυχαιότητα, αποτέλεσμα της οποίας είναι οι διακυμάνσεις της τιμής της μεταβλητής.

ΑΛΛΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗΣ Το βασικό μοντέλο εκθετικής εξομάλυνσης είναι κατάλληλο για προβλέψεις στην περίπτωση που η χρονοσειράχαρακτηρίζεται μόνο από οριζόντιο στοιχείο. Όταν συνυπάρχουν και στοιχεία τάσης και εποχικότητας, απαιτούνται μοντέλα ικανά να λαμβάνουν υπόψη τις επιδράσεις αυτών των στοιχείων. Στους συνδυασμούς αυτούς το στοιχείο της τάσης (που εκφράζεται με το βήμα της τάσης) μπορεί να είναι γραμμικό ή πολλαπλασιαστικό. Το εποχικό στοιχείο μπορεί επίσης να είναι γραμμικό ή πολλαπλασιαστικό. Η εποχικότητα (η ποσότητα, κατά την οποία μεταβάλλεται η τιμή της μεταβλητής από περίοδο σε περίοδο) εκφράζεται με το δείκτη εποχικότητας, που μεταβάλλεται από περίοδο σε περίοδο. Το οριζόντιο στοιχείο, το στοιχείο της τάσης και το εποχικό συνδυάζονται σε εννέα δυνατά μοντέλα, στα οποία η διαδικασία πρόβλεψης γίνεται σε δύο στάδια: Στο πρώτο, γίνεται πρόβλεψη με εφαρμογή του μοντέλου της απλής εκθετικής εξομάλυνσης χωριστά για τα επιμέρους στοιχεία που χαρακτηρίζουν τη χρονοσειρά (οριζόντιο, τάσης και εποχικό), δηλ. F +1 =aa +(1-a)B Στο δεύτεροστάδιο χρησιμοποιούμε τις προβλέψεις για τα επιμέρους στοιχεία της χρονοσειράς από το πρώτο στάδιο, για να κάνουμε την τελική ολική πρόβλεψη.

ΑΛΛΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗΣ ΕΠΟΧΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ Όχι Γραμμικό Πολλαπλασιαστικό 1 2 3 ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΤΑΣΗΣ Γραμμικό Όχι Πολλαπλασιαστικό 4 5 6 7 8 9

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗ ΜΕ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΤΑΣΗ Όταν η τάση είναι γραμμική (ΜΟΝΤΕΛΟ 4), η διαφορά D +1 D μεταξύ δυο διαδοχικών τιμών της μεταβλητής οφείλεται, εκτός από τις διακυμάνσεις που χαρακτηρίζουν το οριζόντιο στοιχείο, και στη συστηματική τάση για αύξηση ή μείωση (πρόσθεση ή αφαίρεσηκάποιας ποσότητας στο οριζόντιο στοιχείο) που χαρακτηρίζει τη χρονοσειρά. Το μέρος αυτό της διαφοράς, που οφείλεται στην ύπαρξη της γραμμικής τάσης, αποτελεί μια χωριστή χρονοσειρά, που αποτελείται από τιμές του βήματος της τάσης, οι οποίες κυμαίνονται γύρω από μια σταθερή μέση τιμή. Εφαρμόζοντας την προσέγγιση της εκθετικής εξομάλυνσης, όπως για το οριζόντιο στοιχείο της χρονοσειράς, μπορούμε να εξομαλύνουμε τις διαφορές στην τιμή του βήματος, που εμφανίζονται από περίοδο σε περίοδο, με μια σταθερά εξομάλυνσης b.

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗ ΜΕ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΤΑΣΗ Απλή εκθετική εξομάλυνση ( 1 F = α ) 1 D + α + F Οριζόντιο στοιχείο: S = α ( 1 ) 1 D + α ( S + + T ) = b Στοιχείο Τάσης: ( ) ( 1 ) 1 S b T 1 S + + + T Πρόβλεψη: S F = + T και F = + m T + 1 + 1 + 1 + m + 1 + 1 Διαδρομή υπολογισμού: S, T S +1 T +1 Απαιτείται αρχικοποίηση για S 1, T 1 S

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗΣ ΜΕ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΤΑΣΗ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗΣ ΜΕ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΤΑΣΗ 60,00 50,00 40,00 30,00 20,00 D() S(+1) T(+1) 10,00 0,00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗΣ ΜΕ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΤΑΣΗ 55,00 50,00 45,00 40,00 D() P(+1) 35,00 30,00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗΣ ΜΕ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΤΑΣΗ 55,00 50,00 45,00 40,00 D() P(+1) F(+1) 35,00 30,00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗ ΜΕ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΤΑΣΗ Η εφαρμογή του μοντέλου γραμμικής τάσης, σε σχέση με το μοντέλο απλής εκθετικής εξομάλυνσης, δίνει αποτελέσματα που είναι πιο κοντά σε αυτά της πραγματικότητας, αρκεί, βέβαια, να υπάρχει το στοιχείο της τάσης στα δεδομένα της χρονοσειράς. Αν εφαρμοζόταν το μοντέλο της απλής εξομάλυνσης σε μια χρονοσειράπου χαρακτηρίζεται από τάση, οι προβλέψεις θα βρίσκονταν συστηματικά πιο κάτω από τις προβλέψεις που δίνει το μοντέλο τάσης και από τις πραγματικές τιμές των πωλήσεων. Η επιλογή των δύο σταθερών εξομάλυνσης επηρεάζει το μέγεθος των σφαλμάτων πρόβλεψης που τελικά θα προκύψουν. Για την ελαχιστοποίηση των σφαλμάτων είναι χρήσιμος ο έλεγχος ευαισθησίας σε σφάλματα για το πεδίο τιμών που παίρνουν οι δύο σταθερές, δηλαδή η εξέταση και σύγκριση μεταξύ τους των σφαλμάτων που προκύπτουν αν χρησιμοποιηθούν εναλλακτικές τιμές για τις σταθερές a και b. Τα σφάλματα των προβλέψεων επηρεάζονται επίσης από τις αρχικές τιμές που χρησιμοποιούνται κατά την έναρξη εφαρμογής της μεθόδου. Η επίδραση αυτή εξασθενεί και σχεδόν μηδενίζεται μετά από ένα μεγάλο αριθμό περιόδων. Είναι σκόπιμο, εφόσον διατίθενται στοιχεία για την εξέλιξη των πραγματικών τιμών της μεταβλητής, να παίρνονται όσο γίνεται περισσότερα υπόψη. Για την επιλογή ικανοποιητικών τιμών, τόσο για τα S 1 και Τ 1, όσο και για τις σταθερές εξομάλυνσης, απαιτούνται, γενικά, δεδομένα πολλών περιόδων (π.χ. μηνιαία στοιχεία 2 ετών).

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗ ΜΕ ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ Για προβλέψεις των τιμών μιας μεταβλητής με δεδομένη μια χρονοσειρά που χαρακτηρίζεται, εκτός από το οριζόντιο στοιχείο, και από εποχικές διακυμάνσεις, όχι όμως και τάση (ΜΟΝΤΕΛΟ 2), χρησιμοποιείται με ικανοποιητικά αποτελέσματα το μοντέλο της εποχικότητας. Το μοντέλο βασίζεται σε ένα δείκτη εποχικότητας I, που προκύπτει αν πάρουμε, για παράδειγμα, την πραγματική μηνιαία ζήτηση για ένα προϊόν και τη διαιρέσουμεμε την ετήσια μέση τιμή της μηνιαίας ζήτησης. Ο δείκτης εκφράζει πόσο πάνω ή κάτω από το μέσο όρο του έτους κινήθηκε η ζήτηση τον αντίστοιχο μήνα. Τιμές του δείκτη πάνω από τη μονάδα δηλώνουν έξαρση της ζήτησης, ενώ τιμές κάτω από τη μονάδα δηλώνουν, αντίστοιχα, μειωμένη ζήτηση. Διακυμάνσεις παρουσιάζονται όχι μόνο στο οριζόντιο στοιχείο από μήνα σε μήνα, αλλά και στο δείκτη εποχικότητας κάθε μήνα, από χρόνο σε χρόνο. Για τη διενέργεια προβλέψεων, επομένως, με βάση μια χρονοσειράθα πρέπει να γίνει εξομάλυνση των δεδομένων της χρονοσειράς και ως προς τα δύο αυτά στοιχεία.

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗ ΜΕ ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ Απλή εκθετική εξομάλυνση Οριζόντιο στοιχείο: Στοιχείο Εποχικότητας: = c + ( 1 c) S Πρόβλεψη: F = 1 S I και 1 F = S I I S α D I D ( 1 F = α α) + 1 D + F L ( 1 α) = + I L S 1 + L+ + m L+ m Διαδρομή υπολογισμού: S -1, Ι -L S I Απαιτείται αρχικοποίηση για S 0 (συνήθως Μ.Ο. όλων των εποχών)

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗ ΜΕ ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ S I D I D S = 0.2 + 0.8 12 = 0.1 + 0.9 I S 12 1 F = S I = S I + 1 12+ 1 11 24.60 S = + = 1 0.2 0.8 32 32.60 0.703 24.60 I = + = 1 0.1 0.9 0.703 0.708 32.60 F 2 = = 32.60 0.767 25.01

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗ ΜΕ ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ 55,00 50,00 45,00 40,00 35,00 30,00 25,00 D() S() F(+1) 20,00 15,00 10,00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΘΕΡΩΝ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗΣ Ο προσδιορισμός των κατάλληλων τιμών για τις σταθερές δεν επιτυγχάνεται εύκολα. Ο βέλτιστος συνδυασμός των τιμών αυτών των σταθερών μπορεί να αναζητηθεί χρησιμοποιώντας μεθόδους αναζήτησης με υπολογιστή, όμως αυτό προϋποθέτει την ύπαρξη ενός επαρκούς συνόλου δεδομένων, που δεν διατίθεται πάντα στην πράξη. Οι προβλέψεις επηρεάζονται και από τις αρχικές τιμές των διαφόρων μεταβλητών (S 0, T 0, Ι 0 ). Για αυτές τις αρχικές τιμές χρειάζονται, συνήθως, δεδομένα αρκετών περιόδων (π.χ. τριών χρόνων), ώστε να εξασφαλίζεται ικανοποιητική στάθμη εμπιστοσύνης. Το πρόβλημα αυτό τίθεται γενικότερα στις μεθόδους εκθετικής εξομάλυνσης, όταν χρησιμοποιούνται για πρώτη φορά, οπότε χρειαζόμαστε κάποιες αρχικές τιμές του οριζόντιου στοιχείου, του βήματος της τάσης, και των δεικτών εποχικότητας. Όταν δεν υπάρχουν διαθέσιμα δεδομένα από το παρελθόν θα πρέπει ή να περιμένουμε, μέχρις ότου αυτά να συγκεντρωθούν, ή να χρησιμοποιήσουμε την εμπειρία μας για να καθορίσουμε τις αρχικές τιμές. Η επίδραση των αρχικών τιμών στις προβλέψεις μειώνεται με την πάροδο του χρόνου ώσπου να γίνει ελάχιστη. Έχουν προταθεί προσαρμοστικές μέθοδοι, η βασική ιδέα των οποίων είναι η παρακολούθηση του σφάλματος πρόβλεψης. Όταν το σφάλμα πρόβλεψης είναι μεγάλο, προσαρμόζεται κατάλληλα η τιμή των σταθερών εξομάλυνσης, με βάση κάποιους κανόνες.

ΛΥΜΕΝΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ #1 Στον πίνακα καταγράφονται οι μηνιαίες πωλήσεις των προϊόντων μίας επιχείρησης (σε Μ ). 1. Με βάση τη μέθοδο του κινούμενου μέσου και για αριθμό περιόδων, για τις οποίες θα υπολογιστεί ο κινούμενος μέσος, ίσο με 4, να προβλεφθούν οι πωλήσεις των περιόδων από 13μέχρικαι18. 2. Να υπολογιστεί το μέσο σφάλμα και η μέση απόλυτη απόκλιση των προβλέψεων που προκύπτουν με την παραπάνω μέθοδο. Ποια από τα δυο αυτά σφάλματα θα χρησιμοποιούσατε για να κρίνετε την αποτελεσματικότητα της μεθόδου και γιατί; 3. Είναι η παραπάνω μέθοδος ικανοποιητική; Αν όχι, ποια μέθοδο θα επιλέγατε και γιατί; Μήνας Πωλήσεις 1 50 2 54 3 61 4 68 5 76 6 87 7 94 8 86 9 70 10 65 11 59 12 52 13 48 14 55 15 60 16 70 17 75 18 84

ΛΥΜΕΝΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ #1 Μήνας Πωλήσεις Πρόβλεψη Σφάλμα Σφάλμα 1 50 2 54 3 61 4 68 5 76 6 87 7 94 8 86 9 70 10 65 11 59 12 52 13 48 61,50-13,50 13,50 14 55 56,00-1,00 1,00 15 60 53,50 6,50 6,50 16 70 53,75 16,25 16,25 17 75 58,25 16,75 16,75 18 84 65,00 19,00 19,00 7,33 12,17 ΑΠ. 2: Από τα στοιχεία του πίνακα (στήλες σφάλμα και σφάλμα ) προκύπτει μέσο σφάλμα ίσο με 7.33 και μέσο απόλυτο σφάλμα ίσο με 12.166. Θα χρησιμοποιούσαμε και τα δυο σφάλματα γιατί δίνουν συμπληρωματική πληροφορία. ΑΠ. 3: Η μέθοδος του κινούμενου μέσου δεν είναι ικανοποιητική γιατί προκύπτουν μεγάλα σφάλματα, ενώ είναι σαφές από τα δεδομένα ότι υπάρχει εποχικότητα, άρα πρέπει να χρησιμοποιηθεί η αντίστοιχη μέθοδος εκθετικής εξομάλυνσης με εποχικότητα.

ΛΥΜΕΝΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ #1 100 Πωλήσεις 90 80 70 Πωλήσεις 60 50 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

ΛΥΜΕΝΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ #1 4. Αν η απάντησή σας στο προηγούμενο ερώτημα ήταν αρνητική, εφαρμόστε τη μέθοδο που επιλέξατε για να λύσετε το πρόβλημα του ερωτήματος 1, για τιμή σταθερής (-ών) εξομάλυνσης ίση με 0,2 και αρχική (-ές) τιμή (-ές) ίση (-ες) με την παλαιότερη διαθέσιμη πραγματική τιμή του αντίστοιχου μεγέθους. Επίσης, να γίνει επιλυθεί το πρόβλημα όταν ως αρχική τιμή θεωρηθεί η μέση τιμή του προηγούμενου έτους. 5. Να υπολογιστεί το μέσο σφάλμα και η μέση απόλυτη απόκλιση των προβλέψεων που προκύπτουν με την παραπάνω μέθοδο και στις δύο περιπτώσεις. 6. Τι συμπεράσματα βγάζετε από τη σύγκριση των παραπάνω δυο μεθόδων σχετικά με την αποτελεσματικότητά τους;

ΛΥΜΕΝΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ #1 Μήνας Πωλήσεις Δείκτης εποχικότητας I S F +1 Σφάλμα 1 50 0,730 2 54 0,788 3 61 0,891 4 68 0,993 5 76 1,109 6 87 1,270 7 94 1,372 8 86 1,255 9 70 1,022 10 65 0,949 11 59 0,861 12 52 0,759 50,000 36,496 11,504 13 48 0,765 53,152 41,901 13,099 14 55 0,825 56,475 50,292 9,708 15 60 0,917 58,656 58,228 11,772 16 70 1,024 61,027 67,709 7,291 17 75 1,128 62,342 79,179 4,821 18 84 1,282 63,101 86,591 MO(12) 68,5 9,699 a 0,2 c 0,2 S I D I D S = a + (1 a) L I S = c + (1 c) L F = 1 S + L+ 1 I 1

ΛΥΜΕΝΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ #1 Δείκτης Μήνας Πωλήσεις εποχικότητας I S F +1 Σφάλμα Σφάλμα 1 50 0,730 2 54 0,788 3 61 0,891 4 68 0,993 5 76 1,109 6 87 1,270 7 94 1,372 8 86 1,255 9 70 1,022 10 65 0,949 11 59 0,861 12 52 0,759 68,500 50,000-2,000 2,000 13 48 0,725 67,952 53,568 1,432 1,432 14 55 0,792 68,315 60,836-0,836 0,836 15 60 0,889 68,128 67,630 2,370 2,370 16 70 0,998 68,605 76,117-1,117 1,117 17 75 1,107 68,404 86,878-2,878 2,878 18 84 1,263 67,951 93,246 MO(12) 68,5-0,505 1,772 a 0,2 c 0,2 S I D I D S = a + (1 a) L I S = c + (1 c) L F = 1 S + L+ 1 I 1

ΛΥΜΕΝΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ #1 100 90 80 70 60 50 Πωλήσεις MA(4) F (A) F (B) 40 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

ΛΥΜΕΝΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ #1 4. Η µέση τιµή της µηνιαίαςζήτησηςγια τους µήνες από 1 µέχρι 12 είναι 68.5. Για τους µήνες αυτούς προκύπτουν οι δείκτες εποχικότητας I που δίνονται στον πίνακα. Αντίστοιχα προκύπτουν για τους επόµενους µήνες οι τιµές των προβλέψεων S, I και F (έχει ληφθεί πρόβλεψη για τη βάση του µήνα 12 S 12 = 50 στην πρώτηπερίπτωσηκαι S 12 = 68.5στηδεύτερη). 5. Στην πρώτη περίπτωση το µέσο σφάλµα και το µέσο απόλυτο σφάλµα προκύπτουν ίσα µε 9.699, τα οποία θεωρούνται σηµαντικά και υποδεικνύουν υποεκτίµηση. Αυτό οφείλεται στη χαµηλή αρχική τιµή του S 12. Στη δεύτερη περίπτωση το µέσο σφάλµα προκύπτει ίσο µε -0.505 και το µέσο απόλυτο σφάλµα ίσο µε 1.772. Τα σφάλµατα αυτά είναι ιδιαίτερα χαµηλά και οφείλονται στησωστήαρχικήτιµήτου S 12. 6. Από τη σύγκριση των αντίστοιχων σφαλµάτων είναι σαφές ότι υπερτερεί κατά πολύ η µέθοδος της εκθετικής εξοµάλυνσης µε εποχικότητα έναντι του κινούµενου µέσο, εφόσον βεβαίως δοθεί σωστή αρχική εκτίµηση.

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η συσχέτιση (correlaion) εξετάζει εάν υπάρχει σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών και εφόσον υπάρχει, σε τι έκταση Η παλινδρόμηση (regression) θεσπίζει την κατάλληλη σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών Ο συντελεστής συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών X και Y ορίζεται ως: r = ( X X)( Y Y) ( ) ( ) 1 N ( X X)( Y Y) 2 2 X X Y Y σ Xσ Y ή

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Θετική συσχέτιση, r>0 Αρνητική συσχέτιση, r<0 D() D() Χωρίς συσχέτιση Μεταβλητή συσχέτιση D() D()

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ ΕΤΗ Χ Υ Χ-μ Χ Υ-μ Υ (Χ-μ Χ ) 2 (Υ-μ Υ ) 2 (Χ-μ Χ )(Υ-μ Υ ) 1 50 700 21 274 441 75.076 5.754 2 50 650 21 224 441 50.176 4.704 3 50 600 21 174 441 30.276 3.654 4 40 500 11 74 121 5.476 814 5 30 450 1 24 1 576 24 6 20 400-9 -26 81 676 234 7 20 300-9 -126 81 15.876 1.134 8 15 250-14 -176 196 30.976 2.464 9 10 210-19 -216 361 46.656 4.104 10 5 200-24 -226 576 51.076 5.424 Σύνολο 290 4.260 0 0 2.740 306.840 28.310 X: Διαφημιστική δαπάνη Υ: Πωλήσεις μ Χ 29 r 0,976 μ Υ 426 r 2 0,953 Στο Excel μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση CORREL

ΤΙ ΕIΝΑΙ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ; Ο προσδιορισμός του πώς μία εξαρτώμενη μεταβλητή (Υ) σχετίζεται με μία ή περισσότερες ανεξάρτητες μεταβλητές (Χ) Ως κριτήριο καλύτερης προσαρμογής είναι η ελαχιστοποίηση κάποιου στατιστικού δείκτη (ΜΣ, ΜΑΑ, ΜΤΣ, κλπ.). Το προτιμώμενο κριτήριο είναι η ελαχιστοποίηση του ΜΤΣ ή του αθροιστικού ΤΑ. Υ Θετικό σφάλμα Υ=f(X) Αρνητικό σφάλμα Χ

D() ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γραμμική: D * =a+b ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ D() Κυκλική: D * =a+ucos(2π/ν)+vsin(2π/n) Κυκλικήμε αύξηση: D * =a+b+ucos(2π/ν)+vsin(2π/n) Τετραγωνική: D * =a+b+c 2 D() D() Όλες οι παράμετροι υπολογίζονται με ελαχιστοποίηση του συνολικού τετραγωνικού σφάλματος

ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ Στην ανάλυση συσχέτισης ή παλινδρόμησης χρησιμοποιείται μια εξίσωση συσχέτισης ή παλινδρόμησης που εκφράζει την εξαρτημένη μεταβλητή συναρτήσει των ανεξάρτητων μεταβλητών. Αν η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι μία, η σχέση μεταξύ των δύο βρίσκεται χρησιμοποιώντας την ανάλυση απλής παλινδρόμησης, ενώ όταν είναι περισσότερες χρησιμοποιείται η πολλαπλή παλινδρόμηση. Βασίζεται στην υπόθεση ότι η προς πρόβλεψη μεταβλητή εξαρτάται από μία ανεξάρτητη μεταβλητή με γραμμική σχέση της μορφής Υ = α+βχ. Μια σχέση που δεν είναι γραμμική είναι δυνατό να μπορεί να μελετηθεί με την ανάλυση παλινδρόμησης, με κατάλληλο μετασχηματισμό. Παράδειγμα: Υ = α + β/χ -> Υ = α + βζ Υ = α + Χ β -> logy= loga+ βlogx

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Έστω ένα σύνολο nζευγών δεδομένων (Χ 1,Υ 1 ), (X 2,Y 2 ),...,(X n,y n ) για τις τιμές των δύο μεταβλητών Χ και Υ. Θα μπορούσε να προσδιοριστεί μια ευθεία, που θα εξέφραζε μια γραμμική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών, σε σχέση με την οποία οι αποκλίσεις των σημείων θα ήταν ελάχιστες, δηλαδή ένα «ιδανικό» θεωρητικό πρότυπο. Η εύρεση της ευθείας μπορεί να γίνει με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Μια ιδιότητα της ευθείας που προκύπτει με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων είναι ότι το άθροισμα των αποκλίσεων από την ευθεία ισούται με μηδέν, δηλαδή το άθροισμα των θετικών αποκλίσεων ισούται με το άθροισμα των αρνητικών αποκλίσεων. Η πρόβλεψη της τιμής της εξαρτημένης μεταβλητής Υ 0, όταν γνωρίζουμε (ή προβλέπουμε) ότι η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής θα είναι ίση με Χ 0, θα προκύπτει από την παραπάνω σχέση, αν αντικαθιστούμε το Χμε Χ 0 και υπολογίζουμε την αντίστοιχη τιμή Υ 0 του Υ. Στην πράξη είναι πιθανό η πραγματική τιμή της Υ να αποδειχθεί διαφορετική από την προβλεπόμενη. Η απόκλιση της προβλεπόμενης από την πραγματική τιμή θα είναι τόσο μεγαλύτερη όσο μεγαλύτερη είναι η διασπορά των σημείων που αντιστοιχούν στα ζεύγη (X i,y i ) σε σχέση με την ευθεία Υ= α+βχ.

ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΡΑΜΜΗΣ F()=a+b είναι η εξίσωση της ευθείας που θα προσαρμοσθεί F() είναι η προσαρμοσμένη συνάρτηση την περίοδο D() είναι η πραγματική ζήτηση την περίοδο Υπάρχουν διαθέσιμα προηγούμενα δεδομένα για n περιόδους Οι παράμετροι a και b πρέπει να υπολογισθούν από τα δεδομένα χρησιμοποιώντας το κριτήριο ελαχιστοποίησης του αθροίσματος των τετραγώνων των σφαλμάτων

N ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ( ) ( ) ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ 2 N 2 D F D SSE= = a b = 1 = 1 N n n d( SSE) = 2 ( a b) ( 1) 0 n a b da D = + = = 1 = 1 = 1 N n n n d( SSE) 2 = 2 ( a b ) ( ) 0 a b db D = + = = 1 = 1 = 1 = 1 D D D 2 2 D D D 2 2 n n ( ) 2 n D D D D D ( ) 2 a= = = = b D n n µ µ b= = = D 2 2 2 2 n n n µ µ µ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ Μήνας i Ζήτηση (Di) i D i i 2 Jan 1 199 199 1 Feb 2 202 404 4 Mar 3 199 597 9 Apr 4 208 832 16 May 5 212 1060 25 Jun 6 194 1164 36 Jul 7 214 1498 49 Aug 8 220 1760 64 Sep 9 219 1971 81 Oc 10 234 2340 100 Nov 11 219 2409 121 Dec 12 233 2796 144 SUM 78 2.553 17.030 650 MEAN 7 213 ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ a 192,95 b 3,05 F =193+3

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ Μήνας Ζήτηση Γραμμική παλινδρόμηση Jan 199 196 Feb 202 199 Mar 199 202 Apr 208 205 May 212 208 Jun 194 211 Jul 214 214 Aug 220 217 Sep 219 220 Oc 234 223 Nov 219 226 Dec 233 229 232 r=0,8439

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ D =πραγματική ζήτηση την περίοδο F =πρόβλεψη για την περίοδο N= πλήθος δεδομένων N 1 Τυπικό σφάλμα εκτίμησης: N f D F 1 ( ) 2 σ = = 7.32 f=αριθμός χαμένων βαθμών ελευθερίας (για γραμμική παλινδρόμηση f=2 καθότι προσδιορίζουμε δύο παραμέτρους, a και b) Μοντέλο πρόβλεψης: F =193+3 Βεβαιότητα 95% για την πρόβλεψη του επόμενου Ιανουαρίου: 232±14,6 (δηλαδή, ±2σ) Η ζήτηση θα είναι μεταξύ 218 και 246 με βεβαιότητα 95%

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ Γραμμική Παλινδρόμηση Ζήτηση 240 235 230 225 220 215 210 205 200 195 190 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Ζήτηση 199 202 199 208 212 194 214 220 219 234 219 233 Regression 196 199 202 205 208 211 214 217 220 223 226 229 232

ΛΥΜΕΝΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ #2 Μία τσιμεντοβιομηχανία έχει ένα εργοστάσιο με μέγιστη δυνατότητα παραγωγής 160 εκατομμύρια τόνους ετησίως. Από τα προηγούμενα έτη, οι τιμές των τριμηνιαίων δεικτών εποχικότητας είναι οι ακόλουθες: I 1 =0.85 I 2 =1.05 I 3 =1.2 I 4 =0.9 Η διοίκηση πιστεύει ότι οι πωλήσεις αυξάνονται κατά ένα σταθερό ποσό ετησίως. Ένα γραμμικό μοντέλο ανάλυσης παλινδρόμησης που αναπτύχθηκε για την πρόβλεψη των πωλήσεων είναι το ακόλουθο: Y=a+bX=127.35+4.68Χ όπου Y: η πρόβλεψη ετήσιων πωλήσεων σε εκατομμύρια τόνους Χ: το έτος για το οποίο προβλέπονται οι πωλήσεις. Το έτος εκκίνησης είναι το 2007. 1. Χρησιμοποιώντας την ευθεία παλινδρόμησης να εξαχθεί πρόβλεψη για τις πωλήσεις το έτος 2011. 2. Χρησιμοποιώντας τις τιμές των δεικτών εποχικότητας υπολογίστε μία πρόβλεψη για κάθε τρίμηνο του 2011.

ΛΥΜΕΝΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ #2 1. Τοέτος2011είναιτο5 ο έτοςτηςανάλυσης(2007,8,9,10και11). Επομένως, στην εξίσωση παλινδρόμησης πρέπει να θέσουμε Χ=5. Τότε: Υ 2011 =127.35+4.68x5=150.75 Mons 2. Για να υπολογισθούν οι προβλέψεις για κάθε τρίμηνο του 2011, θα χρησιμοποιηθεί ως βάση η μέση πρόβλεψη για κάθε τρίμηνο του 2011 και θα πολλαπλασιαστεί με τους αντίστοιχους συντελεστές εποχικότητας. Έτσι: Υ 2011,1 =0.85x150.75/4=32.03 Mons Υ 2011,2 =1.05x150.75/4=39.57 Mons Υ 2011,3 =1.2x150.75/4=45.23 Mons Υ 2011,4 =0.9x150.75/4=33.92 Mons

ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ Ένα μέτρο του μεγέθους της διασποράς των σημείων γύρω από την ευθεία, κατά συνέπεια και της αξιοπιστίας της πρόβλεψης που γίνεται με βάση αυτή, μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας το τυπικό σφάλμα συσχέτισης ΤΣΣ. Αν τα σημεία είναι διεσπαρμένα κατά τυχαίο τρόπο γύρω από την ευθεία παλινδρόμησης, τότε κατά προσέγγιση τα 2/3 των σημείων θα βρίσκονται μέσα σε μια ζώνη πλάτους ίσου με 2*ΤΣΣ. Ο συντελεστής συσχέτισης rμετράει το βαθμό της σχέσης που υπάρχει μεταξύ των δύο μεταβλητών και οι τιμές του κυμαίνονται μεταξύ 1 και +1. Όταν r 0 τόσο μικρότερη είναι η συσχέτιση των δύο μεταβλητών. Εάν r= +1 (θετική συσχέτιση) ή r= 1(αρνητική συσχέτιση) οι μεταβλητές έχουν απόλυτη συσχέτιση. Στην πρώτη περίπτωση, όταν αυξάνεται η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής, αυξάνεται αντίστοιχα η τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής. Το αντίθετο συμβαίνει στη δεύτερη περίπτωση. Η γραμμικότητα της σχέσης, δηλαδή ο βαθμός στον οποίο ισχύει η υπόθεση ότι υπάρχει μια σχέση μεταξύ Υ και Χ που είναι γραμμική, μετριέται με το συντελεστή προσδιορισμού r 2. Ο συντελεστής προσδιορισμού παίρνει τιμές μεταξύ 0 και 1 και αποτελεί μέτρο της καταλληλότητας χρήσης της γραμμικής σχέσης που προκύπτει με βάση τα παραπάνω. Δίνει το ποσοστό της συνολικής απόκλισης που εξηγείται από την ευθεία συσχέτισης. Αν η απόκλιση μεταξύ των πραγματικών τιμών του Υ και των αντίστοιχων εκτιμήσεων ήταν 0, τότε θα πρόκυπτε r 2 = 1. Αν, αντίθετα, ο συντελεστής προσδιορισμού έχει τιμή κοντά στο 0, τότε η ευθεία συσχέτισης Υ = α + βχεξηγεί ελάχιστα τις αποκλίσεις, δηλαδή η ευθεία (και η αντίστοιχη γραμμική σχέση που αυτή εκφράζει) είναι ακατάλληλη για να εξηγήσει τη σχέση που συνδέει τις δύο μεταβλητές.

ΑΙΤΙΟΚΡΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Η ζήτηση σχετίζεται με αιτιατές (ή αιτιοκρατικές-causal) μεταβλητές. Η ζήτηση για ελαστικά, π.χ., μπορεί να μοντελοποιηθεί ως συνάρτηση της παραγωγής νέων αυτοκινήτων, των αντικαταστάσεων παλαιών, της κυβερνητικής πολιτικής για αυτοκίνητα, κλπ), ως D =αp +βp -5 +γ, όπου α, β, γ παράμετροι που προκύπτουν από μοντέλο παλινδρόμησης. Για να είναι χρήσιμο ένα αιτιοκρατικό μοντέλο, θα πρέπει οι μεταβλητές του να είναι προηγούμενες των προβλέψεων και να παρουσιάζουν ισχυρή συσχέτιση με την κύρια μεταβλητή ενδιαφέροντος. Δυο τύποι αιτιοκρατικών μοντέλων, η ανάλυση συσχέτισης ή παλινδρόμησης και οι οικονομετρικές μέθοδοι, χρησιμοποιούνται συχνά στην πράξη. Οι οικονομετρικές μέθοδοι αποτελούν επέκταση της ανάλυσης παλινδρόμησης και περιλαμβάνουν ένα σύστημα εξισώσεων παλινδρόμησης, π.χ.: Πωλήσεις Κόστος παραγωγής Έξοδα πωλήσεων Τιμή πωλήσεων = f 1 (ΑΕΠ, τιμή πωλήσεων, διαφήμιση) = f 2 (επίπεδα παραγωγής και αποθεμάτων) = f 3 (διαφήμιση, άλλα έξοδα πωλήσεων) = f 4 (κόστος και έξοδα πωλήσεων)

ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ Οι χρονοσειρές αναλύονται σύμφωνα με: Τάση Εποχικότητα Κυκλικότητα Τυχαιότητα και αναπτύσσεται η πρόβλεψη από τη σύνθεση αυτών των συνιστωσών

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ Υπάρχουν διάφορες προσεγγίσεις: Auoregressive (AR) τάξης p Moving Average (MA) τάξης q ARMA τάξης (p,q) ARIMA τάξης (p,q) Οι προσεγγίσεις αυτές χρησιμοποιούνται για προσαρμογή με το πλέον κατάλληλο μοντέλο Τα μοντέλα αυτά είναι ακριβή για βραχυπρόθεσμες προβλέψεις, αν και αρκετά δύσκολα στην ανάπτυξή τους

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ Διάγραμμα κινούμενου εύρους (moving range) για τον έλεγχο των προβλέψεων: F -D ( ) ( ) MR= F D F D 1 1 MR= 1 N 1 MR UCL=+ 2,66 MR, LCL= 2,66MR UCL LCL

ΣΥΝΟΨΗ Εξηγήθηκε η σημασία των προβλέψεων στον προγραμματισμό Παρουσιάστηκαν μέθοδοι πρόβλεψης Υποκειμενικές μέθοδοι όπως δημοσκοπήσεις και Delphi Κινούμενοι μέσοι και εκθετική εξομάλυνση Προεκβολή τάσεων με παλινδρόμηση Αιτιοκρατικά μοντέλα Ανάλυση χρονοσειρών Παρουσιάστηκε η μέθοδος ελέγχου των προβλέψεων

Άσκηση 3 Ένας χρηματιστηριακός αναλυτής ενδιαφέρεται για την σχέση που υπάρχει ανάμεσα στην επί τοις εκατό μέση μηνιαία απόδοση μιας μετοχής (Υ) και την αντίστοιχη απόδοση του Γενικού Δείκτη Τιμών του Χρηματιστηρίου (Χ). Για τον σκοπό αυτό συνέλεξε τα μηνιαία στοιχεία που συνοψίζονται στον επόμενο Πίνακα: Μήνας 1 2 3 4 5 Χ (%) -2-3 0 1 1 Υ (%) -1 0 0 1-1 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ 77

Άσκηση 3 Με βάση τα παραπάνω στοιχεία και αν επιπλέον υποθέτουμε ότι οι μεταβλητές X και Y συνδέονται με γραμμική σχέση να εκτιμηθεί: α) Η ευθεία παλινδρόμησης της Υ πάνω στη Χ. β) Ο συντελεστής συσχέτισης και να ερμηνευτεί. γ) Ο συντελεστής προσδιορισμού και να ερμηνευτεί. δ) Η απόδοση της συγκεκριμένης μετοχής αν είναι γνωστό ότι ο Γενικός Δείκτης Τιμών έχει απόδοση 1%. ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ 78

Άσκηση 3 2 2 X Y X i i i Y i X i -2-1 4 1 2-3 0 9 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1-1 1 1-1 -3-1 15 3 2 ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ Y i 3 X = = 0. 6 5 1 Y = = 0. 2 5 2 ( X ) ( 3) 2 i 2 S X X = X i - = 1 5 - = 1 5-1. 8 = 1 3. 2 n 5 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ 79

α)η ευθεία παλινδρόμησης της Υ πάνω στη Χ είναι η Y = α + β X Άσκηση 3 ( Y ) i ( ) 2 2 2 1 S Y Y = Y i - = 3 - = 3-0. 2 = 2. 8 n 5 ( X i)( Yi) (- 3) *(-1) S X Y = S YX = X iyi - = 2 - = 2-0. 6 = 1. 4 n 5 S X Y 1. 4 a = Y - * X = (- 0. 2) - * (- 0. 6) a = - 0. 1 3 6 S X X 1 3. 2 S X Y 1. 4 β = = β = 0. 1 0 6 S 1 3. 2 Άρα, X X Y = 0. 1 3 6 + 0. 1 0 6 X ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ 80

β) Ο συντελεστής συσχέτισης είναι: S X Y 1. 4 1. 4 1. 4 r = = = = = 0. 2 3 S * S 1 3. 2 * 2. 8 3 6. 9 6 6. 0 8 X X Y Y Άσκηση 3 Άρα συμπεραίνουμε ότι υπάρχει ασθενής θετική συσχέτιση μεταξύ της μηνιαίας απόδοσης της μετοχής της εταιρείας και της αντίστοιχης απόδοσης του Γενικού Δείκτη Τιμών του Χρηματιστηρίου. γ) Ο συντελεστής προσδιορισμού είναι: 2 S X Y 1. 4 R = β * = 0. 1 0 6 * = 0. 1 0 6 * 0. 5 = 0. 0 5 3 S Y Y 2. 8 Άρα συμπεραίνουμε ότι η μεταβολή του Γενικού Δείκτη Τιμών ερμηνεύει το 5.3% της μεταβλητότητας της μέσης μηνιαίας απόδοσης της συγκεκριμένης μετοχής. ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ 81

Άσκηση 3 δ)η ευθεία παλινδρόμησης είναι η: Για Χ = 1 έχουμε Y = 0. 136+ 0. 106 X Y = 0. 136+ 0. 106* 1= 0. 136+ 0. 106= 0. 03 Άρα, σύμφωνα με το μοντέλο αυτό, όταν ο Γενικός Δείκτης Τιμών του Χρηματιστηρίου έχει απόδοση 1% η αντίστοιχη απόδοση της συγκεκριμένης μετοχής είναι -0.03%. ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ 82