ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΓΑΠΗΤΟΣ Ν. ΧΑΤΖΗΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΓΑΠΗΤΟΣ Ν. ΧΑΤΖΗΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 2008

2

Περιεχόμενα 1 ΟΔιανυσματικόςΧώρος R 3 11 1.1 ΗΓεωμετρίατουΕυκλείδιουΧώρου... 11 1.2 ΕσωτερικόκαιΔιανυσματικόΓινόμενο... 13 1.3 ΣυστήματαΣυντεταγμένων.... 19 1.4 Βαθμωτά,ΔιανυσματικάκαιΤανυστικάΜεγέθη... 23 2 Παραγώγιση 25 2.1 ΗΓεωμετρίατωνΠραγματικώνΣυναρτήσεων... 25 2.2 ΟριακαιΣυνέχεια... 25 2.3 Παραγώγιση... 27 2.4 ΚλίσηκαιΠαράγωγοικατάΚατεύθυνση..... 28 3 Διανυσματικές Συναρτήσεις 29 3.1 Καμπύλες,ΜήκοςΤόξου,ΔιανυσματικόΠεδίο.... 29 3.2 ΣτροβιλισμόςκαιΑπόκλισηΔιανυσματικούΠεδίου.... 31 4 Ολοκλήρωση 33 4.1 ΕπικαμπύλιαΟλοκληρώματα... 33 4.2 ΕπιφανειακάΟλοκληρώματα... 37 4.3 ΤαΟλοκληρωτικάΘεωρήματατηςΔιανυσματικήςΑνάλυσης... 42 4.4 Συντηρητικάπεδία.... 45 5 Το Κινούμενο Τρίεδρο-Οι Τύποι του F renet 49 6 Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 53 7 Κωνικές Τομές 57 8 Βασικές Εννοιες 63 8.1 ΜονάδεςΜήκους,Μάζας,ΧρόνουκαιΜολ.... 63 8.2 ΑνάλυσηΔιαστάσεων... 63 8.3 ΣημαντικάΨηφία.... 64 8.4 ΧώροςκαιΧρόνος... 65 9 ΚίνησησεμιακαιδύοΔιαστάσεις 67 9.1 ΤαχύτητακαιΕπιτάχυνσησεμίαΔιάσταση.... 67 9.2 ΟμαλάΕπιταχυνόμενηΚίνηση.... 69 9.3 ΤαχύτητακαιΕπιτάχυνσησεδύοΔιαστάσεις... 70 9.4 ΣχετικήΤαχύτητακαιΕπιτάχυνσηστηΜεταφορικήΚίνηση.... 74 10 Οι Νόμοι της Κίνησης 77 10.1 Η ΕννοιατηςΔύναμης... 77 10.2 ΟιΝόμοιτουΝεύτωνα... 78 10.3 ΚίνησησεΕπιταχυνόμεναΣυστήματαΑναφοράς... 82 10.4 ΚίνησημετηνΠαρουσίαΔυνάμεωνπουΑντιστέκονταιστηνΚίνηση.... 83 10.5 ΟιΘεμελειώδειςΔυνάμειςτηςΦύσης.... 85 3

4 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ 11 Δυναμική Ενέργεια και Διατήρηση Ενέργειας 87 11.1 Εργο.... 87 11.2 Διατηρητικές(ήΣυντηρητικές)καιμηΔιατηρητικέςΔυνάμεις... 88 11.3 ΔιατήρησητηςΜηχανικήςΕνέργειας.... 91 11.4 ΚεντρικέςΔυνάμεις... 93 11.5 ΜελέτηΚαμπύληςΔυναμικήςΕνέργειας..... 97 12 Ταλαντώσεις 101 12.1 ΟΑρμονικόςΤαλαντωτής....101 12.2 ΟΑποσβενόμενοςΑρμονικόςΤαλαντωτής....104 12.3 ΟΕξαναγκασμένοςΑρμονικόςΤαλαντωτής....106 12.4 ΤοΑπλόΕκκρεμές...109 12.5 ΤοΦυσικόΕκκρεμές....111 13 Μελέτη Κίνησης σε Κεντρικό Δυναμικό 113 14 Η Βαρυντική Ελξη 119 14.1 ΟιΝόμοιτου Kepler...119 14.2 ΤοΒαρυντικόΔυναμικό.....121 15 Η Μηχανική Συστήματος Σωμάτων 127 15.1 ΚέντροΜάζας....128 15.2 Στροφορμή,ΡοπήκαιΕνέργειαΣυστήματοςΣωμάτων.....132 15.3 ΜετασχηματισμόςτηςΣτροφορμήςκαιτηςΚινητικήςΕνέργειαςστοΚ.Μ...134 16 Περιστροφή Στερεού Σώματος Γύρω από Σταθερό Άξονα 137 16.1 ΣχέσειςΑνάμεσασεΓωνιακέςκαιΓραμμικέςΠοσότητες...138 16.2 ΚινητικήΕνέργειαΠεριστροφής...138 16.3 Ροπή....140 16.4 ΣχέσηΑνάμεσαστηΡοπήκαιστηΓωνιακήΕπιτάχυνση....141 16.5 ΤοΘεώρημα Εργου-ΕνέργειαςγιατηνΠεριστροφικήΚίνηση....143 17 Κύλιση και Στροφορμή 145 17.1 ΚύλισηΣτερεούΣώματος....145 17.2 ΣτροφορμήΣυστήματοςΣωμάτων....148 18 Μηχανική των Ρευστών 151 18.1 Καταστάσειςτης Υλης...151 18.2 ΜεταβολήτηςΠίεσηςΣυναρτήσειτουΒάθους....151 18.3 ΗΆνωσηκαιηΑρχήτουΑρχιμήδη...153 18.4 ΔυναμικήτωνΡευστών...154 18.5 ΗΕξίσωσητου Bernoulli....155 19 Σχετικότητα 159 19.1 ΗΑρχήτηςΣχετικότητας....159 19.2 ΣυγχρονισμόςΡολογιώνκαιΤαυτόχροναΓεγονότα...160 19.3 ΗΣχετικότητατουΧρόνου...161 19.4 ΗΣχετικότητατουΜήκους...162 19.5 ΟΜετασχηματισμόςτου Lorentz....163 19.6 ΟΜετασχηματισμόςΤαχυτήτωντου Lorentz....165 19.7 ΗΣχετικιστικήΟρμήκαιΕνέργεια...166

Κατάλογος Σχημάτων 1.1 Γεωμετρικήκατασκευήτουαθροίσματοςδύοδιανυσμάτων... 13 1.2 Γεωμετρική κατασκευή του πολλαπλασιασμού διανύσματος με θετικό πραγματικό αριθμό..... 13 1.3 Τοεμβαδόντουπαραλληλογράμμουμεπλευρές u, vισούταιμετομήκοςτουδιανύσματος u v... 17 1.4 Οόγκοςτουπαραλληλεππιπέδουισούταιμετοβαθμωτότριπλόγινόμενοτωνπλευρώντου... 18 1.5 Οισφαιρικέςσυντετγμένες (r,θ,φ).... 20 3.1 Οι γραμμές ροής του πρώτου διανυσματικού πεδίου είναι ομόκεντροι κύκλοι με αρχή που ταυτίζεται μετηναρχήτουσυστήματοςσυντεταγμένων... 30 3.2 Το δεύτερο διανυσματικό πεδίο έχει γραμμές ροής που παριστάνονται από μια οικογένεια υπερβολών. 31 3.3 Το τρίτο διανυσματικό πεδίο έχει γραμμές ροής που παριστάνονται από μια οικογένεια παραβολών.. 31 4.1 Τογράφηματηςσυνάρτησης f(x,y)..... 34 4.2 Ηκαμπύλη C = C 1 C 2...... 35 4.3 Πόσοέργοδαπανάηποδηλάτισσαγιαναανέβειτοβουνόαυτό;.... 36 4.4 Ηεπιφάνεια(4.32)παριστάνειέναελικοειδές... 39 4.5 Ηεπιφάνειαπουαποκόπτειοκώνοςαπότηνμοναδιαίασφαίρα..... 40 4.6 Οκόλουροςκώνος.... 40 4.7 Οκόλουροςκώνοςότανανοιχτείκατάμήκοςτηςγεννέτηράςτουστοεπίπεδο... 41 4.8 Τοδιανυσματικόπεδίοτωνκλίσεωντηςθερμοκρασίας...... 42 4.9 Τοχωρίο Dείναιδακτύλιοςεσωτερικήςακτίνας 2καιεξωτερικής 4..... 42 4.10 Ητομήτουκυλίνδρουμετοεπίπεδο..... 44 4.11 Ηκατάτμήματακλάσεως C 1 καμπύλη C 1 C 2 C 2... 46 5.1 Τοκινούμενοτρίεδροτου Frenet..... 49 5.2 Τομοναδιαίοεφαπτόμενοκαιτοπρώτοκάθετογιατονκύκλο..... 52 7.1 Οκύκλος.... 57 7.2 Ηέλλειψη... 57 7.3 Ηπαραβολή...... 58 7.4 Ηυπερβολή... 58 7.5 Ηεστίακαιηδιευθετούσατηςπαραβολής..... 59 7.6 Οιεστίεςτηςέλλειψης... 59 7.7 Οιεστίεςκαιοιασύμπτωτεςτηςυπερβολής.... 61 9.1 Γραφική παράσταση θέσης- χρόνου για σώμα που κινείται στον άξονα x. Η κλίση του ευθύγραμμου τμήματος PQείναιημέσηταχύτητα vπουαντιστοιχείστοχρονικόδιάστημα t.... 67 9.2 Τοβλήμαπρινκαιμετάτηνκρούσητουμετηνσανίδα...... 68 9.3 Ηπαραβολικήτροχιάενόςβλήματοςπουεκτοξεύεταιμεταχύτητα v 0..... 72 9.4 Κίνησηυλικούσημείουσεκυκλικήτροχιάαπότηνθέση Pστηθέση Q..... 74 9.5 Δύο παρατηρητές περιγράφουν την κίνηση ένός σώματος που κάποια δεδομενή χρονική στιγμή βρίσκεταιστοσημείοp.τασυστήματααναφοράςs 1 καιs 2,ωςπροςταοποίαηρεμούνοιπαρατηρητές, κινούνταιμεσταθερήσχετικήταχύτητα u. Ηεπιβατικήακτίνατουσημείου P ωςπροςτο S 1 είναι r 1 ενώωςπροςτο S 2 είναι r 2..... 75 9.6 Κίνησηβάρκαςσεποταμό..... 75 10.1 Σύστημαδύομαζώνπουσυνδέονταιμενήματακαιβρίσκεταισεισορροπία... 78 5

6 ΚΑΤ ΑΛΟΓΟΣΣΧΗΜ ΑΤΩΝ 10.2 Οιδυνάμειςπουασκούνταισεσώμαπουηρεμείπάνωσετραπέζι.... 79 10.3 Οι δυνάμεις που ασκούνται σε τρία σώματα διαφορετικής μάζας που βρίσκονται σε επαφή και κινούνται υπότηνεπίδρασησταθερήςδύναμηςσεοριζόντιοεπίπεδο... 80 10.4 Ηδύναμητριβήςανάμεσασεένασώμακαιμιατραχιάεπιφάνεια..... 81 10.5 Δυνάμεις που ασκούνται σε σώμα που κινείται ολισθαίνοντας σε περιστρεφόμενο ημισφαίριο ακτίνας R.... 82 10.6 Οιδυνάμειςπουασκούνταισεχάντραπουπεριστρέφεταιμαζίμετηνστεφάνη... 83 10.7 Οιδυνάμειςπουασκούνταισεσώμαπουκινείταισερευστόπουηρεμεί... 84 11.1 Απλή,κλειστήκαιπροσανατολισμένηκαμπύλη..... 88 11.2 Οιαπλέςκαιαντίθεταπροσανατολισμένεςκαμπύλες C 1 και C 2 ενώνουντασημεία Qκαι P..... 89 11.3 Καμπύλεςολοκλήρωσηςπουσυνδέουντασημεία Aκαι B... 90 11.4 Ητροχιάπουακολουθείτοβαγόνι.... 92 11.5 Ητροχιάπουακολουθείτοσώμα..... 93 11.6 Ηελλειπτικήτροχιάπουδιαγραφείτοκινούμενοσώμα...... 95 11.7 Η καμπύλη δυναμικής ενέργειας και ενεργειακές στάθμες για τις οποίες η κίνηση του σωματίου είναι φραγμένηήμηφραγμένη...... 97 11.8 Ηδυναμικήενέργειασασυνάρτησειτηςαπόστασηςγιαδιατομικόμόριο..... 99 12.1 Ηαπλήαρμονικήταλάντωσησώματοςπουπροσδένεταιστοάκροοριζόντιουελατηρίου....101 12.2 Οικαμπύλεςδυναμικήςκαικινητικήςενέργειαςγιατοναπλόαρμονικόταλαντωτή.....103 12.3 Ηενσειράκαι παράλληλη συνδεσμολογίαελατηρίωνμεσώμαμάζας m.....103 12.4 Ημετατόπισητουσώματοςσανσυνάρτησητουχρόνουότανστοσώμαασκείταιηδύναμητης αντίστασηςτουμέσου....105 12.5 Οιδυνάμειςπουασκούνταισεσώμαπουταλαντώνεταισερευστόμεγάλουιξώδους...105 12.6 Ηγραφικήπαράστασητηςτροχιάςτουσώματος....108 12.7 Τοαπλόεκκρεμές....109 12.8 Τοσύστημαεκκρεμές-ελατήριοτοοποίοταλαντώνεται.....110 12.9 Τοφυσικόεκκρεμέςπεριστρέφεταιγύρωαπότοσημείο Oπουδενταυτίζεταιμετοκέντρομάζας τουστερεούσώματος....111 13.1 Ηέλλειψημετημιαεστίατηςκαιτηνδιευθετούσα....115 13.2 Η κόκκινη καμπύλη αναπαριστά την τροχιά του σώματος. Από το πεδίο ορισμού της γωνίας θ αφαιρούμεταδιαστήματα ( π 4, 3π 4 )και (5π 4, 7π 4 )σταοποίατοσυνημίτονολαμβάνειαρνητικέςτιμές..116 14.1 Υπολογισμόςτηςέντασηςτουβαρυντικούπεδίουπουοφείλεταισεομογενήράβδο....122 14.2 Η βαρυντική δύναμη που ασκείται από ομοιόμορφη σφαιρική επιφανειακή πυκνότητα μάζας σε σημειακόσώμαμάζας m....123 15.1 Τοκέντρομάζαςδιακριτήςκατανομήςμάζας....128 15.2 Πειραματικόςπροσδιορισμόςτουκέντρουμάζαςστερεούσώματος......129 15.3 Τοαδρανειακόσύστημα O ηρεμείωςπροςκέντρομάζαςτουστερεούσώματοςπουκινείταιμε σταθερήσχετικήταχύτηταωςπροςτοσύστημα Oτουεργαστηρίου.....129 15.4 Προσδιορισμός του κέντρου μάζας ορθογώνιου τριγώνου με δεδομένη επιφανειακή πυκνότητα.... 130 15.5 Ομογενήςκυκλικόςκώνοςμετηνκορυφήτουστον z-άξονα....131 15.6 Τοστερεόσώμακυκλικόςκώνος-ημισφαίριο.....132 15.7 Τοέναάκροτουσκοινιούείναισταθεράδεμένοστονκύλινδροενώτοδεύτεροελεύθερο.....134 15.8 Το σύστημα των δύο σωμάτων περιστρέφεται γύρω από τη μικρότερη μάζα και ακολούθως αφήνεται ελεύθερο....136 16.1 Επίπεδο στερεό σώμα περιστρεφόμενο γύρω από άξονα παράλληλο προς τον άξονα που διέρχεται απότοκ.μ......139 16.2 Στερεό σώμα περιστρεφομένο γύρω από άξονα κάτω από την επίδραση εξωτερικής δύναμης..... 140 16.3 Υλικό σημείο περιστρεφομένο σε κυκλική τροχιά κάτω από την επίδραση εφαπτομενικής δύναμης.. 141 16.4 Κύλινδρος περιστρέφεται γύρω από τον άξονα του κάτω από την επίδραση σωμάτων που συνδέονται μενήματατυλιγμένασεαυτόν...142 16.5 Στερόσώμαπεριστρεφομένογύρωαπόσημείοκάτωαπότηνεπίδρασηεξωτερικήςδύναμης...143

ΚΑΤ ΑΛΟΓΟΣΣΧΗΜ ΑΤΩΝ 7 17.1 Κύλινδροςκυλίεταισεεπίπεδηεπιφάνεια......145 17.2 Κύλινδροςπεριστρέφεταιγύρωαπόάξοναπρινκαιμετάτηνεπαφήτουμεοριζόντιοεπίπεδο.....146 17.3 Οδίσκοςπεριστρέφεταικαθώςκινείταιπροςτακάτω......147 17.4 Επίπεδοςδίσκοςπεριστρέφεταιγύρωαπότονσταθερό z-άξονα.....148 18.1 Ιδεατόςκύλινδροςυγρούσεδοχείομερευστόπουηρεμεί....152 18.2 Τοσύστημακαλώδιο-σώμαβυθισμένοσεδοχείομευγρό.....154 18.3 Ηροήτουνερούαπότοστόμιοβρύσης...155 18.4 Σωλήναςμεταβλητήςδιατομήςπουδιαρρέεταιαπόρευστό...156 18.5 Η πλάκα ισορροπεί λόγω της δυναμικής άνωσης που δημιουργείται από ρεύμα αέρα στην πάνω της επιφάνεια....157 18.6 Εκροήρευστούαπόοπήδοχείου.....157 19.1 Αδρανειακάσυστήματααναφοράςπουκινούνταιμεσταθερήσχετικήταχύτητα...160 19.2 Ιδεατόπείραμαγιατηνέννοιατουταυτόχρονου....160 19.3 Συσκευή λέϊζερ εκπέμπει ακτίνα προς τη οροφή κινούμενου οχήματος και ανακλάται από καθρέφτη. Η κόκκινη καμπύλη αναπαριστά την πορεία της ακτίνας όπως την περιγράφει παρατηρητής που ηρεμεί μετοόχημα......161 19.4 Ηκαινούργιαπορείατηςακτίναςόπωςπεριγράφεταιαπόπαρατηρητήπουηρεμείμετοέδαφος....161 19.5 Συστολή μόνο της ακμής του κύβου που είναι παράλληλη με την διεύθυνση της σχετικής ταχύτητας. 162 19.6 Το μήκος της ράβδου όπως αυτό μετράται σε αδρανειακά συστήματα που βρίσκονται σε σχετική κίνηση...162 19.7 Ακτίναφωτόςπουδιέρχεταιμέσααπόστήληνερούπουκινείταιμεσταθερήσχετικήταχύτητα...166

8 ΚΑΤ ΑΛΟΓΟΣΣΧΗΜ ΑΤΩΝ

Κατάλογος Πινάκων 6.1 Τα γραμμικά ανεξάρτητα σύνολα συναρτήσεων για συγκεκριμένους μη ομογενής όρους... 56 13.1 Οικωνικέςτομέςμετιςαντίστοιχεςτιμέςεκκεντρότητας ǫκαι s....114 9

Μέρος Ι Μαθηματικό Παράρτημα

Κεφάλαιο 1 ΟΔιανυσματικόςΧώρος R 3 Στη φύση υπάρχουν δύο απλές κατηγορίες μεγεθών: 1. Τα μονόμετρα τα οποία προσδιορίζονται πλήρως από την αριθμητική τους τιμή και την μονάδα μέτρησης 2. Τα διανυσματικά τα οποία χρειάζονται επιπλέον και προσανατολισμό. Παραδείγματα μονόμετρων μεγεθών αποτελούν η μάζα, η θερμοκρασία, η ενέργεια, το μήκος κύματος ενώ διανυσματικά είναι η θέση, η ορμή, η επιτάχυνση, οι δυνάμεις και η στροφορμή. Τα διανυσματικά μεγέθη δεν παραμένουν αναλλοίωτα κάτω από στροφές του συστήματος συντεταγμένων. 1.1 Η Γεωμετρία του Ευκλείδιου Χώρου ΟμαθηματικόςχώροςμελέτηςτωνφαινομένωντηςΚλασικήςΜηχανικήςείναιοδιανυσματικόςχώρος V = R 3 πάνω στο σώμα των πραγματικών αριθμών K = R. Μελετάμε τη δομή του χώρου αυτού παραθέτοντας τους ορισμούς βασικών εννοιών με στόχο την πληρέστερη κατανόηση των φυσικών μεγεθών από τον αναγνώστη. Ορισμός 1.1.1 Σώμα είναι ένα σύνολο K εφοδιασμένο με δύο πράξεις, την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό οι οποίες ικανοποιούν τα αξιώματα σώματος 1. Αξιώματα της πρόσθεσης. (α1) Εάν α,β Kτότε (α+β) K. (α2) Ηπρόσθεσηείναιμεταθετική: α+β = β +α, α,β K. (α3) Ηπρόσθεσηείναιπροσεταιριστική: (α+β)+γ = α+(β +γ), α,β,γ K. (α4) ΤοΚπεριέχειέναστοιχείοτο0,τέτοιοώστε 0+α = α, α K. (α5) Σεκάθεστοιχείο α Kαντιστοιχείέναστοιχείο ( α) Kτέτοιοώστε α+( α) = 0. 2. Αξιώματα του πολλαπλασιασμού. (β1) Εάν α,β Kτότετο (α β) K. (β2) Οπολλαπλασιασμόςείναιμεταθετικός: α β = β α (β3) Οπολλαπλασιασμόςείναιπροσεταιριστικός: (α β) γ = α (β γ) (β4) ΤοΚπεριέχειέναστοιχείοτο1με 1 0τέτοιοώστε 1 α = α, α K. (β5) Σεκάθε α Kμε α 0αντιστοιχίζεταιέναστοιχείο 1 α Kτέτοιοώστε α( 1 α) = 1. 3. Επιμεριστικός νόμος (γ1)γιαοποιαδήποτε α,β,γ Kισχύειότι α (β +γ) = α β +α γ. Ορισμός 1.1.2 Ενα μη κενό σύνολο V πάνω στο σώμα K θα ονομάζεται διανυσματικός ή γραμμικός χώρος και θα συμβολίζεται με V(K), εάν ικανοποιούνται τα ακόλουθα αξιώματα: 11

12 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΟΣΧ ΩΡΟΣ R 3 1.Οποιαδήποτεδύοστοιχεία x,y V μοναδικάκαθορίζουνένατρίτοστοιχείοτο (x+y) V πουονομάζεται άθροισμα των x, y. Αυτό το στοιχείο ικανοποιεί: (α x+y = y +x(μεταθετικότητα). (β) (x+y)+z = x+(y +z)(προσεταιριστικότητα). (γ) Υπάρχειτοστοιχείο 0 V πουονομάζεταιμηδενικόστοιχείοκαιέχειτηνιδιότητα x+0 = x, x V. (δ) Γιακάθεστοιχείο x V υπάρχειτοστοιχείο ( x) V,πουονομάζεταιαρνητικόήαντίθετοτου xκαι έχειτηνιδιότητα x+( x) = 0. 2.Γιαοποιαδήποτε α K, x V μοναδικάκαθορίζεταιτοστοιχείο (α x) V τοοποίοονομάζεταιγινόμενο των ακαι x.αυτότοστοιχείοικανοποιεί: (α) α (β x) = (α β) x. (β) 1 x = x. 3. Οι πράξεις του πολλαπλασιασμού και της πρόσθεσης ικανοποιούν τους νόμους (α) (α+β) x = α x+β x. (β) α (x+y) = α x+α y. Οταντοσώμα K = Cτότεμιλάμεγιαμιγαδικόδιανυσματικόχώροτονοποίοθασυμβολίζουμεμε V(C). Παράδειγμα 1.1.3 Η ευθεία των πραγματικών αριθμών με τις συνήθεις αριθμητικές πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού είναι ένας γραμμικός χώρος. Παράδειγμα1.1.4 Ο n-διάστατοςδιανυσματικόςχώρος R n ή C n. Αποτελείταιαπότιςδιατεταγμένες n-άδες (x 1,x 2,,x n ) 1 πραγματικώνήμιγαδικώναριθμώνμετιςπράξειςτηςπρόσθεσηςκαιτουπολλαπλασιασμούνα ορίζονται από τις σχέσεις (x 1,x 2,,x n )+(y 1,y 2,,y n ) = (x 1 +y 1,x 2 +y 2,,x n +y n ) α (x 1,x 2,,x n ) = (α x 1,α x 2,,α x n ). (1.1) Παράδειγμα 1.1.5 Το σύνολο των συνεχών πραγματικών ή μιγαδικών συναρτήσεων στο διάστημα [a, b] με τις συνήθεις πράξεις της πρόσθεσης συναρτήσεων και του πολλαπλασιασμού συναρτήσεων με αριθμούς. Ο χώρος C [a,b] είναιέναςγραμμικόςχώρος. Τα διανύσματα έχουν τρία βασικά χαρακτηριστικά: προσανατολισμό, φορέα και μήκος. Ο προσανατολισμός ενός ευθύγραμμου τμήματος καθορίζεται εάν διατάξουμε τα άκρα του, δηλαδή ορίσουμε ποια είναι η αρχή και ποιο το πέρας του. Κάθε προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα βρίσκεται πάνω σε μοναδική ευθεία που ονομάζεται φορέας του ευθύγραμμου τμήματος. Το μήκος ενός διανύσματος είναι η απόσταση του πέρατος από την αρχή του διανύσματος. Στο σύνολο B των προσανατολισμένων ευθύγραμμων τμημάτων μπορούμε να ορίσουμε μία σχέση ισοδυναμίας(ικανοποιείτηνανακλαστική(ab BA),συμμετρική(AB CD CD AB)καιμεταβατική ιδιότητα(εάν AB CDκαι CD EFτότε AB EF)σύμφωναμετηνοποία AB CDεάν (1)Τα AB,CDέχουντονίδιοφορέα. (2)Τα AB,CDέχουντηνίδιαφορά. (3)Τοίδιομήκος. Η σχέση ισοδυναμίας διαμερίζει το σύνολο B σε κλάσεις ισοδυναμίας που κάθε μία ονομάζεται διάνυσμα. Ετσι ορίζουμε σαν διάνυσμα το OA = {OB B : OA OB}. (1.2) Θεωρούμετώραέναορθογώνιοσύστημασυντεταγμένωνμεαρχήτο 0καιορθοκανονικήβάση ê 1,ê 2,ê 3. Σε κάθεστοιχείο(ήσημείοήδιάνυσμα)του R 3 μπορούμενααντιστοιχίσουμεμίακαιμόνομίαδιατεταγμένητριάδα 1 Μετονόροδιατεταγμένη n-άδαεννοούμεότιτα (x 1,x 2,,x n)και (x 2,x 1,,x n)αντιστοιχούνσεδιαφορετικάσημείατου R n όταν x 1 x 2.

1.2. ΕΣΩΤΕΡΙΚ ΟΚΑΙΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΟΓΙΝ ΟΜΕΝΟ 13 πραγματικών αριθμών (x, y, z), που ονομάζονται συντεταγμένες του σημείου, και αντίστροφα, σε κάθε τριάδα μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα και μόνο ένα σημείο του χώρου. Ηπρόσθεσηδύοστοιχείωντου R 3 ορίζεταιαπότηνσχέση (x 1,y 1,z 1 )+(x 2,y 2,z 2 ) = (x 1 +x 2,y 1 +y 2,z 1 +z 2 ). (1.3) Τοδιανυσματικόάθροισμα r 1 + r 2 γεωμετρικάκατασκευάζεταιεάνπρώταμετατοπίσουμετοπροσανατολισμένο ευθύγραμμοτμήμα r 2 παράλληλαμετοναρχικότουφορέακαιστηνσυνέχειαταυτίσουμετηναρχήτουμετοπέρας τουδιανύσματος r 1.Τοπέραςτουνέουπροσανατολισμένουευθύγραμμουτμήματοςείναιτοπέραςτουδιανύσματος r 1 + r 2.Τοβαθμωτόγινόμενομεπραγματικόαριθμόορίζεταιμέσωτης r 2 r 1 + r 2 r 2 r 1 Σχήμα 1.1: Γεωμετρική κατασκευή του αθροίσματος δύο διανυσμάτων. λ(x,y,z) = (λx,λy,λz). (1.4) Η γεωμετρική κατασκευή του βαθμωτού πολλαπλασιασμού διανυσμάτων είναι η εξής: Αν λ R τότε το διάνυσμα λ rέχειτονίδιοφορέαμετο r,μήκος λ r καιφοράτηνίδιαμετο rεάν λ > 0ήαντίθετηαν λ < 0. r λ r, λ R + Σχήμα 1.2: Γεωμετρική κατασκευή του πολλαπλασιασμού διανύσματος με θετικό πραγματικό αριθμό. Ορισμός 1.1.6 Δύο διανύσματα θα είναι ίσα αν ανήκουν στην ίδια κλάση ισοδυναμίας. Αλγεβρικά εκφράζουμε αυτή την συνθήκη ως r 1 = r 2 x 1 = x 2 και y 1 = y 2 και z 1 = z 2. (1.5) 1.2 Εσωτερικό και Διανυσματικό Γινόμενο Τα μονόμετρα(ή βαθμωτά) μεγέθη μπορούν να περιγραφούν αυτόνομα, συναρτήσει άλλων βαθμωτών(όπως η πυκνότητα) ή διανυσματικών μεγεθών που συνδέονται με κάποια πράξη. Στην παρούσα ενότητα θα ορίσουμε τις πράξεις αυτές όπως επίσης και το μήκος(ή νόρμα) ενός διανύσματος. Ορισμός1.2.1 Εστωογραμμικόςχώρος R 3 πάνωστοσώματωνπραγματικώναριθμών. Εναεσωτερικό γινόμενοστον R 3 είναιμίααπεικόνιση για την οποία ισχύουν (i)το < x,x >είναιαυστηράθετικό x R 3 <, >: R 3 R 3 R (1.6)

14 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΟΣΧ ΩΡΟΣ R 3 (ii) < x,x >= 0 x = 0 (iii) < x,y >=< y,x >(συμμετρικό) (iv) < x,λ 1 y 1 +λ 2 y 2 >= λ 1 < x,y 1 > +λ 2 < x,y 2 >, λ 1,λ 2 R. Άλλοιισοδύναμοιτρόποιγραφήςτουεσωτερικούγινομένουείναι < x,y >= (x,y) = x y. Ορισμός 1.2.2 Ενας γραμμικός χώρος εφοδιασμένος με εσωτερικό γινόμενο ονομάζεται χώρος με εσωτερικό γινόμενο. Ορισμός 1.2.3 Η απεικόνιση όπου x = < x,x >είναινόρμαστον R 3 δηλαδήικανοποιεί (i) x+y x + y (τριγωνικήανισότητα) (ii) λx = λ x (θετικάομογενής) (iii) x > 0, x R 3 {0}και x = 0 x = 0 x,y R 3, λ R. : R 3 R + (1.7) Ορισμός1.2.4 Οδιανυσματικόςχώρος R 3 με εσωτερικόγινόμενο x y = 3 i=1 x iy i καινόρμα x = 3 i=1 x2 i ονομάζεταιευκλείδιοςχώρος. Πόρισμα 1.2.5 Για οποιαδήποτε δύο στοιχεία του Ευκλείδιου χώρου ισχύει η ανισότητα των Cauchy Schwarz x y x y. (1.8) Θεώρημα1.2.6 Εστω x, y R 3 και 0 θ πηγωνίαπουσχηματίζουνόταντοποθετηθούναρχήμεαρχήή πέρας με πέρας. Τότε x y = x y cosθ. (1.9) Παρατηρήστεότιηέκφρασηαυτήείναιανεξάρτητηαπότοσύστημασυντεταγμένων. Επίσηςόταν x y = 0τότε το xείναικάθετοήορθογώνιοτου y(μετηνπροϋπόθεσηότικανένααπόταδύοδιανύσματαδενείναιμηδέν). ( ) y y Τοεσωτερικόγινόμενομπορείναγραφείισοδύναμασαν x y = y x y όπουοόρος x y εκφράζειτην προβολήτουδιανύσματος xστηνκατεύθυνσητουμοναδιαίουδιανύσματος y y. Παράδειγμα 1.2.7 Στη Φυσική η δύναμη και η τροχιά είναι προσανατολισμένες ποσότητες. Το έργο που παράγεται κατά την κίνηση ενός σώματος κατά μήκος της τροχιάς C και κάτω από την επίδραση εξωτερικής δύναμης Fδίνεταιαπότοεπικαμπύλιοολοκλήρωμα W = F d s. (1.10) C Εάν η δύναμη είναι κάθετη στη μετατόπιση τότε δεν παράγεται έργο. Παράδειγμα αποτελεί η δύναμη που ασκείται σε κινούμενο ηλεκτρικό φορτίο μέσα σε μαγνητικό πεδίο. Παράδειγμα 1.2.8 Η ηλεκτρική πυκνότητα ενέργειας είναι ανάλογη του εσωτερικού γινομένου της ηλεκτρικής έντασης με την ηλεκτρική μετατόπιση u = 1 8π E D. (1.11) Για να περιγράψουμε μαθηματικά τα φυσικά φαινόμενα χρειαζόμαστε ένα σύστημα συντεταγμένων(και άρα βάση) ως πρός το οποίο θα γίνουν οι υπολογισμοί. Δίνουμε την έννοια του ορθοκανονικού συστήματος.

1.2. ΕΣΩΤΕΡΙΚ ΟΚΑΙΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΟΓΙΝ ΟΜΕΝΟ 15 Ορισμός1.2.9 Ενασύνολομημηδενικώνδιανυσμάτων { e i, i I}θαλέγεταιορθοκανονικόεάν ( e i, e j ) = δ ij = { 0 για i j 1 για i = j. (1.12) Εάντα { x i, i I}αποτελούνορθογώνιοσύστηματότετα { xi x i, i I}αποτελούνορθοκανονικόσύστημα. Θεώρημα1.2.10 Ταδιανύσματαενόςορθοκανονικούσυστήματοςείναιγραμμικάανεξάρτητα 2. Ενα ορθογώνιο σύστημα k-διανυσμάτων θα αποτελεί ορθογώνια βάση εάν είναι πλήρης δηλαδή εάν ο μικρότερος κλειστόςυπόχωροςπουπεριέχειτοορθογώνιοσύστημαείναιόλοςοχώροςr 3 ήόταντοσύνολοτωνk-διανυσμάτων είναι ανεξάρτητο και δεν περιέχει κανένα ανεξάρτητο υποσύνολο k + 1-διανυσμάτων. Συνήθωςστον R 3 συμβολίζουμεμε i = e 1 = e x = ê x = (1,0,0), j = e 2 = e y = ê y = (0,1,0), k = e3 = e z = ê z = (0,0,1). (1.13) Μεβάσητονορισμότηςπρόσθεσηςκαιτουαριθμητικούπολλαπλασιασμούβρίσκουμεότιαν r = (x,y,z)τότε r = x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1) = x i+y j +z k. (1.14) Τα i, j, kονομάζονταιδιανύσματατηςκανονικήςβάσηςτου R 3 ήκαρτεσιανήβάσητου R 3 καιικανοποιούντις σχέσεις: i 2 = j 2 = k 2 = 1και i j = j k = k i = 0. (1.15) Ορισμός1.2.11 Εστω u = u 1 i+u 2 j +u 3 k, v = v1 i+v 2 j +v 3 k R 3.Ορίζουμεδιανυσματικόγινόμενοτων u, vκαιτοσυμβολίζουμεμε u vτοδιάνυσμα ή χρησιμοποιώντας τον μνημονικό κανόνα u v = u 2 u 3 v 2 v 3 i u 1 u 3 v 1 v 3 j + u 1 u 2 v 1 v 2 k = u v sinθ n (1.16) u v = i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3. (1.17) Επίσηςτο n = u v u v είναιμοναδιαίοκαικάθετοστοεπίπεδοπουπαράγεταιαπότα u, v. Ηκατεύθυνσητου διανύσματος u v είναι αυτή που καθορίζεται από τον κανόνα της δεξιάς χειρός. Από τον ορισμό συμπεραίνουμε ότι το διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων σε παράλληλους φορείς είναι το μηδενικό διάνυσμα u v = 0. Λήμμα 1.2.12 Το διανυσματικό γινόμενο έχει τις ακόλουθες ιδιότητες (α) u v = ( v u)(αντιμεταθετική). (β) u (λ v +µ w) = λ( u v)+µ( u+ w)(προσεταιριστική) (γ) ( u v) w u ( v w)(μηεπιμεριστική). Απόδειξη: 2 Τοσύνολοτωνδιανυσμάτων { x 1,, x k } R n ονομάζεταιγραμμικάανεξάρτητοεάνκαιμόνοεάνησχέση συνεπάγεταιότι c 1 = = c k = 0 c 1 x 1 + c k x k = 0, c i R

16 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΟΣΧ ΩΡΟΣ R 3 (1)Χρησιμοποιώνταςτηνπυκνότητα Levi Civita 3 έχουμε ( u v) i = = = 3 i,j,k=1 3 i,j,k=1 3 i,j,k=1 ǫ ijk u j v k ǫ ikj u j v k, λόγωαντισυμμετρικότηταςτου ǫ ijk ǫ ijk v j u k, αλλάζουμετηνονομασίατωνδεικτών = ( v u) i. (1.18) (2) Εστωδιάνυσμα uκάθετοστα v, w,δηλαδή u v = u w = 0.Τότεθαισχύειησχέση u ( v+ w) = u v+ u w. Αναλύουμε τα διανύσματα v, w σε δύο συνιστώσες μία παράλληλη και μία κάθετη στη διεύθυνση του u. Οπότε (3) Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα έχουμε και u ( v + w) = u ( v + w) + u ( v + w) [( u v) w] i = = u ( v + w), γιατίτο u ( v + w) = u v + u w, λόγωτηςαρχικήςπαρατήρησης = u v + u w (1.19) ǫ ijk ǫ ilm = δ jl δ km δ jm δ kl (1.20) = 3 j,k=1 ǫ ijk ( u v) j w k = 3 j,k=1l,m=1 3 3 j,k=1 l,m=1 3 (δ il δ km δ im δ kl )u l v m w k ǫ ijk ǫ jlm u l v m w k = v i ( u w) u i ( v w) (1.21) [ u ( v w)] i = v i ( u w) w i ( v u). (1.22) Πόρισμα 1.2.13 Η γεωμετρική ερμηνεία της νόρμας του διανυσματικού γινομένου είναι ότι παριστάνει το εμβαδόν του παραλληλογράμμου με πλευρές u, v. Απόδειξη: Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου με βάση το u είναι S = u h = u v cosθ = u v (1.23) 3 Θαμπορούσαμε ναγράψουμε τιςσυνιστώσες τουδιανυσματικού γινομένουχρησιμοποιώντας τηνπυκνότητα (ήσύμβολοτων) Levi Civita, ǫ ijk,πουορίζεταιαπότην ǫ ijk = +1 εάντα i,j,kείναιάρτιαμετάθεσητων1,2,3 1 εάντα i,j,kείναιπεριττήμετάθεσητων1,2,3 0 διαφορετικά. Ετσι όπου επαναλαμβανόμενοι δείκτες αθροίζονται. ( u v) i = ǫ ijk u j v k

1.2. ΕΣΩΤΕΡΙΚ ΟΚΑΙΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΟΓΙΝ ΟΜΕΝΟ 17 v θ h u Σχήμα1.3:Τοεμβαδόντουπαραλληλογράμμουμεπλευρές u, vισούταιμετομήκοςτουδιανύσματος u v. Ταδιανύσματα i, j, kσχηματίζουνμίαδεξιόστροφηβάσηκαιικανοποιούντιςσχέσεις i i = j j = k k = 0 i j = k j k = i k i = j. (1.24) Διανύσματα που προκύπτουν από διανυσματικό γινόμενο δεν είναι πραγματικά(ή πολικά) διανύσματα. Για να κατανοήσουμε καλύτερα αυτό τον ισχυρισμό θα μελετήσουμε τα είδη των μετασχηματισμών. Οι μετασχηματισμοί διακρίνονται σε δύο κατηγορίες(μαθηματικά ισοδύναμοι): (i) Παθητικοί όταν δρούν στο σύστημα συντεταγμένων και όχι στο φυσικό σύστημα(ή τα παρατηρήσιμα μεγέθη). (ii) Ενεργητικοί όταν δρούν στο φυσικό σύστημα ενώ το σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιείται παραμένει αμετάβλητο. Παρατήρηση 1.2.14 Δεν μετασχηματίζουμε και το σύστημα συντεταγμένων και το φυσικό σύστημα γιατί τότε δεν θα παρατηρούσαμε κάποια αλλαγή. Παράδειγμα 1.2.15 Θεωρούμε το διάνυσμα θέσεως ενός σωματιδίου στο επίπεδο σαν το φυσικό μας σύστημα και συμβολίζουμε με A τον πίνακα μετασχηματισμού που παριστάνει στροφή ενός Καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένωνσεέναάλλοκατάγωνία θ. Τότεγράφουμε ( r) = A rεάνομετασχηματισμόςείναιπαθητικόςκαι εννοούμε ότι το διάνυσμα θέσεως παραμένει αμετάβλητο ενώ ο A δρά στο σύστημα συντεταγμένων(έστω κατά φοράαντίθετητηςκίνησηςτωνδεικτώντουρολογιού). Γιαενεργητικόμετασχηματισμόγράφουμε r = A rκαι εννοούμεότιοaδράστοδιάνυσμαθέσεως(κατάτηφοράκίνησηςτωνδεικτώντουρολογού)ενώτοσύστημα συντεταγμένων παραμένει το ίδιο. Θεωρούμε τον ενεργητικό μετασχηματισμό r i = S ijr j = δ ij r j = r i, i,j = 1,2,3 (1.25) που αντιπροσωπεύει τρισδιάστατη ανάκλαση του διανύσματος θέσεως(το φυσικό σύστημα) ως πρός την αρχή του συστήματοςσυντεταγμένων.επειδήοsέχειορίζουσα 1οαντίστοιχοςορθογώνιοςμετασχηματισμός(S = S 1 ) ονομάζεται μη κανονικός. Ολεςοισυνιστώσεςενόςπραγματικού(ήπολικού)διανύσματος r R 3 αλλάζουνπρόσημοσύμφωναμετην (1.25). Οισυνιστώσεςόμωςτουεξωτερικούγινομένουδεναλλάζουνπρόσημογιατί (S u) (S v) = u vαφού S 2 = I. Ενατέτοιομέγεθοςπουδεναντιστρέφειτηνκατεύθυνσήτουκάτωαπόμηκανονικόμετασχηματισμό ονομάζεται axial ή ψευδοδιάνυσμα. Εάν ο μετασχηματισμός ήταν παθητικός τότε θα θεωρούσαμε ανάκλαση του συστήματος συντεταγμένων ως πρός την αρχή ενώ το διάνυσμα θέσεως r θα παρέμενε αμετακίνητο. Οι συντεταγμένες του διανύσματος θέσεως ως πρός το νέο σύστημα θα άλλαζαν πάλι πρόσημο. Παρατηρήστε ότι ο μετασχηματισμός αυτός αλλάζει το αρχικό δεξιόστροφο σύστημα συντεταγμένων σε αριστερόστροφο. Άρα το διανυσματικό γινόμενο αλλάζει κατεύθυνση στην περίπτωση αυτή. Ο διαχωρισμός μεταξύ ενός πραγματικού διανύσματος και ενός ψευδοδιανύσματος μπορεί επίσης να γίνει χρησιμοποιώντας ανάκλαση ως πρός επίπεδο. Σύμφωνα με την ενεργητική ερμηνεία του μετασχηματισμού κρατούμε τους άξονες σταθερούς και ανακλούμε το r έστω στο xy-επίπεδο οπότε r r = (x,y, z). (1.26) Θεωρούμε κλειστή καμπύλη παράλληλη με το yz-επίπεδο που διαρρέεται από ρεύμα αντίθετα της φοράς κίνησης των δεικτώντουρολογιού.ημαγνητικήροπήδίνεταιαπότην µ = I 2c r d lκαιέχειτηνθετική x-κατεύθυνση.κάτω

18 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΟΣΧ ΩΡΟΣ R 3 απότονμετασχηματισμό(1.25)ηκλειστήκαμπύληαλλάζειπροσανατολισμόκαι µ = ( µ x,0,0).παρόμοιαεάνη καμπύληήτανπαραλληληστο xzή xy-επίπεδοθαβρίσκαμε µ = (0, µ y,0)και µ = (0,0,µ z )αντίστοιχα.οπότε γιααυθαίρετηκατεύθυνσηημαγνητικήροπήθαμετασχηματιζότανσαν µ = ( µ x, µ y,µ z ). Εναψευδοδιάνυσμα μετασχηματίζεται σύμφωνα με την P i = (deta)a ijp j, (A ij ) = 1 0 0 0 1 0 0 0 1. (1.27) Στην φύση δεν υπάρχει διαχωρισμός μεταξύ δεξιόστροφου και αριστερόστροφου συστήματος συντεταγμένων εκτός από την ακτινοβολία βήτα. Ετσι η ισότητα διανυσμάτων θα αναφέρεται σε δύο πολικά ή δύο ψευδοδιανύσματα. Φυσικά μεγέθη που μπορούν να παρασταθούν με διανυσματικό γινόμενο είναι η στροφορμή ενός σωματιδίου ωςπροςένασημείο L = r p,ηροπήδύναμηςωςπρόςσημείο N = r F,ηδύναμη Lorentzπουασκείταισε ένασημειακόφορτίουπότηνπαρουσίαμαγμητικούπεδίου F L = q v B. Υπάρχουνεπίσηςδιανυσματικάμεγέθη που γράφονται σαν άθροισμα ενός πραγματικού διανύσματος και ενός ψευδοδιανύσματος. Παράδειγμα αποτελεί η δύναμηπουασκείταισεφορτισμένοσωματίδιοπουκινείταισεηλεκτρομαγνητικόπεδίο F = q E + F L Ορισμός1.2.16 Εάνδοθούντρίαδιανύσματα u, v, w R 3 οπραγματικόςαριθμός u 1 u 2 u 3 [ u, v, w] = u ( v w) = v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 (1.28) ονομάζεται βαθμωτό τριπλό γινόμενο των u, v, w. Το εσωτερικό γινόμενο ενός πραγματικού διανύσματος με ένα ψευδοδιάνυσμα ονομάζεται ψευδοβαθμωτό γινόμενο γιατί αλλάζει πρόσημο κάτω από μη κανονική στροφή. Πόρισμα 1.2.17 Η απόλυτη τιμή του τριπλού γινομένου γεωμετρικά παριστάνει τον όγκο του παραλληλεπιπέδου (πουισούταιμετοεμβαδόνβάσηςεπίτοκάθετούψος)μεπλευρές u, v, w. Απόδειξη: Ο όγκος του παραλληλεπιπέδου με βάση το παραλληλόγραμμο που έχει πλευρές τα v, w δίνεται από την u π 2 θ w v Σχήμα 1.4: Ο όγκος του παραλληλεππιπέδου ισούται με το βαθμωτό τριπλό γινόμενο των πλευρών του. σχέση ( π ) V = hs = h v w = u v w sin 2 θ = u v w cos θ. (1.29) Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι τρία διανύσματα γραμμικά ανεξάρτητα είναι Λήμμα 1.2.18 Το τριπλό βαθμωτό γινόμενο έχει τις εξής ιδιότητες: [ u, v, w] 0 (1.30)

1.3. ΣΥΣΤ ΗΜΑΤΑΣΥΝΤΕΤΑΓΜ ΕΝΩΝ 19 (i) Παραμένει αναλλοίωτο κάτω από κυκλική μετάθεση των διανυσμάτων u, v, w: (ii)εάντα u, v, wείναιομοεπίπεδατότε [ u, v, w] = 0. [ u, v, w] = [ w, u, v] = [ v, w, u]. (1.31) Το γινόμενο αυτό χρησιμοποιείται στον ορισμό της δυϊκής βάσης με εφαρμογές στην κρυσταλλογραφία. Εάν e a, e b, e c είναιτρίαμησυνεπίπεδαδιανύσματατου R 3,όχικατανάγκηορθοκανονικά,τότεένατυχαίοδιάνυσματου χώρου μπορεί να γραφεί σαν v = λ v ( e b e c ) e a +µ v ( e c e a ) e b +ν v ( e a e b ) e c (1.32) όπου οι συντελεστές λ, µ, ν είναι ίσοι μεταξύ τους, λόγω της ισοτροπίας του χώρου. Θέτοντας διαδοχικά στην (1.32)όπου v = e a, e b, e c βρίσκουμεότι λ = 1/ e a ( e b e c ).Ταδιανύσματα e A = e b e c e a ( e b e c ), e B = e c e a e a ( e b e c ), e C = e a e b e a ( e b e c ) (1.33) συνιστούντηνδυϊκήβάσητουσυνόλου { e a, e b, e c }.Ηδυϊκήβάσηικαναοποιείτιςσχέσεις e a e A = e b e B = e c e C = 1 e a e B = e a e C = e b e A = e b e C = e c e A = e c e B = 0. (1.34) Εάνηαρχικήβάσηέχειδιαστάσειςμήκους [L]τότεηδυϊκήβάσηέχειδιαστάσεις [L] 1. Ορισμός1.2.19 Εάνδοθούντρίαδιανύσματα u, v, w R 3 τότεταδιανύσματα u ( v w) = ( u w) v ( u v) w και ( u v) w = ( u w) v ( w v) u (1.35) ονομάζονται διανυσματικά τριπλά γινόμενα των u, v, w. Μπορεί να δειχθεί ότι u ( v w)+ w ( u v)+ v ( w u) = 0. (1.36) Παράδειγμα 1.2.20 Η κεντρομόλος επιτάχυνση F κ = ω ( ω r) (1.37) όπου ω η γωνιακή ταχύτητα. 1.3 Συστήματα Συντεταγμένων Θα περιοριστούμε σε ορθογώνια συστήματα συντεταγμένων γιατί προβλήματα που σχετίζονται με αυτά μπορούν να επιλυθούν αναλυτικά. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες έχουμε τρεις αμοιβαία κάθετες οικογένειες επιπέδων: x =σταθερό, y =σταθερό και z =σταθερό. Ενα γενικευμένο σύστημα συντεταγμένων αποτελείται από τρεις οικογένειες επιφανειών που περιγράφονται συναρτήσει των ορθογώνιων συντεταγμένων από τις εξισώσεις ξ 1 (x,y,z) =σταθερό, ξ 2 (x,y,z) =σταθερό, ξ 3 (x,y,z) =σταθερό (1.38) και δεν είναι μεταξύ τους παράλληλες ή επίπεδες. Στις περισσότερες περιπτώσεις είναι βολικότερο να αντιστρέψουμε τις εξισώσεις(1.38) και να γράψουμε x = f(ξ 1,ξ 2,ξ 3 ), y = g(ξ 1,ξ 2,ξ 3 ), z = h(ξ 1,ξ 2,ξ 3 ) (1.39) όπου οι f, g, h είναι συνεχείς με συνεχείς μερικές παραγώγους και μονότιμες αντίστροφες(εκτός πιθανώς από πεπερασμένο αριθμό απομονωμένων σημείων ή γραμμών), έτσι ώστε να υπάρχει μία αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των συντεταγμένων ενός σημείου στο ορθογώνιο και στο γενικευμένο σύστημα συντεταγμένων. Οι τρεις επιφάνειες ξ 1 (x,y,z) = c 1,ξ 2 (x,y,z) = c 2,ξ 3 (x,y,z) = c 3, όπου c 1,c 2,c 3 σταθερές, ονομάζονταιεπιφάνειες συντεταγμένων και τέμνονται ανά δύο σχηματίζοντας τρεις οικογένειες καμπύλων που ονομάζονται συντεταγμένες καμπύλες ή γραμμές.

20 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΟΣΧ ΩΡΟΣ R 3 Εάν οι συντεταγμένες επιφάνειες που διέρχονται από ένα σημείο τέμνονται κατά ορθή γωνία το σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ορθογώνιο. Σε κάποιο σημείο του χώρου από το οποίο διέρχονται οι συντεταγμένες επιφάνειες τοποθετούμετρίαμοναδιαίαδιανύσματα { e i, i = 1,2,3}καθέναεκτωνοποίωνεφάπτεταιστηναντίστοιχησυντεταγμένη καμπύλη. Το διάνυσμα θέσεως του σημείου P στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων γράφεται Από την(1.40) έχουμε r = x i+y j +z k = f(ξ 1,ξ 2,ξ 3 ) i+g(ξ 1,ξ 2,ξ 3 ) j +h(ξ 1,ξ 2,ξ 3 ) k (1.40) d r = r ξ 1 dξ 1 + r ξ 2 dξ 2 + r ξ 3 dξ 3 (1.41) όπουτοδιάνυσμα r ξ k είναιεφαπτόμενοτηςξ k συντεταγμένηςκαμπύληςστοp.μπορούμεναγράψουμε r ξ k = h k e k όπου h k = r.η(1.41)γράφεται ξ k d r = 3 h k dξ k e k. (1.42) k=1 Οιποσότητες h k ονομάζονταισυντελεστέςκλίμακας.τοστοιχειώδεςμήκοςτόξουδίνεταιγιαορθογώνιοσύστημα συντεταγμένων από την σχέση ds 2 = d r d r = 3 g ij dξ i dξ j = i,j=1 3 h 2 kdξk. 2 (1.43) όπου g ij = r ξ i r ξ j = 0, i jκαιοισυντελεστές g ij είναιοισυνιστώσεςενόςσυμμετρικούτανυστήδευτέρας τάξης. Ο όγκος στην περίπτωση αυτή δίνεται από την dv = r r r ξ 1 ξ 2 ξ 3 = (h 1dξ 1 e 1 ) (h 2 dξ 2 e 2 ) (h 3 dξ 3 e 3 ) = (x,y,z) (ξ 1,ξ 2,ξ 3 ) dξ 1dξ 2 dξ 3 = h 1 h 2 h 3 dξ 1 dξ 2 dξ 3. (1.44) Παρατήρηση1.3.1 Εκτόςαπόταδιανύσματα { e i = r ξ i, i = 1,2,3}πουείναιεφαπτόμεναστιςσυντεταγμένες καμπύλεςυπάρχουνκαιταδιανύσματα { ǫ i = ξ i, i = 1,2,3}πουείναικάθεταστιςσυντεταγμένεςεπιφάνειες. Οι συνιστώσες ενός διανύσματος ως πρός την πρώτη βάση ονομάζονται ανταλλοίωτες ενώ ως πρός την δεύτερη αναλλοίωτες. Σφαιρικέςσυντεταγμένες (ξ 1,ξ 2,ξ 3 ) = (r,θ,φ). Το σύστημα αυτό αποτελείται από τις εξής συντεταγμένες επιφάνειες: z k=1 φ P = (r,θ,φ) x θ y Σχήμα 1.5: Οι σφαιρικές συντετγμένες (r, θ, φ). (i) Ομόκεντρεςσφαίρεςμεκέντροτηναρχήτωναξόνων: r = x 2 +y 2 +z 2 =σταθερό

1.3. ΣΥΣΤ ΗΜΑΤΑΣΥΝΤΕΤΑΓΜ ΕΝΩΝ 21 (ii) Κυκλικοί κώνοι με άξονα συμμετρίας τον z-άξονα και κορυφή στην αρχή των αξόνων: ( ) z φ = arccos =σταθερό x2 +y 2 +z 2 (iii)ημιεπίπεδαπουπαιρνούναπότον z-άξονα: θ = arctan ( y x) =σταθερό Οι εξισώσεις μετασχηματισμού είναι x = rsinφcosθ, y = rsinφsinθ, z = rcosφ (1.45) όπου r 0, 0 θ < 2π, 0 φ π.οισυντελεστέςκλίμακαςδίνονταιαπότις h 1 = h 2 = h 3 = ( x ) r 2 ( ) 2 ( ) 2 y z r = + + = 1 r r r r θ = rsinφ r φ = r. (1.46) Το στοιχειώδες μήκος τόξου δίνεται από την ds 2 = dr 2 +r 2 sin 2 φdθ 2 +r 2 dφ 2 (1.47) και ο στοιχειώδης όγκος από την dv = r 2 sinφdrdθdφ (1.48) Τα μοναδιαία διανύσματα είναι r (1) ê r = r r = (sinφcosθ,sinφsinθ,cosθ).τοδιάνυσμααυτόέχειακτινικήκατεύθυνσηκαιείναικάθετο r στην επιφάνεια της σφαίρας. r φ (2) ê φ = r = r(cosφcosθ,cosφsinθ, sinθ).τοδιάνυσμααυτόείναιεφαπτομενικότουκύκλουr = r 1 φ και φ = φ 1.Είναιεπίσηςπαράλληλομετοεπίπεδο xy. r (3) ê θ = θ r = ( sinθ,cosθ,0).τομοναδιαίοαυτόδιάνυσμαέχεισυνιστώσακατάμήκοςτουαρνητικού θ z-άξονα. Εάν τα μοναδιαία διανύσματα μεταβάλονται με τον χρόνο τότε ισχύουν οι σχέσεις ê r = ê r dρ r dt + ê r dθ θ dt + ê r dφ φ dt = sinφ θê θ + φê φ ê φ = φê r +cosφ θê θ ê θ = sinφ θê r cosφ θê φ. (1.49) Παράδειγμα 1.3.2 Να εκφραστούν σε σφαιρικές συντεταγμένες η ταχύτητα και η επιτάχυνση ενός σωματιδίου.

22 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΟΣΧ ΩΡΟΣ R 3 Το διάνυσμα θέσης του σωματίου δίνεται από την Η ταχύτητα θα είναι ενώ η επιτάχυνση 1 r = ( ρ ρ φ 2 rsin 2 φ θ 2 d )ê r +( rsinφdt r = rê r. (1.50) v = d r dt = ṙê r +rsinφ θê θ +r φê φ (1.51) ( r 2 sin φ θ) ) ( 1 2 ê θ + r d dt (r2 φ) rsinφcosφ θ2 Εάν φ = π 2 οιεκφράσειςτηςταχύτηταςκαιτηςεπιτάχυνσηςσεπολικέςσυντεταγμένεςείναι ) e φ. (1.52) r = ṙê r +r θê θ, r = ( ρ ρ φ2 )ê r +(2ṙ θ +r θ)ê θ (1.53) Κυλινδρικές συντεταγμένες (ρ, θ, z). Το σύστημα αυτό αποτελείται από τις εξής συντεταγμένες επιφάνειες: (i) Κύλινδροιμεκοινό z-άξονα: ρ = x 2 +y 2 =σταθερό. (ii)ημιεπίπεδαπουπαιρνούναπότον z-άξονα: θ = arctan 1( y x) =σταθερό. (iii) Επίπεδα παράλληλα με το xy-επίπεδο: z = σταθερό. Οι εξισώσεις μετασχηματισμού είναι x = ρcosθ, y = ρsinθ, z = z (1.54) όπου ρ 0, 0 θ < 2π, < z <.Οισυντελεστέςκλίμακαςδίνονταιαπότις h 1 = r r = 1 h 2 = r θ = ρ h 3 = r z = 1 (1.55) Το στοιχειώδες μήκος τόξου δίνεται από την και ο στοιχειώδης όγκος από την Τα μοναδιαία διανύσματα είναι ds 2 = dρ 2 +r 2 dθ 2 +dz 2 (1.56) dv = ρdρdθdz. (1.57) r ρ (1) ê ρ = r = (cosθ,sinθ,0). Τοδιάνυσμααυτόείναιπαράλληλομετο xy-επίπεδοκαιέχειακτινική ρ κατεύθυνση μακριά από τον άξονα z. r (2) ê θ = θ r = ρ( sinθ,cosθ,0). Τοδιάνυσμααυτόείναιεφαπτομενικότουκύκλουμεκέντρο z = z 1 θ καιακτίνα ρ.είναιεπίσηςπαράλληλομετοεπίπεδο xy.

1.4. ΒΑΘΜΩΤ Α,ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΑΚΑΙΤΑΝΥΣΤΙΚ ΑΜΕΓ ΕΘΗ 23 r (3) ê z = z r = (0,0,1). Τομοναδιαίοαυτόδιάνυσματαυτίζεταιμετο ê z τουκαρτεσιανούσυστήματος z συντεταγμένων. Εάν τα μοναδιαία διανύσματα μεταβάλονται με τον χρόνο τότε ισχύουν οι σχέσεις dê ρ dt = ê ρ dρ ρ dt + ê ρ dθ θ dt + ê ρ dz z dt = θê θ, dê φ dt = θê ρ, dê z dt = 0 (1.58) Παράδειγμα 1.3.3 Να εκφραστούν σε κυλινδρικές συντεταγμένες η ταχύτητα και η επιτάχυνση ενός σωματιδίου. Το διάνυσμα θέσης του σωματίου δίνεται από την Η ταχύτητα θα είναι r = ρê ρ +zê z. (1.59) ενώ η επιτάχυνση v = d r dt = ρê ρ +ρ ê ρ +żê z +z ê z = ρê ρ +ρ θê θ +żê z (1.60) r = ( ρ ρ θ 2 )ê ρ +(ρ θ +2 ρ φ)ê θ + zê z. (1.61) 1.4 Βαθμωτά, Διανυσματικά και Τανυστικά Μεγέθη Υπενθυμίζουμε ότι βαθμωτό είναι το μέγεθος εκείνο που παραμένει αναλλοίωτο κάτω από στροφές του διανύσματος θέσεως του φυσικού συστήματος(ή κάτω από γενικευμένους μετασχηματισμούς συντεταγμένων). Διανυσματικά λέγονται τα μεγέθη που αλλάζουν προσανατολισμό κάτω από στροφές του διανύσματος θέσεως του φυσικού συστήματος. Αυτά έχουν τον ακόλουθο νόμο μετασχηματισμού(για τον Ευκλείδιο χώρο) όπου N A i = a ij A j, i = 1,,N (1.62) j=1 a ij = x i x j (1.63) καιτα a ij εκφράζουντοσυνημίτονοτηςγωνίαςμεταξύτων x i και x j. Στιςδύοδιαστάσειςδίνονταιαπότον ορθογώνιο πίνακα ( ) cosθ sinθ (a ij ) =. (1.64) sinθ cosθ ΣτονΡημάνιοχώροκάτωαπότομετασχηματισμόσυντεταγμένων x µ x µ διακρίνουμεδύοείδηδιανυσμάτων (α) Ανταλλοίωταπουμετασχηματίζονταισαν A µ = x µ x ν A ν.παράδειγμααποτελείτο dx µ = x µ x ν dx ν. (β) Συναλλοίωταπουμετασχηματίζονταισαν A µ = xν x A µ ν. Παράδειγμααποτελείτο φ βαθμωτό πεδίο. x = xν φ µ x µ x ν όπου φ Τα βαθμωτά και διανυσματικά μεγέθη αποτελούν ειδικές περιπτώσεις μιας μεγαλύτερης κατηγορίας μεγεθών που ονομάζονται τανυστές. Τα βαθμωτά μεγέθη είναι τανυστές μηδενικής τάξης ενώ τα διανύσματα τανυστές πρώτης τάξης.γενικάσεένα N-διάστατοχώροέναςτανυστήςτάξεως nέχει N n συνιστώσες. Κάτωαπόγενικευμένους μετασχηματισμούς συντεταγμένων ένας τανυστής δευτέρας τάξεως στον Ρημάνιο χώρο μετασχηματίζεται ανάλογα μετοεάνείναι

24 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΟΣΧ ΩΡΟΣ R 3 (α) Ανταλλοίωτοςσαν A ij = N k,l=1 x i x k x j x l A kl (β) Μικτόςσαν A i j = N k,l=1 x i x k x l x j A k l (γ)συναλλοίωτοςσαν A ij = N k,l=1 xk x i x l x j A kl. Η τάξη ενός τανυστή ισούται με τον αριθμό των μερικών παραγώγων(ή των συνιμητόνων κατεύθυνσης). Ο αριθμός των δεικτών(η τάξη του τανυστή) είναι ανεξάρτητος από την διάσταση του χώρου. Στον Ευκλείδιο χώρο και οι τρείς τανυστές ταυτίζονται. Ο διαχωρισμός υπάρχει στον Ρημάνιο χώρο. Παράδειγμα 1.4.1 Η ένταση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου είναι δευτέρας τάξης αντισυμμετρικός τανυστής και στις τέσσερις διαστάσεις(τρείς χωρικές και μία χρονική) δίνεται από την έκφραση όπου µ = ( x 0, )και A ν = (Φ, A)τοτετραδιάστατοδυναμικό. F µν = µ A ν ν A µ (1.65)

Κεφάλαιο 2 Παραγώγιση 2.1 Η Γεωμετρία των Πραγματικών Συναρτήσεων Εστω fμίασυνάρτησημεπεδίοορισμούέναυποσύνολο Aτου R n καιπεδίοτιμώνστον R m.αυτόθαδηλώνεται με καιθαεννοούμεότισεκάθε x = (x 1,,x n ) A,η fδίνειμιατιμήτην f : A R n R m (2.1) f( x) = (f 1 ( x),,f m ( x)) R m. Οισυναρτήσεις fλέγονταιδιανυσματικέςεάν m > 1καιπραγματικέςεάν m = 1. Οταν m = 1οιπραγματικές συναρτήσειςλέγονταισυναρτήσεις n-μεταβλητώναφού f( x) = f(x 1,,x n ). Ορισμός2.1.1 Εστω f : U R n R.Ορίζουμεωςγράφηματης fτουποσύνολοτου R n+1 πουαποτελείται απόόλατασημεία (x 1,,x n,f(x 1,,x n )) R n+1 με (x 1,,x n ) U.Συμβολικάθαγράφουμε Γράφηματης f = {(x 1,,x n,f(x 1,,x n )) R n+1 (x 1,,x n ) U} (2.2) Ορισμός2.1.2 Εστω f : U R n Rκαι c R. Τοσύνολοστάθμηςμετιμή cορίζεταιτοσύνολοτων σημείων x Uγιαταοποία f( x) = c.αν n = 2μιλάμεγιακαμπύληστάθμηςμετιμή cκαιαν n = 3μιλάμεγια επιφάνεια στάθμης. Συμβολικά γράφουμε Σύνολοστάθμηςμετιμή c = { x U f( x) = c} R n. (2.3) Η γνώση των συνόλων στάθμης μιάς συνάρτησης βοηθά στην καλύτερη κατανόηση της δομής της συνάρτησης. 2.2 Ορια και Συνέχεια Ορισμός2.2.1 Εστω U R n.θαλέμεότιτο Uείναιανοιχτόσύνολοεάν x 0 U r > 0 D r ( x 0 ) U (2.4) όπου D r ( x 0 ) = { x U x x 0 < r}δηλαδήτοσύνολοτωνσημείωνπουβρίσκονταιστοεσωτερικότηςσφαίρας (ήμπάλας)μεκέντρο x 0 καιακτίνα r.τασυνοριακάσημείατου Uδενανήκουνστο U. Υϊοθετούμετησύμβασηότιτοκενόσύνολοείναιανοιχτό. Επίσηςηακτίνα r > 0εξαρτάταιαπότηνθέσητου σημείου x 0 καιγενικάτείνειναμηδενιστείαντο x 0 βρίσκεταιπολύκοντάστοσύνοροτου U. Θεώρημα2.2.2 Γιακάθε x 0 R n και r > 0,οD r ( x 0 )είναιανοιχτόσύνολο. 25

26 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ2. ΠΑΡΑΓ ΩΓΙΣΗ Ορισμός2.2.3 Εστω A R n. Ενασημείο x R n λέγεταισυνοριακόσημείοτου Aανσεκάθεπεριοχήτου x υπάρχουν τουλάχιστον ένα σημείο του A και τουλάχιστον ένα σημείο εκτός του A(ή όταν περιέχει άπειρο το πλήθος σημείων του A). Παρατήρηση2.2.4 Εάντο x Aτότετο xείναισυνοριακόσημείοτου Aεάνσεκάθεπεριοχήτου xυπάρχει τουλάχιστονένασημείοπουδενανήκειστο A.Εάντο xδενανήκειστο Aτότεθαείναισυνοριακόσημείοτου A εάνσεκάθεπεριοχήτου xυπάρχειτουλάχιστονένασημείοτου A. Ορισμός2.2.5 Ενασημείο xείναισυνοριακόσημείοενόςανοιχτούσυνόλου Aανκαιμόνοαντο xδενανήκει στο Aκαικάθεπεριοχήτου xέχειμηκενήτομήμετο A. Παρατήρηση 2.2.6 Από τον ορισμό του ανοιχτού συνόλου κανένα σημείο του δεν μπορεί να είναι συνοριακό αφούθαπρέπει D r ( x 0 ) Aκαικατάσυνέπεια D r ( x 0 ) A c =. Ορισμός2.2.7 Εστω f : A R n R m,όπου Aανοιχτόσύνολο. Εστω x 0 σημείοτου Aήσυνοριακόσημείο του Aκαι Nπεριοχήτου b R m.θαλέμεότιη f( x)τείνειστο bόταντο xτείνειστο x 0 καιθαγράφουμε lim f( x) = b ή f( x) b όταν x x0 (2.5) x x 0 εάνυπάρχειπεριοχή Uτου x 0 τέτοιαώστε x U Aμε x x 0 ναείναι f( x) N. Ορισμός2.2.8 Εστω f : A R n R m,όπου Aανοιχτόσύνολο. Εστω x 0 σημείοτου Aήσυνοριακόσημείο του A. Τότε lim x x0 f( x) = bανκαιμόνοανγιακάθεαριθμό ǫ > 0υπάρχει δ > 0τέτοιοώστεγιακάθε x A πουικανοποιείτην 0 < x x 0 < δναέχουμε f( x) b < ǫ. Θεώρημα2.2.9 Εστω f, g : A R n R m,όπου Aανοιχτόσύνολο, x 0 σημείοτου Aήσυνοριακόσημείο του A, b, b 1, b 2 R m και c R: (i)αν lim x x0 f( x) = bτότε lim x x0 c f( x) = c b,όπουηc f : A R m ορίζεταιαπότην x c f( x). (ii)αν lim x x0 f( x) = b1 καιαν lim x x0 g( x) = b 2 τότε lim x x0 ( f + g)( x) = b 1 + b 2 όπουη( f + g) : A R m ορίζεταιαπότην x f( x)+ g( x). (iii)αν m = 1, lim x x0 f( x) = b 1 και lim x x0 g( x) = b 2 τότε lim x x0 (fg)( x) = b 1 b 2 όπουη(fg) : A R m ορίζεταιαπότην x f( x)g( x). (iv)αν m = 1, lim x x0 f( x) = b 0και f( x) 0γιακάθε x Aτότε lim x x0 1 f( x) = 1 b όπουη 1 f : A Rm ορίζεταιαπότην x 1 f( x). (v) Αν f( x) = (f 1 ( x),,f m ( x))όπου f i : A R, i = 1,,mείναιοισυνιστώσεςσυναρτήσειςτης fτότε lim x x0 f( x) = (b1,,bm )ανκαιμόνοαν lim x x0 f i ( x) = b i, i = 1,,m. Ορισμός2.2.10 Εστω f : A R n R m,όπου Aανοιχτόσύνολο. Εστω x 0 A. Θαλέμεότιη fείναι συνεχήςστο x 0 ανκαιμόνοαν lim x x 0 f( x) = f( x0 ) (2.6) Θαλέμεότιη f είναισυνεχήςστο Aεάνείναισυνεχήςσεκάθε x 0 A. Διαισθητικάμίασυνάρτησηθαείναι συνεχής εάν δεν έχει κοψίματα στο γράφημά της. Θεώρημα2.2.11 Εστω f, g : A R n R m,όπου Aανοιχτόσύνολο,και c R: (i)ανη fείναισυνεχήςστο x 0 τοίδιοισχύεικαιγιατην cfόπου (cf)( x) = c[ f( x)]. (ii)ανοι f, gείναισυνεχείςστο x 0 τοίδιοισχύεικαιγιατην f + gόπου ( f + g)( x) = f( x)+ g( x). (iii)αν m = 1,καιοι f,gείναισυνεχείςστο x 0 τοίδιοισχύεικαιγιατην fgόπου (fg)( x) = f( x)g( x).

2.3. ΠΑΡΑΓ ΩΓΙΣΗ 27 (iv)αν m = 1,και lim x x0 f( x) = f( x 0 ) 0με f( x) 0γιακάθε x Aτότετοπηλίκο 1 ( ) f είναισυνάρτηση 1 συνεχήςστο x 0 όπου f ( x) = 1 f( x). (v) Αν f( x) = (f 1 ( x),,f m ( x))τότεη fείναισυνεχής x 0 ανκαιμόνοανκαθεμίααπότιςπραγματικέςσυναρτήσεις f i, i = 1,,mείναισυνεχείςστο x 0. Θεώρημα2.2.12 Εστω f : A R n R m. Τότεη f είναισυνεχήςστο x 0 Aανκαιμόνοανγιακάθε ǫ > 0υπάρχειέναςαριθμός δ > 0τέτοιοςώστε 2.3 Παραγώγιση αν x Aκαι x x 0 < δτότε f( x) f( x 0 ) < ǫ. (2.7) Για να είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη θα πρέπει όχι μόνο να μην υπάρχουν κοψίματα στο γράφημά της αλλά και να ορίζεται το εφαπτόμενο επίπεδο σε κάθε σημείο του γραφήματός της. Αυτό σημαίνει ότι δεν θα υπάρχουν γωνίες,αιχμέςήπτυχές.μεάλλαλόγιατογράφημαθαπρέπειναείναιλείο. Ορισμός2.3.1 Εστω f : U R n f R,όπου Uανοιχτόσύνολο.Οιμερικέςπαράγωγοι x j, j = 1,,nως πρόςτην j-οστήμεταβλητήείναιπραγματικέςσυναρτήσεις n-μεταβλητώνοιοποίεςστοσημείο x = (x 1,,x n ) ορίζονται από τις f f(x 1,,x j +h,,x n ) f(x 1,,x n ) f( x+h e j ) f( x) (x 1,,x n ) = lim = lim x j h 0 h h 0 h όπου e j = (0,,1,,0)με1στην j-οστήθέση. Ορισμός2.3.2 Εστω f : R 2 R.Θαλέμαότιηfείναιπαραγωγίσιμηστο (x 0,y 0 )ανοι f x στο (x 0,y 0 )και f(x,y) f(x 0,y 0 ) (2.8) και f y υπάρχουν [ ] [ ] f x (x 0,y 0 ) (x x 0 ) f y (x 0,y 0 ) (y y 0 ) 0όταν (x,y) (x 0,y 0 ). (2.9) (x,y) (x 0 y 0 ) Οορισμόςαυτόςμπορείκαιναγενικευθείγια f : U R n R m,όπου Uανοιχτόσύνολο.Θαλέμεότιη fείναι παραγωγίσιμηστο x 0 Uανοιμερικέςπαράγωγοίτηςυπάρχουνστο x 0 και όπου f( x) lim f( x 0 ) T( x x 0 ) = 0 (2.10) x x 0 x x 0 f 1 x 1 f T = D f( x 2 0 ) = x 1.. f m x 1 f 1 x n f 2 x n. f m x n x 0. (2.11) Ορισμός2.3.3 Εστω f : R 2 Rπαραγωγίσιμηαπεικόνισηστο (x 0,y 0 ).Τοεπίπεδοστον R 3 πουορίζεταιαπό την εξίσωση [ ] [ ] f f z = f(x 0,y 0 )+ x (x 0,y 0 ) (x x 0 )+ y (x 0,y 0 ) (y y 0 ) ) = f(x 0,y 0 )+ ( f x f y (x 0,y 0) λέγεταιεφαπτόμενοεπίπεδοστογράφηματης fστοσημείο (x 0,y 0 ). (x x 0,y y 0 ) (2.12) Θεώρημα2.3.4 Εστω f : U R n R,όπου Uανοιχτόσύνολο.Ανηfείναιπαραγωγίσιμηστο x 0 Uτότε είναισυνεχήςστο x 0. Θεώρημα2.3.5 Εστωf : U R n R,όπου Uανοιχτόσύνολο.Ανυποθέσουμεότιόλεςοιμερικέςπαράγωγοι f i x j υπάρχουνκαιείναισυνεχείςσεμιαπεριοχήενόςσημείου x Uτότεηfείναιπαραγωγίσιμηστο x.

28 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ2. ΠΑΡΑΓ ΩΓΙΣΗ 2.4 Κλίση και Παράγωγοι κατά Κατεύθυνση Ορισμός2.4.1 Εστω f : U R 3 Rπαραγωγίσιμησυνάρτηση.Ηκλίσητηςστο (x,y,z)είναιτοδιάνυσμα στοχώρο R 3 πουδίνεταιαπότην ( gradf(x,y,z) = f(x,y,z) f = x, f y, f ). (2.13) z Η εξίσωση μιάς ευθείας που διέρχεται από το σημείο x και είναι παράλληλη με την κατεύθυνση ενός διανύσματος v δίνεται παραμετρικά από την r(t) = x+t v. (2.14) Ορισμός2.4.2 Εστω f : U R 3 R. Ηκατάκατεύθυνσηπαράγωγοςτης fστο xστηνκατεύθυνσητου διανύσματος v δίνεται από την d dt f( x+t v) f( x+h v) f( x) = lim. (2.15) t=0 h 0 h Θεώρημα2.4.3 Εστω f : U R 3 Rπαραγωγίσιμησυνάρτηση.Τότεόλεςοικατάκατεύθυνσηπαράγωγοι υπάρχουν. Η κατευθυνόμενη παράγωγος της f στο x στην κατεύθυνση του διανύσματος v δίνεται από την ( ) ( ) ( ) d dt f( x+t v) = f( x) v f f f = t=0 x ( x) v 1 + y ( x) v 2 + z ( x) v 3. (2.16) Θεώρημα2.4.4 Εστω f : U R 3 Rμια C 1 απεικόνισηκαιένασημείο(x 0,y 0,z 0 )στηνεπιφάνειαστάθμης Sπουορίζεταιαπότην f(x,y,z) = k =σταθερά. Τότετο f(x 0,y 0,z 0 )είναικάθετοστηνεπιφάνειαστάθμης μετηνεξήςέννοια:αν vείναιτοεφαπτόμενοδιάνυσμαστο t = 0μιαςκαμπύλης c(t)πουπεριέχεταιστην Sμε c(0) = (x 0,y 0,z 0 )τότε d dt f( c(t)) = f v = 0. (2.17) t=0 Ορισμός2.4.5 Εστωηεπιφάνειαστάθμης Sπουορίζεταιαπότην f(x,y,z) = k =σταθερά. Τοεφαπτόμενο επίπεδοτης Sσεένασημείο (x 0,y 0,z 0 )της Sορίζεταιαπότηνεξίσωση f(x 0,y 0,z 0 ) (x x 0,y y 0,z z 0 ) = 0,εάν f(x 0,y 0,z 0 ) 0. (2.18) Συχνάαναφερόμαστεστο fμετονόροδιανυσματικόπεδίοκλίσεων.ηγεωμετρικήτουσημασίαείναιότιδίνειτην κατεύθυνση της γρηγορότερης αύξησης της f και την κατεύθυνση που είναι ορθογώνια στις επιφάνειες στάθμης της f. Παράδειγμα2.4.6 Τοηλεκτρικόπεδίο E πουγράφεταισαντηνκλίσητουβαθμωτούδυναμικού Φ(x,y,z) δηλαδή E = Φ.Άλλοπαράδειγμααποτελούνδυνάμειςπουμπορούνναγραφούνσαντηνκλίσηκάποιουδυναμικού ήδυναμικήςενέργειας F = U(x,y,z).

Κεφάλαιο 3 Διανυσματικές Συναρτήσεις 3.1 Καμπύλες, Μήκος Τόξου, Διανυσματικό Πεδίο Ορισμός3.1.1 Μίακαμπύληστον R n είναιμίααπεικόνιση r : [a,b] R n. Ανη rείναιπαραγωγίσιμητότε λέμεότιη rείναιμίαπαραγωγίσιμηκαμπύλη.ανη rείναιτηςκλάσεωςc 11 λέμεότιη rείναιμίαc 1 καμπύλη.τα σημεία r(a), r(b)λέγονταιάκρατηςκαμπύληςκαιηεικόνατης rτροχιάτηςκαμπύλης.εάνσυμβολίσουμεμε tτη μεταβλητήκαι rμίακαμπύληστον R 3 τότεμπορούμεναγράψουμε r(t) = (x(t),y(t),z(t))όπουοι x(t),y(t),z(t) ονομάζονται συνιστώσες της r. Ορισμός3.1.2 Εστω r : [a,b] R n όπου rμία C 1 καμπύλη.τομήκοςτηςκαμπύλης rορίζεταιαπότην l( r) = όπου r (t) = d s(t) dt = n dx i(t) i=1 dt e i και r (t) = και είναι συνεχής συνάρτηση. b a r (t) dt (3.1) n i=1 [x i (t)]2. Τοολοκλήρωμαυπάρχειαφούη r (t)υπάρχει Η γεωμετρική ερμηνεία είναι ότι το μήκος l( r) της καμπύλης λαμβάνεται σαν το όριο της ακολουθίας των πολυγώνων που είναι εγγεγραμμένα στο τόξο όταν το μήκος της μεγαλύτερης πλευράς κάθε μέλους της ακολουθίας τείνει στομηδέν. Ησυνάρτησημήκουςτόξου s(t)πουεκφράζειτομήκοςτηςκαμπύληςαπόδεδομένοσημείοσεένα μεταβαλόμενο ορίζεται από την s(t) = t οπότε μπορούμε να γράψουμε για το μήκος της καμπύλης όπου s (t) = d dt από την οποία συνάγεται ότι l( r) = b a a r (τ) dτ (3.2) s (t)dt = s(b) s(a) (3.3) ( ) t a r (τ) dτ = r (t).εάνεισάγουμετομήκοςτόξουσανπαράμετροτότε l( r) = b a r (s) ds (3.4) d r(s) ds = ds = 1. (3.5) ds Δηλαδή το εφαπτόμενο διάνυσμα είναι μοναδιαίο όταν το μήκος τόξου εκλεγεί για παράμετρος. 1 Η r(t)είναικλάσεως C 1 εάνοι x(t),y(t),z(t)είναικλάσεως C 1 δηλαδήοι x t, y t, z t υπάρχουνκαιείναισυνεχείςοπότεηύπαρξη συνεχώνμερικώνπαραγώγωνεξασφαλίζειτηνπαραγωγισιμότητατης r. Η r(t)είναικατάτμήματακλάσεως C 1 εάνοι x(t),y(t),z(t) είναικατάτμήματακλάσεως C 1 δηλαδήυπάρχειδιαμέρισητου [a,b]: a = t 0 < t 1 < < t N = bτέτοιαώστεοισυνιστώσεςτης r(t) περιορισμένεςσεκάθεδιάστημα [t i,t i+1 ], 0 i N 1ναείναικλάσεως C 1. Οιπαράγωγοιυπολογίζονταιμετηχρήσηπλευρικών ορίων. 29

30 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ3. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΕΣΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ Παράδειγμα3.1.3 Εστω rηκαμπύλη r(t) = (2t,t 2,logt)ορισμένηγια t > 0. Βρείτετομήκοςτόξουτης r ανάμεσαστασημεία (2,1,0)και (4,4,log2). ΛύσηΤασημείααντιστοιχούνστιςτιμές t = 1, t = 2αντίστοιχα.Τομήκοςτουδιανύσματος r (t)είναι r (t) = 1 t (2t2 +1) (3.6) οπότετομήκοςτηςκαμπύληςμεσύνοροταδεδομένασημείαθαείναι 2 ( l( r) = 2t+ 1 ) dt = 3+log2. (3.7) t 1 Ορισμός3.1.4 Εναδιανυσματικόπεδίοστον R n είναιμίααπεικόνιση F : A R n R n πουαντιστοιχείσε κάθεσημείο xτουπεδίουορισμούτης, A,έναδιάνυσμα F( x).μίααπεικόνιση f : A R n Rπουαντιστοιχεί σε κάθε σημείο ένα αριθμό λέγεται βαθμωτό πεδίο. Εναδιανυσματικόπεδίο Fστον R 3 γράφεταισαν F(x,y,z) = (F 1 (x,y,z),f 2 (x,y,z),f 3 (x,y,z)) (3.8) όπουοισυνιστώσες F i, i = 1,2,3είναιβαθμωτέςσυναρτήσεις. Εάνοι F i είναικλάσεως C k τότελέμεότιτο διανυσματικόπεδίο Fείναικλάσεως C k. Ορισμός3.1.5 Αν Fείναιέναδιανυσματικόπεδίο,μίαγραμμήροήςήολοκληρωτικήκαμπύλητου Fείναιμία καμπύλη r(t) τέτοια ώστε: δηλαδήτο Fκαθορίζειτοπεδίοταχυτήτωντηςκαμπύλης r(t). r (t) = F( r(t)) (3.9) Παράδειγμα 3.1.6 Σχεδιάστε μερικές γραμμές ροής για τα διανυσματικά πεδία (1) F(x,y) = (y, x) (2) F(x,y) = (x, y) (3) F(x,y) = (x,x 2 ) ΛύσηΧρησιμοποιώνταςτηςσχέση r (t) = F( r(t))καιαπαλείφονταςτηνπαράμετρο tέχουμε (1) dx y = dy x d(x2 +y 2 ) = 0 x 2 +y 2 = c 2.Ηεξίσωσηαυτήπεριγράφειμίαοικογένειαομόκεντρωνκύκλων με κέντρο την αρχή των αξόνων και μεταβλητή ακτίνα. y x Σχήμα 3.1: Οι γραμμές ροής του πρώτου διανυσματικού πεδίου είναι ομόκεντροι κύκλοι με αρχή που ταυτίζεται με την αρχή του συστήματος συντεταγμένων. (2) dx x = dy y log(xy) = c xy = ec. Ηεξίσωσηαυτήπεριγράφειμίαοικογένειααπόυπερβολέςστοπρώτο τεταρτημόριο. (3) dx x = dy x 2 d( 1 2 x2 y) = 0 y = 1 2 x2 + c. Ηεξίσωσηαυτήπεριγράφειμίαοικογένειααπόπαραβολές μετατοπισμένες κατά c στον άξονα y.

3.2. ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜ ΟΣΚΑΙΑΠ ΟΚΛΙΣΗΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΥΠΕΔ ΙΟΥ 31 y x Σχήμα 3.2: Το δεύτερο διανυσματικό πεδίο έχει γραμμές ροής που παριστάνονται από μια οικογένεια υπερβολών. y x Σχήμα 3.3: Το τρίτο διανυσματικό πεδίο έχει γραμμές ροής που παριστάνονται από μια οικογένεια παραβολών. 3.2 Στροβιλισμός και Απόκλιση Διανυσματικού Πεδίου Ηπράξητουστροβιλισμούαντιστοιχείσεκάθε C 1 διανυσματικόπεδίο F R 3.Τοδιανυσματικόπεδίο curl F = Fορίζεταιαπότην όπου F = (F 1,F 2,F 3 ). Θεώρημα3.2.1 Γιακάθε C 2 συνάρτηση fέχουμε F i j k = x y z F 1 F 2 F 3 (3.10) ( f) = 0. (3.11) Απόδειξη:Για καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων και χρησιμοποιώντας τον ορισμό του στροβιλισμού έχουμε f i j k ( 2 ) ( f = x y z = y z 2 f i+ 2 ) ( f z y z x 2 f j 2 ) f + x z x y 2 f k = 0 (3.12) y x f x f y f z Μίαάλληβασικήπράξηείναιηαπόκλισηπουορίζεταιαπότην Ηαπόκλισητου Fείναιβαθμωτόπεδίο. div F = F = 3 i=1 F i x i. (3.13)