ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β θμφ, εφφ ςφφ Μ Δ ςυνφ Α Ν Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1
1 ο Τεταρτθμόριο : { Πλα κετικά. ο Τεταρτθμόριο : { Ημφ κετικό. 3 ο Τεταρτθμόριο : { Εφφ,ςφφ κετικζσ. 4 ο Τεταρτθμόριο : { Συνφ κετικι. ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΡΑΑΤΗΗΣΗ: Από τον τριγωνομετρικό κφκλο παρατθροφμε ότι τα θμφ,ςυνφ είναι αρικμοί που κυμαίνονται από το -1 ζωσ το 1.Ενώ οι εφφ,ςφφ μποροφν να πάρουν όποιεσ τιμζσ κζλουμε. Δθλ.: Αν παρατθριςουμε προςεχτικά τον τριγωνομετρικό κφκλο μποροφμε να βροφμε εκείνουσ τουσ τριγωνομετρικοφσ αρικμοφσ που αντιςτοιχοφν ςτα 4 ςθμεία του ορίηοντα. Αν το τόξο καταλιξει ςτο Βορρά ι ςτο Νότο παρατθροφμε ότι όταν ενώςουμε αυτά τα δφο ςθμεία με το Ο και προεκτείνουμε δεν κα ακουμπιςουμε τον άξονα των εφαπτομζνων, γι αυτό και www.commonmaths.weebly.com Σελίδα
δεν ορίηεται θ εφ και θ εφ. Ομοίωσ για τον ίδιο λόγο δεν ορίηεται θ ςφ και θ ςφ. θμ 0 1 0-1 0 ςυν 1 0-1 0 1 εφ 0 Χ 0 Χ 0 ςφ Χ 0 Χ 0 Χ ΑΚΤΙΝΙΟ (rad) ΟΙΣΜΟΣ: Ζνα ακτίνιο ονομάηεται θ επίκεντρθ γωνία ενόσ κφκλου που το αντίςτοιχο τόξο τθσ ζχει μικοσ ίςο με μία ακτίνα. Α Β ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Σο μικοσ του κφκλου=l=π.ρ Η πλιρθσ γωνία είναι π rad Δθλ. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 3
ΣΧΕΣΗ ΑΚΤΙΝΙΟΥ ΚΑΙ ΜΟΙΑΣ Είναι γνωςτό ότι τα π ακτίνια αντιςτοιχοφν ςτισ 180 ο.άρα: α ακτίνια π ακτίνια Τριγωνομετρικοί αρικμοί βαςικϊν γωνιϊν 0 rad θμ 0 1 ςυν 1 0 εφ 0 1 Χ ςφ Χ 1 0 www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 4
ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 ο ΤΕΤΑΤΗΜΟΙΟ ΡΑΑΡΛΗΩΜΑΤΙΚΑ ΤΟΞΑ :φ, π-φ ( ο τεταρτθμόριο) π/ π-φ θμ(π-φ)= + θμφ ςυν(π-φ)= - ςυνφ ι ςυνφ= ςυν(π-φ) εφ(π-φ)= - εφφ ςφ(π-φ)= - ςφφ π Αφοφ καταλιγω ςτο ο τεταρτθμόριο, μόνο το θμω είναι κετικό γι αυτό και βάηουμε +, ενϊ ςτουσ άλλουσ τριγωνομετρικοφσ αρικμοφσ βάηουμε αφοφ είναι αρνθτικοί. π.χ θμ150 ο =θμ(180 ο -30 ο )=θμ30 ο =1/ ςυν10 ο =ςυν(180 ο -60 ο )=-ςυν60 ο = / ΑΝΤΙΘΕΤΑ ΤΟΞΑ : φ,-φ (4 ο τεταρτθμόριο) ςυν>0 0 θμ(-φ)= - θμφ ι -θμφ= θμ(-φ) 3π/ ςυν(-φ)= + ςυνφ εφ(-φ)= - εφφ ι -εφφ= εφ(-φ) ςφ(-φ)= - ςφφ ι -ςφφ= ςφ(-φ) π.χ εφ(-45 ο )= - εφ45 ο = - 1 ςφ(-60 ο )= - ςφ60 ο = /3 -φ Αφοφ καταλιγω ςτο 4 ο τεταρτθμόριο, μόνο το ςυνω είναι κετικό γι αυτό και βάηουμε +, ενϊ ςτουσ άλλουσ τριγωνομετρικοφσ αρικμοφσ βάηουμε αφοφ είναι αρνθτικοί. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 5
ΤΟΞΑ ΜΕ ΔΤΑΦΟΑ π : φ, π+φ (3 ο τεταρτθμόριο) εφ, ςφ >0 π π+φ θμ(π+φ)= - θμφ 3π/ ςυν(π+φ)= - ςυνφ εφ(π+φ)= + εφφ ςφ(π+φ)= + ςφφ Αφοφ καταλιγω ςτο 3 ο τεταρτθμόριο, μόνο θ εφφ άρα και θ ςφφ είναι κετικζσ γι αυτό και βάηουμε +, ενϊ ςτουσ άλλουσ τριγωνομετρικοφσ αρικμοφσ βάηουμε αφοφ είναι π.χ θμ5 ο =θμ(180 ο +45 ο )= - θμ45 ο = / ςφ40 ο =ςφ(180 ο +60 ο )= ςφ60 ο = ΤΟΞΑ ΜΕ ΔΙΑΦΟΑ π : φ, π+φ (1 ο τεταρ) θμ,ςυν,εφ,ςφ >0 π/ π+φ θμ(π+φ)= + θμφ ςυν(π+φ)= + ςυνφ εφ(π+φ)= + εφφ ςφ(π+φ)= + ςφφ 0 π Αφοφ καταλιγω ςτο 1 ο τεταρτθμόριο, όλοι τριγωνομετρικοί αρικμοί είναι κετικοί γι αυτό και βάηουμε ςε όλουσ +. Δθλαδι ςτουσ τριγωνομετρικοφσ αρικμοφσ θ μία ολόκλθρθ περιςτροφι δεν επθρεάηει το αποτζλεςμα,ομοίωσ και οι δφο περιςτροφζσ κ.ο.κ οι κ περιςτροφζσ. Άρα: θμ(κπ+φ)=θμφ ςυν(κπ+φ)=ςυνφ εφ(κπ+φ)=εφφ ςφ(κπ+φ)=ςφφ Ρ.χ. θμ390 ο =θμ(360 ο +30 ο )=θμ30 ο =1/ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 6
ΤΟΞΑ ΜΕ ΑΘΟΙΣΜΑ π : φ,π-φ (4 ο τεταρ) ςυν >0 0 π θμ(π-φ)= - θμφ ςυν(π-φ)= + ςυνφ εφ(π-φ)= - εφφ ςφ(π-φ)= - ςφφ Π.χ. θμ300 ο =θμ(360 ο -60 ο )=-θμ60 ο =- 3π/ π-φ Αφοφ καταλιγω ςτο 4 ο τεταρτθμόριο, μόνο το ςυνω είναι κετικό γι αυτό και βάηουμε +, ενϊ ςτουσ άλλουσ τριγωνομετρικοφσ αρικμοφσ βάηουμε αφοφ είναι αρνθτικοί. ςυν315 ο =θμ(360 ο -45 ο )=ςυν45 ο =. ΡΑΑΡΛΗΩΜΑΤΙΚΑ ΤΟΞΑ: φ, π/-φ (1 0 τετ.) θμ,ςυν,εφ,ςφ >0 π/ π/-φ 0 ΡΟΣΟΧΗ : ΑΛΛΑΖΕΙ Ο ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙΚΟΣ ΑΙΘΜΟΣ θμ(π/-φ)= ςυνφ ι ςυνφ=θμ(π/-φ) Αφοφ καταλιγω ςτο 1 ο τεταρτθμόριο, όλοι τριγωνομετρικοί αρικμοί είναι κετικοί γι αυτό και βάηουμε ςε όλουσ +. ΡΟΣΟΧΗ: Πταν ζχουμε π/ αλλάηει ο τριγωνομετρικόσ αρικμόσ ςυν(π/-φ)= θμφ ι θμφ=ςυν(π/-φ) εφ(π/-φ)= ςφφ ι ςφφ=εφ(π/-φ) ςφ(π/-φ)= εφφ ι εφφ=ςφ(π/-φ) www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 7
ΤΟΞΑ ΜΕ ΔΙΑΦΟΑ π : φ,π/+φ ( 0 τετ.) θμ >0 π/ π/+φ ΡΟΣΟΧΗ : ΑΛΛΑΖΕΙ Ο ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙΚΟΣ ΑΙΘΜΟΣ π Αφοφ καταλιγω ςτο ο τεταρτθμόριο μόνο το θμω είναι κετικό γι αυτό και βάηουμε +, ενϊ ςτουσ άλλουσ τριγωνομετρικοφσ αρικμοφσ βάηουμε αφοφ είναι αρνθτικοί. θμ(π/+φ)= + ςυνφ ςυν(π/+φ)= - θμφ εφ(π/+φ)= - ςφφ ςφ(π/+φ)= - εφφ ΡΟΣΟΧΗ: Πταν ζχουμε π/ αλλάηει ο τριγωνομετρικόσ αρικμόσ ΤΟΞΑ ΜΕ ΔΙΑΦΟΑ 3π/ : φ, 3π/+φ (4 0 τετ.) ςυν >0 π/ 0 3π/+φ ΡΟΣΟΧΗ : 3π/ ΑΛΛΑΖΕΙ Ο ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙΚΟΣ ΑΙΘΜΟΣ θμ(3π/+φ)= - ςυνφ ςυν(3π/+φ)= + θμφ εφ(3π/+φ)= - ςφφ ςφ(3π/+φ)= - εφφ Αφοφ καταλιγω ςτο 4 ο τεταρτθμόριο μόνο το ςυνφ είναι κετικό γι αυτό και βάηουμε +, ενϊ ςτουσ άλλουσ τριγωνομετρικοφσ αρικμοφσ βάηουμε αφοφ είναι αρνθτικοί. ΡΟΣΟΧΗ: Πταν ζχουμε 3 π/ αλλάηει ο τριγωνομετρικόσ αρικμόσ. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 8
ΤΟΞΑ ΜΕ ΑΘΟΙΣΜΑ 3π/ : φ,3π/-φ (3 0 τετ.) εφ, ςφ >0 ΡΟΣΟΧΗ : 3π/-φ π 3π/ ΑΛΛΑΖΕΙ Ο ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙΚΟΣ ΑΙΘΜΟΣ θμ(3π/-φ)= - ςυνφ ςυν(3π/-φ)= - θμφ εφ(3π/-φ)= + ςφφ ςφ(3π/-φ)= + εφφ Αφοφ καταλιγω ςτο 3 ο τεταρτθμόριο μόνο θ εφφ είναι κετικι άρα και θ ςφφ, γι αυτό και βάηουμε +, ενϊ ςτουσ άλλουσ τριγωνομετρικοφσ αρικμοφσ βάηουμε αφοφ είναι αρνθτικοί. ΡΟΣΟΧΗ: Πταν ζχουμε π/ αλλάηει ο τριγωνομετρικόσ αρικμόσ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ i. { ii. { iii. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 9
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 θ Να βρεκεί το πρόςθμο των παρακάτω τριγωνομετρικϊν αρικμϊν:,,,, ΛΥΣΗ Θυμιςου το Ο.Η.Ε.Σ. ςτον τριγωνομετρικό κφκλο.,, κ.ο. κ. ΑΣΚΗΣΗ θ Αν να βρεκεί το πρόςθμο των τριγωνομετρικϊν αρικμϊν τθσ γωνίασ φ. ΑΣΚΗΣΗ 3 θ Αν να δειχκεί ότι: i. εφφ θμφ +ςφφ-ςυνφ ii. εφφ+θμφ. ΑΣΚΗΣΗ 4 θ Αν να δειχκεί ότι: i. εφφ+θμφ-ςυνφ+ςφφ ii. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 10
ΑΣΚΗΣΗ 5 θ Ροιοσ είναι ο τφποσ που ςυνδζει τισ μοίρεσ με τα ακτίνια; ΑΡΑΝΤΗΣΗ Ο τφποσ που ςυνδζει τισ μοίρεσ με τα ακτίνια είναι : ΑΣΚΗΣΗ 6 θ Να μετατρζψεισ τισ παρακάτω μοίρεσ ςε ακτίνια: ΛΥΣΗ κ.ο.κ. ΑΣΚΗΣΗ 7 θ Να μετατρζψεισ τα παρακάτω ακτίνια ςε μοίρεσ: ΛΥΣΗ, κ.ο. κ. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 11
ΑΣΚΗΣΗ 8 θ Nα φτιάξεισ τον τριγωνομετρικό κφκλο και να αναφζρεισ ςε κάκε τεταρτθμόριο το πρόςθμο των τριγωνομετρικϊν αρικμϊν. ΑΣΚΗΣΗ 9 θ Να αναχκοφν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί ςτο 1 ο τεταρτθμόριο: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ). ΑΣΚΗΣΗ 10 θ Να υπολογιςκοφν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αρικμοί: i. θμ150 ο = ii. ςυν10 ο = iii. εφ135 ο = iv. ςφ10 ο = v. εφ40 ο = vi. θμ5 ο = vii. θμ(-30 ο )= viii. ςυν(-45 ο )= ix. εφ(-60 ο )= (Υπ. Τισ παραπάνω μοίρεσ να τισ γράψεισ ωσ άκροιςμα ι διαφορά με τισ 180 ο, π.χ. 150 ο =180 ο -30 ο και 10 ο =180 ο +30 ο ) www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1
ΑΣΚΗΣΗ 11 θ Να υπολογιςκοφν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αρικμοί: i. θμπ/3= ( - ) ( ) ii. ςυν3π/4= iii. εφ5π/6= iv. ςφ4π/3= v. εφ5π/4= vi. θμ7π/6= Θυμιςου ότι θμ(π-φ)= θμφ αφοφ το π-φ ςε οδθγεί ςτο ο τεταρ. όπου το θμ 0 vii. θμ(-5π/4)= -θμ5π/4= -θμ( + )= -θμ( + )= viii. ix. - (-θμπ/4)= θμπ/4= ςυν(-3π/4)= εφ(-5π/6)= Θυμιςου ότι θμ(-φ)=- θμφ αφοφ το -φ ςε οδθγεί ςτο 4 ο τεταρ. όπου το θμ 0 αλλά και το θμ(π+φ)=-θμφ αφοφ το π+φ ςε οδθγεί ςτο 3 ο τετ. όπου θμ 0 (Υπ. Τα παραπάνω ακτίνια να τα γράψεισ ωσ άκροιςμα ι διαφορά με το π, π.χ. = - = και = + = ) ΑΣΚΗΣΗ 1 θ Να υπολογιςκοφν οι τιμζσ των παραςτάςεων: i. Α= ii. Β= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) αν φ= αν φ= Θυμιςου ότι ςυν( 3π -φ)=-θμφ αφοφ το 3π -φ ςε οδθγεί ςτο 3ο τεταρ. όπου το ςυν 0 ΡΟΣΟΧΗ: όποτε ζχω π 3π i. Α= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΛΥΣΗ αν φ= ( ), ( ) ( ) -θμφ, ( ) Αλλάηει ο τριγωνομετρικόσ αρικμ. ( ), ( ) ΑΡΑ: Α= ( ) ( ) ( ) ii. Ομοίωσ. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 13
ΑΣΚΗΣΗ 13 θ Δίνεται ότι 90 ο <φ<180 ο και θμφ=.να υπολογιςτοφν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αρικμοί. ΛΥΣΗ 90 ο <φ<180 ο { ( ) Είναι γνωςτό ότι ςφφ =, εφφ δθλ. το αντίςτροφο τθσ εφφ. 1 ΑΣΚΗΣΗ 14 θ Δίνεται ότι 180 ο <φ<70 ο και ςυνφ= οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αρικμοί. ΑΣΚΗΣΗ 15 θ Δίνεται ότι 70 ο <φ<360 ο και θμφ= οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αρικμοί..να υπολογιςτοφν.να υπολογιςτοφν ΑΣΚΗΣΗ 16 θ Δίνεται ότι 0 ο <φ<90 ο και ςυνφ=.να υπολογιςτοφν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αρικμοί. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 14
ΑΣΚΗΣΗ 17 θ Δίνεται ότι 90 ο <φ<180 ο και εφφ=.να υπολογιςτοφν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αρικμοί. 90 ο <φ<180 ο { ΛΥΣΗ Ράντα ξεκινάμε με τθν ςχζςθ ημ φ συν φ 1 και διαιροφμε με το ςυνφ για να εμφανιςκεί θ εφφ που είναι γνωςτι. ( ) ( ) Είναι γνωςτό ότι ςφφ =, εφφ δθλ. το αντίςτροφο τθσ εφφ. 1 ΑΣΚΗΣΗ 18 θ Δίνεται ότι 180 ο <φ<70 ο και ςφφ=.να υπολογιςτοφν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αρικμοί. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 15
ΑΣΚΗΣΗ 19 θ ταυτότθτεσ: Να αποδειχκοφν οι παρακάτω τριγωνομετρικζσ i. ( ) ( ) ii. iii. Ράντα ξεκινάμε από το πιο ςφνκετο μζλοσ iv. ( ) ( ) ΛΥΣΗ i. 1 ο μζλοσ=( ) ( ) = 5. + 4θμα.ςυνα +5. -4θμα.ςυνα= 5.( + )=5.1=5= ο μζλοσ ii. 1 ο μζλοσ= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ο μζλοσ. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 16
ΑΣΚΗΣΗ 19 θ ταυτότθτεσ: Να αποδειχκοφν οι παρακάτω τριγωνομετρικζσ i. ii. 1 ημ θ - 1 εφ θ 1 1 συνα - συνα 1 + ημα = εφα Και μερικζσ δφςκολεσ αςκιςεισ ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙΑ ΟΙΣΜΟΙ ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙΚΩΝ ΑΙΘΜΩΝ Α) Ερωτιςεισ Σωςτοφ (Σ) - Λάκουσ (Λ) i. H γωνία με μζτρο 3π ζχει τθν ίδια τελικι πλευρά με τθν γωνία - π. ii. Η γωνία με μζτρο 60 ο ζχει τθν ίδια τελικι πλευρά με τθν γωνία - 40 ο iii. Αν ω < 0 τότε θμω < 0. iv. Το θμ750 ο είναι κετικόσ αρικμόσ. v. Για οποιαδιποτε γωνία ω ιςχφει θμω> 1. Β) Ερωτιςεισ πολλαπλισ επιλογισ i. Το μζτρο τθσ γωνίασ κ = 40 ο ςε rad είναι: Α. π 5 Β. 3π 4 Γ. ii. Το μζτρο τθσ γωνίασ κ = π 9 7π 1 Δ. π 1 Ε. 3 ςε μοίρεσ είναι: Α. 100 Β. 105 ο Γ. 50 ο Δ. 00 ο Ε. 300 ο www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 17
iii. Αν θμx = λ λ - Τριγωνομετρικός κύκλος λ ο λ παίρνει τιμζσ: Α. λ 1 Β. λ > 1 Γ. λ = 1 Δ. λ < -1 iv. Αν ςυν x = λ λ IR ο λ παίρνει τιμζσ: λ + 1 Α. -1 λ 1 Β. λ > Γ. λ 0 Δ. λ < -1 v. Η μεγίςτθ τιμι τθσ παράςταςθσ Κ = 3ςυνκ + θμκ είναι: Α. 4 Β. -4 Γ. 3 Δ. 0 Ε. -3. Γ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 θ Να βρεκοφν πάνω ςτο τριγωνομετρικό κφκλο: Τα ςθμεία που ορίηονται από τθν τελικι πλευρά τθσ γωνίασ i) π 3 + Κπ, ii) - π 4 + Kπ π, iii) 3 + Κπ 6 Κ Ζ. ΑΣΚΗΣΗ θ Για κάκε γωνία κ να βρείτε τισ τιμζσ που παίρνουν οι παραςτάςεισ: Α = 3 - θμκ, Β = θμκ - 5ςυνκ, Γ = θμ κ + 3ςυνκ Δ = 3 ςυν κ - 4. ΑΣΚΗΣΗ3 θ Nα βρείτε το πρόςθμο των παρακάτω τριγωνομετρικϊν αρικμϊν: i) θμ550 ο, ii) ςυν80 ο, iii) εφ(-1000 ο ), iv) ςυν(-300 ο ). www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 18
ΑΣΚΗΣΗ 4 θ Αν π < κ < παραςτάςεων: Τριγωνομετρικός κύκλος 3π Α= εφκ - θμκ - ςυνκ, Β = να βρείτε το πρόςθμο των ημθ - εφθ συνθ - σφθ. ΑΣΚΗΣΗ 5 θ Να βρείτε το πρόςθμο των παραςτάςεων: Α = - συν100 εφ780, Β = ημ4000 εφ00 συν5000 Γ ΑΣΚΗΣΗ 6 θ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Γ = 30 ο. Φζρουμε το φψοσ ΑΔ, αν ΒΔ = 1cm, ΔΓ = 3cm να βρεισ τθν περίμετρο του ΑΒΓ. Γ ΑΒΓ ΑΣΚΗΣΗ 7 θ Δίνεται τρίγωνο με B = 8 ο, Γ = 50 ο. Φζρουμε το φψοσ ΑΔ, αν ΔΓ = 8cm να βρείτε τθν πλευρά ΑΒ. ΑΣΚΗΣΗ 8 θ Σε ζνα κφκλο με κζντρο Ο και ακτίνα R να εγγράψετε ζνα ιςοςκελζσ τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Εςτω Μ το μζςο τθσ ΒΓ. Να δείξετε ότι: i) ΒΓ = RθμΑ, ii) ΑΜ = R (1 + ςυνα). ΑΣΚΗΣΗ 9 θ Ενασ ηωγράφοσ παρατθρεί άγαλμα φψουσ 4,70m και βρίςκεται ςε απόςταςθ 8m από αυτό. Αν το φψοσ του ηωγράφου είναι 1,70m να βρείτε το μζτρο τθσ γωνίασ ω υπό τθν οποία ο ηωγράφοσ βλζπει το άγαλμα. ΑΣΚΗΣΗ 10 θ Να υπολογίςετε τισ τιμζσ των παραςτάςεων: π - εφπ Α = 3θμ - 4(ςυνπ - 5θμπ) + ημ 3π. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 19
ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Α) Ερωτιςεισ Σωςτοφ (Σ) - Λάκουσ (Λ) i. Αν θμω = 0 τότε ςυνω = 0. ii. Αν θμω = 1 τότε ςυνω = 0. iii. Αν θμω = 0 τότε ςυνω = 1 ι ςυνω = -1. iv. Αν εφω = v. Αν εφω = 5 4 τότε ςφω = 4 5. 1 α α τότε ςυνω = 1 + α. vi. Αν θμω = 1 τότε ςυνω = 3. vii. Αν θμω < 0 και ςυνω < 0 τότε εφω < 0. viii. Για κάκε γωνία ω ιςχφει ςυν ω = ix. Για κάκε γωνία ω ιςχφει ςυν ω = 1 1+ εφ 1 1+ σφ ω. ω. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 0
Β) Ερωτιςεισ πολλαπλισ επιλογισ i. Αν x = ςυνκ και y = 3θμκ τότε ιςχφει: y Α. x + 9 = 1, y Β. x - 9 = 1, y Γ. x + 3 = 1, Δ. x - y = 3. ii.αν x = 3θμκ και y = 4ςυνκ τότε ιςχφει: x y x y Α. - = 1, Β. + = 1, Γ. 9x 9 16 9 16-16y = 1, Δ. x - y = 1. iii. H παράςταςθ Α = θμ 3 x ςυνx + ςυν 3 xθμx είναι ίςθ με: Α. θμx, Β. ςυνx, Γ. θμxςυνx, Δ. εφx iv. H παράςταςθ Α = ςφx ςυνxθμx είναι ίςθ με: Α. θμx Β. θμ x Γ. ςυνx Δ. ςυν x v. Αν θμx = - 3 5 180 ο < x < 70 ο τότε ςυνx είναι ίςο με: Α. 4 5, Β. 5 4, Γ. - 4 5, Δ. - 5 4. vi. Αν 0 < x < π και θμx + ςυνx = θμ 3 x + ςυν 3 x είναι: Α. 8 8 Β. Γ. 9 16 Δ. 5 3 6 Ε.. 7 3 θ τιμι τθσ παράςταςθσ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1
π vii. Αν 0 < x < θμx + ςυνx είναι: και θμxςυνx = 5 8 θ τιμι τθσ παράςταςθσ Α. 1, Β. 3, Γ., Δ. 3 8,Ε. 5 4. Γ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 ΑΣΚΗΣΗ 1 θ Αν ςφx - και 3 παράςταςθ A = 1 + ημxσυνx 1 + ημx 3π < x < π να υπολογίςετε τθν π ΑΣΚΗΣΗ θ Αν 9εφ x = 4 και < x < π να υπολογίςετε τθν εφx παράςταςθ A = 1 - ημx + εφx 1 + ημx.. ΑΣΚΗΣΗ 3 θ Να αποδειχκοφν οι παρακάτω ιςότθτεσ: α) ςυν 4 x - θμ 4 x = ςυν x - θμ x = ςυν x - 1 = 1 - θμ x β) (θμx + ςυνx) = 1 + θμx ςυνx. γ) θμ 4 x + ςυν 4 x = 1 - θμ xςυν x δ) θμ 6 x + ςυν 6 x = 1-3θμ xςυν x. ΑΣΚΗΣΗ 4 θ Να αποδειχκοφν οι παρακάτω ιςότθτεσ: α) εφα + σφβ εφβ + σφα = εφα εφβ β) (1 + εφ α) (1 - ςυν α) = εφ α γ) (θμα + εφα) (ςυνα + ςφα) = (1 + θμα) (1 + ςυνα) www.commonmaths.weebly.com Σελίδα
ΑΣΚΗΣΗ 5 θ Να δείξετε ότι: Τριγωνομετρικός κύκλος α) 1 ημ θ - 1 εφ θ 1 β) εφ κ - θμ κ = εφ κ θμ κ γ) σφθ 1 + σφθ + εφθ 1 + εφθ 1 δ) 4 1 + εφ θ εφ θ + σφ θ εφ θ ε) 1 + ημθ - συνθ 1 + ημθ + συνθ + 1 + ημθ + συνθ 1 + ημθ - συνθ ημθ. ΑΣΚΗΣΗ 6 θ Αν 0 < x < π να δείξετε ότι: α) 1 + ημx + 1 - ημx 1 + ημx - 1 - ημx = 1 + συνx ημx β) 1 + ημx 1 - ημx - 1 - ημx 1 + ημx = εφx. ΑΣΚΗΣΗ 7 θ Να δείξετε ότι: 4 α) ημ x + 4συν x = - ημ x β) ημ x + 4συν x + συν x + 4ημ x = 3 4 4. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 3
ΑΣΚΗΣΗ 8 θ Εςτω f(x) = 3 (θμ 4 x +ςυν 4 x) - (θμ 6 x + ςυν 6 x) με x R. Nα δείξετε ότι θ f(x) είναι ςτακερι. ΑΣΚΗΣΗ 9 θ Αν είναι x = θμκ - ςυνκ το x ωσ ςυνάρτθςθ του y. και y = εφκ + ςφκ να βρείτε ΑΣΚΗΣΗ 10 θ Αν θμx + ςυνx = α του α οι παραςτάςεισ: να υπολογιςτοφν ωσ ςυνάρτθςθ Α. θμx ςυνx, Β. θμ 4 x + ςυν 4 x, Γ. θμ 3 x + ςυν 3 x, Δ. θμ 6 x + ςυν 6 x. ΑΣΚΗΣΗ 11 θ Δίνεται θ ςυνάρτθςθ : f(x) = (αςυνx - βθμx) +(αθμx+ βςυνx) f(x) είναι ςτακερι. με x ΙR. Να δείξετε ότι θ ΑΣΚΗΣΗ 1 θ Αν για τθ γωνία κ ιςχφει 4θμκ + 3ςυνκ = 5 i) Να δείξετε ότι εφκ = 4 3 ii) Να δείξετε ότι εφθ 1 + σφθ + εφθ 1 + εφθ = 4 3 ΑΣΚΗΣΗ 13 θ Να βρεκοφν οι τιμζσ του κ ϊςτε να ιςχφει θμω = κ - κ + και ςυνω = κ κ +. ΑΣΚΗΣΗ 14 θ Για κάκε γωνία x να αποδείξετε ότι: α) θμx ςυνx 1, β) θμx + ςυνx, γ) θμ 4 x + ςυν 4 x 1, δ) θμ x - 3θμx + 3 > 0 ςτ) θμx + ςυνx>1 με 0<x < π. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 4
ΑΣΚΗΣΗ 15 θ Δίνεται θ εξίςωςθ x - x - εφ κ = 0, ςυνκ 0. i) Να δείξετε ότι θ εξίςωςθ ζχει ρίηεσ πραγματικζσ και άνιςεσ, οι οποίεσ να βρεκοφν. ii) Αν x 1, x οι ρίηεσ τθσ εξίςωςθσ να υπολογίςετε τθν τιμι τθσ A = παράςταςθσ x - x 1 1. iii) Αν f(x) = x x - 1 να δείξετε ότι f(x 1 ) f(x ) = - εφ κ θμ κ. ΑΣΚΗΣΗ 16 θ Δίνεται θ εξίςωςθ x - x θμκ - ςυν κ = 0. i) Να λφςετε τθν εξίςωςθ. ii) Αν x 1, x οι ρίηεσ τθσ εξίςωςθσ να αποδείξετε ότι : x 1 + x 4. iii) Να υπολογίςετε τθν παράςταςθ 1 x + 1 x 1. ΑΣΚΗΣΗ 17 θ Δίνεται θ εξίςωςθ x - (λ + 1)x + λ = 0 βρείτε το λ ϊςτε θ εξίςωςθ να ζχει ρίηεσ: α) ρ 1 = θμκ, ρ = ςυνκ β) ρ 1 = εφκ, ρ = ςφκ. ΑΣΚΗΣΗ 18 θ Αν είναι θμx + ςυνx = α με 0 < x < Α = θμx + ςυνx + θμ 3 x + ςυν 3 x + θμ 4 x + ςυν 4 x τότε: i) Να βρείτε τι τιμζσ παίρνει ο α. π και ii) Να βρείτε τθν παράςταςθ Α ωσ ςυνάρτθςθ του α. iii) Να βρείτε τθν τιμι τθσ παράςταςθσ Α για x = λ ΙR. Να π 4. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 5
ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1ο ΤΕΤΑΤΗΜΟΙΟ Α) Ερωτιςεισ Σωςτοφ (Σ) - Λάκουσ (Λ) i. Αν Α, Β, Γ γωνίεσ τριγϊνου ιςχφουν: α. θμ(α + Β) = - θμγ A β. ςυν + B Γ = θμ γ. ςυν (Α + Β) = - ςυνγ A δ. εφ + B Γ = - ςφ ε. εφ(β + Γ) = εφα ςτ. ςφ(β + Γ) = - ςφα ii. ιςχφει θμ600 ο = -ςυν30 ο iii. ιςχφει θμ(180 ο + ω) = θμω iv. ιςχφει ςυν(360 ο - ω) = ςυνω v. ιςχφει εφ(90 ο + ω) = - ςφω vi. ιςχφει ςφ(70 ο + ω) = - ςφω vii. ιςχφει θμ(90 ο - ω) = - ςυνω viii. ιςχφει ςυν(70 ο + ω) = θμω ix. ιςχφει ςφ(70 ο - ω) = εφω x. ιςχφει θμ 50 ο + θμ 40 ο = 1 xi. ιςχφει θμ 70 ο + θμ 0 ο = 1 xii. ιςχφει ςυν 80 ο + ςυν 170 ο = 1 www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 6
Β) Ερωτιςεισ πολλαπλισ επιλογισ i. Το ςυν(180 + ω) είναι ίςο με: Α. ςυνω Β. - ςυνω Γ. θμω Δ. - θμω ii.η εφ(90 + ω) είναι ίςθ με: Α. - εφω Β. ςφω Γ.- ςφω Δ. εφω iii. Η ςφ(360 + ω) είναι ίςθ με: Α. - εφω Β. εφω Γ. - ςφω Δ. ςφω 3π iv.το θμ + ω είναι ίςο με: Α. - ςυνω Β. ςυνω Γ. θμω Δ. - θμω 3π v.το ςυν - ω είναι ίςο με: Α. - θμω Β. θμω Γ. ςυνω Δ. - ςυνω 15π vi.το ςυν + ω είναι ίςο με: Α. θμω Β. ςυνω Γ. - θμω Δ. - ςυνω 19π vii.h εφ - ω είναι ίςθ με: Α. - ςφω Β. ςφω Γ. εφω Δ. - εφω 1π viii.το θμ + ω είναι ίςο με: Α. -θμω Β. θμω Γ. - ςυνω Δ. ςυνω www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 7
ix. Αν Α, Β, Γ γωνίεσ τριγϊνου τότε: α) Το θμ(β + Γ) είναι ίςο με: Α. - ςυνα Β. ςυνα Γ. - θμα Δ. θμα A β) Το ςυν + B είναι ίςο με: Α. θμ Γ Β. - θμ Γ Γ. ςυν Γ Δ. - ςυν Γ B γ) Η εφ + Γ είναι ίςθ με: Α. εφ A Β. - ςφ A Γ. - εφ A Δ. ςφ A Γ δ) Η ςφ + Α είναι ίςθ με: Α. ςφ B Β. - εφ B Γ. εφ B Δ. - ςφ B. x. H παράςταςθ ςυν ω + ςυν π - ω είναι ίςθ με: Α. ςυν ω Β.0 Γ.1 Δ. Ε. θμ ω xi. π H παράςταςθ ςυν 4 + x π - θμ 4 - x είναι ίςθ με: Α. θμx Β.ςυνx Γ.- Δ.0 Ε. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 8
xii. Τριγωνομετρικός κύκλος π ημ(π + θ) ημ + θ H παράςταςθ συν (π - θ) συν(π + θ) είναι ίςθ με: Α. 1 Β. -1 Γ. ςφκ Δ.- ςφκ Ε. εφκ xiii. H παράςταςθ: π ςυνx +ςυν + x + ςυν(π + x) + ςυν 3π + x είναι ίςθ με: Α. 0 Β. 1 Γ. -1 Δ. θμx Ε. ςυνx ΑΣΚΗΣΗ 1 θ 187π 6 Γ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεκοφν οι τριγωνομετρικοί αρικμοί των γωνιϊν:, 04π 4, 105π 3. ΑΣΚΗΣΗ θ Να βρεκοφν οι τριγωνομετρικοί αρικμοί των γωνιϊν: - 410 ο, 50 ο, - 3000 ο. ΑΣΚΗΣΗ 3 θ ι. ημ 71π 4 Να υπολογίςετε τα:, ιι) συν - 5π 3, ιιι) εφ 41π 6 www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 9
ΑΣΚΗΣΗ 4 θ A = B = Να απλοποιιςετε τισ παραςτάςεισ: 3π συν (π + x) συν - x συν(π - x) ημ(π - x) ημ x - 3π 3 συν π- x εφ x - π συν x - 3π 3 3, Γ = π ημ - x ημ (- x) συν(- x) συν(π - x). ΑΣΚΗΣΗ 5 θ Να υπολογιςτοφν οι τιμζσ των παραςτάςεων: Α = θμ - 14π 3 + ςφ - 9π 4 3π - εφ 4 + 1. Β = 6ςυν - 3π 6 8π + ςφ 4 - εφ 16π 3-1. ΑΣΚΗΣΗ 6 θ π Αν θμ 4 + x π + θμ 4 - x = κ να αποδείξετε ότι: π ςυν 4 - x ςυν π 4 + x κ - 1 =. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 30
π ΑΣΚΗΣΗ 7 θ Αν εφ 4 - α π + εφ 4 + α = 3 να βρείτε τισ τιμζσ των παραςτάςεων: π i) εφ 4 - α εφ π 4 + α ii) εφ π 4 - α + εφ π 4 + α. ΑΣΚΗΣΗ 8 θ παραςτάςεισ: i) ςυν π Αν θμ 4 + α + θμ π 4 + α +ςυν π 4 - α π 4 - α 3 = να υπολογίςετε τισ ii) π ςυν 4 + α ςυν π 4 - α. ΑΣΚΗΣΗ 9 θ Να δείξετε ότι οι παραςτάςεισ: Α = ςυν(x + 40 ο ) + ςυν(x + 130 ο ) + ςυν(x +0 ο ) + ςυν(x +310 ο ) π B = ςυν + x ςυν(π - x) *εφ (π +x) + εφ 3π - x ]. 7π Γ = θμ - x θμ(π - x) + θμ(3π +x) θμ 3π + x είναι ανεξάρτθτεσ του x. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 31
ΑΣΚΗΣΗ 10 θ Τριγωνομετρικός κύκλος π Αν εφ 3 - x + εφ τθν τιμι τθσ παράςταςθσ Α = εφ π 6 + x = 4 να υπολογίςετε π 3 - x + εφ π 6 + x. ΑΣΚΗΣΗ 11 θ Να βρεκοφν οι τιμζσ του θμ κπ 3 όταν κ ακζραιοσ. ΑΣΚΗΣΗ 1 θ Να αποδειχκεί ότι: i) 0 < εφ (π +x) εφx - σφ(π -x) < 1 ii) 0 < σφ (π +x) σφ (5π +x) + εφ(x - π) < 1 ΑΣΚΗΣΗ 13 θ Σε ζνα τετράπλευρο ΑΒΓΔ οι γωνίεσ του είναι ανάλογεσ των αρικμϊν, 3, 4 και 15 αντίςτοιχα. i) Να βρείτε τα μζτρα των γωνιϊν Α, Β, Γ, Δ. ii) Να δείξετε ότι: α. 3εφΑ - εφ(-β) - εφγ + εφ(-α) = 0 β. θμα + ςυν (-Β) - ςυν(-γ) - θμ (-Δ) = 0 ΑΣΚΗΣΗ 14 θ π Δίνεται ότι θμ 1 = 6-4. i) Να υπολογίςετε τουσ ςυν π π 1, εφ 1 ii) Να υπολογίςετε τουσ θμ 5π 5π 1, ςυν 1 www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 3
iii) iv) Να υπολογίςετε το θμ Να υπολογίςετε το θμ 11π 1 13π 1 v) Μπορείτε να υπολογίςετε το θμ 7π 1. (Διάρκεια: 1 ϊρα) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΣΚΗΣΗ 1 θ Α. Να βρείτε το ςυνθμίτονο των γωνιϊν: i) 300 ο ii) -40 ο iii) 10 ο (15 μονάδεσ) Β. Αν ςυν π 5 = 5 + 1 4 να βρείτε το ςυν 4π 5. ΑΣΚΗΣΗ θ (10 μονάδεσ) π Α. Δίνεται ότι θμ 4 - x + θμ π 4 + x = κ. π i) Δείξτε ότι θμ 4 - x = ςυν π ii) Δείξτε ότι ςυν 4 - x ςυν π 4 + x. π 4 + x κ - 1 =. (8 μονάδεσ) (7 μονάδεσ) www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 33
π Β. Αν θμ 1 = 6-4 υπολόγιςε το ςυν 13π 1. (10 μονάδεσ) ΑΣΚΗΣΗ 3 θ Α. Να απλοποιιςετε τθν παράςταςθ: A = εφ 3π - θ συν π + θ ημ π - θ σφθ ημ(π + θ) ημ(15π + θ) (10 μονάδεσ) Β. Να δείξετε ότι θ παράςταςθ: 7π Α = θμ - x θμ (π - x) + θμ(3π +x) θμ είναι ανεξάρτθτθ του x. 3π + x (15 μονάδεσ) ΑΣΚΗΣΗ 4 θ π Α. Η παράςταςθ θμ - x + ςυν(π +x) + ςυν x - π είναι ίςθ με: Α. 0 Β. 1 Γ. θμx Δ. ςυνx Ε. -1. (10 μονάδεσ) Β. Να αποδείξετε ότι 0 < εφ (π +x) εφx - σφ(π -x) < 1 (15 μονάδεσ) www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 34
www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 35