Εξετάσεις Θ.Ε. ΠΛΗ Βασικά Ζητήματα Δικτύων Η/Υ Περίοδος 8-9 (7/6/9) Ονοματεπώνυμο:...Υπογραφή... Να απαντηθούν και τα 5 θέματα Διάρκεια Διαγωνίσματος: 3.5 h ΘΕΜΑ (α) Δίνεται το σήμα xt 6sinc(6t), το οποίο διαμορφώνει κατά πλάτος (με διαμόρφωση DSB) συνημιτονοειδές φέρον σήμα μοναδιαίου πλάτους και συχνότητας ίσης με 35 Hz, οπότε προκύπτει το διαμορφωμένο σήμα y(t). Να προσδιοριστούν οι εκφράσεις του σήματος y(t) στο πεδίο του χρόνου και των συχνοτήτων και να σχεδιαστεί το φάσμα πλάτους του. (β) Δίνεται το σήμα εισόδου z t cost 4cos 6t y t το οποίο περνά από 3 φίλτρα με την ακόλουθη σειρά: Ιδανικό βαθυπερατό με πλάτος και συχνότητα αποκοπής 6Hz Άγνωστο ιδανικό φίλτρο με συνάρτηση μεταφοράς H ( f ) Φίλτρο με συνάρτηση μεταφοράς ( ) H f u f f u f f με f o =35Ηz 3 Γνωρίζοντας ότι το τελικό σήμα εξόδου έχει την έκφραση στο πεδίο του χρόνου wt cost 5sinc(5t) cos( t), ζητείται να υπολογιστεί και να σχεδιαστεί η συνάρτηση μεταφοράς του άγνωστου ιδανικού φίλτρου. Απάντηση (α) Δίνεται το σήμα xt 6sinc(6t), το οποίο διαμορφώνει κατά πλάτος (με διαμόρφωση DSB) συνημιτονοειδές φέρον σήμα μοναδιαίου πλάτους και συχνότητας ίσης με 7 Hz x t cos 35t Το φέρον έχει έκφραση c Το διαμορφωμένο σήμα στο πεδίο του χρόνου θα γράφεται ως: x t x t x t 6sinc(6t) cos 35t DSB c F f Ο ΜΣ Fourier του σήματος x(t) είναι x t 6sinc(6t) rect 6 οπότε το DSB σήμα στο πεδίο των συχνοτήτων θα έχει φάσμα της μορφής: F xdsb t x t xc t X f fc X f fc f 35 f 35 6sinc(6t) cos 35 6 6 πλάτους απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα: F t rect rect X f DSB Το φάσμα
(β) Η διάταξη που έχουμε είναι η εξής: Το φάσμα πλάτους του z(t) είναι:
Το τελικό σήμα εξόδου έχει την έκφραση στο πεδίο του χρόνου wt cost 5sinc(5t).cos( t), και το φάσμα του ισούται με f 5 f 5 W f f 5 f 5 rect rect 4 5 5 που απεικονίζεται παρακάτω: Για να έχουμε στην έξοδο μόνο αυτό το σήμα το ο φίλτρο θα πρέπει να είναι ένα ζωνοπερατό με κεντρική την f=5 και συχνότητες αποκοπής 475Hz και 55Hz, δηλαδή να έχει συνάρτηση μεταφοράς: H (f).5-55 -475 475 55 f (Hz)
ΘΕΜΑ Δίνεται το σήμα βασικής ζώνης xt () με φάσμα πλάτους f X f tri 4. To σήμα αυτό 3 υπόκειται σε παλμοκωδική διαμόρφωση (PCM) οπότε προκύπτει το προς μετάδοση ψηφιακό σήμα xpcm ( n ), όπου n ακέραιος. Για τη μετάδοση του xpcm ( n ) απαιτείται σηματοθορυβικός λόγος τουλάχιστον 3dB. Να θεωρήσετε και ένα κανάλι μετάδοσης βασικής ζώνης με διαθέσιμο εύρος ζώνης khz.το οποίο απεικονίζεται στο παραπάνω σχήμα: (α) Να διερευνήσετε αν είναι δυνατή η μετάδοση μέσα από το ανωτέρω κανάλι (i) του αναλογικού σήματος xt (). (ii) του ψηφιακού σήματος xpcm ( n ). αιτιολογώντας σε κάθε περίπτωση την απάντησή σας. (β) Αν το x(t) περάσει από ένα ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο και μετά υποστεί διαμόρφωση PCM, ώστε να είναι δυνατή η ψηφιακή μετάδοσή του xpcm ( n ) μέσα από το ανωτέρω κανάλι, να υπολογίσετε την κατάλληλη συχνότητα αποκοπής του φίλτρου. (γ) Να υπολογίσετε πόσο θα πρέπει να μειωθεί το επιθυμητό SNR ώστε να είναι εφικτή η ψηφιακή μετάδοση του x ( n ) χωρίς φιλτράρισμα του x(t). PCM (Υπόδειξη: Να θεωρήσετε ότι για τη μετάδοση του σήματος x(t) με PCM (που προϋποθέτει τη δειγματοληψία του και την ομοιόμορφη κβάντισή του σε L στάθμες) ο απαιτούμενος SNR log L ) σηματοθορυβικός λόγος (σε μονάδες decibel) ισούται με Απάντηση (α) (i)το εύρος ζώνης του σήματος βασικής ζώνης είναι 3kHz. Συνεπώς μπορεί να διέλθει από το κανάλι με εύρος ζώνης khz (ii) Προκειμένου να μεταδοθεί PCM με SNR 3dB θα πρέπει να υπολογίσουμε τον απαραίτητο αριθμό bits. S Έχουμε: SNR log log L log L. N
Συνεπώς ο ελάχιστος αριθμός απαιτούμενων σταθμών ομοιόμορφης κβαντοποίησης είναι log L 3 L 3,63 και επειδή πρέπει να είναι ακέραιος L=3. Το απαιτούμενο εύρος ζώνης για το PCM είναι BPCM Fs log L. Εφόσον το κανάλι διαθέτει khz θα πρέπει F log 3 => s Fs Fs 4. δείγματα/sec. log 3 Αυτή η συχνότητα προκύπτει από τον περιορισμό του καναλιού. Όμως αφού το εύρος του σήματος είναι 3kHz θα πρέπει να υποστεί δειγματοληψία με F s 6. δείγματα/sec. Συνεπώς δεν είναι δυνατή η ψηφιακή μετάδοση αυτούσιου του σήματος. (β) Θα πρέπει να περάσει από ιδανικό LPF φίλτρο με συχνότητα αποκοπής Fcutoff τέτοια ώστε η συχνότητα Nyquist να συμπίπτει με την συχνότητα που προκύπτει από τον περιορισμό του καναλιού, δηλαδή F F 4kHz F. NYQUIST s cutoff Συνεπώς η συχνότητα αποκοπής θα είναι khz. (γ) Χωρίς φίλτρο θα πρέπει η συχνότητα δειγματοληψίας να είναι Fs 6. Γνωρίζουμε ότι SNR log L log L SNR Επίσης, BPCM Fs log L => BPCM Fs. 3.. log log Με πράξεις προκύπτει SNR log db. Άρα πρέπει να μειωθεί db. 3 ΘΕΜΑ 3 Έστω δύο κόμβοι Α και Β ενός δικτύου απέχουν μεταξύ τους L=5 km. Μεταξύ των κόμβων Α και Β παρεμβάλλονται σε ίσες αποστάσεις μεταξύ τους Ν ενδιάμεσοι κόμβοι, οι οποίοι προωθούν ό,τι πακέτα λαμβάνουν (βλ. σχήμα) μέσω οπτικής ίνας. Ο ρυθμός μετάδοσης των συνδέσμων μεταξύ όλων των κόμβων είναι ίσος με R= 7 bs ενώ η ταχύτητα διάδοσης είναι C=x 8 m/sec. α) Αρχικά ο κόμβος Α θέλει απλά να μεταδώσει ένα αρχείο μεγέθους D= Gb (Gb= 9 bits) στον κόμβο Β μέσω πακέτων μήκους P=Kb (Kb= 3 bits) το καθένα. Να βρεθεί, ο συνολικός χρόνος μετάδοσης όλου του αρχείου Τ ολ αν γνωρίζουμε ότι Ν=9. β) Μεταξύ των κόμβων Α και Β εφαρμόζεται ενιαίο πρωτόκολλο επανεκπομπής GBN από τον Α έως τον Β (end-to-end) για μετάδοση πακέτων μήκους P=Kb (Kb= 3 bits) το καθένα. Αν υποθέσουμε ότι Ν=9 (οι κόμβοι που παρεμβάλλονται με ίσες αποστάσεις μεταξύ τους είναι 9) και οι επιβεβαιώσεις είναι ίδιου μήκους με τα πακέτα P να βρείτε:. Το μέγεθος του παραθύρου W για να έχουμε απόδοση πρωτοκόλλου 9% απουσία λαθών. Θεωρείστε ότι ο χρόνος προθεσμίας Τ είναι ίσος με τον αντίστοιχο χρόνο μετάβασης µετ επιστροφής S μεταξύ των κόμβων A-B
. Την πιθανότητα επιτυχούς μετάδοσης ενός πακέτου, αν γνωρίζετε ότι ο ρυθμός ροής πακέτων (ρυθμοαπόδοση) που επιτυγχάνεται είναι λ= 6 bits/sec και ότι ο χρόνος προθεσμίας Τ είναι κατά /7 προσαυξημένος του S. Απάντηση (Α) ος Τρόπος Λύνεται βάσει της άσκησης αυτοαξιολόγησης. με την προσθήκη ότι πρέπει να ληφθεί υπόψη και ο χρόνος διάδοσης σε κάθε σύνδεσμο. Πιο αναλυτικά, ορίζουμε τις παρακάτω παραμέτρους. Ο χρόνος μετάδοσης TRANSP του πακέτου σε κάθε σύνδεσμο TRANP = P/R = 3 / 7 sec = -4 sec () Ο χρόνος διάδοσης PROP i σε κάθε ένα από τους συνδέσμους 5 L 5 N 9 4 PROPi,5 sec () 8 C Το πλήθος Κ των πακέτων που χρειάζονται για να μεταδοθεί όλο το αρχείο K D P 9 6 πακέτα 3 (3) Με βάση τα παραπάνω και λαμβάνοντας υπόψη την α.α. του βιβλίου, ο συνολικός χρόνος μετάδοσης του αρχείου θα είναι N T t t K (4) Όπου t N+ είναι ο χρόνος που κάνει το πρώτο πακέτο να μεταφερθεί από το Α στο Β διασχίζοντας Ν+ συνδέσμους και t είναι ο χρόνος που κάνουν τα υπόλοιπα Κ- πακέτα να διασχίσουν τον τελευταίο σύνδεσμο πριν φτάσουν στον κόμβο Β. Όμως σε κάθε ένα σύνδεσμο (συμπεριλαμβανομένου και του τελευταίου αφού όλοι οι σύνδεσμο έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά, δηλαδή ίδιο ρυθμό μετάδοσης και απόσταση διάδοσης) ο χρόνος του κάθε πακέτου αποτελείται από το χρόνο μετάδοσης και το χρόνο διάδοσης στο σύνδεσμο. Άρα t TRANSP PROP i,5 3,5 4 4 4 sec (5) Ενώ t N+ δίνεται από την παρακάτω σχέση t N t N TRANSP PROP (6) N i Αντικαθιστώντας τις (5) και (6) στην (4) έχουμε ότι T t N K TRANSP PROP N K (7) i Αντικαθιστώντας στην (7) τις τιμές των t, K και N από τις (5) και (3) βρίσκουμε ότι
ος Τρόπος (Σύντομος) 4 6 T t N K 3,5 9 35, 35 sec Με βάση την άσκηση αυτοαξιολόγησης. γνωρίζουμε ότι για Ν συνδέσμους ισχύει ότι ο συνολικός χρόνος μετάδοσης είναι N T t t K t N K Αλλά στην περίπτωση μας είναι Ν =Ν+. Επίσης για τον υπολογισμό του χρόνου t εκτός από το χρόνο μετάδοσης TRANSP πρέπει να ληφθεί υπόψη και ο χρόνος διάδοσης PROP i που στην α.α. θεωρείτο αμελητέος. Οπότε η παραπάνω εξίσωση γίνεται Που είναι ίδια με την (7). T t N K TRANSP PROPi N K (Β) Λύνεται βάσει του θέματος 3 της εργασίας 5 4-5. Απλά θα πρέπει να ληφθεί υπόψη το γεγονός ότι ο Α μπορεί να στέλνει συνέχεια μέχρι να γεμίσει όλους τους ενδιάμεσους συνδέσμους.. Πρέπει πρώτα να βρούμε το χρόνο μετάβασης μετ επιστροφής, S. Αυτός αποτελείται από το χρόνο που χρειάζεται ένα πακέτο να μεταβεί μέσω των Ν+ συνδέσμων από το Α στο Β και είναι t N+ και το χρόνο t ack που χρειάζεται να παραληφθεί από τον Α η επιβεβαίωση που στέλνει ο Β. Ο χρόνος t ack είναι ίσος με τον t Ν+ διότι η επιστροφή έχει τους ίδιους χρόνους μετάδοσης και διάδοσης με τη διαδρομή των πακέτων. Άρα S t t t 3 N ack N 7 sec (8) Η απόδοση του πρωτοκόλλου Go-Back-N δίνεται από τη σχέση W TRANSP GBN min, S (9) Οπότε με δεδομένο ότι η απόδοσή του είναι 9% αντικαθιστώντας στην (9) τις τιμές των S και TRANSP από τις (8) και () έχουμε W TRANSP TRANSP GBN,9 W S S 3 S 7 W,9,9 63 4 TRANSP. Γνωρίζουμε ότι η μέση τιμή Ε[Χ] του τυχαίου χρόνου που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών πακέτων δίνεται από τη σχέση E X TRANSP T (9) Επίσης γνωρίζουμε ότι ο ρυθμός ροής λ δίνεται από την σχέση
έ / sec () Αλλά ο ρυθμός ροής που δίνεται από την άσκηση είναι σε bits/sec και όχι σε πακέτα/sec. Άρα για να μετατρέψουμε το ρυθμό ροής σε πακέτα/sec θα πρέπει να διαιρέσουμε με το μέγεθος του κάθε πακέτου που είναι Ρ= 3 bits. Άρα 6 3 έ / sec 3 Επίσης δίνεται ότι o χρόνος προθεσμίας Τ είναι κατά /7 μεγαλύτερος του S () 8 7 3 8 3 sec T S S 7 7 () Από τις (9), (), () και () έχουμε TRANSP T 4 3 8 3 4 4 8 3 4 3 8 8 9 8 ΘΕΜΑ 4 8 89 Από την μία άκρη ενός επιταχυντή σωματιδίων εκπέμπονται στην αρχή πρωτόνια και νετρόνια, με πιθανότητες 3/4, και /4 αντίστοιχα, τα οποία παραλαμβάνονται στην έξοδο του επιταχυντή. Στη συνέχεια διεξάγεται πείραμα στη διάρκεια του οποίου εκπέμπονται όχι μόνο τα πρωτόνια και νετρόνια με τις ανωτέρω πιθανότητες, αλλά και συνεχής δέσμη ηλεκτρονίων με την αντίθετη όμως κατεύθυνση από αυτή των σωματιδίων. Έχει παρατηρηθεί ότι με πιθανότητα f=/4 τα ηλεκτρόνια συγκρούονται με τα δύο αυτά σωματίδια με αποτέλεσμα την καταστροφή των σωματιδίων πριν αυτά προλάβουν και φτάσουν στον προορισμό τους (έξοδο επιταχυντή). Να βρείτε ποιο είναι το ποσό της πληροφορίας που μεταφέρεται πάνω από το κανάλι (επιταχυντή) καθώς και την χωρητικότητα του καναλιού (για κατάλληλες πιθανότητες εκπομπής πρωτονίων και νετρονίων), στις ακόλουθες δύο περιπτώσεις: α) Πριν από τη διεξαγωγή του πειράματος, όταν δηλαδή δεν εκπέμπονται ηλεκτρόνια από την αντίθετη κατεύθυνση, και,
β) Κατά τη διάρκεια διεξαγωγής του πειράματος, όταν δηλαδή έχουμε εκπομπή ηλεκτρονίων από την αντίθετη κατεύθυνση. Με ποιο είδος καναλιού θα μοντελοποιούσατε τον επιταχυντή; Φτιάξτε το κατάλληλο σχήμα. (Υπόδειξη: Δίδεται ότι H(Y/X)=Η(f)=,8 bits και ότι log 3=,585 ) Απάντηση α) Πριν από τη διεξαγωγή του πειράματος δεν υπάρχουν συγκρούσεις οπότε το κανάλι (επιταχυντής) είναι χωρίς θόρυβο. Συνεπώς η πληροφορία που μεταφέρεται πάνω από το κανάλι είναι η αμοιβαία πληροφορία η οποία στην περίπτωση αυτή ταυτίζεται με την εντροπία της πηγής Η(Χ) λόγω απουσίας θορύβου 3 3 3 H X i log i log - log log 3.75log 3.8bits 4 4 4 4 4 i Η χωρητικότητα του επιταχυντή απουσία θορύβου θα είναι στην περίπτωση όπου τα σωματίδια εκπέμπονται με την ίδια πιθανότητα και άρα H X log bits β) Η έναρξη του πειράματος έχει σαν αποτέλεσμα την δημιουργία θορύβου αφού με πιθανότητα f κάθε σωματίδιο ενδέχεται να μην φτάσει στον προορισμό του. Αυτό αντιστοιχεί σε κανάλι με αποσβέσεις (αδικό) όπως φαίνεται από το σχήμα, Θεωρώντας ότι Χ είναι η τ.μ. των σωματιδίων που εκπέμπονται και Υ η τ.μ. των σωματιδίων που τελικά φτάνουν στον προορισμό τους (έξοδο επιταχυντή), ισχύει ότι f f Y y Y e Y y x x x x f f Y y f x x, y f x e f x x f, Y x x Y x Άρα για f=/4 και (x)=3/4, (x)=/4, έχουμε ότι 9 3 Y y, Y e, Y y () 6 4 6 Για να βρούμε την πληροφορία που μεταφέρεται πάνω από το κανάλι ουσιαστικά θα πρέπει να βρούμε την αμοιβαία πληροφορία Ι(Χ;Υ) η οποία αυτή τη φορά είναι παρουσία θορύβου λόγω της εκπομπής των ηλεκτρονίων.
Από την () έχουμε ότι η Η(Υ) είναι i Ι(Χ;Υ) = Η(Υ)-Η(Υ/Χ) 3 9 9 3 3 H Y yilog yi log log log Y Y 6 6 4 4 6 6 9 3 9 3 6 6 6 6 8 9 3 3 log3 log3 3,5 log3 6 4 6 4 6 3,5, 8, 4 bits log 9 log6 log 3 log6 log 3 4 log 3 4 Εφόσον δίδεται ότι η Η(Υ/Χ)=Η(f)=,8 bits, η αμοιβαία πληροφορία η οποία αντιστοιχεί στο ποσό της πληροφορίας που περνά πάνω από το κανάλι (επιταχυντή) είναι Ι(Χ;Υ) = Η(Υ)-Η(Υ/Χ)=,4-,8=,69 bits Για να βρούμε τώρα την χωρητικότητα του καναλιού πρέπει να μεγιστοποιήσουμε την αμοιβαία πληροφορία C=max Ι(Χ;Υ) = max [Η(Υ)-Η(Υ/Χ)] => C = max I(X;Y) = max(h(y)-h(y/x)) = max(h(y)-h(f)) = maxh(y)-h(f) Θα μπορούσε να είναι max H(Y)=log3 αλλά αυτή η τιμή δεν είναι εφικτή για καμμία τιμή της Χ (x i ), i=, Αν θέσουμε X (x )=-π, και X (x )=π, τότε από τα Y (y i ), i=,e, δίνονται από τους παραπάνω τύπους τότε maxh(y) = max [H((-f)π,f,(-f)(-π))] = max[(-f)*η(π)+η(f)]=(-f)*maxh(π)+η(f) Οπότε προκύπτει ότι C = max I(X;Y)=maxH(Y)-H(f)=(-f)*maxH(π)+Η(f)-Η(f)=-f=3/4=,75 bits Σημείωση: Θα μπορούσε κάποιος να χρησιμοποιούσε κατευθείαν τον γενικό τύπο της χωρητικότητας καναλιού με απόσβεση και να έφτανε αμέσως στο αποτέλεσμα -f χωρίς να χρειαστεί η παραπάνω ανάλυση.
ΘΕΜΑ 5 Δίδεται ο ακόλουθος Πίνακας Ελέγχου Ισοτιμίας γραμμικού κώδικα C 3 a a a H (α) Να προσδιοριστούν τα α, α, α 3 δεδομένου ότι μεταδόθηκε και ελήφθη χωρίς σφάλματα στο δέκτη η κωδική λέξη r του C. (β) Να βρεθεί ο γεννήτορας πίνακας του C. (γ) Αν παραληφθούν από τον αποκωδικοποιητή οι λέξεις r και r, αποκωδικοποιείστε τις λέξεις βάσει ΑΑΜΠ και προσδιορίστε αν θα ζητηθεί επανεκπομπή. (Υπόδειξη: Για την απάντηση του ερωτήματος γ) δεν είναι απαραίτητη η δημιουργία όλου του ΤΔΑ ) Απάντηση (α) Αν δεν υπεισέλθουν σφάλματα κατά τη μετάδοση, τότε γνωρίζω ότι ισχύει H r (σελίδα 45). Επομένως θα έχω ] [ 3 3 a a a a a a H r Οπότε 3 a a a Οπότε ο τελικός Πίνακας Ισοτιμίας Η είναι
H (β) Ο γεννήτορας πίνακας του C δίνεται από G (γ) Για να μπορέσουμε να απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα αρκεί να κάνουμε κάποιες διαπιστώσεις αναλύοντας τις τιμές του Η. Έτσι θα αποφύγουμε να κατασκευάσουμε όλο την ΤΔΑ αφού μας ενδιαφέρουν μόνο εκείνα τα σύνδρομα τα οποία αντιστοιχούν στις παραληφθείσες λέξεις r και r. Έχουμε λοιπόν ότι το σύνδρομο που αντιστοιχεί στη λέξη r είναι r. H= [ ] Άρα για να αποφανθούμε τι θα κάνει ο ΑΑΜΠ αποκωδικοποιητής αρκεί να βρούμε πιο είναι το πρότυπο σφάλματος ε και αν αυτό είναι μοναδικό. Το γεγονός ότι επίσης ε.η = [ ] σημαίνει ότι ένα από τα ελαχίστου βάρους πρότυπα σφάλματος θα είναι η λέξη που έχει μονάδα στην αντίστοιχη θέση με αυτή της γραμμής του Η που δίνει το σύνδρομο δηλαδή που στη συγκεκριμένη περίπτωση συμπίπτει με τη λέξη r, δηλαδή έχουμε r=ε=[ ] Άρα πρέπει να διαπιστώσουμε αν αυτό το πρότυπο σφάλματος είναι και το μοναδικό. Παρατηρούμε όμως ότι η 3 η γραμμή του Η υπάρχει και στη θέση 6 που σημαίνει ότι και η λέξη ε = [ ] αντιστοιχεί και αυτή στο ίδιο σύνδρομο το [ ]. Από αυτό συμπεραίνουμε ότι και οι δύο λέξεις, ε και ε, αποτελούν πρότυπα σφάλματα ίδιου βάρους για το σύνδρομο [ ] και άρα στην περίπτωση της r ο αποκωδικοποιητής θα ζητήσει επανεκπομπή. Για την περίπτωση της λέξης r σκεφτόμαστε όπως και στην περίπτωση της r. Δηλαδή το σύνδρομο της r είναι r. H= [ ]
Άρα για να αποφανθούμε τι θα κάνει ο ΑΑΜΠ αποκωδικοποιητής αρκεί να βρούμε ποιο είναι το πρότυπο σφάλματος ε και αν αυτό είναι μοναδικό. Το γεγονός ότι το σύνδρομο [ ] μπορεί να προκύψει από πρόσθεση δύο συνδυασμών γραμμών του Η, π.χ. η γραμμή και η γραμμή, ή 3 η και 4 η, ή η και 5 η, ενώ δεν υπάρχει ως γραμμή στον Η αυτό σημαίνει ότι το πρότυπο σφάλματος θα έχει βάρος και οι μονάδες θα βρίσκονται στις αντίστοιχες θέσεις της λέξης με αυτές των γραμμών που το άθροισμά τους δημιουργεί το σύνδρομο. Έτσι τα παρακάτω είναι πρότυπα σφάλματος ίδιου βάρους που έχουν το ίδιο σύνδρομο [ ]. [ ], [ ] και [ ] Άρα και στην περίπτωση r ο ΑΑΜΠ αποκωδικοποιητής θα ζητήσει επανεκπομπή. Βαρύτητες Θεμάτων ΘΕΜΑ Ερώτημα α 7 Ερώτημα β 3 ΘΕΜΑ Ερώτημα α 3 Ερώτημα α 4 Ερώτημα β 5 Ερώτημα γ 8 ΘΕΜΑ 3 Ερώτημα α 8 Ερώτημα β 5 Ερώτημα β 7 ΘΕΜΑ 4 Ερώτημα α Ερώτημα β ΘΕΜΑ 5 Ερώτημα α 7 Ερώτημα β 4 Ερώτημα γ 4 Ερώτημα γ 5 ΣΥΝΟΛΟ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!
Επαναληπτικές Εξετάσεις Θ.Ε. ΠΛΗ Βασικά Ζητήματα Δικτύων Η/Υ Περίοδος 8-9 (6/7/9) Ονοματεπώνυμο:...Υπογραφή... Να απαντηθούν και τα 5 θέματα Διάρκεια Διαγωνίσματος: 3.5 h ΘΕΜΑ Δίνεται το σήμα x t cos f t όπου f o πραγματικός θετικός αριθμός, με μετασχηματισμό Fourier X f. Να βρεθεί η περίοδος και η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας (αν υπάρχουν) στα παρακάτω σήματα: (α) (β) x t x t x t x t x t με φάσμα X f f X * j f X f f (Υπόδειξη: Στο υποερώτημα (β)να κάνετε χρήση της ακόλουθης ιδιότητας των μετασχηματισμών Fourier: d x t j f X f ) dt Απάντηση (α) Είναι x t x t x t x t f t f t f t cos cos cos f t f t cos cos 3 cos cos f t f t cos f t Ο ος όρος του αθροίσματος είναι σταθερός, ο δεύτερος είναι περιοδικό σήμα με συχνότητα f f και ο 3ος είναι περιοδικό σήμα με συχνότητα f f T f Ο λόγος των περιόδων είναι άρρητος, άρα το σήμα x t δεν είναι περιοδικό. T f Το φάσμα πλάτους του σήματος είναι το 3 X f f f f f f f f f f Η μέγιστη συχνότητα που περιέχει είναι ίση με f f, οπότε η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας είναι f 4 f η s
f στο πεδίο του χρόνου γράφεται: d d x t x t x t cos ft cos ft dt dt (β) Το σήμα X f f X * j f X f ft f ft cos sin f sin f t f t sin f t f t f sin ft sin 6 ft f sin ft f sin 6 ft Ο ος όρος του αθροίσματος είναι σταθερός, ο δεύτερος είναι περιοδικό σήμα με συχνότητα f f και ο 3ος είναι περιοδικό σήμα με συχνότητα f 3 f T f Ο λόγος των περιόδων είναι 3 ρητός, άρα το σήμα x3 t είναι περιοδικό με περίοδο T 3 f T T T 3 f Η μέγιστη συχνότητα που περιέχει είναι ίση με f 3 f, οπότε η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας είναι η fs 6 f ΘΕΜΑ Δίνεται το σήμα xt asinc at bsincbt a sincat, όπου α,b πραγματικοί και ba. (α) Να υπολογιστεί και να σχεδιαστεί το φάσμα πλάτους του (β) Να υπολογιστεί η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας του xt. xt και να δοθούν οι εκφράσεις του δειγματισμένου σήματος στο πεδίο του χρόνου και των συχνοτήτων. (γ) Το σήμα x t δειγματίζεται με συχνότητα δειγματοληψίας f δεκαπλάσια της συχνότητας δειγματοληψίας που υπολογίστηκε στο ερώτημα (β), και στη συνέχεια διέρχεται από ιδανικό ζωνοπερατό φίλτρο ώστε να προκύψει σήμα με φάσμα πλάτους που απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα. Να καθορίσετε το εύρος της ζώνης διέλευσης και το πλάτος του ιδανικού φίλτρου.
Υ(f) / -b/ -α α b/ -f δ -α -f δ -f δ +α -f δ -b/ -f δ +b/ -b/ -α α b/ f δ -α f δ f δ +α f δ -b/ f δ +b/ f Απάντηση (α) Το φάσμα πλάτους είναι f f f X f tri( ) rect rect a b a και απεικονίζεται παρακάτω: X(f) -b/ -α α b/ f (β) Η μέγιστη συχνότητα του σήματος είναι δειγματοληψίας είναι fs,min b fmax, οπότε η ελάχιστη συχνότητα b και η μέγιστη περίοδος δειγματοληψίας είναι T s,max Είναι Συνεπώς, στο πεδίο του χρόνου το δειγματισμένο σήμα θα εκφράζεται ως: xs n xt= asinc a n bsinc bn a sinc a n, όπου n ακέραιος tnt b b b s έκφραση του δειγματισμένου σήματος στο πεδίο των συχνοτήτων θα ισούται με: b Επίσης, η
X f f X f mf s s s m f mf s f mf s f mf s b tri( ) rect rect m a b a (γ) Το σήμα στην έξοδο του φίλτρου αντιστοιχεί σε διαμόρφωση DSB φέροντος μοναδιαίου πλάτους και συχνότητας f και είναι της μορφής: Y f X f f X f f Δειγματίζοντας το σήμα με συχνότητα X f f X f mf m f f b, προκύπτει σήμα με φάσμα πλάτους s,min Για να ληφθεί το Y f με τη διέλευση του X f αποκόψει όλους τους όρους του X f πλάτος ίσο με. f b από το ζωνοπερατό φίλτρο, θα πρέπει αυτό να εκτός των όρων που αντιστοιχούν στα m=- και m= και να έχει Συνεπώς η ζώνη διέλευσης του φίλτρου θα πρέπει να είναι η [ f, f ], όπου b b b b b b b b fl f fl b και f fh f b fh b L H X δ (f) f δ -f δ -b/ -f -f +b/ -f δ -b/ -f -f δ δ δ δ +b/ -b/ -α α b/ f -b/ f δ fδ δ +b/ f δ -b/ f f +b/ δ δ -f Η -f L Υ(f) f L f Η / Υ(f) / f -b/ -α α b/ -b/ -α α b/ f -b/ -α α b/ -f δ -α -f δ -f δ +α -f δ -b/ -f δ +b/ -b/ -α f δ -α f δ α b/ f δ +α f δ -b/ f δ +b/ f
ΘΕΜΑ 3 Δύο κόμβοι Α, Β υλοποιούν πρωτόκολλο επανεκπομπής ABP μέσω δύο ανεξάρτητων καναλιών όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. Ο κόμβος Α στέλνει πακέτα μήκους bits πάντα από το Κανάλι, ενώ ο κόμβος Β στέλνει ως ACK πακέτο μήκους bits, από το Κανάλι με πιθανότητα α=,3 ή από το Κανάλι με πιθανότητα β=,7. Οι ταχύτητες εκπομπής των δύο καναλιών είναι R= 6 bs για το Κανάλι, R=5x 6 bs για το Κανάλι, η απόσταση των κόμβων είναι 5 m, και οι ταχύτητες διάδοσης στα κανάλια είναι Vro=3 8 m/s για το Κανάλι και Vro= 8 m/s για το Κανάλι. Ο ρυθμός αποστολής εσφαλμένων πακέτων (Packet Error Rate, PER) ανά κατεύθυνση σε κάθε κανάλι είναι αντίστοιχα, PER=, για το Κανάλι και PER=, για το Κανάλι. α) Να αποδείξετε ότι η ολική πιθανότητα επιτυχούς αποστολής πακέτου (συμπεριλαμβάνει την επιτυχή λήψη ACK) ισούται με,9986. β) Να υπολογίσετε τον ελάχιστο, τον μέγιστο και τον μέσο χρόνο RTT (δηλαδή το S του ABP) με δεδομένη την τιμή της πιθανότητας του ερωτήματος (α) γ) Τι χρόνο προθεσμίας θα επιλέγατε για την καλύτερη δυνατή απόδοση του πρωτοκόλλου και γιατί; Να υπολογίσετε την απόδοση αυτή. Απάντηση α) Η πιθανότητα επιτυχούς αποστολής πακέτου (συμπεριλαμβάνει την επιτυχή λήψη ACK είναι =α(- PER) +β(- PER) (- PER). Δηλαδή υπολογίζονται οι περιπτώσεις να επιστρέψει το ACK από το κανάλι (με πιθανότητα α) και από το κανάλι με πιθανότητα β. Κάνοντας τις πράξεις προκύπτει =,9986. β) Αν το ACK επιστρέψει από το κανάλι, RTT=TRANSP+ACK+PROP. Αν επιστρέψει από το κανάλι τότε RTT=TRANSP+PROP+ ACK+PROP. Υπολογίζω: TRANSP=/= ms. PROP=km/(3 5 km/s) =,33 ms. PROP=km/( 5 km/s) =,5 ms. ACK=/.. =, ms ACK=/5.. =, ms RTT=+,+*,33=,76 ms
RTT=+,33+,+,5=,85 ms Επομένως, το μέγιστο RTT είναι,85ms όταν το ACK επιστρέφει από το κανάλι και το ελάχιστο RTT είναι,76 όταν ACK επιστρέφει από το κανάλι. Ο μέσος αναμενόμενος - χρόνος E[RTT]=,3*,76+,7*,85=,58+,95=,83 ms. TRANSP γ) Η απόδοση είναι nabp. EX [ ] Από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι E[ X ] S ( )( T E[ X ]) E[ X ] S T, όπου S το RTT. Τώρα, όσο αφορά στο χρόνο προθεσμίας θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί το μέγιστο δυνατό RTT, δηλαδή (T=RTT) διότι αν επιλεχθεί μικρότερη τιμή τότε όταν το ACK επιστρέφει από το κανάλι ο χρόνος θα εκπνέει πάντα πριν μπορέσει να επιστρέψει το ACK! H μεταβλητή S είναι στοχαστική και παίρνει τιμές με πιθανότητες α, β. Συνεπώς στον υπολογισμό της μέσης τιμής του χρόνου μετάδοσης λόγω επανεκπομπών θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το Ε[S]=Ε[RTT]. TRANSP Άρα nabp,547,9986 E[ S] RTT,83,85,9986 ΘΕΜΑ 4 Δίδεται κώδικας C που προέκυψε με εφαρμογή του αλγορίθμου κωδικοποίησης Huffman και του οποίου η αντιστοίχηση των κωδικών λέξεων με τα σύμβολα της πηγής (s, s9) περιέχεται στον ακόλουθο πίνακα: Σύμβολα Κωδικές Λέξεις s s s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 α) Να βρείτε τα σύμβολα εκείνα που έχουν το μεγαλύτερο και το μικρότερο πληροφοριακό περιεχόμενο. Εξηγείστε την απάντηση σας. β) Αν δίνεται ότι τα σύμβολα της πηγής παράγονται βάσει των πιθανοτήτων {.8,.7,.5,.,.5,.4,.5,.3,. }, να αντιστοιχίσετε τις πιθανότητες αυτές στα ανωτέρω σύμβολα της πηγής, s έως s9, έτσι ώστε το μέσο μήκος των κωδικών λέξεων να παραμείνει βέλτιστο. Να εξηγήσετε την απάντησή σας.
Απάντηση α) Το σύμβολο που μεταφέρει το μεγαλύτερο πληροφοριακό περιεχόμενο πρέπει να είναι ανάμεσα σε αυτά που αντιστοιχούν στις κωδικές λέξεις με το μεγαλύτερο μήκος αφού αυτές οι κωδικές λέξεις έχουν ανατεθεί στις μικρότερες πιθανότητες λόγω του αλγορίθμου του Huffman. Με μία επισκόπηση του πίνακα των κωδικών λέξεων παρατηρούμε ότι τα σύμβολα s και s7 έχουν τις μεγαλύτερες κωδικές λέξεις με μήκος 8. Κατά αντιστοιχία η s6 έχει το μικρότερο πληροφοριακό περιεχόμενο. β) Για να αντιστοιχήσουμε τις πιθανότητες στα σύμβολα της πηγής θα πρέπει να δούμε τις αντίστοιχες κωδικές λέξεις. Με δεδομένο ότι οι κωδικές λέξεις προέκυψαν από τον αλγόριθμο Huffman θα πρέπει να ξεκινήσουμε από τα σύμβολα με τις δύο μικρότερες πιθανότητες και αυτές να τις αντιστοιχήσουμε στα σύμβολα με τις δύο μεγαλύτερες κωδικές λέξεις. Αυτό συμβαίνει διότι ο Huffman κατασκευάζει το δένδρο των κωδικών λέξεων από τα φύλλα προς την ρίζα, δηλαδή αρχίζει από τα σύμβολα με τις μικρότερες πιθανότητες και προχωράει προς τις μεγαλύτερες πιθανότητες. Άρα οι πιθανότητες. και.3 πρέπει να αντιστοιχηθούν στα σύμβολα s και s7 αφού αυτά έχουν τις μεγαλύτερες κωδικές λέξεις μήκους 8. Στη συνέχεια το σύμβολο s4 είναι το μοναδικό με μήκος κωδικής λέξης 7, συνεπώς θα πρέπει να αντιστοιχηθεί στην αμέσως μικρότερη πιθανότητα που είναι η.5. Συνεχίζοντας κατ αυτό τον τρόπο μπορούμε να αντιστοιχήσουμε και τις υπόλοιπες πιθανότητες καταλήγοντας στον παρακάτω πίνακα. Σύμβολα Κωδικές Πιθανότητες λέξεις s6,8 s9,7 s3,5 s8, s5,5 s,4 s4,5 s7,3 s,
ΘΕΜΑ 5 α) Δίδεται η Βάση (,, ) του δυϊκού κώδικα C. Να βρεθεί ο γεννήτορας πίνακας G του κώδικα C (προσοχή, όχι του C ), καθώς και η διάσταση και η απόσταση του C. β) Δίδονται τα 8 σύνολα των συνομάδων ενός συστηματικού κώδικα C που αποτελούν το χώρο των λέξεων 6. Συνομάδα {,,,,,,, } Συνομάδα {,,,,,,, } Συνομάδα 3 {,,,,,,, } Συνομάδα 4 {,,,,,,, } Συνομάδα 5 {,,,,,,, } Συνομάδα 6 {,,,,,,, } Συνομάδα 7 {,,,,,,, } Συνομάδα 8 {,,,,,,, } Με βάση τα παραπάνω: ) Να κωδικοποιήσετε το μήνυμα ) Αν ένας αποκωδικοποιητής αποκωδικοποιεί λέξεις βάσει της ΑΑΜΠ, βρείτε τι θα κάνει στην περίπτωση που ληφθούν οι λέξεις και. Απάντηση (α) Γνωρίζουμε ότι οι στήλες του πίνακα ισοτιμίας Η ενός κώδικα C αποτελούν τη βάση του αντίστοιχου δυϊκού κώδικα C Άρα η βάση που δίνει η άσκηση θα αντιστοιχεί στις στήλες του Η του κώδικα C. H Άρα ο γεννήτορας πίνακας θα είναι G
Από τον γεννήτορα πίνακα προκύπτει ότι η διάσταση του κώδικα είναι k=3 ενώ η απόσταση προκύπτει από τον Η και είναι 3 αφού ο ελάχιστος αριθμός γραμμών που το άθροισμά τους είναι είναι 3. β) Εφόσον γνωρίζουμε όλες τις συνομάδες και τις λέξεις που περιέχουν, μία από αυτές θα είναι ο κώδικας C. Η συνομάδα που περιέχει τη μηδενική λέξη αντιστοιχεί στον κώδικα C. Αυτή είναι η συνομάδα 5 όπου το είναι το τελευταίο στοιχείο. Επίσης εφόσον το πλήθος των συνομάδων είναι 3 =8 και το μήκος της κωδικής λέξης είναι n=6 αυτό σημαίνει ότι k=3 και n- k=3. ) Για να κωδικοποιήσουμε το μήνυμα και με δεδομένο ότι ο κώδικάς μας είναι συστηματικός αρκεί να βρούμε στην συνομάδα 5 την κωδική λέξη που τα πρώτα τρία ψηφία είναι. Άρα το μήνυμα αντιστοιχεί στην κωδική λέξη. ) Παρατηρούμε ότι η λέξη ανήκει στην συνομάδα 6 και μάλιστα ταυτίζεται με το πρότυπο σφάλματος της συνομάδας αυτής. Επειδή μάλιστα είναι και η μοναδική λέξη με βάρος για να αποκωδικοποιήσουμε αρκεί να προσθέσουμε στην λέξη πρότυπο σφάλματος της συνομάδας δηλαδή τον εαυτό της. Άρα η λέξη που θα αποκωδικοποιηθεί είναι η μηδενική,. Η λέξη όμως ανήκει στην συνομάδα 8 η οποία έχει ως πρότυπα σφάλματος λέξεις βάρους οι οποίες είναι παραπάνω από μία, τις,, και. Οπότε σε αυτή την περίπτωση θα ζητηθεί η επανεκπομπή της λέξης. Βαρύτητες Θεμάτων ΘΕΜΑ Ερώτημα α 9 Ερώτημα β ΘΕΜΑ Ερώτημα α 4 Ερώτημα β 7 Ερώτημα γ 9 ΘΕΜΑ 3 Ερώτημα α 5 Ερώτημα β 7 Ερώτημα γ 8 ΘΕΜΑ 4 Ερώτημα α 9 Ερώτημα β ΘΕΜΑ 5 Ερώτημα α 5 Ερώτημα β 7 Ερώτημα β 8 ΣΥΝΟΛΟ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!