1.Ση είλαη ηα ζηάζηκα θύκαηα; Απάληεζε

ΣΑΙΜΑ ΚΤΜΑΣΑ 1.Ση είλαη ηα ζηάζηκα θύκαηα; Απάληεζε Γύν θύκαηα ίδηνπ πάηνπο Α θαη ίδηαο ζπρλόηεηαο f δηαδίδνληαη κε ηελ ίδηα ηαρύηεηα π αά ζε αληίζεηε θαηεύζπλζε κέζα ζην ίδην εαζηηθό κέζν. Οη ηαρύηεηεο δηάδνζεο ησλ δύν θπκάησλ ζην κέζν είλαη ίδηεο. Αξα ηα δύν θύκαηα έρνπλ θαη ην ίδην κήθνο θύκαηνο. ( π=.f ) Τα δύν θύκαηα ζπκβάνπλ. Ζ θίλεζε ηνπ κέζνπ κε ηελ επίδξαζε ησλ δύν θπκάησλ νλνκάδεηαη ζηάζηκν θύκα. ηάζηκν θύκα νλνκάδεηαη ην απνηέεζκα ηεο ζπκβνήο δύν θπκάηωλ ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο, ίδηνπ κήθνπο θύκαηνο θαη ηνπ ίδηνπ πάηνπο πνπ δηαδίδνληαη ζην ίδην κέζν κε αληίζεηεο θαηεπζύλζεηο. 2. Να βξεζεί ε εμίζωζε ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο Απάληεζε Έζησ ην αξκνληθό θύκα κε εμίζσζε y 1 =Α εκ2π ( Τ t - x ) (1) πνπ δηαδίδεηαη θαηά ηε ζεηηθή θνξά ηνπ άμνλα x. Έλα δεύηεξν θύκα κε ίδην πάηνο,ίδηα ζπρλόηεηα θαη ην ίδην κήθνο θύκαηνο, πνπ δηαδίδεηαη θαηά ηελ αληίζεηε θαηεύζπλζε ζα πεξηγξάθεηαη από ηελ εμίζσζε y 2 =Αεκ2π ( Τ t + x ) (2) Σύκθσλα κε ηελ αξρή ηεο επαείαο, ε απνκάθξπλζε ελόο ζεκείνπ Μ ηνπ κέζνπ ηε ρξνληθή ζηηγκή t, ζα είλαη y=y 1 +y 2 ε νπνία γίλεηαη από ηηο (1) θαη (2) y= Α εκ2π ( Τ t - x ) + Αεκ2π ( Τ t t x t x t x x 2π ( ) 2π ( + ) =2Α εκ T T ζπλ T 2 2 t T x ) 2x 2t 2π ( ) 2π ( ) => y= 2Α ζπλ εκ T 2 2 2π x 2π => y=2αζπλ εκ t (3) T ΚΕΦ.2 ΣΑΙΜΑ ΚΤΜΑΣΑ Επμέλεα: Μπαμπάτσκος Φώτης Σελίδα 1

2π x Ο όξνο Α = 2Α ζπλ εμαξηάηαη κόλν από ηε ζέζε x ηνπ ζεκείνπ θαη παξακέλεη ζηαζεξόο κε ην ρξόλν. 2π Ζ ζρέζε (3) παίξλεη ηε κνξθή y=a εκ t πνπ είλαη εμίζσζε απήο αξκνληθήο ηαάλησζεο. T Παξαηεξήζεηο α) Όα ηα ζεκεία ηνπ κέζνπ εθηενύλ απή αξκνληθή ηαάλησζε κε ηελ ίδηα ζπρλόηεηα f, θαη ηελ ίδηα πεξίνδν Τ κε απηή ησλ δύν θπκάησλ πνπ ζπκβάνπλ. β) Τν πάηνο ηεο ηαάλησζεο Α = 2Α 2π x ζπλ (4) δελ είλαη ίδην γηα όα ηα ζεκεία αά εμαξηάηαη από ηε ζέζε ηνπ x.(πξνζνρή : ην πάηνο ηεο ηαάλησζεο είλαη ζεηηθόο αξηζκόο) 2π x Υπάξρνπλ ζεκεία πνπ ε ηηκή ηνπ x δίλεη ζπλ =1 δε έρνπλ πάηνο ηαάλησζεο Α = 2Α ην νπνίν είλαη ην κέγηζην πάηνο ηαάλησζεο πνπ κπνξεί λα έρνπλ ηα ζεκεία ηνπ κέζνπ. Τα ζεκεία απηά έγνληαη θνηίεο. 2π x Υπάξρνπλ ζεκεία πνπ ε ηηκή ηνπ x δίλεη ζπλ =0 δε έρνπλ πάηνο ηαάλησζεο Α = 0 θαη ηα ζεκεία απηά παξακέλνπλ ζπλερώο αθίλεηα Τα ζεκεία απηά έγνληαη δεζκνί. Τα ππόνηπα ζεκεία αλάνγα κε ηελ ηηκή ηνπ x, έρνπλ πάηνο ηαάλησζεο Α κεηαμύ 0 θαη 2Α. γ) Ζ εμίζσζε ηαάλησζεο ελόο ηπραίνπ ζεκείνπ Μ πξνθύπηεη από ηελ εμίζσζε ηνπ ζηάζηκνπ 2π xm 2π θύκαηνο (3) αλ ζέζνπκε x= x Μ δε. y Μ =2Α ζπλ εκ t (4) T δ) Αλ ε ηηκή ηνπ x Μ είλαη ηέηνηα ώζηε 2π xm ζπλ > 0 ηόηε ην πάηνο ηεο ηαάλησζεο ηνπ ζεκείνπ 2π xm 2π Μ είλαη Α =2Αζπλ θαη ε εμίζσζε ηαάλησζήο ηνπ είλαη y Μ =Α εκ t T.Ζ αξρηθή θάζε ηαάλησζεο ηνπ ζεκείνπ είλαη κεδέλ,δε. γηα t=0 είλαη y M =0 θαη π > 0. Ζ ηαρύηεηα ηαάλησζεο 2π ηνπ ζεκείνπ Μ είλαη π= π 0 ζπλ t όπνπ π 0 = σ.α θαη ε επηηάρπλζε ηαάλησζεο είλαη T 2π α= - α 0 εκ t όπνπ α 0 =σ 2.Α. T ΚΕΦ.2 ΣΑΙΜΑ ΚΤΜΑΣΑ Επμέλεα: Μπαμπάτσκος Φώτης Σελίδα 2

ε) Αλ ε ηηκή ηνπ x Μ είλαη ηέηνηα ώζηε είλαη Α =2Α 2π xm ζπλ < 0 ηόηε ην πάηνο ηεο ηαάλησζεο ηνπ ζεκείνπ Μ 2π xm ζπλ θαη ε εμίζσζε ηαάλησζήο ηνπ είλαη y Μ =- 2Α 2π xm 2π ζπλ t T εκ => y Μ = - Α εκ 2π t T => y Μ = Α 2π εκ ( t T π). Ζ αξρηθή θάζε ηαάλησζεο ηνπ ζεκείνπ είλαη π, δε. γηα t=0 2π είλαη y M =0 θαη π < 0. Ζ ηαρύηεηα ηαάλησζεο ηνπ ζεκείνπ Μ είλαη π= π 0 ζπλ ( t π) όπνπ π 0 = σ.α θαη T 2π ε επηηάρπλζε ηαάλησζεο είλαη α = - α 0 εκ ( t π) όπνπ α 0 =σ 2.Α. T ζη) Τα ζεκεία ηνπ κέζνπ έρνπλ αξρηθή θάζε ηαάλησζεο 0 ή π.δπνκέλσο γηα t=0 όα ηα ζεκεία ηνπ κέζνπ βξίζθνληαη ζηελ ζέζε ηζνξξνπίαο (y=0), νξηζκέλα θηλνύληαη πξνο ηελ ζεηηθή θαηεύζπλζε (π>0) θαη ηα ππόνηπα θηλνύληαη πξνο ηελ αξλεηηθή θαηεύζπλζε (π<0) αλάνγα κε ηελ ηηκή ηνπ x. δ) Τελ κέγηζηε ηαρύηεηα ηαάλησζεο π 0 = σ.α θαη ηελ κέγηζηε επηηάρπλζε ηαάλησζεο α 0 =σ 2.Α έρνπλ ηα ζεκεία κε ην κέγηζην πάηνο ηαάλησζεο Α, δε. νη θνηίεο. ε) Ζ ελέξγεηα ηαάλησζεο ηνπ θάζε ζεκείνπ κάδαο m, είλαη Δ= 2 1 DA 2 όπνπ Α ην πάηνο ηαάλησζεο ηνπ ζεκείνπ θαη D=mσ 2 ε ζηαζεξά επαλαθνξάο ηνπ. Τελ κέγηζηε ελέξγεηα ηαάλησζεο έρνπλ ηα ζεκεία κε κέγηζην πάηνο ηαάλησζεο Α, δε. νη θνηίεο. 3.Να βξεζεί ε ζέζε α) ηωλ θνηηώλ β) ηωλ δεζκώλ Απάληεζε α)τα ζεκεία πνπ έρνπλ πάηνο ηαάλησζεο Α = 2Α 2π x ζπλ κέγηζην, Α = 2Α έγνληαη θνηίεο. Α = 2Α => 2Α 2π x = θπ => 2π x 2π x ζπλ =2Α => ζπλ = 1 => 2 x = θ => x =θ. 2 Οη θνηίεο έρνπλ κέγηζην πάηνο ηαάληωζεο Α =2Α θαη απέρνπλ από ηελ αξρή ηνπ άμνλα (x=0) αθέξαην πναπάζην ηνπ κηζνύ κήθνπο θύκαηνο x =θ. 2 ΚΕΦ.2 ΣΑΙΜΑ ΚΤΜΑΣΑ Επμέλεα: Μπαμπάτσκος Φώτης Σελίδα 3

β) Τα ζεκεία πνπ παξακέλνπλ ζπλερώο αθίλεηα (Α =0), έγνληαη δεζκνί. Α =0 => 2Α 2π x ζπλ =0 => 2π x π 2 x = θπ+ => 2 1 2 x 2θ 1 = θ+ => = 2 2 x 2θ 1 => = 4 => x=(2θ+1) 4 Οη δεζκνί παξακέλνπλ ζπλερώο αθίλεηνη θαη απέρνπλ από ηελ αξρή ηνπ άμνλα (x=0) πεξηηηό πναπάζην ηνπ Παξαηήξεζε 4 δε. x=(2θ+1) 4 Ζ αξρή ηνπ άμνλα x=0 είλαη θνηία. Αλ πάξνπκε γηα αξρή ηνπ άμνλα x=0 έλα δεζκό ηόηε : i) Οη θνηίεο απέρνπλ από ηελ αξρή ηνπ άμνλα (x=0) πεξηηηό πναπάζην ηνπ 4 ii)θαη δεζκνί νη απέρνπλ από ηελ αξρή ηνπ άμνλα (x=0) αθέξαην πναπάζην ηνπ κηζνύ κήθνπο θύκαηνο 4.Να ππννγηζηεί ε απόζηαζε κεηαμύ δύν δηαδνρηθώλ α) θνηηώλ β) δεζκώλ γ) κηάο θνηίαο θαη ηνπ γεηηνληθνύ ηεο δεζκνύ. Απάληεζε α) Οη ζέζεηο ησλ θνηηώλ είλαη : x =θ. 2 Γηα θ=ε => x ε =ε 2. Ζ επόκελε θνηία είλαη γηα θ=ε+1 => xε+1 = (ε+1) 2 = ε 2 + 2 Ζ απόζηαζε κεηαμύ δύν δηαδνρηθώλ θνηηώλ ζα είλαη : Γx θ = x ε+1 - x ε = ε 2 - ε 2 + 2 => Δx θ = 2 β) Οη ζέζεηο ησλ δεζκώλ είλαη : x=(2θ+1) 4 Γηα θ=ε => x ε = (2ε+1) 4.Ο επόκελνο δεζκόο είλαη γηα θ=ε+1 => xε+1 = [2(ε+1)+1] 4 => x ε+1 = (2ε+1+2) 4 => xε+1 = (2ε+1) 4 + 2. ΚΕΦ.2 ΣΑΙΜΑ ΚΤΜΑΣΑ Επμέλεα: Μπαμπάτσκος Φώτης Σελίδα 4

Ζ απόζηαζε κεηαμύ δύν δηαδνρηθώλ δεζκώλ ζα είλαη : Γx δ = x ε+1 - x ε =(2ε+1) 4 - (2ε+1) 4 + 2 => Δx δ = 2 γ) Ζ ζέζε κηάο θνηίαο είλαη x θ =ε 2 θαη ηνπ δεζκνύ κεηά από απηή xδ = (2ε+1) 4 = ε 2 + 4 Ζ απόζηαζε κεηαμύ κηάο θνηίαο θαη ηνπ γεηηνληθνύ ηεο δεζκνύ ζα είλαη: Γx = x δ - x θ = ε 2 + 4 - ε 2 => Δx = 4 πκπέξαζκα Η απόζηαζε κεηαμύ δύν δηαδνρηθώλ θνηηώλ ή κεηαμύ δύν δηαδνρηθώλ δεζκώλ είλαη 2, ελώ ε απόζηαζε κεηαμύ κηάο θνηίαο θαη ηνπ γεηηνληθνύ ηεο δεζκνύ είλαη 4 5.Να γίλεη ελεξγεηαθή κεέηε ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο. Απάληεζε Δθόζνλ ζην ζηάζηκν θύκα ππάξρνπλ ζεκεία πνπ παξακέλνπλ πάληα αθίλεηα, δε κεηαθέξεηαη ελέξγεηα από ην έλα ζεκείν ηνπ κέζνπ ζην άν (απηόο επίζεο είλαη έλαο βαζηθόο όγνο πνπ δηαθνξνπνηεί ηελ θαηάζηαζε ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο από απηό πνπ νξίζακε σο θύκα ). Ζ ελέξγεηα πνπ είραλ ηα αξρηθά θύκαηα, ε ζπκβνή ησλ νπνίσλ έδσζε ην ζηάζηκν θύκα, εγθσβίδεηαη αλάκεζα ζηνπο δεζκνύο. Σε έλα γξακκηθό κέζν,ζην νπνίν έρεη δεκηνπξγεζεί ζηάζηκν θύκα, ε ελέξγεηα κεηαηξέπεηαη ζπλερώο από εαζηηθή δπλακηθή ελέξγεηα, όηαλ ην κέζν είλαη ζηηγκηαία αθίλεην, ζε θηλεηηθή όηαλ ην κέζν δηέξρεηαη από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο. Σηηο ελδηάκεζεο ζέζεηο ηα κόξηα ηνπ κέζνπ, έρνπλ θαη θηλεηηθή θαη δπλακηθή ελέξγεηα. ΚΕΦ.2 ΣΑΙΜΑ ΚΤΜΑΣΑ Επμέλεα: Μπαμπάτσκος Φώτης Σελίδα 5

6.Να γίλεη ην ζηηγκηόηππν ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο ηηο ρξνληθέο ζηηγκέο t=0, t=t/4, t=t/2, t=3t/4, t=t Απάληεζε 'Όα ηα ζεκεία ηνπ εαζηηθνύ κέζνπ ζηo ζηάζηκν θύκα εθηενύλ ηαπηόρξνλα αξκνληθή ηαάλησζε γύξσ από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπο. Τν πάηνο ηεο ηαάλησζεο Α ελόο ζεκείνπ Μ ηνπ εαζηηθνύ κέζνπ εμαξηάηαη από ηελ απόζηαζε x ηνπ ζεκείνπ Μ από ηελ αξρή Ο Σην δηπαλό ζρήκα βέπνπκε ην ζηηγκηόηππν ηνπ θύκαηνο ζε ηξεηο δηαθνξεηηθέο ρξνληθέο ζηηγκέο. Τε ζηηγκή t=0 όα ηα ζεκεία πεξλνύλ από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο κε ηε κέγηζηε ηαρύηεηά ηνπο θαη ηε ζηηγκή t=t/4 βξίζθνληαη ζηε κέγηζηε απνκάθξπλζή ηνπο. Τε ζηηγκή t=t/2 ηα ζσκάηηα δηέξρνληαη από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπο. ηα ζεκεία βξίζθνληαη ζηε κέγηζηε αξλεηηθή απνκάθξπλζή ηνπο - Α. Τε ζηηγκή t=t μαλαπεξλνύλ από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο κε ηε κέγηζηε ηαρύηεηά ηνπο θαη ην θαηλόκελν επαλαακβάλεηαη. 7.Πνηεο είλαη νη ηδηόηεηεο ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο ; Απάληεζε Τν ζηάζηκν θύκα δελ είλαη θύκα γηαηί δελ κεηαθέξεη ελέξγεηα. Τα ζπκβαόκελα θύκαηα κνηξάδνπλ ηελ ελέξγεηα ζηα κόξηα ηνπ εαζηηθνύ κέζνπ θαη θάζε κόξην ηααληώλεηαη γύξσ από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ κε πάηνο πνπ εμαξηάηαη από ηελ ελέξγεηα πνπ πήξε. Υπάξρνπλ ζεκεία πνπ είλαη εληεώο αθίλεηα (δεζκνί) πνπ απέρνπλ κεηαμύ ηνπο /2. Υπάξρνπλ ζεκεία πνπ δνλνύληαη κε κέγηζηό πάηνο 2Α (θνηίεο) πνπ απέρνπλ κεηαμύ ηνπο /2. Ζ απόζηαζε αλάκεζα ζε δύν δηαδνρηθέο θνηίεο ή αλάκεζα ζε δύν δηαδνρηθνύο δεζκνύο είλαη ίζε κε /2. Ζ απόζηαζε κεηαμύ θνηίαο θαη γεηηνληθνύ δεζκνύ είλαη /4. ΚΕΦ.2 ΣΑΙΜΑ ΚΤΜΑΣΑ Επμέλεα: Μπαμπάτσκος Φώτης Σελίδα 6

'Όα ηα ζεκεία παίξλνπλ ηε κέγηζηε απνκάθξπλζή ηνπο (πάηνο) ηαπηόρξνλα. Δπίζεο, όα ηα ζεκεία πεξλνύλ από ην ζεκείν ηζνξξνπίαο ηνπο ηαπηόρξνλα (ζρήκα). 'Όα ηα ζεκεία ηααληώλνληαη κε κία ζπρλόηεηα πνπ είλαη θαη ε ζπρλόηεηα ησλ ζπκβαόλησλ θπκάησλ. 'Όα ηα ζεκεία πνπ βξίζθνληαη αλάκεζα ζε δύν δηαδνρηθνύο δεζκνύο ηελ ίδηα θάζε. Τα ζεκεία πνπ βξίζθνληαη εθαηέξσζελ ελόο δεζκνύ έρνπλ δηαθνξά θάζεο π. 8.Πνηεο είλαη νη δηαθνξέο κεηαμύ ηξέρνληνο θαη ζηάζηκνπ θύκαηνο: Απάληεζε Σην ηξέρνλ θύκα, όα ηα ζεκεία ηααληώλνληαη κε ίδην πάηνο Α. Σην ζηάζηκν θύκα, θάζε ζεκείν έρεη ην δηθό ηνπ πάηνο Α ' πνπ εμαξηάηαη από ηελ απόζηαζή ηνπ από ηελ πεγή. Σην ηξέρνλ θύκα έρνπκε κεηαθνξά ελέξγεηαο από ζεκείν ζε ζεκείν ελώ ζην ζηάζηκν θύκα δε ζπκβαίλεη απηό. Σην ηξέρνλ θύκα, ε θάζε θάζε ζεκείνπ εμαξηάηαη από ηε ζέζε ηνπ, ελώ ζην ζηάζηκν θύκα ε θάζε είλαη "0" ή "π". Σην ηξέρνλ θύκα, ηα ζεκεία πεξλνύλ από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπο ζε δηαθνξεηηθέο ρξνληθέο ζηηγκέο, ελώ ζην ζηάζηκν θύκα, ηα ζεκεία πεξλνύλ από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπο ηαπηόρξνλα. Σην ηξέρνλ θύκα ππάξρεη ζπγθεθξηκέλε θαηεύζπλζε δηάδνζεο, ελώ ζην ζηάζηκν θύκα δελ ππάξρεη. Σην ηξέρνλ θύκα όα ηα ζεκεία ηνπ εαζηηθνύ κέζνπ ηααληώλνληαη, ελώ ζην ζηάζηκν θύκα ππάξρνπλ ζεκεία πνπ παξακέλνπλ αθίλεηα (δεζκνί). ΚΕΦ.2 ΣΑΙΜΑ ΚΤΜΑΣΑ Επμέλεα: Μπαμπάτσκος Φώτης Σελίδα 7

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Γύν εγθάξζηα θύκαηα δηαδίδνληαη ηαπηόρξνλα θαηά κήθνο ελόο ζρνηληνύ, πξνο αληίζεηεο θαηεπζύλζεηο, θαη δεκηνπξγνύλ ζηάζηκν θύκα. Ζ εμίζσζε ηνπ θύκαηνο πνπ δηαδίδεηαη πξνο ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε είλαη: x y 1 = 5εκ2π(2t - ), (ηα x θαη y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s) α. Να ππννγίζεηε ηελ ηαρύηεηα δηάδνζεο ησλ δύν θπκάησλ. β. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύκαηνο πνπ δηαδίδεηαη πξνο ηελ αξλεηηθή θαηεύζπλζε. γ. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο. δ. Πνηα είλαη ε κέγηζηε ηηκή ηεο ηαρύηεηαο ησλ δηαθόξσλ ζεκείσλ ηνπ ζρνηληνύ, όηαλ ην ζρνηλί γίλεηαη επζύγξακκν; x Απ.: α) π=40cm/s, β) y 2 =5εκ2π(2t+ ),(ηα x θαη y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s), γ) y = 10ζπλ εκ4πt, (ηα x θαη y ζε cm θαη ην t ζε s), δ) πν = 40π cm/s 10 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Καηά κήθνο ελόο γξακκηθνύ εαζηηθνύ κέζνπ δηαδίδνληαη ηαπηόρξνλα δύν θύκαηα, ηα νπνία πεξηγξάθνληαη από ηηο εμηζώζεηο: y 1 =2εκ( πt- ) θαη y2 =2εκ( πt+ ), (ηα x θαη y ζε cm θαη ην t ζε s) 10 10 α. Να ππννγίζεηε ην πάηνο, ηελ πεξίνδν θαη ην κήθνο θύκαηνο ησλ δύν θπκάησλ. β. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο πνπ πξνθύπηεη από ηε ζπκβνή ησλ δύν θπκάησλ. γ. Να βξείηε ηηο ζέζεηο ησλ δεζκώλ ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο πνπ βξίζθνληαη πεζηέζηεξα πξνο ηε ζέζε x = 0 δ. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηεο ηαάλησζεο ηνπ ζεκείνπ ηνπ κέζνπ πνπ βξίζθεηαη ζηε ζέζε x = 10cm. Απ.:α) Α=2cm, Τ=2s, =cm, β) y=4ζπλ εκπt,(ηα x θαη y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s), 10 γ) x = +5 cm, x = -5 cm, δ) y = 4 εκ (πt +π), (ην y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s) ΚΕΦ.2 ΣΑΙΜΑ ΚΤΜΑΣΑ Επμέλεα: Μπαμπάτσκος Φώτης Σελίδα 8

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Γύν θύκαηα πνπ δηαδίδνληαη ηαπηόρξνλα θαηά κήθνο ελόο ζρνηληνύ, πξνο αληίζεηεο θαηεπζύλζεηο, ζπκβάνπλ θαη δεκηνπξγνύλ ζηάζηκν θύκα. Τν θύκα πνπ δηαδίδεηαη πξνο ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε έρεη εμίζσζε: x y 1 = 3εκ2π( 250t - ), (ηα x θαη y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s) 24 Θεσξνύκε σο αξρή κέηξεζεο ησλ απνζηάζεσλ (x = 0) κηα θνηία ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο θαη σο αξρή ησλ ρξόλσλ (t = 0) ηε ρξνληθή ζηηγκή θαηά ηελ νπνία ε θάζε ηεο ηαάλησζεο ηνπ ζεκείνπ ηνπ ζρνηληνύ πνπ βξίζθεηαη ζηε ζέζε x = 0 είλαη θ=0 0. α. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύκαηνο πνπ δηαδίδεηαη πξνο ηελ αξλεηηθή θαηεύζπλζε. β. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο ελόο ζεκείνπ ηνπ ζρνηληνύ πνπ βξίζθεηαη ζηε ζέζε x= +60cm. γ. πόζεο θνηίεο ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο ππάξρνπλ κεηαμύ ελόο δεζκνύ θαη ελόο άνπ ζεκείνπ ηνπ ζρνηληνύ, ηα νπνία απέρνπλ κεηαμύ ηνπο απόζηαζε Γx=1m; x Απ:α. y 2 = 3εκ2π( 250t + ), (ηα x θαη y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s) 24 β.y=6εκ(500πt+π), (ην y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s) γ. θ=8. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Γξακκηθό νκνγελέο εαζηηθό κέζνλ εθηείλεηαη θαηά ηε δηεύζπλζε ηνπ άμνλα x x. Αξκνληθό θύκα δηαδίδεηαη θαηά κήθνο ηνπ εαζηηθνύ κέζνπ θαηά ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε θαη πεξηγξάθεηαη από ηελ εμίζσζε y 1 = 4εκπ( t - 10 x ) όπνπ ηα x, yl κεηξώληαη ζε cm θαη ην t ζε s. α. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ εκηηνλνεηδνύο θύκαηνο, ίδηνπ πάηνπο, ην νπνίν όηαλ ζπκβάεη κε ην πξνεγνύκελν δεκηνπξγεί θαηά κήθνο ηνπ εαζηηθνύ κέζνπ ζηάζηκν θύκα. Να ζεσξήζεηε όηη ζηε ζέζε x = 0 ηε ζηηγκή t = 0 είλαη π > 0. β. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο πνπ δεκηνπξγεί ε ζπκβνή ησλ δύν πξνεγνύκελσλ θπκάησλ. γ. Να γξάςεηε ηηο εμηζώζεηο, ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν, γηα ηελ ηαρύηεηα θαη ηελ επηηάρπλζε ελόο ζεκείνπ ηνπ εαζηηθνύ κέζνπ, ην νπνίν βξίζθεηαη ζηε ζέζε κε ζπληεηαγκέλε x = 2,5 cm. x Απ. (α) y 1 = 4εκπ( t + ) όπνπ ηα x, y2 κεηξώληαη ζε cm θαη ην t ζε s. β. y=8ζπλ εκπt (x, y ζε cm, t ζε 10 10 s) γ. π = 4π 2 ζπλπt (π ζε m/s, t ζε s), α = -4π 2 2 εκπt (α ζε cm/s 2, t ζε s) ΚΕΦ.2 ΣΑΙΜΑ ΚΤΜΑΣΑ Επμέλεα: Μπαμπάτσκος Φώτης Σελίδα 9

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Καηά κήθνο ελόο ζρνηληνύ ζρεκαηίδεηαη ζηάζηκν θύκα πνπ πεξηγξάθεηαη από ηελ εμίζσζε : y =8ζπv εκ10πt, (ηα x θαη y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s) 6 α. Να βξείηε ην πάηνο, ην κήθνο θύκαηνο θαη ηε ζπρλόηεηα ησλ δύν θπκάησλ πνπ ε ζπκβνή ηνπο δεκηνπξγεί ην ζηάζηκν θύκα. β. Να ππννγίζεηε ηελ ηαρύηεηα δηάδνζεο ησλ δύν θπκάησλ. γ. Να γξάςεηε ηηο εμηζώζεηο ησλ δύν θπκάησλ. Υπνζέηνπκε όηη ε αξρή κέηξεζεο ησλ απνζηάζεσλ (x = 0) είλαη κηα θνηία ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο θαη όηη ε αξρή ησλ ρξόλσλ (t = 0) είλαη ε ρξνληθή ζηηγκή θαηά ηελ νπνία ε θάζε ζηε ζέζε x = 0 είλαη θ = 0. Απ.:α) A=4cm, =12cm, f=5hz, β) π=60 cm/s, γ) y 1 = 4εκ2π(5t - 12 x ) θαη y2 = 4εκ2π(5t + 12 x ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 Καηά κήθνο ελόο γξακκηθνύ νκνγελνύο κέζνπ, ην νπνίν εθηείλεηαη ζηε δηεύζπλζε ηνπ άμνλα ρ'ρ δεκηνπξγείηαη ζηάζηκν εγθάξζην θύκα πνπ πεξηγξάθεηαη από ηελ εμίζσζε: y =8ζπv εκ10πt, (ηα x θαη y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s) 10 α. Να βξείηε ηελ απόζηαζε δύν δηαδνρηθώλ δεζκώλ ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο. β. Να γξάςεηε ηηο εμηζώζεηο ησλ ηξερόλησλ θπκάησλ, ηα νπνία κε ηε ζπκβνή ηνπο δεκηνπξγνύλ ην ζηάζηκν θύκα. γ. Πόζν είλαη ην πάηνο ηαάλησζεο δύν ζεκείσλ Α θαη Β ηνπ εαζηηθνύ κέζνπ ηα νπνία βξίζθνληαη ζηηο ζέζεηο x 1 =-cm θαη x 2 =+25cm αληίζηνηρα; x x Απ.: α) d=10cm, β) y 1 = 4εκ2π( 5t- ) θαη y2 = 4εκ2π( 5t+ ), (ηα x θαη y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s), γ) Α 1 = 8 cm, Α 2 = 0 ΚΕΦ.2 ΣΑΙΜΑ ΚΤΜΑΣΑ Επμέλεα: Μπαμπάτσκος Φώτης Σελίδα 10

ΑΚΗΕΙ 1.Καηά κήθνο ελόο ζρνηληνύ δηαδίδνληαη ηαπηόρξνλα δύν θύκαηα, ηα νπνία, πεξηγξάθνληαη από ηηο x x εμηζώζεηο: y 1 =5εκ2π( 10t- ) θαη y2 =5εκ2π( 10t+ ), (ηα x θαη y ζε cm θαη ην t ζε s) α. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο πνπ πξνθύπηεη από ηε ζπκβνή ησλ δύν θπκάησλ. β. Πνην είλαη ην πάηνο ηεο ηαάλησζεο ελόο ζεκείνπ Α ηνπ ζρνηληνύ πνπ βξίζθεηαη ζηε ζέζε x = 40/3 cm. γ. Σε πόζε απόζηαζε από ην ζεκείν Α βξίζθεηαη ε πεζηέζηεξε θνηία θαη ζε πόζε ν πεζηέζηεξνο δεζκόο ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο; Απ.: α) y = 10ζπλ εκπt, (ηα x θαη y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s), 10 β) A'=5cm, γ) Γx k =-10/3cm, Γx δ =5/3cm 2.Καηά κήθνο ηνπ ίδηνπ ζρνηληνύ θαη πξνο αληίζεηεο θαηεπζύλζεηο δηαδίδνληαη ηαπηόρξνλα δύν θύκαηα, ηα νπνία πεξηγξάθνληαη από ηηο εμηζώζεηο: y 1 = Αεκ2π( T t - x ) θαη y2 = Αεκ2π( T t + x ) Γηα ην ζηάζηκν θύκα πνπ πξνθύπηεη από ηε ζπκβνή ησλ δύν θπκάησλ δίλνληαη νη εμήο πεξνθνξίεο: ί) Γύν δηαδνρηθνί δεζκνί απέρνπλ κεηαμύ ηνπο απόζηαζε d=cm θαη ίί) 'Έλα ζεκείν ηνπ ζρνηληνύ πνπ βξίζθεηαη ζηε ζέζε κηαο θνηίαο εθηεεί ηαάλησζε κε ζπρλόηεηα f=5hz θαη πάηνο A'=8cm. α. Να εμεηάζεηε αλ ζηε ζέζε x = 0 ππάξρεη δεζκόο ή θνηία ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο. β. Να ππννγίζεηε ηελ ηαρύηεηα δηάδνζεο ησλ δύν θπκάησλ. γ. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο. Απ: β.π = 2 m/s γ. y = 8ζπλ εκ10πt, (ηα x θαη y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s) 3.Καηά κήθνο ελόο ζρνηληνύ δηαδίδνληαη ηαπηόρξνλα δύν θύκαηα, ηα νπνία πεξηγξάθνληαη από ηηο εμηζώζεηο: x x y 1 = 3εκπ( 40t - ) θαη y2 =3εκπ( 40t + ),(ηα x θαη y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s) α. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο πνπ πξνθύπηεη από ηε ζπκβνή ησλ δύν θπκάησλ. β. Να ππννγίζεηε ηελ απόζηαζε κεηαμύ δύν δηαδνρηθώλ θνηηώλ ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο. ΚΕΦ.2 ΣΑΙΜΑ ΚΤΜΑΣΑ Επμέλεα: Μπαμπάτσκος Φώτης Σελίδα 11

γ. Να ππννγίζεηε ηε κέγηζηε ηαρύηεηα ηαάλησζεο ηνπ ζεκείνπ ηνπ ζρνηληνύ πνπ βξίζθεηαη ζηε ζέζε x= 5cm. Απ: α.y = 6ζπv εκ40πt, (ηα x θαη y ζε cm θαη ην t ζε s) 6 2π β. δ=cm γ.a'=3 2 cm,π max = 5 m/s 4.Γύν εγθάξζηα αξκνληθά θύκαηα πνπ έρνπλ ην ίδην πάηνο θαη ηελ ίδηα ζπρλόηεηα f = Ζz δηαδίδνληαη ζην ίδην γξακκηθό εαζηηθό κέζν πξνο αληίζεηεο θαηεπζύλζεηο θαη δεκηνπξγνύλ ζηάζηκν θύκα. Τν κέγηζην πάηνο ηαάλησζεο ησλ δηαθόξσλ ζεκείσλ ηνπ κέζνπ είλαη A max = 4 cm. Ζ εάρηζηε απόζηαζε κεηαμύ δύν ζεκείσλ ηνπ κέζνπ πνπ παξακέλνπλ κνλίκσο αθίλεηα είλαη Γx == 30cm. α. Να ππννγίζεηε ην πάηνο θαη ην κήθνο θύκαηνο ησλ δύν θπκάησλ. β. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο. γ. Να πξνζδηνξίζεηε ηε γεληθή ζρέζε πνπ δίλεη ηηο ζέζεηο ησλ θνηηώλ ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο. δ. Με ηε βνήζεηα ηεο γεληθήο ζρέζεο ηνπ εξσηήκαηνο γ) λα βξείηε ηελ απόζηαζε δύν δηαδνρηθώλ θνηηώλ ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο. Να ζεσξήζεηε σο αξρή κέηξεζεο ησλ απνζηάζεσλ (x = 0) κηα θνηία ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο θαη σο αξρή ησλ ρξόλσλ (t = 0) ηε ρξνληθή ζηηγκή πνπ ζηε ζέζε x = 0 ε θάζε ηεο ηαάλησζεο είλαη ίζε κε κεδέλ. Απ: α.α = 2cm, = 60cm β.y = 4ζπλ εκ(πt) (ηα x θαη y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s) 30 γ.x=30k, k=0,1,2,... (ην x ζε cm) δ. d=30cm 5.Καηά κήθνο κηαο ρνξδήο δηαδίδνληαη ηαπηόρξνλα δύν θύκαηα κε εμηζώζεηο: y 1 =4εκπ(t- 10 x ) θαη y2 =4εκπ(t+ 10 x ) (ηα x θαη y ζε cm θαη ην t ζε s) α. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο πνπ πξνθύπηεη από ηε ζπκβνή ησλ δύν θπκάησλ. β. Να βξείηε ηε δηαθνξά θάζεο ησλ ηααληώζεσλ δύν ζεκείσλ Β θαη Γ ηεο ρνξδήο πνπ βξίζθνληαη ζηηο ζέζεηο x Β = 2,5cm θαη x Γ = 7,5cm, αληίζηνηρα. γ. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηεο ηαάλησζεο ηνπ ζεκείνπ ηεο ρνξδήο πνπ βξίζθεηαη ζηε ζέζε ηεο πξώηεο θνηίαο ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο, ζηνλ ζεηηθό εκηάμνλα. Να ζεσξεζεί όηη ε αξρή ηνπ άμνλα ( x = 0 ) είλαη κηα θνηία ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο θαη όηη ηε ρξνληθή ζηηγκή t = 0 ε θάζε ηεο ηαάλησζεο ηνπ ζεκείνπ ηνπ ζρνηληνύ πνπ βξίζθεηαη ζηε ζέζε x = 0 είλαη θ ν = 0. Aπ: α) y = 8ζπλ εκπt (ηα x θαη y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s), 10 β) Γθ =π, γ) y = 8εκ(πt +π), (ην y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s) ΚΕΦ.2 ΣΑΙΜΑ ΚΤΜΑΣΑ Επμέλεα: Μπαμπάτσκος Φώτης Σελίδα 12

6.Γύν εγθάξζηα αξκνληθά θύκαηα, πνπ έρνπλ ην ίδην πάηνο θαη ηελ ίδηα ζπρλόηεηα, δηαδίδνληαη ηαπηόρξνλα θαηά κήθνο ηνπ ηδίνπ εαζηηθνύ κέζνπ, πξνο αληίζεηεο θαηεπζύλζεηο. Τα δύν θύκαηα ζπκβάνπλ θαη δεκηνπξγνύλ ζηάζηκν θύκα. Ζ εμίζσζε ηνπ θύκαηνο πνπ δηαδίδεηαη πξνο ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε είλαη: x y 1 =4εκπ(2t- ), (ηα x θαη y1 είλαη ζε cm θαη ην t είλαη ζε s) Θεσξνύκε σο αξρή κέηξεζεο ησλ απνζηάζεσλ (x= 0) κηα θνηία ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο θαη σο αξρή ησλ ρξόλσλ (t = 0) ηε ρξνληθή ζηηγκή πνπ ζηε ζέζε x = 0 ε θάζε ηεο ηαάλησζεο είλαη θ=0 0. α. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύκαηνο πνπ δηαδίδεηαη πξνο ηελ αξλεηηθή θαηεύζπλζε. β. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο. γ. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο ηεο πεζηέζηεξεο πξνο ηε ζέζε x = 0 θνηίαο ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο. δ. Πόζνη δεζκνί ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο ππάξρνπλ κεηαμύ ησλ ζέζεσλ x = 0 θαη x =80cm ; x Απ.: α) y 2 = 4εκπ( 2t + ), (ηα x θαη y2 είλαη ζε cm θαη ην t ζε s), β) y = 8ζπλ εκ2πt, (ηα x θαη y είλαη αε cm θαη ην t ζε s), γ) y = -8εκ2πt, (ην y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s), δ) θ = 4 7.Γύν εγθάξζηα αξκνληθά θύκαηα, πνπ έρνπλ ην ίδην πάηνο θαη ηελ ίδηα ζπρλόηεηα, δηαδίδνληαη θαηά κήθνο ελόο γξακκηθνύ εαζηηθνύ κέζνπ πξνο αληίζεηεο θαηεπζύλζεηο. Τα δύν θύκαηα ζπκβάνπλ θαη δεκηνπξγνύλ ζηάζηκν θύκα. Ζ εμίζσζε ηνπ θύκαηνο πνπ δηαδίδεηαη πξνο ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε είλαη: y 1 =2εκπ( 10t- 12 x ), (ηα x θαη y1 είλαη ζε cm θαη ην t ζε s) α. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο. β. Πνηα είλαη ε εάρηζηε απόζηαζε κεηαμύ δύν ζεκείσλ ηνπ κέζνπ πνπ βξίζθνληαη εθαηέξσζελ ελόο δεζκνύ ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο θαη ηα νπνία ηααληώλνληαη κε πάηνο A=2cm; γ. Πνηα είλαη ε δηαθνξά θάζεο ησλ ηααληώζεσλ ησλ δύν ζεκείσλ ηνπ εξσηήκαηνο (β); Απ.: α) y = 4ζπλ εκ(10πt), (ηα x θαη y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s), 12 β) d=4cm, γ) Γθ=π rad 8.'Έλα εγθάξζην αξκνληθό θύκα, ην νπνίν δηαδίδεηαη θαηά κήθνο ελόο γξακκηθνύ εαζηηθνύ κέζνπ από ηα αξηζηεξά πξνο ηα δεμηά, αλαθάηαη ζην εεύζεξν άθξν ηνπ κέζνπ ρσξίο κεηαβνή θάζεο. Ζ εμίζσζε ηνπ αλαθώκελνπ θύκαηνο είλαη: ΚΕΦ.2 ΣΑΙΜΑ ΚΤΜΑΣΑ Επμέλεα: Μπαμπάτσκος Φώτης Σελίδα 13

x y 2 = 6εκπ(8t+ ), (ηα x θαη y2 είλαη ζε cm θαη ην t ζε s) α. Να γξάςεηε ηηο εμηζώζεηο ηνπ πξνζπίπηνληνο θύκαηνο θαη ηνπ θύκαηνο πνπ πξνθύπηεη από ηε ζπκβνή ηνπ πξνζπίπηνληνο θαη ηνπ αλαθώκελνπ θύκαηνο. β. Να βξείηε ην πάηνο ηεο ηαάλησζεο ελόο ζεκείνπ Μ ηνπ κέζνπ πνπ βξίζθεηαη ζηε ζέζε x = + 15 cm. γ. Να πξνζδηνξίζεηε ηηο ζέζεηο ησλ δύν πεζηέζηεξσλ πξνο ην Μ ζεκείσλ ηνπ κέζνπ, ηα νπνία έρνπλ ην ίδην πάηνο ηαάλησζεο κε απηό. Ωο αξρή κέηξεζεο ησλ απνζηάζεσλ (x = 0) λα ζεσξήζεηε έλα ζεκείν Ο ηνπ κέζνπ, ην νπνίν δέρεηαη από θάζε θύκα ηελ ίδηα απνκάθξπλζε, θαη σο αξρή ησλ ρξόλσλ (t= 0) ε ρξνληθή ζηηγκή πνπ ε θάζε ζην ζεκείν Ο είλαη ίζε κε κεδέλ. x Απ.: α) y 1 = 6εκπ(8t- ), (ηα x θαη y1 είλαη ζε cm θαη ην t ζε s),y = 12ζπλ εκ(8πt), (ηα x θαη y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s), β) A=6 2 cm, γ) x=5cm, x=25cm 9.Έλα νξηδόληην ζρνηλί έρεη ζην έλα άθξν ηνπ ζηεξεσκέλν δαθηύην, ν oπνίνο πεξηβάεη θαηαθόξπθν ζσήλα κηθξόηεξεο δηακέηξνπ. Αλ αξρίζνπκε λα θηλνύκε ην εεύζεξν άθξν ηνπ ζρνηληνύ πάλσ-θάησ κε ζηαζεξή ζπρλόηεηα, ηόηε δηαδίδεηαη πξνο ηα δεμηά έλα εγθάξζην αξκνληθό θύκα πνπ πεξηγξάθεηαη από ηελ εμίζσζε: y 1 = 4εκ (πt- ), (ηα x θαη y1 είλαη ζε cm θαη ην t ζε s) 30 α. Να ππννγίζεηε ηελ ηαρύηεηα δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο. β. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο πνπ δεκηνπξγείηαη από ην πξνζπίπηνλ θαη ην αλαθώκελν θύκα. γ. Γηα έλα ηκήκα ηνπ ζρνηληνύ από ηε ζέζε x=0 πνπ ηαπηίδεηαη κε κηα θνηία ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο κέρξη ηε ζέζε x = 105 cm, όπνπ βξίζθεηαη ν δαθηύηνο, λα ζρεδηάζεηε ηα ζηηγκηόηππα ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο θαηά ηηο ρξνληθέο ζηηγκέο: (ί) t=0 θαη (ίί) t=0,025s. δ. Να βξείηε ην πάηνο ηεο ηαάλησζεο ηνπ ζεκείνπ ηνπ ζρνηληνύ πνπ βξίζθεηαη ζε απόζηαζε d= 15 cm από ην δαθηύην. Γίλεηαη όηη, επεηδή ν δαθηύηνο είλαη εεύζεξνο λα θηλεζεί πάλσ-θάησ, ην πξνζπίπηνλ θύκα αλαθάηαη ρσξίο κεηαβνή θάζεο. Απ.: α) π=6m/s, β) y=8ζπλ εκ(πt), (ηα x θαη y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s), δ) Α = 8cm 30 ΚΕΦ.2 ΣΑΙΜΑ ΚΤΜΑΣΑ Επμέλεα: Μπαμπάτσκος Φώτης Σελίδα 14

10.Σην δηάγξακκα ηνπ παξαθάησ ζρήκαηνο δίλεηαη ην ζηηγκηόηππν ελόο ζηάζηκνπ θύκαηνο πνπ δεκηνπξγείηαη θαηά κήθνο ελόο ζρνηληνύ ζε κηα ρξνληθή ζηηγκή πνπ ηα ζεκεία ηνπ ζρνηληνύ βξίζθνληαη ζηε κέγηζηε απνκάθξπλζή ηνπο. Ζ ζπρλόηεηα ησλ θπκάησλ πνπ ζπκβάνπλ θαη δεκηνπξγνύλ ην ζηάζηκν θύκα είλαη f=hz. α. Να ππννγίζεηε ηελ ηαρύηεηα δηάδνζεο ησλ δπν θπκάησλ. β. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο. γ. Να βξείηε ηε δηαθνξά θάζεο ησλ ηααληώζεσλ ησλ ζεκείσλ Α θαη Β. δ. Πνην είλαη ην κέηξν ηεο κέγηζηεο ηαρύηεηαο ησλ ζεκείσλ ηνπ εαζηηθνύ κέζνπ; Απ.: α) π=8m/s, β) y=4ζπλ εκ(40πt),(ηα x θαη y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s), γ) Γθ = 0, δ) π 0 = 1,6π m/s 11.Καηά κήθνο ελόο ζρνηληνύ κεγάνπ κήθνπο θαη πξνο αληίζεηεο θαηεπζύλζεηο δηαδίδνληαη δύν εγθάξζηα αξκνληθά θύκαηα, ηα νπνία έρνπλ πάηνο Α = 2 cm, ζπρλόηεηα f =5 Ζz θαη ηαρύηεηα δηάδνζεο π = 2,5 m/s. Υπνζέηνπκε όηη κηα από ηηο θνηίεο ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο πνπ δεκηνπξγείηαη πάλσ ζην ζρνηλί βξίζθεηαη ζηε ζέζε x = 0 θαη όηη θαηά ηε ρξνληθή ζηηγκή t = 0 ε απνκάθξπλζε ζηε ζέζε απηή είλαη y= 0 θαη ε θνξά ηεο θίλεζεο ζεηηθή. α. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο. β. Γηα ηελ ηξίηε θαηά ζεηξά θνηία ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο πξνο ηα δεμηά ηεο ζέζεο x = 0, λα παξαζηήζεηε γξαθηθά ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν: (ί) Τν πάηνο ηεο ηαάλησζεο. (ίί) Τελ απνκάθξπλζε από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο. γ. Να πξνζδηνξίζεηε ηε γεληθή ζρέζε πνπ δίλεη ηηο ζέζεηο ησλ ζεκείσλ ηνπ ζρνηληνύ πνπ ηααληώλνληαη κε κέγηζην πάηνο. Απ.: α) y=4ζπλ εκ(10πt), (ηα x θαη y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s), 25 β) ί) Α = 4cm, ίί) y = -4εκ(10πt), (ην y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s), γ) x = θ 2, θ = 0, 1, 2,... ΚΕΦ.2 ΣΑΙΜΑ ΚΤΜΑΣΑ Επμέλεα: Μπαμπάτσκος Φώτης Σελίδα 15

12.Γηαπαζώλ εθηεεί ακείσηεο αξκνληθέο ηααληώζεηο ζε θαηαθόξπθν επίπεδν. Σηνλ έλαλ από ηνπο δύν βξαρίνλεο ηνπ δηαπαζώλ ζπλδένπκε ζηαζεξά δύν θαηαθόξπθεο αθίδεο Α θαη Β, νη νπνίεο δεκηνπξγνύλ ζηελ επηθάλεηα ηνπ λεξνύ κηαο δεμακελήο εγθάξζηα θύκαηα ηνπ ηδίνπ πάηνπο Α =5mm, ηεο ηδίαο πεξηόδνπ T=0,25s, ηνπ ηδίνπ κήθνπο θύκαηνο =5cm θαη ηεο ίδηαο θάζεο. Δθέγνπκε σο αξρή κέηξεζεο ησλ απνζηάζεσλ (x = 0) ην κέζν O ηνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο ΑΒ θαη σο αξρή ησλ ρξόλσλ (t = 0) ηε ρξνληθή ζηηγκή ηεο ηαπηόρξνλεο άθημεο ησλ δύν θπκάησλ ζην ζεκείν O. α. Να γξάςεηε ηηο εμηζώζεηο ησλ θπκάησλ πνπ παξάγνληαη από ηηο πεγέο Α θαη Β. β. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο πνπ πξνθύπηεη από ηε ζπκβνή ησλ δύν θπκάησλ. γ. Να βξείηε ηελ απόζηαζε ηεο δεύηεξεο θνηίαο ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο πνπ βξίζθεηαη πξνο ηα δεμηά ηνπ ζεκείνπ Ο θαη λα γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο ηνπ ζεκείνπ ηνπ κέζνπ ζηε ζέζε όπνπ βξίζθεηαη ε θνηία απηή. Γίλεηαη ε κεηαμύ ησλ αθίδσλ Α θαη Β απόζηαζε: d= 16cm. Απ.: α) y 1 =0,5εκ2π(4t- 5 x ) θαη y2 =0,5 εκ2π(4t+ 5 x ), (ηα x θαη y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s), 2 β) y =ζπv 5 εκ8πt, (ηα x θαη y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s), γ) x = 5 cm, y = εκ8πt, (ην y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s) 13.'Έλα γξακκηθό νκνγελέο εαζηηθό κέζνλ εθηείλεηαη θαηά ηε δηεύζπλζε ηνπ άμνλα ρ'ρ. Γύν ζεκεία Α θαη Β ηνπ κέζνπ απέρνπλ κεηαμύ ηνπο απόζηαζε d =cm θαη αξρίδνπλ λα ηααληώλνληαη θαηαθόξπθα κε ηελ ίδηα ζπρλόηεηα f=5hz, ην ίδην πάηνο A=4cm θαη ηελ ίδηα θάζε. Τν κήθνο θύκαηνο ησλ δύν θπκάησλ πνπ παξάγνληαη είλαη = 4cm. α. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο πνπ πξνθύπηεη από ηε ζπκβνή ησλ δύν θπκάησλ. β. Να βξείηε ηηο ζέζεηο θαη ηνλ αξηζκό ησλ δεζκώλ θαη ησλ θνηηώλ πνπ ζρεκαηίδνληαη. γ. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο y ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν t γηα ηε δεύηεξε πξνο ηα δεμηά θνηία ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο κεηά ην ζεκείν Ο. Θεσξνύκε σο αξρή ηνπ άμνλα ρ'ρ ην κέζν Ο ηεο απόζηαζεο ΑΒ, κε ην Α αξηζηεξά θαη ην Β δεμηά, θαη σο αξρή ηνπ ρξόλνπ ηε ρξνληθή ζηηγκή θαηά ηελ νπνία ηα θύκαηα ζπλαληώληαη ζην ζεκείν Ο. Απ.: α) y = 8ζπλ εκ10πt, (ηα x θαη y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s), 2 β) Ν δ = 10 δεζκνί, Ν θ =11 θνηίεο, γ) y = 8εκ10πt (ην y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s) ΚΕΦ.2 ΣΑΙΜΑ ΚΤΜΑΣΑ Επμέλεα: Μπαμπάτσκος Φώτης Σελίδα 16

14.'Έλα εγθάξζην αξκνληθό θύκα πάηνπο Α = 4 cm δηαδίδεηαη πξνο ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε, θαηά κήθνο ελόο ζρνηληνύ, ην νπνίν εθηείλεηαη θαηά ηε δηεύζπλζε ηνπ άμνλα ρ'ρ. Γηαπηζηώλεηαη όηη δύν ζεκεία ηνπ ζρνηληνύ, πνπ απέρνπλ κεηαμύ ηνπο απόζηαζε Γx = 30cm, παξνπζηάδνπλ δηαθνξά θάζεο Γθ 1 = 3π/2 rad. Δπίζεο, δηαπηζηώλεηαη όηη κέζα ζε ρξόλν Γt = 2s ε θάζε ηεο ηαάλησζεο ελόο ζεκείνπ ηνπ ζρνηληνύ απμάλεηαη θαηά Γθ 2 = 8π rad. α. Να ππννγίζεηε ηε ζπρλόηεηα θαη ην κήθνο ηνπ θύκαηνο. β. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύκαηνο. γ. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ελόο δεύηεξνπ παλνκνηόηππνπ θύκαηνο, ην νπνίν δηαδίδεηαη θαηά κήθνο ηνπ ζρνηληνύ πξνο ηελ αξλεηηθή θαηεύζπλζε θαη, ζπκβάνληαο κε ην πξώην, δεκηνπξγεί ζηάζηκν θύκα. δ. Σην ζηάζηκν θύκα λα γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν: ί) γηα ην ζεκείν ηνπ ζρνηληνύ πνπ βξίζθεηαη ζηε ζέζε x = 0 θαη ίί) γηα ην ζεκείν ηνπ ζρνηληνύ πνπ βξίζθεηαη ζηε ζέζε ηεο πξώηεο θνηίαο πξνο ηα αξηζηεξά ηεο ζέζεο x = 0. x Απ.: α)f=2ζz, =40cm, β) y = 4εκ2π(2t - 40 ), (ηα x θαη y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s), x γ) y 2 = 4εκ2π(2t + 40 ), (ηα x θαη y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s),δ) ί) y = 8εκ4πt (ην y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s),ίί) y = 8εκ(4πt+π), (ην ρ είλαη ζε cm θαη ην t ζε s) ] 15.Καηά κήθνο κηαο ρνξδήο δεκηνπξγείηαη ζηάζηκν θύκα, ην νπνίν πεξηγξάθεηαη από ηελ εμίζσζε: 2 y =4ζπv εκπt, (ηα x θαη y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s) 30 α. Να βξείηε ην πάηνο, ην κήθνο θύκαηνο θαη ηε ζπρλόηεηα ησλ δύν θπκάησλ πνπ ε ζπκβνή ηνπο δεκηνπξγεί ην ζηάζηκν θύκα. β. Να βξείηε ηελ ηαρύηεηα δηάδνζεο ησλ δύν θπκάησλ. γ. Να ζρεδηάζεηε ηα ζηηγκηόηππα ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο από ηε ζέζε x = 0 έσο ηε ζέζε x = 1cm: (ί) θαηά ηε ρξνληθή ζηηγκή t l πνπ ην ζεκείν ηεο ρνξδήο πνπ βξίζθεηαη ζηε ζέζε x = 0 βξίζθεηαη ζηε κέγηζηε ζεηηθή απνκάθξπλζή ηνπ θαη (ίί) θαηά ηε ρξνληθή ζηηγκή t 2 = t 1 + 4 T όπνπ Τ ε πεξίνδνο ησλ δύν θπκάησλ. Aπ.: α)a=2cm, =30cm, f=10hz, β) π=3m/s ΚΕΦ.2 ΣΑΙΜΑ ΚΤΜΑΣΑ Επμέλεα: Μπαμπάτσκος Φώτης Σελίδα 17

16.Καηά κήθνο κηαο ρνξδήο δεκηνπξγείηαη ζηάζηκν θύκα, ην νπνίν πεξηγξάθεηαη από ηελ εμίζσζε: y =4ζπv εκ25πt, (ηα x θαη y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s) 10 Υπνζέηνπκε όηη ε αξρή κέηξεζεο ησλ απνζηάζεσλ (x = 0) είλαη κηα θνηία Ο ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο θαη ε αξρή ησλ ρξόλσλ (t = 0) είλαη ε ρξνληθή ζηηγκή θαηά ηελ νπνία ε θάζε ζην ζεκείν Ο είλαη κεδέλ. α. Να ππννγίζεηε ηελ ηαρύηεηα δηάδνζεο ησλ δύν θπκάησλ πνπ ζπκβάνπλ θαη δεκηνπξγνύλ ην ζηάζηκν θύκα. β. Να βξείηε ηνλ αξηζκό θ ησλ θνηηώλ ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο. Οη νπνίεο πεξηακβάλνληαη κεηαμύ δύν ζεκείσλ Σ θαη Σ' ηεο ρνξδήο πνπ είλαη δεζκνί ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο θαη απέρνπλ κεηαμύ ηνπο απόζηαζε l= 50cm. γ. Με θαηάεε κεηαβνή ηεο ζπρλόηεηαο ησλ δύν θπκάησλ, δεκηνπξγείηαη θαηά κήθνο ηεο ρνξδήο έλα λέν ζηάζηκν θύκα. Αλ ηα ζεκεία Σ θαη Σ' ηεο ρνξδήο είλαη δεζκνί θαη ηνπ λένπ ζηάζηκνπ θύκαηνο θαη ν αξηζκόο ησλ θνηηώλ, νη νπνίεο πεξηακβάλνληαη κεηαμύ ηνπο είλαη θ-1 λα γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ λένπ ζηάζηκνπ θύκαηνο. 2 Απ.: α) π = 2,5 m/s, β) θ = 5 θνηίεο, γ) y = 4ζπλ εκ(πt), 25 (ηα x θαη y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s) 17.Γύν αξκνληθά θύκαηα, ηα νπνία δηαδίδνληαη θαηά κήθνο ηεο ίδηαο ρνξδήο κεγάνπ κήθνπο, πεξηγξάθνληαη από ηηο εμηζώζεηο: x x y 1 =15εκπ(40t- ) θαη y2 =15εκπ(40t+ ) (ηα x θαη y ζε cm θαη ην t ζε s) α. Να ππννγίζεηε ηε ζπρλόηεηα, ην κήθνο θύκαηνο θαη ηελ ηαρύηεηα ησλ δύν θπκάησλ. β. Να πξνζδηνξίζεηε ηηο ζέζεηο ησλ ηξηώλ πξώησλ δεζκώλ πνπ βξίζθνληαη ζην ζεηηθό εκηάμνλα, πεζηέζηεξα πξνο ηε ζέζε x= 0. γ. Να ππννγίζεηε ηε κέγηζηε απνκάθξπλζε από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ ελόο ζεκείνπ ηεο ρνξδήο πνπ βξίζθεηαη ζηε ζέζε x=0,85m. δ. Σε πόζε εάρηζηε απόζηαζε από ηνλ 1ν δεζκό ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο θαη πξνο ηα δεμηά ηνπ δεζκνύ απηνύ, έλα ζεκείν ηεο ρνξδήο εθηεεί ηαάλησζε κε πάηνο ίζν κε ην πάηνο θαζελόο από ηα δύν θύκαηα, ηα νπνία ζπκβάνπλ θαη δεκηνπξγνύλ ην ζηάζηκν θύκα; Απ.: α) f=hz, = 40cm, π = 8m/s, β) x 1 =10cm, x 2 =30cm, x 3 =50cm, γ) A=15 2 cm, δ) Γx=10/3 cm ΚΕΦ.2 ΣΑΙΜΑ ΚΤΜΑΣΑ Επμέλεα: Μπαμπάτσκος Φώτης Σελίδα 18

18.Τα άθξα κηαο ηελησκέλεο ρνξδήο κήθνπο l = 0,8m είλαη αθόλεηα ζηεξεσκέλα. 'Όηαλ έλα ζεκείν ηεο ρνξδήο ηίζεηαη ζε ηαάλησζε, θαηά κήθνο ηεο ρνξδήο δεκηνπξγείηαη ζηάζηκν θύκα κε ηέζζεξηο θνηίεο πνπ ηααληώλνληαη κε πάηνο Α = 4 cm. Ζ ηαρύηεηα δηάδνζεο ησλ δύν θπκάησλ πνπ ζπκβάνπλ θαη δεκηνπξγνύλ ην ζηάζηκν θύκα είλαη π = 5 m/s. α. Να βξείηε ην κήθνο θύκαηνο ησλ δύν θπκάησλ. β. Να γξάςεηε ηηο εμηζώζεηο ηεο απνκάθξπλζεο δύν δηαδνρηθώλ θνηηώλ Κ 1 θαη Κ 2 ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν. Ωο αξρή ησλ ρξόλσλ (t = 0) λα ζεσξήζεηε ηε ρξνληθή ζηηγκή πνπ ε θνηία Κ 1 βξίζθεηαη ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο θαη θηλείηαη θαηά ηε ζεηηθή θνξά. Απ.: α) = 0,4 m, β) y 1 = 4εκ25πt θαη y 2 = -4εκ25πt, (ηα y 1 θαη y 2 είλαη ζε cm θαη ην t ζε s) 19.Μηα ρνξδή ελόο κνπζηθνύ νξγάλνπ έρεη κήθνο l = 80cm. 'Όηαλ ηίζεηαη ζε ηαάλησζε, θαηά κήθνο ηεο ρνξδήο δεκηνπξγείηαη ζηάζηκν θύκα κε ηέζζεξηο θνηίεο, νη νπνίεο ηααληώλνληαη κε πάηνο Α' = 2cm. Ζ ηαρύηεηα δηάδνζεο ησλ θπκάησλ πνπ δεκηνπξγνύλ ην ζηάζηκν θύκα είλαη π = 1600m/s. α. Να απνδείμεηε όηη ν ήρνο πνπ παξάγεη ε θηζάξα είλαη αθνπζηόο. β. Θεσξνύκε σο αξρή Ο ηνπ άμνλα (x = 0) ηε ζέζε ηεο θνηίαο πνπ βξίζθεηαη πεζηέζηεξα πξνο ην αξηζηεξό άθξν ηεο ρνξδήο. Να γξάςεηε ηηο εμηζώζεηο ηεο απνκάθξπλζεο ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν γηα ηα ζεκεία O, Α θαη Β ηεο ρνξδήο πνπ βξίζθνληαη ζηηο ζέζεηο x=0, x Α =10cm θαη x B =cm, αληίζηνηρα. Ωο αξρή ησλ ρξόλσλ (t = 0) λα ζεσξήζεηε ηε ρξνληθή ζηηγκή πνπ ην ζεκείν Ο βξίζθεηαη ζηε κέγηζηε ζεηηθή απνκάθξπλζή ηνπ. γ. Να παξαζηήζεηε γξαθηθά ηηο ζρέζεηο ηνπ εξσηήκαηνο β) ζε θνηλό δηάγξακκα απνκάθξπλζεο (y) - ρξόλνπ (t). Γίλεηαη όηη ηα όξηα ησλ αθνπζηώλ γηα ηνλ άλζξσπν ήρσλ είλαη από Ζz κέρξη.000ζz. Απ.:α)f=4000ΖΕ, β) y=2εκ( 8000πt+ 2 π ), ya =0, y Β = 2εκ(8000πt+ 2 ), (ηα x θαη y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s).γύν αξκνληθά θύκαηα ίδηνπ πάηνπο θαη ίδηαο ζπρλόηεηαο δηαδίδνληαη ζην ίδην εαζηηθό κέζνλ, ζηελ ίδηα δηεύζπλζε κε αληίζεηε θνξά θαη ίδην κέηξν ηαρύηεηαο. Ζ θνηλή δηεύζπλζε δηάδνζεο ησλ θπκάησλ είλαη ν άμνλαο x'x. Θεσξνύκε αξρή ηνπ άμνλα ην ζεκείν O, ζην νπνίν νη απνκαθξύλζεηο πνπ πξνθανύληαη από ηα θύκαηα πνπ θζάλνπλ ζ' απηό έρνπλ ηελ ίδηα εμίζσζε y = y 0 εκσt. Γεαδή γηα t = 0 είλαη y = 0 θαη π > 0 γηα θαζέλα από ηα θύκαηα ζηε ζέζε Ο ηεο αξρήο ηνπ άμνλα. ΚΕΦ.2 ΣΑΙΜΑ ΚΤΜΑΣΑ Επμέλεα: Μπαμπάτσκος Φώτης Σελίδα 19

α. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο πνπ πξνθύπηεη από ηε ζπκβνή ησλ δύν απηώλ θπκάησλ. β. Να πξνζδηνξίζεηε ηηο ζέζεηο ησλ δεζκώλ θαη ηηο ζέζεηο ησλ θνηηώλ. γ. Να βξείηε ηελ απόζηαζε κεηαμύ ί) δύν δηαδνρηθώλ δεζκώλ. ίί) δύν δηαδνρηθώλ θνηηώλ. ίίί) ελόο δεζκνύ θαη ηεο γεηηνληθήο ηνπ θνηίαο. T 3T δ. Να ζρεδηάζεηε ην ζηηγκηόηππν ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο ηηο ρξνληθέο ζηηγκέο t l = θαη t2 = 4 4 2 Απ.α. y=2aζπλ 2π εκ t β.ζέζεηο δεζκώλ: xγ =(2k+l),kΕ Τ 4 ζέζεηο θνηηώλ: x θ =k 2 k Ε γ. i) 2 ii) 2 iii) 4 21.Σ ' έλα ζηάζηκν θύκα δύν κόξηα ηνπ εαζηηθνύ κέζνπ απέρνπλ από ηνλ ίδην δεζκό Γ απνζηάζεηο θαη 6, αληίζηνηρα. 3 α. Πνηα είλαη ε κεηαμύ ηνπο δηαθνξά θάζεο; β. Πνην είλαη ην πάηνο ηεο ηαάλησζεο πνπ εθηενύλ, αλ ην πάηνο θαζελόο από ηα θύκαηα πνπ δεκηνπξγνύλ ην ζηάζηκν θύκα είλαη A; Απ. α. π (rad) β. A 3 22.Γξακκηθό νκνγελέο εαζηηθό κέζνλ εθηείλεηαη θαηά ηε δηεύζπλζε ηνπ άμνλα x'x. Γύν ζεκεία ηνπ Α, Β απέρνπλ κεηαμύ ηνπο απόζηαζε cm θαη αξρίδνπλ λα ηααληώλνληαη θαηαθόξπθα κε ηελ ίδηα ζπρλόηεηα f = 5 Ζz θαη πάηνο A = 4 cm.καηά κήθνο ηνπ εαζηηθνύ κέζνπ δηαδίδνληαη ηα δύν εκηηνλνεηδή εγθάξζηα θύκαηα πνπ παξάγνληαη όγσ ηεο ηαάλησζεο ησλ ζεκείσλ Α θαη Β. Τν κήθνο θύκαηνο είλαη = 4 cm. Θεσξνύκε αξρή ηνπ άμνλα x'x ην κέζν Ο ηεο απόζηαζεο ΑΒ, κε ην Α αξηζηεξά θαη ην Β δεμηά. Δπίζεο ζεσξνύκε αξρή ηνπ ρξόλνπ, ηε ρξνληθή ζηηγκή θαηά ηελ νπνία ηα θύκαηα ζπλαληώληαη ζην Ο θαη είλαη, γηα ην ζεκείν O, y = 0 θαη π > 0. α. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο πνπ πξνθύπηεη από ηε ζπκβνή ησλ δύν θπκάησλ. β. Να βξείηε ηηο ζέζεηο θαη ηνλ αξηζκό ησλ δεζκώλ θαη θνηηώλ πνπ ζρεκαηίδνληαη. (Σηάζηκν θύκα θαηά κήθνο ηνπ εαζηηθνύ κέζνπ ζρεκαηίδεηαη κόλν κεηαμύ ησλ ζεκείσλ Α, Β. Αξηζηεξά ηνπ Α θαη δεμηά ηνπ Β ηα θύκαηα δηαδίδνληαη θαηά ηελ ίδηα θαηεύζπλζε). ΚΕΦ.2 ΣΑΙΜΑ ΚΤΜΑΣΑ Επμέλεα: Μπαμπάτσκος Φώτης Σελίδα

γ. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο y ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν γηα ηε δεύηεξε πξνο ηα δεμηά θνηία κεηά ην ζεκείν O. Απ.α. y=8ζπλ εκ10πt (x,y ζε cm,t ζε s) β. ΦΓ = (2k +1) cm, - 4 k 4 10 δεζκνί, 2 Φθ = 2k cm, - 5 k 5 11 θνηίεο γ. y=8εκ10πt, (y ζε cm, t ζε s) 23.Καηά κήθνο κηαο εαζηηθήο ρνξδήο δεκηνπξγείηαη ζηάζηκν θύκα, ην νπνίν πεξηγξάθεηαη από ηελ εμίζσζε: y = 6ζπλ εκπt, (ηα x θαη y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s) α. Να βξείηε ηελ απόζηαζε κεηαμύ δύν δηαδνρηθώλ δεζκώλ ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο. β. Να γξάςεηε ηηο εμηζώζεηο ησλ δύν θπκάησλ πνπ ζπκβάνπλ θαη δεκηνπξγνύλ ην ζηάζηκν θύκα. γ. Να ππννγίζεηε ην πάηνο ηεο ηαάλησζεο ηνπ ζεκείνπ ηεο ρνξδήο πνπ βξίζθεηαη ζε απόζηαζε x = 15 cm από ηελ αξρή (x = 0). Να ζεσξήζεηε σο αξρή κέηξεζεο ησλ απνζηάζεσλ (x = 0) κηα θνηία ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο θαη σο αξρή ησλ ρξόλσλ (t = 0) ηε ρξνληθή ζηηγκή πνπ ε θάζε ηεο ηαάλησζεο ζηε ζέζε x = 0 είλαη θ = 0. x x Απ: α.d= cm β. y 1 = 3εκ2π(10t - ), y2 = 3εκ2π(10t + ), 40 40 (ηα x θαη y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s) γ. Α =3 2 cm 24.Μηα ρνξδή εθηεεί ηαάλησζε κε εμίζσζε y = 8ζπλ εκ10πt (x, y ζε cm, t ζε s). 6 α. Πόζν είλαη ην κέγηζην πάηνο ηεο ηαάλησζεο; β. Να βξείηε ηελ πεξίνδν, ην κήθνο θύκαηνο θαη ηελ ηαρύηεηα δηάδνζεο ηνπ ηξέρνληνο θύκαηνο. γ. Να γξάςεηε ηηο εμηζώζεηο ησλ ηξερόλησλ θπκάησλ από ηε ζπκβνή ησλ νπνίσλ πξνέθπςε ην ζηάζηκν θύκα. Θεσξνύκε αξρή ηνπ άμνλα ην ζεκείν Ο γηα ην νπνίν ηε ζηηγκή t = 0 είλαη y= 0 θαη π > 0. Απ. α. 8 cm β.0,2 s, 12 cm, 0,6 m/s γ. y 1 =4εκ5π(5t- 12 x ) θαη y 2 = 4εκ5π(5t+ 12 x ) (ηα x θαη y ζε cm θαη ην t ζε s) ΚΕΦ.2 ΣΑΙΜΑ ΚΤΜΑΣΑ Επμέλεα: Μπαμπάτσκος Φώτης Σελίδα 21

25.Καηά κήθνο γξακκηθνύ νκνγελνύο εαζηηθνύ κέζνπ δηαδίδνληαη δύν εγθάξζηα εκηηνλνεηδή θύκαηα ηα νπνία πεξηγξάθνληαη από ηηο εμηζώζεηο: y 1 = 2,5εκ2π(t- 6 x + 2 1 ), θαη y2 = 2,5εκ2π(t+ 6 x ),(ηα x θαη y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s) α. Να βξείηε ηελ πεξίνδν, ην κήθνο θύκαηνο θαη ηελ ηαρύηεηα δηάδνζεο ησλ θπκάησλ. β. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο πνπ πξνθύπηεη από ηε ζπκβνή ησλ δύν απηώλ θπκάησλ. γ. Πνηα είλαη ε ηαρύηεηα ελόο ζεκείνπ ηνπ εαζηηθνύ κέζνπ κε ζπληεηαγκέλε x = Η,5 cm, ηε ρξνληθή ζηηγκή t = 9/8 s; Απ. α. 1/ s, 6 cm, l,2 m/s β. y = 5εκ ζπλ40πt (x, y ζε cm, t ζε s) γ. π = 0 3 26.Καηά κήθνο γξακκηθνύ νκνγελνύο κέζνπ ην νπνίν εθηείλεηαη θαηά ηε δηεύζπλζε ρ'ρ, δεκηνπξγείηαη ζηάζηκν εγθάξζην θύκα ην νπνίν πεξηγξάθεηαη από ηελ εμίζσζε y = 6ζπλ εκ10πt (x, y ζε cm, t ζε s). 10 α. Να βξείηε ην πάηνο, ηελ πεξίνδν, ην κήθνο θύκαηνο θαη ηελ ηαρύηεηα δηάδνζεο ησλ δύν ηξερόλησλ θπκάησλ ησλ νπνίσλ ε ζπκβνή δεκηνύξγεζε ην ζηάζηκν θύκα. β. Να γξάςεηε ηηο εμηζώζεηο ησλ ηξερόλησλ θπκάησλ ηα νπνία κε ηε ζπκβνή ηνπο δεκηνπξγνύλ ην ζηάζηκν θύκα. γ. Πόζν είλαη ην πάηνο ηαάλησζεο δύν ζεκείσλ Α, Β ηνπ εαζηηθνύ κέζνπ ηα νπνία βξίζθνληαη ζηηο ζέζεηο x η =-25 cm θαη x 2 =+25 cm αληίζηνηρα; δ. Να βξείηε ηνλ αξηζκό n ησλ θνηηώλ ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο πνπ ζρεκαηίδνληαη κεηαμύ ησλ ζεκείσλ Α θαη Β. ε. Μεηαβάνπκε θαηάεα ηε ζπρλόηεηα ησλ ζπκβαόλησλ θπκάησλ νπόηε δεκηνπξγείηαη θαηά κήθνο ηνπ εαζηηθνύ κέζνπ έλα λέν ζηάζηκν θύκα. Γηαπηζηώλνπκε όηη κεηαμύ ησλ ζεκείσλ Α θαη Β ηνπ εαζηηθνύ κέζνπ ζρεκαηίδνληαη n -1 θνηίεο. Γεδνκέλνπ όηη ε θηλεηηθή θαηάζηαζε ησλ ζεκείσλ Α θαη Β δε κεηαβήζεθε, ί) πνην είλαη ην λέν κήθνο θύκαηνο θαη ε λέα πεξίνδνο ησλ θπκάησλ πνπ δεκηνπξγνύλ ην ζηάζηκν θύκα; ίί) λα γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηνπ λένπ ζηάζηκνπ θύκαηνο. x x Απ.α.3cm, 0,2s, cm, 1m/s β. y 1 = 3εκ2π(5t- ), θαη y2 = 3εκ2π(5t+ ), (ηα x θαη y είλαη ζε cm θαη ην t ζε s) γ. 0 δ. 5 θνηίεο 2π x (ε) ί) 25 cm 0,25 s ίί) y=6ζπλ 25 εκ8πt (x, y ζε cm, t ζε s) ΚΕΦ.2 ΣΑΙΜΑ ΚΤΜΑΣΑ Επμέλεα: Μπαμπάτσκος Φώτης Σελίδα 22