14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος, ώστε: 0 κ < Για να βρούμε, λοιπόν, το κ, σχηματίζουμε τις διαφορές: -, -, -, - 4, -, - 6 κτλ - -4 - - 0 7 1 17 Παρατηρούμε ότι αφού οι αριθμοί αυτοί συνεχώς μειώνονται, από ένα σημείο και μετά θα είναι όλοι αρνητικοί Ο μικρότερος μη αρνητικός ακέραιος από τους παραπάνω αριθμούς, ο οποίος είναι μικρότερος του, είναι ο 4 = Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι το πηλίκο της διαίρεσης του με τον είναι 4 και το υπόλοιπο και έχουμε: Γενικά, ισχύει: ΘΕΩΡΗΜΑ 1 - = 4 +, 0 < - Αν α και β είναι φυσικοί αριθμοί με β 0 υπάρχουν μοναδικοί φυσικοί κ και υ, τέτοιοι, ώστε a = κβ + υ, 0 υ< β ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θεωρούμε τους ακέραιους α, α β, α β, α β, και από αυτούς παίρνουμε τους μη αρνητικούς Σχηματίζουμε δηλαδή το σύνολο S = { α xβ x N, α xβ 0}
14 Το σύνολο αυτό είναι υποσύνολο του N και επιπλέον είναι διάφορο του κενού, αφού περιέχει τον α 0 β = α 0 Αν υ είναι το ελάχιστο στοιχείο 1 του S, τότε θα υπάρχει κ N, τέτοιος, ώστε υ = α κβ, οπότε θα ισχύει α = κβ + υ και 0 υ Για τον υ πρέπει να δείξουμε ότι είναι και μικρότερος του β Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι υ β Τότε υ β 0 και υ β = α κβ β = α ( κ + 1 ) β = α xβ με x = κ + 1 N Άρα, ο υ β είναι στοιχείο του συνόλου S, του οποίου ελάχιστο στοιχείο είναι το υ Έτσι θα ισχύει υ β υ, που είναι άτοπο Επομένως, α = κβ + υ, 0 υ < β Μένει τώρα να αποδείξουμε ότι οι φυσικοί αριθμοί κ και υ είναι μοναδικοί Ας υποθέσουμε ότι και οι φυσικοί κ και υ έχουν την ιδιότητα α = κ β + υ, 0 υ < β Επειδή α = κβ+ υ, 0 υ< β, θα ισχύει κ β + υ = κβ + υ, οπότε υ υ = β( κ κ) Όμως, 0 υ< β και 0 υ < β, οπότε β < υ 0 Επομένως, με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε: β < υ υ < β β < β( κ κ) < β 1 < κ κ < 1 Αλλά ο μοναδικός ακέραιος μεταξύ 1 και 1 είναι το 0 Άρα κ κ = 0, δηλαδή κ = κ, οπότε και υ = υ Αποδεικνύεται ότι το θεώρημα ισχύει γενικότερα για οποιουσδήποτε ακέραιους α και β, με β 0 και διατυπώνεται ως εξής: Αν α και β ακέραιοι με β 0 υπάρχουν μοναδικοί ακέραιοι κ και υ, τέτοιοι, ώστε α = κβ + υ, 0 υ< β 1 Αποδεικνύεται ότι κάθε μη κενό υποσύνολο των φυσικών αριθμών έχει ελάχιστο στοιχείο ("αρχή της καλής διάταξης")
144 Η διαδικασία εύρεσης των κ, υ λέγεται ευκλείδεια ή αλγοριθμική διαίρεση του α με τον β Το κ λέγεται πηλίκο και το υ υπόλοιπο της διαίρεσης αυτής Όταν το υπόλοιπο μιας ευκλείδειας διαίρεσης είναι ίσο με το 0, η διαίρεση λέγεται τέλεια Ας δούμε με παραδείγματα πώς εργαζόμαστε στις διάφορες περιπτώσεις, για να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο μιας ευκλείδειας διαίρεσης Έστω λοιπόν α = 9 και β = Από τη διαίρεση του 9 με τον έχουμε 9 = 18+ και επομένως, 9 = 18 = 18 + = 19 + = ( 19) + Άρα, 9 = ( 19) +, με 0 <, που σημαίνει ότι το πηλίκο της διαίρεσης του 9 με τον είναι 19 και το υπόλοιπο είναι Έστω τώρα α= 9 και β = Από την ισότητα 9 = 18+ έχουμε διαδοχικά 9 = 18 = 18 + = ( ) 19 + Άρα, 9 = ( ) 19+, με 0 <, που σημαίνει ότι το πηλίκο της διαίρεσης του 9 με τον είναι 19 και το υπόλοιπο είναι Έστω, τέλος, α =9 και β = Πάλι από την ισότητα 9 = 18+ έχουμε: 9 = ( ) ( 18) +, με 0 < που σημαίνει ότι το πηλίκο της διαίρεσης του 9 με τον είναι 18 και το υπόλοιπο είναι ΣΧΟΛΙΟ Όταν ο διαιρέτης της ευκλείδειας διαίρεσης είναι ο β = τα δυνατά υπόλοιπα είναι υ = 0 ή υ = 1 Αν υ=0, ο ακέραιος α έχει τη μορφή α = κ, κ Z και λέγεται άρτιος, ενώ Αν υ =1, ο ακέραιος έχει τη μορφή α = κ + 1, κ Z και λέγεται περιττός Γενικά, τα δυνατά υπόλοιπα του α με τον β > 0 είναι οι αριθμοί 0, 1,,, β 1
14 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1 Αν ο α είναι ακέραιος και ο α( α + ) είναι ακέραιος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τα δυνατά υπόλοιπα του α με τον είναι 0, 1,, ο ακέραιος α έχει μία από τις μορφές α = κ ή α = κ + 1 ή α = κ +, κ Z Αν α = κ, κ Z α α + ) κ = [( κ) + ] = κ(9κ + ) Z ( Αν α = κ + 1, κ Z [( κ + 1) + ] = (κ + 1)(κ + κ + 1) Z α( α + ) (κ + 1) = Αν α = κ +, κ Z [( κ + ) + ] = (κ + )(κ + 4κ + ) Z α( α + ) (κ + ) = Να αποδειχτεί ότι: (i) Το γινόμενο δύο διαδοχικών ακεραίων είναι άρτιος αριθμός (ii) Το τετράγωνο κάθε περιττού ακεραίου είναι της μορφής 8 λ + 1, λ Ζ ΑΠΟΔΕΙΞΗ (i) Έστω δύο διαδοχικοί ακέραιοι α, α + 1 Αν ο α είναι άρτιος, δηλαδή α = κ, κ Z α( α + 1) = κ(κ + 1) = λ, άρτιος 144 Αν ο α είναι περιττός, δηλαδή α = κ + 1, κ Z (ii) Έστω ο περιττός α = κ + 1, λ α( α + 1) = (κ + 1)(κ + ) = (κ + 1)( κ + 1) = λ 1 444 4, άρτιος κ Z Τότε έχουμε λ α = (κ + 1) = 4κ + 4κ + 1 = 4κ( κ + 1) + 1 = 4 λ + 1 = 8λ + 1 144 λ, λ Z
146 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α Ομάδας 1 Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του α με τον β σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) α = 8 και β = 11 (ii) α = 8 και β = 11 (iii) α = 8 και β = 11 (iv) α = 8 και β = 11 Να αποδείξετε ότι: (i) Το τετράγωνο ενός ακεραίου α παίρνει τη μορφή: α = κ, κ Z ή α = κ + 1, κ Z (ii) Κάθε ακέραιος α της μορφής α = 6 κ +, κ Z μπορεί να πάρει τη μορφή α = λ +, λ Z Ισχύει το αντίστροφο; Αν α είναι ένας περιττός ακέραιος, να αποδείξετε ότι α + ( α + ) + ( α + 4) 1 + 1 Z 4 Μπορεί ο αριθμός να γραφεί ως άθροισμα 10 προσθετέων, καθένας από τους οποίους να είναι ίσος με 1 ή ή ; Β ΟΜΑΔΑΣ 1 Για ποιες τιμές του θετικού ακεραίου β το πηλίκο της διαίρεσης του 660 με τον β είναι ίσο με 17; Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης αυτής σε καθεμιά περίπτωση; Αν α, β, γ είναι περιττοί ακέραιοι, να αποδείξετε ότι η εξίσωση αx + βx + γ = 0 δεν έχει ακέραιες λύσεις Έχει ακέραιες λύσεις η εξίσωση x + 1997 x + 001 = 0 ; Αν α, β είναι δύο περιττοί ακέραιοι, να αποδείξετε ότι (i) α 8 β Z 4 α + β και (ii) Z 16 4 4 Για ποιες τιμές του ακεραίου κ ο αριθμός Να αποδείξετε ότι: κ + 4 είναι ακέραιος;
147 (i) Το τετράγωνο ενός άρτιου είναι της μορφής α = 4λ, λ Z, ενώ το τετράγωνο ενός περιττού είναι της μορφής α = 4λ + 1, λ Z (ii) Αν α, β είναι περιττοί ακέραιοι η εξίσωση x = α + β δεν έχει ακέραιες ρίζες (iii) Κανένας από τους όρους της αριθμητικής προόδου: 6,10,14, 18,, δεν είναι τετράγωνο φυσικού αριθμού