ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ ) Z ( Αν κ, κ Z (κ ( κ (κ κ Z ( ) (κ Αν κ, κ Z (κ ) ( κ )(κ κ ) Z ( ) (κ ) Ν ποδειχτεί ότι: (i) Το γινόμενο δύο διδοχικών κερίων είνι άρτιος ριθμός (ii) Το τετράγωνο κάθε περιττού κερίου είνι της μορφής 8λ, λ Ζ ΑΠΟΔΕΙΞΗ (i) Έστω δύο διδοχικοί κέριοι, Αν ο είνι άρτιος, δηλδή κ, κ Z ( ) κ(κ ) λ, άρτιος Αν ο είνι περιττός, δηλδή κ, κ Z (ii) Έστω ο περιττός κ, κ Z Τότε έχουμε λ ( (κ (κ ) (κ ( κ λ, άρτιος λ κ ή (κ κ κ κ( κ λ 8λ λ, λ Z Από το βιβλίο: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξης Ενιίου Λυκείου Θετικής Κτεύθυνσης

2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Ν βρείτε το πηλίκο κι το υπόλοιπο της ευκλείδεις διίρεσης του με τον β σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: (i) 8 κι β (ii) 8 κι β (iii) 8 κι β (iv) 8 κι β Ν ποδείξετε ότι: (i) Το τετράγωνο ενός κερίου πίρνει τη μορφή: κ, κ Z ή κ, κ Z (ii) Κάθε κέριος της μορφής 6κ, κ Z μπορεί ν πάρει τη μορφή λ, λ Z Ισχύει το ντίστροφο; Αν είνι ένς περιττός κέριος, ν ποδείξετε ότι ( ) ( ) Z Μπορεί ο ριθμός ν γρφεί ως άθροισμ 0 προσθετέων, κθένς πό τους οποίους ν είνι ίσος με ή ή ; Β ΟΜΑΔΑΣ Γι ποιες τιμές του θετικού κερίου β το πηλίκο της διίρεσης του 660 με τον β είνι ίσο με 7; Ποιο είνι το υπόλοιπο της διίρεσης υτής σε κθεμιά περίπτωση; Αν, β, γ είνι περιττοί κέριοι, ν ποδείξετε ότι η εξίσωση x βx γ 0 δεν έχει κέριες λύσεις 997 Έχει κέριες λύσεις η εξίσωση x x 00 0 ; Αν, β είνι δύο περιττοί κέριοι, ν ποδείξετε ότι (i) 8 β Z β κι (ii) Z 6 Γι ποιες τιμές του κερίου κ ο ριθμός Ν ποδείξετε ότι: κ (i) Το τετράγωνο ενός άρτιου είνι της μορφής είνι της μορφής λ, λ Z είνι κέριος;, λ Z, ενώ το τετράγωνο ενός περιττού λ (ii) Αν, β είνι περιττοί κέριοι η εξίσωση x β δεν έχει κέριες ρίζες (iii) Κνένς πό τους όρους της ριθμητικής προόδου: 6,0,,8,, δεν είνι τετράγωνο φυσικού ριθμού Λ Υ Σ Ε Ι Σ Από το βιβλίο: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξης Ενιίου Λυκείου Θετικής Κτεύθυνσης

3 Α ΟΜΑΔΑΣ (i) Είνι: 876 Άρ το πηλίκο είνι 7 κι το υπόλοιπο 6 (ii) Είνι: 8( 7)6( 8) Άρ το πηλίκο είνι 8 κι το υπόλοιπο (iii) Είνι: 8( 7)( ) 6 Άρ το πηλίκο είνι 7 κι το υπόλοιπο 6 (iv) Είνι: 87( ) 68( ) Άρ το πηλίκο είνι 8 κι το υπόλοιπο (i) Κάθε κέριος, σύμφων με την τυτότητ της ευκλείδεις διίρεσης, πίρνει μι πό τις πρκάτω μορφές Αν λ Αν λ Αν λ λ ή λ ή λ, λ Z 9λ λ κ, όπου κ λ Z 9λ 6λ(λ λ) κ, όπου κ λ λz 9λ λ9λ λ(λ λ κ, όπου κ λ λz (ii) Έχουμε 6κ 6κ (κ λ, όπου λ κ Ζ Το ντίστροφο δεν ισχύει, φού οι ριθμοί της μορφής λ, με λ κ πίρνουν τη μορφή 6κ κι όχι τη μορφή 6κ Γι πράδειγμ, ο ριθμός 8, που είνι της μορφής λ με λ, δεν πίρνει τη μορφή 6κ, φού 86κ με κ Επειδή ο είνι περιττός θ είνι της μορφής κ, κ Z Έτσι θ έχουμε: ( ) ( ) (κ κ κ Z (κ ) (κ ) κ 6κ 6 Επειδή το άθροισμ δύο περιττών είνι άρτιος ριθμός, το άθροισμ άρτιου πλήθους περιττών ριθμών θ είνι άρτιος ριθμός Όμως, οι ριθμοί, κι είνι περιττοί Άρ το άθροισμ δέκ προσθετέων, κθένς πό τους οποίους είνι ίσος με ή ή, θ είνι άρτιος ριθμός κι συνεπώς δε μπορεί ν είνι ίσος με τον Β ΟΜΑΔΑΣ Αν υ είνι το υπόλοιπο της διίρεσης του 660 με τον β θ ισχύει οπότε 660 7β υ, με 0 υ β, Από το βιβλίο: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξης Ενιίου Λυκείου Θετικής Κτεύθυνσης

4 υ 6607β κι 0 υ β () Έτσι έχουμε 06607β 06607β β 6607β β 7β β β β β 7 ή β 8 Αν β 7 πό τη σχέση () έχουμε ότι υ, ενώ Αν β 8 πό τη σχέση () έχουμε ότι υ Ας υποθέσουμε ότι η εξίσωση έχει μι τουλάχιστον κέρι ρίζ, την x ρ Τότε θ ισχύει Αν ο ρ είνι άρτιος κι ο ρ ρ βργ0 () ρ θ είνι άρτιος, οπότε ο ρ βρ θ είνι άρτιος Άρ, ο βργ θ είνι περιττός, φού το γ είνι περιττός Αυτό όμως είνι άτοπο, λόγω της () Αν ο ρ είνι περιττός κι ο ρ θ είνι περιττός, κι, επειδή οι, β είνι περιττοί, οι βρ θ είνι περιττοί Άρ ο ρ βρ θ είνι άρτιος, οπότε ο ρ ο γ είνι περιττός Αυτό, όμως, είνι άτοπο λόγω της () ρ κι βργ θ είνι περιττός, φού Σύμφων με την εφρμογή, οι Επομένως κι β θ είνι της μορφής 8λ, λ Z κι β 8μ, μ N () (i) (ii) β 8 β 6 (8λ (8μ 8λ8μ ( λ Z 8 8 (8λ (8μ 6 6λ 6μ 6λ6μ (λ μ λ Z 6 Αν κ λυ, υ 0,,,, είνι η τυτότητ της ευκλείδεις διίρεσης του κ με τον θ ισχύει κ (λ υ) λυ υ λ κ Επομένως, ο είνι κέριος, ν κι μόνο ν ο Δικρίνουμε, λοιπόν, πέντε περιπτώσεις: υ είνι κέριος Από το βιβλίο: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξης Ενιίου Λυκείου Θετικής Κτεύθυνσης

5 υ Αν υ 0 Z υ 7 Αν υ Z υ Αν υ Z υ Αν υ Z υ 6 Αν υ Z κ Άρ, ο είνι κέριος, ν κι μόνο ν υ, δηλδή, ν κι μόνο ν ο κ είνι της μορφής κ λ, λ Z (i) Αν ο είνι άρτιος θ είνι της μορφής κ, κ Z, οπότε θ ισχύει (κ) κ λ, όπου λ κ Z Αν ο είνι περιττός θ είνι της μορφής κ, κ Z, οπότε θ ισχύει (κ κ κ ( κ κ) λ, όπου λ ( κ κ) Z (ii) Επειδή οι, β είνι περιττοί κέριοι, τ τετράγωνά τους θ είνι της μορφής λ, λ Z κι β μ, μ Z Επομένως, θ ισχύει β ( λ, δηλδή ο β θ είνι της μορφής Αν υποθέσουμε ότι η εξίσωση β ρ, ρ Z () x β έχει κέρι ρίζ γ θ ισχύει γ β Έτσι, λόγω της (), το τετράγωνο του γ θ είνι της μορφής γ ρ, που είνι άτοπο, σύμφων με το ερώτημ (i) (iii) Κθένς πό τους ριθμούς υτούς είνι της μορφής λ, λz οπότε, σύμφων με το ερώτημ (i), δεν είνι τετράγωνο φυσικού ριθμού Από το βιβλίο: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξης Ενιίου Λυκείου Θετικής Κτεύθυνσης