Ορμή - Κρούσεις, ΦΥΣ 131 - Διαλ.19 1
ΦΥΣ 131 - Διαλ.19 2 Κρούσεις σε 2 διαστάσεις q Για ελαστικές κρούσεις! p 1 + p! 2 = p! 1! + p! 2! όπου p = (p x,p y ) Δηλαδή είναι 2 εξισώσεις, µια για κάθε διεύθυνση (x,y) και υπάρχει και µια τρίτη εξίσωση λόγω διατήρησης της µηχανικής ενέργειας Αν m 1, m 2, v 1, v 2 είναι γνωστά τότε έχουµε 3 εξισώσεις µε 4 αγνώστους p' 1x, p' 1y, p' 2x, p' 2y Ø Εποµένως χρειαζόµαστε κάτι ακόµα για τη τελική κατάσταση
ΦΥΣ 131 - Διαλ.19 3 Κρούσεις σε 2 διαστάσεις - Παράδειγµα Ø Το σώμα 1 πριν την κρούση κινείται με ταχύτητα v 1i ενώ το σώμα 2 είναι σε ηρεμία v 2i =0 Πριν τη κρούση Ø Στη x-διεύθυνση η αρχική ορμή είναι m 1 v 1i Ø Στη y-διεύθυνση η αρχική ορμή είναι μηδέν q Μετά την κρούση τα σώματα κινούνται με κάποιες γωνίες θ και φ ως προς την x-διεύθυνση Μετά την κρούση Το σώμα 1 έχει ταχύτητα:! 1x! 2x =! 1 cos" =! 2 cos" q Μετά την κρούση τα σώματα έχουν συνιστώσες ταχύτητας στη y-διεύθυνση. Το σώμα 1 έχει ταχύτητα: ενώ το σώμα 2 έχει ταχύτητα:! 1y! 2y =! 1 sin" =! 2 sin" Η ορµή στην x-διεύθυνση είναι m 1! 1 cos" + m 2! 2 cos# ( ) Η ορµή στην y-διεύθυνση είναι m 1! 2 sin" + m 2! 2 sin #$! m 1 " 2 sin# $ m 2 " 2 sin%! 2y =! 2 sin ("#) (κανονικά )
Μεθοδολογία λύσης ασκήσεων q Προσδιορίστε ένα σύστηµα συντεταγµένων και ορίστε τις ταχύτητες των σωµάτων του συστήµατος ως προς τους άξονες αυτού του συστήµατος q Σχεδιάστε και προσδιορίστε όλα τα διανύσµατα των ταχυτήτων και ότι άλλη πληροφορία σας δίνεται στο πρόβληµα q Γράψτε τις εξισώσεις για την x- και y- συνιστώσα της ορµής κάθε σώµατος πριν και µετά την κρούση. Μην ξεχνάτε τα απαραίτητα πρόσηµα ανάλογα µε τη διεύθυνση q Γράψτε τις εξισώσεις για την ολική ορµή του συστήµατος στην x-διεύθυνση πριν και µετά την κρούση και εξισώστε Επαναλάβετε και για την ολική ορµή στην y-διεύθυνση q Εξετάστε το είδος της κρούσης: Ø Για µη ελαστική κρούση, η µηχανική ενέργεια δεν διατηρείται και θα χρειάζεστε και άλλες πληροφορίες από το πρόβληµα. Ø Για πλαστική κρούση, τα σώµατα έχουν την ίδια ταχύτητα µετά την κρούση. Λύστε τις εξισώσεις των ορµών ως προς τους αγνώστους. Ø Για ελαστική κρούση, η µηχανική ενέργεια διατηρείται. Εξισώστε την µηχανική ενέργεια πριν και µετά την κρούση για να βρείτε επιπλέον σχέσεις µεταξύ των ταχυτήτων ΦΥΣ 131 - Διαλ.19 4
Κρούσεις - Παραδείγματα ΦΥΣ 131 - Διαλ.19 5 q Θα αποδείξουμε ότι σε ελαστική μη κεντρική κρούση δύο σωμάτων ίδιας μάζας, ένα εκ των οποίων αρχικά είναι ακίνητο, η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων των τελικών ταχυτήτων είναι πάντοτε 90 ο m 1 v 1 Πριν ŷ m 2 q Από διατήρηση της ορμής έχουμε: (1) ˆ x mv 1 + 0 = m! v 1 cos" 1 + m! v 2 cos" 2 (2) ˆ y 0 + 0 = m! v 1 sin" 1 # m! v 2 sin" 2 q Από διατήρηση της ενέργειας έχουμε: 1 2 mv 2 1 + 0 = 1 2 m v 12! + 1 2 m v! 2 2 (3)! v 2 1 = v 1 " 2 + v "! v 2 1 # v 1 " 2 # v " = 0 Έχουμε 3 εξισώσεις και θέλουμε να ξέρουμε θ 1 +θ 2 xˆ θ 1 θ 2! v 1 = v 1 " cos# 1 + v " 2 cos# 2! 0 = " v 1 sin# 1 $ " v 2 sin# 2 Μετά
ΦΥΣ 131 - Διαλ.19 6 Παράδειγμα (συνέχεια) Υψώνουμε στο τετράγωνο τις σχέσεις (1) και (2) οπότε και παίρνουμε (1) v 1 = v 1! cos" 1 + v! 2 cos" 2! v 2 1 = v 1 " 2 cos 2 # 1 + " v cos 2 # 2 + 2 v 1 " v " 2 cos# 1 cos# 2 (2) 0 = v 1! sin" 1 #! v 2 sin" 2! 0 = v 1 " 2 sin 2 # 1 + v " sin 2 # 2 $ 2 v 1 " v " 2 sin# 1 sin# 2 Προσθέτοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις παίρνουμε: v 2 1 = v 1! 2 + v! + 2 v 1! v! 2 (cos" 1 cos" 2 # sin" 1 sin" 2 ) cos(! 1 +! 2 ) = cos! 1 cos! 2 " sin! 1 sin! 2 Άρα καταλήγουμε με την σχέση: (3) v 2 1 = v 1! 2 + v! + 2 v 1! v! 2 cos(" 1 + " 2 ) # v 2 1! v 1 " 2! v " = 2 v 1 " v " 2 cos(# 1 + # 2 ) Το αριστερό μέλος όμως είναι η (3) και επομένως 2 v 1! v! 2 cos(" 1 + " 2 ) = 0 # cos(" 1 + " 2 ) = 0 # " 1 + " 2 = 90 0 Σε 2-D τα σώματα είναι 90 ο μακριά. Για 1-D η θ 1 δεν ορίζεται
ΦΥΣ 131 - Διαλ.19 7 Παράδειγμα Ελαστική κρούση που περιέχει μάζες και ελατήρια. v 1 v 2 m 1 m 2 Tη χρονική στιγμή t', η μάζα m 1 έχει ταχύτητα v' 1 και το ελατήριο συσπειρώνεται. Ποια είναι η ταχύτητα v' 2 τη στιγμή t'? Ø Από διατήρηση της ορμής:!!!! m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1! + m 2 v! 2 Mόνο η v' 2 είναι άγνωστη Ø Από διατήρηση της ενέργειας: 1 2 m 1v 2 1 + 1 2 m 2v = 1 2 m v 12! 1 + 1 2 m v! Αυτή η σχέση δίνει την συσπείρωση του ελατηρίου την χρονική στιγμή t' 1 + 1 2 kx 2
ΦΥΣ 131 - Διαλ.19 8 Παράδειγμα - Πλαστική κρούση 1-D m v Πριν M M+m Μετά Από διατήρηση της ορμής: m v! + 0 = (m + M) v!!! v! " =! m v M + m!! v Αν οι μάζες ήταν ίδιες τότε Μ=m και η παραπάνω σχέση δίνει: v! = 2 Παρατηρούμε ότι η κινητική ενέργεια πριν και μετά την κρούση είναι: K i = 1 2 mv2 K = 1 2 (2m) v! 2 = m v2 4 = K i 2 "!K = K " K i = "m v2 4 Ένα μέρος της ενέργειας έχει χαθεί σε μορφή θερμότητας.
ΦΥΣ 131 - Διαλ.19 9 Παράδειγμα Πλαστική κρούση 2-D m v 30 ο 45 ο u=? 2m θ=? v m Πριν την κρούση p x = mvcos30 0 + mvcos45 0 p y =!mvsin30 0 + mvsin45 0 Σύμφωνα με τη διατήρηση της ορμής: p x =! p x p y =! p y (1) (2) Ποια είναι η τελική ταχύτητα u και η γωνία θ? Η ορμή p είναι ένα διάνυσμα. Επομένως όπως έχουμε δει αυτό σημαίνει διατήρηση ως προς κάθε κατεύθυνση (αν ήμασταν στο χώρο 3-d) Μετά την κρούση! p x = 2m" cos#! p y = 2m" sin# Δηλαδή 2 εξισώσεις με 2 αγνώστους (υ και θ) Διαιρώντας την (1) με την (2) έχουμε: 1 2! 1 2 = tan" # " = 7.5 Aπό την εξίσωση: p x 3 2 + 1 2 3 1 0 = p" x! mv( + ) = 2m# cos 7.5! # = 0.79v
ΦΥΣ 131 - Διαλ.19 10 Προβλήματα ορμής/ώθησης με μεταβαλλόμενη μάζα Τρένο κινείται με σταθερή ταχύτητα, v=1m/sec, κάτω από ένα σιλό το οποίο αποθέτει σιτάρι με ρυθμό 1kgr/sec. Τι δύναμη χρειάζεται για να συνεχίσει να κινείται το τρένο? Λύση Ποιο είναι το σύστημά μας? Το τρένο και το σιτάρι στο τρένο dm =1kgr /sec ρυθμός αύξησης του σιταριού dt v Σιτάρι που πέφτει: p x = 0 αλλά υπάρχει p y. Χτυπά στο τρένο, οπότε p y= 0, ενώ αναπτύσσει p x To τρένο πρέπει να προσφέρει τη δύναμη για την αλλαγή αυτή της ορμής Το τρένο έχει σαν «εργαλεία» την κάθετη δύναμη και την τριβή Το σιτάρι ασκεί στο τρένο ίση και αντίθετη δύναμη και το τρένο επιβραδύνεται Η μηχανή είναι αυτή που πρέπει να δώσει την ώθηση που χρειάζεται
ΦΥΣ 131 - Διαλ.19 11 Τρένο (συνέχεια) Θεωρείστε ένα μικρό χρονικό διάστημα Δt M = M i + dm dt!t p x i = M i v p x αφού θέλουμε v τρένου =σταθ. I x =!p x = F x!t = p x " = M i + dm # $ dt!t % & ' v " p x i F x = dm dt v =1 m sec!1kgr sec =1N = v dm dt!t # Αλλαγή της μάζας του τρένου Αυτή είναι η δύναμη που πρέπει να αναπτυχθεί από την μηχανή του τρένου ώστε το τρένο να εξακολουθεί να κινείται με σταθερή ταχύτητα
ΦΥΣ 131 - Διαλ.19 12 2 ο Παράδειγμα - Πύραυλοι, αεροπλάνα κλπ q Κίνηση πυραύλων Κλασσικό πρόβλημα Πύραυλος με αρχική μάζα M Π Εκτοξεύει μάζα με ταχύτητα V εκτ (σχετικά με τον πύραυλο). Ποια είναι η ταχύτητα όταν η μάζα του είναι m Λύση Για ένα απομονωμένο σύστημα (πύραυλος-εξάτμιση) ξέρουμε ότι dp dt = 0! p = "#$%. Ας υποθέσουμε ότι η μάζα του πυραύλου αλλάζει από Μ+dm σε Μ και η ταχύτητά του από v σε v+dv dm dm Μ Μ i =M+dm v v-v εκτ Μ v+dv
Πύραυλος ΦΥΣ 131 - Διαλ.19 13 Εφαρμόζοντας διατήρηση της ορμής έχουμε: p i = p! ( M + "m)v = M v + "v ( ) + "m( v # v $%& ) ( )! Mv + v"m = Mv + M "v + v"m # v $%& "m! M "v = v #$% "m Έστω τώρα ότι Δt 0 τότε Δm dm και ΔΜ dm ενώ dm = -dm. Δt 0 dm! Mdv = "v #$% dm! dv = "v #$% M v M dm! " dv = #v $%& v i "! v # v i = #v $%& ln M M i M ( )! v = v i " v #$% ln M " ln M i M M ( ) Mi %! v = v i + v "#$ ln M ( i ' * Απειρίζεται καθώς το M & ) 0 Αν η αρχική µάζα του πυραύλου είναι M = 10 x m è v = 2.3v εκτ Αν η µάζα είναι Μ = 100 x m è v = 4.6v εκτ Το κέρδος σε ταχύτητα πολύ μικρό μεγαλώνοντας την μάζα του πυραύλου