ΜΕΡΟΣ 1.4 ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ 37 Ορισμοί 1.4 ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Πθαγόρειο θεώρημα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλερών είναι ίσο µε το τετράγωνο της ποτείνοσας. Στο διπλανό σχήμα το εμβαδόν το μεγάλο τετραγώνο Ε 1 (πο δημιοργείται με πλερά την ποτείνοσα) είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των δύο μικρών τετραγώνων Ε και Ε 3 (πο δημιοργούνται με πλερές τις δύο κάθετες πλερές αντίστοιχα) ηλαδή Ε 1 =Ε +Ε 3 ή α =β +γ Το αντίστροφο το πθαγορείο θεωρήματος ν σε ένα τρίγωνο, το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλεράς είναι ίσο µε το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλερών, τότε η γωνία πο βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλερά είναι ορθή. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΤΝΟΗΣΗΣ 1. Στις παρακάτω ερωτήσεις 1-3 τα τρίγωνα είναι ορθογώνια στο. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:
38 ΜΕΡΟΣ -1.4- ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ 1. x = 7 cm 9 cm 10 cm 1 cm 6cm x 8 cm. x = cm 3 cm 4 cm 5 cm 5 cm x 4 cm 3. x = 14 cm 0 cm 4 cm 30 cm 10 cm 6 cm x 4. β = και γ = γ 17 cm β=15 και γ=8 β=13 και γ=10 β=1 και γ=13 β=8 και γ=9 β ΠΝΤΗΣΗ Στο 1 η σωστή απάντηση είναι το γιατί x = 6 + 8 x = 100 x = 10 cm. Στο η σωστή απάντηση είναι το γιατί x = 5 4 x = 9 x = 3 cm Στο 3 η σωστή απάντηση είναι το γιατί x = 6 10 x = 576 x = 4 cm Στο 4 η σωστή απάντηση είναι το γιατί x = 15 + 8 x = 89 x = 17 cm
ΜΕΡΟΣ 1.4 ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ 39 Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΣΚΗΣΗ 1 Να βρείτε το εμβαδόν το μπλε τετραγώνο στα επόμενα σχήματα. 5 m 5,76 m 9 m 1 m 0,64 m 1 m Στο πρώτο σχήμα το εμβαδόν το μπλε τετραγώνο είναι x = 5 9 = 16 cm Στο δεύτερο σχήμα το εμβαδόν το μπλε τετραγώνο είναι x = 5,76 + 1= 6,76 cm Στο τρίτο σχήμα το εμβαδόν το μπλε τετραγώνο είναι x = 1 0,64 = 0,36 cm ΣΚΗΣΗ Να αποδείξετε ότι τα επόμενα τρίγωνα είναι ορθογώνια. 4 5 16 0 8 15 7 1 17
40 ΜΕΡΟΣ -1.4- ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ 4 + 7 = 576 + 49 = 65 = 5 16 + 1 = 56 + 144 = 400 = 0 15 + 8 = 5 + 64 = 89 = 17 Εφαρμόζομε το αντίστροφο το πθαγορείο θεωρήματος. ΣΚΗΣΗ 3 α) δίνεται ένα τρίγωνο µε μήκη πλερών 6 cm, 8 cm και 10 cm. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο πο έχει διπλάσιες πλερές από τις πλερές το, καθώς και το τρίγωνο πο έχει τις μισές πλερές από τις πλερές το, είναι επίσης ορθογώνιο. α) 6 + 8 = 36 + 64 = 100 = 10 β) 1 + 16 = 144+ 56 = 400 = 0 3 + 4 = 9 + 16 = 5 = 5 Εφαρμόζομε το αντίστροφο το πθαγορείο θεωρήματος. ΣΚΗΣΗ 4 Το τρίγωνο το παρακάτω σχήματος είναι ισοσκελές µε = = 10 dm και = 1 dm. Να πολογίσετε το εμβαδόν το τετραγώνο πο έχει πλερά ίση µε το ύψος το τριγώνο. 10 dm 10 dm 1 dm = 10 6 = 100 36 = 64 Εφαρμόζομε το πθαγόρειο θεώρημα στο Ε 64 dm τρίγωνο. τετραγώνο = =
ΜΕΡΟΣ 1.4 ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ 41 ΣΚΗΣΗ 5 Να πολογίσετε το εμβαδόν το μπλε τετραγώνο το οποίο έχει πλερά ίση µε τη διαγώνιο το ορθογώνιο. 4 m 1 m = 4 + 1 = 577 Ε 577 m τετραγώνο = = Εφαρμόζομε το πθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο B. ΣΚΗΣΗ 6 ια να σχηματίσει ορθή γωνία µε δύο ξύλινα δοκάρια (όπως λέμε για να γωνιάσει τα δοκάρια), ένας τεχνίτης μετράει στο ένα δοκάρι = 30 cm και στο άλλο = 40 cm. Στη σνέχεια, τα τοποθετεί κατάλληλα, ώστε να είναι = 50 cm. Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί είναι σίγορος ότι η γωνία πο σχηματίζον τα δοκάρια είναι ορθή; A 30 cm 90 0 40 cm 50 cm
4 ΜΕΡΟΣ -1.4- ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ B = + Εφαρμόζομε το αντίστροφο το πθαγορείο 50 = 40 + 30 θεωρήματος. 500 = 1600 + 900 500 = 500 ΣΚΗΣΗ 7 Ο χαρταετός το διπλανού σχήματος είναι ρόμβος µε διαγώνιες 1dm και 16dm. Να βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν της επιφάνειας το χαρταετού. 0 = Ο + 0 Εφαρμόζομε το πθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο 6 8 Ο. = + Επειδή όλες οι πλερές το ρόμβο είναι ίσες η περίμετρος θα είναι τετραπλάσια της πλεράς το. = 36 + 64 Το εμβαδόν της επιφάνειας το χαρταετού θα είναι = 10 dm τέσσερις φορές το εμβαδόν ενός ορθογωνίο τριγώνο στα οποία χωρίζεται ο ρόμβος από τις διαγώνιες το και είναι Π χαρταετού = 4.10 = 40 dm ίσα. Ε χαρταετού ΣΚΗΣΗ 8 = 6.8 4 = 96 dm H διατομή ενός καναλιού είναι σχήματος ισοσκελούς τραπεζίο µε πλερές = = 5 m, = 7 m και = 13 m. Να πολογίσετε το ύψος το καναλιού. Ε 13 m Ζ 5 m x x 5 m 7 m
ΜΕΡΟΣ 1.4 ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ 43 Ε=Ζ=3 m x = 5 3 x = 16 x = 4 m Τα εθύγραμμα τμήματα Ε, Ζ είναι ίσα γιατί τα τρίγωνα Ε και Ζ είναι ίσα και λόγω το ότι το τμήμα ΕΖ=7 m, Ε+Ζ=13-7=6 m και Ε=Ζ=6:=3m. Εφαρμόζομε το πθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο Ε. ΣΚΗΣΗ 9 Ποια από τις τοποθεσίες Ε,, είναι πλησιέστερα στην πόλη ; Ε 17 m 1 m 8 m 9 m = Ε = 17 = 5 = 15 m = = 9 = 5 = 15 m Ε 8 + + 1 Εφαρμόζομε το πθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο Ε. Εφαρμόζομε το πθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο. Άρα οι τοποθεσίες και είναι πλησιέστερα στην πόλη. ΣΚΗΣΗ 10 Στο παρακάτω σχήμα να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.
44 ΜΕΡΟΣ -1.4- ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ A Ζ Ε = = 4 = 0 = 0 = 6 = 45 = 45 = 8 = Ε = 65 = 65 + = Ζ + 3 + 1 + + Ε + Ζ Εφαρμόζομε το πθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο. Εφαρμόζομε το πθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο Ε. Εφαρμόζομε το πθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο Ζ. Παρατηρούμε τέλος ότι = + (65=45+0) Επομένως λόγω το αντίστροφο το πθαγορείο θεωρήματος το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με ορθή γωνία την πο βρίσκεται απέναντι από την μεγαλύτερη πλερά
ΜΕΡΟΣ 1.4 ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ 45 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΛΙΟΥ 1 ο 1. Σ ένα τραπέζιο η μία βάση το είναι διπλάσια της άλλης. ν το ύψος το τραπεζίο είναι 8 cm και έχει εμβαδόν 60 cm, να πολογίσετε τα μήκη των δύο βάσεων το παραπάνω τραπεζίο. ( + β) Υποθέτομε ότι οι δύο βάσεις είναι β η μικρή και η μεγάλη. Ε =. Ε = ( + β). Χρησιμοποιούμε τον τύπο το εμβαδού το Ε = ( β + β). Ε = 3β. ( + β) τραπεζίο. Ε =..60 = 3β.8 4β = 10 β = 10 4 = 5 cm και =.β = 10 cm Προκύπτει μετά την αντικατάσταση =β εξίσωση με άγνωστο το β την οποία και λύνομε.. Να αποδείξετε ότι το εθύγραμμο τμήμα πο ενώνει τα μέσα των βάσεων ενός τραπεζίο το χωρίζει σε δύο τραπέζια με ίσα εμβαδά. ( ) ( ΜΝ) ( Μ + Ν) ΜΝ =. ΜΚ A M B = ( Μ + Ν) ( ΜΝ) = ( ΜΝ) γιατί Μ = Μ, Ν και ΜΚ κοινό ύψος. ΜΚ = Ν Κ Ν Χρησιμοποιούμε τον τύπο το εμβαδού το ( + β) τραπεζίο. Ε =. 3. Σε τραπέζιο η βάση είναι διπλάσια από την. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο έχει εμβαδόν ίσο με τα /3 το εμβαδού το τραπεζίο. ( ) ( + ) + Χρησιμοποιούμε τον τύπο το εμβαδού το τραπεζίο. Ε =. =. =. = ( + β) 3 3 3 =. =.. =.( ) γιατί και το εμβαδού το τριγώνο β.. E =. ( ) Οπότε = = 3 ( ) = ( ). =. Τα ύψη το τραπεζίο και το τριγώνο είναι ίσα.
46 ΜΕΡΟΣ -1.4- ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ 4. Σ ένα τραπέζιο η περίμετρός το είναι 36 cm και το εμβαδόν το είναι 55 cm. ν οι μη παράλληλες πλερές το έχον μήκος 6 και 8 cm να βρείτε το ύψος το. + + + = 36 Η περίμετρος το τραπεζίο είναι το άθροισμα των πλερών το. ντικαθιστούμε τις δύο μη παράλληλες πλε- + + 6 + 8 = 36 + = 36 14 = ρές με 6 cm και 8 cm αντίστοιχα. Χρησιμοποιούμε τον τύπο το εμβαδού το τραπεζίο. Ε =. ( ) ( + ) =. ( + β) 55 =. 11. = 55 = 55 11 = 5 cm ντικαθιστώντας το +=. Λύνομε την εξίσωση ως προς. 5. ίνεται τραπέζιο με βάσεις και και οι διαγώνιές το, τέμνονται στο Ο. Να σγκρίνετε τα εμβαδά των τριγώνων: α) και β) Ο και Ο.. ( ) = A B α) ( ) = (). ( ) = Ο ( Ο) = ( ) ( Ο) β) ( Ο) = ( ) ( Ο) (Ο)=(Ο) Και στις δύο περιπτώσεις τα δεύτερα μέλη είναι ίσα. 6. ν η περίμετρος ορθογωνίο τριγώνο είναι 39 cm, η ποτείνοσα το 16 cm και η μια κάθετη πλερά το κατά 3 cm μεγαλύτερη από την άλλη, να πολογίσετε το εμβαδόν το τριγώνο. x + x + 3 + 16 = 39 Υποθέτομε ότι η μια κάθετη πλερά είναι x οπότε η άλλη κάθετη πλερά θα είναι x + x = 39 3 16 x+3. Με την βοήθεια της περιμέτρο βρίσκομε το x λύνοντας την εξίσωση. x = 0 Χρησιμοποιώντας τον τύπο το εμβαδού x = 10 cm το ορθογωνίο τριγώνο πο είναι το ημιγινόμενο των δύο καθέτων πλερών βρί- x. ( x + 3) 10.13 E = = = 65 cm σκομε και το εμβαδόν το τριγώνο.
ΜΕΡΟΣ 1.4 ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ 47 7. Στο ορθογώνιο τραπέζιο το ύψος το A είναι 5 cm και το εμβαδόν το είναι 45 cm. Να βρεθούν οι βάσεις το, αν η μία είναι διπλάσια της άλλης. ( ) ( β + ) Ε = + β β Χρησιμοποιούμε τον τύπο το εμβαδού το. 45 =.5 + β 90 15β = 90 β = = 6 cm 15 = β =.6 = 1 cm ( ) τραπεζίο. Ε =. ντικαθιστώντας το με β,το =5 cm και το εμβαδόν το τραπεζίο Ε=55 cm. 8. Σε ένα τρίγωνο τετραπλασιάζομε τη βάση το και πενταπλασιάζομε το αντίστοιχο ύψος. Τι σμβαίνει στο εμβαδόν; β. Χρησιμοποιούμε τον τύπο το εμβαδού Ε = ενός τριγώνο αντικαθιστώντας τη βάση με το τετραπλάσιο της και το ύψος με το πενταπλάσιο το. Παρατηρούμε ότι το νέο 4β.5 β. Ε = = 0. = 0. Ε εμβαδόν είναι εικοσαπλάσιο το προηγούμενο. 9. Σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε την εθεία με εξίσωση y = Ο,75x. ν είναι το σημείο της με τεταγμένη 3, να βρείτε την τετμημένη το και το μήκος Ο. fx () = 0,75 x 5 4 y=0,75x 3 A(4,3) 1-8 -6-4 - 4 6 8 10-1 O(0,0) B(4,0) - -3-4 Η τεταγμένη το είναι 4 και το μήκος το Ο είναι: Χρησιμοποιώντας το πθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο Ο είναι: Ο = Ο + Ο = 4 + 3 Ο = 5 Ο = 5 cm.
48 ΜΕΡΟΣ -1.4- ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ 10. Ένα ορθογώνιο έχει διαστάσεις 3x και 4x και η διαγώνιός το είναι 5 cm. Να βρείτε τις διαστάσεις το ορθογωνίο, την περίμετρο και το εμβαδόν το. ( 3x) ( 4x) 9x x + = Χρησιμοποιούμε το πθαγόρειο θεώρημα + 16x 5 = 5 x = 5 = 65 5x 3x = 3.5 = 15 cm,4x = 4.5 = 0 cm Π =.15 +.0 = 30 + 40 = 70 cm Ε = β. = 15.0 = 300 cm = 65 σε ένα από τα δύο ορθογώνια τρίγωνα πο δημιοργούνται. Επομένως οι δύο διαστάσεις είναι 15cm και 0 cm αντίστοιχα. Η περίμετρος είναι 70 cm. Το εμβαδόν είναι 300 cm. 1 o ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΞΙΟΛΟΗΣΗΣ 1 ο ΚΕΦΛΙΟΥ ΜΕΡΟΥΣ Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση 1 = 6cm Το εμβαδόν το τριγώνο είναι: 10 4 48 Κ= cm = 9cm Κ Το ύψος Η πο αντιστοιχεί στην πλερά 6 3 4 Η είναι: 3 ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο Το εμβαδόν το τριγώνο είναι: με πλερές = 4cm 4 και = 3 cm Η ποτείνοσα είναι: 5 Το ύψος πο αντιστοιχεί στην ποτείνοσα είναι: A B 6 ν το εμβαδόν το τριγώνο είναι 5 cm A και είναι το μέσο της,τότε το εμβαδόν το τριγώνο είναι: B 7 ν το εμβαδόν το τριγώνο είναι 4 cm A,τότε το εμβαδόν το τριγώνο είναι: 4 1 48 5 10 8 6,,4 4,8 8 10 15 9 1 8 B α α
ΜΕΡΟΣ 1.4 ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ 49 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση 8 Το εμβαδόν το παραλληλογράμμο ΕΖ A B E cm Ζ είναι: 8 1 4 9 5 cm 4 cm Το ύψος ισούται: 1,6 1,4 10 A B Το εμβαδόν το ορθογωνίο είναι 1 cm. Το εμβαδόν το γαλάζιο παραλληλογράμμο είναι: 11 Το εμβαδόν το παραλληλογράμμο ΕΖΗΘ Ε Ζ Κ είναι 16 cm και το Λ είναι το μέσο της ΘΗ. Το εμβαδόν το γαλάζιο τριγώνο Θ Λ Η είναι: 1 Το εμβαδόν το παραλληλογράμμο A B Κ Λ είναι 16 cm. Τα Ε και Ε Ζ Ζ είναι τα μέσα των Ν Μ πλερών και και τα ΚΝΕ, ΚΛΜΝ, ΛΖΜ είναι παραλληλόγραμμα. Το εμβαδόν το γαλάζιο σχήματος είναι: 3 4 8 4 8 4 8 1
50 ΜΕΡΟΣ -1.4- ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ o ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΞΙΟΛΟΗΣΗΣ 1 ο ΚΕΦΛΙΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΣΚΗΣΗ 1 Να σγκρίνετε τα εμβαδά των γαλάζιων και των γκρι τριγώνων, αν τα ορθογώνια το διπλανού σχήματος είναι ίσα. ΣΚΗΣΗ Ένα χωράφι σχήματος ορθογωνίο έχει μήκος 65 m και πλάτος 0 m. Θέλομε να βάλομε λίπασμα και ξέρομε ότι χρειάζονται 0 kg για κάθε 100 m. Πόσα κιλά λίπασμα Θα χρειαστούμε; ΣΚΗΣΗ 3 Να σμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα για τις διάφορες τιμές των βάσεων, το ύψος και το εμβαδού τραπεζίων. άση μικρή άση μεγάλη Ύψος Εμβαδόν 5 cm 7 cm 4 cm.. 8 cm 5 cm 4 cm 3 cm.. 7 cm 8 cm 9 cm 16 cm. 75 cm ΣΚΗΣΗ 4 Μια πλατεία έχει σχήμα ορθογωνίο με διαστάσεις 30 m και 15 m. Θέλομε να τη στρώσομε με τετραγωνικές πλάκες πλεράς 0,5 m και αξίας 5 η καθεμία. Να πολογίσετε: α) το εμβαδόν της αλής. β) τον αριθμό των πλακών πο θα χρειαστούν για το στρώσιμο και τα χρήματα πο θα πληρώσομε. ΣΚΗΣΗ 5 Τα τετράγωνα και ΕΖΗ το διπλανού σχήματος έχον εμβαδόν 9 cm και 16 cm αντίστοιχα. Να βρείτε το εμβαδόν το τριγώνο Ε και το μήκος της Ε. Ε 16 cm^ Ζ 9 cm^ Η
ΜΕΡΟΣ 1.4 ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ 51 ΠΡΕΙΜ ΙΣΚΛΙΣ ΜΕ ΦΥΛΛΟ ΕΡΣΙΣ ΠΡΕΙΜ: Ενότητα: Πθαγόρειο θεώρημα. Στόχοι: Να «εξοικειωθούν» οι μαθητές με το Πθαγόρειο θεώρημα και με προβλήματα πο σχετίζονται με ατό. Μέθοδος: Μεικτή (καθοδηγούμενη - ανακαλπτική). Φύλλο εργασίας 1. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με πλερές 3 cm, 4 cm, 5 cm. α) Κατασκεάζομε στο εξωτερικό μέρος το τριγώνο τετράγωνα με πλερές τις πλερές το. β) Οι τελείες χωρίζον τις πλερές το τετραγώνο σε εθύγραμμα τμήματα μήκος 1 cm. Να χωρίσετε τα τετράγωνα Ε, ΘΙ, και ΖΗ σε τετραγωνάκια πλεράς 1 cmη. γ) Το Ε χωρίζεται σε.τετραγωνάκια και έχει εμβαδόν...cm. Το ΘΙ χωρίζεται σε τετραγωνάκια και έχει εμβαδόν...cm. Το ΖΗ χωρίζεται σε... τετραγωνάκια και έχει εμβαδόν... cm δ) Παρατηρούμε ότι (Ε) + (ΘΙ) =... και επομένως + =... ΕΝΙΚ: Σε κάθε... τρίγωνο το τετράγωνο της ποτείνοσας είναι ίσο με.. Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με = 90. ν α = 15 και β = 4, τότε γ =... ή γ =... ή γ = ν α= 10 και γ = 6, τότε β =... ή β =... ή β =. ν β = 1 και γ = 7, τότε α =... ή α =... ή α =.. 10 8 3. Ένα τρίγωνο έχει α = cm, β = cm και γ = cm 3 3 Είναι α =... β =... γ =... οπότε β + γ =... Παρατηρούμε ότι... επομένως σμπεραίνομε ότι η γωνία...είναι ορθή.
5 ΜΕΡΟΣ -1.4- ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ ΕΝΙΚ: ν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλεράς είναι ίσο με τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με ορθή γωνία 4. Να εξετάσετε αν το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ορθογώνιο. ν είναι ορθογώνιο, να προσδιορίσετε ποια γωνία το είναι ορθή.