Ζλεγχοι Τποκζςεων 1. Σο Πρόβλθμα του Ελζγχου Τποκζςεων Ασ υποκζςουμε ότι ςχεδιάηονται κάποιεσ κυκλοφοριακζσ ρυκμίςεισ με ςτόχο ο μζςοσ χρόνοσ μετακίνθςθσ των εργαηομζνων που χρθςιμοποιοφν το αυτοκίνθτό τουσ από το κζντρο τθσ πόλθσ ζωσ τθ βιομθχανικι περιοχι να γίνει μικρότεροσ από 70 min. Μετά τθν εφαρμογι των ρυκμίςεων, και με τθ χριςθ ενόσ τυχαίου δείγματοσ, ο μζςοσ χρόνοσ μετακίνθςθσ για τθν ίδια διαδρομι, εκτιμικθκε ςε 67 min. Σο ερϊτθμα που τίκεται είναι το εξισ: Μποροφμε να ιςχυριςτοφμε ότι οι κυκλοφοριακζσ ρυκμίςεισ είναι αποτελεςματικζσ; Δθλαδι, μποροφμε να ιςχυριςτοφμε ότι ο μζςοσ χρόνοσ μετακίνθςθσ ( είναι τϊρα μικρότεροσ από 70 min; Θ απάντθςθ δεν είναι αυτονόθτθ. Σο γεγονόσ ότι ζνα μοναδικό δείγμα ζδωςε εκτίμθςθ του μζςου χρόνου μετακίνθςθσ μικρότερο από 70 min δεν αρκεί για να απαντιςουμε ςτο παραπάνω ερϊτθμα. Ζχουμε απλϊσ μια ζνδειξθ για τθ μείωςθ του μζςου χρόνου μετακίνθςθσ θ οποία, ςε καμία περίπτωςθ, δεν ςυνιςτά απόδειξθ. Γιατί ςυμβαίνει αυτό; κεφτείτε ότι ζνα δεφτερο δείγμα εκτιμά το μζςο χρόνο μετακίνθςθσ ςε 69 min, ζνα τρίτο δείγμα τον εκτιμά ςε 71 min, κ.ο.κ. Διαφορετικά δείγματα, δίνουν διαφορετικζσ εκτιμιςεισ. Σί μποροφμε τϊρα να ποφμε για τον μζςο χρόνο μετακίνθςθσ; Ενόσ δοφμε ζνα άλλο παράδειγμα. Ζςτω κάνουμε μία ζρευνα για το ειςόδθμα των εργαηομζνων ςτον Ιδιωτικό Σομζα και ενόσ ενδιαφζρει να εντοπίςουμε διαφορζσ ι ομοιότθτεσ μεταξφ των εργαηομζνων ςτα μεγάλα Αςτικά Κζντρα και ςτθν Επαρχία. Για το ςκοπό αυτό παίρνουμε δφο τυχαία δείγματα. Σο πρϊτο δείγμα, από τα Αςτικά Κζντρα εκτιμά το μζςο ειςόδθμα των εργαηομζνων ςε 750. Σο δεφτερο δείγμα, από τθν Επαρχία, εκτιμά το μζςο ειςόδθμα των εργαηομζνων ςε 770. Μποροφμε, με βάςθ αυτά τα δεδομζνα να ιςχυριςτοφμε ότι το μζςο ειςόδθμα των εργαηομζνων του Ιδιωτικοφ Σομζα ςτα μεγάλα Αςτικά Κζντρα ( ) είναι διαφορετικό από το μζςο ειςόδθμα των εργαηομζνων ςτθν Επαρχία ( ); Θ απάντθςθ είναι όχι, δεν μποροφμε να αποφαςίςουμε. Θ παρατθροφμενθ διαφορά μεταξφ των δφο εκτιμιςεων ( X1 750 X 2 770 ) δεν ςυνεπάγεται και διαφορά μεταξφ των δφο παραμζτρων και. Με τθν επίλυςθ των παραπάνω προβλθμάτων, κακϊσ και άλλων παρόμοιων, αςχολείται ο κλάδοσ ενόσ τατιςτικισ που είναι γνωςτόσ ωσ Επαγωγικι τατιςτικι (Inferential Statistics). Οι Ζλεγχοι Τποκζςεων (Hypothesis Testing) είναι εκείνεσ οι μεκοδολογίεσ που μασ επιτρζπουν να διερευνιςουμε τθν ιςχφ (τθν αλικεια) μιασ ςτατιςτικισ υπόκεςθσ, δθλαδι μιασ πρόταςθσ που αφορά κάποια παράμετρο ενόσ ι και περιςςοτζρων πλθκυςμϊν.
2 Ζλεγχοι Τποκζςεων 2. Η Διαδικαςία του Ελζγχου Τποκζςεων Θ διαδικαςία του Ελζγχου Τποκζςεων ςτθρίηεται ςτθν αντιπαράκεςθ δφο αντιφατικϊν προτάςεων. Θ μία πρόταςθ ονομάηεται Μθδενικι Τπόκεςθ και ςυμβολίηεται με. Θ άλλθ πρόταςθ ονομάηεται Εναλλακτικι Τπόκεςθ, ςυμβολίηεται με και είναι θ λογικι άρνθςθ τθσ. Ζτςι, τελικά, επιλζγεται ωσ αλθκισ μία μόνον από τισ δφο προτάςεισ. Κατά τθ διαδικαςία ενόσ ελζγχου υποκζςεων είναι δυνατόν να διαπράξουμε τα παρακάτω ςφάλματα: 1 ον : Να απορρίψουμε τθν, ενϊ αυτι είναι αλθκισ. Ονομάηουμε αυτό το ςφάλμα, ΦΑΛΜΑ ΣΤΠΟΤ Ι. 2 ον : Να μθν απορρίψουμε τθν, ενϊ αυτι είναι ψευδισ. Ονομάηουμε αυτό το ςφάλμα, ΦΑΛΜΑ ΣΤΠΟΤ ΙΙ. Ονομάηουμε επίπεδο ςθμαντικότθτασ, και ςυμβολίηουμε με το Ελλθνικό γράμμα, τθν πικανότθτα να διαπράξουμε φάλμα Σφπου Ι. Παρόλο που επιλογι του επιπζδου ςθμαντικότθτασ ανικει ςτον ερευνθτι, ωσ πλζον ενδεδειγμζνθ τιμι ςτισ εφαρμογζσ κεωροφμε τθν τιμι. Να ςθμειϊςουμε, ότι δεν είναι δυνατι θ ταυτόχρονθ μείωςθ τθσ πικανότθτασ και για τα δφο είδθ ςφαλμάτων. Δθλαδι, όταν μειϊνουμε τθν πικανότθτα ςφάλματοσ Σφπου Ι, τότε θ πικανότθτα ςφάλματοσ Σφπου ΙΙ αυξάνεται. Αυτόσ είναι ο λόγοσ που δεν επιλζγουμε, ςυνικωσ, πολφ μικρζσ τιμζσ για το. Μόνον ςε περιπτϊςεισ που ο ερευνθτισ κεωρεί ότι το ςφάλμα τφπου Ι κα είχε πολφ ςοβαρζσ ςυνζπειεσ, επιλζγει μικρό επίπεδο ςθμαντικότθτασ. Θ πικανότθτα να διαπράξουμε ςφάλμα Σφπου ΙΙ, ςυμβολίηεται με το Ελλθνικό γράμμα. Σζλοσ, θ πικανότθτα να απορρίψουμε τθν δφναμθ του ελζγχου και είναι ίςθ με. όταν αυτι είναι λανκαςμζνθ ονομάηεται Θ γενικι διαδικαςία του Ελζγχου Τποκζςεων περιλαμβάνει τα παρακάτω βιματα: Βιμα 1 ο : Ορίηονται θ Μθδενικι Τπόκεςθ και θ Εναλλακτικι Τπόκεςθ Βιμα 2 ο : Επιλζγεται το επίπεδο ςθμαντικότθτασ (φάλμα Σφπου Ι) Βιμα 3 ο : Από τα δεδομζνα του δείγματοσ (ι των δειγμάτων) υπολογίηεται θ τιμι του κατάλλθλου ςτατιςτικοφ S. Βιμα 4 ο : Βρίςκουμε τθν κριτικι τιμι του ελζγχου, από τον κατάλλθλο ςτατιςτικό πίνακα. Βιμα 5 ο : υγκρίνουμε τθν τιμι του ςτατιςτικοφ S με τθν κριτικι τιμι και παίρνουμε τθν απόφαςθ. Αν S τθσ Κριτικισ Σιμισ τότε θ μθδενικι υπόκεςθ απορρίπτεται και γίνεται δεκτι θ εναλλακτικι. Δθλαδι, ςτθν περίπτωςθ αυτι, κεωροφμε Μαρίνα Σφρπθ
Ζλεγχοι Τποκζςεων 3 υπάρχουν επαρκι ςτατιςτικά ςτοιχεία που ςτθρίηουν τθν αλικεια τθσ Τπόκεςθσ. Διαφορετικά, θ μθδενικι υπόκεςθ δεν μπορεί να απορριφκεί. τθν περίπτωςθ αυτι κεωροφμε ότι ΔΕΝ υπάρχουν επαρκι ςτατιςτικά ςτοιχεία που να ςτθρίηουν τθν αλικεια τθσ Τπόκεςθσ. Θ παραπάνω γενικι διαδικαςία Ελζγχου Τποκζςεων εξειδικεφεται για κάκε περίπτωςθ ξεχωριςτά. Η τιμι p (p value) Θ τιμι p (p value), που εμφανίηεται από τα περιςςότερα ςτατιςτικά προγράμματα κατά τθ διαδικαςία ελζγχου υποκζςεων, είναι το μικρότερο επίπεδο ςθμαντικότθτασ, ςτο οποίο θ μθδενικι υπόκεςθ μπορεί να απορριφκεί. τθν περίπτωςθ που μασ δίνεται μόνον θ p value, ο κανόνασ απόφαςθσ είναι ο παρακάτω: Αν p-value τότε, ςε επίπεδο ςθμαντικότθτασ θ 0 απορρίπτεται. Αν p - value> τότε, ςε επίπεδο ςθμαντικότθτασ θ 0 ΔΕΝ απορρίπτεται. Θ τιμι p, είναι επίςθσ ζνα μζτρο για το πόςο ιςχυρι είναι θ απόρριψθ τθσ μθδενικισ υπόκεςθσ. Όςο ποιο μικρι είναι θ p value, τόςο ιςχυρότερεσ είναι οι ενδείξεισ για τθν απόρριψθ τθσ 0. Για το ςκοπό αυτό μποροφμε να χρθςιμοποιιςουμε τον παρακάτω κανόνα: Θ απόρριψθ τθσ 0 είναι πάρα πολφ ιςχυρι όταν: p 0. 001 Θ απόρριψθ τθσ 0 είναι πολφ ιςχυρι όταν: 0. 001 p 0. 01 Θ απόρριψθ τθσ 0 είναι ιςχυρι όταν: 0. 01 p 0. 05 Για παράδειγμα, ζςτω ότι για κάποιον ζλεγχο υπόκεςθσ, προκφπτει p value0. 028 Θ τιμι αυτι είναι θ ελάχιςτθ τιμι για τθν οποία θ μθδενικι υπόκεςθ μπορεί να απορριφκεί. Ατό ςθμαίνει, ότι ζχουμε απόρριψθ τθσ μθδενικισ μζχρι και για επίπεδο ςθμαντικότθτασ 0. 028, το οποίο είναι μικρότερο από το 0. 05 με το οποίο, κατά κανόνα εργαηόμαςτε. Κακϊσ 0. 01 p value 0. 028 0. 05μποροφμε να ποφμε ότι θ απόρριψθ τθσ μθδενικισ υπόκεςθσ 0 είναι ιςχυρι. Σθμειϊςεισ Στατιςτικισ
4 Ζλεγχοι Τποκζςεων 3 Ζλεγχοι Τποκζςεων για τθ Μζςθ Σιμι ενόσ Πλθκυςμοφ μεγάλα δείγματα ι μικρά δείγματα και Κανονικι Κατανομι Προχποκζςεισ Εναλλακτικι Τπόκεςθ τατιςτικό Κριτικζσ Σιμζσ ( 1 ) : Z 2 Διακφμανςθ 2 γνωςτι Πλθκυςμόσ Κανονικόσ Δείγμα μικρό ι μεγάλο ι 2 Διακφμανςθ γνωςτι Οποιοςδιποτε Πλθκυςμόσ Δείγμα μεγάλο n 30 ( 2 ) Διακφμανςθ 2 άγνωςτθ Οποιοςδιποτε Πλθκυςμόσ n 30 Δείγμα μεγάλο ( 3 ) Διακφμανςθ 2 άγνωςτθ Πλθκυςμόσ Κανονικόσ Δείγμα μικρό ι μεγάλο : ι X 0 n Z 1: 0 : X 0 : s 1 0 ι n Z 1: 0 : X 0 : ι t s Z 2 t ;n 2 1 n ;n 1: 0 t 1 Z 2.33, Z 1.96, Z 1.65 0.0.025 0.05 Παράδειγμα 1 Ασ υποκζςουμε ότι ςχεδιάηονται κάποιεσ κυκλοφοριακζσ ρυκμίςεισ με ςτόχο ο μζςοσ χρόνοσ μετακίνθςθσ των εργαηομζνων που χρθςιμοποιοφν το αυτοκίνθτό τουσ από το κζντρο τθσ πόλθσ ζωσ τθ βιομθχανικι περιοχι να γίνει μικρότεροσ από 70 min. Υςτερα από κάποιεσ κυκλοφοριακζσ ρυκμίςεισ, και με τθ χριςθ ενόσ τυχαίου δείγματοσ μεγζκουσ, διαπιςτϊκθκε ότι ο χρόνοσ μετακίνθςθσ ακολουκεί Κανονικι Κατανομι και υπολογίςτθκε = 67 min και. ( α ) Είναι, μετά τισ κυκλοφοριακζσ ρυκμίςεισ, ο μζςοσ χρόνοσ μετακίνθςθσ διαφορετικόσ από τα 70 min; ( β ) Είναι, μετά τισ κυκλοφοριακζσ ρυκμίςεισ, ο μζςοσ χρόνοσ μετακίνθςθσ μικρότεροσ από 70 min; Μαρίνα Σφρπθ
Ζλεγχοι Τποκζςεων 5 Λφςθ Θ μορφι τθσ ερϊτθςθσ που κζτουμε κακορίηει τθν επιλογι του ηεφγουσ των υποκζςεων, με τθν Τπόκεςθ 1 να εκφράηει αυτό που ρωτάμε. Θα πρζπει επίςθσ να επιςθμάνουμε, ότι αυτό που ρωτάμε υποδεικνφεται από τα ευριματα που ζχουμε ςτθ διάκεςι μασ (και όχι από αυτό που μασ ενδιαφζρει να μάκουμε!!) Αν το ερϊτθμα ζχει τθ μορφι «Διαφζρει ο μζςοσ» ι «Είναι διαφορετικόσ ο μζςοσ» από μία δεδομζνθ τιμι 0 ζχουμε τθν εναλλακτικι H : (Ζλεγχοσ αμφίπλευροσ) Αν το ερϊτθμα ζχει τθ μορφι «Είναι ο μζςοσ μεγαλφτεροσ από μία δεδομζνθ τιμι 0» ζχουμε τθν εναλλακτικι H : (Ζλεγχοσ μονόπλευροσ) Αν το ερϊτθμα ζχει τθ μορφι «Είναι ο μζςοσ μικρότεροσ από μία δεδομζνθ τιμι 0» ζχουμε τθν εναλλακτικι H : (Ζλεγχοσ μονόπλευροσ) ε κάκε περίπτωςθ θ μθδενικι υπόκεςθ, υποςτθρίηει τον ακριβϊσ αντίκετο ιςχυριςμό. ( α ) Είναι, μετά τισ κυκλοφοριακζσ ρυκμίςεισ, ο μζςοσ χρόνοσ μετακίνθςθσ διαφορετικόσ από τα 70 min; ΔΕΔΟΜΕΝΑ Μζγεκοσ Δείγματοσ: n 2530 μικρό δείγμα Δειγματικι Μζςθ Σιμι: Δειγματικι Διαςπορά: = 2 άγνωςτθ αλλά Κανονικι Κατανομι Επομζνωσ επιλζγουμε τον ζλεγχο (3 ), με εναλλακτικι H : ΤΠΟΘΕΕΙ H0 : 70 (Ο μζςοσ χρόνοσ μετακίνθςθσ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ διαφορετικόσ από τα 70 min) H1 : 70 (Ο μζςοσ χρόνοσ μετακίνθςθσ είναι διαφορετικόσ από τα 70 min) ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ: τον αμφίπλευρο ζλεγχο, θ εναλλακτικι υπόκεςθ είναι πάντα θ :, και το ερϊτθμα είναι πάντα εάν θ μζςθ τιμι είναι διαφορετικι από ζναν δεδομζνο αρικμό. Σθμειϊςεισ Στατιςτικισ
6 Ζλεγχοι Τποκζςεων ΣΑΣΙΣΙΚΟ ΕΛΕΓΧΟΤ X 0 67 70 3 t 3 s 5 5 n 25 5 ΚΡΙΣΙΚΗ ΣΙΜΗ Σο δείγμα μασ είναι μικρό (n = 25 <30), επομζνωσ κα πάρουμε τθν κριτικι τιμι από τον πίνακα τθσ t κατανομισ. t t t 2.064 a 0.05 0.025; 24 ; n 1 ; 251 2 2 ΑΠΟΦΑΗ Επειδι t 3 3 2.064 θ μθδενικι υπόκεςθ απορρίπτεται και γίνεται δεκτι θ εναλλακτικι. ΤΜΠΕΡΑΜΑ Για επίπεδο ςθμαντικότθτασ, ςυμπεραίνουμε ότι ο μζςοσ χρόνοσ μετακίνθςθσ μετά τισ κυκλοφοριακζσ ρυκμίςεισ είναι, ςτατιςτικά, ςθμαντικά διαφορετικόσ από τα 70 min. Η πικανότθτα το ςυμπζραςμα αυτό να είναι λάκοσ είναι το πολφ 0.05. Λφςθ με το SPSS T-Test Αμφίπλευροσ Ζλεγχοσ One-Sample Statistics N Mean Std. Deviation Std. Error Mean Χρόνοσ 25 67,00 5,00 1,00 τον πίνακα One Sample Statistics εμφανίηονται τα παρακάτω ςτοιχεία για τθ μεταβλθτι Χρόνοσ. Ν Σο μζγεκοσ του δείγματοσ Mean Ο αρικμθτικό μζςοσ (δειγματικι μζςθ τιμι) Std. Deviation Θ δειγματικι τυπικι απόκλιςθ Std. Error Mean s 5 Συπικό ςφάλμα του μζςου 1 n 25 Μαρίνα Σφρπθ
Ζλεγχοι Τποκζςεων 7 One-Sample Test Test Value = 70 95% Confidence Interval of the Mean t df Sig. (2-tailed) Lower Upper Χρόνοσ -3,000 24,003-3,000-5.064-2.936 τον πίνακα One-Sample Test βλζπουμε τα αποτελζςματα για το διάςτθμα εμπιςτοςφνθσ για τθ διαφορά των μζςων 0, από το οποίο μποροφμε να βροφμε το διάςτθμα εμπιςτοςφνθσ του μζςου, και για τα αποτελζςματα για τον αμφίπλευρο ζλεγχο. 1) Τπολογιςμόσ Διαςτιματοσ Εμπιςτοςφνθσ 95% Confidence Interval of the 95% διάςτθμα εμπιςτοςφνθσ για τθ διαφορά 0 5. 064 2. 936 5. 064 70 2. 936 0 5. 064 70 2. 936 70 64. 936 67. 064 Σο 95 % δ.ε. του μζςου είναι 64. 936, 67. 064 Με πικανότθτα ςφάλματοσ 0. 05, εκτιμοφμε ότι ο μζςοσ χρόνοσ μετακίνθςθσ από το κζντρο τθσ πόλθσ ςτθ βιομθχανικι περιοχι βρίςκεται εντόσ των ορίων 64.936 min και 67.064 min. 2) Ζλεγχοσ Τποκζςεων (Αμφίπλευροσ) ΤΠΟΘΕΕΙ H0 : 70 (Ο μζςοσ χρόνοσ μετακίνθςθσ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ διαφορετικόσ από τα 70 min) H1 : 70 (Ο μζςοσ χρόνοσ μετακίνθςθσ είναι διαφορετικόσ από τα 70 min) Sig. (2-tailed) = 0.003 < 0.05 και θ μθδενικι υπόκεςθ απορρίπτεται. ΤΜΠΕΡΑΜΑ Για επίπεδο ςθμαντικότθτασ, ςυμπεραίνουμε ότι ο μζςοσ χρόνοσ μετακίνθςθσ μετά τισ κυκλοφοριακζσ ρυκμίςεισ είναι, ςτατιςτικά, ςθμαντικά διαφορετικόσ από τα 70 min. Η πικανότθτα το ςυμπζραςμα αυτό να είναι λάκοσ είναι το πολφ 0.05. 3) Σιμι p value Θ τιμι p value για τον παραπάνω αμφίπλευρο ζλεγχο είναι p value Sig.( 2 tailed) 0. 003 Σθμειϊςεισ Στατιςτικισ
8 Ζλεγχοι Τποκζςεων Επειδι 0. 001 p value 0. 003 0. 01 θ απόρριψθ τθσ 0 χαρακτθρίηεται ωσ πολφ ιςχυρι. Θ τιμι p value 0. 003, μασ λζει ότι θ μθδενικι υπόκεςθ απορρίπτεται ακόμα και για επίπεδο ςθμαντικότθτασ 0. 003. ( β ) Είναι, μετά τισ κυκλοφοριακζσ ρυκμίςεισ, ο μζςοσ χρόνοσ μετακίνθςθσ μικρότεροσ από 70 min; Θα επιλζξουμε και πάλι τον ζλεγχο (3), αυτι τθ φορά όμωσ με εναλλακτικι : ΤΠΟΘΕΕΙ H0 : 70 (Ο μζςοσ χρόνοσ μετακίνθςθσ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ μικρότεροσ από τα 70 min) H1 : 70 (Ο μζςοσ χρόνοσ μετακίνθςθσ είναι μικρότεροσ από τα 70 min) ΣΑΣΙΣΙΚΟ ΕΛΕΓΧΟΤ X 0 67 70 3 Z 3 s 5 5 n 25 5 ΚΡΙΣΙΚΗ ΣΙΜΗ Σο δείγμα μασ είναι μικρό (n = 25 <30), επομζνωσ κα πάρουμε τθν κριτικι τιμι από τον πίνακα τθσ t κατανομισ: t ; 1 t0.05; 25 1 t0.05; 24 1.711. a n ΑΠΟΦΑΗ Επειδι Z 3 3 1.711 θ μθδενικι υπόκεςθ απορρίπτεται και γίνεται δεκτι θ εναλλακτικι. ΤΜΠΕΡΑΜΑ Για επίπεδο ςθμαντικότθτασ, ςυμπεραίνουμε ότι ο μζςοσ χρόνοσ μετακίνθςθσ μετά τισ κυκλοφοριακζσ ρυκμίςεισ είναι, ςτατιςτικά, ςθμαντικά μικρότεροσ από 70 min. Η πικανότθτα να είναι το ςυμπζραςμα αυτό λάκοσ, είναι το πολφ 0.05. Λφςθ με το SPSS T-Test Μονόπλευροσ Ζλεγχοσ Σο SPSS παράγει αποτελζςματα μόνον για αμφίπλευρουσ ελζγχουσ. Επομζνωσ, κα ζχουμε τον ίδιο πίνακα που χρθςιμοποιιςαμε παραπάνω Μαρίνα Σφρπθ
Ζλεγχοι Τποκζςεων 9 One-Sample Test Test Value = 70 95% Confidence Interval of the Mean t df Sig. (2-tailed) Lower Upper Χρόνοσ -3,000 24,003-3,000-5.064-2.936 ΤΠΟΘΕΕΙ H0 : 70 (Ο μζςοσ χρόνοσ μετακίνθςθσ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ μικρότεροσ από τα 70 min) H1 : 70 (Ο μζςοσ χρόνοσ μετακίνθςθσ είναι μικρότεροσ από τα 70 min) Σο επίπεδο ςθμαντικότθτασ του μονόπλευρου ελζγχου είναι το μιςό του επιπζδου ςθμαντικότθτασ του αμφίπλευρου. Επομζνωσ, για τον παραπάνω μονόπλευρο ζλεγχο το επίπεδο ςθμαντικότθτασ είναι:. Sig. 2-tailed 0 003 p Sig. 1-tailed 0. 0015 0. 05 και θ μθδενικι υπόκεςθ 2 2 απορρίπτεται. Και εδϊ, θ απόρριψθ τθσ μθδενικισ υπόκεςθσ είναι πολφ ιςχυρι, αφοφ 0. 001 p value 0. 0015 0. 01 ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ: Ασ υποκζςουμε ότι θ δειγματικι μζςθ τιμι είχε βρεκεί, Σότε, θ εναλλακτικι υπόκεςθ κα είχε τθν μορφι 1 : 70 X 72. 5 min. Παρόλο που αυτό που μασ απαςχολεί είναι το κατά πόςο με τισ κυκλοφοριακζσ ρυκμίςεισ ζχουμε πετφχει μζςο χρόνο μετακίνθςθσ μικρότερο από τα 70 min, ΔΕΝ ΜΠΟΡΟΤΜΕ ΣΩΡΑ ΝΑ ΘΕΟΤΜΕ ΣΟ ΕΡΩΣΘΜΑ «Είναι ο μζςοσ χρόνοσ μετακίνθςθσ μικρότεροσ από 70 min». Εφόςον από το δείγμα ζχουμε X 72. 5 > 70, ζχουμε δθλαδι ζνδειξθ ότι ο μζςοσ χρόνοσ μετακίνθςθσ είναι μεγαλφτεροσ από 70 min, μποροφμε να ρωτιςουμε εάν «ο μζςοσ χρόνοσ μετακίνθςθσ είναι μεγαλφτεροσ από 70 min» ι εάν «είναι διαφορετικόσ από τα 70 min». Θ μθδενικι, όπωσ και πριν κα απορριφκεί, και κα γίνει δεκτι θ εναλλακτικι. Ζτςι, κα οδθγθκοφμε ςτο ςυμπζραςμα ότι ο μζςοσ χρόνοσ μετακίνθςθσ, ςτατιςτικά, είναι μεγαλφτεροσ από τα 70 min, και επομζνωσ ότι δεν ζχουμε πετφχει χρόνο μικρότερο από 70 min. Σθμειϊςεισ Στατιςτικισ
10 Ζλεγχοι Τποκζςεων Παράδειγμα 2 Μια μεγάλθ αυτοκινθτοβιομθχανία, ιςχυρίηεται ότι το νζο οικονομικό μοντζλο αυτοκινιτου που πρόκειται να κυκλοφοριςει ςτθν αγορά καταναλϊνει, κατά μζςο όρο, λιγότερο από 12 lit βενηίνθσ/100 km. Για να ελεγχκεί ο ιςχυριςμόσ τθσ, ζγιναν 9 δοκιμζσ οι οποίεσ απζδωςαν μζςθ κατανάλωςθ 11 lit/100 km και τυπικι απόκλιςθ 2 lit/100 km. Χρθςιμοποιϊντασ τον κατάλλθλο ζλεγχο υποκζςεων, για επίπεδο ςθμαντικότθτασ ελζγξτε τον παραπάνω ιςχυριςμό, υποκζτοντασ Κανονικι Κατανομι για τθν κατανάλωςθ τθσ βενηίνθσ. Λφςθ Θζλουμε να ελζγξουμε αν θ μζςθ κατανάλωςθ βενηίνθσ είναι μικρότερθ από 10 lit/ 100 km. Επιλζγουμε μονόπλευρο ζλεγχο, με εναλλακτικι και επίπεδο ςθμαντικότθτασ ΔΕΔΟΜΕΝΑ Μζγεκοσ Δείγματοσ: n 9 30 μικρό δείγμα Δειγματικι Μζςθ Σιμι: Δειγματικι Διαςπορά: = 2 άγνωςτθ αλλά Κανονικι Κατανομι Επομζνωσ επιλζγουμε τον ζλεγχο ( 3 ), με εναλλακτικι H1 : 12 ΤΠΟΘΕΕΙ (Η μζςθ κατανάλωςθ βενηίνθσ ΔΕΝ είναι μικρότερθ από 12 lit/100 Km) (Η μζςθ κατανάλωςθ βενηίνθσ είναι μικρότερθ από 12 lit/100 Km) ΣΑΣΙΣΙΚΟ ΕΛΕΓΧΟΤ X 0 1112 1 t 1.5 s 2 2 n 9 3 ΚΡΙΣΙΚΗ ΣΙΜΗ Σο δείγμα μασ είναι μικρό (n = 9 <30), επομζνωσ κα πάρουμε τθν κριτικι τιμι από τον πίνακα τθσ t κατανομισ: t ; 1 t0.05; 9 1 t0.05; 8 1.86 a n ΑΠΟΦΑΗ Επειδι t 1.5 1.5 1.86 θ μθδενικι υπόκεςθ δεν μπορεί να απορριφκεί. ΤΜΠΕΡΑΜΑ Για επίπεδο ςθμαντικότθτασ, θ υπόκεςθ ότι θ μζςθ κατανάλωςθ βενηίνθσ του νζου μοντζλου, ςτατιςτικά, δεν είναι ςθμαντικά μικρότερθ από 12 lit/ 100 km, ΔΕΝ μπορεί να απορριφκεί. Μαρίνα Σφρπθ
Ζλεγχοι Τποκζςεων 11 Λφςθ με το SPSS T-Test Μονόπλευροσ Ζλεγχοσ One-Sample Statistics N Mean Std. Deviation Std. Error Mean ΚΑΣΑΝΑΛΩΘ _ΒΕΝΗΙΝΘ 9 11,00 2,00 0,66667 One-Sample Test ΚΑΣΑΝΑΛΩΘ_ ΒΕΝΗΙΝΘ Test Value = 12 95% Confidence Interval of the Mean t df Sig. (2-tailed) Lower Upper -1,5000 8,172-1,000-2,2400 0,2400 1) ΤΠΟΘΕΕΙ (Η μζςθ κατανάλωςθ βενηίνθσ ΔΕΝ είναι μικρότερθ από 12 lit/100 Km) (Η μζςθ κατανάλωςθ βενηίνθσ είναι μικρότερθ από 12 lit/100 Km). Sig. 2-tailed 0 172 p Sig. 1-tailed 0. 086 0. 05 2 2 Και θ μθδενικι υπόκεςθ δεν απορρίπτεται ΤΜΠΕΡΑΜΑ Για επίπεδο ςθμαντικότθτασ, θ υπόκεςθ ότι θ μζςθ κατανάλωςθ βενηίνθσ του νζου μοντζλου, ςτατιςτικά, δεν είναι ςθμαντικά μικρότερθ από 12 lit/ 100 km, ΔΕΝ μπορεί να απορριφκεί. Επειδι τα ςτατιςτικά ςτοιχεία του δείγματοσ δεν επαρκοφν για τθν απόρριψθ τθσ μθδενικισ υπόκεςθσ, προκειμζνου να ζχουμε κάποιο ςυμπζραςμα για τθ μζςθ κατανάλωςθ βενηίνθσ, εκτιμοφμε ςτθ ςυνζχεια το διάςτθμα εμπιςτοςφνθσ του μζςου. 2) Τπολογιςμόσ Διαςτιματοσ Εμπιςτοςφνθσ 2. 24 0. 24 2. 24 12 0. 24 0 2. 24 12 0. 24 12 9. 76 12. 24 Επομζνωσ, με πικανότθτα ςφάλματοσ, εκτιμοφμε ότι θ μζςθ κατανάλωςθ βενηίνθσ, βρίςκεται εντόσ των ορίων 9.76 lit/100km και 12.24 lit/100 Km. Σθμειϊςεισ Στατιςτικισ
12 Ζλεγχοι Τποκζςεων Παράδειγμα 3 Θ ΔΕΘ ςχεδιάηει τθν εγκατάςταςθ μιασ νζασ μονάδασ παραγωγισ θλεκτρικισ ενζργειασ ςτθν Αττικι. Θ μονάδα αυτι κα είναι ςυμφζρουςα μόνον αν θ μζςθ θμεριςια κατανάλωςθ θλεκτρικισ ενζργειασ από τισ βιομθχανίεσ υπερβαίνει τισ 1650 KWh. Από ζνα δείγμα 16 βιομθχανιϊν ςτθν περιοχι τθσ Αττικισ βρζκθκε ότι θ θμεριςια κατανάλωςθ θλεκτρικισ ενζργειασ ακολουκεί τθν Κανονικι Κατανομι με και s 500 KWh X 2000 KWh Για τθ λιψθ τθσ απόφαςθσ ζγινε ςτατιςτικόσ ζλεγχοσ υποκζςεων, προκειμζνου να διαπιςτωκεί εάν θ εγκατάςταςθ τθσ μονάδασ είναι ςυμφζρουςα, από όπου προζκυψαν τα παρακάτω αποτελζςματα. One-Sample Statistics N Mean Std. Deviation Std. Error Mean ΘΜΕΡΘΙΑ_ΚΑΣ ΑΝΑΛΩΘ 16 2000 500 125 One-Sample Test Test Value = 1650 t df Sig. (2-tailed) Mean 95% Confidence Interval of the Lower Upper ΘΜΕΡΘΙΑ_ΚΑ ΣΑΝΑΛΩΘ 2,8000 15,014 350 83,7500 616,2500 ( α ) Να διατυπωκοφν οι υποκζςεισ, και να εξαχκοφν τα ςυμπεράςματα του ελζγχου. Ποιά πρζπει να είναι θ ειςιγθςθ τθν εγκατάςταςθ τθσ νζασ μονάδασ; ( β ) Να υπολογιςτεί και να ερμθνευτεί το 95% διάςτθμα εμπιςτοςφνθσ του μζςου. Λφςθ ( α ) Παρατθροφμε ότι θ μζςθ θμεριςια κατανάλωςθ εκτιμικθκε από το δείγμα ςε X 2000 KWh (Mean), τιμι που είναι μεγαλφτερθ από τθν απαιτοφμενθ των 1650 KWh. Επομζνωσ, θ εναλλακτικι υπόκεςθ κα είναι τθσ μορφισ 1 : 1650. Άρα ΤΠΟΘΕΕΙ 0 : 1650(Η μζςθ θμεριςια κατανάλωςθ ΔΕΝ είναι μεγαλφτερθ από 1650 KWh) 1 : 1650(Η μζςθ θμεριςια κατανάλωςθ είναι μεγαλφτερθ από 1650 KWh) Μαρίνα Σφρπθ
Ζλεγχοι Τποκζςεων 13. Sig. 2-tailed 0 014 p Sig. 1-tailed 0. 007 0. 05 2 2 Και θ μθδενικι υπόκεςθ απορρίπτεται. Επομζνωσ, για επίπεδο ςθμαντικότθτασ 0. 05, ςυμπεραίνουμε ότι θ μζςθ θμεριςια κατανάλωςθ θλεκτρικισ ενζργειασ ςτισ βιομθχανίεσ τθσ Αττικισ είναι, ςτατιςτικά, ςθμαντικά μεγαλφτερθ από 1650 KWh. Η πικανότθτα να είναι το ςυμπζραςμα αυτό λάκοσ είναι το πολφ 0.05. Μάλιςτα, επειδι 0. 001 p value 0. 007 0. 01, θ απόρριψθ τθσ μθδενικισ υπόκεςθσ χαρακτθρίηεται ωσ πολφ ιςχυρι. Η πολφ ιςχυρι απόρριψθ τθσ μθδενικισ υπόκεςθσ, ςτθν πραγματικότθτα μασ λζει ότι τα ςτοιχεία που ςτθρίηουν τθν αλικεια τθσ εναλλακτικισ υπόκεςθσ είναι πολφ ςθμαντικά. Ζτςι, θ ειςιγθςθ για τθν εγκατάςταςθ τθσ νζασ μονάδασ μπορεί να είναι κετικι. ( β ) Τπολογιςμόσ Διαςτιματοσ Εμπιςτοςφνθσ 83. 75 616. 25 0 83. 75 1650 616. 25 83. 75 1650 616. 25 1650 1733. 75 2266. 25 Με πικανότθτα ςφάλματοσ 0. 05, εκτιμοφμε ότι θ μζςθ θμεριςια κατανάλωςθ ενζργειασ ςτισ βιομθχανίεσ τθσ Αττικισ βρίςκεται εντόσ των ορίων 1773. 75 KWh και 2226.25 KWh Παράδειγμα 4 Για τθ μελζτθ του ποςοςτοφ τθσ ανεργίασ ςτθν Ελλάδα το 2014, πάρκθκε ζνα τυχαίο δείγμα από n 36 διαφορετικζσ περιοχζσ από όπου υπολογίςτθκαν X 22% και s 6%. Ζνασ οικονομικόσ αναλυτισ ιςχυρίηεται ότι το 2014 το μζςο ποςοςτό ανεργίασ ςτθν Ελλάδα ςυγκρατικθκε κάτω από 23.5 %. Παρακάτω βλζπετε τα αποτελζςματα του ελζγχου υποκζςεων που αφοροφν το μζςο ποςοςτό ανεργίασ ςτθν Ελλάδα, για το ζτοσ 2014. One-Sample Statistics N Mean Std. Deviation Std. Error Mean ΑΝΕΡΓΙΑ 36 22 6 1 Σθμειϊςεισ Στατιςτικισ
14 Ζλεγχοι Τποκζςεων One-Sample Test Test Value = 23,5 95% Confidence Interval of the Mean t df Sig. (2-tailed) Lower Upper ΑΝΕΡΓΙΑ -1,5 21,14-1,5-3,4600 0,4600 Να διατυπωκοφν οι υποκζςεισ, και να εξαχκοφν τα ςυμπεράςματα του ελζγχου. Ζχει δίκιο ο αναλυτισ; Λφςθ Παρατθροφμε ότι το μζςο ποςοςτό ανεργίασ που εκτιμικθκε από το δείγμα είναι 22%, και είναι μικρότερο από το 23.5 % που ιςχυρίηεται ο αναλυτισ. Επομζνωσ, θ εναλλακτικι υπόκεςθ κα είναι τθσ μορφισ 1 : 23. 5. Ζτςι ζχουμε: 0 : 23. 5 (Το μζςο ποςοςτό ανεργίασ δεν είναι μικρότερο από 23.5%) 1 : 23. 5 (Το μζςο ποςοςτό ανεργίασ είναι μικρότερο από 23.5%). Sig. 2-tailed 0 172 Sig. 1-tailed 0. 086 0. 05 2 2 Και θ μθδενικι υπόκεςθ δεν απορρίπτεται Επομζνωσ, για επίπεδο ςθμαντικότθτασ 0. 05, θ υπόκεςθ ότι το μζςο ποςοςτό ανεργίασ ςτατιςτικά ΔΕΝ είναι μικρότερο από 23.5%, δεν μπορεί να απορριφκεί. Η μθ απόρριψθ τθσ μθδενικισ υπόκεςθσ, ςθμαίνει ότι δεν υπάρχουν επαρκι ςτατιςτικά ςτοιχεία που να ςτθρίηουν τθν εναλλακτικι υπόκεςθ ότι το μζςο ποςοςτό ανεργίασ είναι μικρότερο από 23.5%. Επομζνωσ, μποροφμε να κεωριςουμε ότι ο ιςχυριςμόσ του αναλυτι δεν ευςτακεί. Παράδειγμα 5 Για τθ μελζτθ τθσ απόδοςθσ των χαρτοφυλακίων μιασ χρθματιςτθριακισ εταιρείασ το 2014, πάρκθκε ζνα τυχαίο δείγμα μεγζκουσ n 100, από όπου υπολογίςτθκαν X 15% και s 2%. Ζνασ επενδυτισ που ςκοπεφει να ςυνεργαςτεί με τθν εταιρεία, ηθτά θ μζςθ απόδοςθ να είναι τουλάχιςτον 15. 5%. Παρακάτω βλζπετε τα αποτελζςματα από τον ζλεγχο υπόκεςθσ που ζκανε ο επενδυτισ, προκειμζνου να διαπιςτϊςει εάν ικανοποιοφνται οι απαιτιςεισ του. Μαρίνα Σφρπθ
Ζλεγχοι Τποκζςεων 15 One-Sample Statistics N Mean Std. Deviation Std. Error Mean ΑΠΟΔΟΘ 100 15 2 0,2000 One-Sample Test Test Value = 15,5 95% Confidence Interval of the Mean t df Sig. (2-tailed) Lower Upper ΑΝΕΡΓΙΑ -2,5 99 0,012-0,5-0,89 0,39 ( α ) Να διατυπωκοφν οι υποκζςεισ, και να εξαχκοφν τα ςυμπεράςματα του ελζγχου. Σί κα προτείνατε ςτον επενδυτι; ( β ) Να υπολογιςτεί και να ερμθνευτεί το 95% διάςτθμα εμπιςτοςφνθσ του μζςου. Λφςθ Παρατθροφμε ότι θ μζςθ απόδοςθ των χαρτοφυλακίων που εκτιμικθκε από το δείγμα είναι 15 %, και είναι μικρότερθ από το 15.5 % που ηθτά ο επενδυτισ. Επομζνωσ, θ εναλλακτικι υπόκεςθ κα είναι τθσ μορφισ 1 : 15. 5. Ζτςι ζχουμε: 0 : 15. 5 (Η μζςθ απόδοςθ των χαρτοφυλακίων δεν είναι μικρότερθ από 15.5%) 1 : 15. 5 (Η μζςθ απόδοςθ των χαρτοφυλακίων είναι μικρότερθ από 15.5%). Sig. 2-tailed 0 012 Sig. 1-tailed 0. 006 0. 05 2 2 Και θ μθδενικι υπόκεςθ απορρίπτεται. Μάλιςτα, επειδι 0. 001 p value 0. 006 0. 01, θ απόρριψθ τθσ μθδενικισ υπόκεςθσ χαρακτθρίηεται ωσ πολφ ιςχυρι. Επομζνωσ, για επίπεδο ςθμαντικότθτασ 0. 05, ςυμπεραίνουμε ότι θ μζςθ απόδοςθ των χαρτοφυλακίων τθσ χρθματιςτθριακισ εταιρεία για το ζτοσ 2014 είναι, ςτατιςτικά, ςθμαντικά μικρότερθ από 15.5%. Η πικανότθτα να είναι το ςυμπζραςμα αυτό λάκοσ είναι το πολφ 0.05. Σθμειϊςεισ Στατιςτικισ
16 Ζλεγχοι Τποκζςεων Η πολφ ιςχυρι απόρριψθ τθσ μθδενικισ υπόκεςθσ, ςτθν πραγματικότθτα μασ λζει ότι τα ςτοιχεία που ςτθρίηουν τθν αλικεια τθσ εναλλακτικισ υπόκεςθσ είναι πολφ ςθμαντικά. Επομζνωσ, θ ςυμβουλι μασ προσ τον επενδυτι κα είναι να μθν ςυνεργαςτεί με τθν εταιρεία. Τπολογιςμόσ Διαςτιματοσ Εμπιςτοςφνθσ 0. 89 0. 39 0 0. 89 15. 5 0. 39 0. 89 15. 5 0. 89 15. 5 14. 61 15. 39 «Με πικανότθτα ςφάλματοσ 0. 05, εκτιμοφμε ότι θ μζςθ απόδοςθ των χαρτοφυλακίων τθσ χρθματιςτθριακισ εταιρείασ για το 2014, 15.39%» βρίςκεται εντόσ των ορίων 14.61% και Μαρίνα Σφρπθ
Ζλεγχοι Τποκζςεων 17 3. Ζλεγχοι Τποκζςεων για τθ Μζςθ Σιμι ενόσ Πλθκυςμοφ μικρά δείγματα και άγνωςτθ Κατανομι. Όταν το δείγμα είναι μικρό, δθλαδι όταν ζχουμε λιγότερεσ από 30 παρατθριςεισ, προτοφ προχωριςουμε ςτον ζλεγχο υποκζςεων, κα πρζπει να διαπιςτϊςουμε εάν τα δεδομζνα μασ προζρχονται από Κανονικό πλθκυςμό. τθν περίπτωςθ που δεν ζχουμε κανονικότθτα, το αποτζλεςμα του ελζγχου δεν μπορεί να κεωρθκεί αξιόπιςτο Παράδειγμα 6 Ασ υποκζςουμε ότι μία φαρμακευτικι εταιρεία πειραματίηεται πάνω ςε ζνα νζο φάρμακο για κάποια αςκζνεια ζχοντασ ωσ ςτόχο, τα πρϊτα κετικά αποτελζςματα τθσ χριςθσ του να εμφανίηονται ςε λιγότερο από 10 θμζρεσ. Από τθν εφαρμογι τθσ κεραπείασ ςε 20 τυχαία επιλεγμζνα άτομα που πάςχουν από τθν αςκζνεια, ο μζςοσ χρόνοσ εμφάνιςθσ ευεργετικϊν αποτελεςμάτων εκτιμικθκε ςε X 9 θμζρεσ και θ τυπικι απόκλιςθ ςε 0. 973 θμζρεσ. ε επίπεδο ςθμαντικότθτασ 0. 05, να ελζγξετε εάν θ φαρμακευτικι εταιρεία ζχει πετφχει το ςτόχο τθσ. Λφςθ Ιςτόγραμμα υχνοτιτων Θθκόγραμμα Tests of Normality Kolmogorov-Smirnov a Shapiro-Wilk Statistic df Sig. Statistic df Sig. Χρόνοσ,200 20,035,920 20,099 a. Lilliefors Significance Correction Σθμειϊςεισ Στατιςτικισ
18 Ζλεγχοι Τποκζςεων Ζλεγχοσ για Κανονικότθτα H 0 H 1 : Ο πλθκυςμόσ είναι Κανονικόσ : Ο πλθκυςμόσ ΔΕΝ είναι Κανονικόσ Για τον ζλεγχο τθσ Κανονικότθτασ, όταν το δείγμα είναι μικρότερο των 50 παρατθριςεων χρθςιμοποιοφμε το ςτατιςτικό Shapiro Wilk. Sig. = 0,099 > 0.05 και θ μθδενικι υπόκεςθ δεν μπορεί να απορριφκεί. Επομζνωσ δεχόμαςτε ότι ο πλθκυςμόσ μασ ακολουκεί Κανονικι Κατανομι και, ςυνεπϊσ μποροφμε να ςυνεχίςουμε ςτον ζλεγχο τθσ υπόκεςθσ. T-Test One-Sample Statistics N Mean Std. Deviation Std. Error Mean Χρόνοσ 20 9,00,973,218 Ο αρικμθτικόσ μζςοσ είναι 9 θμζρεσ < 10 θμζρεσ που είναι ο ςτόχοσ τθσ εταιρείασ. Μποροφμε επομζνωσ να διεξάγουμε τον παρακάτω μονόπλευρο ζλεγχο.* H0 : 10 (Ο μζςοσ χρόνοσ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ μικρότεροσ από 10 θμζρεσ) H1 : 10 (Ο μζςοσ χρόνοσ είναι μικρότεροσ από 10 θμζρεσ) One-Sample Test Test Value = 10 95% Confidence Interval of the Mean t df Sig. (2-tailed) Lower Upper Χρόνοσ -4,595 19,000-1,000-1,46 -,54. Sig. 2-tailed 0 0000 Sig. 1-tailed 0. 0000 0. 05 2 2 απορρίπτεται. και θ μθδενικι υπόκεςθ ΤΜΠΕΡΑΜΑ Για επίπεδο ςθμαντικότθτασ, ςυμπεραίνουμε ότι ο μζςοσ χρόνοσ εμφάνιςθσ των κετικϊν αποτελεςμάτων είναι, ςτατιςτικά, ςθμαντικά μικρότεροσ από 10 θμζρεσ. Η πικανότθτα να είναι το ςυμπζραςμα αυτό λάκοσ είναι το πολφ 0.05. Μαρίνα Σφρπθ
Ζλεγχοι Τποκζςεων 19 95% διάςτθμα εμπιςτοςφνθσ για τθ διαφορά 0 1. 46 10 0. 54 1. 46 10 0. 54 10 8. 54 9. 46 Σο 95 % δ.ε. του μζςου είναι 8. 71, 9. 29 Με πικανότθτα ςφάλματοσ 0. 05, εκτιμοφμε ότι ο μζςοσ χρόνοσ εμφάνιςθσ των πρϊτων κετικϊν αποτελεςμάτων βρίςκεται εντόσ των ορίων 8.54 θμζρεσ και 9.46 θμζρεσ. * ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ: τθν περίπτωςθ που ο ερευνθτισ κεωρεί ότι δεν υπάρχουν βάςιμα ςτοιχεία ότι ο μζςοσ χρόνοσ είναι μικρότεροσ από 10 θμζρεσ, κα προχωριςει ςε αμφίπλευρο ζλεγχο. Για παράδειγμα, εάν ο δειγματικόσ μζςοσ ιταν 11 θμζρεσ, όχι μόνον δεν κα είχε κανζνα νόθμα αλλά είναι απολφτωσ εςφαλμζνο να προχωριςουμε ςτον παραπάνω μονόπλευρο ζλεγχο. τθν περίπτωςθ αυτι, κα προχωροφςαμε ςε αμφίπλευρο ζλεγχο με εναλλακτικι :, ζτςι ϊςτε θ απόρριψθ τθσ μθδενικισ να μασ οδθγιςει ςτο (λογικό) ςυμπζραςμα ότι το νζο φάρμακο δεν φζρνει καμία αλλαγι ςτθ κεραπεία τθσ αςκζνειασ. Σθμειϊςεισ Στατιςτικισ
20 Ζλεγχοι Τποκζςεων 4 Ζλεγχοι Τποκζςεων για τθν αναλογία ςε ζναν πλθκυςμό Προχποκζςεισ Εναλλακτικι Τπόκεςθ τατιςτικό Κριτικζσ Σιμζσ : p p Z 2 npˆ 1 pˆ 5 όπου x pˆ n : p p ι Z p pˆ p 0 1 p 0 0 Z 1: p p0 n Παράδειγμα 7 Ζνασ διευκυντισ Μάρκετινκ κζλει να εκτιμιςει το ποςςοτό των πελατϊν που προτιμοφν τθ νζα ςυςκευαςία ενόσ προϊόντοσ ςε ςχζςθ με τθν παλιά. Από ζνα δείγμα 500 τυχαία επιλεγμζνων ατόμων βρζκθκε ότι οι 430 προτιμοφν τθ νζα ςυςκευαςία. Ο διευκυντισ είχε ωσ ςτόχο το 80% των πελατϊν να είναι ικανοποιθμζνο. Παρακάτω βλζπετε τα αποτελζςματα του ελζγχου υπόκςθσ, για τθν αναλογία των ατόμων που προτιμοφν τθ νζα ςυςκευαςία. One Sample Statistics n Successes Sample Proportion 500 430 0.86 Test for Population Proportion 95% Confidence Interval Z Statistic p value Lower Upper 3.86 0.0002 0.8202 0.8998 Να διατυπωκοφν οι υποκζςεισ, και να εξαχκοφν τα ςυμπεράςματα του ελζγχου. Ζχει πετφχει το ςτόχο του ο διευκυντισ; Λφςθ Παρατθροφμε ότι θ εκτιμϊμενθ αναλογία είναι pˆ 0. 86 και είναι μεγαλφτερθ από το 0.80 που ο διευκυντισ ζχει ωσ ςτόχο. Επομζνωσ, θ εναλλακτικι υπόκεςθ κα είναι τθσ μορφισ 1 : 08.. Ζτςι ζχουμε: Μαρίνα Σφρπθ
Ζλεγχοι Τποκζςεων 21 0 : p 08. (Η αναλογία δεν είναι μεγαλφτερθ από 0.8) 1 : p 08. (Η αναλογία είναι μεγαλφτερθ από 0.8) Sig. 1-tailed. Sig. 2-tailed 0 0002 0. 0001 0. 05. 2 2 Επομζνωσ, για επίπεδο ςθμαντικότθτασ 0. 05, ςυμπεραίνουμε ότι θ αναλογία των ατόμων που προτιμοφν τθ νζα ςυςκευαςία του προϊόντοσ, ςτατιςτικά, είναι ςθμαντικά μεγαλφτερθ από 0.8. Η πικανότθτα να είναι το ςυμπζραςμα αυτό λάκοσ είναι το πολφ 0.05. Μάλιςτα, επειδι 0. 001 p value 0. 0001 0. 0001, θ απόρριψθ τθσ μθδενικισ υπόκεςθσ χαρακτθρίηεται ωσ πάρα πολφ ιςχυρι. Η πάρα πολφ ιςχυρι απόρριψθ τθσ μθδενικισ υπόκεςθσ, ςτθν πραγματικότθτα μασ λζει ότι τα ςτοιχεία που ςτθρίηουν τθν αλικεια τθσ εναλλακτικισ υπόκεςθσ είναι πολφ ςθμαντικά. Επομζνωσ, ο διευκυντισ ζχει πετφχει το ςτόχο του. 95% διάςτθμα εμπιςτοςφνθσ για τθν αναλογία ςτον πλθκυςμό Σο 95 % δ.ε. του μζςου είναι 8. 71, 9. 29 «Με πικανότθτα ςφάλματοσ 0. 05, εκτιμοφμε ότι θ αναλογία των ατόμων που προτιμοφν τθ νζα ςυςκευαςία του προϊόντοσ, βρίςκεται εντόσ των ορίων 0.8202 και 0.8998» Σθμειϊςεισ Στατιςτικισ