ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Τηλ.: 69 97 985, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Τηλ.: 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr ΣΜΑΡΑΓΔΑ ΣΑΡΑΝΤΟΠΟΥΛΟΥ, MSC, ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΕΜΠ KENTΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Τηλ.: 69 97 985 e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr Δεν επιτρέπεται η ολική ή μερική αναδημοσίευση του κειμένου ή των σχημάτων χωρίς την γραπτή άδεια του συγγραφέα.
Τηλ.: 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr Δοχείο όγκου με αδιαβατικά τοιχώματα είναι χωρισμένο σε δύο ίσα μέρη από λεπτό διάφραγμα. Στο ένα μέρος του δοχείου περιέχεται υπό θερμοκρασία Τ ιδανικό αέριο, το κάθε μόριο του οποίου έχει μάζα m, ενώ το άλλο είναι κενό. Στο διάφραγμα ανοίγουμε μικρή οπή εμβαδού Α. Υπολογίστε τον αριθμό των μορίων και την πίεση σε κάθε μέρος σα συνάρτηση του χρόνου. Στο αριστερό μέρος του δοχείου έχουμε mole και το δεξί είναι κενό. N N mole N Αρχικά, στον αριστερό όγκο έχουμε συγκέντρωση n και ο δεξιός είναι κενός. N Έστω μια τυχαία χρονική στιγμή t. Αριστερά έχουμε συγκέντρωση n, ενώ δεξιά έχουμε N N N N συγκέντρωση n n n n n. Στο χώρο () μπαίνουν μόρια: Από τον χώρο () φεύγουν μόρια: n u Sdt 4 n u Sdt 4 Το ισοζύγιο μια τυχαία χρονική στιγμή t για το δεξί μέρος του δοχείου όγκου είναι: n u Sdt n u Sdt dn dn, S εμβαδόν οπής 4 4 θετικός αριθμός Στο χώρο () μπαίνουν μόρια: Από τον χώρο () φεύγουν μόρια: θετικός αριθμός άυξηση μορίων στο ( ) n u Sdt 4 n u Sdt 4 Το ισοζύγιο μια τυχαία χρονική στιγμή t για το αριστερό μέρος του δοχείου όγκου είναι: n u Sdt n u Sdt dn dn 4 4 αρνητικός αριθμός αρνητικός αριθμός μείωση μορίων στο ()
Τηλ.: 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr (Υπενθύμιση: Σε κατάσταση ισορροπίας ισχύουν dn dn, n u Sdt n u Sdt, 4 4 n n ). όπου n n n n u Sdt n u Sdt dn n n u Sd n u Sd dn 4 4 4 4 u Sdt n n n dn u Sdt n n dn 4 4 dn u Sdt n n 4 4 τ (τ: σταθερά χρόνου, μονάδες χρόνου) και u S n t n u 8KT πm dn dt n t n t lnn n ln n n n n n n τ τ τ t t t n n t n n n τ τ τ ln e n n e n e n τ n t t t n n τ n n τ n τ n n n n n e n n e n e t n τ n e Το ζητούμενο είναι ο αριθμός των μορίων: t t N N N τ τ n e N e άρα: t t N N N τ τ n e N e νr P νrt P T R k R k N N P T P n k T kn ν νn όπου n : η συγκέντρωση. N t/τ P n K T P e K T N t/τ P n K T P e K T 3
Τηλ.: 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr (α) Ένα γραμμομόριο ιδανικού αερίου διαστέλλεται ακολουθώντας τη διαδικασία P σταθερό. Θερμαίνεται ή ψύχεται; Να υπολογιστεί η θερμοχωρητικότητα C. (β) Στο σχήμα έχουμε το διάγραμμα ενός αντιστρεπτού κύκλου που εκτελεί ένα γραμμομόριο ιδανικού αερίου. Υπολογίστε τα έργα W, W 3, W 3 και τις θερμότητες Q,Q 3,Q 3. Υπολογίστε το συντελεστή απόδοσης της μηχανής σαν συνάρτηση των T, T,R,C P,C. (α) P σταθερό Χρησιμοποιώντας τον νόμο των ιδανικών αερίων έχουμε: mole και n η συγκέντρωση (αριθμός μορίων/ όγκο). Επομένως, T σταθερό T σταθερό Άρα: T T T T T T Συνεπώς, ψύχεται κατά την εκτόνωση. Το συμπέρασμα είναι σωστό καθώς σε μια διαδικασία που ακολουθεί το νόμο n> κατά τη συμπίεση το αέριο θερμαίνεται άρα κατά την εκτόνωση ψύχεται. 4 ν RT P, όπου ν είναι ο αριθμός των n P Για τον υπολογισμό της θερμοχωρητικότητας εφαρμόζουμε την παρακάτω μέθοδο: δq du δw d P d νc νc νc νc P C C dt dt dt ν dt Παραπάνω καταλήξαμε στην σχέση: d T σταθερό dt T d dt T d dt T σταθερό για
Άρα: ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Τηλ.: 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr P P R νt C C C C C C C C R ν T νt νt Παρατήρηση: Όταν υπολογίζουμε θερμοχωρητικότητα μπορούμε από την αρχή να θεωρήσουμε ν= mole, καθώς ο αριθμός των mole απλοποιείται. (β) Με ν= mole έχουμε: Ισοβαρής: W P νrt νrt νrt T RT T Q ΔU W Q ν C T T ν R T T ν C T T C T T P P 3 Ισόχωρη: W 3 Q ΔU νc T T C T T 3 3 3 Ισόθερμη: νr T T W3 P d d νr T ln R T ln 3 T T T T T T Αφού ισχύει στην ισοβαρή διαδικασία ( ): και 3. Άρα, T Q ΔU W 3 3 T Όμως ΔU= και W3 R T ln T T Άρα Q3 RT ln T Ορίζεται ο συντελεστής απόδοσης : W n, όπου Q Q Q 3 3 T T R T T R T ln R T ln Qt CP T T CP CP T T n W W 3 W3 n T R n T 5
Τηλ.: 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr Θερμικά μονωμένο κυλινδρικό δοχείο χωρίζεται από έμβολο αμελητέας μάζας σε δύο ίσα μέρη. Από τη μια περιέχεται ιδανικό αέριο μάζας Μ, σχετικής μοριακής μάζας μ και γνωστών γραμμομοριακών θερμοχωρητικοτήτων C και C ανεξαρτήτων της θερμοκρασίας, και από την άλλη μεριά «απόλυτο» κενό. Αρχικά το αέριο έχει T, p. Απελευθερώνουν το έμβολο το οποίο δίνει τη δυνατότητα στο αέριο να καταλάβει όλο τον όγκο. Ύστερα αργά επαναφέρουν το έμβολο στην αρχική του θέση. Υπολογίστε τη μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας και της εντροπίας του αερίου. p Η διαδικασία όπου απελευθερώνεται το έμβολο και το αέριο κατάλαμβάνει όλο τον όγκο θεωρείται μη αντιστρεπτή διαδικασία. Όταν, στην συνέχεια, επαναφέρεται το έμβολο αργά στην αρχική του θέση, τότε η διαδικασία Διαδικασία : ος θερμοδυναμικός Νόμος: Δεν ισχύει δq 3 θεωρείται αδιαβατική. δq θερμικά μονωμένα τοιχώματα δw δw P ΔU ΔU εξ ΔU Uαρχ. Uτελ T T δq du δw TdS (), ούτε δw Pd () (μη αντιστρεπτή διαδικασία) αλλά στον ο θερμοδυναμικό νόμο αυτά έχουν ισχύ, γνωρίζοντας ότι ΔU= έχουμε δq=δw (3). Η σχέση (3) γίνεται μέσω των σχέσεων () και (), ως εξής: P d T ds P d ds T νrt P νrt P οπότε ν RT ν R M d M d M ds d ds d ds R ds R ΔS R ln T μ μ μ Για τη διαδικασία 3 έχουμε: γ γ P σταθερό, T σταθερό γ γ γ T T T T 6
Τηλ.: 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr Cp M γ M γ M Cv ΔU v Cv T T Cv T T ΔU Cv T ΔU 3 Cv T μ μ μ ΔS 3 Ένας σταθμός λειτουργεί σε συχνότητα ν=5 khz και έχει δύο πανομοιότυπες κατακόρυφες κεραίες τοποθετημένες σε απόσταση 4 m, που ταλαντώνονται σε φάση. Δείξτε ότι η εκπεμπόμενη ισχύς των Η/Μ κυμάτων δεν κατανέμεται ισότροπα αλλά υπάρχουν προτιμητέες διευθύνσεις μέγιστης έντασης. Να υπολογισθούν αυτές οι διευθύνσεις, θεωρώντας τα κύματα σε αποστάσεις πολύ μεγαλύτερες των 4 m. Είναι γνωστό ότι η κατανομή της έντασης στο πείραμα Young δίνεται από τον τύπο: I πf sin θ λ 4Is cos 8 3 m /s Επίσης: c λν λ m. Άρα f 6.5 Hz λ. Τελικά: I 4Is cos πsin θ Είναι φανερό ότι η ένταση μεγιστοποιείται όταν το συνημίτονο γίνεται δηλαδή όταν πsin θ nπ, n,, sin θ n/,,,. Από τα παραπάνω, προκύπτει ότι οι προτιμητέες διευθύνσεις θα είναι: Για n=, θ= ή π 7
Τηλ.: 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr Για n=, θ= π/6 ή 5π/6 Για n=, θ= π/ ή 3π/ Δείξτε με τη βοήθεια της αρχής του Fermat ότι η εστιακή απόσταση f ενός επιπεδόκυρτου φακού δίνεται από την έκφραση: (n ) f R όπου n είναι ο δείκτης διάθλασης του υλικού του φακού και R είναι η ακτίνα καμπυλότητας. Η απόδειξη βασίζεται στην παρατήρηση ότι το είδωλο που σχηματίζεται από την πρώτη διάθλαση είναι αντικείμενο για τη δεύτερη. Εφαρμόζοντας διαδοχικά τον τύπο των διαθλαστικών επιφανειών έχουμε: n (n ) και p q R Προσθέτοντας κατά μέλη βρίσκουμε: 8 n ( n) p q R
Τηλ.: 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr n n (n ) (n ) p q q p R R Αλλά qp d όπου d: το πάχος του φακού. Για λεπτούς φακούς d και άρα q p ή n n ισοδύναμα q p Αντικαθιστώντας και αγνοώντας πλέον τους δείκτες και καταλήγουμε στη σχέση: (n ) p q R R Για επιπεδόκυρτο φακό, R R, R, οπότε. Αντικαθιστώντας λαμβάνουμε: R (n ) p q R Όταν το αντικείμενο μετακινείται στο άπειρο, όταν δηλαδή οι φωτεινές ακτίνες παίρνουν τη μορφή παράλληλης δέσμης, το είδωλο σχηματίζεται στην εστία, δηλαδή όταν p, τότε q=f.δηλαδή: (n ) f R 9
Τηλ.: 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ι, ΙΙ Φυσική Στερεάς Κατάστασης Ανάλυση Ι, ΙΙ Πυρηνική Φυσ. & Στοιχειώδη Σωμάτια ΜΜΦ Ι, ΙΙ Σύγχρονη Φυσική Πιθανότητες - Στατιστική Ειδική Σχετικότητα Φυσική Ι, II, III, I Χημεία Πρακτικά Χημείας Mηχανική Ι, ΙΙ Ηλεκτρονική Ι, ΙΙ Ηλεκτρομαγνητισμός I, II Πρακτικά Ηλεκτρονικής Κβαντομηχανική Ι, ΙΙ Συστήματα Τηλεπικοινωνιών Στατιστική Φυσική Υπολογιστές Επιλογές H σίγουρη λύση που οδηγεί στο πτυχίο