HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 21/4/2016 Συνδυαστική Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 2 Πείραµα Πείραµα: Οποιαδήποτε διαδικασία που µπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθµό παρατηρήσιµων αποτελεσµάτων. Ένα σύνθετο πείραµα που µπορεί να θεωρηθεί ως η σύνθεση επιµέρους απλούστερων πειραµάτων Συνδυαστική: Η µελέτη στρατηγικών προκειµένου να µπορούµε να εκτιµήσουµε το πλήθος των ενδεχόµενων αποτελεσµάτων ενός πειράµατος (απλού ή σύνθετου). Που το πάµε Θα προσπαθούµε να «διασπάµε» ένα σύνθετο πείραµα σε απλούστερα. Στόχος είναι, για τα απλούστερα πειράµατα, να µπορούµε πολύ εύκολα να προσδιορίσουµε το πλήθος των ενδεχόµενων αποτελεσµάτων τους Επίσης, θα διατυπώσουµε κανόνες για το πώς εξαρτάται το πλήθος των αποτελεσµάτων των σύνθετων πειραµάτων από το πλήθος των απλούστερων. ιαίρει και βασίλευε (divide and conquer) 3 4 1
Κανόνες αθροίσµατος και γινοµένου Έστω πείραµα 1 µε σύνολο αποτελεσµάτων Α και πείραµα 2 µε σύνολο αποτελεσµάτων Β Κανόνας του αθροίσµατος: Το σύνθετο πείραµα πείραµα 1 Ή πείραµα 2 έχει A B = A + B - Α B ενδεχόµενα αποτελέσµατα Κανόνας του γινοµένου: Το σύνθετο πείραµα πείραµα 1 ΚΑΙ πείραµα 2 έχει AxB = A B ενδεχόµενα αποτελέσµατα. Μεταθέσεις 1 η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: n διαθέσιµα αντικείµενα Τα n αντικείµενα είναι διαφορετικά µεταξύ τους. Επιλέγουµε k=n (δηλαδή όλα) τα αντικείµενα Κάθε φορά που επιλέγουµε ένα αντικείµενο, ΕΝ το ξαναρίχνουµε µέσα στο σακούλι (χωρίς επανάθεση) Μας ενδιαφέρει η σειρά µε την οποία επιλέγουµε τα αντικείµενα. Μπορούµε εκτελέσουµε αυτό το πείραµα µε n!= 1 2 3 (n-1) n διαφορετικούς τρόπους. 5 6 ιατάξεις 2 η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: n διαθέσιµα αντικείµενα Τα n αντικείµενα είναι διαφορετικά µεταξύ τους. Επιλέγουµε k<=n τα αντικείµενα Κάθε φορά που επιλέγουµε ένα αντικείµενο, ΕΝ το ξαναρίχνουµε µέσα στο σακούλι (χωρίς επανάθεση) Μας ενδιαφέρει η σειρά µε την οποία επιλέγουµε τα αντικείµενα. Μπορούµε εκτελέσουµε αυτό το πείραµα µε n! P( n, k) = ( n k)! διαφορετικούς τρόπους. Μεταθέσεις και ιατάξεις Μία µετάθεση n αντικειµένων δεν είναι τίποτε άλλο από µία διάταξη n από n αντικείµενων: Πλήθος διατάξεων n από n αντικειµένων = P(n, n)= n!/(n-n)! = n!/0! = n!/1 = n! = πλήθος µεταθέσεων n αντικειµένων 7 8 2
: Πόσες συµβολοσειρές µήκους 4 µπορούµε να σχηµατίσουµε από το Ελληνικό αλφάβητο αν απαιτήσουµε οι χαρακτήρες της συµβολοσειράς να είναι διαφορετικοί µεταξύ τους; υνατές διαφορετικές τετράδες (θέσεις στη συµβολοσειρά) από ένα σύνολο 24 αντικειµένων (γράµµατα). Άρα ο συνολικός αριθµός των διαφορετικών συµβολοσειρών µε τέσσερα διαφορετικά γράµµατα είναι P(24,4)=24 23 22 21=255,024. διατάξεων (α) Πόσοι τετραψήφιοι αριθµοί είναι δυνατόν να σχηµατιστούν από τα ψηφία 1, 2, 3, 5, 7, 8 µε την προϋπόθεση ότι τα ψηφία των αριθµών αυτών είναι διαφορετικά µεταξύ τους; Επιλογή k=4 διαφορετικών ψηφίων από n=6 ψηφία. Εποµένως: P(n,k)=P(6,4)=6 5 4 3=360 9 10 διατάξεων (β) Πόσοι από τους παραπάνω αριθµούς είναι < 4000; Ένας τετραψήφιος αριθµός είναι < 4000 όταν το 1ο ψηφίο του είναι < 4. Άρα θα πρέπει πρώτα να τοποθετήσουµε στη θέση του πρώτουψηφίουέναν απότους 1, 2, και 3 και µετάνα τοποθετήσουµε τουςυπόλοιπους αριθµούς στις υπόλοιπες θέσεις. Θα λύσουµε το πρόβληµα θεωρώντας 2 «πειράµατα. 1ο πείραµα: "Με πόσους τρόπους µπορούµε να τοποθετήσουµε έναν από τους αριθµούς 1, 2, 3 στη 1η θέση;" P(3,1)=3. 2ο πείραµα: "Με πόσους τρόπους µπορούµε να τοποθετήσουµε τους υπόλοιπους αριθµούς στις τρεις υπόλοιπες θέσεις;" P(5,3)=5 4 3=60. Από το κανόνα του γινοµένου υπάρχουν 3x60=180 αριθµοί <4000 διατάξεων (γ) Πόσοι από τους αριθµούς του (α) είναι άρτιοι; Ένας αριθµός είναι άρτιος όταν το τελευταίο ψηφίο του διαιρείται µε το 2. Άρα θα πρέπει πρώτα να τοποθετήσουµε στη θέση του τελευταίου ψηφίου ένα από τους αριθµούς 2, και 8 και στη συνέχεια να τοποθετήσουµε τους υπόλοιπους αριθµούς στις θέσεις των υπόλοιπων ψηφίων. Θα λύσουµε το πρόβληµα σε δύο πειράµατα: 1ο πείραµα: "Με πόσους τρόπους µπορούµε να τοποθετήσουµε έναν από τους αριθµούς 2 και 8 στη µία θέση;" P(2,1)=2. 2 ο πείραµα: "Με πόσους τρόπους µπορούµε να τοποθετήσουµε τους υπόλοιπους αριθµούς στις τρεις υπόλοιπες θέσεις;" Η απάντηση είναι P(5,3)=5 4 3=60. Σύµφωνα µε το κανόνα του γινοµένου υπάρχουν 2 60=120 άρτιοι αριθµοί (πάντα µε βάση τις προϋποθέσεις του προβλήµατος). 11 12 3
διατάξεων (δ) Πόσοι από τους αριθµούς του (α) διαιρούνται µε το 5; Ένας αριθµός διαιρείται µε το 5 όταν το τελευταίο ψηφίο του είναι 0 ή 5. Άρα θα πρέπει υποχρεωτικά να τοποθετήσουµε στη θέση του τελευταίου ψηφίου τον αριθµό 5 και στη συνέχεια να τοποθετήσουµε τους υπόλοιπους αριθµούς στις θέσεις των υπόλοιπων ψηφίων. Συνεπώς το πρόβληµα ανάγεται στο παρακάτω: "Με πόσους τρόπους µπορούµε να τοποθετήσουµε τους υπόλοιπους αριθµούς στις τρειςυπόλοιπες θέσεις;" Η απάντηση είναι P(5,3)=5 4 3=60. διατάξεων Ένας τροµοκράτης έχει τοποθετήσει µία πυρηνική βόµβα και εσείς πρέπει να την απενεργοποιήσετε κόβoντας τρία συγκεκριµένα από τα 10 καλώδιά της, και µάλιστα µε τη σωστή σειρά! Αλλιώς... Πόσα διαφορετικά κοψίµατα υπάρχουν; Επιλογή διαφορετικών τριάδων (καλώδια) από 10 διαφορετικά αντικείµενα (καλώδια): P(10,3) = 10 9 8 = 720 13 14 ιατάξεις µε επανάληψη ιατάξεις µε επανάληψη 3 η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: n διαθέσιµα αντικείµενα Τα n αντικείµενα είναι διαφορετικά µεταξύ τους. Επιλέγουµε k αντικείµενα Κάθε φορά που επιλέγουµε ένα αντικείµενο, το ξαναρίχνουµε µέσα στο σακούλι (ΜΕ επανάθεση) Μας ενδιαφέρει η σειρά µε την οποία επιλέγουµε τα αντικείµενα. Μεπόσους τρόπους µπορούµε να εκτελέσουµε αυτό το πείραµα; (ότι είναι µε κόκκινο είναι η διαφοροποίηση από την ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 15 kπειράµατα i-πείραµα : «επέλεξε τo i αντικείµενο» Με βάση τον κανόνα του γινοµένου έχουµε: Για την 1ηεπιλογή αντικειµένου έχουµε n ενδεχόµενα, Για την 2ηεπιλογή αντικειµένου έχουµε n ενδεχόµενα, (λόγω της επανάθεσης) Για την 3ηεπιλογή αντικειµένου έχουµε n ενδεχόµενα, (λόγω της επανάθεσης), και για την k-οστή επιλογή αντικειµένου έχουµε n ενδεχόµενα. Συνεπώς υπάρχουν n n n = n k διαφορετικά ενδεχόµενα. 16 4
Έστω ένας δυαδικός αριθµός µε k bits. Πόσους διαφορετικούς αριθµούς µπορώ να αναπαραστήσω µε αυτόν; Κάθε ψηφίο του δυαδικού αριθµού µπορεί να πάρει n=2 τιµές (0 ή 1). Έχω στο «σακούλι» τα 0 και 1. Για το 1ο ψηφίο του αριθµού έχω n=2 επιλογές. Για το 2ο ψηφίο του αριθµού έχω n=2 επιλογές. Για το k ψηφίο του αριθµού έχω n=2 επιλογές. Άρα, µπορώ να αναπαραστήσω 2 2 2 2 = 2 k αριθµούς Έστω ένα σύνολο Α µε k στοιχεία. Πόσες διαφορετικές σχέσεις µπορώ να ορίσω επί του Α; Η αναπαράσταση της σχέσης ως πίνακας έχει k k στοιχεία. Καθένα από αυτά µπορεί να πάρει µία από 2 τιµές (0 ή 1). Έχω στο «σακούλι» τα 0 και 1. Για το (1,1) στοιχείο του πίνακα της σχέσης έχω 2 επιλογές. Για το (1,2) στοιχείο του πίνακα της σχέσης έχω 2 επιλογές. Για το (k,k) στοιχείο του πίνακα της σχέσης έχω 2 επιλογές. Άρα ο συνολικός αριθµός των διαφορετικών σχέσεων είναι 2 2 2 2 = 2 k k 17 18 Με πόσους τρόπους είναι δυνατόν να προγραµµατιστούν 3 διαγωνίσµατα σε µία περίοδο 5 ηµερών, χωρίς περιορισµό στον αριθµό των διαγωνισµάτων που προγραµµατίζονται για την ίδια ηµέρα; Έχω στο «σακούλι» τις 5 ηµέρες Επιλέγω την ηµέρα του 1 ου διαγωνίσµατος. Αυτό µπορεί να προγραµµατιστεί σε οποιαδήποτε από τις 5 ηµέρες. Επιλέγω την ηµέρα του 2 ου διαγωνίσµατος. Αυτό µπορεί να προγραµµατιστεί σε οποιαδήποτε από τις 5 ηµέρες. Επιλέγω την ηµέρα του 3 ου διαγωνίσµατος. Αυτό µπορεί να προγραµµατιστεί σε οποιαδήποτε από τις 5 ηµέρες. Άρα υπάρχουν 5 3 =125 διαφορετικοί τρόποι Με πόσους τρόπους είναι δυνατόν να προγραµµατιστούν τρία διαγωνίσµατα σε µία περίοδο πέντε ηµερών, έτσι ώστε να µην έχουν προγραµµατιστεί περισσότερα από ένα διαγωνίσµατα για την ίδια ηµέρα; υνατές τοποθετήσεις 3 διαφορετικών διαγωνισµάτων σε 5 διαφορετικές ηµέρες P(5,3)=5 4 3=60. 19 20 5
Συνδυασµοί Με πόσους τρόπους µπορούµε να σχηµατίσουµε συµβολοσειρές από τέσσερα γράµµατα; Το «σακούλι» έχει τα 24 γράµµατα. Κάθε φορά επιλέγουµε το γράµµα που θα µπει σε καθεµία από τις 4 θέσεις της συµβολοσειράς και µετά ξαναρίχνουµε το γράµµα στο «σακούλι» Άρα ο συνολικός αριθµός των διαφορετικών συµβολοσειρών µε τέσσερα γράµµατα είναι 24 24 24 24=331776. (Θυµηθείτε, στο ίδιο παράδειγµα, όταν δεν επιτρέπαµε την επανάληψη ενός χαρακτήρα στη συµβολοσειρά, είχαµε βρει ότι υπάρχουν P(24,4) =255024 συµβολοσειρές) 21 4 η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: n διαθέσιµα αντικείµενα Τα n αντικείµενα είναι διαφορετικά µεταξύ τους. Επιλέγουµε k n αντικείµενα Κάθε φορά που επιλέγουµε ένα αντικείµενο, δεν το ξαναρίχνουµε µέσα στο σακούλι (ΧΩΡΙΣ επανάθεση) ΕΝ µας ενδιαφέρει η σειρά µε την οποία επιλέγουµε τα αντικείµενα. Μεπόσους τρόπους µπορούµε να εκτελέσουµε αυτό το πείραµα; (ότι είναι µε κόκκινο είναι η διαφοροποίηση από την ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3. Ωστόσο, σε σχέση µε την ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2, η µόνη διαφοροποίηση είναι η αδιαφορία για τη σειρά) 22 Συνδυασµοί Συνδυασµοί Αν µας ενδιέφερε η σειρά, ξέρουµε ήδη την απάντηση (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2): Οι διαφορετικές διατάξεις k αντικειµένων από n διαφορετικά αντικείµενα είναι: n! P( n, k) = ( n k)! Ωστόσο, εφόσον δεν µας ενδιαφέρει η σειρά µε την οποία επιλέγουµε τα αντικείµενα, όλες οι k! µεταθέσεις kαντικειµένων είναι ισοδύναµες Άρα οι δυνατοί συνδυασµοί είναι: P( n, k) n! n C( n, k) = = = k! k!( n k)! k 23 Προσέξτε ότι εφόσον δεν µας ενδιαφέρει η διάταξη, ουσιαστικά δεν ζητάµε να βρούµε πόσες διαφορετικές διατεταγµένες k-άδεςµπορούµε να φτιάξουµε από αυτό αλλά πόσα υποσύνολα πληθικού αριθµού k. Συνεπώς, σε ένα σύνολο µε πληθικό αριθµό n υπάρχουν C(n, k) υποσύνολα πληθικού αριθµού k. 24 6
συνδυασµών Πόσα διαφορετικές 7-άδες χαρτιών µπορoύµε να τραβήξουµε από µία τυπική τράπουλα µε 52 χαρτιά; υπονοώντας ότι σε ένα τυπικό παιχνίδι, δεν µας ενδιαφέρει η σειρά µε την οποία µας µοιράστηκαν τα χαρτιά, αλλά το ποια χαρτιά τελικά έχουµε στα χέρια µας συνδυασµών Πόσα διαφορετικές 7-άδες χαρτιών µπορoύµε να τραβήξουµε από µία τυπική τράπουλα µε 52 χαρτιά; Εφόσον η σειρά (διάταξη) των χαρτιών σε µία 7-άδα δεν έχει σηµασία, το ζητούµενο πλήθος είναι 52 52! 52! C(52, 7) = 7 = = = 7!(52 7)! 7!45! 45!46 47 48 49 50 51 52 = = 133,784,560 7!45! 25 26 ιαφορά µεταξύ διατάξεων και συνδυασµών Πόσα passwords τριών διαφορετικών χαρακτήρων µπορούν να φτιαχτούν από δέκα χαρακτήρες; P(10, 3) = 10 9 8=720. Η σειρά των χαρακτήρων έχει σηµασία! Σε ένα σύνολο δέκα ανθρώπων, πόσες τριµελείς επιτροπές µπορούµε να ορίσουµε αν δεν υπάρχει διάκριση των µελών της επιτροπής; C(10, 3) = 10!/(7!3!)=120 συνδυασµών : Έστωότι θέλουµε τιςτρεις από τιςεπτά ηµέρες της εβδοµάδας να φάµε κρέας. Με πόσους τρόπους µπορούµε να προγραµµατίσουµε το εβδοµαδιαίο µενού; Πρέπει να προγραµµατίσουµε κρέας ως το φαγητό που θα πρέπει να φάµε σε 3 από τις 7 ηµέρες. Εποµένως, µας ενδιαφέρει ουσιαστικά πόσα διαφορετικά υποσύνολα 3 ηµερών µπορούµε να δηµιουργήσουµε από τις 7 διαφορετικές ηµέρες. Άρα υπάρχουν C(7, 3)=7!/(3!4!) διαφορετικοί προγραµµατισµοί του µενού. 27 28 7
Σηµειώστε ότι Συνδυασµοί n n! n! n C( n, k) = = = = = C( n, n k) k k!( n k)! ( n k)! k! n k...γιατί κάθε επιλογή k στοιχείων που ανήκουν σε ένα υποσύνολο των n στοιχείων υπάρχει µία αντίστοιχη επιλογή n-k στοιχείων που δεν ανήκουν σε αυτό! Συνδυασµοί µε επανάθεση 5 η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: n διαθέσιµα αντικείµενα Τα n αντικείµενα είναι διαφορετικά µεταξύ τους. Επιλέγουµε k αντικείµενα Κάθε φορά που επιλέγουµε ένα αντικείµενο, το ξαναρίχνουµε µέσα στο σακούλι (ΜΕ επανάθεση) ΕΝ µας ενδιαφέρει η σειρά µε την οποία επιλέγουµε τα αντικείµενα. Μεπόσους τρόπους µπορούµε εκτελέσουµε αυτό το πείραµα; (ό,τι είναι µε κόκκινο είναι η διαφοροποίηση από την ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4) 29 30 Συνδυασµοί µε επανάθεση Συνδυασµοί µε επανάθεση Έστω ότι έχουµε n=5 είδη παγωτού, µπανάνα, σοκολάτα, λεµόνι, φράουλακαι βανίλια και ότι µπορείτε να παραγγείλετε k=3 µπάλες. Πόσες εναλλακτικές παραγγελίες υπάρχουν; Έστω ότι αναπαριστούµε τις γεύσεις µε γράµµατα: {µ, σ, λ, φ, β}. Παραδείγµατα επιλογών θα ήταν τα ακόλουθα {σ, σ, σ} (3 µπάλες σοκολάτα) {µ, λ, β} (µπανάνα, λεµόνι, βανίλια) {µ, β, β} (µπανάνα, βανίλια, βανίλια) Η διάταξη δεν έχει σηµασία, και η επανάληψη επιτρέπεται! 31 Μία διαφορετική αναπαράσταση: Θεωρείστε ότι οι γεύσεις είναι σε δοχεία και ότι O = «επιλέγω από το τρέχον δοχείο» Χ = «µετακινούµαι στο επόµενο δοχείο» εδοµένου ότι ξεκινάµε από το 1 ο δοχείο, πρέπει να κάνουµε 4 µετακινήσεις και 3 επιλογές παγωτού εδοµένων των γεύσεων/δοχείων {µ, σ, λ, φ, β}, έχουµε: {σ, σ, σ} : ΧΟΟΟΧΧΧ {µ, λ, β} : ΟΧΧΟΧΧΟ {µ, β, β} : ΟΧΧΧΧΟΟ Το πρόβληµα τώρα ανάγεται στην εύρεση των υποσυνόλων πληθικού αριθµού k ενός συνόλου που έχει n+k-1αντικείµενα 32 8
Συνδυασµοί µε επανάθεση Η συνολική εικόνα µέχρι τώρα... Εποµένως, το πλήθος των επιλογών του νέου προβλήµατος είναι: n+ k 1 ( n+ k 1)! C( n+ k 1, k) = = k k!( n 1)! Π3 Π1, Π2 Π5 Π4 33 34 Με πόσους τρόπους µπορούµε να βάψουµε 12 γραφεία, έτσι ώστε 3 από αυτά να είναικόκκινα, 2 από αυτά µπλε, και 4 από αυτά πράσινα; Με πόσους τρόπους µπορώ να βάψω κόκκινα 3 από τα 12 γραφεία; Με πόσους τρόπους µπορώ να βάψωµπλε 2 από τα 9 γραφεία που θα περισσέψουν; Με πόσους τρόπους µπορώ να βάψωπράσινα 4 από τα 7 γραφεία που θα περισσέψουν; Με πόσους τρόπους µπορούµε να βάψουµε 12 γραφεία, έτσι ώστε 3 από αυτά να είναικόκκινα, 2 από αυτά µπλε, και 4 από αυτά πράσινα; Με πόσους τρόπους µπορώ να βάψω κόκκινα 3 από τα 12 γραφεία; C(12, 3) Με πόσους τρόπους µπορώ να βάψωµπλε 2 από τα 9 γραφεία που θα περισσέψουν; C(9, 2) Με πόσους τρόπους µπορώ να βάψωπράσινα 4 από τα 7 γραφεία που θα περισσέψουν; C(7, 4). Από τον κανόνα του γινοµένου, προκύπτουν C(12, 3) C(9, 2) C(7, 4) τρόποι 35 36 9
Για να δούµε πόσοι είναι αυτοί Με πόσους τρόπους µπορούµε να βάψουµε 12 γραφεία, έτσι ώστε 3 από αυτά να είναικόκκινα, 2 από αυτά µπλε, και 4 από αυτά πράσινα; 12 9 7 C(12, 3) C(9, 2) C(7, 4) = = 3 2 4 12! 9! 7! 12! P(12,9) = = = 3!9! 2!7! 4!3! 3!2!4!3! 3!2!4! Ερµηνεία Με πόσους τρόπους µπορούµε να βάψουµε 12 γραφεία, έτσι ώστε 3 από αυτά να είναικόκκινα, 2 από αυτά µπλε, και 4 από αυτά πράσινα; Υπάρχουν P(12, 9)=12!/3! τρόποι να βάψουµε µε 9 διαφορετικά χρώµατα, 9 από τα 12 γραφεία. Επειδή 3 από αυτά θα είναι κόκκινα, 2 από αυτά µπλε, και 4 από αυτά πράσινα, θα πρέπει να διαιρέσουµε αυτό το πλήθος, µε το πλήθος των µεταθέσεων των διαφορετικών οµοίων χρωµάτων 12!/(3!3!2!4!)= 479.001.600/(6x6x2x24)= 479.001.600/864=554400 τρόποι 37 38 Γενικά Επιλέγουµε kαπό n αντικείµενα Τα n αντικείµενα δεν είναι όλα ίδια µεταξύ τους, αλλά χωρίζονται σε t οµάδες ίδιων αντικειµένων Οµάδα 1 q 1 ίδια αντικείµενα Οµάδα 2q 2 ίδια αντικείµενα Οµάδα tq t ίδια αντικείµενα Πόσοι είναι οι διαφορετικοί τρόποι επιλογής: P( n, q ) P( n, k)!!...!!!...! t 1 i i= 1 1 1 2 i t = = i= 1 q1 q2 qt q1 q2 qt C( n, q ) C( n q, q )... C( n q, q ) t 39 40 10