Θέµατα Άλγεβρας Γεικής Παιδείας Β Λυκείου 000 Ζήτα ο Α.. Να γράψετε το τύο ου δίει το ιοστό όρο α µιας αριθµητικής ροόδου (α ) ου έχει ρώτο όρο α και διαφορά ω. (Μοάδες ) Α.. Να γράψετε τη σχέση µεταξύ τω ραγµατικώ αριθµώ α, β, γ, έτσι ώστε οι αριθµοί αυτοί, µε τη σειρά ου σας δίοται, α είαι διαδοχικοί όροι αριθµητικής ροόδου. (Μοάδες ) Α.. Να αοδείξετε ότι το άθροισµα S τω ρώτω όρω µιας γεωµετρικής ροόδου (α ), ου έχει ρώτο όρο α και λόγο λ, είαι: S α λ λ (Μοάδες 6,5) Β.. Στη στήλη Α δίεται ο ρώτος όρος α και η διαφορά ω τριώ αριθµητικώ ροόδω και στη στήλη Β ο ιοστός όρος α τεσσάρω αριθµητικώ ροόδω. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της στήλης Α και δίλα σε κάθε γράµµα το αριθµό της στήλης Β ου ατιστοιχεί στο σωστό ιοστό όρο. Στήλη Α Στήλη Β α. α, ω. α β. α 0, ω. α γ. α, ω. α. α (Μοάδες 6) Β.. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθού γράφοτας στο τετράδιό σας τη έδειξη Σωστό ή Λάθος δίλα στο γράµµα ου ατιστοιχεί σε κάθε ρόταση. α. Οι αριθµοί 5, 5, 5, µε τη σειρά ου σας δίοται, είαι διαδοχικοί όροι αριθµητικής ροόδου. β. Ο εικοστός όρος της αριθµητικής ροόδου 0, 7, είαι ίσος µε 0. γ. Σε κάθε αριθµητική ρόοδο (α ) για τους όρους της α, α, α 6 ισχύει η σχέση α, α α 6. (Μοάδες,5) Β.. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα ου ατιστοιχεί στη σωστή αάτηση. Α σε µια γεωµετρική ρόοδο ο ρώτος όρος είαι ίσος µε και ο λόγος ίσος µε, τότε το άθροισµα τω ρώτω όρω της είαι ίσο µε:
A.. Β.. Γ.... Ε. καέα αό τα ροηγούµεα. (Μοάδες ) Αάτηση: Α..Ο τύος ου δίει το ιοστό όρο µιας αριθµητικής ροόδου µε ρώτο όρο α και διαφορά ω είαι: α α ( )ω. Α.. Η σχέση ου συδέει τρεις διαδοχικούς όρους µιας αριθµητικής ροόδου είαι: β α γ β (αγ)/ Α.. Έστω α, α, α,, α οι ρώτοι διαδοχικοί όροι µιας γεωµετρικής ροόδου. Τότε το άθροισµα τους S θα είαι: S α α α α S α α λ α λ α λ () Πολλαλασιάζουµε τα µέλη της () εί λ και έχουµε: λ S α λ α λ α λ () Αφαιρούµε αό τη σχέση () τη σχέση () και έχουµε: λs S α λ α (λ )S α (λ ) S α (λ )/(λ ), αφού λ. Β.. Ο ιοστός όρος µιας αριθµητικής ροόδου δίεται αό το τύο: α α ( )ω. Ατικαθιστούµε σ αυτό τις τιµές τω α και ω της στήλης Α και βρίσκουµε: α.α α και ω τότε: α ( ) () α. β. Α α 0 και ω τότε: α 0 ( ) α.
Β.. γ. Α α και ω τότε: Εοµέως: α ( ) () α. α, β, γ α. Έχουµε α 5, β 5, γ 5. Για α είαι οι αριθµοί α, β και γ διαδοχικοί όροι αριθµητικής ροόδου, ρέει: β γ α 5 5 (5), ου ισχύει. Άρα η ρόταση είαι σωστή. β. Η αριθµητική ρόοδος έχει α 0, ω, οότε: α 0 α (0 )ω 0 9 () α 0 7, άρα η ρόταση είαι λάθος. γ. Αφού έχουµε αριθµητική ρόοδο, θα ισχύει: Εοµέως: α α ω, α α ω, α 6 α 5ω. Τότε: α α α 6 (α ω) α ω α 5ω, ου ισχύει, άρα η ρόταση είαι σωστή. α Σ, β Λ, γ Σ Β.. Έχουµε γεωµετρική ρόοδο µε α και λ, οότε: S λ α λ Άρα η σωστή αάτηση είαι η Β. Ζήτα ο ίεται το ολυώυµο: P(x) αx (β )x x β 6 Όου α, β ραγµατικοί αριθµοί.
α) Α ο αριθµός είαι ρίζα του ολυωύµου P(x) και το υόλοιο της διαίρεσης του P(x) µε το x είαι ίσο µε, τότε α δείξετε ότι α και β. (Μοάδες 5) β) Για τις τιµές τω α και β του ερωτήµατος (α), α λύσετε τη εξίσωση P(x) 0 (Μοάδες 0) Αάτηση: α) Εειδή ο αριθµός x είαι ρίζα του ολυωύµου P(x) θα έχουµε Ρ() 0, κι αφού η διαίρεση του P(x) µε το x αφήει υόλοιο, έχουµε: Ρ(). Οότε: P() 0 P() α (β ) β 6 0 α (β ) β 6 α β α β 6 α β Για τις τιµές α και β το ολυώυµο P(x) γράφεται: P(x) x x x. β) P(x) 0 x x x 0 (x ) x(x ) 0 (x )(x x ) x(x ) 0 (x )(x x x) 0 (x )(x 5x ) 0 x 0 ή x 5x 0 x x ή ή x Άρα: x ή x ή x (/). Ζήτα ο ίεται η συάρτηση: όου x ραγµατικός αριθµός. f(x) xσυx x συ x α) Να µετατρέψετε τη συάρτηση f στη µορφή f(x) ρ(x φ) κ, όου ρ, φ, κ ραγµατικοί αριθµοί και ρ > 0. (Μοάδες 9) β) Να βρείτε για οιες τιµές του x η συάρτηση f αίρει τη µέγιστη τιµή και οια είαι αυτή. (Μοάδες 6)
γ) Να λύσετε τη εξίσωση στο διάστα [0, ]. f(x) f x (Μοάδες 0) Αάτηση: α) Γωρίζουµε ότι: x xσυx, συx x,συ x συx οότε: f(x) xσυx x συ x συx f(x) x συx f(x) x συx συx f(x) x συx. Έστω g(x) x συx, x R. Τότε: ρ α β ( ) () φ β ρ () α συφ ρ () Αό τις () και () ροκύτει ότι: φ Εοµέως: και g(x) x f(x) x 5
6 β) Η f αίρει τη µέγιστη τιµή ότα το x γίεται µέγιστο, δηλαδή ότα το ίτοο είαι ίσο µε. Εοµέως ρέει: x x Ζ κ,µε κ x κ x Ζ κ,µε κκ x Ζ κ,µε κ x Τότε η µέγιστη τιµή είαι: Ζ κ,µε κ f κ f x f f(x) γ) x x x x x x συx συ x συx συ x συx συx συx συx
συx συ x κ ±, όου κ Ζ x κ ±, όου κ Ζ Όµως, x [0, ] δηλαδή 0 x. Εοµέως: A x κ : 0 κ,µ ε κ Ζ κ 5, µε κ Ζ 5 κ,µε κ Ζ άρα κ 0 και x Α x κ : 0 κ,µε κ Ζ κ,µ ε κ Ζ κ, µε κ Ζ άρα κ και 5 x Ζήτα ο Έας αριθµός βακτηριδίω τριλασιάζεται σε αριθµό κάθε µία ώρα. Α. Α αρχικά υάρχου 0 βακτηρίδια, α βρείτε το λήθος τω βακτηριδίω ύστερα αό 6 ώρες. (Μοάδες 9) Β. Στο τέλος της έκτης ώρας ο ληθυσµός τω βακτηριδίω ψεκάζεται µε µια ουσία η οοία σταµατά το ολλαλασιασµό τους και συγχρόως ροκαλεί τη καταστροφή 0 βακτηριδίω αά ώρα. 7
. Να βρείτε το λήθος τω βακτηριδίω ου αοµέου 0 ώρες µετά το ψεκασµό. (Μοάδες ). Μετά αό όσες ώρες αό τη στιγµή του ψεκασµού θα καταστραφού όλα τα βακτηρίδια; (Μοάδες ) Αάτηση: Α. Εειδή ο ληθυσµός τω βακτηριδίω τριλασιάζεται κάθε ώρα, σείει ότι αοτελεί γεωµετρική ρόοδο µε λόγο λ. Εειδή αρχικά έχουµε 0 βακτηρίδια, στο τέλος της ρώτης ώρας θα υάρχου 0 βακτηρίδια, άρα α 0. Εοµέως: α α λ α 0 και: α 6 0 6 0 5 0 α 6 7.90 βακτηρίδια. Β.. Εειδή µε το ψεκασµό καταστρέφοται 0 βακτηρίδια, σε 0 ώρες θα έχου καταστραφεί: 0 0 7 00 5.00 βακτηρίδια. Άρα αοµέου: 7.90 5.00.90 βακτηρίδια. Β.. Έστω ότι τα βακτηρίδια καταστρέφοται µετά αό t ώρες. Τότε θα ρέει: t 0 7.90 70t 7.90 t 7.90/70 t 7 ώρες Εοµέως όλα τα βακτηρίδια θα έχου καταστραφεί µετά αό 7 ώρες.