ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Λουτσία ΚΑΡΑΠΙΤΤΑ 1, Χάρης ΜΟΥΖΑΚΗΣ 2, Παναγιώτης ΚΑΡΥ ΗΣ 3

3 o Πανλλήνιο Συνέδριο Αντισισµικής Μηχανικής & Τχνικής Σισµολογίας 5 7 Νοµβρίου, 8 Άρθρο 41 Καταστατικά προσοµοιώµατα για την ανάλυση άοπλης τοιχοποιίας σ ανακυκλιζόµνη φόρτιση Constitutive models for the analysis of unreinforced masonry under cyclic loading Λουτσία ΚΑΡΑΠΙΤΤΑ 1, Χάρης ΜΟΥΖΑΚΗΣ, Παναγιώτης ΚΑΡΥ ΗΣ 3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στην παρούσα ργασία, παρουσιάζονται δύο καταστατικά προσοµοιώµατα για την ανάλυση άοπλης τοιχοποιίας µ τη µέθοδο των ππρασµένων στοιχίων, η οποία υπόκιται σ ανακυκλιζόµνη ένταση ντός του πιπέδου. Τα προσοµοιώµατα αναπτύσσονται στις δύο διαστάσις για πίπδη ντατική κατάσταση. Στο πρώτο προσοµοίωµα οι υπολογισµοί γίνονται µ βάση τις συνολικές κύρις τροπές, ακολουθώντας τη µέθοδο της πριστρφόµνης κατανµηµένης ρωγµής και οι τάσις υπολογίζονται στο σύστηµα των κύριων τροπών. Στο δύτρο προσοµοίωµα η συµπριφορά της τοιχοποιίας σ φλκυσµό και θλίψη λέγχται µέσω των ορθών τροπών, νώ µέσω της διατµητικής τροπής γίνται ο έλγχος της συµπριφοράς του υλικού έναντι διάτµησης. Οι σχέσις τάσωντροπών σ φλκυσµό, θλίψη και διάτµηση οι οποίς πριγράφουν τα κύρια χαρακτηριστικά της συµπριφοράς του υλικού σ φόρτιση και αποφόρτιση, ίναι απαραίτητς για την φαρµογή των προσοµοιωµάτων. Αναλύσις τοίχων µ τα προτινόµνα καταστατικά προσοµοιώµατα συγκρίνονται µ πιραµατικά αποτλέσµατα.. ABSTRACT : Two constitutive models for finite elements analysis of unreinforced masonry structures subjected to cyclic in-plane loading are presented. The proposed models are implemented into two dimensional finite elements, for plane stress state. The first model is based on co-axial total strain rotating smeared crack model with two orthogonal cracks. The second model is based on total strains in material global system, where cracking and crushing are controlled through normal strains and shear is controlled through shear strain. Separate hysteretic rules are adopted for each mode of damage. The accuracy and reliability of the proposed constitutive models are examined through their ability to predict experimental results and different types of cyclic response of masonry walls. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η πρώτη προσπάθια αριθµητικής προσοµοίωσης της συµπριφοράς της τοιχοποιίας άρχισ στο τέλος της δκατίας του 7 από τους Page (1978) και Samarasinghe et al. (198) µτά από ένα κτταµένο ρυνητικό πρόγραµµα. Τα προσοµοιώµατα αυτά ίχαν στηριχθί στα προσοµοιώµατα τα οποία αναπτύχθηκαν στο τέλος της δκατίας του 6 για την πριγραφή της συµπριφοράς του σκυρόδµατος (Ngo and Scordelis (1967), Rashid (1968)) και άλλων 1 Πολιτικός Μηχανικός, Ι ΑΧ, Εθνικό Μτσόβιο Πολυτχνίο, email: klucia@central.ntua.gr Επίκουρος Καθηγητής, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Ε.Μ. Πολυτχνίο, email: harrismo@central.ntua.gr 3 Καθηγητής, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μτσόβιο Πολυτχνίο, email: pcarydis@central.ntua.gr

ψαθυρών υλικών (βραχώδη δάφη) µ αριθµητικές µθόδους. Στις αναλύσις µ τη χρήση της µθόδου των ππρασµένων στοιχίων, διακρίνονται δύο µέθοδοι για την προσοµοίωση νός ρηγµατωµένου µέσου: η µέθοδο των διακριτών ρωγµών όπου η ρωγµή αποτλί µια γωµτρική ασυνέχια και η µέθοδο των κατανµηµένων ρωγµών όπου µια ρωγµή αποτλίται από πολλές µικροασυνέχις οι οποίς «διαχέονται» σ µια ζώνη και το ρηγµατωµένο υλικό αντιµτωπίζται ως συνχές µέσο. Μ τη µέθοδο των διακριτών ρωγµών ισάγονται στο δίκτυο των ππρασµένων στοιχίων ασυνέχις στις θέσις όπου σχηµατίζονται οι ρωγµές και κάθ πιµέρους υλικό που συνθέτι την τοιχοποιία (λιθόσωµα, αρµός κονιάµατος και διπιφάνια λιθοσώµατος-αρµού), πριγράφται µ διαφορτικό ππρασµένο στοιχίο (µικρο-προσοµοίωµα). Μ τη µέθοδο των κατανµηµένων ρωγµών, η τοιχοποιία προσοµοιάζται ως ένα οµογνοποιηµένο σύνθτο ισότροπο ή ανισότροπο υλικό, το οποίο πριγράφται από ένα τύπο ππρασµένου στοιχίου (µάκρο-προσοµοίωση). Ανάλογα µ τον τρόπο µ τον οποίο υπολογίζται η µτλαστική συµπριφορά της τοιχοποιίας, τα µίκρο και µάκρο προσοµοιώµατα διαχωρίζονται:(α): στα προσοµοιώµατα τα οποία βασίζονται στη µηχανική της θραύσης (σταθρή κατανµηµένη ρωγµή, πριστρφόµνη κατανµηµένη ρωγµή, σταθρή κατανµηµένη ρωγµή πολλών διυθύνσων), (β): στα προσοµοιώµατα τα οποία βασίζονται στη θωρία της πλαστικότητας και (γ): στα προσοµοιώµατα τα οποία βασίζονται στη θωρία βλαβών (damage theory). Όλα τα προαναφρόµνα καταστατικά προσοµοιώµατα έχουν χρησιµοποιηθί µ πιτυχία για την κτίµηση της συµπριφοράς τοιχοποιίας έναντι στατικών µονοτονικών φορτίσων (Lofti και Shing, (1991, 1994), Lourenco et al. (1995, 1997), Pegon και Anthoine (1994)). Λίγς προσπάθις καταγράφονται στη βιβλιογραφία για την ανάπτυξη προσοµοιώµατων τοιχοποιίας κατάλληλα για ανακυκλιζόµνς δράσις (Gambarotta και Logomarsino (1997), Oliveira και Lourenco (4), Casolo και Pena (7)). Γνικά, για να ληφθί υπόψη η συµπριφορά τοιχοποιίας σ ανακυκλιζόµνη φόρτιση σ ένα καταστατικό νόµο, φαινόµνα όπως το άνοιγµα /κλίσιµο των ρωγµών υπό θλιπτικό φορτίο, η σταδιακή µίωση των µηχανικών χαρακτηριστικών του υλικού µ την αύξηση των κύκλων φόρτισης, η παραµένουσα παραµόρφωση υπό µηδνική φλκυστική τάση κατά την αποφόρτιση και όλς οι πιθανές διαδροµές των τάσων/τροπών όπως η µρική αποφόρτιση, ή η µρική παναφόρτιση πρέπι να πριγάφονται µέσα από τη σχέση τάσων τροπών. Επιπλέον, το καταστατικό προσοµοίωµα πρέπι να ίναι ικανό να προβλέπι τόσο τη διατµητική όσο και τη καµπτική συµπριφορά νός τοίχου. Σκοπός της συγκγκριµένης ργασίας ίναι η ανάπτυξη καταστατικού προσοµοιώµατος κατάλληλου για την ανάλυση άοπλης τοιχοποιίας σ ανακυκλιζόµνη φόρτιση. Αρχικά αναπτύσσται ένα προσοµοίωµα το οποίο στηρίζται στη µηχανική της θραύσης και στο προσοµοίωµα της πριστρφόµνης κατανµηµένης ρωγµής και πριγράφονται οι απαραίτητς σχέσις τάσων- τροπών. Ακολουθί ο έλγχος αξιοπιστίας του καταστατικού προσοµοιώµατος µέσω παλήθυσης πιραµατικών αποτλσµάτων, ο οποίος δν οδήγησ στα πιθυµητά αποτλέσµατα. Για το λόγο αυτό αναπτύσσται ένα καινούργιο προσοµοίωµα όπου µέσω των ορθών τροπών xx, yy στο καθολικό σύστηµα x-y λέγχται η συµπριφορά του υλικού σ φλκυσµό (θτική τροπή) και θλίψη (αρνητική τροπή), νώ µέσω της διατµητικής τροπής γίνται ο έλγχος της συµπριφοράς του υλικού έναντι διάτµησης.

Και τα δύο προσοµοίωµα αναπτύχθηκαν χρησιµοποιώντας την υπορουτίνα Vumat του λογισµικού Abaqus/Explicit (Abaqus 6.4-1) για ντατική κατάσταση δισδιάστατης πίπδης έντασης. Η πίλυση των δυναµικών ξισώσων ακολουθί τη ρητή ολοκλήρωση (explicit dynamic). Η µέθοδος αυτή ίναι κατάλληλη για την πίλυση δυναµικών φαινοµένων τα οποία πραγµατοποιούνται σ υψηλές συχνότητς, µπορί όµως να χρησιµοποιηθί και για την πίλυση ψυδο-στατικών (quasi-static) προβληµάτων. Πλονκτήµατα της µθόδου ίναι ότι δν απαιτίται η µόρφωση του µητρώου ακαµψίας και δν κτλούνται σωτρικές παναλήψις, νώ το φορτίο πιβάλλται σ πολύ µικρά βήµατα. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΗΣ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΗΣ ΡΩΓΜΗΣ Σύµφωνα µ το προσοµοίωµα αυτό, οι υπολογισµοί γίνονται µ βάση τις συνολικές κύρις τροπές (Feenstral et al. (1998), He et al. (6)) και οι τάσις υπολογίζονται σύµφωνα µ τη Modified Compression Filed Theory (Vecchio and Collins, 1986). Κύρια παραδοχή του προσοµοιώµατος ίναι ότι το σύστηµα των κύριων τάσων ταυτίζται µ το σύστηµα των κύριων τροπών (Cope et al., 198). Επίσης, η µίωση της ακαµψίας λόγω αστοχίας σ φλκυσµό και θλίψη θωρίται ότι ξαρτάται από τη διύθυνση φόρτισης/αποφόρτισης/παναφόρτισης και οι δύο µορφές αστοχίας δν ίναι συζυγµένς. Μια ρωγµή δηµιουργίται όταν η κύρια φλκυστική τροπή υπρβί την φλκυστική τροπή αστοχίας. Η ρωγµή σχηµατίζται σ πίπδο κάθτο προς τη µέγιστη τροπή. Το υλικό από ισότροπο, µτατρέπται σ µη γραµµικό ορθότροπο µ άξονς ορθοτροπίας n-s, όπου ο άξονας n ίναι κάθτος στο πίπδο της ρωγµής και ο άξονας s παράλληλος προς αυτήν (Σχήµα 1). Αντίστοιχα συµβαίνι µ την αστοχία σ θλίψη, όταν η κύρια θλιπτική τροπή υπρβί την λάχιστη θλιπτική τροπή αστοχίας/διαρροής. Οι κύρις τροπές υπολογίζονται στο σύστηµα n-s µέσω της ακόλουθης σχέσης: όπου nn ns = ss, = xx yy, ( ϕ) = T( ϕ) ns ( φ ) = T (1) cosϕ sinϕ cosϕ sinϕ 1 Τ = sinϕ cosϕ cosϕ sinϕ () cosϕ sinϕ cosϕ sinϕ cosϕ sinϕ Η γωνία φ µταξύ καθολικού συστήµατος x-y και τρέχοντος συστήµατος κυρίων τροπών n-s, υπολογίζται από την ακόλουθη σχέση: 1 γ 1 φ= arctan = arctan (3) xx yy xx yy 3

y s n Σχήµα 1. Προσοµοίωµα πριστρφόµνης ρωγµής: Καθολικό σύστηµα x-y, σύστηµα κύριων τροπών n-s. x Oι τάσις σnsστο τοπικό σύστηµα υπολογίζονται συναρτήσι των κύριων τροπών µέσω της συνάρτησης F ( ns) µ την οποία πριγράφται η συµπριφορά της τοιχοποιίας έναντι θλίψης /φλκυσµού ανάλογα µ τη φάση φόρτισης (φόρτιση, αποφόρτιση, παναφόρτιση). Για να ληφθί υπόψη η πίδραση του λόγου Poisson και η µταβολή της έντασης σ µια διύθυνση λόγω παραµόρφωσης σ γκάρσια διύθυνση, οι κύρις τροπές ns αντικαθίστανται από τις ισοδύναµς κύρις τροπές ns (Feenstra et al., 1998) µέσω της ακόλουθης σχέσης: nn ss 1 = 1 ν ν 1 ν ν 1 ν 1 1 ν nn ss (4) Μ τον τρόπο αυτό οι τάσις στο τοπικό σύστηµα n-s δν ίναι συζυγµένς και ο υπολογισµός τους γίνται συναρτήσι της αντίστοιχης ισοδύναµης κύριας τροπής ns χρησιµοποιώντας µονοαξονικές σχέσις τάσων τροπών σ θλίψη και φλκυσµό. Τέλος, το διάνυσµα των τάσων στο σύστηµα n-s µτασχηµατίζται στο καθολικό σύστηµα µέσω T φ : του µητρώου µτασχηµατισµού ( ) σ σ ( φσ ) ns = T (5) σ όπου σ xx σ = σ yy, σ σ = σ nn σ ns ss, σ( ϕ) = Τ( ϕ) cosϕ sinϕ - cosϕ sinϕ Τ = sinϕ cosϕ cosϕ sinϕ (6) cosϕ sinϕ - cosϕ sinϕ cosϕ sinϕ Σχέσις τάσων- τροπών σ µονοτονική και ανακυκλιζόµνη φόρτιση Η µη γραµµική συµπριφορά της τοιχοποιίας πριγράφται στο τρέχων σύστηµα των κυρίων τροπών χρησιµοποιώντας µονοαξονικές σχέσις τάσης- ισοδύναµης τροπής στην n ή s διύθυνση. Η έννοια της νέργιας θραύσης και του χαρακτηριστικού µήκους ππρασµένου στοιχίου (Bazant and Oh (1983)) χρησιµοποιούνται για τον καθορισµό του φθιτού κλάδου στον φλκυσµό, µ σκοπό την ανξαρτητοποίηση των αποτλσµάτων από την πυκνότητα 4

του δικτύου των ππρασµένων στοιχίων που χρησιµοποιούνται στην ανάλυση, χωρίς να ξτάζται πραιτέρω η φυσική του σηµασία. Στο Σχήµα πριγράφται η διαδροµή νός υλικού σηµίου το οποίο φορτίζται αρχικά σ φλκυσµό στην κύρια διύθυνση n ή s. Όσο η φλκυστική τροπή ίναι µικρότρη από την φλκυστική τροπή αντοχής (σηµίο ΤΑ), η συµπριφορά του υλικού ίναι λαστική και η φόρτιση /αποφόρτιση ακολουθί την υθία γραµµή Ο-ΤΑ µ κλίση Ε (Μέτρο Ελαστικότητας). Όταν η φλκυστική τροπή ξπράσι την φλκυστική τροπή αντοχής, τότ γίνται σταδιακή αποµίωση της αντοχής και της ακαµψίας του υλικού, η οποία πριγράφται από το φθιτό κλάδο. Το σηµίο ΤΑ αντιστοιχί στο σηµίο έναρξης της ρωγµής. Οι κλάδοι αυτοί πριγράφουν την µονοτονική καµπύλη φλκυσµού. Εάν συµβί µια αντιστροφή της τροπής όταν το υλικό σηµίο κινίται στο φθιτό κλάδο, τότ το υλικό σηµίο αρχίζι να αποφορτίζται ακολουθώντας τους κλάδους ΤΒ-ΤC και TC-TD. Οι κλάδοι αυτοί ίναι γραµµικές σχέσις µταξύ των σηµίων ΤΒ-ΤC και TC-TD. Το σηµίο ΤΒ, αντιστοιχί στο σηµίο έναρξης της αποφόρτισης από τη µονοτονική καµπύλη φλκυσµού. Το σηµίο ΤC, αντιστοιχί στο σηµίο µηδνικής φλκυστικής τάσης µ παραµένουσα τροπή. Μ τον κλάδο TC-TD πριγράφται το σταδιακό κλίσιµο της ρωγµής και η σταδιακή ανάκτηση της ακαµψίας του υλικού. Στην παρούσα ργασία γίνται η παραδοχή ότι µια ρωγµή κλίνι όταν η θλιπτική τροπή γίνται ίση µ την τροπή για την οποία δηµιουργήθηκ. Από το σηµίο αυτό, ξκινάι η φόρτιση σ θλίψη ακολουθώντας τη µονοτονική καµπύλη θλίψης στις πριπτώσις όπου το υλικό σηµίο δν έχι φορτιστί σ θλίψη ή έχι φορτιστί αλλά παραµένι στην λαστική πριοχή σ προηγούµνο κύκλο φόρτισης. Αν το υλικό σηµίο έχι διαρρύσι σ θλίψη σ προηγούµνο κύκλο φόρτισης, τότ ακολουθίται ο κλάδος TD-CB (Σχήµα 3) και στη συνέχια η µονοτονική καµπύλη θλίψης. Το σηµίο CB, αντιστοιχί στο σηµίο έναρξης της αποφόρτισης από τη µονοτονική καµπύλη θλίψης. Στο Σχήµα 3 πριγράφται η διαδροµή νός υλικού σηµίου το οποίο φορτίζται αρχικά σ θλίψη στην κύρια διύθυνση n ή s. Όσο η θλιπτική τροπή ίναι µικρότρη από την θλιπτική τροπή διαρροής (σηµίο CA), η συµπριφορά του υλικού ίναι λαστική και η φόρτιση /αποφόρτιση ακολουθί την υθία γραµµή Ο-CA µ κλίση Ε (Μέτρο Ελαστικότητας). Όταν η θλιπτική τροπή ξπράσι την θλιπτική τροπή διαρροής, τότ η συµπριφορά του υλικού πριγράφται από ένα ανοδικό κλάδο και από ένα φθιτό κλάδο. Το σηµίο CA αντιστοιχί στο σηµίο διαρροής. Εάν συµβί µια αντιστροφή της τροπής όταν το υλικό σηµίο κινίται στον ανοδικό ή καθοδικό κλάδο της µονοτονικής καµπύλης, τότ το υλικό σηµίο αρχίζι να αποφορτίζται ακολουθώντας τους κλάδους CC-CD και CD-O. Ο κλάδος CC-CD ίναι γραµµική σχέση µταξύ των σηµίων CC-CD. Το σηµίο CC, αντιστοιχί στο σηµίο έναρξης της αποφόρτισης από τη µονοτονική θλιπτική καµπύλη. Το σηµίο CD, αντιστοιχί στο σηµίο µηδνικής θλιπτικής τάσης µ παραµένουσα τροπή, νώ ο κλάδoς CD-O κινίται στον άξονα n ή s (µηδνική τάση), µέχρι η τροπή να γίνι θτική. Από το σηµίο αυτό, ξκινάι η φόρτιση σ φλκυσµό ακολουθώντας τη µονοτονική καµπύλη φλκυσµού στις πριπτώσις όπου το υλικό σηµίο δν έχι φορτιστί σ φλκυσµό ή έχι φορτιστί αλλά παραµένι στην λαστική πριοχή σ προηγούµνο κύκλο φόρτισης. Αν το υλικό σηµίο έχι αστοχήσι σ φλκυσµό σ προηγούµνο κύκλο φόρτισης, τότ ακολουθίται ο κλάδος Ο-ΤB (Σχήµα ) και στη συνέχια η µονοτονική καµπύλη φλκυσµού. Το σηµίο ΤB, αντιστοιχί στο σηµίο έναρξης της αποφόρτισης από τη µονοτονική καµπύλη φλκυσµού. 5

TA TB CC O TC TD CA Initial loading in tension Not in scale CB Σχήµα. Σχέση τάσης- ισοδύναµης τροπής στην n ή s κύρια διύθυνση: Αρχική φόρτιση σ φλκυσµό: (O-TA: φόρτιση σ φλκυσµό, TΒ-TC-TD: πλήρης αποφόρτιση, TD-CA- CB: φόρτιση σ θλίψη, CΒ-CC-O: πλήρης αποφόρτιση, O-TΒ: φόρτιση µέχρι το σηµίο αποφόρτισης σ φλκυσµό. TA TB CC O TC TD CA Initial loading in compression Not in scale CB Σχήµα 3. Σχέση τάσης- ισοδύναµης τροπής στην n ή s κύρια διύθυνση: Αρχική φόρτιση σ θλίψη: O- CA-CB: φόρτιση σ θλίψη, CΒ-CC-O: πλήρης αποφόρτιση, O- TA-TB: φόρτιση σ φλκυσµό, ΤΒ-ΤC- TD: πλήρης αποφόρτιση, TD-CΒ: φόρτιση µέχρι το σηµίο αποφόρτισης σ θλίψη. 6

Στην πρίπτωση που συµβί µια καινούργια αντιστροφή τροπής κατά τη διάρκια της αποφόρτισης σ φλκυσµό ή θλίψη πριν την πλήρη αποφόρτιση (µρική αποφόρτιση, µρική παναφόρτιση), τότ η συµπριφορά του υλικού σηµίου πριγράφται όπως φαίνται στα Σχήµατα 4 και 5. TA TA TF O TB O TB TE TG TE Σχήµα 4. Μρική αποφόρτιση/ µρική παναφόρτιση σ φλκυσµό. α): O-TA: φόρτιση, TA-TB-TE: αποφόρτιση, TE-TA: παναφόρτιση. β): O-TA: φόρτιση, TA-TB-TE: αποφόρτιση, TE-TF: µρική παναφόρτιση, TF-TE: µρική αποφόρτιση, TE-TG: αποφόρτιση. CB CE O CB CG O CE Not in scale CF Not in scale CA CA Σχήµα 5. Μρική αποφόρτιση/ µρική παναφόρτιση σ θλίψη. α): O-CA: φόρτιση, CA-CB-CE: αποφόρτιση, CE-CA: παναφόρτιση. β): Ο-CA: φόρτιση, CA-CE: αποφόρτιση, CE-CF: µρική παναφόρτιση, CF-CE: µρική αποφόρτιση, CE-CB-CG: αποφόρτιση. 7

Έλγχος αξιοπιστίας προσοµοιώµατος Ο έλγχος αξιοπιστίας του καταστατικού προσοµοιώµατος έγιν µέσω παλήθυσης πιραµατικών αποτλσµάτων. Η πίλυση των στατικών προβληµάτων γίνται µ δυναµική ανάλυση ρητής ολοκλήρωση (explicit dynamic analysis). Η µέθοδος αυτή µπορί να χρησιµοποιηθί για την πίλυση στατικών προβληµάτων υπό την προϋπόθση ότι η κινηµατική νέργια παραµένι µικρή συγκρινόµνη µ την συνολική νέργια του συστήµατος κατά τη διάρκια της ανάλυσης. Για να πιτυχθί αυτό, υπολογίζονται αρχικά οι ιδιοσυχνότητς του ξταζόµνου φορέα και ο χρόνος πιβολής των φορτίσων αυξάνται κατάλληλα. Επίσης λέγχται ότι µτά την πιβολή των φορτίων βαρύτητας και των κατακόρυφων φορτίων, η ταλάντωση που δηµιουργίται από την πιβολή των φορτίων αυτών, έχι αποσβστί πριν την πιβολή της πιβαλλόµνης µτακίνησης. Επιλέχθηκαν δύο τοίχοι οι οποίοι δοκιµάστηκαν στο Joint Research Center (Antoine et al., 1995). Οι τοίχοι µ πλάτος 1mm και πάχος 5mm, ίχαν κατασκυαστί από λιθοσώµατα διαστάσων 5x1x55mm και κονίαµα από υδραυλική άσβστο πάχους 1mm. Τα λιθοσώµατα ίχαν τοποθτηθί σ δύο στρώσις κατά το πάχος των τοίχων. Ο ένας τοίχος ήταν λυγηρός µ λόγο ύψους προς πλάτος. (ύψος τοίχου mm) και ο άλλος χθαµαλός µ λόγο ύψος προς πλάτος 1.35 (ύψος τοίχου 135mm). Η διακριτοποίηση των τοίχων έγιν µ ττραπλυρικά ττρακοµβικά στοιχία πίπδης έντασης διαστάσων 5x55mm µ µιωµένο κανόνα ολοκλήρωσης. Οι κόµβοι της βάσης δσµύτηκαν σ οριζόντια και κατακόρυφη µτακίνηση, νώ οι κόµβοι της κορυφή του τοίχου ίχαν κοινή βύθιση και κοινή οριζόντια µτατόπιση. Τα µηχανικά χαρακτηριστικά της τοιχοποιίας λήφθηκαν από διαθέσιµα πιραµατικά δδοµένα (Antoine et al., 1995) νώ οι µη διαθέσιµς τιµές των µη γραµµικών παραµέτρων του υλικού κτιµήθηκαν. Αρχικά ο κάθ τοίχος φορτίστηκ µ το ίδιο βάρος του και το οµοιόµορφο κατακόρυφο φορτίο 15kN και ακολούθησ η πιβολή µτακίνησης ανακυκλιζόµνης µορφής. Ο λυγηρός τοίχος παρουσίασ καµπτική συµπριφορά µ τη δηµιουργία οριζόντιας ρωγµής στη βάση και τη στέψη του τοίχου. Ο χθαµαλός τοίχος, παρουσίασ διατµητική συµπριφορά µ τη δηµιουργία κατακόρυφων ρωγµών κατά τους κατακόρυφους αρµούς στο κντρικό τµήµα του. Στα Σχήµατα 5 και 6 παρουσιάζονται τα πιραµατικά και τα αναλυτικά διαγράµµατα δύναµης µτακίνησης των δύο τοίχων. Η σύγκριση πιραµατικού και αναλυτικού διαγράµµατος δύναµης- µτακίνησης του λιγυρού τοίχου κρίνται ικανοποιητική. Το ίδιο δν συµβαίνι στην πρίπτωση του χθαµαλού τοίχου. Από το Σχήµα 6 φαίνται η αδυναµία του προσοµοιώµατος να πριγράψι σωστά τη συµπριφορά του διατµητικού τοίχου. Η αδυναµία αυτή έγκιται στο γγονός ότι στο προσοµοίωµα της πριστρφόµνης ρωγµής η διατµητική τάση ξαρτάται από τις ορθές λόγω της ταύτισης του συστήµατος των κύριων τάσων µ αυτό των κύριων τροπών. Το πρόβληµα αυτό έχι πισηµανθί και στην πρίπτωση ανάλυσης τοίχων από οπλισµένο σκυρόδµα τόσο σ µονοτονική όσο και σ ανακυκλιζόµνη φόρτιση, ιδικά όταν ο οπλισµός διάτµησης ίναι λάχιστος [17]. Για την αντιµτώπιση της αδυναµίας αυτής, έγιν προσπάθια τροποποίησης της σχέσης τάσων- τροπών στο σύστηµα n-s ίτ µ την αύξηση της αρνητικής τάσης για την οποία κλίνι µια ρωγµή, ίτ µ τη µτάθση της µονοτονικής καµπύλης θλίψης στο σηµίο παραµένουσας φλκυστικής τροπής. Οι προσπάθις αυτές οδήγησαν σ αριθµητικές αστάθις. Λαµβάνοντας υπόψη τις πιο πάνω πισηµάνσις, προτίνται ένα καινούργιο 8

προσοµοίωµα για την ανάλυση άοπλων τοίχων οι οποίοι υποβάλλονται σ ανακυκλοζόµνη φόρτιση ντός του πιπέδου τους. 75 75 5 5 5-5 5-5 -5-5 -75-75 -15-1 -5 5 1 15-15 -1-5 5 1 15 Σχήµα 5. Λυγηρός τοίχος: ιάγραµµα δύναµης- µτακίνησης, α): πίραµα, β): ανάλυση. 1 1 5 5-5 -5-1 -1-8 -4 4 8-8 -4 4 8 Σχήµα 6. Χθαµαλός τοίχος: ιάγραµµα δύναµης- µτακίνησης, α): πίραµα, β): ανάλυση. ΜΟΝΟΑΞΟΝΙΚΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑ ΣΥΝΟΛΙΚΩΝ ΤΡΟΠΩΝ Στην πρίπτωση των στοιχίων πίπδης έντασης δισδιάστατης λαστικότητας, το διάνυσµα της τροπής σ κάθ υλικό σηµίο αποτλίται από τρις συνιστώσς: τις δύο ορθές τροπές xx και yy και τη διατµητική. Μέσω τον ορθών τροπών λέγχται η συµπριφορά του υλικού σ φλκυσµό (θτική τροπή) και θλίψη (αρνητική τροπή) κατά τη διύθυνση x και y, 9

νώ µέσω της διατµητικής τροπής γίνται ο έλγχος της συµπριφοράς του υλικού έναντι διάτµησης. Οι τρις αυτοί µηχανισµοί πριγράφονται στο Σχήµα 7. y y y y y y x x x x x x Σχήµα 7. Μορφές αστοχίας: φλκυσµός, θλίψη και διάτµηση. Οι τάσις F µ την οποία πριγράφται η συµπριφορά της τοιχοποιίας έναντι θλίψης /φλκυσµού/διάτµησης ανάλογα µ τη φάση φόρτισης (φόρτιση, αποφόρτιση, παναφόρτιση). Για να ληφθί υπόψη η πίδραση του λόγου Poisson οι τροπές αντικαθίστανται από τις ισοδύναµς κύρις τροπές (Cope et al., 198) µέσω της ακόλουθης σχέσης: σ υπολογίζονται συναρτήσι των κύριων τροπών µέσω της συνάρτησης ( ) xx yy 1 1-ν v = 1-ν v 1-ν 1 1-ν 1 xx yy (7) Μ τον τρόπο αυτό οι τάσις στο τοπικό σύστηµα n-s δν ίναι συζυγµένς και ο υπολογισµός τους γίνται συναρτήσι της αντίστοιχης ισοδύναµης κύριας τροπής : F( xx) xx σ = ( ) = ( ) F F yy (8) ( ) F Σχέσις τάσων- τροπών σ µονοτονική και ανακυκλιζόµνη φόρτιση Η µη γραµµική συµπριφορά της τοιχοποιίας πριγράφται στο καθολικό σύστηµα χρησιµοποιώντας µονοαξονικές σχέσις τάσης- ισοδύναµης τροπής. Οι ίδις σχέσις τάσωντροπών που ορίζουν τη µονοτονική και ανακυκλιζόµνη συµπριφορά του υλικού στο προσοµοίωµα της πριστρφόµνης ρωγµής, χρησιµοποιούνται κατά τη διύθυνση x και y για τον έλγχο έναντι φλκυσµού και θλίψης. Για την φαρµογή του προσοµοίωµατος αυτού, χριάζται πιπλέον η πριγραφή της µονοτονικής και ανακυκλιζόµνης συµπριφοράς σ διάτµηση. 1

Στο Σχήµα 8 παρουσιάζται ο πρώτος και δύτρος κύκλος φόρτισης νός υλικού σηµίου το οποίο φορτίζται αρχικά σ διάτµηση στη θτική διύθυνση. Όσο η διατµητική τροπή ίναι µικρότρη από την διατµητική τροπή αντοχής (σηµίο SA), η συµπριφορά του υλικού ίναι λαστική και η φόρτιση /αποφόρτιση ακολουθί την υθία γραµµή O-SA µ κλίση G (Μέτρο ιάτµησης). Όταν η διατµητική τροπή ξπράσι την διατµητική τροπή αντοχής, τότ γίνται σταδιακή αποµίωση της αντοχής και της ακαµψίας του υλικού σ διάτµηση, µέχρι ένα όριο, από το οποίο και µτά η διατµητική αντοχή παραµένι σταθρή. Εάν συµβί µια αντιστροφή στο σηµίο SB, τότ το υλικό σηµίο αρχίζι να αποφορτίζται ακολουθώντας τους κλάδους SB-SC και SC-SD ή SH-SE. Οι κλάδοι αυτοί συνδέουν γραµµικά τα σηµία SB-SC και SC- SD και SH-SE. Το σηµίο SC, αντιστοιχί στο σηµίο µηδνικής διατµητικής τάσης µ παραµένουσα διατµητική τροπή. Στην πρίπτωση που το υλικό σηµίο έχι αστοχήσι στην αρνητική διύθυνση σ προηγούµνο κύκλο φόρτισης, ακολουθίται ο κλάδος SH-SE όπου το σηµίο SΕ ίναι το σηµίο από το οποίο ξκίνησ η αποφόρτιση στην αρνητική διύθυνση. Στην πρίπτωση που το υλικό σηµίο δν έχι φορτιστί στην αρνητική διύθυνση, ή πέδιξ λαστική συµπριφορά σ προηγούµνο κύκλο φόρτισης, τότ ακολουθίται ο κλάδος SC-SD όπου το σηµίο SD αντιστοιχί στο σηµίο διαρροής. Στην πρίπτωση που συµβί µια καινούργια αντιστροφή τροπής πριν την πλήρη αποφόρτιση (µρική αποφόρτιση, µρική παναφόρτιση), τότ η συµπριφορά του υλικού σηµίου πριγράφται όπως φαίνται στο Σχήµα 9. SA SB SG SF O SC SH SI SE SD Σχήµα 8. Σχέση διατµητικής τάσης- ισοδύναµης διατµητικής τροπής: Αρχική φόρτιση στη θτική διύθυνση (O-SA-SB-SC-SD-SE-SF-SB-SG-SH-SE-SI). 11

SA SD SG SF SG SC SB SE - SE SB SC SG SF SG SD SA - Σχήµα 8. Μρική αποφόρτιση/ µρική παναφόρτιση σ διάτµηση, α): Θτική διύθυνση, β): Αρνητική διύθυνση.. Έλγχος αξιοπιστίας προσοµοιώµατος Ο έλγχος αξιοπιστίας του µονοαξονικού καταστατικού προσοµοιώµατος έγιν µέσω παλήθυσης πιραµατικών αποτλσµάτων. Για το σκοπό αυτό, αναλύθηκαν οι δύο τοίχοι οι οποίοι ξτάστηκαν για την αξιολόγηση του προσοµοιώµατος της πριστρφόµνης ρωγµής. Επιπλέον, χρησιµοποιήθηκαν πιραµατικά αποτλέσµατα από δοκιµή άοπλης τοιχοποιίας σ στατική ανακυκλιζόµνη φόρτιση, η οποία πραγµατοποιήθηκ στο Εργαστήριο Αντισισµικής Τχνολογίας του Εθνικού Μτσόβιου Πολυτχνίου (ΕΑΤ/ΕΜΠ). Σύγκριση πιραµατικών και αναλυτικών αποτλσµάτων Τα πιραµατικά και αναλυτικά διαγράµµατα δύναµης- µτακίνησης του λιγυρού και χθαµαλού τοίχου οι οποίοι ξτάστηκαν στην προηγούµνη νότητα, παρουσιάζονται στα Σχήµατα 9 και 1 αντίστοιχα. Η διαφορτική υστρρητική συµπριφορά του λιγυρού και χθαµαλού τοίχου, κτιµάται από το προτινόµνο καταστατικό προσοµοίωµα µ ικανοποιητική ακρίβια, τόσο ως προς το µέγθος του µέγιστου φορτίου, όσο και ως προς τη µορφή του διαγράµµατος δύναµης- µτακίνησης. Στη συνέχια για την παλήθυση του προτινόµνου καταστατικού προσοµοιώµατος χρησιµοποιήθηκαν αποτλέσµατα δοκιµής άοπλης τοιχοποιίας η οποία πραγµατοποιήθηκ στο ΕΑΤ/ΕΜΠ (ΕΑΤ, ). Ο ξταζόµνος φορέας ίναι τοιχοποιία διαστάσων 1.x1.5m και πάχους.4m, η οποία αποτλίται από τρίστρωτη λιθοδοµή (δύο ισχυρές στρώσις από λιθοσώµατα και σωτρική στρώση από κονίαµα). Η τοιχοποιία κατά τη δοκιµή ξτάζται ως αµφίπακτο στοιχίο. Έτσι κατά την ανάλυση, όλοι οι κόµβοι της βάσης θωρούνται πακτωµένοι, νώ οι κόµβοι της στέψης έχουν κοινή οριζόντια και κατακόρυφη µτακίνηση. Αρχικά η τοιχοποιία φορτίζται µ το ίδιο βάρος της και πρόσθτο κατακόρυφο φορτίο.75kn/m. Ακολουθί η πιβολή της µτακίνησης ανακυκλιζόµνης µορφής µ αυξανόµνο ύρος. Η τοιχοποιία αστόχησ σ διάτµηση µ τη δηµιουργία διαγώνιων ρωγµών οι οποίς διαπρνούσαν τους κατακόρυφους και οριζόντιους αρµούς, νώ για µτακινήσις µγάλου ύρους παρατηρήθηκ αποκόλληση των ξωτρικών στρώσων από την σωτρική. Το πιραµατικό και αναλυτικό διάγραµµα δύναµης- µτακίνησης της ξταζόµνης λιθοδοµής, 1

παρουσιάζονται στο Σχήµα 11. Από το σχήµα αυτό, φαίνται ότι το προτινόµνο καταστατικό προσοµοίωµα µπορί να προβλέψι µ ικανοποιητική ακρίβια τη συµπριφορά της τοιχοποιίας, τόσο ως προς το µέγθος του µέγιστου φορτίου, όσο και ως προς τη µορφή του διαγράµµατος δύναµης- µτακίνησης. 75 75 5 5 5-5 5-5 -5-5 -75-75 -15-1 -5 5 1 15-15 -1-5 5 1 15 Σχήµα 9. Λυγηρός τοίχος ξταζόµνος στο JRC: ιάγραµµα δύναµης- µτακίνησης, α): πίραµα, β): ανάλυση. 1 1 5 5-5 -5-1 -1-8 -4 4 8-8 -4 4 8 Σχήµα 1. Χθαµαλός τοίχος ξταζόµνος στο JRC: ιάγραµµα δύναµης- µτακίνησης, α): πίραµα, β): ανάλυση. 13

3 3 1-1 1-1 - - -3 - -1 1-3 -15-1 -5 5 1 15 Σχήµα 11. Τοίχος ξταζόµνος στο ΕΑΤ/ΕΜΠ: ιάγραµµα δύναµης- µτακίνησης, α): πίραµα, β): ανάλυση. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην παρούσα ργασία παρουσιάζονται δύο καταστατικά προσοµοιώµατα για την ανάλυση άοπλης τοιχοποιίας, η οποία υπόκιται σ ανακυκλιζόµνη φόρτιση ντός του πιπέδου της. Τα προσοµοιώµατα ανήκουν στην κατηγορία της κατανµηµένης ρωγµής και αναπτύσσονται για στοιχίο πίπδης έντασης στις δύο διαστάσις. Το πρώτο προσοµοίωµα στηρίζται στο προσοµοίωµα της πριστρφόµνης κατανµηµένης ρωγµής. Για την φαρµογή του απαιτούνται τα διαγράµµατα τάσων τροπών σ θλίψη και φλκυσµό σ µονοτονική και πανακυκλιζόµνη φόρτιση. Το προσοµοίωµα αυτό, µπορούσ να κτιµήσι σ ικανοποιητικό βαθµό την καµπτική συµπριφορά τοιχοποιίας, όχι όµως και τη διατµητική. Για την άρση αυτής της αδυναµίας, προτάθηκ ένα µονοαξονικό καταστατικό προσοµοίωµα, µ το οποίο η συµπριφορά έναντι θλίψης και φλκυσµού λέγχται µέσω των ορθών τροπών στο σύστηµα του υλικού, νώ µέσω της διατµητικής τροπής λέγχται η συµπριφορά έναντι διάτµησης. Το προσοµοίωµα αυτό, απαιτί πρόσθτα το διάγραµµα διατµητικής τάσηςδιατµητικής τροπής υπό ανακυκλιζόµνη φόρτιση, το οποίο όπως αποδίχθηκ από τη σύγκριση πιραµατικών και αναλυτικών αποτλσµάτων, µπορί να προβλέψι µ ικανοποιητική ακρίβια τόσο την καµπτική όσο και τη διατµητική συµπριφορά της τοιχοποιίας. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ABAQUS 6.4-1, Theory Manual. Hibbit, Karlson and Sorenson, INC. Antoine A, Magonette G, Magenes G., (1995) Shear compression testing and analysis of brick masonry wall, Proc. 1 th European Conference on Earthquake Engineering 3, G. Dumas (ed), pp. 1657-166. Bazant ZP, Oh BH. (1983), Crack band theory for fracture of concrete, Materials and Structures, RILEM, 93 (16), pp. 155-177. Casolo S, Pena F., (7), Rigid element model for in- planer dynamics of masonry walls considering hysteretic behaviour and damage, Earthquake Eng. Struct. Dyn. (in press). 14

Cope RJ, Rao PV, Clark LA, Noris P., (198), Modeling of Reinforced Concrete Behavior for Finite Element Analysis of Bridges Slaps. Numerical Methods for Non-Linear Problems, C. Taylor, E. Hinton, D.R.J Owen eds., Pineridge Press, Swansea, UK, pp. 457-47. Feenstra PH, Rots JG, Arnese A, Teigen JG and Hoiseth KV. (1998), A 3D constitutive model for concrete based on co-rotational concept. Computational modeling of concrete structures, Proceedings of the EURO-C, ed. R. de Borst, N. Bioanio, H. Mang, and G. Meschke eds, pp. 13-. Gabarotta L, Logomarsino S., (1997), Damage models for the seismic response of brick masonry shear wall. Part I: The mortar joint model and its applications, Earthquake Eng. Struct. Dyn., 6, pp. 43-439. Gabarotta L, Logomarsino S., (1997), Damage models for the seismic response of brick masonry shear wall. Part II: The continuum model and its applications, Earthquake Eng. Struct. Dyn., 6, pp. 441-46. He W, Wu YF, Liew KM, Wu Z. (6), A D total strain based constitutive model for predicting the behaviours of concrete structures, Int. J. Eng. Scienc., 44, pp. 18-133. Kwa WP, Billington SL., (1), Simulation of structural concrete under cyclic load. J. Struct. Engrg., 17, pp. 1391-141. Lofti HR, Shing PB, (1991). An Appraisal of Smeared crack models for masonry shear wall analysis. Computer and Structures, 41 (3), pp. 413-45. Lofti HR, Shing PB.,(1994) An Interface Model applied to Fracture of Masonry Structures. Journal of Structural Engineering ASCE, 1 (1), pp. 63-8. Lourenço PB, Rots JG, Feenstra PH., (1995), A tensile "Rankine" type orthotropic model for masonry, Computer Methods in Structural Masonry -3, Ed. J. Middleton, G.N. Pande, Books & Journals International, Swansea, UK, pp. 167-176. Lourenço PB, Rots JG., (1997), Multisurface Interface Model for Analysis of Masonry Structures, Journal of Engineering Mechanics, 13 (7): 66-668. Ngo, D., Scordelis, AC., (1967) Finite Element Analysis of Reinforced Concrete Beams, ACI Journal 64 (3), pp.153-163. Oliveira DV, Lourenco PB., (4), Implementation and validation of a constitutive model for the cyclic behaviour of interface elements, Compt. and Struct., 8, pp. 1451-1461. Page AW. (1978) Finite Element model for masonry, J. Struct. Div., ASCE, 14 (8), pp.167-185. Pegon P, Anthoine A., (1994), Numerical strategies for solving continuum damage problems involving softening: application to the homogenization of masonry, CIVIL-COMP Advances in Non-Linear Finite Elements Methods, pp. 143-157. Rashid YR., (1968) Analysis of prestressed concrete pressure vessels, Nucl. Engng. Des. 7, pp.334-344. Samarasinghe, W., Page, AW., Hendry, AW., (198) A finite element model for the in-plane behavior of brickwork, The Structural Engineering, 59B, 3, pp. 4-48. Vecchio FJ, Collins MP., (1986), The modified compression filed theory for reinforced concrete elements subjected to shear, ACI Journal, 83 (3), pp. 19-31. Τχνική Έκθση, (), «Λιθοδοµή υπό στατική ανακυκλιζόµνη πιβολή µτακίνησης», Εργαστήριο Αντισισµικής Τχνολογίας, Εθνικό Μτσόβιο Πολυτχνίο. 15