ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ

Transcript

1 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ Συγγραφή Επιμέλια: Παναγιώτης Φ. Μίρας

2 Θέμα Ένα σημιακό φρτί Q τπθτίται στ κέντρ νός υδέτρυ σφαιρικύ αγώγιμυ κλύφυς ακτινών R και R. Να υπλγιστί τ παγόμν φρτί πυ συσσωρύται στην σωτρική και ξωτρική πιφάνια τυ αγωγύ. Λύση R R - - Q E = 0 Επιδή τ σφαιρικό αγώγιμ κέλυφς ίναι υδέτρ θα ισχύι αρχικά ότι = 0 για R R. Λόγω όμως της παρυσίας τυ φρτίυ Q στ κέντρ τυ συστήματς κι πιδή η ένταση στ σωτρικό τυ αγωγύ θα πρέπι να ίναι μηδέν ), μφανίζνται τα παγόμνα φρτία (κατανέμται στην σωτρική πιφάνια) και (κατανέμται στην ξωτρική πιφάνια). Επίσης λόγω της αρχής διατήρησης τυ φρτίυ θα ισχύι : ( E 0 0 () Εφαρμόζντας τ νόμ τυ Gauss σ σφαιρική πιφάνια ακτίνας R R πρκύπτι : Q ( 0) enc Q d 4π 0 Q και λόγω της () : Q

3 Θέμα Ένας σφαιρικός αγωγός σωτρικής ακτίνας α και ξωτρικής ίναι φρτισμένς μ ηλκτρικό φρτί Q, νώ στ κέντρ τυ σφαιρικύ αγωγύ έχι τπθτηθί σημιακό ηλκτρικό φρτί. Να υπλγιστύν : α) Η τλική κατανμή τυ ηλκτρικύ φρτίυ Q στ σφαιρικό αγώγιμ φλιό. β) Η ένταση τυ ηλκτρικύ πδίυ παντύ στ χώρ. γ) Τ ηλκτρικό δυναμικό παντύ στ χώρ. Λύση Q Q Q α 0 α) Τ φρτί Q μ τ πί ίναι φρτισμένς σφαιρικός αγωγός θα κατανμηθί στην σωτρική πιφάνια Q και στην ξωτρική πιφάνια Q, έτσι ώστ στ σωτρικό τυ αγωγύ η ένταση να ίναι μηδέν, δηλαδή. Σημιώνται ότι λόγω σφαιρικής συμμτρίας τυ πρβλήματς τα φρτία Q, Q ίναι μιόμρφα κατανμημένα στις πιφάνις τυ αγώγιμυ φλιύ. E 0 Λόγω της αρχής διατήρησης τυ φρτίυ θα ισχύι : Q Q Q () Θωρώντας σφαιρική πιφάνια μ ακτίνα α < < κι πιδή τα σημία της πιφάνιας αυτής έχυν μηδνική ένταση, νόμς τυ Gauss δίνι: E d enc 0 Q Q και λόγω της () : Q Q Q Q Q

4 β) Η ένταση E υπλγίζται μέσω τυ νόμυ Gauss : Για α : d enc 4π 4π ˆ () Για α : Σύμφωνα μ τη βασική ιδιότητα των αγωγών ίναι : E 0 (3) Για : d 3 enc 3 4π Q Q () Q 3 4π ( Q) ˆ (4) γ) Θωρώντας ως σημί αναφράς τ άπιρ ( V 0), τ ηλκτρικό δυναμικό θα υπλγιστί από τη σχέση : Επμένως : dv ˆ d V 0 dv d ˆ V d Για : (4) V3 3 Q d 3d V 4π 4π Q Για (3),(4) Q d α : V d 3d d 0 4π

5 V 4π Q σταθ. Για < α : V d d d d 3 α (),(3),(4) α Q 4π d 0 4π α d V Q 4π 4π α

6 Θέμα 3 Μια αγώγιμη σφαίρα ακτίνας R ίναι φρτισμένη μ ηλκτρικό φρτί Q, νώ πριβάλλται από μόκντρ σφαιρικό αφόρτιστ φλιό ακτίνων R και R3. α) Να υπλγιστί η ένταση τυ ηλκτρικύ πδίυ σ κάθ σημί τυ χώρυ. β) Αν μ λπτό αγώγιμ σύρμα νωθί φλιός και η σφαίρα να υπλγιστί τ ηλκτρικό πδί μτά την απκατάσταση της ισρρπίας. Λύση α) Q Q Q R Ο 0 R 3 0 R 3 Λόγω σφαιρικής συμμτρίας, τ φρτί Q κατανέμται μιόμρφα στην πιφάνια της αγώγιμης σφαίρας ακτίνας R, έτσι ώστ στ σωτρικό να ίναι E 0. Επίσης παγόμνα φρτία μφανίζνται και στις δυ πιφάνις τυ σφαιρικύ φλιύ, έτσι ώστ στ σωτρικό τυ να ίναι E 3 0. Αν Q ίναι τ φρτί της σωτρικής πιφάνιας, τότ πιδή αυτός ίναι αφόρτιστς θα ισχύι, λόγω της διατήρησης τυ φρτίυ : Q Q 0 ()

7 Εφαρμόζντας τ νόμ τυ Gauss σ σφαιρική πιφάνια ακτίνας R R 3 πρκύπτι : ( Q Q 3 0) enc d 34π Q Q 0 και λόγω της () : Q Q Q Q Q Q Η ένταση τυ ηλκτρικύ πδίυ ίναι : Για R : 0 (σωτρικό αγωγύ) enc Q Q Για R R : d 4π ˆ 4π Για R R 3 : 3 0 (σωτρικό αγωγύ) Για R 3 : d enc 4 4π Q 4 Q 4π ˆ β) Αν αγώγιμς φλιός (η σωτρική τυ πιφάνια) και η αγώγιμη σφαίρα νωθύν μ λπτό σύρμα θα παρατηρηθί κίνηση των φρτίων μέσω τυ σύρματς και τλικά θα απκατασταθί ισρρπία όταν φλιός και η σφαίρα απκτήσυν τ ίδι δυναμικό. Έστω Q,Q και τα ηλκτρικά φρτία στις πιφάνις = R, = R και = R3 αντίστιχα μτά την απκατάσταση της ισρρπίας. Εφαρμόζντας τ νόμ τυ Gauss για R < < R, πρκύπτι : Q d enc 4π Q Q 4π () Άρα η διαφρά δυναμικύ σφαίρας φλιύ ίναι : V V dv R R d V V R Q d Q 4π 4 π R R R Αλλά V = V λόγω της ένωσης των δυ πιφανιών μ τ λπτό σύρμα, πότ :

8 V V Q 0 4π R R 0 Q 0 (3) Εφαρμόζντας τ νόμ τυ Gauss, τώρα σ σφαιρική πιφάνια ακτίνας R R 3 πρκύπτι : ( 0) Q Q (3) enc 3 d 3 4π Q Q 0Q Συνπώς λόγω της αρχής διατήρησης τυ φρτίυ πρκύπτι ότι όλ τ φρτί Q μφανίζται στην ξωτρική πιφάνια τυ φλιύ. Δηλαδή :. Q Q Άρα η ένταση τυ ηλκτρικύ πδίυ ίναι : Για R : 0 0 Για R R : Για R R 3 : 0 Για R 3 : 3 Q 4 4π (σωτρικό αγωγύ) (πιδή Q 0 (σωτρικό αγωγύ) ) 0 ˆ (μ απλή φαρμγή τυ νόμυ Gauss)

9 Θέμα 4 Μια άπιρη αγώγιμη πλάκα πάχυς d φρτίζται μ πιφανιακή πυκνότητα φρτίυ σ στη μια πιφάνιά της. Να υπλγιστί η κατανμή τυ φρτίυ και η ένταση τυ ηλκτρικύ πδίυ μτά την απκατάσταση της ισρρπίας. Λύση y 0 σ d Ο σ Μέχρι την απκατάσταση της ισρρπίας παρατηρίται κίνηση φρτίων κατά την y διύθυνση και τλικά κατανμή αυτών στις δυ πιφάνις της πλάκας, έτσι ώστ η ένταση να ίναι μηδέν στ σωτρικό της. Αν σ, σ ίναι ι πιφανιακές πυκνότητς φρτίυ στις πιφάνις y = 0 και y = d αντίστιχα, τότ σ τμήμα της πλάκας μβαδύ, λόγω της αρχής διατήρησης τυ φρτίυ θα ισχύι : σ σ σ σ σ σ () Σ ένα τυχαί σημί στ σωτρικό τυ αγωγύ, η λική ένταση τυ ηλκτρικύ πδίυ, πυ φίλται στις δυ πιφάνις τυ αγωγύ, σύμφωνα μ την αρχή της παλληλίας ίναι : σ σ ŷ ŷ ()

10 Αλλά στ σωτρικό τυ αγωγύ ίναι : ίναι : 0 πότ η () δίνι : σ = σ και λόγω της () σ σ σ (3) Η ένταση τυ ηλκτρικύ πδίυ ίναι σύμφωνα μ την αρχή της παλληλίας : Για y > d : σ σ ŷ (3) σ ŷ ŷ σ (3) σ σ Για y < 0 : ŷ ŷ ŷ Για 0 < y < d : 0 (σωτρικό αγωγύ)

11 Θέμα 5 Να απδιχθί ότι ι πλισμί νός πυκνωτή μ πίπδς και παράλληλς πλάκς μβαδύ και απόστασης d, έλκνται μταξύ τυς μ δύναμη : F /. Επίσης να διχθί ότι η πίση πυ ασκίται ίναι ίση μ την πυκνότητα νέργιας στ πδί. Λύση Αν υπτθί ότι η απόσταση d μταξύ των πλισμών τυ πυκνωτή αυξηθί κατά dx, τότ τ έργ πυ απαιτίται για την μτακίνηση των πλισμών ίναι : dw Fdx Fdx () όπυ η δύναμη μταξύ των πλισμών. Τ έργ αυτό πρέπι να ισύται μ τη μταβλή της ηλκτρστατικής νέργιας τυ πυκνωτή και ίναι : F du dv dx () όπυ dv dx στιχιώδης όγκς μταξύ των πλισμών κατά τη μτακίνησή τυς. Από τις σχέσις () και () πρκύπτι : Fdx dx F (3) Για έναν πίπδ πυκνωτή όμως νόμς τυ Gauss δίνι : Φ (4) Μ αντικατάσταση στη σχέση (3) της (4) υπλγίζται η ζητύμνη δύναμη :

12 F Η πίση πυ ασκίται ίναι : (3) F P du dv u όπυ u du dv η πυκνότητα νέργιας τυ πδίυ.

13 Θέμα 6 Στα άκρα νός πυκνωτή χωρητικότητας C 0μF φαρμόζται διαφρά δυναμικύ V = 500 Volt. Στη συνέχια στα άκρα τυ πυκνωτή αυτύ συνδέται παράλληλα ένας αφόρτιστς πυκνωτής χωρητικότητας. Να υπλγιστί η διαφρά της νέργιας στ σύστημα. C 5μF Λύση C, Q V C,, Q Q C ΑΡΧΙΚΑ ΤΕΛΙΚΑ Η αρχική νέργια ίναι : U αρχ C V και η τλική νέργια τυ συστήματς ίναι : U τλ Q () C λ όπυ λόγω παράλληλης σύνδσης των πυκνωτών η ισδύναμη χωρητικότητα ίναι Cλ C C και λόγω της αρχής διατήρησης τυ φρτίυ, τ λικό φρτί τυ συστήματς παραμένι σταθρό και ίσ μ τ αρχικό, δηλαδή : Q Q C V. Q Άρα η () γίνται : U τλ C V (C C )

14 Επμένως η διαφρά νέργιας στ σύστημα ίναι : U αρχ U τλ CV C C C CV C C C Αντικαθιστώντας τις τιμές C 0μF, C 5μF και V = 500 Volt τλικά πρκύπτι : U αρχ U τλ 0,5Joule