ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ

Σχετικά έγγραφα
Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Φόρτος εργασίας. 4 ( ώρες): Επίπ εδο μαθήματος: Ώρες διδασκαλίας: 7 διδασκαλίας εβδομαδιαίως:

Πίνακας Περιεχομένων 7

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ]

Κεφ. 7: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές

1

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες)

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Επίλυση παραβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές

z είναι οι τρεις ανεξάρτητες

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφάλαιο 1. Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 7. Επίλυση υπερβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΟΣΜΗΤΕΙΑ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

Επίσης, γίνεται αναφορά σε µεθόδους πεπερασµένων στοιχείων και νευρονικών δικτύων.

ΜΔΕ: Αναλυτικό πρόγραμμα - Ύλη Μαθήματος 2018

Χ. Α. Αλεξόπουλος. Τµήµα Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήµιο Πατρών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 2: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή

Σε ότι αφορά τα επί μέρους μαθήματα ισχύουν τα εξής: ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ για τα ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 1

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΠΠΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ

Κεφάλαιο 4. Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων µε πεπερασµένες διαφορές

Αριθμητική Ανάλυση. Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Έννοιες. Φραγκίσκος Κουτελιέρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Μ Ε: Αναλυτικό Πρόγραµµα- Υλη Μαθήµατος 2017

Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος

κατά το χειµερινό εξάµηνο του ακαδηµαϊκού έτους ΕΜ-351 του Τµήµατος Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών της Σχολής Θετικών

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 1

Αριθμητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων

Πίνακας Περιεχομένων

Άσκηση 1 Έχουµε να επιλύσουµε την εξίσωση κύµατος 1 ης τάξης (υπερβολική εξίσωση) (1)

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΟΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

Πίνακας Περιεχομένων

332 Μηχανολόγων Μηχανικών Βιομηχανίας Θεσσαλίας (Βόλος)

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35

ΠΡΟΤΑΣΗ ΝΕΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ

Στόχοι 1. Σχεδιασμός υψηλού επιπέδου προγραμμάτων σπουδών 2. Η προαγωγή των Μαθηματικών επιστημών μέσω της επιστημονικής έρευνας 3.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 8: Ανάλυση ευστάθειας & Συναγωγή και διάχυση

1 Επίλυση Συνήθων ιαφορικών Εξισώσεων

Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές

ΩΡΙΑΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ. Ακαδημαϊκό Έτος

Η πλήρως ανεπτυγµένη ροή λόγω διαφοράς πίεσης σε κυλινδρικό αγωγό περιγράφεται από την συνήθη διαφορική εξίσωση

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #5: ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ιωάννης Λυχναρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 3: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων (συνέχεια)

O ƒ ΔÀÃπ ø À ø Ì Ï ÚˆÌ

Διάλεξη 11: Ανώτερης τάξης σχήματα στη μόνιμη συναγωγή

Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α. Πρόλογος...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Σφάλματα

4.1 Πράξεις με Πολυωνυμικές Εκφράσεις... 66

10. Εισαγωγή στις Μεθόδους Πεπερασμένων Στοιχείων (ΜΠΣ)

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΣΤΗ ΝΑΥΠΗΓΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ

Εκμετάλλευση και Προστασία των Υπόγειων Υδατικών Πόρων

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 22.

Υδραυλική των Υπόγειων Ροών

Παράδειγμα #8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ν. Βασιλειάδης. την κεντρώα έκφραση πεπερασμένων διαφορών 2 ης τάξης και β) για τη παράγωγο f

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα Απειροστές ποσότητες... 7

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΦΟΙΤΗΤΕΣ ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΡΥΠΩΝ

ΕΙΣΗΓΗΣΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΚΟΡΜΟΥ

Αναμόρφωση και Υλοποίηση του Προγράμματος Σπουδών της Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών

Περιεχόµενα. 0.1 Υλη του Μαθήµατος : Συγγράµµατα, Βιβλιογραϕία... 4

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 2 Μεταβατικές Διατάξεις

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΜΟΝΑ ΩΝ ECTS ΣΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ

Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν. ΤΕΧΝΙΚΗ ΚΑΥΣΗΣ & ΑΕΡΙΟΠΟΙΗΣΗΣ Κτ. Χ-Μ Αμφ. 1. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ & ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Κτ. Χ-Μ ΑΙΘ.

προβλήµατα ανάλυσης ροής

Βιβλιογραφία Λ.Τσίτσα -Εφαρμοσμένος Απειροστικός Λογισμός

ΤΟ ΕΝ ΡΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Κεφάλαιο 1 Βασικές αρχές µελέτης των κατασκευών 1

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΠΠΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 4: Εξίσωση διάχυσης

Α Ν Α Κ Ο Ι Ν Ω Σ Η. Ανακοινώνεται ότι κατόπιν. διόρθωσης τυπογραφικού λάθους. το Πρόγραμμα των Επαναληπτικών Εξετάσεων

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΧΕΙΜΕΡΙΝΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΑΡΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #3: ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ.

ΑΚ. ΕΤΟΥΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ 9/10/2015 TMHMA MHXΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΩΡΑ ΔEYTEPA TPITH TETAPTH ΠΕΜΠΤΗ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ

221 Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Πάτρας

Κατατάξεις πτυχιούχων ΑΕΙ και ΤΕΙ στο Τμήμα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ για το έτος

Κατηγορία μαθήματος ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ 1 NAOΜE1101 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ι ΜΓΥ NAOΜE1102 ΦΥΣΙΚΗ Ι ΜΓΥ

ưƪƶƭʈƪƶ ƩƭƧĭƳƵƭƮƪƶ ƪƲƭƶƻƶƪƭƶ & ưƭīƨʃƭʈƪƶ ƶƹʊƨƶʒƭƶƪƭƶ:

Κεφ. 6: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές προβλήματα οριακών τιμών

ΕΙΣΗΓΗΣΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΚΟΡΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ ΠΑΡΑ ΟΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ/ΤΡΙΕΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. ΘΕΜΑ: ιαβίβαση Προγραμμάτων Τελικών Εξετάσεων Σας διαβιβάζουμε το πρόγραμμα τελικών εξετάσεων περίοδος

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

6. Αριθμητική επίλυση συνήθων διαφορικών

Πίνακας Προτεινόμενων Πτυχιακών Εργασιών

Περιεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς

Περιεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς

1 ο ΕΤΟΣ 1 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΩΔΙΚΟΣ ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Θ Α Ε ΔΜ. 2 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΩΔΙΚΟΣ ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Θ Α Ε ΔΜ

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο : Θεωρητική προσέγγιση της FDTD

Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για την εξίσωση της θερμότητας

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ

Transcript:

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ Σηµειώσεις µαθήµατος ηµήτρης Βαλουγεώργης Αναπληρωτής Καθηγητής Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιοµηχανίας Εργαστήριο Φυσικών και Χηµικών ιεργασιών Πολυτεχνική Σχολή Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας Βόλος, Οκτώβριος 2005

Πρόλογος Το µάθηµα των Υπολογιστικών Μεθόδων εισήχθη στα πλαίσια της δεύτερης αναµόρφωσης του Προγράµµατος Σπουδών και συγκεκριµένα την ακαδηµαϊκή χρονιά 2001-02. ιδάσκεται στο 5ο εξάµηνο και οι φοιτητές που το παρακολουθούν θα πρέπει να έχουν ολοκληρώσει µε επιτυχία τα µαθήµατα των Συνήθων και Μερικών ιαφορικών Εξισώσεων, του Προγραµµατισµού, της Αριθµητικής Ανάλυσης και να έχουν αποκτήσει βασικές γνώσεις στην Μηχανική των Ρευστών και Στερεών. Στόχος του µαθήµατος είναι να ενισχύσει την θεωρητική και εφαρµοσµένη γνώση του φοιτητή στην υπολογιστική επίλυση µηχανολογικών προβληµάτων. Το µάθηµα εντάσσεται στη γενικότερη προσπάθεια που γίνεται στο ΤΜΜΒ ώστε να αναβαθµιστούν οι ικανότητες των φοιτητών του τµήµατος στις νέες τεχνολογίες, στη πληροφορική και στην ανάπτυξη και εφαρµογή τεχνικού λογισµικού. Η ύλη του µαθήµατος περιλαµβάνει την αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων (Σ Ε) που περιγράφουν προβλήµατα αρχικών τιµών, την ταξινόµηση των µερικών διαφορικών εξισώσεων (Μ Ε), την αριθµητική επίλυση συνήθων και µερικών διαφορικών εξισώσεων µε τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών και τέλος µία εισαγωγή στη µέθοδο των πεπερασµένων όγκων. Συγκεκριµένα στο 1 ο Κεφάλαιο αναπτύσσονται οι µέθοδοι αριθµητικής ολοκλήρωσεης Σ Ε και συστηµάτων Σ Ε και διατυπώνονται οι συνθήκες σύγκλισης και ευστάθειας των µεθόδων ολοκλήρωσης. Στο 2 ο Κεφάλαιο παρουσιάζεται η αριθµητική παραγώγιση και µία εισαγωγή στη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών µε πιλοτικές εφαρµογές σε προβλήµατα οριακών τιµών που περιγράφονται από συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. Στη συνέχεια στο 3 ο Κεφάλαιο γίνεται η µαθηµατική ταξινόµηση των µερικών διαφορικών εξισώσεων 2 ου βαθµού και εξηγείται η φυσική της σηµασία. Στα Κεφάλαια 4 και 5 η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών αναπτύσσεται µε λεπτοµέρεια και εφαρµόζεται σε 2

µεγάλο εύρος ελλειπτικών και παραβολικών προβληµάτων αντίστοιχα. ίδεται έµφαση στις έννοιες της ευστάθειας, της συνοχής και της σύγκλισης του αριθµητικού σχήµατος και στα προβλήµατα που εµφανίζονται από την διακριτοποίηση των συνεχών διαφορικών εξισώσεων. Στο 6 ο Κεφάλαιο διατυπώνεται η βασική µεθοδολογία των πεπερασµένων όγκων, επιλύεται µία σειρά απλών προβληµάτων και κυρίως περιγράφονται οι απαραίτητες προϋποθέσεις ώστε να υπάρχει αντιστοιχία ανάµεσα στις µεθόδους των πεπερασµένων διαφορών και όγκων. Επίσης περιγράφεται ο φαινοµενολογικός χαρακτήρας της ευστάθειας στις εξισώσεις πεπερασµένων όγκων. Τέλος στο 7 ο Κεφάλαιο εφαρµόζεται η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών στις εξισώσεις κύµατος 1 ης και 2 ης τάξης και γενικότερα σε προβλήµατα υπερβολικού χαρακτήρα. Στη συνέχεια των σπουδών τους οι φοιτητές του ΤΜΜΒ έχουν την δυνατότητα να παρακολουθήσουν τα µαθήµατα των Πεπερασµένων Στοιχείων και των Υπολογιστικών Μεθόδων στην Ενεργειακή Περιοχή του 6 ου και 7 ου εξαµήνου αντίστοιχα, και να ολοκληρώσουν ένα βασικό κύκλο µαθηµάτων στην Υπολογιστική Μηχανική. Βόλος, Οκτώβριος 2005 3

Περιεχόµενα 1. Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων (Σ Ε) και συστηµάτων προβλήµατα αρχικών τιµών (8 ώρες) 1.1 Εισαγωγή 1.2 Μέθοδος Euler 1.3 Μέθοδοι Runge-Kutta 1.4 Αριθµητική επίλυση συστηµάτων διαφορικών εξισώσεων 1.5 Ευστάθεια και σφάλµατα µεθόδων Euler και Runge-Kuttta 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών σε Σ Ε (6 ώρες) 2.1 Εισαγωγή 2.2 Εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών 2.2.1 Σειρά Taylor 2.2.2 Πολυώνυµα παρεµβολής 2.3 Προβλήµατα δύο οριακών τιµών 2.4 Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών 2.5 Οριακές συνθήκες µε παραγώγους 3. Ταξινόµηση µερικών διαφορικών εξισώσεων 2 ης τάξης (4 ώρες) 3.1 Εισαγωγή 3.2 Ταξινόµηση Μ Ε. 2 ης τάξης µε δυο ανεξάρτητες µεταβλητές 3.3 Ταξινόµηση Μ Ε. 2 ης τάξης µε περισσότερες από δυο ανεξάρτητες µεταβλητές 3.4 Οριακές συνθήκες τύπου Dirichlet, Neumann και Robin 3.5 Σωστά τοποθετηµένα προβλήµατα 3.6 Φυσική σηµασία ταξινόµησης Μ Ε 4. Επίλυση ελλειπτικών µερικών διαφορικών εξισώσεων µε 4.1 Εισαγωγή (Εξισώσεις Laplace, Poisson, Helmholtz, ιαρµονική) 4.2 Εξισώσεις πέντε και εννέα σηµείων 4.3 Επίλυση συστηµάτων 4.4 Μέθοδος ADI 4.5 Οριακές συνθήκες µικτού τύπου και ακανόνιστα όρια 4.6 Κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγµένες 4

5. Επίλυση παραβολικών µερικών διαφορικών εξισώσεων µε 5.1 Εισαγωγή θερµότητας ή διάχυσης 5.2 ιακριτοποίηση του πεδίου ορισµού 5.3 Ρητό σχήµα 5.4 Πεπλεγµένο σχήµα 5.5 Πεπλεγµένο σχήµα Crank-Nicolson 5.6 Ευστάθεια 5.7 Συνοχή 5.8 Σύγκλιση 5.9 Εξίσωση θερµότητας ή διάχυσης σε δύο διαστάσεις 5.10 Ανάλυση ευστάθειας σε δύο διαστάσεις 5.11 Εφαρµογή της µεθόδου ADI σε παραβολικές εξισώσεις 5.12 Αντιστοιχία παραβολικών και ελλειπτικών σχηµάτων 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων (12 ώρες) 6.1 Εισαγωγή 6.2 Ολοκλήρωση σε όγκο αναφοράς 6.3 Οριακές συνθήκες 6.4 Χρονικά µεταβαλλόµενα προβλήµατα 6.5 Ολοκλήρωση σε δισδιάστατο και τρισδιάστατο όγκο αναφοράς 6.6 Κυλινδρικές συντεταγµένες 6.7 Επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών προβληµάτων 6.8 Σύγκριση µεταξύ των µεθόδων πεπερασµένων διαφορών και όγκων 7. Επίλυση υπερβολικών µερικών διαφορικών εξισώσεων µε 7.1 Εξισώσεις κύµατος 1 ης και 2 ης τάξης 7.2 Πρόδροµη στο χρόνο ανάδροµη στο χώρο 7.3 Σύγκριση αριθµητικής και αναλυτικής λύσης 7.4 Ρητά σχήµατα Lax-Wendroff και McCormack 7.5 Πεπλεγµένα σχήµατα Euler και Τραπεζίου 7.6 Αριθµητική επίλυση εξίσωσης κύµατος 2 ης τάξης Παράρτηµα 1. Αναλυτικές λύσεις µερικών διαφορικών εξισώσεων 5