ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι η µάζα, ο όγκος, το µήκος κ.λ.π. ιανυσµατικά είναι τα µεγέθη για τα οποία δεν είναι αρκετό το µέτρο τους για να τα χαρακτηρίσει. Η ταχύτητα ας πούµε ενός κινητού, γίνεται γνωστή όταν εκτός από το µέτρο γνωρίζουµε το δρόµο επί του οποίου γίνεται η κίνηση και τη φορά που έχει το κινητό επί του δρόµου αυτού. Άλλα τέτοια µεγέθη, είναι η επιτάχυνση, η δύναµη κ.λ.π. Τα διανύσµατα γενικά, είναι η µαθηµατική έκφραση των διανυσµατικών µεγεθών. Ειδικότερα, έχουµε: Ορισµός: ιάνυσµα είναι κάθε µη µηδενικό προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα. ηλαδή κάθε ευθύγραµµο τµήµα, του οποίου τα άκρα είναι διατεταγµένα, αποτελεί διάνυσµα που συµβολίζεται και απεικονίζεται από ένα βέλος, όπως στο σχήµα 1. Το σηµείο που είναι το πρώτο άκρο, αποτελεί την αρχή του διανύσµατος, ενώ το σηµείο που αποτελεί το δεύτερο άκρο, είναι το πέρας αυτού και σηµαδεύεται µε ένα βέλος. Πολλές φορές ένα διάνυσµα, συµβολίζεται και µε τα µικρά γράµµατα του Ελληνικού ή του Λατινικού αλφαβήτου. Έτσι έχουµε τα διανύσµατα α, β,c, d,... σχ.1 Στοιχεία του διανύσµατος Κάθε διάνυσµα, χαρακτηρίζεται από τα στοιχεία του, που είναι: 1. Φορέας: Φορέας του διανύσµατος, είναι η ευθεία επί της οποίας περιέχεται το διάνυσµα.
Έτσι ο φορέας του διανύσµατος (σχ. 1), είναι η ευθεία, που ονοµάζεται και διεύθυνση αυτού. ύο διανύσµατα που περιέχονται στον ίδιο φορέα ή σε παράλληλους φορείς, λέµε ότι είναι παράλληλα ή συγγραµµικά. Για τα συγγραµµικά διανύσµατα, Γ συµβολίζουµε: // Γ 2. Φορά διανύσµατος: Φορά ενός διανύσµατος, είναι η φορά της ηµιευθείας. Ειδικότερα, όταν δύο διανύσµατα τότε ενδέχεται:, Γ είναι συγγραµµικά, i Να περιέχονται και τα δύο στο ίδιο ηµιεπίπεδο της ευθείας που ορίζεται από την αρχή τους (σχ. 3α) ή οι ηµιευθείες, Γ να είναι η µία µέσα στην άλλη (σχ. 3β). Γ Γ Γ σχ. 3β Σ αυτή την σχ. 3α περίπτωση, τα διανύσµατα έχουν την ίδια φορά και λέµε ότι είναι οµόρροπα, ενώ συµβολίζουµε: րր Γ Tα οµόρροπα διανύσµατα λέµε ότι έχουν την ίδια κατεύθυνση. ii Να περιέχονται στα διαφορετικά ηµιεπίπεδα της ευθείας που ορίζεται από την αρχή τους (σχ. 4α) ή οι ηµιευθείες, Γ να µη περιέχει η µία την άλλη (σχ. 4β). Στην περίπτωση αυτή τα διανύσµατα έχουν αντίθετες φορές και λέµε ότι είναι αντίρροπα, ενώ συµβολίζουµε: րւ Γ σχ 4α Γ
3. Μέτρο: Μέτρο του διανύσµατος, είναι η απόσταση των άκρων του. Γ Γ ηλαδή το µέτρο του διανύσµατος είναι το µήκος () του ευθυγράµµου τµήµατος που απεικονίζει το διάνυσµα. Το µέτρο του διανύσµατος συµβολίζεται σχ. 4β και ισχύει: = ( ) 0 Ίσα διανύσµατα Όταν τα διανύσµατα, Γ είναι οµόρροπα και έχουν το ίδιο µέτρο, τότε λέµε ότι είναι ίσα και συµβολίζουµε: =Γ Πρόταση 1: ν τα διανύσµατα, Γ δεν περιέχονται στον ίδιο φορέα, ισχύει η ισοδυναµία: =Γ Γ παραλ/µο Πρόταση 2: των ισοτήτων: =Γ Η παραπάνω ισοδυναµία, εξασφαλίζει την ισοδυναµία Γ= =Γ = Γ Πρόταση 3: και µόνον αν: Το σηµείο Μ είναι µέσον του ευθυγράµµου τµήµατος αν Μ=Μ Η απόδειξη να γίνει από τους µαθητές
ιάνυσµα θέσεως Θεωρούµε διάνυσµα α και σηµείο Ο (σχ. 7). πό τον ορισµό της ισότητας, προκύπτει ότι υπάρχει µοναδικό σηµείο, ώστε να ισχύει: α Ο=α Το διάνυσµα Ο, ονοµάζεται διάνυσµα θέσεως του Ο σηµείου ή διανυσµατική ακτίνα του. σχ. 7 Είναι φανερό ότι το σηµείο Ο µπορεί να γίνει κοινή αρχή όλων των διανυσµάτων του χώρου, γι αυτό ονοµάζεται σηµείο αναφοράς στο χώρο. ντίθετα διανύσµατα Ορισµός: ύο διανύσµατα είναι αντίθετα, αν και µόνον αν είναι αντίρροπα και έχουν ίσα µέτρα. Για τα αντίθετα διανύσµατα, Γ σηµειώνουµε: = Γ και είναι φανερό ότι ισχύει η ισοδυναµία: = Γ = Γ
Μηδενικό διάνυσµα Ορισµός: Κάθε διάνυσµα του οποίου τα άκρα ταυτίζονται, ονοµάζεται µηδενικό και συµβολίζεται 0. Ο ορισµός αυτός µας επιτρέπει να συµπεράνουµε: 1. Όλα τα µηδενικά διανύσµατα είναι ίσα µεταξύ τους. 2. Κάθε σηµείο, είναι µηδενικό διάνυσµα. 3. Το µέτρο του µηδενικού διανύσµατος, είναι µηδέν. Ενώ δεχόµαστε ότι: 1. Ο φορέας του µηδενικού διανύσµατος, είναι οποιαδήποτε ευθεία που περνά από το σηµείο. υτό σηµαίνει ότι κάθε µηδενικό διάνυσµα, είναι συγγραµµικό οποιουδήποτε διανύσµατος. 2. Το µηδενικό διάνυσµα, έχει οποιαδήποτε φορά. Γωνία δύο διανυσµάτων Θεωρούµε τα µη µηδενικά διανύσµατα α, β και σηµείο Ο. ν είναι Ο=α, Ο =β, την κυρτή γωνία Ο ονοµάζουµε γωνία των διανυσµάτων α, β β, α. Είναι αυτονόητο ότι: και τη συµβολίζουµε µε ( ) ή ( ) 1. ν τα διανύσµατα είναι οµόρροπα, τότε η γωνία τους είναι µηδέν. 2. ν τα διανύσµατα είναι αντίρροπα, τότε η γωνία τους είναι π 3. Όταν η γωνία Ο είναι ορθή, τότε λέµε ότι τα διανύσµατα είναι κάθετα και συµβολίζουµε α β.
ΠΡΞΕΙΣ ΙΝΥΣΜΤΩΝ ΠΡΟΣΘΕΣΗ Θεωρούµε τα διανύσµατα τα σηµεία, (σχ. 8) ώστε: Ο=α και = β α, β και σηµείο Ο του χώρου. Ορίζουµε Ο σχ. 8 Έστω γ το διάνυσµα Ο. Το διάνυσµα αυτό ονοµάζουµε άθροισµα των α, β και συµβολίζουµε: γ=α+β ή Ο=Ο+ Το διάνυσµα γ=ο είναι ανεξάρτητο από την επιλογή του σηµείου Ο. πό την ισότητα Ο=Ο+ Ο, µπορούµε να διατυπώσουµε την πρόταση: Όταν τα διανύσµατα είναι διαδοχικά (σχ. 8), τότε το άθροισµα αυτών είναι το διάνυσµα που έχει αρχή την αρχή του πρώτου και πέρας, το πέρας του δεύτερου. Ενώ η ισότητα Ο=Ο+ΟΓ (σχ. 9), µας δίνει την πρόταση: Το άθροισµα δύο διανυσµάτων µε κοινή αρχή, είναι η διαγώνιος του παραλ/µου που σχηµατίζεται µε πλευρές τα διανύσµατα αυτά και έχει αρχή την κοινή αρχή των διανυσµάτων αυτών.
Ιδιότητες της πρόσθεσης Στο σύνολο των διανυσµάτων, ισχύουν όλες οι ιδιότητες της πρόσθεσης, που ισχύουν στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών. Έτσι λοιπόν, έχουµε: 1. ντιµεταθετική: Για οποιαδήποτε διανύσµατα α, β ισχύει: α+ β=β+ α 2. Προσεταιριστική: Για οποιαδήποτε διανύσµατα α, β, γ ισχύει: α+ β +γ =α+ β+ γ ( ) ( ) 3. Ουδετέρου: Το µηδενικό διάνυσµα 0, αποτελεί το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης, διότι για κάθε διάνυσµα α, ορίζουµε το Ο=α και ισχύει: α+ 0 =Ο+=Ο=α 4. Συµµετρικού: Το αντίθετο του κάθε διανύσµατος, αποτελεί το συµµετρικό αυτού ως προς την πρόσθεση. Μέτρο αθροίσµατος διανυσµάτων Έστω τα µη συγγραµµικά διανύσµατα α, β (σχ. 12) και Ο σηµείο του χώρου. Τότε ορίζουµε τα σηµεία, ώστε: Ο=α και = β πό το τρίγωνο Ο έχουµε τη σχέση: ( Ο ) ( ) < ( Ο ) < ( Ο ) + ( ) α β Επειδή ( Ο ) = α, ( ) = β Ο σχ. 12 και ( Ο ) = α+ β, προκύπτει: α β < α+ β < α + β ν τα διανύσµατα α, β είναι οµόρροπα, είναι φανερό ότι ισχύει: α+ β = α + β Ενώ αν είναι αντίρροπα, έχουµε: α β = α+ β
Εποµένως γενικά ισχύει: α β α+β α +β φαίρεση διανυσµάτων Έστω τα διανύσµατα α, β. Το διάνυσµα: γ=α+ ( β ) που συµβολίζεται γ=α β και το ονοµάζουµε διαφορά του διανύσµατος β από το διάνυσµα α. πό τον ορισµό της διαφοράς α β, προκύπτει ότι αρκεί στο διάνυσµα α Ο β, να προσθέσουµε το αντίθετο του β α (σχ. 13α). ν στο σχήµα 13β ορίσουµε τα σηµεία, ώστε Ο=α, Ο = β σχ.13α Ο και σχηµατίσουµε το παραλ/µο ΟΓ, τότε επειδή Ο= β, έχουµε: Γ σχ.13β α β= α+ β =Ο+Ο= ( ) Που σηµαίνει ότι η διαφορά των διανυσµάτων όταν έχουν κοινή αρχή, είναι η δεύτερη διαγώνιος του παραλ/µου που σχηµατίζεται µε τα διανύσµατα αυτά και του οποίου η διαγώνιος µε αρχή την κοινή αρχή αυτών, απεικονίζει το άθροισµα των διανυσµάτων. κόµη επειδή από την (1) µπορούµε να έχουµε: διατυπώνουµε: Ο Ο= Η διανυσµατική ακτίνα του µείον την διανυσµατική ακτίνα του, µας δίνει το διάνυσµα. ηλαδή την διαφορά των διανυσµάτων. (1)
ΠΟΛ/ΣΜΟΣ ΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙ ΙΝΥΣΜ Ορισµός: Θεωρούµε το διάνυσµα α και τον πραγµατικό αριθµό λ. Το γινόµενο του πραγµατικού αριθµού λ, επί το διάνυσµα α συµβολίζεται: β=λα και είναι ένα διάνυσµα: i Οµόρροπο του α αν λ> 0, αντίρροπο του α αν λ< 0. ii β = λ α ν λ=0 ή α= 0, τότε το γινόµενο λα είναι το µηδενικό διάνυσµα. Πρόταση: Τα α 0, β είναι δύο συγγραµµικά διανύσµατα, αν και µόνον αν υπάρχει πραγµατικός αριθµός λ, ώστε: β=λα Ιδιότητες του γινοµένου αριθµού επί διάνυσµα Το γινόµενο πραγµατικού αριθµού λ επί διάνυσµα α, χαρακτηρίζεται από τις ιδιότητες που ακολουθούν. Οι αποδείξεις των ιδιοτήτων αυτών είναι εκτός ύλης. Πρέπει όµως να τις γνωρίζετε, για να µπορείτε να λύνετε ασκήσεις. 1. Το γινόµενο πραγµατικού αριθµού επί διάνυσµα, είναι επιµεριστικό ως προς το άθροισµα των διανυσµάτων. ηλαδή ισχύει: λ α+ β =λα+λ β, λ R και α, β E ( )
2. Το γινόµενο πραγµατικού αριθµού επί διάνυσµα, είναι επιµεριστικό ως προς το άθροισµα των αριθµών. υτό σηµαίνει ότι ισχύει: λ+µ α=λα+µα λ µ R και α E ( ),, 3. Το γινόµενο αριθµού επί διάνυσµα, είναι προσεταιριστικό ως προς το γινόµενο των αριθµών, διότι ισχύει: λ µα = λµ α λ µ R και α E ( ) ( ),, 4. Το ουδέτερο στοιχείο της πράξης αυτής είναι η πραγµατική µονάδα, διότι ισχύει: 1 α=α, α E Συνέπεια των ιδιοτήτων αυτών, έχουµε ακόµη τις ιδιότητες που ακολουθούν, των οποίων τις αποδείξεις πρέπει να ξέρετε. ❶ Για λ R και α E, ισχύει η ισοδυναµία: λα= 0 λ= 0 ή α= 0 ❷ Για κάθε λ R και για κάθε διάνυσµα α, ισχύει: λ α=λ α = λα ( ) ( ) ( ) ❸ Στο γινόµενο πραγµατικού αριθµού µε διάνυσµα, ισχύει ο νόµος της διαγραφής και ως προς τους πραγµατικούς αριθµούς και ως προς τα διανύσµατα. ηλαδή ισχύουν οι συνεπαγωγές: λ 0 α 0 1 λα=λ β α= β και 2 λα=µα λ=µ
Γραµµικός συνδυασµός διανυσµάτων Ορισµός: Θεωρούµε τα διανύσµατα α, β. Κάθε διάνυσµα: γ=λα+µβ µε λ, µ R Ονοµάζεται γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων αυτών. Η πρόταση αυτή γενικεύεται για περισσότερα από δύο διανύσµατα. Έτσι αν έχουµε τα διανύσµατα α 1, α 2,..., α ν κάθε διάνυσµα της µορφής: λ 1 α 1 +λ 2 α 2 +... +λ ν α ν µε λ i R, i=1,2,..,ν ονοµάζεται γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων: α, α,..., α ν 1 2 Πρόταση: ν τα διανύσµατα α, β δεν είναι συγγραµµικά και υπάρχουν λ, µ R ώστε να ισχύει: γ=λα+µβ τότε για το κάθε διάνυσµα γ οι λ,µ είναι µοναδικοί. ιανυσµατική ακτίνα µέσου ευθυγράµµου τµήµατος Θεωρούµε ευθύγραµµο τµήµα και έστω Μ το µέσον του. ν Ο είναι τυχαίο σηµείο του χώρου, ισχύει: Ο+Ο ΟΜ= 2
ΣΥΝΤΕΤΓΜΕΝΕΣ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο του είναι ίσο µε τη µονάδα. Η ευθεία η εφοδιασµένη µε τα στοιχεία αυτά, ονοµάζεται άξονας µε αρχή το Ο και συµβολίζεται ( Ο, i) ή x x. Η ηµιευθεία Ο x που περιέχει το µοναδιαίο διάνυσµα, ονοµάζεται θετικός ηµιάξονας, ενώ η ηµιευθεία Ο x ονοµάζεται αρνητικός ηµιάξονας. Τετµηµένη σηµείου Θεωρούµε άξονα ( Ο, i) και σηµείο Μ αυτού (σχ. 22). Έτσι ορίζεται το διάνυσµα ΟΜ, το οποίο είναι συγγραµµικό του i, εποµένως υπάρχει µοναδικός πραγµατικός αριθµός x, ώστε να ισχύει: ΟΜ= xi (1) Ο µοναδικός αυτός πραγµατικός αριθµός, ονοµάζεται τετµηµένη του σηµείου Μ και συµβολίζεται Μ ( x) ή x Μ ντίστροφα, σε κάθε πραγµατικό αριθµό x, αντιστοιχεί σηµείο Μ του άξονα. Πράγµατι για δεδοµένο πραγµατικό αριθµό x, από τη σχέση (1) ορίζεται διάνυσµα ΟΜ συγγραµµικό του i. Επειδή τα διανύσµατα ΟΜ, i έχουν κοινή αρχή Ο, συνεπάγεται ότι περιέχονται στον ίδιο φορέα, άρα το Μ είναι σηµείο του άξονα x x Μ x. και συµβολίζεται ( ) κόµη γίνεται φανερό ότι αν x είναι η τετµηµένη του σηµείου Μ, ισχύει: ( ΟΜ ) = x ιότι από την σχέση ΟΜ= xi, έχουµε ΟΜ = xi ή ΟΜ = x i και επειδή i = 1, προκύπτει ΟΜ = x.
Καρτεσιανό επίπεδο Σε δεδοµένο επίπεδο, θεωρούµε δύο κάθετους άξονες x x, y y (σχ. 23) µε κοινή αρχή το σηµείο Ο και έστω i, j τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων αυτών αντίστοιχα. Το επίπεδο που είναι εφοδιασµένο µε τα στοιχεία αυτά, λέµε ότι αποτελεί ένα ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων ή ένα καρτεσιανό επίπεδο και Ο, i, j ή απλούστερα Ο xy. Στην το συµβολίζουµε ( ) περίπτωση που τα µοναδιαία των αξόνων εκφράζουν την ίδια µονάδα µήκους, τότε λέµε ότι έχουµε ένα ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων. Συντεταγµένες σηµείου Θεωρούµε καρτεσιανό επίπεδο Ο xy (σχ. 24) και σηµείο Μ του επιπέδου αυτού. πό το σηµείο Μ θεωρούµε παράλληλες ευθείες προς τους άξονες και έστω Μ 1, Μ 2 τα σηµεία τοµής των παραλλήλων αυτών µε τους άξονες x x, y y αντίστοιχα. Στο σηµείο Μ 1 του άξονα x x αντιστοιχεί ο πραγµατικός αριθµός x που ονοµάζεται τετµηµένη του σηµείου Μ και στο σηµείο Μ 2 του άξονα y y αντιστοιχεί ο πραγµατικός αριθµός y που ονοµάζεται τεταγµένη του σηµείου Μ. Το διατεταγµένο x,y στο οποίο αντιστοιχεί το Μ, ζευγάρι ( ) αποτελεί τις συντεταγµένες του Μ. ντίστροφα, σε κάθε ζευγάρι ( x,y ) αντιστοιχεί µοναδικό σηµείο Μ του καρτεσιανού επιπέδου Ο xy, που καθορίζεται µε τον ακόλουθο τρόπο: Στην τετµηµένη χ αντιστοιχεί το σηµείο Μ 1 του άξονα x x και στην τεταγµένη y το σηµείο Μ 2 του άξονα y y. πό το Μ 1 θεωρούµε παράλληλη προς τον άξονα y y (σχ. 24) και από το Μ 2 παράλληλη προς τον x x. Η τοµή των παραλλήλων αυτών ευθειών, είναι το σηµείο Μ που αντιστοιχεί στο ζευγάρι ( x,y ). Υπάρχει λοιπόν και µεταξύ των σηµείων του καρτεσιανού επιπέδου και των στοιχείων του RR x αµφιµονοσήµαντη αντιστοιχία, αφού σε κάθε σηµείο Μ του x,y που είναι οι καρτεσιανού επιπέδου, αντιστοιχεί ένα διατεταγµένο ζευγάρι ( ) συντεταγµένες του σηµείου και αντίστροφα. Το σηµείο Μ που έχει συντεταγµένες Μ x, y. ( x, y ) συµβολίζεται ( )
Συντεταγµένες διανύσµατος Θεωρούµε καρτεσιανό επίπεδο Ο xy και ένα διάνυσµα α του επιπέδου αυτού (σχ. 25). Είναι γνωστό ότι υπάρχει µοναδικό σηµείο του επιπέδου, ώστε: Ο=α Έστω 1, 2 οι προβολές του στους άξονες x x, y y αντίστοιχα. Παρατηρούµε ότι ισχύει: Ο=Ο 1 +Ο 2 (1) x,y οι συντεταγµένες του σηµείου, ισχύουν οι σχέσεις: Ο 1 =χ i, Ο2 =ψ j (2) Όπου i, j είναι τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων x x, y y αντίστοιχα. Εποµένως η σχέση (1) έχει τη µορφή: α= xi + yj (3) Τα διανύσµατα που δίνονται από τις σχέσεις (2), αποτελούν τις συνιστώσες του διανύσµατος α στις διευθύνσεις των αξόνων. Οι πραγµατικοί αριθµοί x,y που εκφράζουν το διάνυσµα α σαν γραµµικό συνδυασµό των µοναδιαίων διανυσµάτων i, j ονοµάζονται συντεταγµένες του διανύσµατος ως προς τα i, j. Μάλιστα απ αυτές, ο πραγµατικός αριθµός x ονοµάζεται τετµηµένη ενώ ο πραγµατικός αριθµός y ονοµάζεται τεταγµένη του διανύσµατος. Επειδή τα διανύσµατα i, j δεν είναι συγγραµµικά, οι πραγµατικοί αριθµοί x,y είναι µοναδικοί. Εποµένως: Κάθε διάνυσµα, γράφεται κατά µοναδικό τρόπο σαν γραµµικός συνδυασµός των µοναδιαίων. ν είναι ( ) πό τα όσα έχουµε διατυπώσει, γίνεται φανερό ότι οι συντεταγµένες ενός διανύσµατος σε καρτεσιανό επίπεδο Ο xy µε µοναδιαία i, j είναι: 1. Οι συντεταγµένες του πέρατος, όταν τα διάνυσµα έχει αρχή την αρχή των αξόνων. 2. Οι πραγµατικοί αριθµοί που εκφράζουν το διάνυσµα (σχέση 3) σαν γραµµικό συνδυασµό των µοναδιαίων.
Συντεταγµένες γραµµικού συνδυασµού Θεωρούµε τα διανύσµατα: α= ( x 1, y 1), β= ( x 2,y2) σε καρτεσιανό επίπεδο ( Ο, i, j). Τότε ισχύουν οι σχέσεις: α= x1i + y1 j (1) β=x2i + y2j (2) πό τις σχέσεις αυτές, µπορούµε να προσδιορίσουµε τις συντεταγµένες όλων των γραµµικών συνδυασµών των διανυσµάτων αυτών. Έτσι λοιπόν έχουµε: 1. Συντεταγµένες του α+ β Οι συντεταγµένες του αθροίσµατος δύο διανυσµάτων, είναι το άθροισµα των αντιστοίχων συντεταγµένων των διανυσµάτων αυτών. ηλαδή ισχύει: α +β= x,y + x,y = x + x, y + y ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 2. Συντεταγµένες του λα * Θεωρούµε λ R. πό την ισότητα (1), µπορούµε να έχουµε: λα=λ x1i +λ y1 j Εποµένως: Οι συντεταγµένες του γινοµένου πραγµατικού αριθµού λ επί διάνυσµα α, είναι το γινόµενο του λ επί τις αντίστοιχες συντεταγµένες του διανύσµατος. υτό σηµαίνει ότι: λα=λ x,y = λ x, λ y ( ) ( ) 1 1 1 1 3. Συντεταγµένες του λα+µ β Ο προσδιορισµός των συντεταγµένων του διανύσµατος λα+µ β, επιτυγχάνεται από τον συνδυασµό των δύο προηγουµένων περιπτώσεων. Έτσι λοιπόν έχουµε: λα+µ β=λ x,y +µ x, y = λ x, λ y + µ x, µ y άρα: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 λα+µ β= λx +µ x, λ y +µ y ( ) 1 2 1 2
Συντεταγµένες διανύσµατος από τα άκρα του Θεωρούµε διάνυσµα α= ( x, y) τα σηµεία ( x,y ), ( x, y ) του καρτεσιανού επιπέδου (, i, j) 1 1 2 2 του ίδιου επιπέδου ώστε: α= Επειδή είναι: α=ο+ο ή α=ο Ο Μπορούµε να έχουµε ότι: α= = = ( x, y) ( x, y ) ( x,y ) ( x x, y y ) 2 2 1 1 2 1 2 1 Ο και έστω Εποµένως όταν είναι γνωστές οι συντεταγµένες των άκρων ενός διανύσµατος, οι συντεταγµένες του διανύσµατος προσδιορίζονται αφαιρώντας από τις συντεταγµένες του τέλους, τις αντίστοιχες συντεταγµένες της αρχής. πόσταση δύο σηµείων Σε καρτεσιανό επίπεδο σηµεία ( x,y ), ( x, y ) Ο xy θεωρούµε το διάνυσµα α= ( x, y) 1 1 2 2 ώστε: α= Στο καρτεσιανό επίπεδο και από το Πυθαγόρειο θεώρηµα, µπορούµε να έχουµε: 2 ( ) = ( x x ) + ( y y ) 2 2 = + ή 2 1 2 1 ( ) = ( x2 x1) + ( y2 y1) Επειδή = ( ) προκύπτει: 2 2 = + ( x x ) ( y y ) 2 2 2 1 2 1 και τα εδοµένου ότι x = x2 x1 και y = y2 y1 όπου x,y οι συντεταγµένες του διανύσµατος α, έχουµε: 2 2 α = x + y
Συντεταγµένες µέσου τµήµατος θεωρούµε τα σηµεία ( x,y ), ( x, y ) σε καρτεσιανό επίπεδο Οχψ και 1 1 2 2 έστω Μ το µέσον του τµήµατος Επειδή 1 ΟΜ= ( Ο+Ο ) έχουµε τελικά: 2 x + x y + y x =, y= 2 2 1 2 1 2 Παράλληλα διανύσµατα Θεωρούµε τα διανύσµατα: α= x, y, β= x, y, β 0 ( ) ( ) 1 1 2 2 του καρτεσιανού επιπέδου Οχψ. ν υποθέσουµε ότι τα διανύσµατα αυτά είναι παράλληλα, τότε και µόνον τότε υπάρχει πραγµατικός αριθµός λ, ώστε να ισχύει: α=λβ πό τη συνθήκη αυτή, προκύπτει: x1 y1 0 x y = 2 2 Είναι προφανές ότι η παραπάνω σχέση, ισχύει και όταν β= 0 διότι στην περίπτωση αυτή, είναι x2 = y2 = 0. Άρα τελικά για οποιαδήποτε διανύσµατα α, β ισχύει η ισοδυναµία: x1 y1 α // β = 0 x y 2 2 Η ορίζουσα των συντεταγµένων των α, β συµβολίζεται det (,β) α.
Συντελεστής διευθύνσεως Θεωρούµε διάνυσµα α 0 σε δεδοµένο σύστηµα αναφοράς Ο xy (σχ. 28) και έστω Ο=α. Η γωνία φ που σχηµατίζει το διάνυσµα α µε τον θετικό ηµιάξονα Ο x, είναι το µέρος του επιπέδου που καλύπτει ο θετικός ηµιάξονας Ο x, στρεφόµενος περί το Ο µε τη θετική φορά, έως ότου ταυτισθεί µε την ηµιευθεία Ο. πό τον ορισµό που εδόθη, προκύπτει ότι αν φ είναι το µέτρο αυτής της γωνίας, ισχύει: 0 φ< 2 π Την εφαπτοµένη αυτής της γωνίας, ονοµάζουµε συντελεστή διευθύνσεως του διανύσµατος και συµβολίζουµε µε λ, εφόσον βέβαια α // y y ηλαδή έχουµε: y λ=εφφ= x αφού οι συντεταγµένες του σηµείου είναι ( x,y ). πό τον ορισµό που δώσαµε, γίνεται φανερό ότι: 1. α // x x 2. α // y y 3. α // β λ=0. Όπου λ ο συντελεστής διευθύνσεως Ο συντελεστής διευθύνσεως δεν ορίζεται. λ 1 =λ 2. όπου λ 1, λ 2 οι συντελεστές διευθύνσεως των διανυσµάτων.
Θέσεις δύο διανυσµάτων πό τα όσα έχουν διατυπωθεί, γίνεται φανερό ότι δύο διανύσµατα του χώρου, µπορούν να θεωρηθούν συνεπίπεδα. Πράγµατι, αν α, β είναι δύο διανύσµατα, β µπορούµε να θεωρήσουµε ότι περιέχονται στο ίδιο επίπεδο, αφού από σηµείο Ο έχουµε: α Ο=α, Ο = β q ν τα α, β Ο δεν είναι συγγραµµικά, τότε οι ευθείες Ο, Ο ορίζουν επίπεδο q που τα περιέχει σχ. 29 (σχ. 29). ν όµως είναι συγγραµµικά ή ένα από αυτά είναι το µηδενικό διάνυσµα, τότε περιέχονται στην ίδια ευθεία, άρα στο ίδιο επίπεδο. Πρόταση: Ένα διάνυσµα γ περιέχεται στο επίπεδο των µη συγγραµµικών διανυσµάτων α, β αν και µόνον αν υπάρχουν κ, λ R : γ=κα+λβ Θέσεις τριών διανυσµάτων Θεωρούµε τρία µη µηδενικά διανύσµατα α, β, γ. Τα δύο από αυτά, τα α, β περιέχονται στο ίδιο επίπεδο. Το τρίτο διάνυσµα γ, µπορεί να περιέχεται στο επίπεδο αυτών ή να µη περιέχεται. ν περιέχεται στο επίπεδο των α, β τότε υπάρχουν κ, λ R : γ=κα+λβ ν δεν περιέχεται, τότε δεν µπορεί να ισχύει µία τέτοια σχέση.
ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ Ορισµός Θεωρούµε τα µη µηδενικά διανύσµατα εσωτερικό γινόµενο αυτών, που συµβολίζουµε αριθµό: α β= α β συν α,β ( ) α, β. Ονοµάζουµε α β, τον πραγµατικό ν ένα από τα διανύσµατα αυτά είναι το µηδενικό διάνυσµα, τότε ορίζουµε ότι το εσωτερικό γινόµενο αυτών, είναι µηδέν. Σε ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων διανύσµατα α= x, y, β= x,y ισχύει: ( ) ( ) 1 1 2 2 Ο xy για οποιαδήποτε x x + y y = α β συν α,β 1 2 1 2 ( ) α β=x x + y y ή α 1 2 + 1 2 ηλαδή το εσωτερικό γινόµενο δυο διανυσµάτων, µπορούµε να πούµε ότι είναι: Το άθροισµα των γινοµένων αυτών. των αντίστοιχων συντεταγµένων Ιδιότητες εσωτερικού γινοµένου Άµεση συνέπεια του ορισµού του εσωτερικού γινοµένου, είναι οι επόµενες προτάσεις που αποτελούν τις ιδιότητες αυτού. Έτσι για οποιαδήποτε διανύσµατα:
1. ντιµεταθετική. Που σηµαίνει ότι: α β=β α 2. Προσεταιριστική ως προς το γινόµενο αριθµού επί διάνυσµα. ηλαδή για κάθε λ R ισχύει: ( λα ) β= α ( λ β) =λ ( α β) 3. Επιµεριστική ως προς το άθροισµα. ηλαδή έχουµε: α β+ γ =α β+ α γ ( ) 4. Εσωτερικό τετράγωνο Το εσωτερικό γινόµενο ενός διανύσµατος επί τον εαυτό του, το συµβολίζουµε: 2 α α=α και είναι: 2 α α = α ηλαδή ισχύει: 2 2 α = α Συνηµίτονο γωνίας διανυσµάτων Θεωρούµε τα µη µηδενικά διανύσµατα: α= x, y, β= x,y ( ) ( ) 1 1 2 2 σε ορθοκανονικό σύστηµα Ο xy. πό τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου, επειδή α β 0 µπορούµε να έχουµε: συν α = x1x2+ y1y2 (,β) x + y x + y 2 2 2 2 1 1 2 2
Κάθετα διανύσµατα ύο µη µηδενικά διανύσµατα α, β ενός επιπέδου, λέµε ότι είναι κάθετα και συµβολίζουµε α β, όταν οι φορείς που τα περιέχουν είναι κάθετες ευθείες. Πρόταση: ν α= ( x, y ), β= ( x,y ) 1 1 2 2 είναι δύο µη µηδενικά διανύσµατα ενός ορθοκανονικού συστήµατος Ο xy, ισχύει η ισοδυναµία: α β α β=0 Συνέπεια της πρότασης αυτής, εφ όσον κανένα από τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλο σε κάποιο άξονα, είναι και οι ισοδυναµίες: 1. α β 1 2 1 2 x x + y y = 0 2. α β λ 1 λ 2 = 1 Προβολή διανύσµατος σε διάνυσµα Ο β α σχ. 39 Θεωρούµε τα µη µηδενικά διανύσµατα α, β (σχ. 39). Με αρχή σηµείο Ο, θεωρούµε: Ο=α και Ο= β ν είναι η προβολή του στην ευθεία Ο, το διάνυσµα Ο ονοµάζεται προβολή του β πάνω στο α και συµβολίζεται: Ο =προβ α β Πρόταση: Για οποιαδήποτε µη µηδενικά διανύσµατα α, β α β= α προβ α β ισχύει:
Προσδιορισµός της προβολής διανύσµατος σε διάνυσµα Επειδή Είναι γνωστό ότι ισχύει: προβ β// α α έχουµε: α β= α προβ α β β=λ προβ α α (2) µε συνέπεια από την (1) να προκύπτει: α β= λ α α=λα (1) ( ) 2 Άρα: α β λ= α 2 Εποµένως τελικά η (2) έχει τη µορφή: β= α β προβ α α 2 α Προσοχή: Στο εσωτερικό γινόµενο δεν ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα, µε συνέπεια να µη µπορούµε να κάνουµε απλοποιήσεις στις παραπάνω σχέσεις.