Εξίσωση κύµατος Μερικές παρεξηγήσεις: Η πηγή το κύµατος βρίσκεται στη θέση x=0. Πρέπει να δίνεται η εξίσωση ταλάντωσης της πηγής το κύµατος και µε βάση ατή, βρίσκοµε την εξίσωση το κύµατος. Και η αλήθεια.. Η πηγή µπορεί να είναι οποδήποτε και όχι µόνο στη θέση x=0. Μπορεί να δίνεται η εξίσωση ταλάντωσης κάποιο (οποιοδήποτε) σηµείο και µε βάση την πληροφορία ατή βρίσκοµε την εξίσωση το κύµατος. Ας τα παρακολοθήσοµε µε τη βοήθεια παραδειγµάτων ξεκινώντας από το πώς βρίσκοµε την εξίσωση ενός κύµατος: 1) Πώς προκύπτει η εξίσωση το σχολικού βιβλίο: y= Aηµπ( 0 t T + 00x λ ) (1) για ένα κύµα πο διαδίδεται προς τ αριστερά; Παίρνοµε σαν δεδοµένο ότι το σηµείο πο βρίσκεται στη θέση x=0 το ελαστικού µέσο ταλαντώνεται σύµφωνα µε την εξίσωση: y = Aηµωt ηλαδή θεωρούµε ότι για t=0 το σηµείο στη θέση Ο µε x=0, περνά από τη θέση ισορ-
ροπίας το κινούµενο προς τη θετική κατεύθνση. Για ένα τχαίο σηµείο Σ πο βρίσκεται στη θέση x, δεξιά το Ο, η εξίσωση ταλάντωσής το θα είναι της µορφής: y= Aηµω(t+t 1 ) () όπο t 1 το χρονικό διάστηµα πο χρειάζεται το κύµα να φτάσει από το Σ στο Ο. Ατό σµβαίνει επειδή το σηµείο Σ έχει αρχίσει την ταλάντωσή το πριν από το σηµείο Ο, άρα έχει και µεγαλύτερο χρόνο ταλάντωσης. Ο Σ + x=0 x Αλλά t 1 =x/ όπο η ταχύτητα διάδοσης το κύµατος. Έτσι η εξίσωση () γίνεται: π y= A ηµ[ Τ (t+ x )] = Αηµπ( 0 tτ + 0x λ ) Προσοχή: Η εξίσωση το βιβλίο ισχύει λοιπόν, µόνο αν ικανοποιούνται όλες οι προηγούµενες προϋποθέσεις, αλλιώς θα εφαρµόζοµε τις παραπάνω ιδέες προσαρµοσµένες στα δεδοµένα µας. Παράδειγµα 1 ο : Ένα κύµα διαδίδεται από αριστερά προς τα δεξιά κατά µήκος ενός γραµµικού ελαστικού µέσο µε ταχύτητα =m/s. Ένα σηµείο Ρ βρίσκεται στη θέση x 1 =4m και ταλαντώνεται σύµφωνα µε την εξίσωση: y = 0,ηµπt (S.Ι.) Να βρεθεί η εξίσωση το κύµατος. Απάντηση: Θα πρέπει βρούµε την εξίσωση ταλάντωσης ενός τχαίο σηµείο το µέσο πο βρίσκεται στη θέση x. Έστω ότι ατό το σηµείο είναι το Σ αριστερά το Ρ.
Ο Σ Ρ Τ x = 0m x = 4m + Το κύµα για να διαδοθεί από το Ρ στο Σ χρειάζεται χρόνο: t 1 = 1 x = 4 x οπότε το σηµείο ταλαντώνεται λιγότερο χρόνο από ότι το σηµείο Ρ και έτσι η εξίσωση ταλάντωσής το είναι: y= 0,ηµπ(t-t 1 ) =0,ηµπ(t- 4 x ) ή y= 0, ηµπ(t+ 0 x -) (S.Ι) Θα µπορούσε βέβαια κάποιος να θέλει να βρει την εξίσωση ταλάντωσης ενός τχαίο σηµείο Τ πο βρίσκεται δεξιά το Ρ. Τώρα το κύµα φτάνει πρώτα στο σηµείο Τ, οπότε ατό θα ταλαντώνεται επιπλέον για χρονικό διάστηµα t = 1 x = x 4, οπότε η εξίσωση ταλάντωσης το σηµείο Τ θα είναι: y= 0, ηµπ(t+t ) = 0, ηµπ(t+ x 4 ) οπότε: y= 0, ηµ π(t+0 x -) (S.Ι.) έχοµε βρει ξανά την εξίσωση το κύµατος. Προσέξτε ότι παρ ότι φαίνεται ότι χρησιµοποιούµε διαφορετικά χρονικά διαστήµατα (την πρώτη φορά αφαιρέσαµε, την άλλη προσθέσαµε κάποιο χρονικό διάστηµα) το α- ποτέλεσµα είναι το ίδιο. Αρκεί να είµαστε σνεπείς στην απόδειξη για την εξίσωση το κύµατος.
Παράδειγµα ο: H πηγή ενός κύµατος βρίσκεται στη θέση x 1 =6m και ταλαντώνεται σύµφωνα µε την εξίσωση y= 0,1 ηµπt (S.Ι), οπότε δηµιοργούνται κύµατα µε µήκος κύµατος λ=m, τα οποία διαδίδονται και προς τις δύο κατεθύνσεις. α) Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο κµάτων πο δηµιοργούνται. β) Να σχεδιάστε στιγµιότπο των δύο κµάτων, στο ίδιο διάγραµµα τη χρονική στιγµή t 1 =s. γ) Να βρεθεί η διαφορά φάσης µεταξύ δύο σηµείων Β και Γ πο βρίσκονται στις θέσεις x Β =4m και x Γ =8m. Απάντηση: α) Από την εξίσωση ταλάντωσης της πηγής έχοµε Τ=1s, οπότε =λ/τ=m/s. Για το κύµα πο διαδίδεται προς τα δεξιά θα έχοµε: Ο Β Π Γ x = 0 x 1 =6m + y 1 = 0,1ηµπ(t-t 1 ) = 0,1ηµπ(t- x 6 ) =0,1ηµπ(t-0 x +3) (S.Ι.) Για το κύµα πο διαδίδεται προς τ αριστερά αντίστοιχα θα έχοµε: y =0,1ηµπ(t-t ) =0,1ηµπ(t- 6 x ) = 0,1 ηµπ(t+0 x -3) (S.Ι.) Παρατηρείστε ότι και στις δύο περιπτώσεις αφαιρέσαµε από το χρόνο t κάποιο χρονικό διάστηµα, αφού το κύµα καθστερεί να φτάσει σε κάποιο σηµείο, είτε ατό είναι δεξιά, είτε αριστερά της πηγής. Βέβαια τελικά οι δύο εξισώσεις πο προκύπτον έχον τα πρόσηµα πο περιµέναµε. Για το κύµα προς τα δεξιά φάση φ 1 =1ηµπ(t- 0 x +3) ενώ
Για το κύµα προς τ αριστερά φ =1ηµπ(t+ 0 x -3). β) Για το κύµα πο διαδίδεται προς τα δεξιά, αντικαθιστώντας t=s παίρνοµε: y 1 = 0,1ηµπ(- 0 x +3) = 0,1 ηµ(10π-πx) = -0,1ηµπx και το κύµα έχει διαδοθεί κατά x= t= m=4m, οπότε θα έχει φτάσει στη θέση x max =6m+4m=10m. Ενώ αντίστοιχα για το κύµα προς τ αριστερά αντικαθιστώντας t=s παίρνοµε: y 1 = 0,1ηµπ(+ 0 x -3) = 0,1 ηµ(-π+πx) = 0,1 ηµπx και το κύµα έχει διαδοθεί κατά x= t= m=4m, προς τ αριστερά οπότε θα έχει φτάσει στη θέση: x max = m. Έτσι η µορφή το µέσο είναι ατή το παρακάτω σχήµατος. Π 0 4 6 8 10 m x (Με µαύρη γραµµή το κύµα προς τα δεξιά και µε κόκκινη το κύµα προς τ αριστερά.) γ) Για τη διαφορά φάσης µεταξύ των σηµείων Β και Γ παίρνοµε: φ Β -φ Γ = π(+ 0 x -3) - π(+ 0x -3) =4π+πx-6π-4π-πx+6π=0 Παρατηρείστε ότι δεξιά και αριστερά της πηγής η κατάσταση είναι ακριβώς η ίδια. Η µορφή είναι απολύτως σµµετρική ως προς την πηγή. Μπορείτε να κατεβάσετε (για καλύτερη απόδοση) το αρχείο σε pdf. dmargaris@sch.gr