stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ 1
3 4 Το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή Η παραβολική προσέγγιση βρίσκει άμεση αξιοποίηση στη μελέτη της δονητικής κίνησης των διατομικών ή πολυατομικών μορίων, αλλά και στην αντίστοιχη κίνηση των ατόμων ενός κρυσταλλικού πλέγματος. Στη γειτονιά του ελαχίστου του, κάθε δυναμικό V (x) μπορεί να προσεγγιστεί από το δυναμικό ενός αρμονικού ταλαντωτή. Εξίσωση ιδιοτιμών Το κβαντομηχανικό πρόβλημα για τον αρμονικό ταλαντωτή συνίσταται στη λύση της εξίσωσης ιδιοτιμών όπου ο χαμιλτονιανός τελεστής του προβλήματος την κλασική συχνότητα ταλάντωσης του σωματιδίου Στην αναπαράσταση θέσης θα είναι 2
5 6 Η εξίσωση απλοποιείται περαιτέρω αν χρησιμοποιήσουμε το φυσικό σύστημα μονάδων του προβλήματος, στο οποίο οι τρεις παράμετροι,, m και ω που εμφανίζονται σ αυτό παίρνουν την τιμή μονάδα. οι φυσικά παραδεκτές λύσεις είναι της μορφής: ο ασυμπτωτικός παράγοντας αντιπροσωπεύει τη συμπεριφορά των φυσικών λύσεων στο άπειρο (μηδενισμός) ενώ η συμπληρωματική συνάρτηση H(x) αναμένεται να έχει τη μορφή ενός πολυωνύμου ώστε να ικανοποιείται και το θεώρημα των κόμβων Η εξίσωση που προκύπτει είναι γνωστή ως εξίσωση του Hermite η οποία διαθέτει πολυωνυμικές λύσεις μόνο αν η μέγιστη δύναμη x n μιας τέτοιας λύσης την ικανοποιεί για μεγάλα x. Η εφαρμογή αυτής της αναγκαίας συνθήκης δίνει 3
7 8 Αλγεβρική λύση: Οι τελεστές δημιουργίας και καταστροφής Αφού ο αρμονικός ταλαντωτής έχει ισαπέχουσες ιδιοτιμές που προκύπτουν η μία από την άλλη πηγαίνοντας προς τα πάνω ή προς τα κάτω με ένα σταθερό βήμα είναι λογικό να σκεφτούμε ότι μια ανάλογη διαδικασία παραγωγής των ιδιοκαταστάσεων θα είναι επίσης δυνατή. Δηλαδή θα υπάρχουν δύο κατάλληλοι τελεστές a και a εκ των οποίων ο πρώτος (a ), δρώντας πάνω σε μια ιδιοκατάσταση, θα μας «πηγαίνει» στην ιδιοκατάσταση με την αμέσως μεγαλύτερη ιδιοτιμή, ενώ ο δεύτερος (a) θα κάνει ακριβώς το αντίθετο: θα μας «πηγαίνει» στην ιδιοκατάσταση με την αμέσως μικρότερη ιδιοτιμή. Αν συμβολίσουμε τις διαδοχικές ιδιοκαταστάσεις του ταλαντωτή ως n > όπου για n = 0 θα έχουμε τη θεμελιώδη κατάσταση, για n = 1 την πρώτη διεγερμένη κ.ο.κ. τότε η αναμενόμενη δράση των τελεστών a και a, θα περιγράφεται από τις σχέσεις οπότε για το γινόμενό τους N = a a, θα είναι Ο χαμιλτονιανός τελεστής του αρμονικού ταλαντωτή ή θα ταυτίζεται με τον N ή θα διαφέρει από αυτόν το πολύ κατά έναν πολλαπλασιαστικό παράγοντα ή/και μια προσθετική σταθερά. Ξεκινώντας από την βλέπουμε αμέσως ότι επιδέχεται την προφανή παραγοντοποίηση Φυσιολογικά λοιπόν προτείνουμε ως υποψήφιους τελεστές a και a τους 4
9 10 Ιδιότητες τελεστών δημιουργίας και καταστροφής Ας δούμε κατ αρχάς αν το γινόμενο a a ισούται με τη χαμιλτονιανή H Οι μεταθέτες των τελεστών a και a με τη χαμιλτονιανή H είναι Απόδειξη: Αρκεί να κάνουμε την απόδειξη με τον τελεστή N = a a αντί του H, αφού ο σταθερός όρος 1/2 μετατίθεται με οποιονδήποτε τελεστή. Ας υπολογίσουμε πρώτα τον μεταθέτη [a, a ] για τον οποίο θα είναι επομένως και 5
11 12 Για να δούμε τώρα πώς δρουν οι τελεστές a και a πάνω στις ιδιοκαταστάσεις n> Το γενικό συμπέρασμα είναι ότι για κάθε δεδομένη ιδιοτιμή E n οι E n ±1 είναι επίσης ιδιοτιμές, και έτσι έχουμε ήδη αποδείξει ότι το φάσμα του αρμονικού ταλαντωτή έχει σταθερό βήμα ίσο με ένα. Δηλαδή οι ενεργειακές ιδιοτιμές είναι ισαπέχουσες με σταθερή μεταξύ τους απόσταση ίση με ένα. Αν λοιπόν E 0 είναι η μικρότερη από αυτές εκείνη που αντιστοιχεί στη θεμελιώδη κατάσταση τότε όλες οι άλλες θα προκύπτουν από αυτήν ανεβαίνοντας προς τα πάνω με βήμα μονάδα οπότε το σύνολο των ιδιοτιμών θα δίνεται από τον τύπο το μόνο που απομένει είναι ο υπολογισμός του E 0. Αν σκεφτούμε ότι η ιδιοκατάσταση 0> της θεμελιώδους στάθμης θα ικανοποιεί αφ ενός την εξίσωση ιδιοτιμών και αφ ετέρου την Το οποίο μας δίνει αμέσως E 0 = 1/2, και το τελικό μας αποτέλεσμα για τις ιδιοτιμές θα γράφεται ως ή Οι τελεστές a και a που πραγματοποιούν αυτές τις μεταβάσεις ονομάζονται τελεστές δημιουργίας και καταστροφής αντίστοιχα.ο πρώτος, a, δημιουργεί ένα κβάντο ενέργειας ω και επομένως ανεβάζει τον ταλαντωτή στην αμέσως ψηλότερη ιδιοκατάσταση ενώ ο a καταστρέφει ένα τέτοιο κβάντο και άρα κατεβάζει τον ταλαντωτή στην αμέσως χαμηλότερη ιδιοκατάσταση. 6
13 14 Από τη σχέση θα είναι επίσης απ όπου και η ονομασία του τελεστή N (= a a) ως τελεστή αρίθμησης, αφού οι ιδιοτιμές του μας δίνουν πράγματι τον αριθμό των κβάντων ενέργειας που εμπεριέχονται στην κατάσταση n> Τέλος οι μεταθετικές σχέσεις που είδαμε πριν είναι της γενικής μορφής με ξ = 1 για τον a και ξ = 1 για τον a. ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν για έναν τελεστή H του οποίου το φάσμα μας ενδιαφέρει βρούμε ότι υπάρχει ένας τελεστής A του οποίου ο μεταθέτης με τον H ξαναδίνει τον A πολλαπλασιασμένο με έναν αριθμό ξ δηλαδή [H,A] = ξa τότε: α) Ο τελεστής H έχει ισαπέχουσες ιδιοτιμές με μεταξύ τους απόσταση ίση με ξ. β) Αν ξ < 0, ο τελεστής A δρα πάνω στις ιδιοκαταστάσεις του H ως τελεστής καταβίβασης και ο συζυγής του, A, ως τελεστής αναβίβασης. Και το αντίθετο: Αν ξ > 0, ο A θα είναι τελεστής καταβίβασης και ο A αναβίβασης Αλγεβρική κατασκευή των ιδιοσυναρτήσεων Η αλγεβρική μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί όχι μόνο για τον υπολογισμό των ιδιοτιμών αλλά και για την κατασκευή των ιδιοκαταστάσεων. Η θεμελιώδης κατάσταση προσδιορίζεται πολύ εύκολα με βάση τη συνθήκη a 0> = 0, η οποία, στην αναπαράσταση θέσης, γράφεται ως δηλαδή σαν μια πρωτοτάξια διαφορική εξίσωση που λύνεται αμέσως με αποτέλεσμα (σε κανονικοποιημένη μορφή) Για να βρούμε και τις άλλες ιδιοσυναρτήσεις, επίσης σε κανονικοποιημένη μορφή, θα χρειαστεί να υπολογίσουμε τον αριθμητικό συντελεστή c n που μετατρέπει την αναλογία a n > n +1> σε ισότητα. Έστω λοιπόν ότι 7
15 16 παίρνοντας τα μήκη των δύο μελών έχουμε και αφού Θα είναι με επιλογή του θετικού προσήμου για τα c n, θα γράφεται τελικά ενώ με εντελώς ανάλογο τρόπο καταλήγουμε και στην 8
17 18 Τύπος του Rodrigues/ πολυώνυμα Hermite Γενικότερα: ή όπου H n (x) Που είναι γνωστός ως τύπος του Rodrigues και δίνει τα γνωστά πολυώνυμα Hermite κανονικοποιημένα σύμφωνα με τη βιβλιογραφία. Γραφική αναπαράσταση ιδιοσυναρτήσεων 9
19 20 Αλγεβρικές τεχνικές υπολογισμού Μέσες τιμές, αβεβαιότητες ή στοιχεία μήτρας διαφόρων μεγεθών που εμφανίζονται στις εφαρμογές μπορούν να γίνουν επίσης με έναν καθαρά αλγεβρικό τρόπο. Η γενική ιδέα είναι η εξής: Αφού η δράση των τελεστών a και a πάνω στις ιδιοκαταστάσεις είναι γνωστή τότε το ίδιο θα ισχύει και για τους τελεστές x και p, αφού αυτοί εκφράζονται μέσω των a και a ως Για να υπολογίσουμε λοιπόν μια μέση τιμή της μορφής A = <n A(x, p) n> ή ένα μη διαγώνιο στοιχείο μήτρας, όπως π.χ. το A nm = <n A(x, p) m>, δεν έχουμε παρά να εκφράσουμε τον τελεστή A(x, p) συναρτήσει των a και a και να υπολογίσουμε τη δράση του πάνω στην κατάσταση n>. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Υπολογίστε την αβεβαιότητα Δx για την τυχούσα ιδιοκατάσταση n> του αρμονικού ταλαντωτή. Είναι άρα Κατά τον υπολογισμό μέσων τιμών της μορφής <n τελεστές δημ./κατ. n> θα κρατάμε μόνο εκείνους τους όρους που περιέχουν ίδιο αριθμό τελεστών καταστροφής. δημιουργίας και 10
21 22 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Υπολογίστε τη μέση τιμή <n x 4 n> για την τυχούσα ιδιοκατάσταση n> του αρμονικού ταλαντωτή. Κάθε όρος αυτού του τύπου δεν μπορεί παρά να είναι τελικά μια συνάρτηση της χαμιλτονιανής H = a a + (1/2) = N + (1/2) ή του τελεστή αρίθμησης N = a a. Ένας τρόπος να υπολογίσουμε την παραπάνω μέση τιμή είναι να εκφράσουμε κάθε όρο της ως συνάρτηση του N, οπότε βέβαια η ζητούμενη τιμή θα προκύπτει με την αντικατάσταση N n. Για τους τελευταίους τέσσερις όρους θα έχουμε 11
24 23 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Η κανονικοποιημένη κυματοσυνάρτηση ενός σωματιδίου σε αρμονικό ταλαντωτή στο χρόνο t=0 δίνεται από την α) Ποιές είναι οι ενέργειες και ποιές οι πιθανότητες τους β) Βρείτε την <Η> γ) Γράψτε τις κυματοσυναρτήσεις των ιδιοκαταστάσεων δ) Γράψτε τη συνολική κυματοσυνάρτηση σα συνάρτηση του χρόνου (Δουλέψτε με =m=ω=1) 12
25 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 2. Υπολογίστε τα στοιχεία μήτρας για τον τελεστή x για το μονοδιάστατο αρμονικό ταλαντωτή. 13