1.1 Không gian hàm và toán tử Tập hút lùi (Pullback attractors)... 11

Mục lục Danh mục các kí hiệu, chữ viết tắt 3 Lời cảm ơn 4 Lời mở đầu 5 1 Không gian hàm và các định nghĩa 9 1.1 Không gian hàm và toán tử.................. 9 1.2 Tập hút lùi (Pullback attractors)................ 11 1.3 Một số bổ đề, định lý...................... 14 1.3.1 Bổ đề Gronwall...................... 14 1.3.2 Bổ đề Gronwall đều................... 15 2 Sự tồn tại nghiệm yếu 17 2.1 Đặt bài toán........................... 17 2.1.1 Các giả thiết của bài toán............... 17 2.1.2 Định nghĩa nghiệm yếu của bài toán......... 18 2.2 Sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán.............. 19 3 Sự tồn tại của D tập hút lùi trong H µ () L p () 28 3.1 Các bổ đề............................. 28 3.2 Định lý.............................. 37 Kết luận chung 39 1

Tài liệu tham khảo 40 2

Danh mục các kí hiệu, chữ viết tắt Trong khóa luận này, để cho ngắn gọn, ta dùng kí hiệu:. 2, (.,.), u µ, ((.,.)) µ, làm chuẩn và tích vô hướng trong L 2 () và H µ (); tương tự, ta dùng. p làm chuẩn trong L p (). Ta cũng thường sử dụng ký hiệu sau: M = (u(t) M) = {x : u(x, t) M}. 3

Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Nguyễn Đình Bình, người đã tận tình và nghiêm khắc dạy bảo để luận văn này được hoàn thành. Đồng thời, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Khoa Toán Cơ Tin, Phòng Sau Đại học, trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Cảm ơn các thầy cô và đồng nghiệp đã trao đổi cùng tác giả những kiến thức và kinh nghiệm quý báu để giúp cho luận văn được hoàn thiện hơn. Bên cạnh đó, sự quan tâm của gia đình, bạn bè là nguồn động viên không thể thiếu để giúp tác giả hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cảm ơn. Học viên : Bùi Huy Bách Lớp : Toán giải tích 2009-2011 4

Lời mở đầu Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các hệ động lực là một trong các vấn đề quan trọng nhất của vật lý toán hiện đại. Một cách tiếp cận bài toán này đối với một hệ động lực tán xạ là phân tích sự tồn tại và cấu trúc của tập hút toàn cục (global attractor) của nó. Đó là một tập đóng, bị chặn, bất biến và hút tất cả các tập bị chặn. Tập hút toàn cục chứa đựng nhiều thông tin về dáng điệu tiệm cận của hệ động lực đang xét. Tuy nhiên, tập hút toàn cục chỉ áp dụng được cho các trường hợp ôtônôm, trong khi rất nhiều quá trình có ngoại lực phụ thuộc vào thời gian. Do đó, cần phải mở rộng khái niệm tập hút cho các hệ động lực không ôtônôm. Việc mở rộng nghiên cứu về tập hút đã dẫn đến khái niệm tập hút đều (uniform attractor) cho trường hợp quỹ đạo nghiệm bị chặn khi thời gian t tiến ra vô hạn, và sau đó là khái niệm tập hút lùi (pullback attractor) cho trường hợp quỹ đạo nghiệm bất kỳ khi thời gian t tiến ra vô hạn. Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu sự tồn tại tập hút lùi đối với một lớp phương trình parabolic suy biến: u t u µ x 2u + f(u, t) = g(t, x), x, t >, u = 0, t >, u(x, ) = u (x), x, (0.1) với là một miền bị chặn trong R N (N 3) có chứa gốc tọa độ, u L 2 () là hàm cho trước, 0 < µ µ là tham số, µ = ( N 2 2 )2 là hằng số lớn nhất 5

thỏa mãn bất đẳng thức Hardy: µ u 2 x 2dx u 2 dx, u C 0 (). (0.2) Trong trường hợp g 0 và hàm f có một số dạng đặc biệt, bài toán (0.1) đã được nghiên cứu trong các bài báo [2,3,5,6,12], hay trong trường hợp hàm ngoại lực là g(t, x) phụ thuộc vào thời gian t và hàm phi tuyến f = f(u): u t u µ x 2u + f(u) = g(t, x), bài toán (0.1) đã được nghiên cứu trong bài báo [1]. Trong đó, các tác giả đã nghiên cứu về sự tồn tại toàn cục và sự phụ thuộc của dáng điệu nghiệm của các phương trình vào tham số µ. Trong luận văn này, tác giả tiếp tục nghiên cứu bài toán (0.1) trong trường hợp hàm ngoại lực là g(t, x) và hàm phi tuyến f = f(u, t). Hàm phi tuyến f và ngoại lực g thỏa mãn các điều kiện sau: (F) Hàm f C 1 (R [, ]) và thỏa mãn: C 1 u p k 1 (t) f(u, t)u C 2 u p + k 2 (t), p 2, k 1 (t), k 2 (t) L (R), k 1 (t) > 0, t R, k 2 (t) > 0, t R, F (u) = u 0 f(u, t) u C( u p p 1) l, u R, F (u) C( u p p + 1), f(r)dr, (trong trường hợp f(r, t) = f(r)), C, C 1, C 2, l là các hằng số dương. 6

(G) g W 1,2 loc (R; L2 ()) thỏa mãn 0 e 1,µs ( g(s) 2 2 + g (s) 2 2 )ds < +, ở đây 1,µ là giá trị riêng thứ nhất của toán tử A µ = µ x 2 điều kiện thuần nhất Dirichlet. trong với Để nghiên cứu bài toán (0.1), ta sẽ sử dụng không gian H µ (), 0 µ µ, được định nghĩa như là bao đóng của C 0 () với chuẩn u µ = ( ( u 2 µ u 2 x 2)dx)1/2. Mục đích của khóa luận này là chứng minh rằng luôn có sự tồn tại phụ thuộc vào tham số µ của một D- tập hút lùi trong không gian H µ () L p () cho quá trình được mô tả trong bài toán (0.1). Phương pháp được sử dụng ở khóa luận này được mô tả như sau: Trước tiên ta sử dụng phương pháp compact hóa [9] để chứng minh sự tồn tại toàn cục của một nghiệm yếu và sử dụng đánh giá tiên nghiệm để chỉ ra sự tồn tại của một họ các D- tập hấp thụ lùi B = {B(t) : t R} trong H µ () L p () cho quá trình nói trên. Do tính compact của phép nhúng H µ () L 2 (), quá trình nói trên là D- tiệm cận compact lùi trong L 2 (). Điều này kéo theo sự tồn tại của một D- tập hút lùi trong L 2 (). Trong quá trình chứng minh sự tồn tại của D- tập hút lùi trong L p () và trong H µ () L p (), để khắc phục các khó khăn do thiếu các kết quả về phép nhúng, ta sử dụng phương pháp tiệm cận đánh giá tiên nghiệm đã được khởi đầu trong [11] cho các phương trình ôtônôm. Cấu trúc của khóa luận gồm ba chương: - Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ sở về khái niệm cũng như các kết quả về không gian và tập hút lùi đối với phương trình parabolic phi tuyến 7

tính. - Chương 2: Chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu của bài toán (0.1). - Chương 3: Chứng minh sự tồn tại của D tập hút lùi trong H µ () L p () (trong trường hợp f (u, t) không phụ thuộc vào t). Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2011 8

Chương 1 Không gian hàm và các định nghĩa 1.1 Không gian hàm và toán tử Với mỗi 0 µ µ, ta định nghĩa không gian H µ () như là một bao đóng của C 0 () với chuẩn: u µ = ( ( u 2 µ u 2 x 2)dx)1/2. Khi đó H µ () là một không gian Hilbert với tích vô hướng < u, v > µ := ( u v µ uv x 2)dx, u, v H µ(). Ta đã biết (xem [12]) rằng nếu 0 µ µ,thì H µ () H 1 0(). Khi µ = µ, ta có bất đẳng thức Hardy-Poincare trong [12] ( u 2 µ u 2 x 2)dx C(q, ) u 2 W 1,q (), 1 q < 2, (1.1) và với 0 s < 1, 1 r < r = 2N N 2(1 s), ( u 2 µ u 2 x 2)dx C(s, r, ) u 2 W s,r (), (1.2) 9

với mọi u C 0 (). Do đó dẫn tới các phép nhúng liên tục sau, khi 1 q < 2 và 0 s < 1: H µ () W 1,q 0 (), H µ () H s 0(). (1.3) Hơn nữa, vì W 1,q 0 () được nhúng compact trong H s 0() với mỗi q = q(s) thích hợp, và H s 0() được nhúng compact trong L 2 (), ta có các phép nhúng compact sau: H 1 µ() L 2 (), H µ () H s 0(), 0 s < 1. (1.4) Nhắc lại rằng phép nhúng W 1,q L p () là liên tục với 1 p Nq N q và q < N. Khi đó, đặt p = Nq N q với 1 q < 2, thì từ (2.3) suy ra phép nhúng liên tục H µ () L p () đúng với mọi 1 p p. Bây giờ ta xét bài toán biên sau đây u µ x 2u = λu, khi x, u = 0, khi x. (1.5) Để có thể áp dụng thác triển Friedrichs của các toán tử đối xứng (xem[13]) ta nhắc lại biến đổi bất đẳng thức Hardy trong [12]: ( ) 2 N 2 u 2 u 2 dx 2 x 2dx + λ u 2 dx, (1.6) với λ là một hằng số dương phụ thuộc vào, và X = L 2 (), D(Ã) = C µ 0 (), Ãu = u u. Từ đó suy ra à là một toán tử dương liên hợp x 2 và không gian năng lượng X E bằng với H µ () vì X E là không gian mở rộng của D(Ã) = C 0 () với tích vô hướng < u, v > µ = ( u v µ uv x 2)dx. Hơn nữa à A A E, 10

với A E : H µ () H 1 µ () là thác triển mạnh, (H 1 µ () là không gian đối ngẫu của H µ () ), và A = µ x 2 xác định là là thác triển Friedrichs của à với miền D(A) = {u H µ () : A(u) X}. Ta cũng có H µ () L 2 () H 1 µ (), với phép nhúng là compact và trù mật. Do đó, với mỗi 0 < µ µ, tồn tại một hệ trực chuẩn đầy đủ các vectơ riêng (e j,µ, λ j,µ ) phụ thuộc vào µ sao cho (e j,µ, e k,µ ) = δ j,k ; e j,µ µ x 2e j,µ = λ j,µ e j,µ, j, k = 1, 2,... 0 < λ 2,µ λ 3,µ..., λ j,µ + khi j +. Cuối cùng ta nhận xét rằng với mọi u H µ (), ta có: u 2 µ u 2 2. (1.7) 1.2 Tập hút lùi (Pullback attractors). Định nghĩa 1.2.1. Giả sử (X,d) là một không gian metric. Với A, B X, ta định nghĩa nửa khoảng cách Hausdorff giữa A và B bởi dist(a, B) = sup x A inf y B d(x, y). Định nghĩa 1.2.2. Tập hợp {U(t, ) : t, R} được gọi là một quá trình trong X nếu ánh xạ U(t, ) : X X thỏa mãn U(, ) = Id và U(t, s)u(s, ) = U(t, ) với mọi t s, R. Định nghĩa 1.2.3. Quá trình {U(t, )} được gọi là liên tục norm-to-weak trên X nếu U(t, )x n hội tụ yếu tới U(t, )x khi x n hội tụ mạnh tới x trong X, với mọi t, R. 11

Bây giờ ta nhắc lại một phương pháp để kiểm tra một quá trình là liên tục norm-to-weak. Bổ đề 1.2.4. [14] Giả sử X và Y là hai không gian Banach, X, Y là các không gian đối ngẫu tương ứng. Giả sử rằng X trù mật trong Y, đơn ánh i : X Y liên tục và ánh xạ đối ngẫu i : Y X là trù mật, {U(t, )} là quá trình liên tục hoặc liên tục yếu trên Y. Khi đó {U(t, )} là liên tục norm-to-weak trên X nếu và chỉ nếu cho t, R, U(t, ) ánh xạ một tập compact của X vào một tập bị chặn của X. Giả sử B(X) là họ tất cả các tập con khác rỗng, bị chặn của X, và D là một lớp khác rỗng của tập hợp được tham số hóa ˆD = {D(t) : t R} B(X). Định nghĩa 1.2.5. Một quá trình {U(t, )} được gọi là D tiệm cận compact lùi nếu với mọi t R, với mọi ˆD D và với mọi n, với mọi dãy x n D( n ), dãy {U(t, n )x n } là compact tương đối trong X. Định nghĩa 1.2.6. Một quá trình {U(t, )} được gọi là ω D giới hạn compact lùi nếu với mọi ɛ > 0, với mọi t R, với mọi ˆD D luôn tồn tại một 0 (D, ɛ, t) t, sao cho α( U(t, )D()) ɛ, 0 trong đó α là độ đo không compact Kuratowski của B B(X), α(b) là cận dưới đúng của tập hợp các số δ dương mà thỏa mãn: B có một phủ mở hữu hạn gồm các hình cầu có đường kính nhỏ hơn δ. Bổ đề 1.2.7. [7] Một quá trình {U(t, )} là D tiệm cận compact lùi nếu và chỉ nếu nó là ω D giới hạn compact lùi. 12

Định nghĩa 1.2.8. Một họ các tập hợp bị chặn ˆB D được gọi là D tập hấp thụ lùi của quá trình {U(t, )} nếu với mọi t R, với mọi ˆD D, tồn tại 0 = 0 ( ˆD, t) sao cho 0 U(t, )D() B(t). Định nghĩa 1.2.9. Một họ  = {A(t) : t R} B(X). được gọi là D tập hút lùi của quá trình {U(t, )} nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: 1. A(t) compact với mọi t R; 2.  bất biến, tức là với mọi t ; 3.  là D hút lùi, tức là với mọi ˆD D và với mọi t R; U(t, )A() = A(t) lim dist(u(t, )D(), A(t)) = 0 4. Nếu {C(t) : t R} là một họ các tập hút đóng thì A(t) C(t) với mọi t R. Định lý 1.2.10. [7] Giả sử {U(t, )} là một quá trình liên tục norm-toweak sao cho {U(t, )} là D tiệm cận compact lùi. Nếu tồn tại một họ các D tập hấp thụ lùi ˆB = {B(t) : t R} D thì {U(t, )} có duy nhất một D tập hút lùi  = {A(t) : t R} và A(t) = s t U(t, )B(). s 13

1.3 Một số bổ đề, định lý. 1.3.1 Bổ đề Gronwall. Định lý 1.3.1. (Bổ đề Gronwall) Giả sử I là kí hiệu cho một khoảng trên đường thẳng thực, có dạng [a; ), hoặc [a; b], hoặc [a; b) với a < b. Giả sử β và u là các hàm thực liên tục trên I. Nếu u khả vi trong phần trong I o của I (khoảng I bỏ đi các đầu mút a, b) và thỏa mãn u (t) β (t) u (t), t I o, thì u bị chặn bởi nghiệm của phương trình vi phân tương ứng u (t) = β (t) u (t): u (t) u (a) e t a β(s)ds với mọi t I. Chứng minh. Ta định nghĩa hàm Chú ý rằng v thỏa mãn với v (a) = 1, v (t) > 0, t I. Ta có v (t) = e t a β(s)ds. v (t) = β (t) v (t), t I o, Từ đó suy ra d u dt v = u v v u v 2 βuv βvu v 2 = 0, t I o. u (t) v (t) u (a) v (a) = u (a), t I u (t) u (a) e t a β(s)ds (điều phải chứng minh). 14

1.3.2 Bổ đề Gronwall đều. Định lý 1.3.2. (Bổ đề Gronwall đều) Giả sử g, h, y là ba hàm số dương khả tích địa phương trên (t 0, + ) sao cho y khả tích địa phương trên (t 0, + ) và thỏa mãn: dy dt gy + h, t t 0, (1.8) t+r t t+r t+r g (s) ds a 1, h (s) ds a 2, y (s) ds a 3, t t 0, (1.9) t t trong đó r, a 1, a 2, a 3 là các hằng số dương. Khi đó, ta có y (t + r) ( a3 ) r + a 2 e a 1, t t 0. (1.10) Chứng minh. Giả sử rằng t 0 t s t + r. Từ (1.8), ta có d (y (s) e ) s t g()d = d ds ds (y (s)) s e t g()d + y (s) d (e ) s t g()d ds = d ds (y (s)) e s t g()d y (s) e s t g()d g (s) (g (s) y (s) + h (s)) e s t g()d y (s) e s t g()d g (s) = h (s) e s t g()d h (s). Bằng cách lấy tích phân từ t 1 (với t t 1 t + r) đến t + r, ta có y (t + r) e t+r t g()d y (t 1 ) e t 1 t g()d t+r t 1 h (s) ds y (t + r) e t+r t g()d y (t 1 ) e t t+r 1 t g()d + h (s) ds t 1 15

y (t + r) y (t 1 ) e t 1 g()d+ t+r t+r t t g()d + t+r t+r t = y (t 1 ) e g()d 1 + t 1 y (t 1 ) e a 1 + a 2 e a 1 = (y (t 1 ) + a 2 ) e a 1. t 1 h (s) ds.e t+r g()d t h (s) ds.e t+r g()d t Lấy tích phân hai vế của bất đẳng thức trên theo t 1 từ t đến t + r, ta có t+r t y (t + r) y (t + r) dt 1 t+r t dt 1 y (t + r) r y (t + r) (Điều phải chứng minh). t+r t ( t+r t ( t+r t ( a3 r + a 2 (y (t 1 ) + a 2 ) e a 1 dt 1 t+r ) y (t 1 ) dt 1 + a 2 dt 1 e a 1 t ) y (t 1 ) dt 1 + a 2 r e a 1 (a 3 + a 2 r) e a 1 ) e a 1. 16

Chương 2 Sự tồn tại nghiệm yếu 2.1 Đặt bài toán Trong chương này, ta xét sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán đã nêu trong phần mở đầu. Ta nêu lại bài toán u t u µ x 2u + f(u, t) = g(t, x), x, t >, u = 0, t >, u(x, ) = u (x), x, với là một miền bị chặn trong R N (N 3) có chứa gốc tọa độ, u L 2 () là hàm cho trước, 0 < µ µ là tham số, µ = ( N 2 2 )2 là hằng số lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức Hardy: µ u 2 x 2dx u 2 dx, u C 0 (). 2.1.1 Các giả thiết của bài toán Hàm phi tuyến f và ngoại lực g thỏa mãn các điều kiện sau: (F) Hàm f C 1 (R [, ]) và thỏa mãn: C 1 u p k 1 (t) f(u, t)u C 2 u p + k 2 (t), p 2, 17

k 1 (t), k 2 (t) L (R), k 1 (t) > 0, t R, k 2 (t) > 0, t R, F (u) = u 0 (G) g W 1,2 loc (R; L2 ()) thỏa mãn f(u, t) l, u R, u C( u p p 1) F (u) C( u p p + 1), f(r)dr, (trong trường hợp f(r, t) = f(r)), C, C 1, C 2, l là các hằng số dương. 0 e 1,µs ( g(s) 2 2 + g (s) 2 2 )ds < +, ở đây 1,µ là giá trị riêng thứ nhất của toán tử A µ = µ x 2 điều kiện thuần nhất Dirichlet. trong với 2.1.2 Định nghĩa nghiệm yếu của bài toán Ta kí hiệu X = L 2 (, T ; H µ ()) L p (, T ; L p ()), X = L 2 (, T ; H 1 µ ()) + L p (, T ; L p ()), ở đây p là số liên hợp của p và µ [0, µ ]. Định nghĩa 2.1.1. Một hàm u(x,t) được gọi là một nghiệm yếu của bài toán (0.1) trên (, T ) nếu và chỉ nếu u X, u t X, u t= = u với x hầu khắp nơi và T ( u t ϕ + u ϕ µ ) x 2uϕ + f(u, t)ϕ dxdt = với mọi hàm ϕ X. 18 T g(t)ϕdxdt

2.2 Sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán Bổ đề 2.2.1. Nếu u X và u t X, thì u C([, T ]; L 2 ()). Chứng minh. Giả sử dãy u n C 1 ([, T ] ; H µ () L p ()) thỏa mãn u n u trong X u n t Khi đó, với mọi t, t 0 [, T ], ta có u t trong X. Chọn t 0 sao cho u n (t) u m (t) 2 2 = u n (t 0 ) u m (t 0 ) 2 2 t +2 u n (s) u m (s), u n (s) u m (s) ds. t 0 u n (t 0 ) u m (t 0 ) 2 2 = 1 T T u n (t) u m (t) 2 2. Ta có 1 T u n (t) u m (t) 2 dx = 1 T u n (t) u m (t) 2 dtdx T t +2 (u n (s) u m (s)) (u n (s) u m (s)) dsdx T t 0 u n (t) u m (t) 2 dtdx + 2 u n u m X u n u m X. Do đó, {u n } là dãy Cauchy trong C ( [, T ] ; L 2 () ). Suy ra dãy {u n } hội tụ trong C ( [, T ] ; L 2 () ) tới một hàm v C ( [, T ] ; L 2 () ). Vì u n (t) u (t) L 2 () với hầu hết t [, T ], ta suy ra u = v với hầu hết t [, T ]. Sau khi định nghĩa lại trên một tập con có độ đo không, ta thu được u C ( [, T ] ; L 2 () ). 19

Từ bổ đề suy ra điều kiện ban đầu của bài toán (0.1) là có nghĩa. Định lý 2.2.2. Với giả thiết (F)-(G), với mọi R, T >, và u cho trước, bài toán (0.1) có duy nhất một nghiệm yếu u trên (, T ). Hơn nữa, nghiệm u có thể được thác triển lên [, + ) và thỏa mãn bất đẳng thức sau: u(t) 2 2 e (t ) u 2 2 + 2 k 1 (t) L (R) + e λ1,µt t e s g(s) 2 2 ds. (2.1) Chứng minh. Xét nghiệm xấp xỉ u n (t) dưới dạng u n (t) = n u nk (t)e k, k=1 ở đây {e j } j=1 là các vectơ riêng của toán tử A := µ x 2 Id. Ta thu được u n (t) từ việc giải bài toán dun dt, e k + Au n, e k + f(u n, t), e k = (g, e k ), (u n (), e k ) = (u, e k ), k = 1,..., n. Sử dụng định lý Peano,ta thu được sự tồn tại địa phương của u n (t). Bây giờ ta thiết lập một số đánh giá tiên nghiệm cho u n (t). Ta có: d dt u n + Au n + f(u n, t) = g(t, x) d dt u nu n + Au n u n + f(u n, t)u n = g(t, x)u n 1 2 ( d dt )u2 n + Au 2 n + f(u n, t)u n = g(t, x)u n 1 d 2 dt u n 2 2 + u n 2 µ + f(u n, t)u n dx = g(t)u n dx 20

mặt khác, do điều kiện (F): C 1 u n p k 1 (t) f(u n, t)u n, p 2 C 1 u n p dx k 1 (t)dx f(u n, t)u n dx C 1 u n p p k 1 (t) f(u n, t)u n dx 1 d 2 dt u n 2 2 + u n 2 µ + C 1 u n p p k 1 (t) 1 d 2 dt u n 2 2 + u n 2 µ + f(u n, t)u n dx. Do đó, ta suy ra 1 d 2 dt u n 2 2 + u n 2 µ + C 1 u n p p k 1 (t) g(t)u n dx. Mặt khác g(t)u n dx = 1 g(t). u n dx λ1,µ 1 g(t) 2 + u n 2 2 dx = 1 2 Suy ra 1 g(t) 2 dx + 1 2 (Bất đẳng thức Cauchy) u n 2 dx = 1 2 g(t) 2 2 + 2 u n 2 2. 1 d 2 dt u n 2 2 + u n 2 µ + C 1 u n p p k 1 (t) 1 g(t) 2 2 2λ + 1,µ 2 u n 2 2 d dt u n 2 2 + 2 u n 2 µ + 2C 1 u n p p 2k 1 (t) + 1 g(t) 2 2 λ + u n 2 2 1,µ 2k 1 (t) + 1 g(t) 2 2 + u n 2 µ d dt u n 2 2 + u n 2 µ + 2C 1 u n p p 2k 1 (t) + 1 g(t) 2 2. (2.2) 21

Nghiệm địa phương có thể thác triển lên [, ). Thật vậy, từ (2.2), ta suy ra d dt u n 2 2 + u n 2 µ 2k 1(t) + 1 g(t) 2 2 λ, 1,µ mà u n 2 2 u n 2 µ nên ta có d dt u n 2 2 + u n 2 2 2k 1(t) + 1 g(t) 2 2 λ 2 k 1 L (R) + 1 g(t) 2 2 1,µ d dt u n 2 2 u n 2 2 + 2 k 1 L (R) + 1 g(t) 2 2. Theo bổ đề Gronwall, u n 2 2 bị chặn bởi nghiệm của phương trình vi phân tương ứng d dt u n 2 2 = u n 2 2 + 2 k 1 L (R) + 1 g(t) 2 2 : u n (t) 2 2 u n () 2 2.e (t ) + 2 k 1 L (R) + e λ1,µt Từ đây suy ra nghiệm địa phương có thể thác triển lên [, ). t e s g(s) 2 2 ds. Lấy tích phân hai vế (2.2) trên [, t], < t T, ta có t 2 d dt u n 2 2 ds + t t k 1 (s) ds + 1 u n (t) 2 2 u n() 2 2 + u n 2 µ ds + 2C 1 t t t g(s) 2 2 ds u n p pds u n 2 µ ds + 2C 1 t u n p pds t 2 u n (t) 2 2 + k 1 (s) ds + 1 t t u n 2 µ ds + 2C 1 g(s) 2 2 ds t u n p pds u n () 2 2 + 2 t k 1 (s) ds + 1 22 t g(s) 2 2 ds

T < C + 2 Từ bất đẳng thức (2.3) ta suy ra Do điều kiện (F): nên nếu u M > 0, thì k 1 (s) ds + 1 t {u n } bị chặn trong L (, T ; L 2 ()), {u n } bị chặn trong L 2 (, T ; H µ ()), {u n } bị chặn trong L p (, T ; L p ()). f(u, t)u C 2 u p + k 2 (t), p 2 g(s) 2 2 ds < C 0. (2.3) f(u, t) C 2 u p 1 + k 2(t) u C 2 u p 1 + k 2(t) M C( u p 1 + 1) f(u n, t) C( u n p 1 + 1) f(u n, t) p dx C ( u n p 1 + 1) p dx = C ( u n p 1 + 1) p p 1 dx f(u n, t) p dx C ( u n p + 1) f(u n, t) p p C T f(u n, t) p p C T ( u n p + 1) ( u n p + 1) {f(u n, t)} bị chặn trong L p (, T ; L p ()) và do đó Do đó, ta có f(u n, t) η trong L p (, T ; L p ()). 23

u n u trong L 2 (, T ; H µ ()), f(u n, t) η trong L p (, T ; L p ()), Au n Au trong L 2 (, T ; H 1 µ ()). Bằng cách viết lại: d dt u n = Au n f(u n, t) + g(t, x), (2.4) ta thấy { du n } dt bị chặn trong X, nên suy ra cũng bị chặn trong L p (, T ; Hµ 1 ()+ L p ()). Chú ý rằng H µ () L 2 () H 1 µ () + L p () nên áp dụng bổ đề compact hóa [11], ta có thể giả sử rằng u n u (hội tụ mạnh) trong L 2 (, T ; L 2 () ). Do đó u n u hầu khắp nơi trong [, T ]. Vì f liên tục nên suy ra f (u n, t) f (u, t) hầu khắp nơi trong [, T ]. Mặt khác f(u n, t) η trong L p (, T ; L p ()), nên theo bổ đề 1.3 trong [18, Chương 1], ta có Do đó từ (2.4) ta có f(u n, t) f(u, t) trong L p (, T ; L p ()). u = Au f (u, t) + g trong X. Từ bổ đề 2.2.1, ta có u C([, T ]; L 2 ()). Bây giờ ta chứng minh rằng u () = u. Chọn hàm thử ϕ C 1 ([, T ] ; H µ () L p ()) với ϕ (T ) = 0, và lấy tích phân theo t, ta có ((u (T ), ϕ (T )) (u (), ϕ ())) T (u, ϕ ) dt 24

T ( = u ϕ µ ) T x 2uϕ dxdt (f (u, t) g) ϕdxdt T T ( (u, ϕ ) dt + u ϕ µ ) x 2uϕ dxdt T + (f (u, t) g) ϕdxdt = (u (), ϕ ()). Bằng cách áp dụng biến đổi tương tự đối với nghiệm xấp xỉ Galerkin, ta có T T ( (u n, ϕ ) dt + u ϕ µ ) x 2u nϕ dxdt T + Cho n, ta có T (u, ϕ ) dt+ T (f (u n, t) g) ϕdxdt = (u n (), ϕ ()). ( u ϕ µ ) T x 2uϕ dxdt+ (f (u, t) g) ϕdxdt = (u, ϕ ()) vì u n () u. Do đó u () = u. Vậy u là nghiệm yếu của bài toán (0.1). Bây giờ ta chứng minh tính duy nhất và phụ thuộc liên tục của nghiệm. Giả sử u 1, u 2 là hai nghiệm yếu của bài toán (0.1) với điều kiện ban đầu tương ứng là u 1 (), u 2 (). Từ (0.1), ta có t (u 1 u 2 ) + (Au 1 Au 2 ) + f (u 1, t) f (u 2, t) = 0. Vì (Au 1 Au 2, u 1 u 2 ) u 1 u 2 2 2 l, u R, ta có và sử dụng điều kiện f(u,t) u 1 2 t u 1 u 2 2 2 1 2 t u 1 u 2 2 2 + (Au 1 Au 2, u 1 u 2 ) = (f (u 1, t) f (u 2, t), u 1 u 2 ) f (u, t) u 1 u 2 2 2 u l u 1 u 2 2 2. 25

Áp dụng bổ đề Gronwall, ta có u 1 (t) u 2 (t) 2 2 e2l(t ) u 1 () u 2 () 2 2. Điều đó suy ra tính duy nhất (nếu u 1 () = u 2 ()) và phụ thuộc liên tục của nghiệm. Cuối cùng, ta chứng minh bất đẳng thức (2.1). Nhân (0.1) với u rồi lấy tích phân trên, ta có 1 2 t u 2 2 + u 2 µ + Sử dụng điều kiện (F): f(u, t)udx = g(t)udx. C 1 u p k 1 (t) f(u, t)u, p 2 C 1 u p dx k 1 (t)dx f(u, t)udx C 1 u p p k 1 (t) f(u, t)udx 1 2 t u 2 2 + u 2 µ + C 1 u p p k 1 (t) 1 2 t u 2 2 + u 2 µ + Do đó, ta suy ra 1 2 t u 2 2 + u 2 µ + C 1 u p p k 1 (t) Mặt khác g(t)udx = = 1 2 1 1 g(t). udx λ1,µ g(t) 2 dx + 1 2 g(t)udx 1 g(t) 2 + u 2 2 f(u, t)udx. dx (Bất đẳng thức Cauchy) u 2 dx = 1 2 g(t) 2 2 + 2 u 2 2. 26

Suy ra 1 2 t u 2 2 + u 2 µ + C 1 u p p k 1 (t) 1 g(t) 2 2 2λ + 1,µ 2 u 2 2 t u 2 2 + 2 u 2 µ + 2C 1 u p p 2k 1 (t) + 1 g(t) 2 2 + u 2 2 t u 2 2 + u 2 2 2k 1(t) + 1 g(t) 2 2. Áp dụng bổ đề Gronwall, ta có u(t) 2 2 e (t ) u 2 2 + 2k 1(t) + e λ1,µt t e s g(s) 2 2 ds e (t ) u 2 2 + 2 k 1(t) L (R) + e λ1,µt t e λ1,µs g(s) 2 2 ds. (2.5) 27

Chương 3 Sự tồn tại của D tập hút lùi trong H µ () L p () Trong chương này, ta giả thiết f (u, t) không phụ thuộc vào t. 3.1 Các bổ đề. Nhờ định lí 2.2.2, ta có thể định nghĩa một quá trình U µ (t, ) : L 2 () H µ () L p (), t ở đây U µ (t, )u là một nghiệm yếu của bài toán (0.1) phụ thuộc vào u là dữ liệu ban đầu tại thời điểm. Ta định nghiã R là tập hợp tất cả các hàm số r : R (0, + ) sao cho lim t e 1,µt r 2 (t) = 0, và kí hiệu D = {D(t) : t R} B(L 2 ()) thỏa mãn D(t) B(r(t)) cho một số hàm r(t) R, ở đây B(r(t)) là hình cầu đóng trong L 2 () với bán kính r(t). Bổ đề 3.1.1. Giả sử rằng các điều kiện (F) - (G) thỏa mãn và u(t) là một 28

nghiệm yếu của bài toán (0.1). Khi đó, ta có với mọi t >, u 2 µ + u p p C(e (t ) u 2 2 + 1 + e t t e λ1,µs g(s) 2 2 ds), (3.1) ở đây C là một hằng số dương. Do đó tồn tại một họ các D tập hấp thụ lùi trong H µ () L p () cho quá trình U µ (t, ). Chứng minh. Nhân (0.1) với u rồi lấy tích phân trên, ta có 1 d 2 dt u 2 2 + u 2 µ + 1 λ1,µ u f(u)udx = g(t)udx = 2 g(t). dx λ1,µ 2 1 λ1,µ u 2 g(t). dx λ1,µ 2 Sử dụng điều kiện (F) và u 2 2 u 2 µ, ta có Với F (s) = s 0 1 g(t) 2 2 + 4 u 2 2. (3.2) d dt u 2 2 + u 2 2 + C( u 2 µ + u p p ) C(1 + g(t) 2 2 ). (3.3) f(r)dr, theo (F) ta có C( u p p 1) F (u) C( u p p + 1). (3.4) Nhân (3.3) với e λ1,µt và sử dụng (3.4) ta thu được d dt (et u(t) 2 2 ) + Cet ( u (t) 2 µ + 2 F (u(t))dx) C(e λ1,µt + e λ1,µt g(t) 2 2 ). Tích phân (3.5) từ đến s [, t 1] và từ s đến s + 1, ta thu được e s u(s) 2 2 e u() 2 2 + Ces + C s (3.5) e λ1,µr g(r) 2 2, s [, t 1] (3.6) 29

và C s+1 s e r ( u(r) 2 µ + 2 F (u(r))dx))dr s+1 e λ1,µs u(s) 2 2 + C (e λ1,µr + e λ1,µr g(r) 2 2 )dr e u 2 2 + Ces + C s s (e r g(r) 2 2 )dr +Ce (s+1) + C s+1 C(e u 2 2 + et + s (e λ1,µr g(r) 2 2 )dr (3.7) t (e r g(r) 2 2 )dr). Nhân (0.1) với u t (s) rồi lấy tích phân trên ta có u t (s) 2 2 + 1 d 2 ds ( u(t) 2 µ + 2 F (u(s))dx) = g(s)u t (s) 1 2 g(s) 2 2 + 1 2 u t(s) 2 2, (3.8) do đó e s u t (s) 2 2 + d ds (es ( u(t) 2 µ + 2 F (u(s))dx)) e s ( u(t) 2 µ + 2 F (u(s))dx)) + e s g(s) 2 2. (3.9) Từ (3.7), (3.9) và sử dụng bất đẳng thức Gronwall đều, ta có e t ( u(t) 2 µ + 2 F (u(s))dx) C(e u 2 2 + et + t e s g(s) 2 2 ds). Kết hợp với (3.4), ta thu được (3.1). 30 (3.10)

Từ bổ đề trên, do tính compact của phép nhúng H µ () L 2 (), quá trình nói trên là D- tiệm cận compact lùi trong L 2 (). Điều này kéo theo sự tồn tại của một D- tập hút lùi trong L 2 (). Mặt khác, từ bổ đề trên ta thấy quá trình U µ (t, ) ánh xạ một tập compact trong H µ () L p () vào một tập bị chặn trong H µ () L p () và do đó, theo bổ đề 1.2.4, quá trình U µ (t, ) là liên tục norm-to-weak trong H µ () L p (). Vì U µ (t, ) có một họ các D tập hấp thụ lùi trong H µ () L p (), nên để chứng minh sự tồn tại của D tập hút lùi, ta chỉ cần chứng minh rằng U µ (t, ) là D tiệm cận compact lùi. Để chứng minh U µ (t, ) là D tiệm cận compact lùi trong L p () ta cần sử dụng bổ đề sau: Bổ đề 3.1.2. [8] Giả sử U(t, ) là liên tục norm-to-weak trong L 2 (), L p (), và thỏa mãn hai điều kiện sau: (1) U(t, ) là D tiệm cận compact lùi trong L 2 (); (2) Với mọi ɛ > 0, ˆB D, tồn tại hằng số M = M(ɛ, ˆB) và 0 (D, ɛ, t) t sao cho ( ) 1 U(t, )u p p dx < ɛ ( U(t,)u M) với mọi u B(), 0. Khi đó U(t, ) là D tiệm cận compact lùi trong L p (). Bổ đề 3.1.3. [10] Giả sử với λ > 0, R, và s > y (s) + λy (s) h (s), (3.11) ở đây giả thiết rằng các hàm y, y, h khả tích địa phương và y, h không âm trên khoảng t < s < t + r, với mọi t. Khi đó y (t + r) e λ r 2 2 r t+r/2 t t+r y (s) ds+e λ(t+r) e λs h (s) ds. (3.12) t 31

Bổ đề 3.1.4. Dưới các điều kiện (F) - (G), quá trình U µ (t, ) là D tiệm cận compact lùi trong L p () Chứng minh. Xét điều kiện (2) trong Bổ đề 2.2. Từ điều kiện (F), ta có thể chọn hằng số M đủ lớn sao cho f (u) C 1 u p 1 trong 2M = (u (t) 2M) = {x : u (x, t) 2M}. Trong phần này, ta kí hiệu (u M) + u M, khi u M = 0, khi u < M Trước tiên trong 2M ta thu được và g (t) ( (u M) +) p 1 ( C1 2 (u M) + ) 2p 2 + 1 2 C g (t) 2 1 2 C 1 ( 2 (u M) + ) (3.13) p 1 u p 1 + 1 2 C g (t) 2 1 2, f (u) ( (u M) +) p 1 ( C1 (u M) + ) p 1 u p 1 C ( 1 2 (u M) + ) p 1 u p 1 + C ( 1 M p 2 2 (u M) + ) (3.14) p. Ta nhân phương trình đầu trong (0.1) với (u M) + p 1 suy ra với mọi 0 < µ µ, ta có du (u M) + p 1 u (u M) + p 1 µ dt x 2u (u M) + p 1 +f (u) (u M) + p 1 = g (t) (u M) + p 1. Lấy tích phân trên 2M, ta có 1 d (u M) + p dx + p dt 2M 2M (p 1) u (u M) + (u M) + p 2 dx 32

2M µ x 2u (u M) + p 1 dx + = 2M g (t) (u M) + p 1 dx. f (u) (u M) + p 1 dx 2M Để ý rằng trên 2M thì u(u M) + u 2, do đó áp dụng bất đẳng thức Hardy, ta suy ra (p 1) u (u M) + (u M) + p 2 dx 2M C Điều này dẫn tới 1 d p dt 2M 2M CM p 2 2M [ u 2 µ ] x 2 u 2 (u M) + p 2 dx 2M (u M) + p dx + [ u 2 µ ] x 2 u 2 2M g (t) (u M) + p 1 dx. µ x 2u (u M) + p 1 dx dx 0. f (u) (u M) + p 1 dx 2M Kết hợp với (3.13) và (3.14), ta kết luận rằng 1 d (u M) + p dx + C 1 M p 2 (u M) + p dx 1 p dt 2 2 C 1 2M 2M 2M g (t) 2 dx, và do đó d dt 2M (u M) + p dx+cm p 2 2M (u M) + p dx C g (t) 2 2. Từ bổ đề 3.1.3, ta có với t 1 < t và r > 0 thì (u (t 1 + r) M) + p dx Ce CM p 2 r 2 t1 +r (u (s) M) + p dxds 2M t 1 2M 33

t1 +r +Ce CM p 2 (t 1 +r) t 1 e CM p 2s g (t) 2 2 ds. (3.15) Bây giờ ta đánh giá các số hạng bên vế phải của (3.15). Trước tiên, ta có t1 +r (u (s) M) + p dxds t 1 2M C t1 +r t 1 ( t1 +r t1 C ( u (t 1 ) 22 +r + 1 + t 1 (u (s) M) + p p ds ) u (s) p p ds + rm p p (sử dụng (3.3)) ( t1 t1 C 1 + e t 1 e λ1,µs g (s) 2 +r 2 ds + t 1 ) g (s) 2 2 ds + rm p p t 1 ) g (s) 2 2 ds < + (3.16) với đủ nhỏ (do (2.1)). Do đó, tồn tại N 0 phụ thuộc vào, M và u sao cho t1 +r (u (s) M) + p dxds N 0, (3.17) t 1 2M do đó với M đủ lớn, ta có t1 Ce CM +r p 2 r 2 t 1 2M (u (s) M) + p dxds ε 2. (3.18) Ta biết rằng với một hàm h khả tích trên đoạn [a, b] và một số ɛ > 0 cho trước, thì b e Mb e Ms h (s) ds ε 2 a (3.19) 34

với M đủ lớn. Kết hợp (3.15), (3.18), (3.19), chọn r = t t 1 > 0, ta có (U (t, ) u M) + p dx ε (3.20) 2M với < 1 và M M 1. Tiếp theo, ta đặt (u + M) u + M, khi u M = 0, khi u > M (3.21) và lặp lại tương tự các bước trên, thay (u M) + bởi (u + M), ta suy ra rằng tồn tại M 2 > 0 và 2 < t sao cho với mọi < 2 và với mọi M M 2, ta có (u(t) 2M) (u + M) p dx ε. (3.22) Bây giờ, giả sử M 0 = max {M 1, M 2 } và 0 = min { 1, 2 }. Từ (3.20) và (3.22) suy ra rằng ( u(t) 2M) ( u M) p dx ε (3.23) với mọi 0 và M M 0. Ta có u p dx = [( u M) + M] p dx ( u(t) 2M) ( ( u(t) 2M) ) 2 p 1 ( u M) p dx + M p dx ( ( u(t) 2M) ( u(t) 2M) ) 2 p 1 ( u M) p dx + ( u M) p dx ( u(t) 2M) ( u(t) 2M) 2 p ε u p dx 2 p ε (3.24) ( u(t) 2M) 35

u p dx 1 p < (2 p ε) 1 p = ε. ( u(t) 2M) Vậy ta có điều phải chứng minh. Bổ đề 3.1.5. Giả sử có các điều kiện (F) - (G). Khi đó với mọi s R và với mọi tập con bị chặn B L 2 () tồn tại một hằng số 0 = 0 (B, s) s sao cho u t (s) 2 2 C 1 + e s s e r ( ) g (r) 2 2 + g (r) 2 2 dr với mọi 0 và với mọi u B, trong đó C > 0 phụ thuộc vào s và B. Chứng minh. Lấy tích phân (3.9) theo biến s từ r đến r + 1, r [, t 1], ta có r+1 r e λ1,µs u t (s) 2 2 ds es ( u (s) 2µ + 2 ) F (u (s)) dx + r+1 r e s ( u (s) 2µ + 2 ) F (u (s)) dx ds + r+1 r e λ1,µs g (s) 2 2 ds t C (e λ1,µt + e λ1,µ u 22 + e s g (s) 2 2 ds ). (3.25) (do (3.7) và (3.10)). Đạo hàm (0.1) theo t và nhân bất đẳng thức trên với e s, ta có 1 d 2 ds ( ) e λ1,µs u t 2 2 + e λ1,µs u (s) 2 µ + es (f (u) u t, u t ) = 1 2 es (g (s), u t ) + 2 es u t 2 2. Sử dụng điều kiện (F) và bất đẳng thức Cauchy, ta thu được d ( ) ( ) e λ1,µr u t (s) 2 2 C e λ1,µs g (s) 2 2 dr + es u t (s) 2 2. (3.26) 36

Từ (3.25), (3.26) và bất đẳng thức Gronwall, ta có ( s ( ) ) e λ1,µs u t (s) 2 2 C e λ1,µs + e λ1,µ u 2 2 + e r g (r) 2 2 + g (r) 2 2 dr ( s u t (s) 2 2 C 1 + e λ1,µ( s) u 2 2 + e s ( s u t (s) 2 2 C 1 + e s (Điều phải chứng minh). e r e r ( g (r) 2 2 + g (r) 2 2 (3.27) ( ) ) g (r) 2 2 + g (r) 2 2 dr ) ) dr. 3.2 Định lý. Định lý 3.2.1. Giả sử các điều kiện (F) và (G) thỏa mãn. Khi đó với mỗi µ [0, µ ], quá trình U µ (t, ) của bài toán (1.1) có một D tập hút lùi  µ = {A µ (t) : t R} trong H µ () L p (). Chứng minh. Theo bổ đề 3.1.1, quá trình U µ (t, ) có một họ các D tập hấp thụ lùi trong H µ () L p (). Có thể chỉ ra rằng {U (t, )} là D tiệm cận compact lùi, tức là với mọi t R, với mọi ˆB D, và với mọi dãy n, với mọi dãy u n B ( n ), dãy {U µ (t, n ) u n } là tiền compact trong H µ () L p (). Theo bổ đề 3.1.4, ta chỉ cần chỉ ra dãy {U µ (t, n ) u n } là tiền compact trong H µ (). Kí hiệu u n (t) = {U µ (t, n ) u n }, ta có u n (t) u m (t) 2 µ dun = dt (t) du m dt (t), u n (t) u m (t) f (u n (t)) f (u m (t)), u n (t) u m (t) d dt u n (t) d dt u m (t) u n (t) u m (t) 2 + l u n (t) u m (t) 2 2. 2 37

Theo các bổ đề 3.1.4 và 3.1.5, ta có u n (t) u m (t) 2 µ 0 khi n, m (điều phải chứng minh) 38

Kết luận chung Nội dung chính của luận văn là nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu và sự tồn tại tập hút lùi của bài toán biên ban đầu đối với một lớp phương trình parabolic. Những kết quả chính đã đạt được trong quá trình nghiên cứu bài toán (0.1) là: 1. Sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu của bài toán. 2. Sự tồn tại của D tập hút lùi trong H µ () L p () (trong trường hợp f (u, t) không phụ thuộc vào t). Chúng tôi có một số hướng để tiếp tục phát triển các kết quả đã nghiên cứu sang các lớp phương trình khác và nghiên cứu thêm các tính chất của tập hút lùi trong mỗi bài toán cụ thể. Tác giả rất mong nhận được các ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp. 39

Tài liệu tham khảo 1. C. T. Anh and T. T. H. Yen (2011), "Finite-dimensional pullback attractors for parabolic equations with hardy type potentials", Ann. Polon. Math, 102, pp. 161-186. 2. P. Baras and J. Goldstein (1984), " The heat equation with asingular potential", Trans. Amer. Math. Soc, 284, pp. 121-134. 3. X. Cabre and Y. Martel (1999), " Exitence versus eplosion instantane pour des equations de la chaleur lineaires avec potentiel singulier", C. R. Acad. Sci. Paris, 329, pp. 973-978. 4. A.N. Carvalho (2009), "J.A. Langla and J.C. Robinson, On the continuity of pullback attractors for evolution processes", Nonlinear Anal, 71, pp. 1812-1814. 5. N.I. Karachalios and N.B.Zographopoulos (2008), "A sharp estimate on the dimension of the attractor for singular semilinear parabolic equations", Arch. Math, 91, pp. 564-576. 6. N.I. Karachalios and N.B.Zographopoulos (2009), "The semiflow of a reaction diffusion equation with a singular potential", Manuscr. Math, 130, pp. 63-81. 7. Y. Li and C.K. Zhong (2007), "Pullback attractors for the normto-weak continuous process and application to the nonautonomous reaction-diffusion equations", Appl. Math. Comp, 190, pp. 1020-1029. 40

8. Y. Li, S. Wang and H. Wu (2009), "Pullback attractors for nonautonomous reaction-diffusion equations in L p ", Appl. Math. Comp, 207, pp. 373-379. 9. J. L. Lions (1969), Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux Limites Non Linéaires, Dunod, Paris. 10. G. Lukaszewicz (2010), "On pullback attractors in L p for nonautonomous reaction-diffusion equations", Nonlinear Analysis. 11. Q.F. Ma, S.H. Wang and C.K. Zhong (2002), "Necessary and sufficient conditions for the existence of global attractor for semigroups and applications", Indian University Math. J, 51 (6), pp. 1541-1559. 12. J.L. Vazquez and E. Zuazua (2000), "The Hardy inequality and the asymptotic behaviour of the heat equation with an inverse-square potential", J. Functional Analysis, 173, pp. 103-153. 13. E. Zeidler (1990), Nonlinear Functional Analysis and its Applications, Vol. II, Springer-Verlag. 14. C. K. Zhong, M. H. Yang and C. Y. Sun (2006), "The existence of global attractors for the norm-to-weak continuous semigroup and application to the nonlinear reaction-diffusion equations", J. Differential Equations, 15, pp. 367-399. 41