ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 4: Το Πρόβλημα Ανάθεσης Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Να γίνει κατανοητή η ανάγκη ανάθεσης κατανομής πόρων σε δραστηριότητες, έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος ή να μεγιστοποιείται το όφελος με περιορισμούς 4
Περιεχόμενα ενότητας Προβλήματα Ανάθεσης Πρόβλημα Ανάθεσης - Μαθηματική Διατύπωση Επίλυση Προβλήματος Ανάθεσης Ουγγρικός Αλγόριθμος Ασκήσεις - προβλήματα 5
Βιβλιογραφία Π. Υψηλάντη, Επιχειρησιακή Έρευνα: Λήψη Επιχειρηματικών Αποφάσεων, Εκδόσεις ΕΛΛΗΝ, 1995. Γ. Πραστάκος. Μαθηματικός Προγραμματισμός για τη λήψη επιχειρηματικών αποφάσεων, Εκδόσεις Σταμούλης, 1991. Δ. Ξηρόκωστας, Επιχειρησιακή Έρευνα Αντικείμενο και μεθοδολογία, Συμμετρία, 1991. Ι. Σίσκος, Γραμμικός Προγραμματισμός, Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών, 1998. F.S. Hillier και G.L. Lieberman, Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Παπαζήση, 1985. 6
Προβλήματα Ανάθεσης Αφορά στην κατανομή μ πόρων σε ν δραστηριότητες, έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος ή να μεγιστοποιείται το όφελος με περιορισμούς: ένας πόρος να χρησιμοποιηθεί σε μια μόνο δραστηριότητα και σε κάθε δραστηριότητα να χρησιμοποιείται ένας μόνο πόρος. 7
Προβλήματα Ανάθεσης - Παράδειγμα Για πέντε διακριτές θέσεις εργασίας έχουμε διαθέσιμους πέντε εργαζόμενους. Ένας εργαζόμενος μπορεί να απασχοληθεί σε μια μόνο θέση και σε κάθε θέση μπορεί να απασχοληθεί μόνο ένας εργαζόμενος. Για κάθε θέση γνωρίζουμε την απόδοση του εργαζόμενου. Να γίνει η αντιστοίχιση εργαζόμενου σε θέση έτσι ώστε να μεγιστοποιείται το αποτέλεσμα. 8
Πρόβλημα Ανάθεσης - Μαθηματική Διατύπωση Πi, i={1,2, m} οι πόροι και Δj, j={1,2,.., n} οι δραστηριότητες. Xij =1 αν ο πόρος Πi χρησιμοποιηθεί στη δραστηριότητα Δj Xij =0 αν ο πόρος Πi δεν χρησιμοποιηθεί στη δραστηριότητα Δj Cij οι συντελεστές όφελους ή κόστους όταν ο πόρος Πi χρησιμοποιηθεί στη δραστηριότητα Δj Min ή Max m n C ij X i 1 j 1 ij Με περιορισμούς (ένας πόρος σε μια δραστηριότητα και μια δραστηριότητα σε ένα πόρο) m j 1 Xij 1 n i 1 Xij 1 9
Παράδειγμα Μια εταιρεία διαθέτει 5 εργαζόμενους για 5 θέσεις εργασίας. Σύμφωνα με παλαιότερη εμπειρία έχει αξιολογήσει το κόστος των 5 εργαζομένων στις θέσεις εργασίας σύμφωνα με το παρακάτω πίνακα. Να προσδιορισθεί ή ανάθεση εργασιών ώστε να ελαχιστοποιηθεί το αναμενόμενο Κόστος Πίνακας Κόστους Αναθέσεως Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 E1 24 15 11 13 8 E2 32 29 30 17 18 E3 18 17 24 15 12 E4 16 13 20 34 29 E5 15 17 15 27 29 10
Επίλυση Προβλήματος Ανάθεσης Επίλυση του Γραμμικού προβλήματος με τη μέθοδο SIMPLEX Εφαρμογή του Ουγγρικού Αλγόριθμου, ο οποίος βρίσκει αποτέλεσμα σε συντομότερο χρόνο. 11
Ουγγρικός Αλγόριθμος Βήμα 1ο: Εύρεση του πίνακα κόστους χαμένης ευκαιρίας. Δημιουργούμε ένα νέο πίνακα που προκύπτει: Από τα στοιχεία κάθε γραμμής αφαιρούμε το μικρότερο στοιχείο της γραμμής (σε προβλήματα μεγιστοποίησης το κάθε στοιχείο της γραμμής το αφαιρούμε από το μεγαλύτερο στοιχείο της γραμμής) Από τα στοιχεία κάθε στήλης αφαιρούμε το μικρότερο στοιχείο της στήλης (σε προβλήματα μεγιστοποίησης το κάθε στοιχείο της στήλης το αφαιρούμε από το μεγαλύτερο στοιχείο της γραμμής. Βήμα 2: Ελέγχουμε αν έχουμε πετύχει αντιστοίχιση. Αν έχουμε μηδενικά στοιχεία μπορούμε να έχουμε αντιστοίχιση. Ξεκινάμε από την πρώτη γραμμή. Θεωρούμε ότι έχουμε αντιστοίχιση στο στοιχείο με τιμή 0 και διαγράφουμε τη γραμμή και στήλη. Συνεχίζουμε με δεύτερη γραμμή για τα μη διαγεγραμμένα στοιχεία. Τέλος ελέγχουμε τις αντιστοιχίσεις. Αν είναι ίσες με τον αριθμό των γραμμών τότε έχει ολοκληρωθεί. Αν όχι συνεχίζουμε με το Βήμα 3. 12
Βήμα 1 Πίνακας 1 Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 E1 24 15 11 13 8 E2 32 29 30 17 18 E3 18 17 24 15 12 E4 16 13 20 34 29 E5 15 17 15 27 29 Πίνακας 2 Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 Εργαζόμε νοι Σε κάθε γραμμή και στήλη έχουμε τουλάχιστον ένα στοιχείο με τιμή 0 E1 16 7 3 5 0 E2 15 12 13 0 1 E3 6 5 12 3 0 E4 3 0 7 21 16 E5 0 2 0 12 14 Πίνακας 3 Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 Αφαιρούμε από όλα τα στοιχεία της πρώτης γραμμής το 8 δηλαδή 24-8, 15-8,.. Από τα στοιχεία της δεύτερης γραμμής αφαιρούμε 17 δηλαδή 32-17, 29-17, κ.ο.κ. Προκύπτει ο Πίνακας 2 Αφαιρούμε από όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης το 0 δηλαδή 16-0, 15-0,.. Από τα στοιχεία της δεύτερης Στήλης αφαιρούμε 0 δηλαδή 7-0, 12-0, κ.ο.κ. Προκύπτει ο Πίνακας3 E1 16 7 3 5 0 E2 15 12 13 0 1 E3 6 5 12 3 0 E4 3 0 7 21 16 E5 0 2 0 12 14
Βήμα 2 (1) Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 E1 16 7 3 5 0 E2 15 12 13 0 1 E3 6 5 12 3 0 E4 3 0 7 21 16 E5 0 2 0 12 14 Στην πρώτη γραμμή βρίσκουμε το στοιχείο με τιμή 0. Το διαγραμμίζουμε και διαγράφουμε γραμμή και στήλη. Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 E1 16 7 3 5 0 E2 15 12 13 0 1 E3 6 5 12 3 0 E4 3 0 7 21 16 E5 0 2 0 12 14 Συνεχίζουμε με τη δεύτερη γραμμή με το μη διαγεγραμμένα στοιχεία, την Τρίτη, Αν σε μια γραμμή δεν βρούμε στοιχείο με τιμή 0 συνεχίζουμε στην επόμενη 14
Βήμα 2 (2) Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 E1 16 7 3 5 0 E2 15 12 13 0 1 E3 6 5 12 3 0 E4 3 0 7 21 16 E5 0 2 0 12 14 Η τρίτη γραμμή και η πρώτη στήλη δεν αντιστοιχίζονται. Προχωράμε στο τρίτο βήμα. 15
Ουγγρικός Αλγόριθμος - Βήμα 3 Τσεκάρουμε τις γραμμές που δεν έχουμε ανάθεση. Σε κάθε τσεκαρισμένη γραμμή και στα μηδενικά της στοιχεία τσεκάρουμε την αντίστοιχη στήλη. Σε κάθε τσεκαρισμένη στήλη τσεκάρουμε τις γραμμές που έχουμε μηδενικό στοιχείο με ανάθεση. Διαγράφουμε τις μη τσεκαρισμένες γραμμές και τις τσεκαρισμένες στήλες. 16
Βήμα 3 (1) Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 E1 16 7 3 5 0 v E2 15 12 13 0 1 E3 6 5 12 3 0 v E4 3 0 7 21 16 E5 0 2 0 12 14 v Τσεκάρουμε την Τρίτη γραμμή που δεν έχει ανάθεση. Τσεκάρουμε την πέμπτη στήλη (του μηδενικού στοιχείου της τρίτης γραμμής). Τσεκάρουμε την πρώτη γραμμή που έχει το μηδενικό στοιχείο (με ανάθεση) της πέμπτης στήλης. 17
Βήμα 3 (2) Πίνακας 4 Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 E1 16 7 3 5 0 v E2 15 12 13 0 1 E3 6 5 12 3 0 v E4 3 0 7 21 16 E5 0 2 0 12 14 v Διαγράφουμε τις μη τσεκαρισμένες γραμμές και τις τσεκαρισμένες στήλες. 18
Ουγγρικός Αλγόριθμος Βήμα 4 (1) Από τα μη διαγραμμένα στοιχεία βρίσκουμε το μικρότερο. Θ =3 Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 E1 16 7 3 5 0 E2 15 12 13 0 1 E3 6 5 12 3 0 E4 3 0 7 21 16 E5 0 2 0 12 14 19
Ουγγρικός Αλγόριθμος Βήμα 4 (2) Βρίσκουμε έναν νέο πίνακα με τους παρακάτω μετασχηματισμούς: Αν από ένα στοιχείο περνά μια μόνο γραμμή τότε το αφήνουμε όπως είναι. Αν δεν περνά γραμμή τότε αφαιρούμε από αυτό το θ Αν περνούν δύο γραμμές τότε προσθέτουμε θ Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 E1 16 7 3 5 0 Θα μείνει όπως είναι E2 15 12 13 0 1 E3 6 5 12 3 0 E4 3 0 7 21 16 E5 0 2 0 12 14 Θα έχουμε 13 (16-3) καθώς δεν περνά γραμμή Θα έχουμε 4 (1+3) καθώς περνούν δύο γραμμές 20
Ουγγρικός Αλγόριθμος Βήμα 4 (3) Υπολογίζουμε τον παρακάτω πίνακα και συνεχίζουμε στο βήμα 2 (Έλεγχος ύπαρξης λύσης) Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 E1 13 4 0 2 0 E2 15 12 13 0 4 E3 3 2 9 0 0 E4 3 0 7 21 19 E5 0 2 0 12 17 Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 E1 13 4 0 2 0 E2 15 12 13 0 4 E3 3 2 9 0 0 E4 3 0 7 21 19 E5 0 2 0 12 17 Η λύση μας είναι Ε5-> Θ1, Ε4 -> Θ2, Ε1 -> Θ3, Ε2 -> Θ4 και Ε3 -> Θ5. Το συνολικό Κόστος Είναι 15+13+11+17+12=68. 21
Ερώτηση Αν στο βήμα 4 δεν βρίσκαμε λύση τότε πως θα έπρεπε να προχωρήσουμε; 22
Ασκήσεις προβλήματα (1) Να λυθεί το παρακάτω πρόβλημα Ανάθεσης (ελαχιστοποίηση) Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 E1 5 9 3 6 E2 8 7 8 2 E3 6 10 12 7 E4 3 10 8 6 23
Ασκήσεις προβλήματα (2) Να λυθεί το παρακάτω πρόβλημα Ανάθεσης (ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ) Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 E1 11 7 10 17 10 E2 13 21 7 11 12 E3 13 13 15 13 14 E4 18 10 13 16 14 E5 12 8 16 19 10 24
Τέλος Ενότητας