6.1 Μη γραμμικά προβλήματα στη μηχανική

Κεφάλαιο 6 Mη γραμμικά φαινόμενα Σε αυτό το κεφάλαιο θα παρουσιαστούν συνοπτικά επεκτάσεις της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων για την αντιμετώπιση μη γραμμικών προβλημάτων ([1]). Αρχικά θα εξεταστεί η περίπτωση της μη γραμμικής ελαστικότητας, δηλαδή η περίπτωση που το μέτρο ελαστικότητας είναι εξαρτώμενο από την τροπή ([2], [3]). Tο πρόβλημα θα απεικονιστεί με το παράδειγμα ραβδωτών στοιχείων. Για την επίλυση του μη γραμμικού συστήματος των εξισώσεων θα χρησιμοποιηθούν προσεγγιστικές μέθοδοι, τα βήματα των οποίων στηρίζονται στην επίλυση γραμμικών προβλημάτων: η μέθοδος της άμεσης επανάληψης, η πλήρης μέθοδος Newton-Raphson και η τροποποιημένη μέθοδος Newton- Raphson. Στο πλαίσιο της πλήρους μεθόδου Newton-Raphson, θα συζητηθεί λεπτομερώς η παραγωγή του εφαπτομενικού μητρώου δυσκαμψίας. Στη συνέχεια θα παρουσιαστεί η ελαστοπλαστική ανάλυση, ως παράδειγμα μη γραμμικότητας που οδηγεί σε αποτελέσματα εξαρτώμενα από την ιστορία φορτίσεως. 6.1 Μη γραμμικά προβλήματα στη μηχανική Στη μηχανική, και κατ επέκταση στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, γίνεται διάκριση μεταξύ των ακόλουθων ειδών της μη γραμμικότητας: Φυσική μη γραμμικότητα, ή μη γραμμικότητα υλικού: Σχετίζεται με τη μη γραμμική συμπεριφορά του υλικού. Διακρίνεται σε μη γραμμική ελαστική απόκριση και σε μη γραμμική απόκριση εξαρτώμενη από την ιστορία φορτίσεως, όπως για παράδειγμα στην ελαστοπλαστικότητα που θα εξεταστεί στη συνέχεια. Άλλες επεκτάσεις αφορούν θεωρίες αποδυνάμωσης (damage). 243

244 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. MΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ Mη γραμμικές συνοριακές συνθήκες: Πρόκειται για την περίπτωση, όπου για παράδειγμα κατά τη διάρκεια της εφαρμογής του φορτίου, τροποποιείται η συμπεριφορά μία συνοριακής συνθήκης στήριξης. Αντιπροσωπευτικά παραδείγματα αυτής της κατηγορίας, είναι τα προβλήματα μονόπλευρης επαφής. Αυτή η περίπτωση δεν θα εξετασθεί εδώ. Γεωμετρική ή κινηματική μη γραμμικότητα. Μεγάλες παραμορφώσεις: Σχετίζεται με μεγάλες μετατοπίσεις και περιστροφές σε συνδυασμό με μικρές ή μεγάλες τροπές. Ως παραδείγματα μπορούν να δοθούν οι καλωδιοκατασκευές, οι φουσκωτές κατασκευές και συναφείς κατασκευές όπου οι συνθήκες ισορροπίας απαιτείται να γραφούν στην παραμορφωμένη (και άγνωστη εξαρχής) κατάσταση. Σε όλες τις προαναφερθείσες περιπτώσεις οι εξισώσεις που χαρακτηρίζουν το μηχανικό φαινόμενο είναι μη γραμμικές. Συνεπώς, με κατάλληλη επέκταση της αριθμητικής προσέγγισης της λύσεως, οδηγούμεθα στην ανάγκη επίλυσης ενός συστήματος μη γραμμικών εξισώσεων. Θα πρέπει εδώ να επισημανθεί ότι οι αλγόριθμοι επαναληπτικής επίλυσης συστήματος μη γραμμικών εξισώσεων είναι τοπικής σύγκλισης με την έννοια ότι σε περίπτωση που υπάρχει πολλαπλότητα λύσεων, η σύγκλισή τους σε μια λύση εξαρτάται από την επιλεχθείσα αρχική εκτίμηση της λύσης (αρχική τιμή των αγνώστων). Για να αποφευχθεί σύγκλιση σε ανεξέλεγκτες καταστάσεις και να ακολουθηθούν πιο σύνθετα φαινόμενα (λυγισμός, συμπεριφορά μετά το λυγισμό, διακλάδωση λύσεων κ.ά.), ακολουθείται μια σύνθετη μεθοδολογία που συνίσταται στη σταδιακή επιβολή του φορτίου, για παράδειγμα με μικρά βήματα φορτίσεως (load incrementation), και εν συνεχεία στην προσέγγιση της λύσης μέσα σε κάθε βήμα φορτίσεως με τη χρήση των επαναλήψεων που θα περιγραφούν στη συνέχεια. 6.2 Μη γραμμική ελαστικότητα Το βασικό χαρακτηριστικό της συμπεριφοράς του ελαστικού υλικού είναι ότι οι τροπές γυρνούν πίσω στο μηδέν αμέσως μετά την αποφόρτιση. Στην περίπτωση της γραμμικής ελαστικότητας με σταθερό μέτρο ελαστικότητας, η φόρτιση και η αποφόρτιση απεικονίζονται στο διάγραμμα τάσης-τροπής με τη μορφή μιας ευθείας γραμμής, βλ. Σχ. 6.1α. H κλίση αυτής της ευθείας γραμμής ισούται ακριβώς με το μέτρο ελαστικότητας Ε, σύμφωνα με τον νόμο του Hooke. Σε γενίκευση αυτής της γραμμικής ελαστικής συμπεριφοράς, η επιβολή και η

6.3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 245 (α) (β) σ(ε) σ(ε) E = const E(ε) 0 ε 0 ε Σχήμα 6.1: Διαφορετική συμπεριφορά στην ελαστική περιοχή: α γραμμικό, β μη γραμμικό διάγραμμα τάσης-παραμόρφωσης (τροπής). παύση επιβολής φορτίου απεικονίζονται επίσης κατά μήκος μιας μη γραμμικής καμπύλης, και αυτή η περίπτωση αφορά τη μη γραμμική ελαστικότητα, βλ. Σχ. 6.1β. Σε αυτή την περίπτωση, ο νόμος του Hooke ισχύει μόνο υπό μια επαυξητική ή διαφορική μορφή: dσ(ϵ) dϵ = E(ϵ). Υπό την προϋπόθεση ότι δεν εμφανίζονται φαινόμενα γεωμετρικής μη γραμμικότητας, όταν δηλαδή οι εξισώσεις ισορροπίας μπορούν προσεγγιστικά να γραφούν στην αρχική απαραμόρφωτη κατάσταση, μπορεί κάποιος να θεωρήσει ότι ο χαρακτηρισμός γραμμική ή εναλλακτικά, μη γραμμική ελαστικότητα αναφέρεται στην συμπεριφορά της καμπύλης τάσης-παραμόρφωσης (ή τροπής). Ως εκ τούτου, στη συνέχεια, εστιάζουμε σε σχέσεις της μορφής E = E(u) ή εναλλακτικά E = E(du/dx). 6.3 Επίλυση του συστήματος μη γραμμικών εξισώσεων Θεωρείται η ράβδος του Σχ. 6.2 η οποία είναι πακτωμένη στη μία άκρη και φορτίζεται με συγκεντρωμένο φορτίο F στην άλλη πλευρά, με μέτρο ελαστικότητας γραμμικώς εξαρτώμενο από την παραμόρφωση. Αρχικά, θεωρείται

246 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. MΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ διακριτοποίηση με ένα μόνο πεπερασμένο στοιχείο, έτσι ώστε, με τη θεώρηση της στήριξης, λαμβάνεται σύστημα με έναν βαθμό ελευθερίας. Οι εξισώσεις που λαμβάνονται συνεπώς εξαρτώνται μόνο από μία μεταβλητή, τη μετακίνηση στον κόμβο επιβολής του φορτίου. Στη συνέχεια η διακριτοποίηση πυκνώνεται. Η προκύπτουσα εξίσωση ισορροπίας ή το σύστημα των εξισώσεων ισορροπίας είναι μη γραμμικά. Απαιτείται συνεπώς η χρήση επαναληπτικών μεθόδων για την επίλυσή τους. (α) (β) E(ε) A F E 0 L Διακριτοποίηση: 1 2 (ένα στοιχείο) 1 2 3 (δύο στοιχεία) E 1 0 ε 1 ε Σχήμα 6.2: Ραβδωτό στοιχείο με επιβολή σημειακού φορτίου και μέτρο ελαστικότητας εξαρτώμενο από την παραμόρφωση. 6.3.1 Μέθοδος άμεσης επανάληψης Στο πλαίσιο της μεθόδου άμεσης επανάληψης, το σύστημα των εξισώσεων ισορροπίας λύνεται με υπολογισμό του μητρώου ακαμψίας στο προηγούμενο και συνεπώς γνωστό βήμα. Με την επιλογή μιας λογικής αρχικής τιμής - για παράδειγμα από μία γραμμική ελαστική σχέση - η λύση προσδιορίζεται με χρήση του τύπου που ακολουθεί: K(u (j) )u (j+1) = F. Στο Σχ. 6.3 απεικονίζεται σχηματικά η μέθοδος της άμεσης επανάληψης. Αυτή η μέθοδος συγκλίνει σε περιπτώσεις ήπιας μη γραμμικότητας, με γραμμικό ρυθμό σύγκλισης.

6.3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 247 F 2 K(u (1) K(u (2) 2 ) 2 ) K(u (0) 2 ) εξωτερικόν φορτίον συγκεκλιμένη λύση u (0) 2 u (1) 2 u (2) 2 u 2 Σχήμα 6.3: Σχηματική απεικόνιση της μεθόδου άμεσης επανάληψης. Μέθοδος άμεσης επανάληψης για μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων με έναν βαθμό ελευθερίας Για το παράδειγμα του Σχ. 6.2 και με χρήση της εξίσωσης ισορροπίας ραβδωτού πεπερασμένου στοιχείου, ο επαναληπτικός τύπος της μεθόδου άμεσης επανάληψης, μετά τη θεώρηση της στήριξης, διατυπώνεται ως εξής: AE 0 L (L a 01u (j) 2 2 )u (j+1) 2 = F 2, (6.1) ή εναλλακτικά με λύση ως προς τη νέα μετατόπιση: u (j+1) 2 = F 2 L 2 AE 0 (L a 01 u (j) 2 ).

248 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. MΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ 6.3.2 H πλήρης μέθοδος Newton-Raphson H μέθοδος Newton για μια συνάρτηση με μια μεταβλητή Για τον ορισμό της ρίζας μιας συνάρτησης f(x), δηλαδή f(x) = 0, χρησιμοποιείται συχνά η επαναληπτική μέθοδος Newton. Για την ανάπτυξη της επαναληπτικής μεθόδου, αναπτύσσεται η συνάρτηση f(x) γύρω από το σημείο x 0 με σειρά Taylor: ( ) df f(x) = f(x 0 ) + (x x 0 ) + 1 dx x 0 2! ( ) d 2 f dx 2 x 0 (x x 0 ) 2 +... + 1 k! ( ) d k f dx k x 0 (x x 0 ) k. Aν δεν λαμβάνονται υπόψη οι όροι δεύτερης και ανώτερης τάξης, τότε προκύπτει η ακόλουθη προσεγγιστική λύση: f(x) f(x 0 ) + ( ) df (x x 0 ). (6.2) dx x 0 Θεωρώντας ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης ισούται με την κλίση της εφαπτομένης γραμμής στο συγκεκριμένο σημείο και ότι η εξίσωση κλίσης αυτής δίνεται από τη σχέση f(x) f(x 0 ) = m(x x 0 ), τότε η προσέγγιση μέσω των σειρών Τaylor πρώτης τάξης, δίνεται από την ευθεία γραμμή που διέρχεται από το σημείο (x 0, f(x 0 )) με κλίση m = (df/dx) x0, βλ. Σχ. 6.4. Για την παραγωγή του τύπου του επαναληπτικού αλγορίθμου για τον ορισμό των ριζών, θέτουμε τη σχέση (6.2) ίση με το 0 και προκύπτει η ακόλουθη σχέση μετά από τις αντικαταστάσεις x 0 x (j) και x x (j+1) : x (j+1) = x (j) f(x(j) ). (df/dx) x (j) H βασική αρχή που εφαρμόζεται στο πλαίσιο μιας επανάληψης της μεθόδου Newton απεικονίζεται στο Σχ. 6.5. Στο αρχικό σημείο της επαναληπτικής διαδικασίας, η εφαπτομένη απεικονίζεται στο γράφημα της συνάρτησης f(x) και ακολούθως ορίζεται η ρίζα αυτής της εφαπτομένης. Στην τιμή της τεταγμένης αυτής της ρίζας, σχηματίζεται η επόμενη εφαπτομένη και η διαδικασία συνεχίζεται σύμφωνα με την πορεία δράσης του αρχικού σημείου. Αν η f(x) είναι συνεχής και μονότονη συνάρτηση σε δεδομένο διάστημα, και αν το αρχικό σημείο της επαναληπτικής διαδικασίας τείνει κοντά στην άγνωστη λύση, η μέθοδος συγκλίνει τετραγωνικά προς τη ρίζα.

6.3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 249 f(x) f(x) επιθυμητή γνωστή προσέγγιση ( f ) x x 0 x 0 x x Σχήμα 6.4: Ανάπτυξη μιας συνάρτησης μέσω σειράς Taylor πρώτης τάξης (γραμμικοποίηση μέσω της εφαπτόμενης). H μέθοδος Newton-Raphson για μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων με έναν βαθμό ελευθερίας Για το παράδειγμα του Σχ. 6.2, το πρόβλημα εύρεσης της θέσης ισορροπίας ισοδυναμεί με τον εντοπισμό των ριζών της συνάρτησης, λαμβάνοντας υπόψη τις συνοριακές συνθήκες στον κόμβο της αριστερής (στηριγμένης) πλευράς: r(u 2 ) = AE 0 L 2 (L a 01u 2 )u 2 F 2 = K(u 2 )u 2 F 2 = 0. (6.3) Εφαρμόζοντας την επαναληπτική διαδικασία του προηγούμενου παράγραφου στη συνάρτηση υπολοίπου r(u 2 ), η συνέχεια της επαναληπτικής διαδικασίας Newton-Raphson καταλήγει στη σχέση: u (j+1) 2 = u (j) 2 r(u(j) 2 ) = u (j) dr(u (j) 2 (K (j) T 2 )/du 2 ) 1 r(u (j) 2 ), (6.4)

250 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. MΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ f(x) f(x (j) ) f(x (j+1) ) ρίσα x j+1 x j x Σχήμα 6.5: Ορισμός ρίζας μιας συνάρτησης μέσα από τον επαναληπτικό αλγόριθμο Newton. όπου η παράμετρος K T αναφέρεται γενικά ως εφαπτομενικό μητρώο ακαμψίας. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, το K T είναι μια βαθμωτή συνάρτηση. Σύμφωνα με την εξίσωση (6.3), το εφαπτομενικό μητρώο ακαμψίας για το παράδειγμά μας ισούται με: ή K T (u 2 ) = dr(u 2) du 2 = K(u 2 ) + dk(u 2) du 2 u 2 = AE 0 L 2 (L a 01u 2 ) AE 0 L 2 a 01u 2 K T (u 2 ) = AE 0 L 2 (L 2a 01u 2 ). Όταν χρησιμοποιούμε το τελευταίο αποτέλεσμα στην επαναληπτική διαδικασία (6.4) και όταν θεωρούμε τον ορισμό της συνάρτησης υπολοίπου σύμφωνα

6.3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 251 με τη σχέση (6.3), η επαναληπτική διαδικασία του συγκεκριμένου παραδείγματος τελικά καταλήγει στη σχέση: u (j+1) 2 = u (j) 2 AE 0 L 2 (L a 01 u (j) 2 )u (j) 2 F (j) 2 AE 0 (L 2a L 2 01 u (j) 2 ) Η μέθοδος εμφανίζει τετραγωνική σύγκλιση. Γενικά όμως ένα μεγάλο μειονέκτημα της μεθόδου έγκειται στο ότι το εφαπτομενικό μητρώο ακαμψίας πρέπει να υπολογίζεται και να αντιστρέφεται σε κάθε βήμα της επαναληπτικής διαδικασίας. Για μεγάλα συστήματα εξισώσεων, αυτό οδηγεί σε ιδιαίτερα «βαριές» υπολογιστικά διαδικασίες και είναι πιθανόν να αντισταθμίζει το πλεονέκτημα της τετραγωνικής σύγκλισης. Όταν αυξάνεται το εξωτερικό φορτίο F 2, προκύπτει μια οριακή τιμή, από την οποία όμως δεν μπορεί πια να επιτευγχθεί σύγκλιση με τη μέθοδο Newton- Raphson. Ένα εξαρτώμενο από την τροπή μέτρο ελαστικότητας οδηγείται μέσα από διαδικασία ολοκλήρωσης στην παραβολική κατανομή τάσεων, όπως απεικονίζεται στο Σχ. 6.6. Σύμφωνα με αυτό το γράφημα, μπορεί να καθοριστεί η μέγιστη τιμή της τάσης στο σ max = E 0 /2a 01, ή εναλλακτικά η μέγιστη δύναμη της δοκού στο F max = E 0 A/2a 01. Για να επεξηγηθεί η μη ύπαρξη σύγκλισης, πρέπει η συνάρτηση υπολοίπου (6.3) να εξεταστεί πιο λεπτομερώς, και να θεωρηθεί ότι η επαναληπτική μέθοδος πρέπει να καθορίσει τις ρίζες της συνάρτησης αυτής. Η συγκεκριμένη συνάρτηση υπολοίπου είναι μια τετραγωνική συνάρτηση γύρω από το u 2, που μπορεί να γραφτεί όπως η ακόλουθη παραβολική εξίσωση, μετά από ολοκλήρωση στο τετράγωνο: ( u 2 L 2a 01 ) 2 + ( F2 E 0 A 1 ) L 2 = 0. 4a 01 a 01 Συνεπώς, η εξίσωση (6.3) αναπαριστά μια παραβολή με τα κοίλα άνω, με κορυφή το σημείο (L/2a 01, (F 2 /E 0 A 1/4a 01 )L 2 /a 01 ). Ανάλογα με τη θέση της κορυφής της παραβολής, διαφέρει και ο αριθμός των ριζών (βλ. Σχ. 6.7), οπότε η οριακή τιμή για τη σύγκλιση της επαναληπτικής μεθόδου καθορίζεται μέσα από το οριακό σημείο της παραβολής με τον u 2 άξονα: F 2 E 0 A 1 = 0. 4a 01 Επομένως, η επαναληπτική μέθοδος Newton-Raphson για τη συγκεκριμένη περίπτωση, όπου το μέτρο ελαστικότητας εξαρτάται γραμμικά από την παρα-

252 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. MΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ σ(ε) E 0 E(ε) 0 ε 1 ε 1 E 0 E 0 E 1 = 1 α 01 2 α 01 ε Σχήμα 6.6: Διάγραμμα τάσης-παραμόρφωσης για μέτρο ελαστικότητας που εξαρτάται από την τροπή, σύμφωνα με την εξίσωση (6.1). μόρφωση, συγκλίνει μόνο μεταξύ των ακολούθων ορίων: F 2 E 0A 4a 01 or ϵ 1 2a 01. H διαδικασία Newton-Raphson αναπαριστάται γραφικά στο Σχ. 6.8. Το εφαπτομενικό μητρώο ακαμψίας K (j) T υπολογίζεται σε κάθε επαναληπτικό σημείο u (j) 2, έτσι ώστε στη συνέχεια να υπολογισθεί η επόμενη τιμή u (j+1) 2 μέσα από γραμμικοποίηση. Είναι σημαντικό να αναφερθεί ότι το εφαπτομενικό μητρώο ακαμψίας προσδιορίζεται ως παράγωγος στο διάγραμμα δύναμης-μετατόπισης, βλ. Σχ. 6.8. Για να μετατραπεί το γράφημα σε διάγραμμα τάσης-παραμόρφωσης, πρέπει να διαιρεθεί η συνάρτηση υπολοίπου (6.3) με την επιφάνεια εγκάρσιας διατομής, και η μετατόπιση με το μήκος, ώστε να ληφθεί η παρακάτω μορφή: ( u ) 2 u2 E 0 1 a 01 L L F 2 A = 0,

6.3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 253 ή εναλλακτικά η μορφή που ακολουθεί με εισαγωγή τάσης και παραμόρφωσης: r(ϵ) = E 0 (1 a 01 ϵ)ϵ σ = 0. Είναι σημαντικό να τονισθεί ότι η τελευταία εξίσωση δεν πρέπει να συγχέεται με αυτή της σχέσης τάσης-παραμόρφωσης του νόμου του Hooke, καθώς σχετίζεται με εξωτερικές και εσωτερικές δυνάμεις. Στο παράδειγμά μας, η εφαρμογή της επαναληπτικής διαδικασίας σύμφωνα με την εξίσωση (6.4) οδηγεί στον ακόλουθο τύπο: όπου dr(ϵ) dϵ ϵ (j+1) = ϵ (j) r(ϵ(j) ) dr(ϵ (j) )/dϵ, = E T = E(ϵ) + de dϵ ϵ = E 0(1 a 01 ϵ) E 0 a 01 ϵ = E 0 (1 2a 01 ϵ) αναφέρεται ως σύμμορφο μέτρο E T στον επαναληπτικό τύπο. H μέθοδος Newton-Raphson για μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων με πολλές μεταβλητές Η πλήρης μέθοδος Newton-Raphson για σύστημα με πολλούς αγνώστους (βαθμούς ελευθερίας), διατυπώνεται από την παρακάτω εξίσωση: u (j+1) = u (j) (K T (j) ) 1 r(u (j) ), ενώ το εφαπτομενικό μητρώο ακαμψίας δίνεται γενικά από τη σχέση: K T = r(u) u. Η διατύπωση του διανύσματος υπολοίπου δίνεται από τη σχέση: r(u) = Ku F.

254 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. MΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ r(u 2 ) F 2 < E 0A 4α 01, ε < 1 2a 01 αρχική τιμή λύση 0 u 2 r(u 2 ) F 2 > E 0A 4α 01 ε < 1 2a 01 L 0 u 2 2a 01 r(u 2 ) F 2 < E 0A 4α 01, ε < 1 2a 01 0 L 2a 01 u 2 Σχήμα 6.7: Σχηματική απεικόνιση της συνάρτησης υπολοίπου σύμφωνα με την εξίσωση (6.3) για διαφορετικά εξωτερικά φορτία F 2.

6.3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 255 F 2 F (j) 2 K (0) T E 0 A 4a 01 K (1) T u (0) 2 u (1) 2 u (2) 2 u 2 Σχήμα 6.8: Σχηματική απεικόνιση της πλήρους επαναληπτικής μεθόδου Newton-Raphson.

256 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. MΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ 6.3.3 Η τροποποιημένη μέθοδος Newton-Raphson H τροποποιημένη μέθοδος Newton-Raphson για μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων με έναν άγνωστο Μειονέκτημα της πλήρους επαναληπτικής μεθόδου Newton-Raphson αποτελεί το γεγονός ότι ο υπολογισμός του εφαπτομενικού μητρώου ακαμψίας και του αντιστρόφου του, πρέπει να γίνονται σε κάθε επαναληπτικό βήμα. Η τροποποιημένη μέθοδος Newton-Raphson προκύπτει, εάν ο υπολογισμός του εφαπτομενικού μητρώου ακαμψίας γίνεται μόνο μία φορά στην αρχή του κάθε επαναληπτικού βήματος. Με βάση την εξίσωση (6.4), η τροποποιημένη μέθοδος διατυπώνεται ως εξής: u (j+1) 2 = u (j) r(u (j) 2 ) 2 = u (j) dr(u (0) 2 )/du 2 2 (K (0) T ) 1 r(u (j) 2 ). Η τροποποιημένη μέθοδος Newton-Raphson απεικονίζεται σχηματικά στο Σχ. 6.9. Από το σχήμα αυτό προκύπτει ότι η ίδια αρχική εφαπτομενική ακαμψία χρησιμοποιείται σε κάθε επαναληπτικό βήμα, ενώ σε σύγκριση με την πλήρη μέθοδο, εδώ απαιτούνται περισσότερες επαναλήψεις. Επίσης, η μέθοδος δεν συγκλίνει πλέον τετραγωνικά αλλά γραμμικά. Παρόλ αυτά αποφεύγεται ο υπολογισμός του αντιστρόφου μητρώου του εφαπτομενικού μητρώου ακαμψίας σε κάθε επαναληπτικό βήμα, ο οποίος θα απαιτούσε μεγάλο υπολογιστικό κόστος, με αποτέλεσμα τη σημαντική μείωση αυτού. H τροποποιημένη μέθοδος Newton-Raphson για μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων με πολλούς αγνώστους Η τροποποιημένη μέθοδος Newton-Raphson για σύστημα με πολλούς αγνώστους, διατυπώνεται από την παρακάτω εξίσωση: 6.3.4 Κριτήρια σύγκλισης u (j+1) = u (j) (K T (0) ) 1 r(u (j) ). Ο έλεγχος σύγκλισης ενός επαναληπτικού σχήματος επίλυσης, βασίζεται στη χρήση της παρακάτω κανονικοποιημένης διαφοράς στις μετακινήσεις: (u(j) 2 u (j 1) 2 ) 2 + (u (j) 3 u (j 1) 3 ) 2 +... + (u (j) m u (j 1) m ) 2 (u (j) 2 ) 2 + (u (j) 3 ) 2 +... + (u (j) m ) 2

6.3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 257 F 2 F (j) 2 K (0) T E 0 A 4a 01 u (0) 2 u (1) 2 u (2) 2 u (j) 2 u 2 Σχήμα 6.9: Σχηματική απεικόνιση της τροποποιημένης επαναληπτικής μεθόδου Newton-Raphson όπου ο αριθμός m αντιπροσωπεύει τον αριθμό των αγνώστων βαθμών ελευθερίας. Εάν αυτή η ποσότητα είναι κάτω από ένα συγκεκριμένο όριο (ακρίβεια), η επανάληψη συγκλίνει. Εναλλακτικά μπορεί να χρησιμοποιηθεί η νόρμα του διανύσματος υπολοίπου r (j) = K(u (j) )u (j) F (j), (μη εξισορροπούμενη δύναμη), για τον έλεγχο της σύγκλισης, η οποία δίνεται από τη σχέση που ακολουθεί: m (r (j) ) 2. i=1 Στην εξειδικευμένη βιβλιογραφία μπορεί κανείς να αναζητήσει περισσότερες

258 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. MΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ μεθόδους για την παρακολούθηση της λύσης σε περιοχές ευσταθούς και ασταθούς λειτουργίας, όπως για παράδειγμα η μέθοδος μήκους τόξου, οι οποίες εφαρμόζονται σε πιο εξειδικευμένα προβλήματα μηχανικής και είναι σε θέση να υπολογίσουν ευσταθείς και ασταθείς λύσεις (επιβολή μετακινήσεων αντί για την επιβολή δυνάμεων). Ειδικός χειρισμός απαιτείται επίσης στην περίπτωση που εμφανίζεται διακλάδωση της λύσης και η δυνατότητα εύρεσης περισσότερων απο μίας λύσεων με την αύξηση του φορτίου. Κατά την πρακτική εφαρμογή οποιασδήποτε μεθόδου μέσα σε ένα πακέτο πεπερασμένων στοιχείων θα πρέπει κάποιος να αναζητήσει την επιλογή σταδιακής επιβολής του φορτίου, να εντοπίσει τη μέθοδο των επαναλήψεων που χρησιμοποιείται και τον μέγιστο επιτρεπτό αριθμό επαναλήψεων μέσα σε κάθε βήμα φορτίσεως καθώς και τη νόρμα και την ακρίβεια σύγκλισης. Σε πιο εξελιγμένες υλοποιήσεις, επειδή ο αριθμός των επαναλήψεων που απαιτείται για την επίλυση του συστήματος των μη γραμμικών εξισώσεων ισορροπίας εξαρτάται από τη δυσκολία του προβλήματος, διατίθενται και μέθοδοι μεταβλητού βήματος φορτίσεως, έτσι ώστε σε περιοχές μεγάλων αποκλίσεων από τη γραμμική απόκριση να μειωθεί η ανάγκη περισσοτέρων επαναλήψεων για τη σύγκλιση μέσα σε κάθε φορτιστικό βήμα και ο κίνδυνος αποτυχίας της επαναληπτικής διαδικασίας. 6.4 Ελαστοπλαστικότητα. Οι βασικές σχέσεις της μηχανικής του συνεχούς Ως τυπικό παράδειγμα μη ελαστικής συμπεριφοράς θα παρουσιαστεί εδώ ένα κλασικό μοντέλο ελαστοπλαστικότητας για μονοδιάστατο συνεχές (ράβδο). Oι συνθήκες διαρροής, ο νόμος πλαστικής ροής, o νόμος κράτυνσης και το μέτρο ελαστικοπλαστικότητας, είναι θέματα που θα περιγραφούν για μονοαξονικές και μονοτονικές συνθήκες φόρτισης. Υπό το πρίσμα του νόμου της κράτυνσης, η περιγραφή περιορίζεται στην ισότροπη κράτυνση, η οποία συμβαίνει για παράδειγμα, σε πείραμα μονοαξονικού εφελκυσμού με μονοτονική φόρτιση. Ο αναγνώστης μπορεί να βρει στην εξειδικευμένη βιβλιογραφία αντίστοιχους νόμους για διδιάστατα και τρισδιάστατα στερεά, καθώς και επεκτάσεις τους, όπως εξειδικευμένα μοντέλα για εφαρμογές εδαφομηχανικής, συνθέτων υλικών, τοιχοποιίας κ.ά. Το χαρακτηριστικό γνώρισμα της συμπεριφοράς των πλαστικών υλικών, είναι ότι μετά την αποφόρτιση εμφανίζεται μία παραμένουσα παραμόρφωσηϵ pl. Μόνο η ελαστική παραμόρφωση ϵ el μηδενίζεται. Υπό τον όρο μικρών παραμορ-

6.4. ΕΛΑΣΤΟΠΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ 259 φώσεων, επιτρέπεται η πρόσθεση του ελαστικού και πλαστικού μέρους των παραμορφώσεων: ϵ = ϵ el + ϵ pl. (6.5) Οι ελαστικές παραμορφώσεις ϵ el μπορούν να προσδιοριστούν μέσω του νόμου του Hooke. Επίσης, γενικά, δεν δίνεται πια ρητή συσχέτιση μεταξύ τάσηςπαραμόρφωσης για την πλαστική συμπεριφορά των υλικών, καθώς η κατάσταση της παραμόρφωσης είναι επίσης εξαρτώμενη από την ιστορία φόρτισης. Εξαιτίας αυτού του γεγονότος, εξισώσεις ρυθμού παραμόρφωσης είναι απαραίτητες και χρειάζεται να λαμβάνονται υπόψη καθ όλη την ιστορία φόρτισης. Στο πλαίσιο όμως της απεξάρτησης από το χρόνο πλαστικότητας που εξετάζεται εδώ, οι εξισώσεις ρυθμού μπορούν να απλοποιηθούν σε επαυξητικές σχέσεις. Από την εξίσωση (6.5), η πρόσθεση των επαυξητικών παραμορφώσεων οδηγεί στη σχέση: dϵ = dϵ el + dϵ pl. (6.6) H καταστατική περιγραφή της πλαστικής συμπεριφοράς των υλικών περιλαμβάνει: μια συνθήκη διαρροής, έναν νόμο πλαστικής ροής και έναν νόμο κράτυνσης. Στα επόμενα, θεωρείται μόνο η περίπτωση της μονοτονικής φόρτισης, έτσι ώστε να λαμβάνεται υπόψη μόνο η ισοτροπική κράτυνση του υλικού. Αυτή η περίπτωση, εμφανίζεται, για παράδειγμα, σε πειράματα μονοαξονικού εφελκυσμού με μονοτονική φόρτιση. Επίσης, γίνεται υπόθεση ότι η τάση διαρροής είναι ίδια στον εφελκυσμό και στη θλίψη: k t = k c = k. 6.4.1 Συνθήκη διαρροής Η συνθήκη διαρροής καθορίζει εάν σε σημείο του υπό εξέταση σώματος, αναπτύσσονται μόνο ελαστικές ή και πλαστικές τροπές, σε συγκεκριμένο επίπεδο τάσης. Σε πείραμα μονοαξονικού εφελκυσμού, η πλαστική ροή ξεκινά όταν η τάση φθάσει την αρχική τάση διαρροής, k init, βλ. Σχ. 6.10. Η γενική μορφή της συνθήκης διαρροής για την περίπτωση μονοδιάστατου προβλήματος, διατυπώνεται ως εξής (R x R R): F = F (σ, κ),

260 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. MΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ γραμμικό k init t E elpl ιδανικό E ε init c ε init t k init c Σχήμα 6.10: Μονοαξονικά διαγράμματα τάσης-παραμόρφωσης για γραμμική κράτυνση και τέλεια πλαστικότητα. όπου το κ αναπαριστά την εσωτερική μεταβλητή της ισοτροπικής κράτυνσης. Στην περίπτωση της τέλειας πλαστικότητας, βλ. Σχ. 6.10, ισχύει η ακόλουθη σχέση: F = F (σ), δηλαδή η συνθήκη διαρροής εξαρτάται μόνο από την τάση. Οι τιμές της συνθήκης διαρροής F λαμβάνουν την ακόλουθη μηχανική ερμηνεία, βλ. Σχ. 6.11: Ελαστική συμπεριφορά: F (σ, κ) < 0. Πλαστική συμπεριφορά: Μη αποδεκτή περιοχή: F (σ, κ) = 0. F (σ, κ) > 0. Περαιτέρω απλοποίηση οδηγεί στην υπόθεση ότι η συνθήκη διαρροής μπορεί να διαχωριστεί σε ένα τμήμα καθαρά εξαρτώμενο από την τάση: f(σ), με την ονομασία κριτήριο διαρροής και σε ένα τμήμα που εξαρτάται από την πειραματική

6.4. ΕΛΑΣΤΟΠΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ 261 παράμετρο του υλικού, k(κ) με την ονομασία τάση ροής: F (σ, κ) = f(σ) k(κ). Για πείραμα μονοαξονικού εφελκυσμού (βλ. Σχ. 6.10) η συνθήκη διαρροής διατυπώνεται ως εξής: F (σ, κ) = σ k(κ) 0. (6.7) Εάν γίνει θεώρηση της ιδανικής περίπτωσης της γραμμικής κράτυνσης (βλ. Σχ. 6.10β), η εξίσωση (6.7) μπορεί να γραφεί ως: F (σ, κ) = σ (k init + E pl κ) 0. Η παράμετρος E pl εδώ είναι το μέτρο πλαστικότητας, το οποίο μηδενίζεται στην περίπτωση της τέλειας πλαστικότητας: F (σ, κ) = σ k init 0. (6.8) 6.4.2 Νόμος πλαστικής ροής Ο νόμος πλαστικής ροής λειτουργεί σαν μια μαθηματική περιγραφή της εξέλιξης των απειροελάχιστων προσαυξήσεων της πλαστικής τροπής dϵ pl σε συνάρτηση με την ιστορία φόρτισης του σώματος. Στην γενικότερη μονοδιάστατη μορφή του, ο νόμος πλαστικής ροής μπορεί να διατυπωθεί ως ακολούθως: dϵ pl = dλr(σ, κ), όπου ο παράγοντας dλ είναι η παράμετρος συμβατότητας ( dλ 0) και το r: (RxR R) η συνάρτηση της κατεύθυνσης ροής. Μπορεί να γίνει η θεώρηση ότι μόνο για dϵ pl = 0, λαμβάνεται dλ = 0. Στο πλαίσιο του αξιώματος ευστάθειας του Drucker, διατυπώνεται ο εξής νόμος πλαστικής ροής: dϵ pl = dλ F (σ, κ). (6.9) σ Ένας τέτοιος νόμος ροής ονομάζεται νόμος καθετότητας ή εξαιτίας του r = F (σ, κ)/ σ, συνηρτημένος νόμος πλαστικής ροής (associated plasticity). Πειραματικά αποτελέσματα από τον τομέα των κοκκωδών υλικών μπορούν ωστόσο να προσεγγιστούν καλύτερα αν η παράγωγος της τάσης αντικατασταθεί από μία διαφορετική συνάρτηση, την αποκαλούμενη συνάρτηση πλαστικού

262 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. MΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ σ F σ F = 0 F < 0 F > 0 σ Σχήμα 6.11: Σχηματική απεικόνιση των τιμών της συνθήκης διαρροής και της κατεύθυνσης της παραγώγου της τάσης σε πολυδιάστατο χώρο τάσεων. Εδώ, οι άξονες σ σ αναπαριστούν μια σχηματική απεικόνιση του n-διάστατου χώρου τάσεων δυναμικού Q. O προκύπτων νόμος ροής αναφέρεται τότε σαν μη-συνηρτημένος νόμος ροής (nonassociated plasticity): dϵ pl = dλ Q(σ, κ). σ Στην περίπτωση αρκετά πολύπλοκων συνθηκών διαρροής, συχνά προκύπτει η ανάγκη χρήσης απλούστερων συνθηκών διαρροής για το Q σε πρώτη προσέγγιση, όπου η παράγωγος καθορίζεται εύκολα. Η εφαρμογή συνηρτημένων νόμων πλαστικής ροής (6.9) στις συνθήκες διαρροής των σχέσεων (6.7)-(6.8), οδηγεί για τους τρεις τύπους των συνθηκών διαρροής (αυθαίρετη κράτυνση, γραμμική κράτυνση και τέλεια πλαστικότητα), στην εξής σχέση: dϵ pl = dλsgn(σ), (6.10)

6.4. ΕΛΑΣΤΟΠΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ 263 όπου ο όρος sgn(σ) εκφράζει την καλούμενη συνάρτηση προσήμου, η οποία λαμβάνει τις εξής τιμές: 6.4.3 Νόμος κράτυνσης sgn(σ) = 1 for σ < 0, 0 for σ = 0, +1 for σ > 0. Ο νόμος της κράτυνσης επιτρέπει τη θεώρηση της επίδρασης της κράτυνσης του υλικού στη συνθήκη διαρροής και στον νόμο πλαστικής ροής. Σε ισότροπη κράτυνση, η τάση διαρροής εξαρτάται από την εσωτερική μεταβλητή κ και δίνεται από τη σχέση: k = k(κ). (6.11) Εάν η ισοδύναμη πλαστική παραμόρφωση (τροπή) χρησιμοποιείται για την περιγραφή της μεταβλητής κράτυνσης (κ = ϵ pl ), τότε ορίζεται η τροπή κράτυνσης. Μία άλλη δυνατότητα είναι η περιγραφή της κράτυνσης σε συνάρτηση με το έργο πλαστικότητας (κ = w pl = σdϵ pl ). Στην περίπτωση αυτή ορίζεται το έργο κράτυνσης. Εάν η εξίσωση (6.11) συνδυαστεί με τον νόμο ροής σύμφωνα με τη σχέση (6.10), τότε η εξίσωση εξέλιξης της μεταβλητής ισότροπης κράτυνσης, δίνεται από τη σχέση: dκ = d ϵ pl = dλ. (6.12) 6.4.4 Ελαστοπλαστικό μέτρο υλικού Στη συμπεριφορά ενός πλαστικού υλικού, η ακαμψία του υλικού αλλάζει, και η παραμόρφωση εξαρτάται από την ιστορία φόρτισης. Γι αυτό, ο νόμος του Hooke ο οποίος εφαρμόζεται σε γραμμικό-ελαστικό υλικό, πρέπει να αντικατασταθεί από την ακόλουθη επαυξητική σχέση: dσ = E elpl dϵ. (6.13) Το E elpl της σχέσης (6.13), το οποίο είναι το ελαστοπλαστικό μέτρο του υλικού (βλ. Σχ. 6.10), δίνεται στη συνέχεια. Το ολικό διαφορικό της συνθήκης διαρροής (6.7) δίνει: ( ) ( ) ( ) F F F df = dσ + dκ = sgn(σ)dσ + dκ = 0. (6.14) σ κ κ

264 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. MΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ Εάν ο νόμος του Hooke και ο νόμος ροής (6.10) αντικατασταθούν στην εξίσωση (6.6), λαμβάνεται: dϵ = 1 dσ + dλsgn(σ). (6.15) E Ο πολλαπλασιασμός της εξίσωσης (6.15) με το sgn(σ)e και η αντικατάσταση στην εξίσωση (6.14) οδηγεί, μετά από χρήση της εξίσωσης εξέλιξης των μεταβλητών κράτυνσης (6.12), στην παράμετρο συμβατότητας: dλ = sgn(σ)e E ( F / κ) dϵ. Με αντικατάσταση της παραμέτρου συμβατότητας στην εξίσωση (6.15) και λύση ως προς dσ, τελικά προκύπτει το ελαστοπλαστικό μέτρο του υλικού: E elpl = dσ dϵ = E ( F / κ) ( F / κ) E. (6.16) Για την ειδική περίπτωση γραμμικής κράτυνσης, όπου F / κ = E pl, η εξίσωση (6.16) μπορεί να απλοποιηθεί ως ακολούθως: E elpl = E Epl E + E pl. 6.5 Οι εξισώσεις του υλικού Συγκριτικά με τους υπολογισμούς της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων σε αμιγώς γραμμική-ελαστική συμπεριφορά, ο υπολογισμός στο πλαίσιο της προσομοίωσης της πλαστικής συμπεριφοράς δεν μπορεί να διεξαχθεί πλέον σε ένα βήμα, καθώς γενικά δεν υπάρχει εμφανής σχέση μεταξύ τάσης και παραμόρφωσης. Aντ αυτού, το φορτίο εφαρμόζεται επαυξητικά και σε κάθε προσαύξησή του, πρέπει να λύνεται ένα μη γραμμικό σύστημα εξισώσεων (για παράδειγμα με τη μέθοδο Newton-Raphson). Επομένως, η κύρια εξίσωση (εξίσωση ισορροπίας) της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων πρέπει να λάβει την ακόλουθη επαυξητική μορφή: K u = F. Επιπρόσθετα οι μεταβλητές - για παράδειγμα η τάση σ n+1 - πρέπει να υπολογίζονται για κάθε βήμα (n+1) σε κάθε σημείο (για παράδειγμα, σημείο ολοκλήρωσης κατά Gauss, εάν χρησιμοποιηθεί αριθμητική ολοκλήρωση για τον υπολογισμό των σταθερών του συστήματος των εξισώσεων ισορροπίας), με βάση την

6.5. ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΥΛΙΚΟΥ 265 τάση στο τέλος του προηγούμενου βήματος (n) και τη δεδομένη επαυξητική τροπή ( ϵ n ). Ο νόμος υλικού σε απειροστική μορφή πρέπει να υλοποιηθεί αριθμητικά σύμφωνα με τις εξισώσεις (6.6) και (6.16). Ωστόσο, μέθοδοι ολοκλήρωσης ενός βήματος, χωρίς διόρθωση (explicit) όπως, για παράδειγμα, η διαδικασία Euler, δεν είναι ακριβείς και είναι πιθανώς ασταθείς, καθώς μπορεί να συσσωρευτεί ένα καθολικό σφάλμα. Στο πλαίσιο της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων χρησιμοποιούνται μέθοδοι πρόγνωσης-διόρθωσης, στις οποίες, υπολογίζεται αρχικά ο αποκαλούμενος προγνωστικός δείκτης και στη συνέχεια διορθώνεται (implicit). Στο πρώτο βήμα, υπολογίζεται μία δοκιμαστική τιμή της τάσης, υπό την υπόθεση της αμιγώς γραμμικής-ελαστικής συμπεριφοράς του υλικού, μέσω ενός ελαστικού προγνωστικού δείκτη: σ trial n+1 = σ n + E ϵ n. Η δεδομένη συνθήκη κράτυνσης σε αυτήν την δοκιμαστική τάση, ισοδυναμεί με την συνθήκη στο τέλος του προηγούμενου βήματος. Ως εκ τούτου, γίνεται η υπόθεση ότι η σταδιακή αύξηση του φορτίου προκύπτει με αμιγώς ελαστικό τρόπο, δηλαδή χωρίς πλαστικές παραμορφώσεις και συνεπώς χωρίς κράτυνση: κ trial n+1 = κ n. Βάσει της θέσης της δοκιμαστικής τάσης στον χώρο των τάσεων, μπορούν να διατυπωθούν δύο στοιχειώδεις συνθήκες με τη βοήθεια της συνθήκης διαρροής: (α) H τάση βρίσκεται στην ελαστική περιοχή ή στο όριο της επιφάνειας διαρροής (αποδεκτή κατάσταση τάσης): F (σ trial n+1, κ trial n+1 ) 0. Σε αυτή την περίπτωση, η δοκιμαστική κατάσταση μπορεί να θεωρηθεί ως μία νέα τάση/κατάσταση κράτυνσης, καθώς ισούται με την πραγματική κατάσταση: σ n+1 = σ trial n+1, κ n+1 = κ trial n+1. Τελικά, λαμβάνει χώρα το επόμενο επαυξητικό βήμα. (β) Η δοκιμαστική τάση βρίσκεται έξω από το όριο της επιφάνειας διαρροής (μη αποδεκτή κατάσταση τάσης): F (σ trial n+1, κ trial n+1 ) > 0.

266 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. MΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ Σε αυτή την περίπτωση, υπολογίζεται μία αποδεκτή κατάσταση στο όριο της επιφάνειας διαρροής (F (σn+1 trial, κ trial n+1 ) = 0), στο δεύτερο μέρος της διαδικασίας από τη μη αποδεκτή δοκιμαστική κατάσταση. Συνεπώς, η αναγκαία διαφορά τάσης: σ pl = σn+1 trial σ n+1 αναφέρεται ως πλαστικός δείκτης διόρθωσης. 6.5.1 Παραδείγματα ελαστοπλαστικής ανάλυσης με πεπερασμένα στοιχεία Τα παραδείγματα που ακολουθούν αφορούν τη μελέτη ενός δοκιμίου-τοιχίου και ενός τοίχου από μηχανικά ομογενοποιημένη τοιχοποιία (Πίνακας 6.12), της Ε[Pa] v ρ[kg/m³] S 0 ή τ Υ [Pa] φ o C 0 ή σ Υc [Pa] Τ 0 ή σ Υt [Pa] 8.82e+9 0.15 1700 0.198e+6 44.1 0.935e+6 0.231e+6 Σχήμα 6.12: Μηχανικές ιδιότητες τοιχοποιίας. οποίας η καταστατική συμπεριφορά είναι τέλεια ελαστοπλαστική και ως κριτήριο διαρροής χρησιμοποιήθηκε το παραβολικό κριτήριο Mohr-Coulomb. Τα δύο αυτά δομικά συστήματα εξωθούνται στην αστοχία καταπονούμενα σε εντός επιπέδου κάμψη και διάτμηση. Οι συγκεκριμένοι τύποι φόρτισης επιλέχθηκαν επειδή σε συνδυασμό και με τα ιδιαίτερα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του κάθε σώματος (π.χ. ύπαρξη ή μη ανοιγμάτων), προκαλούν ταυτόχρονα τόσο εφελκυστικά όσο και θλιπτικά φορτία (Σχήμα 6.13), όπου μέτρο ελαστικότητας,

6.5. ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΥΛΙΚΟΥ 267 ν λόγος Poisson, τ γ όριο διαρροής, φ γωνία τριβής, σ Yc θλιπτική αντοχή, σ Yt εφελκυστική αντοχή. Σχήμα 6.13: Τοιχίο σε εντός επιπέδου α) κάμψη και β) διάτμηση. Εντατική κατάσταση τοιχίου (Διάγραμμα Ελευθέρου Σώματος) και μορφές αστοχίας στα επίπεδα των αρμών διάστρωσης. Α. Εντός επιπέδου κάμψη και διάτμηση δοκιμίου τοιχοποιίας επιλέχθηκε αρχικά ένα παραλληλεπίπεδο δοκίμιο-τοιχίο σε εντός επιπέδου κάμψη και διάτμηση (Σχ. 6.15). Η αριθμητική επίλυση του δοκιμίου έγινε με τη θεώρηση επίπεδης τάσης (σ zz = σ yz = σ zx = 0). Το πλέγμα των στοιχείων που χρησιμοποιήθηκε, αποτελείται από 720 τετραπλευρικά τετρακομβικά στοιχεία επίπεδης έντασης, με 777 κόμβους και συνολικά 1554 βαθμούς ελευθερίας (σχ. 6.16α). Οι συνοριακές συνθήκες που εφαρμόστηκαν στο δοκίμιο είναι οι ακόλουθες (Σχ. 6.15): 1. Στην κορυφή του δοκιμίου εφαρμόζεται σταδιακά μια οριζόντια μετατόπιση u x = 0.25mm, με ρυθμό φόρτισης. Το πρόβλημα αντιμετωπίζεται ως δυναμικό και επιλύεται σε 100 βήματα (dt = 0.1 sec), με την εφαρμογή της μεθόδου χρονικής ολοκλήρωσης Newmark. Το μέγεθος της μετατόπισης επιλέγεται έτσι ώστε, η καμπτική ροπή στη βάση ή/και στην κορυφή του δοκιμίου να δώσει μια τάση μεγαλύτερη από την αντοχή του υλικού σε εφελκυσμό και μικρότερη από την αντοχή του σε θλίψη.

268 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. MΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ 2. Στη βάση του τοίχου εφαρμόζεται πάκτωση (u x = u y = 0). 3. Στην περίπτωση της εντός επιπέδου διάτμησης, εφαρμόζεται εκτός των παραπάνω συνθηκών και κύλιση κατά την οριζόντια διεύθυνση (άξονας-x) στην κορυφή του δοκιμίου. Σχήμα 6.14: Γεωμετρία (όλες οι διαστάσεις σε m), κόμβοι μελέτης και συνοριακές συνθήκες δοκιμίου τοιχοποιίας για τις περιπτώσεις της εντός επιπέδου κάμψης και διάτμησης. Για την αξιολόγηση των αποτελεσμάτων της ανάλυσης που έγινε, λαμβάνονται χρωματικοί χάρτες που περιγράφουν την κατανομή των ισοδύναμων πλαστικών παραμορφώσεων, όπως φαίνεται στο σχήμα 6.16β. Β. Εντός επιπέδου κάμψη και διάτμηση τοίχου από τοιχοποιία. Το δομικό σύστημα του όποιου η μηχανική συμπεριφορά μελετάται σε αυτό το παράδειγμα, είναι ένας τοίχος (Σχήμα 6.16α) από την ίδια με το δοκίμιο μηχανικά ομογενοποιημένη ελαστοπλαστική τοιχοποιία (Πίνακας 6.12). Η αριθμητική επίλυση του τοίχου έγινε με τη θεώρηση επίπεδης τάσης (σ 33 = σ 23 = σ 31 = 0). Η διακριτοποίηση προέκυψε μετά από διερεύνηση που έγινε ώστε να επιτευχθεί η μεγαλύτερη δυνατή ακρίβεια των υπολογισμών με ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση του υπολογιστικού κόστους. Για τον λόγο αυτό στις κοντινές στα ανοίγματα περιοχές του τοίχου, έγινε κατάλληλη πύκνωση

6.5. ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΥΛΙΚΟΥ 269 Σχήμα 6.15: α) Μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων δοκιμίου-τοιχίου, β) ισοδύναμες πλαστικές παραμορφώσεις στην εντός επιπέδου κάμψη. του πλέγματος των στοιχείων. Το τελικό πλέγμα αποτελείται από 1344 τετραπλευρικά τετρακομβικά στοιχεία επίπεδης έντασης, με 1485 κόμβους και συνολικά 2970 βαθμούς ελευθερίας (Σχήμα 6.16β). Οι συνοριακές συνθήκες που εφαρμόστηκαν στον τοίχο είναι οι ακόλουθες (Σχήμα 6.17): 1. Στην κορυφή του τοίχου εφαρμόζεται σταδιακά μια οριζόντια μετατόπιση u x = 1mm, με ρυθμό φόρτισης. Το πρόβλημα αντιμετωπίζεται ως δυναμικό και επιλύεται σε 200 βήματα (dt = 0.05 sec), με την εφαρμογή της μεθόδου χρονικής ολοκλήρωσης Newmark. 2. Στη βάση του τοίχου εφαρμόζεται πάκτωση (u x = u y = 0). 3. Στην περίπτωση της εντός επιπέδου διάτμησης, εφαρμόζεται εκτός των παραπάνω συνθηκών και κύλιση κατά την οριζόντια διεύθυνση (άξονας-x) στην κορυφή του δοκιμίου. 4. Στη περίπτωση της εκτός επιπέδου κάμψης εφαρμόστηκαν οι συνοριακές συνθήκες 1 και 2 με τη διαφορά ότι η οριζόντια μετατόπιση που εφαρμόστηκε στην κορυφή του τοίχου δρα στην κάθετη στο επίπεδο του τοίχου διεύθυνση (Σχ. 6.19α).

270 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. MΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ Σχήμα 6.16: α) Γεωμετρία (όλες οι διαστάσεις σε m), κόμβοι μελέτης και β) διακριτοποίηση του τοίχου στις δύο διαστάσεις. 5. Στην περίπτωση της κατακόρυφης θλίψης του τοίχου, εφαρμόστηκαν οι συνοριακές συνθήκες 1 και 2 με την διαφορά ότι η μετατόπιση που εφαρμόστηκε στην κορυφή του τοίχου δρα στον κατακόρυφο άξονα, μέσα στο επίπεδο του τοίχου και με διεύθυνση προς τη βάση (Σχ. 6.19β). Για την αξιολόγηση των αποτελεσμάτων της ανάλυσης που έγινε, λαμβάνονται χρωματικοί χάρτες που περιγράφουν την κατανομή των ισοδύναμων πλαστικών παραμορφώσεων, όπως δίνονται στα Σχήματα 6.18 και 6.20.

6.5. ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΥΛΙΚΟΥ 271 Σχήμα 6.17: Συνοριακές συνθήκες στο πρόβλημα της εντός επιπέδου α) κάμψης και β) διάτμησης του τοίχου. Σχήμα 6.18: Ισοδύναμη πλαστική παραμόρφωση για την εντός επιπέδου α) κάμψη και β) διάτμηση του τοίχου.

272 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. MΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ z y x α) y x z β) Σχήμα 6.19: Συνοριακές συνθήκες στο πρόβλημα της α) εκτός επιπέδου κάμψης και β) κατακόρυφης θλίψης του τοίχου. Σχήμα 6.20: Ισοδύναμη πλαστική παραμόρφωση για α) εκτός επιπέδου κάμψη και β) κατακόρυφη θλίψη του τοίχου.

Βιβλιογραφία [1] Κωμοδρόμος, Α.Μ., Υπολογιστική γεωτεχνική μηχανική, Κλειδάριθμος, Αθήνα, 2009. [2] Rust, W., Non-linear finite element alnalysis in structural mechanics, Springer, 2015. [3] Wriggers, P., Nonlinear finite element methods, Springer, 2008. 273