Ένα εκκρεμές σε επιταχυνόμενο αμαξίδιο Το πρόβλημά μας είναι να προσδιορίσουμε την περίοδο των ταλαντώσεων του εκκρεμούς στο πρόβλημα που απεικονίζεται στο παραπάνω σχήμα υπό την προϋπόθεση ότι η δύναμη δρα σταθερά σε όλη τη διάρκεια του χρόνου. Θα λύσουμε το πρόβλημα θεωρώντας τη γωνία αρκετά μικρή ώστε να ισχύουν οι προσεγγίσεις και. Αλλά πριν τη λύση του προβλήματος θα κάνουμε ένα μάθημα αναλυτικής δυναμικής, δηλαδή θα παρουσιάσουμε τη μέθοδο Euler-Lagrange. Αν είναι η κινητική ενέργεια ενός συστήματος και η δυναμική του ενέργεια, η Lagrangian του συστήματος ορίζεται από τη σχέση. Αν το σύστημα περιγράφεται από ένα σύνολο γενικευμένων συντεταγμένων, τότε αυτές ακολουθούν τις εξισώσεις: (1) όπου. Αν εκτός από τις δυνάμεις που ορίζονται από το δυναμικό πεδίο, υπάρχουν και άλλες δυνάμεις, η (1) παίρνει τη μορφή: (2) Μετά από αυτή τη σύντομη εισαγωγή, ας γυρίσουμε στο πρόβλημά μας. Έχουμε δύο γενικευμένες συντεταγμένες: Τη συντεταγμένη του ακίνητου άκρου του νήματος, και τη γωνία. Επίσης έχουμε δύο γενικευμένες δυνάμεις. Η μία είναι η δύναμη που ασκείται στο αμαξίδιο. Η άλλη γενικευμένη δύναμη δεν είναι δύναμη: είναι η ροπή που ασκείται στη μάζα του εκκρεμούς από τη βαρύτητα. Ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας εξαρτάται από αυτή τη ροπή. 1
Στη λύση του προβλήματός μας η δυναμική ενέργεια του πεδίου βαρύτητας δε θα ληφθεί υπ όψη. Το πεδίο βαρύτητας δρα μόνο στο σφαιρίδιο του εκκρεμούς και το θεωρούμε σαν την πηγή της ροπής χάρη στην οποία μεταβάλλεται η γωνία. Αφού λοιπόν θεωρούμε, η Lagrangian δίνεται από τη σχέση. Αν η μάζα του αμαξιδίου είναι, η κινητική του ενέργεια δίνεται από τη σχέση: (3) Ας θεωρήσουμε ένα σύστημα αξόνων με αρχή το ακίνητο άκρο του νήματος. Έστω η γωνία του νήματος με τον -άξονα. Η -συνιστώσα της ταχύτητας του σφαιριδίου είναι: (4) ενώ η -συνιστώσα της ταχύτητας του σφαιριδίου είναι: (5) Επομένως για το τετράγωνο της ταχύτητάς του ισχύει: (6) Κάνοντας πράξεις: (7) Επομένως η κινητική ενέργεια του σφαιριδίου είναι: (8) Θεωρήσαμε ότι η γωνία μετρά από τον -άξονα και αυξάνει αριστερόστροφα. Επειδή η γωνία μετρά από τον -άξονα και αυξάνει αριστερόστροφα, η σχέση μεταξύ και είναι. Επομένως η (8) γράφεται: (9) 2
Προσθέτοντας την (3) με την (9), υπολογίζουμε την κινητική ενέργεια του συστήματος: (10) Παρατηρούμε ότι η κινητική ενέργεια εξαρτάται τόσο από το και το, όσο και από το. Η εξίσωση Euler-Lagrange για τη συντεταγμένη είναι: (11) ή, κάνοντας τις πράξεις: (12) Η εξίσωση Euler-Lagrange για τη συντεταγμένη είναι: (13) Η ροπή του βάρους του σφαιριδίου είναι: (14) Αντικαθιστώντας το από την (10), το από την (14) και κάνοντας τις πράξεις: (15) Επομένως καταλήγουμε για τις και στις εξισώσεις (12) και (15). Ολοκληρώνοντας τη (12) παίρνουμε: (16) όπου και σταθερές που προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Έστω ότι για, και. Τότε και η (16) γίνεται: 3
(17) Επίσης από την (12) βρίσκουμε: (18) Αντικαθιστώντας στη (15) και διαιρώντας με : (19) Η (19) μπορεί να γραφεί και ως εξής: (20) Παρατηρούμε ότι η (20) έχει λύση με σταθερή προσδιορίζεται από τη σχέση:. Η τιμή αυτής της σταθεράς (21) Απ όπου προκύπτει: (22) Θα εξετάσουμε τώρα αν η (20) έχει λύσει της μορφής μικρών ταλαντώσεων κοντά στη. Θεωρώντας την σαν τη στιγμιαία μικρή απομάκρυνση γύρω από τη γωνία, ας αναπτύξουμε τις αρμονικές συναρτήσεις γύρω από τη : (23) 4
Αντικαθιστώντας τη δεύτερη από τις Εξς (23) στην παράγωγο στο α μέλος της (20): (24) που είναι μια παράσταση 1 ης τάξεως ως προς. Για να κρατήσουμε την 1 η τάξη, δεν αναπτύσσουμε το που είναι ο συντελεστής της παραγώγου. Επειδή επί πλέον ισχύει, το α μέλος γίνεται: (25) Αναπτύσσοντας το β μέλος της (20) παίρνουμε: (26) Τα α μέλη των (25) και (26) είναι ίσα, άρα είναι και τα δεύτερα. Επομένως, μηδενίζοντας και το άθροισμα των δυο πρώτων όρων στο β μέλος της (26) σύμφωνα με την (21), παίρνουμε: ή, αναδιατάσσοντας τους όρους: (27) Αντικαθιστώντας την (22) στην (27) και κάνοντας κάποιες πράξεις βρίσκουμε: (28) Επειδή ο συντελεστής του στο β μέλος είναι θετικός, ας τον αντικαταστήσουμε με. Η (28) γίνεται: 5
(29) που ολοκληρώνεται στην: (30) Επειδή θέλουμε, ο όρος αποκλείεται. Γράφοντας για, η (30) γίνεται: (31) Επομένως η γωνία τείνει εκθετικά στη με σταθερά χρόνου: 6