ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ Θα ακολουθούμε για όλες τις περιπτώσεις την παρακάτω σειρά διαδικασιών: i) Προσεκτική μελέτη της εκφώνησης και εξακρίβωσης του είδους της κίνησης ii) Αναδρομή στη θεωρία, προσεκτική μελέτη και διαλογή των τύπων iii) Συμβολισμός των δεδομένων και ζητούμενων με τα αντίστοιχα σύμβολα. (Προσοχή πρέπει να είναι ίδια με αυτά που θα χρησιμοποιήσουμε). παρακάτω. iv) Εφαρμογή σε κάθε περίπτωση κίνησης των (επιμέρους) υποδείξεων που εκτίθενται v) Απαραίτητα θα κάνουμε και σχήμα όσο απλή και αν είναι η άσκηση. Α) Προβλήματα ευθύγραμμης και ομαλής κίνησης ) Απλής εφαρμογής τύπων Γενικά: Τα προβλήματα αυτά είναι εύκολα διότι η κίνηση δίνεται από μία μόνο σχέση την s υ ή Δx υ. t αφού η ταχύτητα διατηρείται σταθερή (υct) το διάστημα S είναι ανάλογο του χρόνου που κινείται το κινητό. Στην σχέση αυτή δίνονται πάντα τα δύο μεγέθη και ζητείται το τρίτο δηλαδή λύνουμε στην ουσία μια μαθηματική εξίσωση πρώτου βαθμού. κινητά. ) Συναντήσεις κινητών Ενδιαφέρον παρουσιάζουν τα προβλήματα αυτά, όταν στο πρόβλημά μας παρουσιάζονται δύο Για την αντιμετώπιση των προβλημάτων αυτών κατασκευάζουμε ένα πρόχειρο σχεδιάγραμμα στο οποίο σημειώνουμε τις θέσεις των κινητών κατά τις διάφορες χρονικές στιγμές τις οποίες καθορίζει το πρόβλημα και παίρνουμε από το σχεδιάγραμμα τις σχέσεις μεταξύ των διαφόρων διαστημάτων. i) Αν ξεκινάνε από το Α και Β αντίστοιχα την ίδια χρονική στιγμή έχουν αντίθετες φορές και συναντώνται στο Γ τότε ισχύει (ΑΒ)(ΑΓ)+(ΒΓ). ii) Αν ξεκινάνε από το Α και Β αντίστοιχα την ίδια χρονική στιγμή έχουν ίδια φορά και συναντώνται στο Γ τότε ισχύει (ΑΓ)-(ΒΓ)(ΑΒ) υ ( Γ) υ υ υ ( Γ)
iii) αν ξεκινάνε και τα δύο κινητά ταυτόχρονα από το Α και μετά χρόνο t βρίσκονται στα Γ και Δ αντίστοιχα τότε ισχύει (ΓΔ)(ΑΔ)-(ΑΓ). β) Αν η κίνηση δύο κινητών γίνεται σε ευθεία γραμμή ΑΒ και δεν ξεκινούν ταυτόχρονα από τα αντίστοιχα σημεία τότε ισχύουν οι αντίστοιχες περιπτώσεις της α) αλλά ταυτόχρονα έχουμε και σχέσεις μεταξύ χρόνων δηλαδή εάν το πρώτο κινητό ξεκίνησε αργότερα από το δεύτερο κατά t sec τότε θα κινήθηκε λιγότερο χρόνο. Έτσι ισχύει 3) Γραφικές Παραστάσεις. t A t Οι γραφικές παραστάσεις του διαστήματος και της ταχύτητας σε συνάρτηση με τον χρόνο φαίνονται στα διπλανά σχήματα. Σε κάθε γραφική παράσταση πρέπει να προσέχουμε πάντα την κλίση της ευθείας η οποία μας δίνει κάποιο στοιχείο σημαντικό. δηλαδή B t Στη γραφική παράσταση θέσης χρόνου η κλίση της ευθείας δηλώνει την ταχύτητα του κινητού s εφθ υ t ενώ στη γραφική παράσταση ταχύτητας χρόνου το εμβαδόν του σχήματος δηλώνει τη μετατόπιση του σώματος. υ υ Eσχ ή μ Δx ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ο Ένα αυτοκίνητο ξεκινά από τα Τρίκαλα στις το μεσημέρι και φτάνει στην Καλαμπάκα στις, μμ. Κατόπιν επιστρέφει αμέσως προς τα Τρίκαλα και σταματά στη Βασιλική στις,45 μμ. Αν γνωρίζετε ότι σε όλη τη διάρκεια της διαδρομής η ταχύτητα του αυτοκινήτου διατηρείται σταθερή και ότι η απόσταση Τρίκαλα Καλαμπάκα είναι 0 Km ενώ η απόσταση Καλαμπάκα Βασιλική είναι 0 Km να υπολογίσετε α) τη σταθερή ταχύτητα του αυτοκινήτου στη πιο πάνω διαδρομή Τρίκαλα Καλαμπάκα Βασιλική (μέση αριθμητική ταχύτητα). β) την μέση διανυσματική ταχύτητα του αυτοκινήτου. α) Φαινόμενο: Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση Εφαρμόζουμε: Χρονική εξίσωση κίνησης ( Γ ) ( Δ) 0.000 + 0.000 s υ υ υ, m / sec 45.60 s( m) β) Η μέση διανυσματική ταχύτητα του αυτοκινήτου δίνεται από την σχέση s θ υ( m/sec) υ Ε σχήματ ος t t(sec) t t(sec)
r r Δx 0.000 0.000 Δx υ. Δt υ υ υ 37, Δt 45.60 m / sec ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ο Η απόσταση δύο πόλεων Α και Β είναι 50 Κm. Από την πόλη Α ξεκινά κινητό με υ 75 Κm/h κατευθυνόμενο προς το Β. Ταυτόχρονα από το Β ξεκινά κινητό με υ 50 Κm/h. Να υπολογίσετε που και πότε θα συναντηθούν τα κινητά αν κινούνται: α) κατά αντίθετο φορά, β) κατά την ίδια φορά. α) Αρχικά μετατρέπω τις ταχύτητες των κινητών σε m/sec Km 000 m υ 75 75 υ h 3600 sec Km 000 m υ 50 50 υ h 3600 sec Ακόμη ΑΒ50 Km50.000 m 0,83 m / sec 3,89 m / sec Αν ξεκινάνε από το Α και Β αντίστοιχα την ίδια χρονική στιγμή έχουν αντίθετες φορές και συναντώνται στο Γ τότε ισχύει ΑΒΑΓ+ΒΓ. Φαινόμενο: Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση Εφαρμόζουμε: Χρονική εξίσωση κίνησης χωριστά για κάθε κινητό x υ x υ () ( ) Ισχύουν επίσης οι σχέσεις διαστημάτων και οι σχέσεις χρόνων AB x + x t t t ( 3 ) Αντικαθιστώ στην σχέση (3) τις () και () και υπολογίζουμε μετά από πόσο χρόνο θα συναντηθούν τα κινητά ( 3 ) AB x + x AB υ + υ AB 50.000 t t t 700,46 υ + υ 0,83 + 3,89 AB υ + υ sec Αντικαθιστώντας στις () ή () υπολογίζουμε το σημείο συνάντησης x υ x 0,83.700,46 x υ ( Γ) υ 49985,58 m
β) Αν ξεκινάνε από το Α και Β αντίστοιχα την ίδια χρονική στιγμή έχουν αντίθετες φορές και συναντώνται στο Γ τότε ισχύει ΑΒ ΑΓ-ΒΓ. Φαινόμενο: Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση Εφαρμόζουμε: Χρονική εξίσωση κίνησης χωριστά για κάθε κινητό x υ x υ () ( ) Ισχύουν επίσης οι σχέσεις διαστημάτων και οι σχέσεις χρόνων AB x x t t t ( 3 ) Αντικαθιστώ στην σχέση (3) τις () και () και υπολογίζουμε μετά από πόσο χρόνο θα συναντηθούν τα κινητά ( 3 ) AB x x AB υ υ AB 50.000 t t t 3603 sec υ υ 0,83 3,89 AB υ υ Αντικαθιστώντας στις () ή () υπολογίζουμε το σημείο συνάντησης x υ x 0,83.3603 x 750360,3 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 ο Στο παρακάτω διάγραμμα διαστήματος-χρόνου ενός αυτοκινήτου να υπολογίσετε α) Σε ποια χρονική στιγμή το αυτοκίνητο κινείται με την μεγαλύτερη κατά μέτρο ταχύτητά του β) Ποια η ταχύτητα εκείνη τη στιγμή γ) Ποια η ταχύτητα του αυτοκινήτου την χρονική στιγμή t0,7 h δ) Ποια η μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου για τις πρώτες 0,7 h ε) Ποια η μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου για τις πρώτες h. Από το διάγραμμα φαίνεται ότι το αυτοκίνητο εκτελεί τρεις ευθύγραμμες και ομαλές κινήσεις. Ι) Στην πρώτη μισή ώρα (0-0,5 h) κινείται με σταθερή ταχύτητα που υπολογίζεται από την κλίση της ευθείας και είναι ίση με υ υ m x (Km) 50 35 ( Γ) 0,5,5 t (h)
x υ υ υ t 0,5 60 ΙΙ) Την επόμενη μία ώρα (0,5-,5 h) κινείται με σταθερή ταχύτητα που υπολογίζεται από την κλίση της ευθείας και είναι ίση με x 35 υ υ υ t,5 0,5 5 ΙΙΙ) Την τελευταία μισή ώρα (,5- h) κινείται με σταθερή ταχύτητα που υπολογίζεται από την κλίση της ευθείας και είναι ίση με x3 50 35 υ υ3 υ3 t,5 3 3 α) Επομένως τη μεγαλύτερη κατά μέτρο ταχύτητα έχει το αυτοκίνητο στη πρώτη μισή ώρα της κίνησης του β) Η ταχύτητα εκείνη τη στιγμή είναι ίση με 60 Km/h γ) Η ταχύτητα του αυτοκινήτου την χρονική στιγμή t0,7 h είναι ίση με 5 Km/h δ) Η μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου για τις πρώτες 0,7 h υπολογίζεται από την χρονική εξίσωση αν γνωρίζουμε το διάστημα που έχει διανύσει μέχρι εκείνη τη στιγμή. Υπολογίζουμε πρώτα πόσο διάστημα έχει διανύσει στη χρονική διάρκεια από 0,5 h έως 0,7 h. x υ x 5.(0 7, 0,5 ) x Km Άρα η χρονική εξίσωση της μέσης ταχύτητας γράφεται S + υ υ υ 44,9 t 0 7, ε) Η μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου για τις πρώτες h δίνεται από τη χρονική εξίσωση S 50 υ υ υ 5 t