5.3 Το ΠΑΤ της Εξίσωσης ιάχυσης.

3 Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών Τιµών. 5.3 Το ΠΑΤ της Εξίσωσης ιάχυσης. Στην ενότητα που ακολουθεί ϑα λύσουµε τα ΠΑΤ για την εξίσωση διάχυσης : το οµογενές και το µη οµογενές. Το ΠΑΤ της εξίσωσης διάχυσης περιγράφει τη διάδοση ϑερµότητας σε οµογενές µέσο, σε µία χωρική διάσταση, όπου δεν έχουµε σύνορα. ηλαδή η µεταβλητή x η οποία περιγράφει τη χωρική διάσταση εκτείνεται από το ως +. Εξαιτίας της ϕύσης της εξίσωσης διάχυσης δεν µπορούµε να ακολουθήσουµε µέθοδο ανάλογη µε αυτή της κυµατικής εξίσωσης. Οι λόγοι για αυτή τη διαφορά έχουν τη ϱίζα τους στο ότι οι δύο αυτές εξισώσεις, ανήκουν η κάθε µία σε διαφορετική οικογένεια διαφορικών εξισώσεων όπως ϑα δούµε και κατά τη µελέτη ταξινόµησης των Μ Ε δεύτερης τάξης. Για να επιλύσουµε την εξίσωση διάχυσης ϑα ϐασιστούµε στις ιδιότητες των λύσεων της. Ιδιότητες τις οποίες µπορούµε να δείξουµε ότι ισχύουν χωρίς να χρειάζεται να γνωρίζουµε εκ των προτέρων ποιες είναι αυτές οι λύσεις. 5.3.1 Η Οµογενής Εξίσωση ιάχυσης. Θεωρούµε το ΠΑΤ για την οµογενή εξίσωση διάχυσης u t k u =, < x < +, t > (5.3.1) u(x, ) = Φ(x), < x < + (ΑΣ) (5.3.) Σκοπός µας είναι να δείξουµε ότι η λύση της οµογενούς εξίσωσης διάχυσης πρέπει να έχει τη µορφή όπου u(x, t) = S(x, t) = S(x y, t)φ(y)dy (5.3.3) 1 4kπt e x (5.3.4) Για να το δείξουµε αυτό ϑα στηριχτούµε στις παρακάτω ιδιότητες που πρέπει να έχει µία λύση της οµογενούς εξίσωσης διάχυσης. Αν η u(x, t) είναι λύση της εξίσωσης διάχυσης, τότε 1. Η µετατοπισµένη u(x y, t) είναι επίσης λύση.. Οποιαδήποτε παράγωγος της u (π.χ. u t, u x, u xx,... ) είναι επίσης λύση. 3. Η u( ax, at) για οποιοδήποτε a > είναι επίσης λύση. 4. Εξαιτίας της γραµµικότητας της διαφορικής εξίσωσης, οποιοσδήποτε γραµµικός συνδυασµός λύσεων είναι επίσης λύση της οµογενούς εξίσωσης διάχυσης και τέλος, 5. Το ολοκλήρωµα λύσεων είναι επίσης λύση. Εποµένως αν S(x, t) είναι µία λύση της εξίσωσης διάχυσης, τότε αφού και η S(x y, t) είναι λύση ϑα ισχύει ότι και η έκφραση v(x, t) = S(x y, t)g(y)dy (5.3.5) είναι λύση για οποιαδήποτε συνάρτηση g(y) µε την προυπόθεση ότι το ολοκλήρωµα συγκλίνει (ορίζεται δηλαδή). Ασκηση 5.7. Να αποδειχθεί η ιδιότητα (3) πιο πάνω. [ Υπόδειξη : Είναι απλή εφαρµογή του κανόνα της αλυσίδας. ] Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

5.3. Το ΠΑΤ της Εξίσωσης ιάχυσης. 31 Εύρεση Λύσης. Θα ξεκινήσουµε στηριζόµενοι στην ιδιότητα (3) η οποία υπαγορεύε ότι οι λύσεις της οµογενούς εξίσωσης διάχυσης πρέπει να έχουν την εξής συναρτησιακή εξάρτηση ( ) x Q(x, t) = P t Αυτό συµβαίνει διότι όπως πολύ εύκολα µπορεί να δειχθεί ο µετασχηµατισµός x ax t at ο οποίος είναι γνωστός ως µετασχηµατισµός κλίµακας αφήνει την εξίσωση αναλοίωτη. Αν ϑέλουµε τώρα να µην αλλάζει και η Q(x, t) αυτή ϑα πρέπει να εξαρτάται από τις µεταβλητές x και t µε τέτοιο τρόπο ώστε να µην αλλάζει η συναρτησιακή της εξάρτηση µε το µετασχηµατισµό κλίµακας. Σε πρακτικό επίπεδο αυτό σηµαίνει ότι ϑα πρέπει να εξαρτάται από ένα τέτοιο συνδυασµό των x και t που δεν αλλάζει ούτε και αυτός µε το µετασχηµατισµό. Ο µόνος τέτοιος συνδυασµός είναι όµως ο λόγος x t όπως πολύ εύκολα µπορεί να δειχθεί. Τώρα, για λόγους που ϑα διευκολύνουν τους υπολογισµούς µας πιο µετά ϑα απαιτήσουµε η Q(x, t) να είναι της µορφής Q(x, t) = g (p), µε p = (δηλαδή διαιρούµε απλώς τον λόγο x t το σταθερό όρο 1 4k ) x Θα δούµε στην πορεία ότι η λύση µπορεί να καθοριστεί πλήρως αν απαιτήσουµε και τις εξής ειδικές αρχικές συνθήκες : Q(x, ) = 1, x > Q(x, ) =, x < ΑΣ για την Q (5.3.6) Είναι προφανές ότι οι ΑΣ που µόλις απαιτήσαµε δεν επηρεάζονται από τον µετασχηµατισµό κλίµακας, οπότε µπορούµε να προχωρήσουµε ελεύθερα. Το µεγάλο κέρδος µε τη χρήση της νέας µεταβλητής p = x είναι η πολύ απλή µορφή που παίρνει η εξίσωση διάχυσης ως προς την p, η οποία µετασχηµατίζεται πλέον σε Σ Ε! Οντως t = dg(p) p dp t = 1 x g (p) = 1 t t pg (p) = dg(p) p dp = 1 g (p) Q = d ( ) p dp = 1 g οπότε t k Q = 1 [ 1 t pg (p) 14 ] g = g + pg (p) = (5.3.7) Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

3 Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών Τιµών. Η εξίσωση στην οποία µόλις καταλήξαµε είναι γραµµική οµογενής δεύτερης τάξης Σ Ε η οποία όµως, εξαιτίας της µορφής της, µέσω του µετασχηµατισµού h(p) = g (p) µετατρέπεται στην πρώτης τάξεως Με τη χρήση του ολοκληρωτικού παράγοντα αυτή λύνεται εύκολα και δίνει τη λύση και εποµένως, h (p) + ph(p) = (5.3.8) μ(p) = e pdp = e p h(p) = g (p) = C 1 e p (5.3.9) Q(x, t) = g(p) = C 1 x/ e p dp + C (5.3.1) η οποία έχει νόηµα προφανώς µόνο για t >. ΜΕ την εφαρµογή των αρχικών συνθηκών ηια την Q ϑα προσδιορίσουµε τώρα τις σταθερές C 1 και C. Για τον έλεγχο των αρχικών συνθηκών ϑα πρέπει πάντα να ϑυµόµαστε ότι t >, έτσι πρκύπτει ότι πρέπει να ϑεωρήσουµε τα εξής όρια Για x > Για x < Q(x, ) = lim t + Q(x, t) = C 1 διότι lim 1 t + = αν x >. Αντίστοιχα διότι lim 1 t + = αν x <. Το ολοκλήρωµα Q(x, ) = lim t + Q(x, t) = C 1 e x dx e p dp + C = 1 (5.3.11) e p dp + C = (5.3.1) είναι γνωστό ως ολοκλήρωµα Gauss ή ολοκλήρωµα Euler-Poisson ή ολοκλήρωµα Poisson. Το ενδιαφέρον µε αυτό το ολοκλήρωµα είναι ότι ενώ δεν υπάρχει έκφραση για το αόριστο ολοκλήρωµα e x dx, το γενικευµένο ολοκλήρωµα e x dx µπορεί να υπολογιστεί! Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

5.3. Το ΠΑΤ της Εξίσωσης ιάχυσης. 33 Ασκηση 5.8. Να δειχθεί ότι e x dx = π [ Υπόδειξη : Χωρίς να ανησυχείτε για την αυστηρότητα των ϐηµάτων, ακολουθήστε την εξής διαδικασία 1. Θεωρείστε το (x e +y ) dxdy και δείξτε ότι R R (x e +y ) dxdy = e x dx. Κατόπιν αλλάξτε µεταβλητές σε πολικές. ηλαδή από (x, y) σε (r, θ) και µέσω αυτής της αλλαγής δείξτε ότι (x e +y ) dxdy = π ] R Είναι εύκολο να διεχθεί ότι εφόσον e x dx = π, τότε e x dx = Ασκηση 5.9. Να δειχθούν τα παραπάνω δύο αποτελέσµατα. Ετσι, Τελικά, οι αρχικές συνθήκες για την Q δίνουν C 1 π + C = 1 C 1 π + C = } C 1 = 1 π C = 1 π και e x dx = π (5.3.13) Q(x, t) = 1 + 1 x/ e p dp, t > (5.3.14) π Εχοντας πλέον, µία λύση δεν πρέπει να ξεχνάµε ότι αυτή αποτελεί µία ειδική λύση και µόνο. Για την εύρεση της γενικής µοναδικής λύσης του ΠΑΤ, ϑα χρησιµοποιήσουµε τις ιδιότητες (1, ) και (5) των λύσεων της εξίσωσης διάχυσης και ϑα της δώσουµε τη µορφή u(x, t) = S(x y, t)φ(y)dy, t > (5.3.15) Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

34 Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών Τιµών. µε Φ(x) να είναι η αρχική συνθήκη του ΠΑΤ και όπου έχουµε ορίσει S(x, t) = = 1 πkt e x /, t > (5.3.16) Η u είναι όντως µία λύση λόγω των ιδιοτήτων (1, ) και (5) και µένει να δειχθεί ότι ικανοποιεί την αρχική συνθήκη u(x, ) = Φ(x) για να αποδειχθεί οριστικά και η µοναδικότητα της λύσης του οµογενούς ΠΑΤ για την εξίσωση διάχυσης (Εδώ ϑα ϕανεί και η αναγκαιότητα της χρήσης της στην έκφραση της γενικής λύσης). Πράγµατι, u(x, t) = (x y, t)φ(y)dy = (x y, t)φ(y)dy = y = Q(x y, t)φ(y) + Q(x y, t)φ (y)dy (5.3.17) διότι ισχύει πως (x y, t) = y (x y, t). Η υπόθεση που κάνουµε τώρα είναι ότι για y πολύ µεγάλο ισχύει πως Φ(y) = και έτσι (εδώ ϐλέπουµε και τον λόγο για τη χρήση της στην έκφραση της γενικής λύσης : βοηθά στην παραγοντική ολοκλήρωση!), u(x, t) = u(x, ) = u(x, ) = x Q(x y, t)φ (y)dy Q(x y, )Φ (y)dy Φ (y)dy = Φ(y) x = Φ(x) (5.3.18) όπου στο τελευταίο ολοκήρωµα τα όρια καθορίζονται από τις ΑΣ της Q, διότι εφόσον το όρισµα της Q είναι το x y, τότε για x y > x > y ισχύει πως Q = 1, ενώ για x y < x < y ισχύει πως Q = (Εδώ ϐλέπουµε και τον λόγο για τον οποίο απαιτήσαµε τις ειδικές ΑΣ για την Q.) Άρα, η µοναδική λύση του ΠΑΤ για την οµογενή εξίσωση διάχυσης είναι η u(x, t) = 1 4πkt e (x y) / Φ(y)dy, t > (5.3.19) Τονίζεται ότι η παραπάνω µορφή δεν έχει νόηµα για t = παρά µόνο αυστηρά για t >. Η συνάρτηση S(x, t) = = 1 πkt e x /, t > (5.3.) Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

5.3. Το ΠΑΤ της Εξίσωσης ιάχυσης. 35 είναι γνωστή ως Gaussian ή Συνάρτηση Πηγή (Source Function) ή Συνάρτηση Green ή ϑε- µελιώδης λύση της εξίσωσης διάχυσης. Μας δίνει τη λύση του ΠΑΤ της εξίσωσης διάχυσης για οποιαδήποτε αρχικά δεδοµένα Φ. Στο σχήµα που ακολουθεί δίνουµε ορισµένα γραφήµατα της S για διάφορες τιµές του t. Σχήµα 5.9: Η ϑεµελιώδης λύση της εξίσωσης διάχυσης για διάφορες τιµές του t είναι εύκολο να δειχθεί ότι για την S ισχύει όπου ϑεωρήσαµε τη µεταβλητή q = S(x, t)dx = 1 π x dq = dx. e q dq = 1 (5.3.1) Είναι εύκολο να δώσουµε τη ϕυσική ερµηνεία της S, αν ϑεωρήσουµε τη διάδοση ϑερµότητας σε µία ϱάβδο (µονοδιάστατο πρόβληµα δηλαδή): Αν η S(x y, ) µας δίνει το αποτέλεσµα της ύπαρξης ενός ζεστού σηµείου y τη χρονική στιγµή t =, τότε η S(x y, t) µας δείχνει πως αυτό το ζεστό σηµείο κρυώνει και εξαπλώνεται κατά µήκος της ϱάβδου, στα διάφορα σηµεία x δηλαδή, όσο περνά ο χρόνος. Η ερµηνεία αυτή προκύπτει από την εξής προσέγγιση της έκφρασης για την u(x, t) u(x, t) = S(x y, t)φ(y)dy i S(x y i, t)φ(y i ) y i (5.3.) όπου ο όρος S(x y i, t)φ(y i ) y i µας δίνει το πως εξαπλώνεται προσεγγιστικά µε το χρόνο το ποσό ϑερµότητας, Φ(y i ), που είναι συγκεντρωµένο αρχικά στο διάστηµα y i. Η λύση είναι κατά προσέγγιση τότε το άθροισµα όλων των συνεισφορών των διαστηµάτων y i. Παρατηρήσεις. Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

36 Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών Τιµών. Η έννοια της ϑεµελιώδους λύσης είναι πολύ σηµαντική έννοια για τους Γραµµικούς ιαφορικούς Τελεστές και υπάρχει ο εξής ορισµός για αυτήν, αν ϑεωρήσουµε ένα τυχαίο Γραµµικό ιαφορικό Τελεστή L LS(x, x ) = δ(x x ) όπου µε x εννοούµε ένα τυχαίο διάνυσµα του R n και µε τον τόνο δεν εννοούµε παραγώγιση αλλά απλώς κάποιο άλλο σηµείο, ενώ η δ(x) είναι η συνάρτηση δέλτα του Dirac. για να αποφύγουµε όµως τις επιπλέον δυσκολίες που ϑα προέκυπταν από την εισαγωγή αυτού του ορισµού προτιµήσαµε τον υπολογισµό της S µέσω των ιδιοτήτων αναλλοιώτητας της κυµατικής εξίσωσης. Η S(x, t) ορίζεται για όλα τα (πραγµατικά) x και για όλα τα t >. Η S(x, t) ειναι ϑετική και άρτια. ηλαδή, S(x, t) = S( x, t) Το ολοκλήρωµα για την u(x, t) είναι συνήθως αδύνατον να υπολογιστεί αναλυτικά µε στοιχειώδεις συναρτήσεις Αν ϑεωρήσουµε τη συνάρτηση σφάλµατος της στατιστικής, τότε Ασκηση 5.1. Να λυθεί το ΠΑΤ [ Υπόδειξη : Erf(x) = π x e p dp, Erf() = Q(x, t) = 1 + 1 Erf( x ) u t k u =, < x < +, t > (5.3.3) u(x, ) = e x, < x < + (ΑΣ) (5.3.4) [ ( ) ] (x y) e (x y) / e x = exp + y όπου ο εκθέτης γίνεται συµπληρώνοντας το τετράγωνο Ετσι (x y) + y =... = (y + kt x) u(x, t) =... = e kt x ] Παρατηρείστε ότι u(x, ) για x. Ασκηση 5.11. Να λυθεί το Οµογενές ΠΑΤ για την εξίσωση διάχυσης. + kt x u t k u =, < x < +, t > (5.3.5) u(x, ) = e 3x, < x < + (ΑΣ) (5.3.6) Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

5.3. Το ΠΑΤ της Εξίσωσης ιάχυσης. 37 Ταχύτητα ιάδοσης ιάχυσης. Εξαιτίας του γεγονότος ότι η u(x, t) εξαρτάται για τη χρονική στιγµή t από το ολοκλήρωµα από ως της χωρικής µεταβλητής y συµπεραίνουµε ότι όλος ο χώρος επηρεάζει ταυτόχρονα τη λύση! Με άλλα λόγια η εξίσωση διάχυσης προβλέπει άπειρη ταχύτητα διάδοσης του ϕαινοµένου σε αντίθεση µε την κυµατική εξίσωση. 5.3.1.i Ενέργεια. Μπορούµε να ορίσουµε ενέργεια και για την εξίσωση διάχυσης. Οντως, αν u t ku xx είναι η εξίσωση διάχυσης, τότε προφανώς, ( ) ( ) ( u t k u u ) u = t u u k u = 1 t ( u ) + ( k u u ) + k ( ) u = (5.3.7) Σε αντίθεση µε την κυµατική εξίσωση, εδώ ϑα ϑεωρήσουµε, για ευκολία, ότι η µεταβλητή x είναι πεπερασµένης εµβέλειας. ηλαδή < x < L. Τότε µε ολοκλήρωση ως προς x προκύπτει L ( ) 1 t u k u u L + k αν επιπλέον ϑεωρήσουµε οµογενείς Dirichlet ΣΣ, τότε, u(, t) = u(l, t) = και L d dt ( ) 1 t u + k L L ( ) 1 u = k L L ( ) u dx = (5.3.8) ( ) u dx = ( ) u dx (5.3.9) Στον παραπάνω τύπο το αριστερό µέλος είναι ο ϱυθµός µεταβολής της ενέργειας ενώ το δεξί µέλος είναι µία ποσότητα µικρότερη ή ίση του µηδενός. Άρα, έχουµε ότι de dt (5.3.3) δηλ., η ενέργεια της διάχυσης µειώνεται σε αντίθεση µε την ενέργεια του κύµατος που παραµένει σταθερή. Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Παράρτηµα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1.1Πίνακες Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων......................... 154 1.1 Πίνακες Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων. Για τις τριγονωµετρικές συναρτήσεις ισχύουν οι εξής ταυτότητες. sin a = cos( π cos a = sin( π a) (1.1.1) a) (1.1.) sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b (1.1.3) cos(a ± b) = cos a cos b sin a sin b (1.1.4) sin a = s sin a cos a (1.1.5) cos a = cos a sin a = cos a 1 = 1 sin a (1.1.6) sin a cos b = 1 [sin(a + b) + sin(a b)] (1.1.7) cos a sin b = 1 [sin(a + b) sin(a b)] (1.1.8) sin a sin b = 1 [cos(a b) cos(a + b)] (1.1.9) cos a cos b = 1 [cos(a + b) + cos(a b)] (1.1.1) sin a sin b = sin(a + b) sin(a b) (1.1.11) cos a cos b = sin(a + b) sin(a b) (1.1.1) cos a sin b = cos(a + b) cos(a b) (1.1.13) 154

1.1. Πίνακες Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων. 155 Σηµαντικά είναι τα εξής ολοκληρώµατα sin[(a b)x] sin(ax) sin(bx)dx = (a b) sin[(a + b)x] (a + b) + C, a b (1.1.14) sin (ax)dx = x 1 4a sin(ax) + C = x 1 sin(ax) cos(ax) + C (1.1.15) a cos(ax) cos(bx)dx = sin[(a b)x] (a b) + sin[(a + b)x] (a + b) + C, a b (1.1.16) cos (ax)dx = x + 1 4a sin(ax) + C = x + 1 sin(ax) cos(ax) + C (1.1.17) a cos[(a b)x] cos[(a + b)x] sin(ax) cos(bx)dx = + C, a b (a b) (a + b) (1.1.18) sin(ax) cos(ax)dx = 1 a cos (ax) + C (1.1.19) Για την ειδική περίπτωση όπου a = mπ L, b = nπ L τότε ισχύει ότι L sin( mπ L x) cos(nπ L cos[(m n)π] x)dx = L π(m n) { L, + π(m + n) = L L cos[(m + n)π] π(m + n) π ( m ), m n + L π(m n) + m n = άρτιος m n = περιττός (1.1.) διότι, αν m n = άρτιος m + n = άρτιος και αντίστοιχα αν m n = περιττός m + n = περιττός Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

Βιβλιογραφία Asmar, Nakhle H. (4). Partial Differential Equations With Fourier Series and Boundary Value Problems. NJ: Pearson-Prentice Hall. Courant, Richard and David Hilbert (196). Methods of Mathematical Physics, Vol II. New York: Wiley. Evans, Lawrence C. (1). Partial Differential Equations. nd. Providence: American Mathematical Society. Folland, Gerald B. (199). Fourier Analysis and its Applications. Belmont, California: Wadsworth. Fowler, A.C. (5). Techiniques of Applied Mathematics. Mathematics Institute, Oxford University. Freiling, Gerhard, Vjatcheslav Yourko (8). Lectures on Differential Equations of Mathematical Physics, A First Course. New York: Nova Science Publishers. Haberman, Richard (4). Applied Partial Differential Equations, With Fourier Series and Boundary Value Problems. 4th. NJ: Pearson/Prentice-Hall. (13). Elementary Applied Partial Differential Equations, With Fourier Series and Boundary Value Problems. 5τη. NJ: Prentice-Hall, Inc. Pinchover, Yehuda, Jacob Rubinstein (5). An Introduction to Differential Equations. Cambridge: Cambridge University Press. Powers, David L. (6). Boundary Value Problems and Partial Differential Equations. Fifth. Amsterdam: Elsevier. Snider, Arthur David (1999). Partial Differential Equations, Sources and Solutions. NJ: Prentice Hall. Spivak, Michael (1994). Λογισµός σε Πολλαπλότητες, Μια Μοντέρνα Προσέγγιση στα Κλασσικά Θεω- ϱήµατα του Προχωρηµένου Λογισµού. Ηράκλειο : Πανεπιστηµικές Εκδόσεις Κρήτης. Strauss, Walter A. (8). Partial Differential Equations, An Introduction. νδ. Hoboken, NJ: Wiley. Ανδρέας, Ζούπας (9). Μαθηµατικά ΙΙ. Ηλεκτρονικά Αρχεία, Μαθηµατικά ΙΙ. Σηµειώσεις για το Μάθηµα Μαθηµατικά ΙΙ, του Πρώτου Ετους του Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστήµιου Θεσσαλίας. άσιος, Γεώργιος (1991). Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις. Πάτρα: άσιος. Ζούπας, Ανδρέας (11). Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις. Ηλεκτρονικά Αρχεία, Εκπαιδευτικό Υλικό για το µάθηµα : ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ. Σηµειώσεις για το Μάθηµα ιαφορικές εξισώσεις µε Μερικές Παραγώγους, του 4 ου Εξαµήνου του Τµήµατος Μηχανολόγων Μηχανικών του Πανεπιστήµιου Θεσσαλίας. 156