. ΣΥΝΤΕΤΑΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΘΕΩΡΙΑ. Άξονας (Ο, i ) λέγεται κάθε ευθεία εφοδιασµένη µε αρχή Ο και µοναδιαίο διάνυσµα i.. Τετµηµένη σηµείου Μ που ανήκει σε άξονα (Ο, i ) λέγεται ο αριθµός, για τον οποίο ισχύει O = i Σηµείωση. Κάθε σηµείο του άξονα έχει µοναδική τετµηµένη. 3. Σύστηµα συντεταγµένων ή καρτεσιανό επίπεδο (Οy) λέγεται ζευγάρι αξόνων y µε κοινή αρχή Ο.. Συντεταγµένες σηµείου, οι προβολές σηµείου Μ στους άξονες. Το, αφού είναι σηµείο του άξονα, j έχει τετµηµένη έστω. O Το i, αφού είναι σηµείο του άξονα y y, έχει τετµηµένη έστω y. Τετµηµένη του σηµείου Μ λέγεται η τετµηµένη του. Τεταγµένη του σηµείου Μ λέγεται η τετµηµένη y του. Συντεταγµένες του σηµείου Μ λέγεται το διατεταγµένο ζευγάρι () y 5. Συντεταγµένες διανύσµατος Έστω διάνυσµα ΟΑ, όπου Ο η αρχή των αξόνων. Συντεταγµένες του ΟΑ λέγονται οι συντεταγµένες του πέρατός του Α. Προσοχή : Η αρχή του διανύσµατος συµπίπτει µε την αρχή των αξόνων. Αν όχι, τότε µεταφέρουµε το διάνυσµα παράλληλα στον εαυτό του.
6. Θεώρηµα Κάθε διάνυσµα α γράφεται κατά µοναδικό τρόπο σαν γραµµικός συνδυασµός των µοναδιαίων διανυσµάτων i, j : α = i + y j, όπου οι συντεταγµένες του α 7. Ιδιότητες Έστω α = ( ) και β = ( ), τότε i) α + β = ( + + y ) άρα και ( ) + ( ) = ( + + y ) ii) λα = (λ, λ y ) άρα και λ( ) = (λ, λ y ) iii) λα + µβ = (λ + µ, λ y + µ y ) άρα και λ ( ) + µ ( ) = (λ + µ, λ y + µ y ) 8. Συντεταγµένες µέσου τµήµατος + ως συνάρτηση των συντεταγµένων των άκρων του : = y+ y = 9. Συντεταγµένες διανύσµατος ως συνάρτηση των συντεταγµένων των άκρων του : = = y y 0. Μέτρο διανύσµατος ως συνάρτηση των συντεταγµένων του : α = + y. Απόσταση δύο σηµείων ως συνάρτηση των συντεταγµένων τους : (ΑΒ) = ( ) + (y y ). Η γωνία φ = ( ΟΑ, ), µε 0 φ π Σχηµατίζεται από την περιστροφή του θετικού ηµιάξονα Ο κατά θετική φορά µέχρι να συµπέσει µε την ηµιευθεία ΟΑ.
3 3. Ο συντελεστής διεύθυνσης διανύσµατος α = () µε 0 : λ = y = εφφ. Συνθήκες παραλληλίας δύο διανυσµάτων α = ( i) α // β y y = 0 ii) α // β det (α,β ) = 0 iii) α // β λα = λ β, µε 0 ), β = ( ) ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ. Παρατήρηση Η καθιέρωση των συντεταγµένων αντικαθιστά τα διανύσµατα µε ζευγάρια αριθµών. Έτσι, ο λογισµός των διανυσµάτων γίνεται ευκολότερος.. Παρατήρηση Όταν ένα διάνυσµα έχει αρχή την αρχή των αξόνων, τότε οι συντεταγµένες του συµπίπτουν µε τις συντεταγµένες του πέρατός του. 3. Τα κατακόρυφα και τα οριζόντια διανύσµατα Τα διανύσµατα της µορφής (0) είναι κατακόρυφα ( // y y ) Τα διανύσµατα της µορφής (, 0) είναι οριζόντια ( // ). Παρατήρηση Τα κατακόρυφα διανύσµατα δεν έχουν συντελεστή διεύθυνσης.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ια τα διανύσµατα α, β // και γ, δ // y y y απαντήστε στα παρακάτω ερωτήµατα i) ποια είναι η µορφή των γ συντεταγµένων τους ii) ποια είναι η γωνία φ, που το β α καθένα τους σχηµατίζει µε τον άξονα O iii) αν έχουν συντελεστή διεύθυνσης, ποιος είναι; δ Απάντηση i) α = (, 0) β = (, 0) γ = (0) δ = (0) ii) ϕα = 0 iii) λ = 0 α ϕβ = π ϕγ = π ϕδ = 3 π λβ = 0 δεν έχει δεν έχει. ια τα διανύσµατα α, β // στη διχοτόµο δ δ y δ και γ, δ // στη διχοτόµο δ, απαντήστε στα γ παρακάτω ερωτήµατα α i) ποια είναι η µορφή των συντεταγµένων τους O ii) ποια είναι η γωνία φ, που το καθένα τους σχηµατίζει µε τον άξονα δ iii) αν έχουν συντελεστή διεύθυνσης, ποιος είναι; β Απάντηση i) α = (, ) β = (, ) γ = (, ) δ = (, ) ii) ϕα = π iii) λ = α ϕβ = 5 π λβ = ϕγ = 3 π λγ = ϕδ = 7 π λδ =
5 3. Αν α = i + j, β = 3 i j και ισχύει α + β + γ = 0, να βρείτε το γ. α + β + γ = 0 + = 5+ = 6 γ = ( 5) ( ) γ = α β γ = ( i + j ) (3 i j ) γ = i j 3 i + j γ = 5 i j γ = ( 5, ). ίνονται τα σηµεία Α(, 3), Β(, 0). Να καθορισθούν συντεταγµένες σηµείου ώστε αυτό να ανήκει στην ευθεία ΑΒ. Έστω () το ζητούµενο σηµείο. ανήκει στην ευθεία ΑΒ Α // ΑΒ y Α y ΑΒ Α ΑΒ = 0 () Αλλά Α = =, Α Α = B B Α = = 3, y Α = y y = y ( 3) = y + 3 Α y Α = y B B y Α = 0 ( 3) = 3 H () y+ 3 = 0 3( ) 3(y + 3) = 0 3 3 ( ) (y + 3) = 0 y 3 = 0 = y + () ια να έχουµε ένα συγκεκριµένο σηµείο, στη () θέτουµε µια τιµή στο y, ας είναι y =, οπότε = 5. Άρα το σηµείο (5, ) είναι ζητούµενο.
6 5. Να βρείτε τα α, β ώστε να ισχύει (α 3) i (β + ) j // y y και (α + ) i + β j // i + j (α 3) i (β + ) j // y y α 3 = 0 α = 3 () (α + ) i + β j // i + j α+ β = 0 α + β = 0 α β = () Λύνοντας το σύστηµα των (), () βρίσκουµε α = 3 και β =
7 6. Σηµειώστε Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) σε κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις. i. Τα διανύσµατα (3, ), ( 3, ) είναι αντίθετα ii Ισχύει det(α,α ) = 0 iii Ισχύει det( i, j ) = iv Αν η τεταγµένη του µη µηδενικού διανύσµατος α είναι ίση µε το µισό του µέτρου π του, τότε η γωνία που σχηµατίζει µε τον άξονα είναι 6 v Αν ο συντελεστής διεύθυνσης διανύσµατος α είναι 3 τότε α = (, 3) Απάντηση (ια την κατανόηση θα δικαιολογήσουµε την κάθε απάντηση) i Σ (3, ) = ( 3, ) ii Σ α //α iii Σ 0 0 = 0 = iv Λ Έστω α = () α = y + α = α = α = = 3 + + + α y α α = εφφ = y =..... = ± 3 δύο τιµές 3 3 α ή = 3 α iv Λ Μπορεί να είναι α = ((κ, 3κ) µε κ R
8 7. Αν α = (, 3), β = (0, ) και γ = (3, ), να εκφράσετε το α σαν γραµµικό συνδυασµό των β, γ. Έστω α = κβ + λγ () α = κβ + λγ (, 3) = κ (0, ) + λ (3, ) (, 3) = (0, κ) + (3λ, λ) (, 3) = (0 + 3λ, κ + λ) = 3λ και 3 = κ + λ λ = 3 και 3 = κ 3 λ = 3 λ = 3 λ = 3 και και και 3 + 3 = κ 0 3 = κ 5 6 = κ Η () γίνεται α = 5 6 β 3 γ 8. ίνονται τα σηµεία Α(, ), Β(, 6), (7, 0). Να βρείτε τις συντεταγµένες του συµµετρικού του σηµείου, ως προς κέντρο συµµετρίας το µέσο του τµήµατος ΑΒ. Έστω Μ το µέσο του τµήµατος ΑΒ. Τότε = = 0 και y = + 6 = 5. Έστω το συµµετρικό του ως προς κέντρο Α συµµετρίας το Μ. Το Μ θα είναι µέσο του τµήµατος, οπότε = + και y = y y + = 5 0 = 7 + και 5 = 0 + y = 7 και y = 0 Β
9 9. ίνονται τα διανύσµατα ΚΑ = (, 5), ΚΒ = (, 3) και για το σηµείο δίνεται ότι Α = 3 Β. Να βρείτε τις συντεταγµένες του διανύσµατος Κ. Α = K 3 Β Α //Β τα Α,, Β είναι συνευθειακά και Α = 5 ΑΒ Α = Α Β 5 (ΚΒ ΚΑ ) Κ = ΚΑ + Α = [(, 3) (, 5)] 5 = (, 3 5) 5 = 5 ( ) ( 3, ) = 6, 5 5 = (, 5) + ( 6, 5 5) = ( 6, 5 ) = (, ) 5 5 5 5
0 0. Στο διπλανό σχήµα το ΑΒ ΕΖ είναι κανονικό εξάγωνο πλευράς. y Ε Να βρείτε τις συντεταγµένες των διανυσµάτων που ορίζουν οι πλευρές του κανονικού εξαγώνου, µε τη φορά που εσείς θέλετε. Ζ O Α Β Πρώτα βρίσκουµε τις συντεταγµένες των κορυφών ˆΑ = 0 ο ˆΑ = 60 ο ˆΖ = 30 ο y Λ Ε άρα ΟΑ = ΖΑ = Πυθαγόρειο στο τρ. ΟΑΖ : = Α(, 0) Ζ ΟΖ = = 3 ΟΖ = 3 Ζ(0, 3 ) Φέρουµε Κ Ο, ΕΛ Οy και O Α Β Κ εργαζόµαστε µε τον ίδιο τρόπο στα τρίγωνα ΚΒ, ΛΕΖ. Οπότε ΒΚ = και ΛΕ = Εποµένως ΟΒ = ΟΑ + ΑΒ = + = 3 Β(3, 0) ΟΚ = (, 3 ) ΟΛ = 3 Ε(, 3 ) (3, 3 ) ΑΒ = B A = 3 =, Β = Β = 3 =, y ΑΒ = 0 y Β = y y Β = 3 0 = 3 κ.λ.π