ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται ως συντελεστές κατά την ανάπτυξη της οστής δύναμης του διωνύμου σε δυνάμεις των και Στο κεφάλαιο αυτό θα διατυπώσουμε το διωνυμικό θεώρημα και θα εξετάσουμε διάφορες εφαρμογές του στον υπολογισμό συνδυαστικών αθροισμάτων 3 Παραγοντικά και Διωνυμικοί συντελεστές Αν R και ένας θετικό ακέραιος ορίζουμε ως παραγοντικό τάξης του την ποσότητα: Για θέτουμε Αν στην προηγούμενη σχέση θέσουμε όπου το θα έχουμε: Η ποσότητα καλείται ανοδικό παραγοντικό τάξης του και συμβολίζεται με δηλαδή Για θέτουμε Συχνά το καλείται καθοδικό παραγοντικό τάξης ή απλά παραγοντικό τάξης Ορισμένες χρήσιμες ιδιότητες των παραγοντικών δίνονται στην επόμενη πρόταση Πρόταση 3 Αν Rκαι θετικοί ακέραιοι τότε: α β γ δ Απόδειξη α β Προκύπτει άμεσα από τo α θέτοντας το στη θέση του γ Έχουμε: δ Αν στην ταυτότητα που αποδείξαμε στο γ θέσουμε στη θέση του το έχουμε: 35

36 και από το α προκύπτει Για κάθε R και κάθε θετικό ακέραιο οι ποσότητες καλούνται διωνυμικοί συντελεστές Όμοια ορίζουμε: Για θέτουμε: Μερικές σχέσεις μεταξύ των και παρουσιάζονται στην επόμενη πρόταση Πρόταση 3 Αν R και θετικός ακέραιος τότε: α β γ δ Απόδειξη α β Άμεση συνέπεια του ορισμού και της Πρότασης 3 α και β α β γ Έχουμε δ Προκύπτει αν στην γ θέσουμε στη θέση του Παράδειγμα 3 Έστω R και κ θετικός ακέραιος Να δειχτεί ότι: α β Το παραγοντικό τάξεως ως πολυώνυμο βαθμού ως προς γράφεται στη μορφή Οι συντελεστές του πολυωνύμου καλούνται αριθμοί ili πρώτου είδους και συμβολίζονται με s Δείξτε ότι οι αριθμοί ili s ικανοποιούν τη σχέση:

s s s Λύση α Είναι β Σύμφωνα με τον ορισμό των s s έχουμε: s s s s s Αν στο δεύτερο άθροισμα θέσουμε προκύπτει s s s ή s s s Η τελευταία σχέση ισχύει για κάθε R άρα θα πρέπει s s s για s s s s Η πρώτη σχέση είναι η ζητούμενη Από τη δεύτερη προκύπτει ότι: s s s για Αντικαθιστώντας στη σχέση του α βρίσκουμε: s s s κοκ δηλαδή s για Η τρίτη σχέση δίνει s s s Για το s ισχύει: s s s s s Όμως s άρα s Τελικά s για 37

38 3 Tο Διωνυμικό Θεώρημα Η πιο απλή μορφή του διωνυμικού θεωρήματος διατυπώθηκε από τον Newo Θεώρημα 3 Τύπος του Νεύτωνα Έστω R και θετικός ακέραιος Το ανάπτυγμα οστής δύναμης του διώνυμου δίνεται από τον τύπο: Απόδειξη Με επαγωγή Για ο τύπος ισχύει γιατί Έστω ότι ισχύει για δηλαδή Θα δείξουμε ότι ο τύπος ισχύει για δηλαδή Όμως και χρησιμοποιώντας την υπόθεση για μπορούμε να γράψουμε: Από το τρίγωνο του Psl: και τις ισότητες έχουμε: Αποδείχθηκε το ζητούμενο για Σύμφωνα με την αρχή της μαθηματικής επαγωγής ο τύπος ισχύει για όλες τις μη αρνητικές ακέραιες τιμές του β τρόπος: Συνδυαστική απόδειξη Αφού φορές για να βρούμε το ανάπτυγμα δηλαδή να γράψουμε το ως άθροισμα δυνάμεων των θα πρέπει από κάθε παράγοντα να επιλέξουμε είτε το είτε το και να τα πολλαπλασιάσουμε μεταξύ τους Αν το επιλεγεί από παράγοντες τότε το θα επιλεγεί από τους υπόλοιπους παράγοντες και εκτελώντας τον πολλαπλασιασμό θα προκύψει το μονώνυμο Όμως η επιλογή του μπορεί να γίνει με τρόπους όσοι και οι τρόποι επιλογής παραγόντων από τους διαθέσιμους Επομένως το μονωνύμο

εμφανίζεται συνολικά φορές δηλαδή ο γενικός όρος του αθροίσματος είναι της μορφής Έτσι ολοκληρώνεται η συνδυαστική απόδειξη Παράδειγμα 3 Να βρεθούν οι συντελεστές του 4 5 5 5 5 Λύση Άρα ο συντελεστής του 5 8 θα είναι: 5 585 7 5 8 7 Για 8 5 9 3 8 8 4 4 4 4 4 4 5 4 8 στο ανάπτυγμα των παραστάσεων: 5 και Άρα ο συντελεστής του 8 θα προκύψει αν θέσουμε 4 8 δηλαδή Ο ζητούμενος αριθμός είναι: 4 4 4 4 3 4 3 3 O τύπος του Νεύτωνα επεκτείνεται και για μη-ακέραιες θετικές τιμές του Ισχύει το θεώρημα Θεώρημα 3 Διωνυμικό θεώρημα Έστω R τέτοιοι ώστε < Τότε: Η συνθήκη < εξασφαλίζει τη σύγκλιση της σειράς στο δεξιό μέλος Ειδική περίπτωση του προηγουμένου θεωρήματος είναι το ακόλουθο πόρισμα Πόρισμα 33 Έστω R ώστε < και θετικός ακέραιος Τότε: 39

4 Απόδειξη Από το Θεώρημα 3 για παίρνουμε Όμως ισχύει ότι: Άρα Παράδειγμα 33 Να υπολογιστούν οι συντελεστές του στο ανάπτυγμα των επόμενων συναρτήσεων σε δυνάμεις του α < f β < Λύση α Από το προηγούμενο πόρισμα έχουμε διαδοχικά: f ή θέτοντας έχουμε: f Άρα ο συντελεστής του στο ανάπτυγμα της συνάρτησης f είναι ίσος με β Για την αρκεί να αντικαταστήσουμε τον όρο με το ανάπτυγμα: οπότε θα προκύψει: ή αν αντικαταστήσουμε ο ζητούμενος συντελεστής είναι ίσος με:

4 33 Διάφορες συνδυαστικές ταυτότητες και ο τύπος του Cuh Μία από τις επόμενες τρεις μορφές του διωνυμικού αναπτύγματος είναι αρκετή για να αποδειχθούν πολλές ταυτότητες που περιλαμβάνουν διωνυμικούς συντελεστές R R < < 3 Στη συνέχεια θα εξετάσουμε ορισμένα παραδείγματα Παράδειγμα 34 Να υπολογιστούν τα αθροίσματα: Λύση Θέτοντας στον τύπο βρίσκουμε Άρα Ομοίως για ο τύπος δίνει: δηλαδή Παράδειγμα 35 Να υπολογισθούν τα αθροίσματα: α β > Λύση α Θέτοντας στον τύπο 3 βρίσκουμε: ή

4 από όπου προκύπτει άμεσα ότι: β Από τον ίδιο τύπο αντικαθιστώντας θα προκύψει: > Παράδειγμα 36 Αν είναι μη-αρνητικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε να υπολογιστεί το άθροισμα Λύση Ισχύει ότι Συνεπώς το άθροισμα που μας ενδιαφέρει παίρνει τη μορφή: Εκτελώντας την αλλαγή μεταβλητής έχουμε: Χρησιμοποιώντας ότι καταλήγουμε ότι: Παράδειγμα 37 Να υπολογισθούν τα αθροίσματα: α 4 β 5 Λύση α Παραγωγίζοντας τον τύπο ως προς βρίσκουμε και για προκύπτει 4 β Για το 5 αρκεί να ολοκληρώσουμε τη σχέση ως προς από έως οπότε θα έχουμε: d d ή και προκύπτει ότι 5

43 Παράδειγμα 38 Να υπολογιστούν τα αθροίσματα: 6 7 R 8 Λύση 5 4 6 Για το 7 αρκεί να θέσουμε οπότε: 5 7 Για το 8 έχουμε: 8 και εκτελώντας το μετασχηματισμό βρίσκουμε: 8 5 4 Σε αρκετές περιπτώσεις η απόδειξη συνδυαστικών ταυτοτήτων απαιτεί τον υπολογισμό του γενικού όρου δύο πολυωνύμων Ισχύει η ακόλουθη πρόταση Πρόταση 33 Αν είναι πραγματικοί αριθμοί και f τότε το γινόμενο f μπορεί να γραφεί στη μορφή: f όπου δίνονται από τους τύπους: ή

44 Στην περίπτωση που τα αθροίσματα στις εκφράσεις των f είναι πεπερασμένα πχ f ισχύει ο τύπος: f ενώ τα δίνονται από τους τύπους: i i Στην επόμενη πρόταση δίνεται μία σημαντική ταυτότητα της Συνδυαστικής Ανάλυσης που είναι γνωστή ως τύπος του Cuh Πρόταση 33 Τύπος του Cuh Αν R και θετικός ακέραιος τότε ισχύει: Απόδειξη Χρησιμοποιώντας τον τύπο και στα δύο μέλη της ισότητας: < έχουμε: f όπου f Χρησιμοποιώντας την Πρόταση 33 μπορούμε να γράψουμε: f όπου: Επομένως θα έχουμε: < f και προκύπτει άμεσα ότι: Χρησιμοποιώντας τις ταυτότητες: ο τύπος του Cuh παίρνει τη μορφή:

45 ή Στην ειδική περίπτωση που οι αριθμοί Ζ ο τύπος του Cuh για Ζ Ζ γίνεται: Τα πραγματικά όρια της άθροισης στο δεξιό μέλος προκύπτουν από το γεγονός ότι για να είναι ένας όρος της μορφής μη-μηδενικός πρέπει να ισχύει: δηλαδή και Άρα i H ειδική περίπτωση του τύπου του Cuh αποδείχθηκε το 77 από τον Γάλλο μαθηματικό Vdeode Παράδειγμα 39 Αν R και θετικός ακέραιος τότε: Λύση Από την Πρόταση 3 α β μπορούμε να γράψουμε Η προηγούμενη ταυτότητα στην περίπτωση που τα είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί έστω αντίστοιχα παίρνει τη μορφή: * ή ισοδύναμα: Παράδειγμα 3 Να υπολογιστούν τα αθροίσματα: α β >

46 Λύση α και από τον τύπο του Cuh β Για το β θέτουμε στη σχέση * οπότε 34 Το Πολυωνυμικό Θεώρημα Από τον τύπο του Νεύτωνα έχουμε ότι: Τι προκύπτει αν προσπαθήσουμε να γενικεύσουμε το τελευταίο αποτέλεσμα θεωρώντας τη δύναμη όπου θετικοί ακέραιοι με ; Αρχικά γράφουμε τη δύναμη στη μορφή: φορές O γενικός όρος του αθροίσματος που προκύπτει μετά την εκτέλεση των πράξεων θα δημιουργείται επιλέγοντας ένα από τα σύμβολα από κάθε παρένθεση και πολλαπλασιάζοντας τα Έτσι θα παίρνουμε όρους της μορφής όπου Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να πάρουμε τέτοιους όμοιους όρους; Για να δημιουργηθεί ο όρος θα πρέπει να επιλέξουμε από τους διαθέσιμους όρους παρενθέσεις όπου θα πάρουμε το σύμβολο υπάρχουν διαφορετικοί τρόποι επιλογής Από τις παρενθέσεις που δεν χρησιμοποιήθηκαν θα επιλέξουμε παρενθέσεις από όπου θα πάρουμε τα σύμβολο υπάρχουν διαφορετικοί τρόποι επιλογής από τις παρενθέσεις που δεν χρησιμοποιήθηκαν σε όλα τα προηγούμενα βήματα να επιλέξουμε παρενθέσεις από όπου θα πάρουμε το σύμβολο υπάρχουν τρόποι επιλογής Άρα οι συνολικοί τρόποι επιλογής που οδηγούν στο μονώνυμο είναι από την πολλαπλασιαστική αρχή

Τελικά το ανάπτυγμα της δύναμης αποτελείται από ένα άθροισμα όρων της μορφής όπου τα είναι μη-αρνητικοί ακέραιοι που ικανοποιούν τη σχέση Έτσι αποδείξαμε το Πολυωνυμικό Θεώρημα Θεώρημα 34 Πολυωνυμικό Θεώρημα Έστω θετικοί ακέραιοι και Τότε το ανάπτυγμα της οστής δύναμης του αθροίσματος δίνεται από τον τύπο: R όπου η άθροιση γίνεται για όλες τις άδες μη-αρνητικών ακεραίων οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση: Το πολυωνυμικό θεώρημα αποδείχθηκε από τον eiiz αλλά η αυστηρή μαθηματική του απόδειξη έγινε αργότερα από τον Jes Beoulli Οι συντελεστές καλούνται πολυωνυμικοί συντελεστές Παράδειγμα 3 Να γραφεί η παράσταση ως άθροισμα δυνάμεων των 4 3 3 Λύση Θα πρέπει αρχικά να βρούμε όλους τους μη αρνητικούς ακέραιους 3 τω 3 4 Στη συνέχεια υπολογίζουμε τις αντίστοιχες τιμές των πολυωνυμικών συντελεστών από τον τύπο: 4 4 3 3 4 3 3 3 3 4 3 4 6 3 4 47

4 3 4 3 4 6 6 3 4 4 4 Από τον παραπάνω πίνακα: 4 4 3 3 3 3 4 4 3 6 3 6 3 4 3 3 4 3 3 4 4 4 6 4 3 3 3 3 3 3 Παράδειγμα 3 Να βρεθεί ο συντελεστής του 6 στο πολυωνυμικό ανάπτυγμα της παράστασης όπου η άθροιση γίνεται για όλους 6 6 3 Λύση Έχουμε: 63 3 τους ακεραίους 3 που είναι μη-αρνητικοί και για τους οποίους ισχύει: 3 Για να βρούμε τους συντελεστές του 48 3 αρκεί να προσδιορίσουμε τις τιμές των 3 για τις οποίες 3 και 63 Στη συνέχεια πρέπει να αθροίσουμε τους αντίστοιχους συντελεστές δηλαδή τις ποσότητες Από τη σχέση 63 προκύπτει ότι οι μόνες επιτρεπτές τιμές για το 3 είναι 3 ή Για 3 3 3 θα έχουμε: 6 5 και από τη σχέση 3 βρίσκουμε 3 5 Ο συντελεστής που αντιστοιχεί στην τριάδα 3 55 είναι ίσος με:

55 9 8 7 6 554 5 9 8 Για 3 7 με συντελεστή: 34 7 Συνεπώς ο συντελεστής στο ανάπτυγμα της παράστασης 55434894 6 για το είναι ίσος με: 49