3. DINAMICA FLUIDELOR. 3.A. Dinamica fluidelor perfecte

3. DINAMICA FLUIDELOR 3.A. Dinamica fluidelor perfecte Aplicația 3.1 Printr-un reductor circulă apă având debitul masic Q m = 300 kg/s. Calculați debitul volumic şi viteza apei în cele două conducte de raze r 1 = 30 cm, respectiv r 2 = 20 cm. Se dă ρ apă = 1000 kg/m 3. Cum se modifică viteza prin reductor dacă diametrul acestuia se micşorează de 2, de 3 si de 4 ori. Reprezentați grafic această variație. r 1 r 2 v 1 v 2 S 2 S 1 Figura 3.1 Reductor de presiune Relația între debitul volumic şi debitul masic este: (3.1.1) În general, viteza apei printr-o conductă de secțiune S se exprimă în funcție de debitul volumic: Vitezele fluidului prin secțiunile S 1 şi S 2 sunt: (3.1.2) (3.1.3) (3.1.4) Page 21

În funcție de diametru conductei d 2, viteza apei se exprimă prin relația: (3.1.5) La micşorarea de 2 ori a diametrului d 2 al conductei (d 2 /2), viteza fluidului se calculează ca: Când diametrul reductorului se micşorează de 2 ori, viteza creşte de 4 ori. (3.1.6) La micşorarea de 3 ori a diametrului d 2 al conductei (d 2 /3), viteza fluidului se calculează ca: (3.1.7) Când diametrul reductorului se micşorează de 3 ori, viteza creşte de 9 ori. La micşorarea de 4 ori a diametrului d 2 al conductei (d 2 /4), viteza fluidului se calculează ca: (3.1.8) Când diametrul reductorului se micşorează de 4 ori, viteza creşte de 16 ori. Page 22

Dependenta vitezei apei de diametrul tubului 3 8. 2 4 40 35 30 2. 3 9 9. 5 6 2 1. 5 1 25 20 15 10 v (m/s) 5 40 30 20 d (cm) 10 0 0 Figura 3.1.a Graficul de variație al vitezei apei de diametrul tubului Aplicația 3.2 Un tub Venturi este montat pe o conductă de secțiune variabilă prin care circulă petrol. Să se determine debitul prin conductă şi viteza fluidului prin cele două secțiuni ale conductei. Se dau: p = p 1 -p 2 = 25 10-2 MN/m 2, S 1 = 0,5 m 2, S 2 = 0,4 m 2, ρ petrol = 900 kg/m 3. r 1 r 2 v 1 v 2 S 2 S 1 p 1 p 2 M Figura 3.2 Tub Venturi Viteza fluidului prin ramura 2 a reductorului de presiune se poate determina din legea de conservare a masei de fluid (ecuația de continuitate): (3.2.1)! "! # $ % "! & ' ( & ( ) # ' ( * + ", Page 23

Legea de conservare a energiei fluidului (ecuația Bernoulli) care circulă prin reductorul de presiune se scrie: (3.2.2) Diferența de presiune înregistrată de tubul Venturi se obține din relațiile (3.2.1) şi (3.2.2): Din relația (3.2.3) se exprimă viteza v 1 a fluidului prin secțiunea S 1 : (3.2.3) (3.2.4) Viteza v 2 a fluidului prin secțiunea S 2 se exprimă pe baza relației (3.2.1) ca: (3.2.5) Aplicația 3.3 În dispozitivul din Figura 3.3, prin conducta AB de secțiuni S 1 = 2 dm 2, S 2 = 0,5 dm 2 circulă petrol (ρ p = 900 kg/m 3 ). Cunoscând denivelarea h = 15 cm şi ρ Hg = 13600 kg/m 3, să se determine: a) vitezele v 1 si v 2 ale petrolului prin cele două secțiuni ale conductei; a) debitul petrolului prin conductă. Page 24

r 1 r 2 v 1 v 2 S 2 S 1 h M Figura 3.3 Tubul Venturi a) Aplicând legea conservării masei de fluid (ecuația de continuitate) se poate determina viteza fluidului prin ramura 2 a dispozitivului din Figura 3.3: Legea de conservare a energiei fluidului (ecuația Bernoulli) se scrie: Diferența de presiune înregistrată în tubul Venturi se exprimă ca: Egalând diferența de presiune exprimată prin relațiile (3.3.2) şi (3.3.3): (3.3.1) (3.3.2) (3.3.3) (3.3.4) Înlocuind viteza v 2 a fluidului, exprimată pe baza relației (3.3.1), în relația (3.3.4) se obține: Astfel, viteza v 1 a fluidului prin secțiunea S 1 devine: (3.3.5) (3.3.6) Page 25

Viteza v 2 a fluidului prin secțiunea S 2 se exprimă pe baza ecuațiilor (3.3.1) şi (3.3.6): (3.3.7) b) Debitul de petrol care circulă prin conductă se calculează ca: (3.3.8) Înlocuind în relația (3.3.8), viteza v 1, calculată prin relația (3.3.6) se obține debitul de petrol: (3.3.9) Aplicația 3.4 Se leagă un tub Venturi la o conductă de secțiune variabilă: S 1 = 20 cm 2, S 2 = 1 cm 2 prin care circulă gaz cu densitatea ρ gaz = 1,4 kg/m 3. Ce cantitate de gaz trece prin conductă în timp de 2 ore, dacă diferența de nivel a apei din tubul Venturi este h = 14 cm. Densitatea apei este ρ apă = 1000 kg/m 3. Aplicând legea conservării masei de fluid (ecuația de continuitate) se poate determina viteza fluidului prin ramura 2 a dispozitivului din Figura 3.4: (3.4.1) Legea de conservare a energiei fluidului (ecuația Bernoulli) care circulă prin conducta de secțiune variabilă este: (3.4.2) Page 26

r 1 r 2 v 1 v 2 S 2 S 1 h M Figura 3.4 Tubul Venturi Diferența de presiune a fluidului în cele două secțiuni ale conductei este: (3.4.3) Exprimând diferența de presiune din legea Bernoulli (3.4.2) şi înlocuind viteza v 2, exprimată din ecuația de continuitate (3.4.1) se obține: (3.4.4) Astfel, viteza fluidului prin secțiunea S 1 este: (3.4.5) Debitul volumic al gazului se exprimă, în funcție de viteza v 1, ca: (3.4.6) Cantitatea de gaz care trece prin conductă în timpul t se poate determina din expresia debitului masic, respectiv a debitului volumic: Înlocuind debitul (3.4.6) în relația (3.4.7) se obține masa m de gaz: (3.4.7) (3.4.8) Page 27

Aplicația 3.5 Să se calculeze viteza de curgere a unui fluid printr-un orificiu de secțiune S 2 = 1 cm 2 situat în partea inferioară a unui rezervor de secțiune S 1 = 50 cm 2. Nivelul apei din rezervor se menține constant la h = 1,8 m. Se dă g = 9,8 m/s 2. S 1 h v 1 S2 v 2 Figura 3.5 Rezervor cu orificiu Se aplică legea lui Bernoulli pentru curgerea fluidului din rezervorul cu suprafața liberă S 1 (Figura 3.5) prin orificiul de secțiune S 2. Se consideră planul de referință la nivelul orificului: (3.5.1) Relația dintre vitezele fluidului v 1 şi v 2 prin cele două secțiuni S 1 şi S 2 este dată de ecuația de continuitate: (3.5.2) Înlocuind viteza v 1 (3.5.2) în legea Bernoulli (3.5.1) se obține viteza v 2 a fluidului prin orificiu: (3.5.3) Page 28

Aplicația 3.6 Apa dintr-o conductă orizontală cu diametrul d 1 = 10 cm curge într-un rezervor, prevăzut la partea inferioară cu un orificiu circular de scurgere având diametrul d 2 = 4 cm. Să se calculeze viteza de curgere a apei prin conductă astfel ca nivelul apei din rezervor să se mențină constant h = 1,5 m. Să se reprezinte grafic: a) variația vitezei apei prin conductă la dublarea şi triplarea diametrului său; b) variația vitezei apei prin conductă la micşorarea de două şi trei ori a diametrului orificiului. d 1 v 1 h d 2 v 2 Figura 3.6 Conductă prin care curge apa într-un rezervor cu orificiu Dacă se consideră planul de referință la baza rezervorului în care este prevăzut orificiul de diametru d 2, legea lui Bernoulli este: (3.6.1) Din ecuația de continuitate a fluidului se exprimă viteza v 2 prin orificiu: (3.6.2) Înlocuind viteza v 2 (3.6.2) în relația (3.6.1) se obține viteza v 1 a apei prin conductă: (3.6.3) Page 29

1 a) Când se dublează diametrul conductei (d 1 ), viteza apei prin conductă devine v 1(2d1) : (3.6.4) Când se triplează diametrul conductei (d 1 ), viteza apei prin conductă devine v 1(3d1) : (3.6.5) v (m/s) 0. 9 0. 8 0. 7 0. 6 0. 5 0. 4 0. 3 0. 2 0. 1 0 Variatia vitezei la dublarea si triplarea diametrului conductei (d1) 0. 8 7 8 0. 2 1 7 0. 0 9 6 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 d1 (cm) Figura 3.6.a. Dependența vitezei apei de diametrul conductei Page 30

1 b) Când se micşorează de două ori diametrul orificiului (d 2 ), viteza apei prin conductă devine v 1(d2/2) : (3.6.6) Când se micşorează de trei ori diametrul orificiului (d 2 ), viteza apei prin conductă devine v 1(d2/3) : (3.6.7) v (m/s) 0. 9 0. 8 0. 7 0. 6 0. 5 0. 4 0. 3 0. 2 0. 1 0 Variatia vitezei la micsorarea de doua si trei ori a diametrului orificiului (d2) 0. 0 9 6 0. 2 1 7 0. 8 7 8 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 d2 (cm) Figura 3.6.b. Dependența vitezei apei de diametrul orificiului Page 31

Aplicația 3.7 Pentru a determina viteza unui avion față de aer se montează pe avion un tub Pitot umplut cu un lichid de densitate ρ = 800 kg/m 3. Presiunea totală măsurată de Tubul Pitot este dată de diferența de nivel h = 13 cm. Să se determine viteza avionului față de aer, cunoscând densitatea aerului ρ a = 1,3 kg/m 3. Se dă g = 10 m/s 2. v h R ρ Figura 3.7 Tubul Pitot Considerând suprafața de referință SR (Figura 3.7) condiția de echilibru a presiunilor exercitate în cele două ramuri ale tubului este: (3.7.1) Page 32

3.B. Dinamica fluidelor reale. Ecuația Navier Stokes Aplicația 3.8 Să se determine debitul unitar şi viteza medie a petrolului care circulă în regim permanent printr-o fisură de lățime a = 1,5 cm, prin care pierderea de sarcină este de 2 %. Se cunosc pentru petrol: ρ = 900 kg/m 3 şi µ = 20 cpoise. Sectiune de curgere z a u y z =1 x y u a/ 2 a/ 2 x Figura 3.8 Mişcarea paralelă a unui fluid vâscos prin fisură Page 33

În cazul curgerii plane orizontale ( ) în regim permanent ( ) printr-o fisură, ecuația de curgere Navier Stokes este: În funcție de pierderea de sarcină definită ca: Ecuația Navier Stokes devine: Prin integrarea relației (3.8.3), se obține derivata de ordin I a vitezei: Viteza de curgere plan orizontală u se obține prin integrarea relația (3.8.4): (3.8.1) (3.8.2) (3.8.3) (3.8.4) (3.8.5) Constantele de integrare C 1 şi C 2 din relația (3.8.5) se determină din condițiile de margine (viteza de curgere este nulă la contactul cu pereții fisurii): u = 0 pentru y = 0: u = 0 pentru y = a 0 (3.8.6) (3.8.7) Introducând constantele de integrare din relațiile (3.8.6) şi (3.8.7) în relația (3.8.5), expresia vitezei de curgere printr-o fisură de lățime a este: Debitul unitar al petrolului care curge prin fisură se poate exprima: (3.8.8) (3.8.9) Expresia debitului unitar se obține prin rezolvarea integralei definite din relația (3.8.9): (3.8.10) Page 34

Viteza medie de curgere a petrolului prin fisură este: (3.8.11) Aplicația 3.9 Să se determine viteza maximă de curgere în regim permanent a apei, printr-o fisură de lățime a = 2 mm dacă pierderea de sarcină este 5,8 %. Se cunosc: ρ = 998 kg/m 3 şi µ = 10 cpoise. În cazul curgerii plane orizontale ( ) în regim permanent ( ) printr-o fisură, ecuația de curgere Navier Stokes este: În funcție de pierderea de sarcină: Ecuația Navier Stokes (3.9.1) devine: Prin integrarea relației (3.9.3), se obține derivata de ordin I a vitezei: Integrând relația (3.9.4) se obține expresia vitezei u: (3.9.1) (3.9.2) (3.9.3) (3.9.4) (3.9.5) Punând condițiile de margine se determină constantele de integrare C 1 şi C 2 u = 0 pentru y = 0: (3.9.6) u = 0 pentru y = a Page 35

(3.9.7) Expresia vitezei u de curgere prin fisură se obține introducând constantele de integrare din relațiile (3.9.6) şi (3.9.7) în relația (3.9.5): (3.9.8) Valoarea maximă a vitezei de curgere este atinsă pe axa centrală a fisurii. În relația (3.9.8) se ipune condiția : (3.9.9) Relația dintre greutatea volumică şi densitatea a fluidului este: Introducând relația (3.9.10) în (3.9.9) se obține expresia vitezei maxime: (3.9.10) (3.9.11) Aplicația 3.10 Să se determine pierderea de sarcină şi viteza maximă de curgere a apei, în regim permanent, printr-o conductă de rază r = 1 cm. Debitul prin conductă este 2 l/s. Se cunosc: coeficientul de vâscozitate dinamică a apei la 10 C, ν = 1,308 cstokes şi g = 9,8 m/s 2. În cazul curgerii plane ( ), axial simetrice ( ), în regim permanent ( ) printr-o conductă, ecuația de curgere Navier Stokes poate fi scrisă: (3.10.1) În funcție de pierderea de sarcină J: (3.10.2) Ecuația Navier Stokes (3.10.1) devine: (3.10.3) Page 36

p 1 γ α J dx u dp γ dx g g x p 2 γ h 1 z x h 2 Figura 3.10 Mişcarea permanantă în conductă rectilinie a unui flui vâscos paralelă a unui fluid vâscos prin fisură Prin integrarea relației (3.10.3), se obține derivata de ordin I a vitezei fluidului: Integrând relația (3.10.4) se obține expresia vitezei u: Constantele de integrare C 1 şi C 2 se determină din condițiile de margine: - pentru y = 0: - u = 0 pentru y = r (3.10.4) (3.10.5) (3.10.6) (3.10.7) Expresia vitezei de curgere u printr-o conductă de rază r se obține introducând constantele C 1 şi C 2 din relațiile (3.10.6) şi (3.10.7) în (3.10.5): (3.10.8) Page 37

Debitul petrolului prin conducta de rază r este: (3.10.9) Expresia debitului se obține prin rezolvarea integralei definite din relația (3.10.9) (3.10.10) Din relația (3.10.10) se exprimă pierderea de sarcină J: Relația dintre vâscozitatea dinamică şi vâscozitatea cinematică este: Relația dintre greutatea volumică şi densitatea a fluidului este: (3.10.11) (3.10.12) (3.10.13) Expresia pierderii de sarcină J la curgerea fluidului prin conductă (3.10.11), folosind relațiile (3.10.12) şi (3.10.13) devine: (3.10.14) Viteza medie prin conductă se determină ca: (3.10.15) Aplicația 3.11 Să se determine viteza maximă de curgere a benzenului şi pierderea de sarcină printr-o conductă circulară de diametru d = 50 cm. Se cunosc: debitul Q = 90 m 3 /zi, coeficientul de vâscozitate dinamică µ = 6,56 10 5 cpoise şi greutatea specifică γ = 8584,8 N/m 3. Page 38

În cazul curgerii plane ( ), axial simetrice ( ), în regim permanent ( ) printr-o conductă, ecuația de curgere Navier Stokes este: Pierderea de sarcină J este: (3.11.1) (3.11.2) Ecuația Navier Stokes poate fi scrisă în funcție de pierderea de sarcină J din relația (3.11.2) ca: Prin integrarea relației (3.11.3) se obține derivata de ordin I a vitezei: Viteza u se obține integrând relația (3.11.4): Constantele de integrare C 1 şi C 2 se determină impunând condițiile de margine: - pentru y = 0: - u = 0 pentru y = r (3.11.3) (3.11.4) (3.11.5) (3.11.6) (3.11.7) Expresia vitezei de curgere prin conducta de rază r se obține introducând constantele de integrare C 1 şi C 2 din relațiile (3.11.6) şi (3.11.7) în relația (3.11.5): (3.11.8) Viteza maximă prin conductă se determină pentru valoarea lui y corespunzătoare anulării derivatei de ordin I a vitezei: Viteza benzenului, dată de relația (3.11.8) este maximă pe axul conductei (y = 0): (3.11.9) (3.11.10) Page 39

Pentru a determina viteza maximă este necesară calcularea pierderii de sarcină la curgerea benzenului prin conductă. Debitul fluidului se exprimă ca: (3.11.11) Rezolvând integrala definită (3.11.11), obținem expresia: (3.11.12) Pierderea de sarcină J se exprimă din relația (3.11.12): (3.11.13) Valoarea maximă a vitezei benzenului prin conducta de diametru d este: (3.11.14) Page 40

3.C. Mişcarea permanentă în conducte sub presiune. Pierderi de sarcină Aplicația 3.12 Să se determine coeficientul de rezistență η şi pierderea de sarcină distribuită la curgerea petrolului cu viteza v = 2,5 cm/s printr-o conductă de lungime L = 50 m şi rază r = 5 cm. Se cunoaşte vâscozitatea cinematică a petrolului ν = 0,0935 Stokes. h D h D H 1 H 2 z Figura 3.12 Pierderea de sarcină uniform distribuită la curgerea fluidelor vâscoase prin conducte Pierderea de sarcină distribuită la curgerea prin conductă se exprimă prin relația: (3.12.1) În vederea exprimării rezistenței hidraulice pe baza relațiilor empirice este necesară analiza regimului de curgere pe baza numărului lui Reynolds: Numărul lui Reynolds se exprimă ca: (3.12.2) Numărul lui Reynolds fiind mai mic decât Re critic = 2320, curgerea petrolului este laminară. Astfel, coeficientul de rezistență se calculează cu relația: Page 41

(3.12.3) Cunoscând coeficientul de rezistență se poate determina pierderea de sarcină uniform distribuită pe baza relației (13.12.1): Aplicația 3.13 Să se calculeze coeficientul de rezistență λ şi panta hidraulică în cazul curgerii benzenului cu debitul Q = 275 m 3 /zi printr-o conductă cu diametrul D = 20 cm. Se cunoaşte vâscozitatea cinematică a benzenului ν benzen = 0,075 10-4 m 2 /s. J h D h D H 1 H 2 z L Figura 3.13 Pierderea de sarcină uniform distribuită la curgerea fluidelor vâscoase prin conducte Rezistența hidraulică se calculează pe baza relațiilor empirice în funcție de regimul de curgere, stabilit pe baza numărului lui Reynolds: (3.13.1) Page 42

Regimul de curgere este turbulent, astfel coeficientul de rezistență se poate calcula pe baza relațiilor empirice: - relația lui Blasius: (3.13.2) - relația lui Prandtl: (3.13.3) Pierderea de sarcină uniform distribuită este: (3.13.4) Panta hidraulică (pierderea de sarcină unitară) J se exprimă pe baza relației (3.13.4) ca: (3.13.5) Viteza de curgere a benzenului se exprimă în funcție de debit şi de secțiunea conductei: (3.13.6) În cazul calculării coeficientul de rezistență prin relația lui Blasius (3.13.2), panta hidraulică calculată din relația (3.13.5) este: În cazul calculării coeficientul de rezistență prin relația lui Prandtl (3.13.3), panta hidraulică calculată din relația (3.13.5) este: Page 43

Aplicația 3.14 Trei conducte legate în paralel la o conductă prin care circulă debitul Q produc o pierdere de sarcină h D = 15 cm. Să se determine debitul din conducta principală Q şi lungimile celor trei conducte, aflate în condiții normale. Se cunosc debitele fluidului prin cele trei conducte: Q 1 = 2 l/s, Q 2 = 3 l/s, Q 3 = 0,5 l/s şi diametrele acestora: D 1 = 75 mm, D 2 = 100 mm, respectiv D 3 = 50 mm. Q Q 1 D 1, L 1 h D Q 3 Q 2 D 2, L 2 z A D 3, L 3 z B Figura 3.14 Conducte legate în paralel Valorile modulului de debit K, corespunzătoare diametrelor conductelor aflate în condiții normale (caracterízate prin rugozitatea n = 0,0125) se iau din tabelul inclus în notele de curs. Acestea sunt: Conducta D (mm) K (l/s) n = 0,0125 1 75 24,94 2 100 53,72 3 50 8,46 Debitul din conducta principală se exprimă ca suma debitelor care circulă prin cele trei ramificații ale conductei: (3.14.1) Pierderea de sarcină h D la trecerea fluidului printr-o conductă de lungime L se poate exprima în funcție de panta hidraulică J ca: (3.14.2) Debitul fluidului prin conductă este dat de capacitatea de curgere a conductei (modulul de debit K) şi de panta hidraulică J: (3.14.3) Page 44

Panta hidraulică J este: (3.14.4) Ridicând la pătrat relația (3.14.3) şi exprimând panta hidraulică pe baza relației (3.14.4) se obține relația: (3.14.5) Din relația (3.14.5) se exprimă lungimea conductei prin care fluidul circulă cu debitul Q şi produce o pierdere de sarcină uniform distribuită h D : (3.14.6) Aplicația 3.15 Care este pierderea de sarcină hidraulică locală la curgerea unui fluid cu viteza de 1,5 m/s printr-o conductă de secțiune variabilă, pentru care: a) diametrul creşte de la d 1 = 20 cm la d 2 = 30 cm? b) diametrul scade de la d 1 = 30 cm la d 2 = 20 cm? Să se compare rezultatele obținute în cele două cazuri. Pierderea de sarcină hidraulică locală la curgerea fluidului printr-o conductă cu secțiune variabilă se exprimă în funcție de coeficientul de rezistență locală : (3.15.1) a) În cazul lărgirii secțiunii de curgere a fluidului de la S 1 la S 2, coeficientul de rezistență locală se calculează cu relația empirică: (3.15.2) Page 45

L.E h L L.P v v z 1 z 2 Figura 3.15 Pierderea de sarcină locală la curgerea fluidelor vâscoase prin conducte de secțiuni variabile Exprimând în relația (3.15.2) secțiunile de curgere ale fluidului în funcție de diametrele d 1 şi d 2 ale conductei, se obține: (3.15.3) În acest caz, pierderea de sarcină hidraulică locală, calculată pe baza relației (3.15.2) este: b) În cazul micşorării secțiunii de curgere a fluidului de la S 1 la S 2, coeficientul de rezistență locală se calculează cu relația empirică: (3.15.4) Exprimând în relația (3.15.4) secțiunile de curgere ale fluidului în funcție de diametrele d 1 şi d 2 ale conductei, se obține: (3.15.5) Page 46

În acest caz, pierderea de sarcină hidraulică locală, calculată pe baza relației (3.15.4) este: Comparând rezultatele obținute, se constată că pierderea de sarcină hidraulică locală este mai mare în cazul măririi diametrului conductei, decât în cazul micşorării acestuia. Page 47