GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
|
|
|
- Άποφις Κουρμούλης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile importante duse pe bază coincid într-un triunghi dreptunghic, mediana din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză într-un triunghi dreptunghic care are un unghi de º, cateta opusă acestui unghi este jumătate din ipotenuză dacă ΔBC dreptunghic teorema înălţimii: D = BD DC dacă ΔBC dreptunghic formula înălţimii: D B C BC dacă ΔBC dreptunghic teorema catetei: B = BD BC dacă ΔBC dreptunghic teorema lui Pitagora: B²+C²=BC² reciproca teoremei lui Pitagora: dacă pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două atunci Δ este dreptunghic numere Pitagorice: numerele naturale care verifică teorema lui Pitagora de exemplu tripletul (,4,) sau (,,), teorema lui Thales: dacă EF BC E F EB FC E teorema fundamentală a asemănării: dacă EF BC, atunci ΔEF~ΔBC, adică F EF B C BC raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare B teorema bisectoarei în orice Δ, dacă D este bisectoare C BD DC teoremei lui Pitagora generalizată: a b c ab cos b c a teorema cosinusului: cos ab teorema sinusurilor: a b c R c m a sin sin B sin C b c a teorema medianei: m a a 4 Mediana determină triunghiuri echivalente (de aceeaşi arie) B M C RII b TRIUNGHI bh lh h l absinu p( pa)( pb)( pc), p abc 4R formula înălţimii abc de unde scoatem formula pentru raza cercului circumscris triunghiului p r de unde scoatem formula pentru raza cercului înscris în triunghi r p triunghiul echilateral abc R 4 a a a a înălţimea triunghiului echilateral h, R, r 4 6
2 triunghiul dreptunghic PTRULTERE c c Paralelogram: înălţimea triunghiului dreptunghic lh, l l sin u Dreptunghi: Ll D d Romb:, l l sin u l sin u Pătrat: Trapez: h c c, d l, diagonala pătratului d l ( Bb) h Bb, l h, l m m d sin d u, u unghiul dintre diagonale Patrulater oarecare: TRIGONOMETRIE ip ip R, c c ip r Valorile funcţiilor trigonometrice în primul cadran : x 6 4 sinx cosx tgx ctgx / / Pentru unghiurile obtuze aplicăm formulele ( x) ( x) ( ) ( ) sin x= sin, exemple: sin = sin 6, sin = sin 4 cos x= cos, exemple: cos = cos 4, cos = cos tgx = tg x, exemple: tg = tg6, tg = tg4 ctgx = ctg x, exemple: ctg = tg6, ctg = tg4 Reţinem: un unghi este obtuz dacă şi numai dacă cosu PROBLEME Se consideră triunghiul BC având aria egală cu Să se calculeze sin ştiind că B=6 şi C=
3 Se consideră triunghiul BC cu B=4, C= 7 şi BC= Să se calculeze cos B Să se calculeze aria triunghiul BC ştiind că C=, m( BC ) = şi B=4 4 Să se calculeze aria triunghiul BC ştiind că B = C = m =, ( ) Să se afle raza cercului circumcris triunghiul BC ştiind că B= şi m( C ) = 6 Fie triunghiul dreptunghic BC şi D mijlocul ipotenuzei BC Să se calculeze lungimea laturii B ştiind că C=6 şi D= 7 Se consideră triunghiul BC cu B=, C= şi BC= Să se calculeze cos B 8 Se consideră triunghiul BC cu B=, C=6 şi BC=7 Să se calculeze cos 9 Să se calculeze aria triunghiul BC ştiind că B=, C= şi m( BC ) = 6 Să se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului BC ştiind că B=6, C= şi m( BC ) = 6 Să se afle raza cercului circumcris triunghiul BC ştiind că BC=8 şi m( ) = 4 Se consideră triunghiul BC de arie egală cu 6, cu B= şi BC=8 Să se calculeze sin B Se consideră triunghiul BC de arie egală cu 7 Să se calculeze lungimea laturii B ştiind că C= şi că m( ) = 4 Să se calculeze perimetrul triunghiului BC, ştiind că B=, BC=4 şi m( B ) = 6 Să se calculeze perimetrul triunghiului BC, ştiind că B=, C=4 şi m( ) = 6 6 Să se calculeze lungimea înăţimii din în triunghiul BC ştiind că B=, C=4 şi BC= 7 Raza cercului circumscris triunghiului BC este, iar BC= Să se calculeze sin 8 Să se determine numărul real x pentru care x, x+7 şi x+8 sunt lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic 9 Să se calculeze aria triunghiului BC ştiind că B=6, C=8 şi BC= Să se calculeze sin, ştiind că în triunghiul BC se cunosc B=4, BC= şi m( C ) = 6 Să se calculeze aria triunghiului BC ştiind că B=, C=6 şi m ( ˆ) = Să se demonstreze că în orice triunghi dreptunghic de arie S şi ipotenuza de lungime a este adevărată identitatea a sin BsinC = S Să se calculeze aria triunghiului MNP dacă MN=6, NP=4 şi m( MNP ) = 4 Să se verifice că într-un triunghi dreptunghic BC În triunghiul MNP se cunosc MN=4, NP=6 şi are loc relaţia sin B + sin C = ( m( ) = 9 ) 6 Să se determine aria unui triunghi BC în care B=, C=6 şi m( MNP ) = 4 Să se calculeze aria triunghiului MNP m( ) = 6 7 În triunghiul MNP se cunosc MN=, MP= şi m( M ) = 6 Să se calculeze lungimea laturii NP 8 Un triunghi dreptunghic are ipotenuza de lungime 6 Să se determine lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei 9 În triunghiul BC se cunosc B=C=6 şi BC= 6 Să se calculeze cos B Să se calculeze aria unui triunghi dreptunghic care are un unghi cu măsura de 6 şi ipotenuza de lungime 8 Se consideră triunghiul BC în care B=8, C=4 şi m( ) = 4 Să se calculeze aria triunghiului Să se calculeze aria trunghiului MNP ştiind că MN=, NP=4 şi m( MNP ) = 6 Să se calculeze aria unui triunghi echilateral care are lungimea înălţimii egală cu 4 Se consideră triunghiul BC în care B=8, C=8 şi m( ) Să se calculeze aria triunghiului BC Să se calculeze perimetrul unui triunghi echilateral care are aria egală cu
4 6 Triunghiul BC are B=BC= şi C= Să se determine cos 7 Să se calculeze lungimea laturii C a triunghiului BC ştiind că BC=, m( BC ) = m( BC ) = 4 8 Să se calculeze cosinusul unghiului, în triunghiul BC, ştiind că B=, C= şi BC=6 9 Să se calculeze cos B, ştiind că lungimile laturilor triunghiului BC sunt B=6, C=8 şi BC= 4 Să se arate că într-un triunghi BC dreptunghic în are loc relaţia cos B + cos C = 4 Să se calculeze aria triunghiului BC, ştiind că B=C=4 şi m( ) = 6 4 Să se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului BC ştiind că m( ) = 9 m( B ) = şi B= 4 4 Să se determine lungimile catetelor unui triunghi dreptunghic ştiind că suma acestora este şi produsul lor este 44 Să se calculeze lungimea laturii C a triunghiului BC ştiind că B=, BC= şi m( B ) = 6 4 Să se calculeze aria triunghiului BC ştiind că B=C= şi m( ) = 46 Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului BC, ştiind că BC= şi m( ) = 47 Să se calculeze aria triunghiului BC ştiind că C=, BC=6 şi m( C ) = 6 48 Să se calculeze lungimea laturii B a triunghiului BC ştiind că BC=6, C= m( C) 4 49 Să se calculeze lungimile catetelor triunghiului BC, ştiind că m( ) 9, m( B) 6 şi că lungimea ipotenuzei este egală cu 8 Să se calculeze lungimea laturii C a triunghiului BC, ştiind că m( B) 4 m( C) şi că B= Să se calculeze lungimile catetelor unui triunghi dreptunghic ştiind că aria acestuia este 8, iar măsura unui unghi este egală cu 4 Să se calculeze aria paralelogramului BCD, ştiind că B=8, BC= şi m( BCD) Să se calculeze cosinusul unghiului ascuţit format de diagonalele dreptunghiului BCD ştiind că B=6 şi BC= 4 Să se determine lungimile catetelor B şi C ale triunghiului dreptunghic BC, ştiind că sin B = şi BC= Să se calculeze aria dreptunghiului BCD ştiind că C= şi m( BC) 6 Triunghiul BC este dreptunghic în C, iar raza cercului circumscris triunghiului este R= Să se calculeze lungimea laturii B 7 Să se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului BC, ştiind că sin = şi că lungimea razei cercului şi circumscris triunghiului este egală cu 4 8 Să se calculeze cos în triunghiul BC, ştiind că B=, BC= şi C=4 9 Se consideră triunghiul dreptunghic BC în şi cos B = Să se calculeze sin C 6 Ştiind că triunghiul are BC=, C= şi B=, să se calculeze cos 6 Să se calculeze raza cercului circumscris triunghiului BC, ştiind că BC=4 şi că măsura unghiului este de 6 Să se calculeze aria triunghiului MNP dacă MN=NP=6 şi m( MNP) 6 Să se demonstreze că, dacă triunghiul BC este dreptunghic în, atunci are loc relaţia B + C sin B + cos B = BC 4
5 64 Să se determine aria triunghiului BC, în care B=4, c=6 şi m( BC) 4 6 Să se determine sin( BC) în hexagonul regulat BCDEF 66 Să se determine aria triunghiului BC, ştiind că B=C= şi m( BC) 67 Să se calculeze sin în triunghiul BC, ştiind că BC=, iar lungimea razei cercului circumscris triunghiului este egală cu 68 Să se calculeze aria paralelogramului BCD, ştiind că B=8, BC= şi m( BCD) 69 Să se calculeze cosinusul unghiului ascuţit format de diagonalele dreptunghiului BCD ştiind că B=6 şi BC= 7 Să se determine lungimile catetelor B şi C ale triunghiului dreptunghic BC, ştiind că sin B = şi BC= 7 Să se calculeze aria dreptunghiului BCD ştiind că C= şi m( BC) 7 Triunghiul BC este dreptunghic în C, iar raza cercului circumscris triunghiului este R= Să se calculeze lungimea laturii B 7 Să se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului ascuţitunghic BC ştiind că B=6, C= şi că aria triunghiului BC este egală cu V4 74 Triunghiul BC are B = şi lungimea razei cercului circumscris egală cu Să se calculeze lungimea laturii C V 7 Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului BC ştiind că C = şi B = 6 V Să se calculeze lungimea razei cercului înscris în triunghiul BC care are lungimile laturilor egale cu, 4 şi V7 77 Fie triunghiul BC Să se calculeze lungimea înălţimii corespunzătoare laturii BC ştiind că B=, C=4 şi BC= V8 78 Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului BC dacă =, B= şi 4 6 B = 6 V m B = m C V 79 Triunghiul BC are B=4, BC= şi C=6 Să se arate că ( ) ( ) 8 Triunghiul BC ascuţitunghic are C = şi lungimea razei cercului circumscris egală cu Să se determine măsura unghiului B V4 8 Să se calculeze perimetrul triunghiului BC ştiind că B = 6, B= şi C = V În triunghiul BC punctele M, N, P sunt mijloacele laturilor Fie H ortocentrul triunghiului MNP Să se demonstreze că H=BH=CH V 8 Să se calculeze aria unui paralelogram BCD cu B=6, D=8 şi m( DC ) = o V 84 Fie BC un triunghi care are B=, C= şi BC=7 Să se calculeze cos V6 8 Să se calculeze perimetrul triunghiului BC ştiind că B = 4, C = şi m( BC ) = 6 o V8 86 Să se calculeze lungimea razei cercului înscris în triunghiul care are lungimile laturilor 4, şi 7 V4 87 Să se calculeze lungimea medianei duse din în triunghiul BC, ştiind că B=, C= şi BC=4 V46 88 Triunghiul BC are lungimile laturilor B=, BC=7 şi C=8 Să se calculeze m( ) V 89 Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris în triunghiul care are lungimile laturilor, 7 şi 8 V
6 9 Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului BC ştiind că BC = şi cos = V4 9 Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris unui triunghi dreptunghic care are catetele de şi V6 9 Triunghiul BC are B=, C=4 şi m( ) = 6 o Să se calculeze lungimea medianei duse din V7 9 Fie triunghiul BC care are B=C= şi BC=6 Să se calculeze distanţa de la centrul de greutate al triunghiului BC la dreapta BC V8 94 Să se determine numerele naturale a pentru care numerele a, a+ şi a+ sunt laturile unui triunghi obtuzunghic V6 9 Să se calculeze aria triunghiului BC în care M=BC=4, unde M este mijlocul lui (BC), iar m( MC ) = O V7 96 Triunghiul BC are lungimile laturilor B=, BC= şi C=7 Să se calculeze lungimea razei cercului înscris în triunghiul BC V87 97 Fie BC un triunghi cu = sin B = şi BC = 4 sin, Să se calculeze aria triunghiului BC V96 98 Fie BC un triunghi care are BC=8 şi cos = Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului BC V97 99 Triunghiul BC are lungimile laturilor B=6, BC= şi C= Să se calculeze lungimea înălţimii D Bac 6
GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică
Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică (Cls. a V a, a VI a, a VII a) UNITĂȚI DE MĂSURĂ Lungime rie Volum Capacitate DE REȚINUT! Masă 1hm 1ha 1dam 1ar 1dm 1l 1q 1kg 1t 1kg 1v 1kg
TRIUNGHIUL. Profesor Alina Penciu, Școala Făgăraș, județul Brașov A. Definitii:
TRIUNGHIUL Profesor lina Penciu, Școala Făgăraș, județul rașov Daca, si sunt trei puncte necoliniare, distincte doua câte doua, atunci ( ) [] [] [] se numeste triunghi si se noteaza cu Δ. Orice Δ determina
π } R 4. ctg:r\{kπ} R FuncŃii trigonometrice 1. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic 2. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice 1.
Trigonometrie FuncŃii trigonometrice. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic b c b sin B, cos B, tgb c C c ctgb, sin B cosc, tgb ctgc b b. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice. sin:r [-,] A c B sin(-x)
Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC
.Masurarea unghiurilor intr-un triunghi dreptunghic sin B= cateta opusa ipotenuza = AC BC cateta alaturata, cos B= AB ipotenuza BC cateta opusa AC cateta alaturata AB tg B=, ctg B= cateta alaturata AB
Varianta 1. SUBIECTUL I Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.
Varianta 1 1 a) Rezultatul calculului 3,7 1 6 este egal cu numărul b) Rădăcina pătrată a numărului 11 este egală cu numărul c) Media aritmetică a numerelor 3 + 7 şi 3 7 este egală cu a) Soluţia întreagă
T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
BREVIAR TEORETIC CU EXEMPLE CONCRETE, PENTRU PREGĂTIREA EXAMENULUI DE EVALUARE NAŢIONALĂ, clasa a VIII-a
GEOMETRIE-Evaluare Naţională 010 BREVIAR TEORETIC CU EXEMPLE CONCRETE, PENTRU PREGĂTIREA EXAMENULUI DE EVALUARE NAŢIONALĂ, clasa a VIII-a - 010 Propunător: Şcoala cu clasele I-VIII Măteşti, com. Săpoca,
Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON
CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON ABSTRACT. Articolul prezintă două rezultate deosebite legate de patrulaterul inscriptibil şi câteva consecinţe ce decurg din aceste rezultate. Lecţia se adresează
7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează
TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014
y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =
Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului
Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu,
Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu, Iaşi Repere metodice ale predării asemănării în gimnaziu
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a
Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie 207 SUBIECTUL CLASA a IV-a Într-o zi de Duminică, la Salina Turda, a venit un grup de vizitatori, băieți și de două ori mai multe fete. Au intrat în Salină 324 băieți și 400
Subiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva
LUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ SPECIALIZAREA MATEMATICI APLICATE LUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI Conducător Ştiinţific: Lect. Dr. VĂCĂREŢU
COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
SINTEZ~ A GEOMETRIEI de clasa a VII-a
1 Asem`narea SINTEZ~ A GEOMETRIEI de clasa a VII-a 1) Teorema lui Thales : O paralel` la o latur` a unui triunghi determin` pe celelalte dou` laturi segmente propor\ionale. AD AE DE BC, sau alte variante.
Subiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I
GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I 1. Fie f : R R definită prin f(x) = x(1+e x ). a) Să se arate că f este indefinit derivabilă şi că f (n) (x) = a n e x +b n xe x, ( ) n 3, ( ) x R. Deduceţi că a n+1
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1
BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1 Filiera teoretică, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profil Militar, specializarea matematică - informatică. a) Să se calculeze modulul vectorului
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Subiectul 1-similar cu subiectul 1 MEC
Subiectul 1-similar cu subiectul 1 MEC Ex.1. 1.Calculati: a) 416+564 b) 234-167 c) 32 8 d) 169:13 e) 2 3 +2-8 f) 3 4-3 +3 2 g) (4/5):2 2 +1/10 h) 48:8-12 i)8 3/4-9 j) I1-3 2I -3 2 +1 k) I5-2 5I -2 5 5
Curs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Dreapta in plan. = y y 0
Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului
Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <
Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
BAC 2007 Pro Didactica
BAC 007 Pro Didactica Testare Naţională Rezolvările variantelor 81 85 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ 9-5-007/versiune finală Cuprins Capitolul 1. Varianta 81 1. Subiectul
Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a
Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, -3 noiembrie 0 Subiecte clasa a VII-a. Fie în exteriorul triunghiului ascuţitunghic ABC, triunghiurile dreptunghice ABP şi ACT cu ipotenuzele
CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
29 Iunie Aplicaţii ale numerelor complexe în Geometrie. Absolvent: Haliţă Diana-Florina. Coordonator ştiinţific: Prof. Dr.
I UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Specializarea Matematică-Informatică, linia de studiu română 29 Iunie I 1 2 3 I 4 5 MATEM 6 MATEM 7 Bibliografie I Motivaţia:
Subiecte Clasa a VIII-a
(40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
BAC 2007 Pro Didactica
BAC 007 Pro Didactica Testare Naţională Rezolvările variantelor 1 5 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ --007/versiune finală Cuprins Capitolul 1. Varianta 1 3 1. Subiectul
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2014 Clasa a V-a
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2014 Clasa a V-a 1. Aflați cel mai mare număr de cinci cifre astfel încât cea de-a patra cifră să fie mai mare decât cea de-a cincea, a treia să fie
Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Testul nr. 1. Testul nr. 2
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1986 Clasa a V-a 1. Este numărul 1+2+3+ +1985 par? 2. Să se afle cel mai mic număr natural care împărțit la 5 dă restul 4, împărțit la 6 dă restul
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra
ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Adevărul matematic, indiferent unde, la Paris sau la Toulouse, este unul şi acelaşi (Blaise Pascal) Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom
DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0
DEFINITIVAT 1993 TIMIŞOARA PROFESORI I 1. a) Metodica predării noţiunii de derivată a unei funcţii. b) Să se reprezinte grafic funci a sinx, dacă x (0,2π] f : [0,2π] R, f(x) = x. 0, dacă x = 0 2. Fie G
Principiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Subiectul I Pe foaia de examen scrieți numai rezultatele. 5p , , atunci numărul natural n este egal cu.
ȘCOLR JUDEȚEN H U N E D O R SIMULRE JUDEȚENĂ EXMENULUI DE EVLURE NȚIONLĂ 018 PENTRU ELEVII CLSEI VIII- N ȘCOLR 017-018 Matematică Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de ore.
BAC 2007 Pro Didactica
BAC 007 Pro Didactica Testare Naţională Rezolvările variantelor 1 5 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ 5--007/versiune finală Cuprins Capitolul 1. Varianta 1 1. Subiectul
Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Integrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Subiecte Clasa a VI-a
Clasa a VI Lumina Math Intrebari (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns
Cercul de Matematică Gimnaziu, zona Balş 25 mai 2007 Şcoala cu clasele I-VIII Bobiceşti
Cercul de Matematică Gimnaziu, zona Balş 25 mai 2007 Şcoala cu clasele I-VIII Bobiceşti Testul la clasă Pregătirea clasei pentru test Testul pe care îl propunem evaluează o unitate de învăţare de aproximativ
CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2016 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
ADOLF HAIMOVICI, 206 Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii. Se consideră predicatul binar p(x, y) : 4x + 3y = 206, x, y N și mulțimea A = {(x, y) N N 4x+3y = 206}. a) Determinați
PUNCTUL.DREAPTA. PLANUL
PUNCTUL.DREPT. PLNUL 1.Punctul : notatii:,,c, E=F P Q P Q 2.Dreapta d sau dreapta (d) Semidreapta O, notata [O O sau (O, adica fara O 3.Segmentul, notat [] M (),[),(] M este mijlocul lui [] daca M=M=/2
MATEMATICĂ. Clasa I. AlegeŃi răspunsul corect: 1. Vecinii lui 7 sunt: a)1 şi 3 ; b) 7 şi 9 ; c) 6şi 8 ; d) 6 şi 7 ; e) 8 şi 9.
MATEMATICĂ Clasa I AlegeŃi răspunsul corect: 1. Vecinii lui 7 sunt: a)1 şi ; b) 7 şi 9 ; c) 6şi 8 ; d) 6 şi 7 ; e) 8 şi 9.. Care dintre numerele următoare este un număr impar? a) 5 ; b) 8 ; c) 4 ; d) 1
Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Vectori liberi-seminar 1
Vectori liberi-seminar ) Determinati α R astfel incat vectorii ā = m+ n si b = m+α n sa fie coliniari, unde m, n sunt necoliniari. ) Demonstrati ca urmatorii trei vectori liberi sunt coplanari: ā = ī j
OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A V-A
OLIMPIAA E MATEMATICĂ 3 februarie 014 CLASA A V-A 1.) Ultima cifră a unui număr natural de patru cifre este 7. acă mutăm cifra 7 de pe locul unităţilor pe locul miilor, ob inem un număr cu 86 mai mare
3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale
3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.
Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi
GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 0, 009, Iaşi Cuprins 1 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI. STRUCTURA AFINĂ 4 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI.
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1996 Clasa a V-a
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1996 Clasa a V-a 1. Să se determine două numere naturale a și b astfel încât c.m.m.d.c.pa,bq 12 și c.m.m.m.c.pa, bq 216. Câte soluții are problema?
Curs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
P A R A D O X U R I M A T E M A T I C E U N D E E S T E G R E Ş E A L A?
P A R A D O X U R I M A T E M A T I C E U N D E E S T E G R E Ş E A L A? INTRODUCERE Un paradox matematic este un raţionament matematic care, deşi aparent este correct, conţine o greşeală care duce la
Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
MATEMATICA a I -a. 4. Care şir, are numerele scrise de la cel mai mare la cel mai mic?
MATEMATICA a I -a 1. Ce figură geometrică urmează în şirul dat? E). A) B) C) D). Câte triunghiuri sunt în mulńimea figurilor geometrice? A) 1 B) 0 C) D) 4 E) 3 3. Câte elemente sunt în exteriorul mulńimii
Concursul de matematica Arhimede Editia a IV-a. Etapa I-a 25 noiembrie Subiecte clasa a III-a
Editia a IV-a. Etapa I-a 5 noiembrie 006. Subiecte clasa a III-a I. Aflati cea mai mica suma de forma în care s-au folosit doar cifrele 0,,, 4, 5, 6 o singura data. Aratati variantele posibile. II. a)
Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!)
Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!) Prof. ION CĂLINESCU,CNDG, Câmpulung Voi prezenta o abordare simplă a determinării cercului lui Euler, pe baza unei probleme de loc geometric. Preliminarii:
Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
2.3. Inegalităţi şi limite Convergenţă, monotonie, mărginire Limite remarcabile Limita unei funcţii...
Cuprins GEOMETRIE 1 Vectori 1 11 Segmente orientate Vectori în plan 1 12 Operaţii cu vectori 3 13 Vectori coliniari 8 14 Vectori de poziţie 10 15 Drepte paralele, concurente Colinearitate 12 16 Produsul
5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a X-a, MAI 2010 CLASA A IV-A
Ediţia a X-a, 4 5 MAI 00 CLASA A IV-A I. Suma a două numere naturale este 75. Dacă adunăm de patru ori primul număr cu de trei ori al doilea număr obţinem 40. Aflaţi numărul cel mai mare. Eugenia Miron
VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007
VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 VARIANTA SUBIECTUL I. a) Să se determine ecuația dreptei care trece prin punctul A(2; 5;3) și este paralelă cu dreapta x = y 2 4 6 = z +3 9. b) Să se determine valoarea
METODE ŞI ETAPE NECESARE PENTRU DETERMINAREA
ETOE ŞI ETAPE ECESARE PETRU ETERIAREA UGHIULUI A OUĂ PLAE PROF. IACU ARIA, ŞCOALA ROUL LAEA, ORAVIłA, CARAŞ- SEVERI (). Unghi diedru. Fie α şi β două semiplne vând ceeşi frontieră (muchie)d. Se numeşte
Capitole speciale de geometrie pentru profesori. Camelia Frigioiu
apitole speciale de geometrie pentru profesori amelia Frigioiu Galaţi, 2010 2 uprins 1 Geometrie sintetică plană 1 1.1 oncurenţa liniilor importante într-un triunghi............ 1 1.1.1 oncurenţa medianelor,
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a 1. Fiind dat un număr natural nenul n, vom nota prin n! produsul 1 2 3... n (de exemplu, 4! = 1 2 3 4). Determinați numerele naturale
5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ GRIGORE MOISIL EDIŢIA a II - a, 8 aprilie 2006
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ GRIGORE MOISIL EDIŢIA a II - a, 8 aprilie 006 SUBIECTE PENTRU CLASA a III - a Rezolvaţi şi alegeţi varianta de răspuns corectă, haşurând în căsuţa de răspunsuri pentru
Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi
Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:
EDITURA PARALELA 45. Matematică de excelenţă pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă. clasa a VIII-a. mate 2000 excelenţă
Maranda Linţ Dorin Linţ Rozalia Marinescu Dan Ştefan Marinescu Mihai Monea Steluţa Monea Marian Stroe Matematică de excelenţă pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă clasa a VIII-a mate 000
:: Test 1 Partea I Partea II
:: Test 1 1. Numărul care este cu 1 mai mic decât 79 este.. Primele două zecimale exacte ale numărului 5 sunt.. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 4 şi 6 este. 4. Rezultatul calculului : 9 5 1800
BISECTOAREI GLISANTE
ÎN LEGĂTURĂ CU TEOREMA BISECTOAREI GLISANTE de ANDREI ECKSTEIN, TIMIŞOARA În aceast articol ne propunem să reunim diverse proprietăţi cunoscute, legate de teorema bisectoarei glisante şi de bogatul ei
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
STRATEGII DE REZOLVARE A SUBIECTELOR DE LA SIMULAREA EVALUĂRII NAȚIONALE FEBRUARIE 2016
STRATEGII DE REZOLVARE A SUBIECTELOR DE LA SIMULAREA EVALUĂRII NAȚIONALE FEBRUARIE 016 Ștefănuț Ciochină 1 Aurora Valea 1 1. Tipuri de itemi Noțiunea de item presupune existența a trei factori esențiali:
V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma:
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,... (pe fiecare
EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
GRADUL II n α+1 1
GRADUL II 2007 BUCUREŞTI 1. Fie A un inel cu unitate. Notăm cu Z(A) = {a A ( )x A,ax = xa}. Să se arate că: a) Z(A) este un subinel comutativ al lui A (numit centrul inelului A). b) Dacă B este un alt
Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică. Algebră (1)
Universitatea din ucureşti.7.4 Facultatea de Matematică şi Informatică oncursul de admitere iulie 4 omeniul de licenţă alculatoare şi Tehnologia Informaţiei lgebră (). Fie x,y astfel încât x+y = şi x +
GA XI. 138 Să se calculeze produsul distanţelor unui punct oarecare al hiperbolei : d) ;
c) 9 6 0 d) 6 0 0 Culegere de robleme e) 9 6 0 f) 0 9 6 9 GA XI. Pentru hierbola ( H ): să se calculee aria triunghiului format de asimtotele hierbolei (H) şi dreata ( d ): 9. a) b) 6 c) d) e) f) GA XI.
SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
este egal cu Rezultatul calculului : 5 este egal cu. 1. Rezultatul calculului 9 3: 3 este egal cu.
Evaluare Nationala clasa a VIII-a matematica 010-017 010 model 1 Rezultatul calculului 64 :8 + 8 este egal cu 010 spec 1 Rezultatul calculului 64 :3 este egal cu 011 model 01 model 1 Rezultatul calculului