Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Transcript

1 Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 49 x 3 7 x +2 =. 4. Determinaţi numărul submulţimilor cu patru elemente ale mulţimii {,, 2, 3, 4, 5}. 5. ÎnreperulcartezianxOy seconsiderăpunctelea(2,3),b(2,)şic(2,5). Determinaţi coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC. 6. Calculaţi tg α, ştiind că sinα =, α (,) Pentru x, y numere reale convenabile definim x y = x+y. +xy a) Arătaţi că G = (,) este o parte stabilă a lui R faţă de legea de compoziţie. b) Arătaţi că (G, ) este un grup abelian. x c) Arătaţi că funcţia f : G R, f(x) = dt este un izomorfism între grupurile t 2 (G, ) şi (R,+). 2. Fie sistemul de ecuaţii liniare omogene x+y z = x y +z = y z =. a) Determinaţi rangul matricii sistemului. b) Precizaţi două soluţii pentru acest sistem. c) Dacă (x,y,z ) şi (x 2,y 2,z 2 ) sunt două soluţii ale sistemului omogen, atunci arătaţi că pentru orice numere reale α, β tripletul (αx +βx 2,αy +βy 2,αz +βz 2 ) este soluţie a sistemului.. Fie funcţia f : (, ) R, f(x) = xln 2 x. a) Determinaţi intervalele de monotonie ale funcţiei f. b) Scrieţi ecuaţia tangentei la graficului funcţiei f în punctul de abscisă x =, situat pe graficul lui f. e 2 e f(x) lnx dx. 2. Fie funcţia f : R R, f(x) = x 2n+ +x, n N. a) Arătaţi că f este o funcţie strict crescătoare. b) Calculaţi lim (f(x) x 2n+ )e x dx. n c) Determinaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei g : [,2] R, definit prin g(x) = f(x) x. x 2n

2 Modelul 5 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = 2+i. Calculaţi (z 2) Determinaţi coordonatele vârfului parabolei asociate funcţiei de gradul doi f : R R, f(x) = x 2 +2x. 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x 2 2x+ =. 4. Calculaţi suma S = Cn Cn +Cn 2 Cn ( ) n Cn. n 5. În reperul cartezian xoy se consideră punctele A( 2,), B(2, ) şi C(,). Determinaţi lungimea vectorului AM, ştiind că M este mijlocul segmentului BC. 6. Dacă BC =, AB = 6 şi AC = 8, atunci determinaţi raza cercului circumscris triunghiului ABC.. Pe mulţimea numerelor reale R se defineşte legea de compoziţie dată de x y = xy +x+y. a) Arătaţi că x y = (x+)(y +) pentru orice numere reale x, y. b) Determinaţi elementele simetrizabile faţă de legea de compoziţie (. x c) Dacă se consideră funcţia f : R M 2 (R), f(x) = ), atunci arătaţi că matricea f(x ( )) este inversabilă pentru orice x R. 2. Se consideră polinomul f = X 3 X a) Determinaţi rădăcinile x, x 2, x 3 ale polinomului f. b) Calculaţi x 2 +x2 2 +x2 3. c) Determinaţi un polinom g de gradul doi, cu coeficienţi reali astfel încât g(x ) = x, g(x 2 ) = x 3, g(x 3 ) = x 2.. Fie funcţia f : R R definită prin { x f(x) = 2 +x+ dacă x < e x dacă x. a) Calculaţi limf(x). x b) Calculaţi f s ()+f d (). c) Arătaţi că funcţia F : R R definită prin F(x) = { x 3 + x x+25 dacă x < e x +26 dacă x. este o primitivă a lui f. 2. Fie funcţia f : R\{ } R, f(x) = x. x+ a) Scrieţi ecuaţiile asimptotelor la graficul funcţiei f. n b) Calculaţi I n = f(x)dx, n N. lim I nn. 2

3 Modelul 6 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = +2i. Calculaţi (z ). 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 5x+4 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2. x 2 x Rezolvaţi ecuaţia 3 x 3 3x 2 +3x + =. 4. Determinaţi numărul tuturor posibilităţilor de a premia elevii dintr-o clasă formată cu 25 de copii, ştiind că sunt acordate câte un premiu I, II, III şi o menţiune. 5. Scrieţi ecuaţia dreptei g care trece prin punctul A(,) şi este paralelă cu dreapta d de ecuaţie y = 2x+. 6. Dacă în triunghiul ABC se cunosc lungimile laturilor BC = 3, AB = 2, AC = 5, atunci calculaţi sin A.. Fie matricea A = M 3 (R). a) Calculaţi A 2. b) Arătaţi că A n = 3 n A, pentru orice n N. c) Pentru a =, rezolvaţi sistemul liniar omogen de matrice A. 2. În Z 3[X] se consideră polinomul f = X 3 +X 2 +, unde Z 3 = {,, 2}. a) Calculaţi f( )+f( )+f( 2). b) Determinaţi rădăcinile din Z 3 ale polinomului f. c) Determinaţi câtul şi restul împărţirii polinomului f la polinomul g = X 2 + 2X.. Fie funcţia f n : R R, f n (x) = xn, n N. e x a) Calculaţi f n(x), x R. b) Calculaţi limx n 2 f n (x). x f 3 (x)dx. 2. Fie funcţia f : R R, f(x) = x+ x. a) Studiaţi continuitatea şi derivabilitatea lui f. b) Scrieţi ecuaţia tangentei la graficului funcţiei f în punctul de abscisă x =, situat pe graficul lui f

4 Modelul 7 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi +i z Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 2x+m = şi verifică relaţia x x 2 = 6, atunci să se determine parametrul real m. 3. Determinaţi câte numere naturale impare, de două cifre, se pot forma cu cifrele,, 2 şi Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 2 ( 2x ) = log 4 x. 5. În reperul cartezian xoy se consideră vectorii AB = 3 i +m j, CD = (n+) i + 4 j, unde m, n sunt numere reale. Determinaţi m şi n ştiind că AB = CD. 6. Dacă ctga = 3, atunci calculaţi sina+ 3cosa sina 2 3cosa.. Fie matricea A = ω ω 2, ω 2 ω unde ω este una dintre rădăcinile complexe ale ecuaţiei x 3 =. a) Calculaţi det A. b) Calculaţi A 2. c) Arătaţi că pentru orice n N, A 2n M 3 (R). 2. Se consideră polinomul cu coeficienţi reali f = X 3 3X 2 +ax. a) Calculaţi f(). b) Determinaţi a R astfel încât X 2 2X + să dividă polinomul f. c) Pentru a = 3 rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia f(2 x ) =.. Fie funcţia f : R R, f(x) = x+2 a) Calculaţi limf(x). x b) Calculaţi f (x). x 2 +x+. 2. Fie funcţiile f, f 2 : [, 2] R, f (x) = sinx, f sinx+cosx 2(x) = cosx a) Calculaţi b) Calculaţi c) Dacă I = (f (x)+f 2 (x)) dx. (f 2 (x) f (x)) dx. f (x)dx, atunci calculaţi lim I n. sinx+cosx. 4

5 Modelul 8 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z =. Calculaţi i +i z25 +z Dacă x, x 2 şi x 3 sunt rădăcinile ecuaţiei x 3 2x 2 + 2x + 7 =, atunci să se calculeze x 2 +x2 2 +x Rezolvaţi ecuaţia 4 x 2 x+ 8 =. 4. Calculaţi suma Cn +2C n +4C2 n + +2n Cn n, n N. 5. Scrieţi ecuaţia dreptei g care trece prin punctul A(, ) şi este perpendiculară pe dreapta d de ecuaţie y = x Dacă în triunghiul ABC se cunosc lungimile laturilor BC = 6, AB = 5, AC = 3, atunci calculaţi cos A.. Fie matricea A = a b a 2 b 2 M 3 (R). a) Calculaţi det A. b) Determinaţi inversa matricii A, pentru a = 2, b = 3. c) Rezolvaţi sistemul liniar omogen de matrice A, pentru a =, b =. 2. În Z 5[X] se consideră polinomul f = X 4 +X 2 + 3, unde Z 5 = {,, 2, 3, 4}. a) Calculaţi f( ). b) Determinaţi rădăcinile din Z 5 ale polinomului f. c) Să se descompună polinomul f în factori ireductibili în Z 5 [X].. Fie funcţia f : D R, f(x) = x, D R. x 2 a) Determinaţi domeniul maxim de definiţie al lui f. b) Determinaţi ecuaţiile asimptotelor la graficul funcţiei f. n+2 lim f(x) x 2 dx. n+ 2. Fie funcţia f : R R, f(x) = x 2 2 x. f(x) f() f(x) f() a) Calculaţi limitele lim şi lim. xր x xց x b) Studiaţi continuitatea şi derivabilitatea lui f. 5