32 1. Συμπλήρωσε στον πίνακα τα τετράγωνα και τους κύβους των αριθμών α 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 α 2 α 3 Τετράγωνο του αριθμού α ονομάζεται η δεύτερη δύναμη του α. Είναι: α 2 = α α. Κύβος του αριθμού α ονομάζεται η τρίτη δύναμη του α. Είναι: α 3 = α α α. Για α = 8 Υπολογίζουμε το τετράγωνο του 8 Υπολογίζουμε τον κύβο του 8 α 2 = 8 2 α 3 = 8 3 = 8 8 = 8 8 8 = 64 = 64 8 =512
33 Για α = 9 Υπολογίζουμε το τετράγωνο του 9 Υπολογίζουμε τον κύβο του 9 α 2 = 9 2 α 3 =9 3 = 9 9 Κάνουμε τον πολλα- = 9 9 9 = 81 πλασιασμό = 81 9 =729 από αριστερά προς τα δεξιά. Για α = 10 Υπολογίζουμε το τετράγωνο του 10 Υπολογίζουμε τον κύβο του 10 α 2 = 10 2 α 3 = 10 3 = 10 10 = 10 10 10 = 100 = 100 10 = 1.000 Για α = 11 Υπολογίζουμε το τετράγωνο του 11 Υπολογίζουμε τον κύβο του 11 α 2 = 11 2 α 3 = 11 3 = 11 11 = 11 11 11 = 121 = 121 11 = 1331 Για α = 12 Υπολογίζουμε το τετράγωνο του 12 Υπολογίζουμε τον κύβο του 12 α 2 = 12 2 α 3 = 12 3 = 12 12 = 12 12 12 = 144 = 144 12 = 1728
34 Για α = 13 Υπολογίζουμε το τετράγωνο του 13 Υπολογίζουμε τον κύβο του 13 α 2 = 13 2 α 3 = 13 3 = 13 13 = 13 13 13 = 169 = 169 13 = 2.197 Για α = 14 Υπολογίζουμε το τετράγωνο του 14 Υπολογίζουμε τον κύβο του 14 α 2 = 14 2 α 3 = 14 3 = 14 14 = 14 14 14 = 196 = 196 14 = 2.744 Για α = 15 Υπολογίζουμε το τετράγωνο του 15 Υπολογίζουμε τον κύβο του 15 α 2 = 15 2 α 3 = 15 3 = 15 15 = 15 15 15 = 225 = 225 15 = 3.375 Για α = 16 Υπολογίζουμε το τετράγωνο του 16 Υπολογίζουμε τον κύβο του 16 α 2 = 16 2 α 3 = 16 3 = 16 16 = 16 16 16 = 256 = 256 16 = 4.096
35 Για α = 17 Υπολογίζουμε το τετράγωνο του 17 Υπολογίζουμε τον κύβο του 17 α 2 = 17 2 α 3 = 17 3 = 17 17 = 17 17 17 = 289 = 289 17 = 4.913 Για α = 18 Υπολογίζουμε το τετράγωνο του 18 Υπολογίζουμε τον κύβο του 18 α 2 = 18 2 α 3 = 18 3 = 18 18 = 18 18 18 = 324 = 324 18 = 5.832 Για α = 19 Υπολογίζουμε το τετράγωνο του 19 Υπολογίζουμε τον κύβο του 19 α 2 = 19 2 α 3 = 19 3 = 19 19 = 19 19 19 = 361 = 361 19 = 6.859 Για α = 20 Υπολογίζουμε το τετράγωνο του 20 Υπολογίζουμε τον κύβο του 20 α 2 = 20 2 α 3 = 20 3 = 20 20 = 20 20 20 = 400 = 400 20 = 8.000
36 Για α = 25 Υπολογίζουμε το τετράγωνο του 25 Υπολογίζουμε τον κύβο του 25 α 2 = 25 2 α 3 = 25 3 = 25 25 = 25 25 25 = 625 = 625 25 = 15.625 Συμπληρώνουμε τον πίνακα: α 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 α 2 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 625 α 3 512 729 1000 1331 1728 2197 2744 3375 4096 4913 5832 6859 8000 15625 2. Γράψε με τη μορφή των δυνάμεων τα γινόμενα: α) 5 5 5 5 5 5 β) 8 8 8 8 8 8 6 6 6 γ) 1 1 1 1 1 1 δ)α α α α ε) x x x στ) 2 2 2 2 α α α Για να γράψουμε με τη μορφή δύναμης ένα γινόμενο ίδιων παραγόντων, γράφουμε ως βάση της δύναμης τον ίδιο παράγοντα και ως εκθέτη της δύναμης το πλήθος των ίδιων παραγόντων. Εάν το γινόμενο αποτελείται από τουλάχιστον δύο διαφορετικούς παράγοντες που επαναλαμβάνονται, εργαζόμαστε για καθέναν από αυτούς όπως περιγράψαμε και πολλαπλασιάζουμε τις δυνάμεις.
37 α) 5 5 5 5 5 5 Πρόκειται για ένα γινόμενο 6 ίδιων παραγόντων ίσων με το 5. Επομένως: Βάση της δύναμης είναι ο επαναλαμβανόμενος (ίδιος) παράγοντας, δηλαδή το 5. Εκθέτης της δύναμης είναι ο αριθμός που εκφράζει το πλήθος των ίδιων παραγόντων, δηλαδή το 6. Συνεπώς είναι: 5 5 5 5 5 5 = 5 6 παράγοντες ίσοι με 5 6 β) 8 8 8 8 8 8 6 6 6 Θα εφαρμόσουμε την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού, για να γράψουμε με τη μορφή δύναμης καθένα από τα γινόμενα ίδιων (ίσων) παραγόντων που απαρτίζουν το γινόμενο που δίνεται. Είναι: 8 8 8 8 8 8 6 6 6 = 8 6 6 παράγοντες ίσοι με 8 3 παράγοντες ίσοι με 6 6 3 γ) 1 1 1 1 1 1 Πρόκειται για ένα γινόμενο 6 ίδιων παραγόντων ίσων με το 1. Επομένως: Βάση της δύναμης είναι ο επαναλαμβανόμενος (ίδιος) παράγοντας, δηλαδή το 1. Εκθέτης της δύναμης είναι ο αριθμός που εκφράζει το πλήθος των ίδιων παραγόντων, δηλαδή το 6. Συνεπώς είναι: 111111 = 1 6 παράγοντες ίσοι με 1 6 δ) α α α α Πρόκειται για ένα γινόμενο 4 ίδιων παραγόντων ίσων με το α. Επομένως: Βάση της δύναμης είναι ο επαναλαμβανόμενος (ίδιος) παράγοντας, δηλαδή το α. Εκθέτης της δύναμης είναι ο αριθμός που εκφράζει το πλήθος των ίδιων παραγόντων, δηλαδή το 4. 4 Συνεπώς είναι: α α α α = α 4 παράγοντες ίσοι με α
38 ε) x x x Πρόκειται για ένα γινόμενο 3 ίδιων παραγόντων ίσων με το x. Επομένως: Βάση της δύναμης είναι ο επαναλαμβανόμενος (ίδιος) παράγοντας, δηλαδή το x. Εκθέτης της δύναμης είναι ο αριθμός που εκφράζει το πλήθος των ίδιων παραγόντων, δηλαδή το 3. Συνεπώς είναι: x x x = x 3 παράγοντες ίσοι με x 3 στ) 2 2 2 2 α α α Θα εφαρμόσουμε την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού, για να γράψουμε με τη μορφή δύναμης καθένα από τα γινόμενα ίδιων (ίσων) παραγόντων που απαρτίζουν το γινόμενο που δίνεται. Είναι: 2 2 2 2 α α α = 2 α 4 παράγοντες 3 παράγοντες ίσοι με 2 ίσοι με α 4 3 3. Υπολόγισε τις δυνάμεις: 2 1, 2 2, 2 3, 2 4, 2 5, 2 6, 2 7, 2 8, 2 9, 2 10. Θα εφαρμόσουμε τον ορισμό. Είναι: ν α = α α α...α, για ν > 1. ν παραγοντες Επιπλέον, ορίζουμε α 1 = α, για κάθε α φυσικό. Υπολογίζουμε τις δυνάμεις: 2 1 =2 εξ ορισμού είναι α 1 = α, για κάθε α φυσικό.
39 2 2 = 2 2= 4 3 2 = 2 2 2= 2 2 2= 4 2= 8 4 2 = 2 2 2 2= 2 3 2= 8 2= 16 5 4 2 = 2 2 2 2 2 = 2 2= 16 2= 32 6 5 2 = 2 2 2 2 2 2 = 2 2= 32 2= 64 7 2 = 2 2 2 2 2 2 2= 2 6 2 = 64 2 = 128 8 2 = 2 2 2 2 2 2 2 2= 2 7 2 = 128 2 = 256 9 2 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2= 2 8 2 = 256 2 = 512 10 9 2 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 2 2 = 512 2 = 1024 4. Βρες τα τετράγωνα των αριθμών: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 και 90. Τετράγωνο ενός αριθμού ονομάζεται η δεύτερη δύναμη του αριθμού. Αφού εφαρμόσουμε τον ορισμό της δύναμης (α 2 = α α), θα αναλύσουμε καθέναν από τους ίσους παράγοντες του γινομένου σε γινόμενο με παράγοντα το 10. Κατόπιν εφαρμόζοντας την αντιμεταθετική και προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού, θα ομαδοποιήσουμε τους ίδιους παράγοντες, για να εκμεταλλευτούμε τις γνωστές δυνάμεις του 10. Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό επί 10, 100, 1000,... γράφουμε στο τέλος του αριθμού τόσα μηδενικά όσα έχει κάθε φορά ο παράγοντας 10, 100, 1000...
40 Αφού εφαρμόσουμε τον ορισμό της δύναμης (α 2 = α α), θα αναλύσουμε καθέναν από τους ίσους παράγοντες του 10 2 = 10 10 α 2 = α α =100 Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 10 συμπληρώνουμε στο τέλος του αριθμού ένα μηδενικό. 20 2 = 20 20 α 2 = α α =2 10 2 10 αναλύουμε καθέναν από τους (ίσους) παράγοντες του =2 2 10 10 εφαρμόζουμε την αντιμεταθετική ιδιότητα. = 4 100 εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα. = 400 Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 100 συμπληρώνουμε 30 2 = 30 30 α 2 = α α =3 10 3 10 αναλύουμε καθέναν από τους (ίσους) παράγοντες του =3 3 10 10 εφαρμόζουμε την αντιμεταθετική ιδιότητα. = 9 100 εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα. = 900 Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 100 συμπληρώνουμε 40 2 = 40 40 α 2 = α α =4 10 4 10 αναλύουμε καθέναν από τους (ίσους) παράγοντες του =4 4 10 10 εφαρμόζουμε την αντιμεταθετική ιδιότητα. = 16 100 εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα. = 1600 Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 100 συμπληρώνουμε
41 50 2 = 50 50 α 2 = α α =5 10 5 10 αναλύουμε καθέναν από τους (ίσους) παράγοντες του =5 5 10 10 εφαρμόζουμε την αντιμεταθετική ιδιότητα. = 25 100 εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα. = 2500 Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 100 συμπληρώνουμε 60 2 = 60 60 α 2 = α α =6 10 6 10 αναλύουμε καθέναν από τους (ίσους) παράγοντες του =6 6 10 10 εφαρμόζουμε την αντιμεταθετική ιδιότητα. = 36 100 εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα. = 3600 Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 100 συμπληρώνουμε 70 2 = 70 70 α 2 = α α =7 10 7 10 αναλύουμε καθέναν από τους (ίσους) παράγοντες του =7 7 10 10 εφαρμόζουμε την αντιμεταθετική ιδιότητα. = 49 100 εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα. = 4900 Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 100 συμπληρώνουμε 80 2 = 80 80 α 2 = α α =8 10 8 10 αναλύουμε καθέναν από τους (ίσους) παράγοντες του =8 8 10 10 εφαρμόζουμε την αντιμεταθετική ιδιότητα. = 64 100 εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα. = 6400 Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 100 συμπληρώνουμε
42 90 2 = 90 90 α 2 = α α =9 10 9 10 αναλύουμε καθέναν από τους (ίσους) παράγοντες του =9 9 10 10 εφαρμόζουμε την αντιμεταθετική ιδιότητα. = 81 100 εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα. = 8100 Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 100 συμπληρώνουμε