Σελίδα από 53 Κεφάλαιο 3 Πίνακες Περιεχόµενα 3 Ορισµοί Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 3 3 Πράξεις µε Πίνακες Πρόσθεση Πινάκων Πολλαπλασιασµός Πίνακα µε Αριθµό Πολλαπλασιασµός Πινάκων ιωνυµικό Ανάπτυγµα για Αντιµεταθετικούς Πίνακες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 3 33 Κλιµακωτή Μορφή Πίνακα και Γραµµικά Συστήµατα Κλιµακωτή Μορφή Πίνακα Αλγόριθµος Μετασχηµατισµού Πίνακα σε Αναγµένο Κλιµακωτό Πίνακα Εφαρµογή στα Γραµµικά Συστήµατα Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 33 34 Αντιστρέψιµοι Πίνακες Στοιχειώδεις Πίνακες Αλγόριθµος Υπολογισµού Αντίστροφου Πίνακα Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 34 Στο προηγούµενο κεφάλαιο είδαµε ότι για να λύσουµε ένα γραµµικό σύστηµα, αρκεί να εστιάσουµε την προσοχή µας στους συντελεστές των αγνώστων και στους σταθερούς όρους Για παράδειγµα, µπορούµε να λύσουµε το σύστηµα x y+ z = x+ 5y+ z = 0 3x 4y+ 3z = χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 5 0 3 4 3 Μια τέτοια διάταξη ονοµάζεται πίνακας Ο σκοπός του Κεφαλαίου 3 είναι: να µελετήσουµε τις βασικές ιδιότητες των πράξεων πινάκων να µάθουµε να λύνουµε γραµµικά συστήµατα µε τη χρήση πινάκων και να κατανοήσουµε την έννοια του αντίστροφου πίνακα και να µάθουµε έναν πρακτικό τρόπο υπολογισµού του Ο χαρακτήρας αυτού του κεφαλαίου είναι έντονα υπολογιστικός και θα δώσουµε έµφαση σε σχετικούς αλγορίθµους και παραδείγµατα Πέρα από τις εφαρµογές των αλγορίθµων, θα ασχοληθούµε και µε τις αποδείξεις τους Τονίζουµε ότι οι έννοιες που θα µελετήσουµε εδώ είναι θεµελιακές για τα επόµενα κεφάλαια
Σελίδα από 53 3 Ορισµοί Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούµε µε βασικούς ορισµούς που αφορούν στους πίνακες Πριν δώσουµε τον ορισµό του πίνακα ας θεωρήσουµε τη διάταξη 00 00 003 Αθήνα 4 4 4 Μυτιλήνη 39 37 37 όπου φαίνονται οι µέγιστες θερµοκρασίες τα έτη 00, 00, 003 στις πόλεις Αθήνα και Μυτιλήνη Βλέπουµε για παράδειγµα, ότι η τελευταία γραµµή µας πληροφορεί για τις θερµοκρασίες της Μυτιλήνης και η τελευταία στήλη για τις θερµοκρασίες το 003 Η διάταξη 4 4 4 39 37 37 είναι ένα παράδειγµα ενός 3 πίνακα Όπως και σε προηγούµενα κεφάλαια, µε F συµβολίζουµε ένα από τα σύνολα RC, Ένας πίνακας Α µε στοιχεία από το F είναι µια διάταξη στοιχείων a του F σε σχήµα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο της µορφής a a a a a a A = am a am Λέµε ότι το µέγεθος (ή ο τύπος) του παραπάνω πίνακα είναι m ή ότι ο πίνακας είναι ένας m πίνακας Για παράδειγµα, ο πίνακας 0 5 είναι ένας 3 ( ) 0 7 3 πίνακας, ο είναι και ο είναι 3 3 Ο πίνακας Α που είδαµε πιο πάνω συµβολίζεται µε ( a ), i =,, m, j =,, Πιο απλά χρησιµοποιούµε συχνά το συµβολισµό A= ( a ij ) όταν είναι σαφές ποια είναι τα m, Η πρώτη γραµµή του προηγούµενου πίνακα είναι η διατεταγµένη άδα ( a, a,, a ), η δεύτερη γραµµή είναι η διατεταγµένη m άδα ( a, a,, a ) a κοκ Η πρώτη στήλη του προηγούµενου πίνακα είναι η διατεταγµένη m άδα a, am την οποία γράφουµε σε κατακόρυφη διάταξη για να είναι άµεσος ο συσχετισµός µε ij ij
Σελίδα 3 από 53 a τον αρχικό πίνακα Η δεύτερη στήλη είναι η διατεταγµένη m άδα a, κοκ am Παρατηρούµε ότι το στοιχείο βρίσκεται πάνω στη i γραµµή και στη j στήλη Λέµε ότι το στοιχείο a βρίσκεται στη θέση (, i j) του πίνακα ij a ij Το σύνολο των m πινάκων µε στοιχεία από το F συµβολίζεται µε M ( F) Παράδειγµα Έστω ( aij ) M 3( F), όπου aij = i j Τότε o ( a ij ) είναι ένας πίνακας µε δυο γραµµές και τρεις στήλες Στη θέση (,) υπάρχει το στοιχείο a = =, στη θέση (,) το a = = 0κλπ Εποµένως ο πίνακας 0 ( a ij ) είναι ο 3 3 Ορισµός ( ij ) ( ij ) Ένας A= a, B= b δυο m πίνακες µε στοιχεία από το F Θα λέµε ότι οι Α, Β είναι ίσοι και θα γράφουµε j =,, m A= Bαν ισχύει aij = bij για κάθε i =,, mκαι για κάθε Επισηµαίνουµε ότι αν δυο πίνακες είναι ίσοι, τότε είναι του αυτού µεγέθους Παράδειγµα x Έχουµε = αν και µόνο αν x = και y = 4 Επίσης για κάθε 4 6 y 6 3 4 z έχουµε, γιατί οι πίνακες αυτοί διαφέρουν στα z 3 z 3 στοιχεία που υπάρχουν στη θέση (,) Στη συνέχεια θα αναφερθούµε σε πίνακες ειδικής µορφής που θα εµφανιστούν συχνά στα παρακάτω Ένας m πίνακας λέγεται τετραγωνικός αν m= ηλαδή ένας πίνακας είναι τετραγωνικός αν το πλήθος των γραµµών του ισούται µε το πλήθος των στηλών του Για παράδειγµα, ο είναι 8 6 τετραγωνικός ενώ ο δεν είναι Το σύνολο M m m( F) των 6 5 3 τετραγωνικών m m πινάκων µε στοιχεία από το F συµβολίζεται πιο απλά µε M ( ) m F
Σελίδα 4 από 53 Τα διαγώνια στοιχεία ενός m πίνακα ( ) είναι τα στοιχεία a, a,, akk, όπου k = mi{ m, } Λέµε ότι αυτά βρίσκονται πάνω στη διαγώνιο του πίνακα A= a ij λέγεται άνω τριγωνικός αν για Ένας τετραγωνικός πίνακας ( ) κάθε i > j έχουµε a = 0 ij a ij ηλαδή ένας τετραγωνικός πίνακας λέγεται άνω τριγωνικός αν τα στοιχεία που βρίσκονται κάτω από την διαγώνιο είναι ίσα µε 0 Για παράδειγµα οι πίνακες + i 4 + i, 0 3 είναι άνω τριγωνικοί 0 3 0 0 5 Ένας τετραγωνικός πίνακας A= ( a ij ) λέγεται κάτω τριγωνικός αν για κάθε i< j έχουµε a = 0 ηλαδή ένας τετραγωνικός πίνακας ij λέγεται άνω τριγωνικός αν τα στοιχεία που βρίσκονται πάνω από την διαγώνιο είναι ίσα µε 0 Για παράδειγµα οι πίνακες + i 0 0 + i 0, 3 0 είναι κάτω τριγωνικοί 3 4 5 Ένας τετραγωνικός πίνακας ( a ) λέγεται διαγώνιος αν για κάθε i j ij έχουµε a ij = 0 ηλαδή ένας τετραγωνικός πίνακας είναι διαγώνιος αν κάθε στοιχείο που δεν βρίσκεται στη διαγώνιο είναι ίσο µε 0 Για 0 0 0 παράδειγµα, ο πίνακας 0 3 0 είναι διαγώνιος αλλά ο 0 3 0 0 0 3 0 0 3 δεν είναι Ένας τετραγωνικός πίνακας ( a ) λέγεται συµµετρικός αν για κάθε i, j ισχύει a ij = a ji Για παράδειγµα, οι πίνακες ij 3, 3 0 είναι συµµετρικοί Ο πίνακας 3 3 0 ( a ij ) = 3 7 δεν είναι συµµετρικός, γιατί τα στοιχεία που 0 6 είναι στα κουτάκια δεν είναι ίσα, δηλαδή a = 3 = a Βλέπουµε ότι σε ένα συµµετρικό πίνακα στοιχεία που βρίσκονται σε συµµετρικές θέσεις ως προς τη διαγώνιο είναι ίσα
Σελίδα 5 από 53 Έστω A= ( a ) M ( F) Ο ανάστροφος πίνακας του Α είναι ο ij m x y t x t A = ( aji ) M m( F) Για παράδειγµα, αν A =, τότε A = 0 y 0 3 3 t Βλέπουµε ότι οι γραµµές (αντίστοιχα, οι στήλες) του A είναι οι στήλες (αντίστοιχα, γραµµές) του Α 3 Παρατήρηση Από τους ορισµούς έπεται άµεσα ότι ένα πίνακας Α είναι συµµετρικός αν και µόνο αν t για κάθε πίνακα Α έχουµε ( A ) = A t t A= A Στα επόµενα, όταν δεν διευκρινίζουµε αν τα στοιχεία ενός πίνακα ανήκουν στο ή στο C θα εννοούµε ότι ανήκουν στο C R 33 Επεξεργασµένα Παραδείγµατα x 9 ) Έστω A=, B= Βλέπουµε ότι ισχύει A= Bαν και 3 3 y µόνο αν x = 9, y = 4x 6y 4 ) Έστω A=, B= Έχουµε A= B αν και x+ 3y 3 4 3 4x 6y = 4 µόνο αν το σύστηµα έχει λύση Πολλαπλασιάζοντας τη x+ 3y = 4 δεύτερη ισότητα µε και αφαιρώντας από την πρώτη παίρνουµε 0= 4, που είναι άτοπο Άρα για κάθε x, y έχουµε A B 5x 3) Έστω A = 7 0 Βλέπουµε ότι ο Α είναι συµµετρικός αν x + 6 0 3 και µόνο αν x + 6= 5x x 5x+ 6= 0 x=,3 A= M ( F), B= 3 j+ i M ( F ) Τότε ο Α είναι i+ j 4) Έστω ( ) ( ) 0 0 i+ j j+ i συµµετρικός αφού για κάθε i, j έχουµε a = = = a Αντίθετα, ο Β δεν είναι συµµετρικός αφού για παράδειγµα b = 3 + = 5, b = 3 + = 7 x + 0 5) Ο πίνακας 0 3 0 είναι διαγώνιος αν και µόνο αν έχουµε 0 x 0 x + = 0 και x = 0, δηλαδή αν και µόνο αν x = ij ji
Σελίδα 6 από 53 Ασκήσεις 3 x 0 5 0 Να βρεθούν οι x, y τέτοιοι ώστε = 3 y 3 6 Να εξεταστεί αν υπάρχουν x, y τέτοιοι ώστε 3 x+ x 6 = y 5 x y 6 3 Αληθεύει ότι ο πίνακας A= (3i+ 5 j) M0 0( F) είναι συµµετρικός; 4 x 4 Έστω A = Να βρεθούν οι τιµές του x τέτοιες ώστε ο Α 0 3 είναι a κάτω τριγωνικός b άνω τριγωνικός 5 Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές Στην περίπτωση που µια πρόταση είναι σωστή δώστε µια απόδειξη ιαφορετικά ένα αντιπαράδειγµα αρκεί a ο ανάστροφος κάθε άνω τριγωνικού πίνακα είναι κάτω τριγωνικός b κάθε διαγώνιος πίνακας είναι συµµετρικός c κάθε πίνακας που είναι και άνω τριγωνικός και κάτω τριγωνικός είναι διαγώνιος Απαντήσεις / Υποδείξεις 3 x= 5, y = 6 Λύνοντας το σύστηµα που προκύπτει βρίσκουµε 3 όχι 4 a x =,, i, i b κάθε x C 5 α σωστό, b σωστό, c σωστό 5 x= 5, y =
Σελίδα 7 από 53 3 Πράξεις µε Πίνακες Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούµε µε τον αλγεβρικό λογισµό πινάκων, δηλαδή µε τις πράξεις πινάκων Θα δούµε ότι οι πράξεις αυτές έχουν αρκετά κοινά στοιχεία µε τις αντίστοιχες πράξεις πραγµατικών ή µιγαδικών αριθµών Υπάρχουν, όµως, και σηµαντικές διαφορές που θα τονίσουµε ιδιαίτερα Πρόσθεση Πινάκων 3 Ορισµός Έστω A= ( a ), B= ( b ) M ( F) Το άθροισµα, Α+Β, των Α και Β είναι ο πίνακας ij ij m ( ij ij ) A+ B= a + b Για παράδειγµα, αν A 5 4 3 x = και B =, τότε 3 4 y 0 5 4 3 x A+ B= + = 3 4 y 0 + ( 4) + 3 5+ x 3 5 5+ x = = + 3+ y 4+ 0 0 3+ y 4 ηλαδή για να σχηµατίσουµε το άθροισµα δυο πινάκων προσθέτουµε στοιχεία που βρίσκονται σε αντίστοιχες θέσεις 3 Παρατήρηση Επισηµαίνουµε ότι το άθροισµα A+ B δυο πινάκων ορίζεται µόνο όταν οι Α, Β έχουν το ίδιο µέγεθος Στην περίπτωση αυτή, ο πίνακας Α + Β έχει το ίδιο µέγεθος µε τους Α,Β Πολλαπλασιασµός Πίνακα µε Αριθµό 33 Ορισµός Έστω A= ( a ) M ( F) και k F Το γινόµενο kα του k µε τον Α είναι ο πίνακας ka = ( ka ij ) ij m Για παράδειγµα, αν k = και A 5 =, τότε 3 4 5 4 0 A = = ( ) 3 4 6 8 ηλαδή για να σχηµατίσουµε το γινόµενο ka πολλαπλασιάζουµε κάθε στοιχείο του πίνακα Α µε τον αριθµό k Παρατηρούµε ότι ο πίνακας ka έχει το ίδιο µέγεθος µε τον Α
Σελίδα 8 από 53 Οι κυριότερες ιδιότητες του αθροίσµατος πινάκων και του γινοµένου αριθµού µε πίνακα συνοψίζονται στην παρακάτω πρόταση Πριν τη διατυπώσουµε ας καθιερώσουµε τους επόµενους συµβολισµούς Έστω AB, Mm ( F) Ορίζουµε A= ( ) A A B= A+ ( B ) Επίσης τον m πίνακα που όλα τα στοιχεία του είναι ίσα µε 0 συµβολίζουµε µε 0 m (ή πιο απλά 0 αν το µέγεθός του είναι σαφές) δηλαδή 0 0 0m = 0 0 Για παράδειγµα, αν A 5 4 3 x = και B =, τότε 3 4 y 0 5 4 3 x A B= = 3 4 y 0 ( 4) 3 5 x 5 5 x = = 3 y 4 0 3 y 4 34 Πρόταση Έστω ABC,, Mm ( F) και k, k F Τότε ισχύουν τα εξής + + = + + ) 5 k( A+ B) = ka+ kb ( A B) C A ( B C A+ 0 m = A 6 ( ) k + k A= k A+ k A 3 A A = 0 m 7 ( kk ) A= k( ka) 4 A+ B= B+ A 8 A= A και 0A = 0 m Απόδειξη Η επαλήθευση των παραπάνω ιδιοτήτων είναι σε κάθε περίπτωση υπόθεση ρουτίνας Ενδεικτικά, ας δούµε την ιδιότητα 5 Έστω A= ( a ), B= ( b ) Από τους ορισµούς έχουµε ( ) ( ij ij ) ( ij ij ) ( ka ij kb ij ) ( ka ij ) ( kb ij ) = k ( a ) + k ( b ) = k A+ k B ij ij ij ( ) k A+ B = k a + b = k a + b = = + = + = Παρατήρηση Χρησιµοποιώντας τις σχέσεις 5 και 8 της προηγούµενης πρότασης βλέπουµε ότι A= A+ A,3A= A+ A+ A κοκ Επίσης έχουµε A= A A, 3A= A A A κοκ ij
Σελίδα 9 από 53 35 Παραδείγµατα 0 0 Έστω A= 3, B= 3 Τότε 4 5 3 30 0 3A B= 3 ( ) 3 3 ( ) ( 3) = 3 3( ) 4 5 3 0 4 0 3 4 0 0 6 9 6 = 6 ( ) 9 ( 6) = 6 3 8 0 6 8 3 ( 0) 0 = 4 5 3 Να βρεθούν όλα τα λ, µ R τέτοια ώστε λ A+ µ B= 03, όπου οι πίνακες Α,Β είναι όπως στο προηγούµενο παράδειγµα Έχουµε 0 0 λ A+ µ B= λ 3 + µ 3 = 4 5 λ + µ 0 = λ µ 3λ 3 µ λ + 4µ λ + 5µ Συνεπώς λ A+ µ B= 0 3 λ + µ 0 0 0 λ µ 3λ 3µ = 0 0 λ + 4µ λ + 5µ 0 0 λ + µ = 0 λ µ = 0 λ + 4µ = 0 3λ 3µ = 0 λ + 5µ = 0 Λύνοντας το σύστηµα αυτό, βλέπουµε ότι υπάρχει µοναδική λύση λ = 0, µ = 0 Πολλαπλασιασµός Πινάκων Ο ορισµός του πολλαπλασιασµού πινάκων, που θα δούµε σε λίγο, ίσως φαντάζει µη αναµενόµενος Για να δώσουµε ένα κίνητρο του ορισµού αυτού, ας δούµε ένα παράδειγµα που σχετίζεται µε γραµµικά συστήµατα
Σελίδα 0 από 53 36 Παράδειγµα Θεωρούµε το 3 σύστηµα ax+ a y+ a3z = c () ax+ a y+ a3z = c Ο πίνακας των συντελεστών είναι ο a a a3 A = a a a3 Ας υποθέσουµε ότι οι µεταβλητές x, yz, εκφράζονται µέσω νέων µεταβλητών X, Y, Z ως εξής x = b X + b Y + b Z 3 y = b X + b Y + b Z 3 3 3 33 z = b X + b Y + b Z Ο πίνακας των συντελεστών του τελευταίου συστήµατος είναι ο b b b3 B= b b b3 b3 b3 b 33 Αν επιθυµούµε να εκφράσουµε το αρχικό σύστηµα χρησιµοποιώντας τις νέες µεταβλητές Χ,Υ,Ζ, τότε αντικαθιστούµε τις εξισώσεις () στις () Βρίσκουµε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ab + ab + ab X+ ab + ab + ab Y+ ab + ab + ab Z= c 3 3 3 3 3 3 3 33 a b a b a b X a b a b a b Y a b a b a b Z c + + 3 3 + + + 3 3 + 3 + 3 + 3 33 = Ο πίνακας των συντελεστών του συστήµατος αυτού είναι ο ab + ab + ab ab + ab + ab ab + ab + ab a b + a b + a b a b + a b + a b a b + a b + a b 3 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3 33 () Χρησιµοποιώντας το συνήθη συµβολισµό για αθροίσµατα, ο παραπάνω πίνακας γράφεται 3 3 3 arbr arbr arbr3 r= r= r= 3 3 3 arbr arbr arbr3 r= r= r= ηλαδή στη θέση (, i j) υπάρχει το στοιχείο ab Ο πίνακας (3) ονοµάζεται το γινόµενο των Α,Β 3 r= ir rj (3) 37 Ορισµός Έστω ( ij ) l m( ) A= a M F και B = ( b ) M ( F) Τότε το γινόµενο των Α και Β, st που συµβολίζεται µε ΑΒ, είναι ο l πίνακας µε στοιχεία από το F όπου στη θέση (i,j) m m υπάρχει το στοιχείο ab = ab + ab + + a b r= ir rj i j i j im mj
Σελίδα από 53 a d g 3 Για παράδειγµα, αν A=, B= b, τότε το γινόµενο ΑΒ είναι ο 4 5 6 e h c f k 3 πίνακας a d g 3 a+ b+ 3c d + e+ 3f g+ h+ 3k AB = b e h 4 5 6 = 4a+ 5b+ 6c 4d + 5e+ 6f 4g+ 5h+ 6k c f k Επίσης έχουµε a 3 a+ b+ 3c b 4 5 6 = 4a+ 5b+ 6c c 3 x y x+ 3z y+ 3w = 4 5z w 4x+ 5z 4y+ 5w και 4 ( 3 ) = (( ) 4+ 3 5) = ( 7 ) 5 Σχηµατικά, το στοιχείο του γινοµένου ΑΒ στη θέση (i,j) προκύπτει από τη γραµµή i του Α και τη στήλη j του Β όπως δείχνει το σχήµα b j b j ai ai aim = ai bj + ai b j + + aimbmj b mj 38 Παρατήρηση Τονίζουµε ότι το γινόµενο ΑΒ ορίζεται µόνο αν το πλήθος των στηλών του Α ισούται µε το πλήθος των γραµµών του Β, δηλαδή αν ο Α είναι l m πίνακας και ο Β m Στην περίπτωση αυτή, ο ΑΒ είναι ένας l πίνακας Στην επόµενη πρόταση περιγράφονται µερικές ιδιότητες του γινοµένου πινάκων 0 0 Με I συµβολίζουµε τον πίνακα 0 0 του οποίου τα διαγώνια 0 0 στοιχεία είναι ίσα µε και τα υπόλοιπα µε 0 Αυτός ονοµάζεται ο ταυτοτικός πίνακας Όταν είναι σαφές πιο είναι το συνήθως γράφουµε Ι στη θέση του I 39 Πρόταση Έστω Έστω Έστω Έστω A M ( F), B M ( F), C M ( F) Τότε ( AB) C = A( BC ) k l l m m A M ( F), B, C M ( F) Τότε AB ( + C) = AB+ AC l m m AB, M ( F), C M ( F) Τότε ( A+ B) C = AC+ BC l m m k F, A M ( F), B M ( F) Τότε k( AB) = ( ka) B= A( kb) l m m
Σελίδα από 53 Έστω A M ( ) m F Τότε ImA= AI = A, 0l ma = 0l και A 0 l= 0 l Απόδειξη Οι παραπάνω ιδιότητες αποδεικνύονται µε απλούς υπολογισµούς Ας δούµε ενδεικτικά την 3 Με A συµβολίζουµε το στοιχείο του πίνακα Α στη θέση (, i j) ij Χρησιµοποιώντας τους ορισµούς του γινοµένου και του αθροίσµατος πινάκων παρατηρούµε ότι το στοιχείο του ( A+ B) C στη θέση (, i j) είναι το (( ) ) ( ) ( ) m ij m ir rj ir ir rj r= r= AirCrj BirCrj ( AC) ( BC) ij ( AC BC) ij ij r= r= m A+ B C = A+ B C = A + B C = = + = + = + Το δεξιό µέλος είναι το στοιχείο του AC + BC στη θέση (, i j) Άρα ( A+ B) C = AC+ BC Σηµείωση Έστω Α ένας τετραγωνικός πίνακας Τότε ορίζεται το γινόµενο ΑΑ Ο πίνακας αυτός συµβολίζεται µε A Με A συµβολίζουµε το γινόµενο AA A, όπoυ το Α εµφανίζεται φορές, N Παρατήρηση Ας επανέλθουµε στο Παράδειγµα 36 που είδαµε πριν τον ορισµό του γινοµένου πινάκων Χρησιµοποιώντας γινόµενα πινάκων, το σύστηµα () µπορεί να γραφεί ως x c A y = c z και το () ως X x B Y = y Z z Τότε το (3) γράφεται X c AB Y = c Z Οι Προτάσεις 34 και 39 µας πληροφορούν ότι οι πράξεις πινάκων, όταν αυτές ορίζονται, ικανοποιούν µερικές από τις ιδιότητες που ικανοποιούν οι αντίστοιχες πράξεις των πραγµατικών ή µιγαδικών αριθµών Όµως υπάρχουν σηµαντικές διαφορές Μερικές από αυτές είναι οι εξής m
Σελίδα 3 από 53 Προσοχή Έστω AB, M ( F ) δυο πίνακες Τότε ορίζονται τα γινόµενα ΑΒ και ΒΑ Τονίζουµε ότι είναι δυνατό να έχουµε AB BA Πράγµατι, αν 0 A, B 6 = =, τότε AB = και BA = 3 0 3 4 5 Έστω A Ml m( F), B Mm ( F) εν αληθεύει γενικά ότι ( AB) = A B Πράγµατι, µε τους πίνακες του προηγούµενου παραδείγµατος έχουµε 4 36 ( AB) =, A B = Το σωστό είναι ( AB) = ABAB 0 9 8 7 Έστω A Ml m( F), B Mm ( F) Είναι δυνατό να έχουµε AB = 0 l ακόµα και αν A 0 l m, B 0m Πράγµατι, αν A = και B =, 0 0 τότε AB = 0 0 Έστω A Ml m( F), B, C Mm ( F) Αν ισχύει AB = AC, τότε γενικά δεν έπεται ότι B = C Πράγµατι, αν οι Α, Β είναι όπως στο προηγούµενο παράδειγµα, τότε AB = A 0, αλλά B 0 Αριθµοµηχανή πινάκων Yπάρχει ένα java script που πραγµατοποιεί απλές πράξεις 3 3 πινάκων Επειδή γενικά δεν ισχύει η ισότητα AB = BA, θα πρέπει να είµαστε προσεκτικοί σε υπολογισµούς παραστάσεων µε πίνακες Για παράδειγµα, για να υπολογίσουµε σωστά το ανάπτυγµα (A+ B) χρησιµοποιούµε τις ιδιότητες και 3 της Πρότασης 39 Έχουµε ( A+ B) = ( A+ B)( A+ B) = = A( A+ B) + B( A+ B) = A + AB+ BA+ B Συνεπώς είναι δυνατό να έχουµε ( ) ( ) A B A AB B A+ B A + AB+ B Μάλιστα, βλέπουµε ότι + = + + αν και µόνο αν AB = BA Από τώρα και στο εξής όταν γράφουµε ένα γινόµενο πινάκων χωρίς να διευκρινίζουµε τα µεγέθη τους, θα εννοούµε ότι αυτά είναι τέτοια ώστε το γινόµενο να ορίζεται
Σελίδα 4 από 53 ιωνυµικό Aνάπτυγµα για Αντιµεταθετικούς Πίνακες υο πίνακες AB, λέγονται αντιµεταθετικοί αν ισχύει AB = BA Παρατηρούµε ότι αν οι Α, Β είναι αντιµεταθετικοί τότε ( ) AB = ABAB = AABB = A B, όπως επίσης ( AB) = A B, =,, Υπενθυµίζουµε ότι αν k, N µε k, τότε ο διωνυµικός συντελεστής k ( )( k+ ) είναι ο φυσικός αριθµός = Επίσης ορίζουµε = και k k 0 = 0 αν k > ή αν k < 0 Έτσι το ορίζεται για κάθε φυσικό αριθµό και k k 5 543 κάθε ακέραιο k Για παράδειγµα, = = 0 Υπενθυµίζουµε ότι για τους 3 3 διωνυµικούς συντελεστές ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες =, k k + = +, k k k k k (διωνυµικό ανάπτυγµα) ( x + y) = x y, για κάθε xy C, k = 0 k Είδαµε πριν ότι για πίνακες δεν αληθεύει γενικά η σχέση ( A+ B) = A + AB+ B Όµως στην ειδική περίπτωση που οι πίνακες Α,Β αντιµετατίθενται, τότε η ισότητα αυτή ισχύει Πιο γενικά έχουµε το εξής αποτέλεσµα 30 Πρόταση ( ιωνυµικό ανάπτυγµα για αντιµεταθετικούς πίνακες) Έστω AB, M ( F) Αν ισχύει AB = BA, τότε για κάθε N έχουµε k ( A+ B) = A B k (4) k = 0 k Απόδειξη Χρησιµοποιούµε επαγωγή στο Για =, η (4) ισχύει Έστω ότι ισχύει η (4) Χρησιµοποιώντας την Πρόταση 39 έχουµε + ( A+ B) = ( A+ B) ( A+ B) = A k B k = ( A + B ) = k = 0 k k k k k A B A+ A B B k= 0k k= 0k k k k+ k Από την υπόθεση AB = BA παίρνουµε A B A= A B Συνεπώς
Σελίδα 5 από 53 k k k k A B A+ A B B= k k k= 0 k= 0 k+ k k k+ = A B + A B = k= 0k k= 0k + k+ k k+ k = A B + A B = k= 0k k= k + k+ k = + A B = k= 0k k= k + + = + A k= 0k k= k A k = 0 k k + + + k k = A B k = 0 k k+ + + k k = + = B B k = Ο ταυτοτικός m m πίνακας I m αντιµετατίθεται µε κάθε A Mm( F) Επειδή k έχουµε Im = Im για κάθε k N, από την προηγούµενη πρόταση συµπεραίνουµε το εξής αποτέλεσµα 3 Πόρισµα Για κάθε A M ( ) m F έχουµε k ( A+ I) = A k = 0 k 4 4 3 Για παράδειγµα, ( A+ I) = A + 4A + 6A + 4A+ I Σηµειώνουµε ότι η ισότητα στην προηγούµενη πρόταση γράφεται k k A k A = A = k= 0k k= 0 k k= 0k 4 3 Χρησιµοποιώντας το δεξιό µέλος θα γράφαµε ( A+ I) = I + 4A+ 6A + 4A + A 4 3 Εφαρµογή Να υπολογιστεί ο πίνακας Λύση 006 B, όπου 3 B = 0 0 0
Σελίδα 6 από 53 0 3 Ένας τρόπος λύσης είναι να θέσουµε A = 0 0 Τότε B = A+ I και 0 0 0 από το Πόρισµα 3 έχουµε 006 006 006 006 006 005 006 B = ( A+ I) = I + A+ A + + A + A 005 Με πράξεις βρίσκουµε διαδοχικά 0 0 6 0 0 0 3 A = 0 0 0, A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Άρα A = 0 για κάθε 3 Τελικά 006 006 006 B = I + A+ A = 0 0 0 3 0 0 6 006 006 = 0 0 + 0 0 0 0 0 = + 0 0 0 0 0 0 0 0 006 006 006 3 + 6 006 = 0 0 0 Σηµείωση Παρατηρούµε ότι για κάθε N, B = I + A+ A Στην Παράγραφο 3 ορίσαµε τον ανάστροφο πίνακα Σχετικά µε τις πράξεις πινάκων έχουµε την ακόλουθη πρόταση 33 Πρόταση t t t Έστω AB M ( F) Τότε ( A+ B) = A + B, m Έστω A M ( F), B M ( F) Τότε ( AB) Απόδειξη Ας συµβολίσουµε µε l m m A ij t t t = B A το στοιχείο του Α στη θέση (i,j) Από τον ορισµό του ανάστροφου και της πρόσθεσης πινάκων έχουµε (( A+ B) t ) = ( A+ B) = A + B = ( A t ) + ( B t ) ij ji ji ji ij ij Από τον ορισµό του ανάστροφου και του πολλαπλασιασµού πινάκων έχουµε m m m t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( AB) ) = ( AB) = A B = A B = B A = BA t t t t t ij ji jr ri rj ir ir rj r= r= r= ij
Σελίδα 7 από 53 34 Επεξεργασµένα Παραδείγµατα 3 0 Έστω 0 3 A=, B=, C Ποιες από τις 0 4 = 0 5 παραστάσεις A + B, A + C, AB, BA, AC ορίζονται; Λύση Σύµφωνα µε τις Παρατηρήσεις 3 και 38 µόνο οι παραστάσεις A+ C, AC ορίζονται Να βρεθούν όλοι οι πραγµατικοί πίνακες Χ τέτοιοι ώστε AX = 0, όταν i) A =, ii) A = Λύση x y Έστω X = z w Για την περίπτωση i) έχουµε x y 0 0 AX = 0 = z w 0 0 x+ z y+ w 0 0 = x+ z y+ w 0 0 x+ z = 0, y+ w= 0 z w Συνεπώς X =, όπου zw R, z w Για την περίπτωση ii) έχουµε x y 0 0 AX = 0 = z w 0 0 x+ z y+ w 0 0 = x+ z y+ w 0 0 x+ z = 0, y+ w= 0, x+ z = 0, y+ w= 0 Λύνοντας το σύστηµα παίρνουµε τη µοναδική λύση x= y = z = w= 0 Συνεπώς X = 0 3 Έστω Α ένας πίνακας τέτοιος ώστε A = I Αποδείξτε ότι για τον πίνακα ( B = A+ I) ισχύει B = B Λύση Αφού οι Α και Ι αντιµετατίθενται, έχουµε ( A+ I) = A + A+ I Άρα B = ( A+ I) = ( A + A+ I) = ( I + A+ I) = ( A+ I) = B 4 4 4
Σελίδα 8 από 53 4 Έστω A = Να υπολογισθούν οι δυνάµεις A για =,,3, 0 Λύση ιαπιστώνουµε ότι A = =, 0 0 0 3 3 A = A A= = 0 0 0 Θα αποδείξουµε επαγωγικά ως προς ότι A = για κάθε = 0,,3, Για = η αποδεικτέα σχέση προφανώς ισχύει Υποθέτουµε ότι + A = και θα αποδείξουµε ότι A + = 0 0 Έχουµε + + A = A A= = 0 0 0 5 Έστω B = Να υπολογιστούν οι δυνάµεις B για =,,3, 0 Λύση ος τρόπος Θέτουµε A = και παρατηρούµε ότι B = A+ I 0 Χρησιµοποιώντας το Πόρισµα 3 και το αποτέλεσµα του προηγουµένου παραδείγµατος, παίρνουµε k k k k= 0k k= 0 k B = A = = 0 0 0 k= k k= k 0 k = 0 k ος τρόπος Εφαρµόζουµε τη µέθοδο που είδαµε στην Εφαρµογή 3 Έστω A 0 = Τότε B = I + A και A = 0 Άρα 0 0 k A = 0, k =,3, Τότε B = ( I + A) = ( I) + ( I) A= 0 0 = I + A= + = 0 0 0 0 3 ος τρόπος Με πράξεις διαπιστώνουµε ότι
Σελίδα 9 από 53 A = = 0 0 3 A = A A= = 0 0 0 Εικάζουµε ότι A =,,, = 0 Θα αποδείξουµε τη σχέση αυτή µε επαγωγή Για =, η αποδεικτέα σχέση είναι προφανής Έστω A 3 3 3 = Τότε 0 + A = A A= 0 0 + + ( + ) = = + 0 0 Σηµείωση: Βρήκαµε δύο διαφορετικές παραστάσεις για το ίδιο αποτέλεσµα εν είναι δύσκολο να αποδειχθούν οι ταυτότητες = k = 0 k k = k = 0 k Πράγµατι, για να αποδείξουµε την πρώτη ταυτότητα θέτουµε x = k στο διωνυµικό ανάπτυγµα ( + x) = x Τότε k = 0 k = (+ ) = k = 0 k Για τη δεύτερη ταυτότητα: Από τον ορισµό των διωνυµικών συντελεστών προκύπτει ότι = ( k+ ) για k k k+ k k Άρα τα πολυώνυµα ( + x) = x και k x είναι k = 0 k k = k ίσα Θέτοντας x = προκύπτει το ζητούµενο 6 Έστω A = Αφού αποδείξτε ότι A A+ I = 0, υπολογίστε 3 0 την παράσταση A ( A I) Λύση Με απλές πράξεις διαπιστώνουµε ότι 3 4 0 0 0 A A+ I = + = 4 5 3 0 0 0
Σελίδα 0 από 53 Τη σχέση A A+ I =0 γράφουµε στη µορφή AA ( I) = I, οπότε υψώνοντας στη δύναµη 0 παίρνουµε 0 0 0 ( AA ( I)) = ( ) I = I Επειδή οι πίνακες Α, Α Ι αντιµετατίθενται, δηλαδή Α(Α Ι) = (Α Ι)Α, το αριστερό µέλος ισούται µε A 0 ( A I) 0 Συνεπώς Τέλος έχουµε 0 0 A ( A I) = I 0 0 0 A A I = A A I A I ( ) ( ) ( = I( A I) = A I 0 = = 3 0 7 9 7 Έστω A = 4 5 + 6 9 i) Αποδείξτε ότι A =, για κάθε =,,3, 4 6 ii) Μια αυτοκινητοβιοµηχανία παράγει δύο µοντέλα αυτοκινήτου, έστω x και y Έστω x (αντίστοιχα y ) το κόστος για την παραγωγή στο πλήθος αυτοκίνητα µοντέλου x (αντίστοιχα, y) Γνωρίζουµε ότι x = 7x 9y + y+ = 4x 5y Πόσο κοστίζει η παραγωγή 000 αυτοκινήτων µοντέλου x και 000 µοντέλου y αν x = 5 και y = 3; Λύση i) Χρησιµοποιούµε επαγωγή στο Για = η αποδεικτέα σχέση προφανώς ισχύει Υποθέτουµε ότι για συγκεκριµένο > + 6 9 A = Έχουµε 4 6 6 9 7 9 + + A = A A= = 4 64 5 7 + 4 36 9 54+ 45 = 8+ 4 4 36 5 + 30 + 6( + ) 9( + ) 4( + ) 6( + ) ii) Οι σχέσεις x = 7x 9y y + + = 4x 5y γράφονται µε τη χρήση πινάκων ως x 7 9 x x = = A + y + 4 5y y Εφαρµόζοντας διαδοχικά την τελευταία σχέση παίρνουµε )
Σελίδα από 53 x+ x x = A = AA = y y y + x x 3 A = A = y y x A y Άρα x+ x 5 = A = A y+ y 3 Θέτοντας = 999 και χρησιµοποιώντας την i) παίρνουµε x000 999 5 + 6 999 9 999 5 = A y = = 000 3 4 999 6 9993 5 + 3 999 300 = 3+ 999 00 x = 300, y = 00 Συνεπώς 000 000
Σελίδα από 53 Ασκήσεις 3 ) Έστω A 0 = και B Να βρεθούν οι πίνακες 3 = 3 AB A B A t,,( ) ) Να υπολογιστούν οι δυνάµεις, =,, 3) Έστω A M( F), A=, όπου Αποδείξτε ότι ( A I)( A I) = I 0 0 4) Να βρεθούν όλοι οι πίνακες Χ τέτοιοι ώστε X = X 0 0 0 0 5) Να βρεθούν οι πραγµατικοί πίνακες που αντιµετατίθενται µε κάθε πραγµατικό πίνακα 6) Έστω AB, Ml m( F) και C Mm ( F) a Αν η πρώτη γραµµή του Α ταυτίζεται µε την πρώτη γραµµή του Β, εξηγείστε γιατί η πρώτη γραµµή του AC ταυτίζεται µε την πρώτη γραµµή του BC b Αν ο C έχει δυο ίσες στήλες, τι συµπεραίνετε για τις στήλες του AC; 7) Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές ή λάθος Αν µια πρόταση είναι σωστή, δώστε µια απόδειξη ιαφορετικά, ένα αντιπαράδειγµα αρκεί a Το άθροισµα δυο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός b Το γινόµενο δυο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός c Το άθροισµα δυο συµµετρικών πινάκων είναι συµµετρικός d Το γινόµενο δυο συµµετρικών πινάκων είναι συµµετρικός t e Για κάθε m πίνακα Α, ο AA ορίζεται και είναι τετραγωνικός 8) Να υπολογιστούν οι στές δυνάµεις των πινάκων a 0 0 b a 0
Σελίδα 3 από 53 0 3 0 0 0 4 9) Να βρεθούν όλοι οι πίνακες Χ τέτοιοι ώστε X = 0 4 3 0) Έστω A = Αφού αποδείξτε ότι A 4A+ I = 0, υπολογίστε 005 006 την παράσταση A ( A 4 I) a b ) Έστω A = Επαληθεύσατε ότι A ( a + d) A + ( ad bc) I = 0 c d 3 3 3 ) Αποδείξτε ότι A = A+ I, =,,3,, όπου 4 3 A = 0 3) Έστω πραγµατικοί αριθµοί x, x, που ικανοποιούν τη σχέση x = 4x 3x, = 3,4, Να εκφραστεί ο x συναρτήσει των x, x, Απαντήσεις / Υποδείξεις 3 8 4 3 7 6 ) Οι απαντήσεις είναι αντίστοιχα,, 9 3 3 4 7 ) = 3) Υπολογίστε και αντικαταστήσετε το A 4) Οι διαγώνιοι πίνακες 5) Χρησιµοποιήστε την προηγούµενη άσκηση Εξετάστε ποιοι πίνακες 0 αντιµετατίθενται µε τον Η απάντηση στο ερώτηµα της 0 0 άσκησης είναι οι διαγώνιοι πίνακες που τα διαγώνια στοιχεία είναι ίσα 6) b) Υπάρχουν δυο ίσες στήλες 7) Οι απαντήσεις είναι αντίστοιχα a) σωστό, b) σωστό, c) σωστό, d) λάθος, e) σωστό Ένα αντιπαράδειγµα για το d) είναι 3 = 4 3
Σελίδα 4 από 53 a 0 a 0 8) =, 0 b 0 b 0 a a, 0 0 = = 0 0 0 0 0 0 9) 4, 4 0 0 0) Βλ Επεξεργασµένο Παράδειγµα 34 6 ) Απλές πράξεις ) Ένας τρόπος είναι να χρησιµοποιήστε επαγωγή µαζί µε το αποτέλεσµα της προηγούµενης άσκησης x 4 3 x Η δοσµένη σχέση περιέχεται στη = Έστω x 0 x 4 3 x A x x x = Τότε = A = A = = A 0 x x x 3 x Χρησιµοποιήστε το αποτέλεσµα της προηγούµενης άσκησης Βλ Επεξεργασµένο Παράδειγµα 34 7
Σελίδα 5 από 53 33 Κλιµακωτή Μορφή Πίνακα και Γραµµικά Συστήµατα Στο Κεφάλαιο είδαµε ότι µπορούµε να λύσουµε γραµµικά συστήµατα µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss Η µέθοδος αυτή αποτελείται από διαδοχικές εφαρµογές των ακόλουθων διαδικασιών: πολλαπλασιάζουµε µια εξίσωση του συστήµατος µε έναν µη µηδενικό αριθµό προσθέτουµε σε µια εξίσωση πολλαπλάσιο άλλης εναλλάσσουµε τη θέση δυο εξισώσεων Ο σκοπός µας στην παράγραφο αυτή είναι να συστηµατικοποιήσουµε τη µέθοδο αυτή χρησιµοποιώντας πίνακες Για το λόγο αυτό, στο πρώτο τµήµα της παρούσας παραγράφου θα ασχοληθούµε µε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών πίνακα Στο δεύτερο τµήµα θα εφαρµόσουµε τα αποτελέσµατα µας στα γραµµικά συστήµατα Κλιµακωτή Μορφή Πίνακα Από τα παραπάνω οδηγούµαστε στον εξής ορισµό 33 Ορισµός Έστω A M ( ) m F Καθεµιά από τις παρακάτω διαδικασίες ονοµάζεται ένας στοιχειώδης µετασχηµατισµός γραµµών του πίνακα Α πολλαπλασιάζουµε µια γραµµή του Α µε ένα µη µηδενικό στοιχείο του F προσθέτουµε σε µια γραµµή πολλαπλάσιο άλλης γραµµής εναλλάσσουµε δυο γραµµές Έστω είναι r i η i γραµµή του Α Οι αντίστοιχοι συµβολισµοί των παραπάνω διαδικασιών r ar (πολλαπλασιάζουµε την r µε το a 0) i i ri ri + ar j (στη γραµµή ri προσθέτουµε a φορές την rj ) r r (εναλλάσσουµε τις r, r ) i j i j i 33 Παράδειγµα Στο παράδειγµα αυτό εφαρµόζουµε τους ακόλουθους στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς: πολλαπλασιάζουµε την πρώτη γραµµή µε το 3, στη συνέχεια αφαιρούµε από τη δεύτερη γραµµή το διπλάσιο της πρώτης, εναλλάσσουµε τις δυο τελευταίες γραµµές και τέλος προσθέτουµε στη δεύτερη γραµµή την πρώτη
Σελίδα 6 από 53 333 Ορισµός 3 3 3 0 r 3r 0 r r r 4 4 0 4 r r3 4 r r+ r 4 0 4 0 6 0 0 4 Έστω AB, Mm ( F) Θα λέµε ότι ο Β είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον Α αν ο Β προκύπτει από τον Α µετά από µια πεπερασµένη ακολουθία στοιχειωδών µετασχηµατισµών γραµµών 334 Παραδείγµατα Είδαµε πριν ότι ο πίνακας B = 0 6 0 είναι γραµµοϊσοδύναµος 0 4 3 3 3 µε τον 0 Επίσης ο Β είναι γραµµοϊσοδύναµος µε 4 καθέναν από τους πίνακες που εµφανίζονται στο Παράδειγµα 33 Επειδή κάθε στοιχειώδης µετασχηµατισµός γραµµών του µηδενικού πίνακα οδηγεί στο µηδενικό πίνακα, συµπεραίνουµε ότι ο µόνος πίνακας που είναι γραµµοϊσοδύναµος µε το µηδενικό είναι ο µηδενικός 335 Ορισµός a Ένας πίνακας Α ονοµάζεται κλιµακωτός αν το πρώτο µη µηδενικό στοιχείο σε κάθε µη µηδενική γραµµή είναι το το πρώτο σε κάθε µη µηδενική γραµµή βρίσκεται στα δεξιά του πρώτου της προηγούµενης γραµµής 3 οι µη µηδενικές γραµµές βρίσκονται πάνω από τις µηδενικές γραµµές b Ένας κλιµακωτός πίνακας λέγεται αναγµένος κλιµακωτός αν το πρώτο σε κάθε γραµµή είναι το µοναδικό µη µηδενικό στοιχείο της στήλης που το περιέχει
Σελίδα 7 από 53 Για παράδειγµα, οι πίνακες 0 0 0 0 0 0 A, A, A = = 3 = 0 0 0 0 δεν είναι κλιµακωτοί Ο Ai δεν ικανοποιεί η συνθήκη i του Ορισµού 335, i =,, 3 0 Ο πίνακας είναι κλιµακωτός Αυτός δεν είναι αναγµένος κλιµακωτός, 0 γιατί το στοιχείο που βρίσκεται πάνω από το της δεύτερης γραµµής δεν είναι 0 Ο 0 0 είναι αναγµένος κλιµακωτός Από τους πίνακες 0 0 0 4 0 0 4 0 0 0 0 0, 0 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ο πρώτος και τρίτος είναι αναγµένοι κλιµακωτοί, ενώ ο δεύτερος είναι κλιµακωτός αλλά όχι αναγµένος κλιµακωτός Το βασικό αποτέλεσµα αυτής της παραγράφου είναι το εξής 336 Θεώρηµα Κάθε m πίνακας µε στοιχεία από το F είναι γραµµοϊσοδύναµος µε έναν m κλιµακωτό πίνακα µε στοιχεία από το F Η απόδειξη του Θεωρήµατος αυτού είναι µια συστηµατική εφαρµογή της απαλοιφής του Gauss που είδαµε στο Κεφάλαιο, δηλαδή µια συστηµατική εφαρµογή των στοιχειωδών µετασχηµατισµών γραµµών Κρίνουµε σκόπιµο, αντί να διατυπώσουµε αυστηρά την απόδειξη, να εκθέσουµε την κεντρική ιδέα της µέσω παραδειγµάτων Άλλωστε η απόδειξη δεν είναι παρά µια προσεκτική διατύπωση της διαδικασίας που θα δούµε στη συνέχεια (βλ για παράδειγµα, AO Morris, A Itroductio to Liear Algebra, Theorem 5) 337 Παραδείγµατα 5 ) Έστω A = 4 6 Εφαρµόζουµε τους παρακάτω στοιχειώδεις 6 3 4 µετασχηµατισµούς γραµµών
Σελίδα 8 από 53 5 4 6 r r + 4r 6 3 4 5 0 9 6 r 3 r3 6r 6 3 4 5 0 9 6 r r + r 0 9 6 5 0 9 6 r r 9 0 0 0 5 6 0 9 0 0 0 3 3 Mηδενίζουµε το δεύτερο στοιχείο της πρώτης στήλης Μηδενίζουµε το τρίτο στοιχείο της πρώτης στήλης Μηδενίζουµε το τρίτο στοιχείο της δεύτερης στήλης Μετατρέπουµε το 9 σε Ο πίνακας είναι κλιµακωτός Μέχρι στιγµής έχουµε µετασχηµατίσει τον αρχικό πίνακα σε έναν κλιµακωτό Επιλέξαµε τους συγκεκριµένους στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς µε γνώµονα την εµφάνιση µηδενικών κάτω από τη διαγώνιο Τώρα θα εφαρµόσουµε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς µε σκοπό την εµφάνιση µηδενικών πάνω από το πρώτο κάθε γραµµής Στο συγκεκριµένο παράδειγµα, θέλουµε να µηδενίσουµε το στοιχείο Εποµένως 5 Μηδενίζουµε το 6 0 r r r 9 0 0 0 7 0 9 6 0 9 0 0 0 Ο πίνακας είναι αναγµένος κλιµακωτός