Όταν το ελατήριο έχει μάζα

Όταν το ελατήριο έχει μάζα Εισαγωγή Αφορμή για την παρούσα ανάρτηση ήταν η θέση που διατύπωσε ο Γιάννης ο Κυριακόπουλος όσον αφορά στην συχνότητα ταλάντωσης ενός σώματος, το οποίο είναι δεμένο σε ελατήριο όχι αμελητέας μάζας. Το συνηθισμένο αποτέλεσμα για την γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης του σώματος είναι: k ω= όπου η μάζα του σώματος, η μάζα του ελατηρίου και k η σταθερά του ελατηρίου. + 3 Σημαντικός προβληματισμός μου όσον αφορά το αποτέλεσμα αυτό ήταν το γεγονός ότι δεν μπορούσα να επαληθεύσω εκ των υστέρων την σχέση Σ F= ω για το σώμα. Βασική άποψη ήταν ότι πρέπει να μελετήσει κανείς τόσο την κίνηση του σώματος όσο και τα διαμήκη κύματα που διαδίδονται στο ελατήριο. Η ορθή σχέση για τον θεμελιώδη τρόπο ταλάντωσης είναι: co ω = ω i ω k k k Στην σύντομη αυτή πραγματεία κατ αρχάς εξάγεται (ως υπενθύμιση) η εξίσωση των διαμήκων κυμάτων σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο και εφαρμόζεται στην περίπτωση ενός ελατηρίου. Στην συνέχεια ανευρίσκονται οι κανονικοί τρόποι ταλάντωσης του συστήματος ελατήριο - μάζα τόσο στην περίπτωση που το ελατήριο είναι οριζόντιο όσο και στην περίπτωση που το ελατήριο είναι κατακόρυφο. Τέλος εξετάζεται βήμα το βήμα η κίνηση του σώματος. Είναι εντυπωσιακό (κατά την γνώμη μου) το γεγονός ότι βήμα βήμα χτίζεται από εκθετικές συναρτήσεις μια σχεδόν περιοδική κίνηση με συχνότητα αυτή του θεμελιώδη τρόπου ταλάντωσης. Α) Διαμήκη κύματα σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο Θεωρούμε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο (φυσικού) μήκους, γραμμικής πυκνότητας μ και μάζας. Όταν το μέσο βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας και δεν υφίσταται παραμόρφωση, τότε κάθε τομή του μέσου χαρακτηρίζεται από την μεταβλητή.. Όταν το μέσο υφίσταται παραμόρφωση τότε η τομή που βρίσκεται στην θέση έχει μετατοπιστεί κατά ξ(). Η δύναμη που δέχεται η τομή αυτή από το μέρος του μέσου που βρίσκεται «δεξιά της» είναι F() και η δύναμη που δέχεται από το μέρος του μέσου που βρίσκεται αριστερά της είναι F(). +ξ() F() Θεωρούμε ένα στοιχειώδες τμήμα του μέσου το οποίο χωρίς παραμόρφωση εκτείνεται μεταξύ των θέσεων και +d. Σε κατάσταση παραμόρφωσης, την στιγμή το ένα άκρο του έχει μετακινηθεί κατά ξ(,) και το άλλο κατά ξ(+d,). Άρα η παραμόρφωση το τμήματος αυτού είναι: d ξ=ξ (+ d,) ξ (,) = d (,)

+d +ξ() +d+ξ(+d) -F() F(+d) Η ορθή παραμόρφωση ορίζεται ως η παραμόρφωση κατά μήκος του άξονα ανά μονάδα μήκους: dξ = d (,) H ορθή τάση σε μια διατομή του μέσου ορίζεται ως η δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας: F S Σύμφωνα με τον νόμο του Hooke ισχύει ότι: Ως το όριο ελαστικότητας ενός υλικού η ορθή τάση είναι ανάλογη της ορθής παραμόρφωσης. F F E = = S Ο συντελεστής αναλογίας ονομάζεται μέτρο ελαστικότητας του Youg. Από τον νόμο του Hooke έχουμε ότι: F= () Παρατήρηση Σε κατάσταση στατικής παραμόρφωσης η δύναμη F είναι σταθερή. Επομένως η σχέση () μπορεί να ολοκληρωθεί. F F = ξ () ξ () = Fd = () Θεωρώντας ότι το άκρο = είναι σταθερό έχουμε ότι ξ()=. Η επιμήκυνση Δ του μέσου είναι Δ=ξ(). Επομένως Δ F = F k = Δ = Δ όπου k = (3) η σταθερά του «ελατηρίου». Για να μελετήσουμε το μέσο σε δυναμική κατάσταση θα πρέπει να εφαρμόσουμε τον ο νόμο της κίνησης για το στοιχειώδες τμήμα του μέσου. Για την συνισταμένη δύναμη που δέχεται το τμήμα αυτό έχουμε: Σ F = F( + d) F() Κάνοντας χρήση της σχέσης () προκύπτει ότι: Σ F = F( + d) F() ξ Σ F = ( + d) () = ()d Από τον ο νόμο της κίνησης Σ F = d a d = d d =μd = μ υ Όπου υ= μ (4α) (4β)

Β) Διαμήκη κύματα σε ένα ελατήριο Στην περίπτωση που το γραμμικό ελαστικό μέσο είναι ένα ελατήριο τότε οι σχέσεις () και (4) με χρήση της (3) γίνονται: F() = k (5) (6α) υ k υ= (6β) Θεωρούμε τώρα το πρόβλημα της ταλάντωσης ενός σώματος μάζας Μ το οποίο είναι προσδεδεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου φυσικού μήκους, μάζας και σταθεράς k. Ακολουθώντας την μέθοδο του χωρισμού των μεταβλητών για την επίλυση της (6α), καταλήγουμε στην λύση: ξ (, ) = Ai(p)i( ω ) + Bi(p)co( ω ) + Cco(p)i( ω ) + Dco(p)co( ω ) με ω=pυ. Συνοριακές συνθήκες Επειδή το άκρο = είναι συνεχώς ακίνητο έχουμε: ξ (, ) = C co(p) i( ω ) + D co(p) co( ω ) = C = D = Άρα ξ (, ) = A i(p)i( ω ) + Bi(p) co( ω ) Εφαρμόζοντας τον δεύτερο νόμο της κίνησης για το σώμα μάζας Μ έχουμε: ξ F() = a() k = = = ( ) ( ) kpco(p) Ai( ω ) + co( ω ) = ω i(p) Ai( ω ) + Bco( ω) Kp co(p) = ω i(p) kp co(p) = k υ i(p) k k co(p) = p i(p) co(p) = p i(p) (7α) ω ω Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση p = = =ω έχουμε: υ k k co ω = ω i ω k k k (7β) Από την σχέση (7) μπορούν να υπολογιστούν οι συχνότητες των κανονικών τρόπων ταλάντωσης του συστήματος ελατήριο μάζα Μ. Περίπτωση : Μ= π πυ Τότε co(p) = p = ( π+ ) ω= ( + ) Περίπτωση : Μ Η σχέση (7) γίνεται (p) a(p) =. Θέτοντας z=p η παραπάνω σχέση γίνεται: za(z) = (8) Για δεδομένα, η εξίσωση (8) έχει ως προς z άπειρες λύσεις. Ως παράδειγμα αναφέρουμε ότι για = η μικρότερη λύση ( θεμελιώδης αρμονική) είναι η z =,86. Άρα η θεμελιώδης αρμονική είναι:

z k k ω = pυ= =.86 Θεωρούμε τώρα την περίπτωση που το ελατήριο είναι κατακόρυφο Από την σχέση (5) έχουμε ότι: ξ F( + d) F() = k k = k d + d Εφαρμόζοντας τον ο νόμο της κίνησης για ένα στοιχειώδες τμήμα του ελατηρίου μάζας d έχουμε: g F( + d) F() + d g = d a k +μ g =μ = υ υ g = υ υ g (+ )g Θέτοντας ξ (,) = + + u(,) η διαφορική εξίσωση για την u γίνεται: υ k u u υ Εφαρμόζοντας τον δεύτερο νόμο της κίνησης για το σώμα μάζας Μ έχουμε: ξ F() + g = a() k + g = = = g (+ )g u u k k g k = = + = υ u u k = = = Ακολουθώντας τα ίδια βήματα με το οριζόντιο ελατήριο καταλήγουμε και πάλι στην σχέση (7). Όπως ήταν αναμενόμενο η παρουσία του βάρους τόσο του σώματος όσο και του ελατηρίου δεν επηρεάζει την συχνότητα των κανονικών τρόπων ταλάντωσης. Γ) Η χρονική εξέλιξη της κίνησης. Στην συνέχεια θα μελετήσουμε την χρονική εξέλιξη της κίνησης στην περίπτωση του οριζόντιου ελατηρίου. Θεωρούμε ότι την στιγμή = το ελατήριο έχει επιμηκυνθεί κατά Δ. Την στιγμή = έχουμε από την σχέση (5) ότι: Δ Δ F= k = ξ=.άρα Δ ξ (,) =, (9α) Την στιγμή = οι σπείρες του ελατηρίου είναι ακίνητες. Συνεπώς ξ (,) =, (9β) (ξ είναι η πρώτη μερική παράγωγος ως προς ) Το άκρο του ελατηρίου που βρίσκεται στην θέση = είναι συνεχώς ακίνητο. Άρα ξ (, ) =, (9γ) Από τον ο νόμο της κίνησης για το σώμα έχουμε: ξ (,) + k ξ (,) =, (9δ) Οι σχέσεις (9) αποτελούν τις συνοριακές συνθήκες για την λύση της κυματικής εξίσωσης Για να απλοποιήσουμε την μορφή των παραστάσεων ορίζουμε τις αδιάστατες μεταβλητές, μέσω των σχέσεων: υ = και =

Ισχύει ότι: = = = υ υ = = = Αντικαθιστώντας στην κυματική εξίσωση προκύπτει ότι: () Οι συνοριακές συνθήκες (9α)-(9δ) γίνονται: ξ (,) =Δ, (α) ξ (,) =, (β) ξ (, ) =, (γ) ξ (, ) + ξ (, ) =, (δ) ξ(,) Ορίζουμε την αδιάστατη εξαρτημένη μεταβλητή ξ μέσω της σχέσης: ξ (, ) = Δ Η κυματική εξίσωση και οι συνοριακές συνθήκες γίνονται: () ξ (,) =, (3α) ξ (,) =, (3β) ξ (, ) =, (3γ) ξ (, ) + ξ (, ) =, (3δ) Στην συνέχεια για λόγους απλότητας στην μορφή των παραστάσεων παραλείπουμε τις περισπωμένες. Επομένως έχουμε: (4) ξ (,) =, (5α) ξ (,) =, (5β) ξ (, ) =, (5γ) ξ (, ) + ξ (, ) =, (5δ) Θέτουμε ξ (,) = + u(,). Οι σχέσεις (4) και (5) γίνονται: u u (6) u(,) =, (7α) u(,) =, (7β) u(,) =, (7γ) u (,) +β u (,) +β=, (7δ) Όπου β= Επειδή η u είναι λύση της κυματικής εξίσωσης ισχύει ότι: u(,) = F( ) + G( + ) (8) Όπου F : [-,+ ) και G: [, + ) Για [,] πρέπει

u(,) = και u(,) = Επομένως, F( ) + G() = και F ( ) + G () = Ολοκληρώνοντας τις σχέσεις αυτές έχουμε ότι: F()=, [-,] και G()=, [,] Επειδή u(,)= F()=-G(), (9) Άρα F()=, [-,] Δυνάμει της (9) επεκτείνουμε την G στο [-,+ ) θέτοντας G()=, [-,]. Βάσει των παραπάνω η (8) γίνεται: u(,) = G( + ) G( ) () Αντικαθιστώντας στην (7δ) έχουμε: G (+ ) G ( ) +β G (+ ) +βg ( ) +β= () Θέτοντας += έχουμε ότι -=-. H () γίνεται: G () +βg () G ( ) +βg ( ) +β= () Η σχέση () είναι ουσιαστικά μια αναγωγική σχέση υπολογισμού της G για κάθε -. Έστω [-,]. Τότε G()= Έστω [,3] - [-,] Η σχέση () είναι μια ΔΕ για την G(). Λύνοντας την διαφορική εξίσωση προσδιορίζουμε τις τιμές στο διάστημα [,3]. Έστω [3,5] - [,3]. Γνωρίζοντας τις τιμές τις G στο [,3] μπορούμε να βρούμε τις τιμές της G στο [3,5] κ.ο.κ. Για να υλοποιηθεί ο παραπάνω αλγόριθμος χρειαζόμαστε την λύση της εξίσωσης: G () +β G () + h() = (3) β β β Θέτουμε G () = e g() G () = e g () β e g() Αντικαθιστώντας στην (3) έχουμε: β β βz e g () + h() = g () = e h() g() = e h(z)dz + C Επομένως β βz β G() = e e h(z)dz+ Ce Με = έχουμε ότι: β β G( ) = Ce C= e G( ) Άρα β βz β β G() = e e h(z)dz+ e G( )e (4) Με ολοκλήρωση της (4) έχουμε: G() = G (z)dz + G( ) Θέτουμε G τον περιορισμό της G στο διάστημα [-,+] Έστω [+,+3] - [-,+]. Από την σχέση () έχουμε: G + () +βg + () G ( ) +βg ( ) +β= Εφαρμόζουμε την σχέση (4) στην παραπάνω: β βz β βz β βz β (+ ) β + + + + β( ) βz β( ) βz β (+ ) β (+ ) β + = β + ( ) + + G () = e e G (z )dz βe e G (z )dz β e e dz + e G ( + )e G () e e G(z)dz e e G(z)dz e e G( )e Ολοκληρώνοντας την (5) (5)

+ (6) + G () = G (z)dz+ G (+ ) Ας προσπαθήσουμε να βρούμε την G :[,3] Ισχύει ότι G =. Από την σχέση (5) έχουμε με =: β( ) G() = ( e ) με ολοκλήρωση της παραπάνω βρίσκουμε την G. β( ) G() = ( e ) + β Επαγωγικά μπορούμε να υπολογίσουμε την G (). Στην συνέχεια θα βρούμε την εξίσωση κίνησης του άκρου =. ξ (,) = + u(,) = + G( + ) G( ) ξ (, ) = + G( + ) G( ) Αν [,+] τότε - [-,+] και + [+,+3] Άρα ξ (, ) = + G + ( + ) G ( ) Στο επόμενο σχήμα φαίνεται η απομάκρυνση του σώματος μάζας Μ από την θέση ισορροπίας του για [,] στην περίπτωση που Μ=. Σημείωση Δ= είναι το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να διαδοθεί το κύμα από την μια άκρη του ελατηρίου στην άλλη. Όπως φαίνεται από το σχήμα η περίοδος της κίνησης είναι υt πυ π k k T= 7,33 = 7,33 ω= = =,86 7,33 7,33 η οποία είναι σε απόλυτη συμφωνία με την συχνότητα του θεμελιώδη τρόπου ταλάντωσης όπως προκύπτει από την σχέση (7.β). Είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις της συνάρτησης co(ω ) και της ξ(,) ταυτίζονται. Υστερόγραφο: Η χρονική εξέλιξη της κίνησης μπορεί να θεωρηθεί ελλιπής. Δεν εξασφαλίζει ότι σε μελλοντικές χρονικές στιγμές δεν ενεργοποιούνται ανώτεροι κανονικοί τρόποι ταλάντωσης (oral ode). Ε. Κορφιάτης korfiai@ch.gr