Στατιστική ΙI Ενότητα : Εκτίμηση Διαστήματος Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Aν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική ΙΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 1 Εκτίμηση Διαστήματος Εκτίμηση Διαστήματος Εμπιστοσύνης για τον Μέσο (Γνωστό σ) Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 1
Εκτίμηση Διαστήματος για τον Μέσο Γνωστό σ Έστω συμμετρικό διάστημα γύρω από την αναμενόμενη τιμή μ της κατανομής δειγματοληψίας του μέσου που έχει πιθανότητα 1 α, 0<α<1 1aPL U L 1 a/ 1 a/ U P * Z *, U L *, * * 1 a/: PZ 1 a/1 a/ U 1 a/ L 1 a/ Εκτίμηση Διαστήματος για τον Μέσο Γνωστό σ Η πιθανότητα ένας δειγματικός μέσος να είναι σε διάστημα 1 a/ από τον μέσο του πληθυσμού, μ, είναι 1 α 0.95 L 1 a/ 1 a/ U : P Z 1 a/ 1 a/ 1 a/ 1.645 1.645 0.975 0.995 1.96 1.96.58.58 Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr
1 a/ 1 a/ 1 a/ 1 a/ 1 a/ 1 a/ Εκτίμηση Διαστήματος για τον Μέσο Γνωστό σ Η πιθανότητα o μέσος του πληθυσμού μ να είναι σε διάστημα 1 a/ από τον δειγματικό μέσο είναι 1 α 1 a/ L 1 a/ 1 a/ U 1 a/ 1 a / Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 3
.58 4500 1 a/ 1 a/.58 1935 36 Συνεπώς, με 99% εμπιστοσύνη, το σφάλμα δε θα υπερβαίνει τα 1935 ευρώ. Εκτίμηση Διαστήματος Εμπιστοσύνης για τον Μέσο (Άγνωστο σ) Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 4
ˆ ˆ 1 a /, Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 5
i 1 Οι τυπικές κανονικές τιμές ταυτίζονται με τις τιμές της γραμμής με ν = του πίνακα της κατανομής t Studet Εκτίμηση Διαστήματος για τον Μέσο Άγνωστο σ Κατανομή t -Studet Εκτίμηση Διαστήματος για τον Μέσο Άγνωστο σ Κατανομή t -Studet Τυπική κανονική κατανομή 0 Κατανομή t ( Βαθμοί ελευθερίας ν = 0 ) Κατανομή t ( Βαθμοί ελευθερίας ν = 10 ), t Βαθμοί Εμβαδό στη δεξιά άκρη ελευθερίας.0.10.05.05.01.005....... 50.849 1.99 1.676.009.403.678 60.848 1.96 1.671.000.390.660 80.846 1.9 1.664 1.990.374.639 100.845 1.90 1.660 1.984.364.66.84 1.8 1.645 1.960.36.576 Τυπικές κανονικές τιμές Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 6
t a/, 1 t t a/, 1 a/, 1 4 4 50.0639 50.0639 5 5 48.35 51.65 Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 7
t 0.05,15 55 400.131 400 9.30 16 Περίληψη Εκτίμησης Διαστήματος για τον Μέσο NAI σ γνωστό; NAI NAI OI OI 50; Κανονικός Πληθυσμός; NAI NAI OI OI 30; σ γνωστό; OI NAI 50; OI Εκτίμηση Διαστήματος Εμπιστοσύνης για την Αναλογία Εκτίμησε το σ με το Εκτίμησε το σ με το Αύξησε το (30) Εκτίμησε το σ με το Αύξησε το (50) 1 / 1 / t /, 1 1 / 1 / Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 8
Το pˆ είναι μια εκτίμηση του p pˆ(1 pˆ) pˆ(1 pˆ) pˆ ˆ 1 a/ p p 1 a/ Παράδειγμα Εκτίμησης για την Αναλογία Σε τυχαίο δείγμα 500 ατόμων τα 154 δεν εργάζονται. Υπολογίστε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το ποσοστό της ανεργίας. Παράδειγμα Εκτίμησης για την Αναλογία Σε τυχαίο δείγμα 500 ατόμων τα 154 δεν εργάζονται. Υπολογίστε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το ποσοστό της ανεργίας. pˆ(1 pˆ ) pˆ(1 pˆ) pˆ ˆ 1 a/ p p 1 a/ 154 pˆ 0.308, 1 a / 0.975 1.96 500 0.308(1 0.308) 0.308(1 0.308) 0.308 1.96 p 0.308 1.96 500 500 0.67 p 0.349 100 p% (6.7%,34.9%) Παράδειγμα Εκτίμησης για την Αναλογία Σε 00 τυχαία επιλεγμένες μονάδες προϊόντος οι 15 είχαν κάποιο ελάττωμα. Κατασκευάστε ένα 90% Δ.Ε. για την αναλογία των ελαττωματικών προϊόντων. Παράδειγμα Εκτίμησης για την Αναλογία Σε 00 τυχαία επιλεγμένες μονάδες προϊόντος οι 15 είχαν κάποιο ελάττωμα. Κατασκευάστε ένα 90% Δ.Ε. για την αναλογία των ελαττωματικών προϊόντων. pˆ (1 pˆ ) pˆ (1 pˆ ) p ˆ ˆ 1 a/ p p 1 a/ 15 pˆ 0.075, 1 a / 0.95 1.645 00 0.075(1 0.075) 0.075(1 0.075) 0.075 1.645 p 0.075 1.645 00 00 0.044 p 0.106 Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 9
Παράδειγμα Εκτίμησης για την Αναλογία Σε μια δημοσκόπηση, από τους 100 τυχαία επιλεγμένους ψηφοφόρους οι 11 υποστηρίζουν το κόμμα Α. Εκτιμήστε το ποσοστό των υποστηρικτών του κόμματος Α με ένα 99% Δ.Ε. Παράδειγμα Εκτίμησης για την Αναλογία Σε μια δημοσκόπηση, από τους 100 τυχαία επιλεγμένους ψηφοφόρους οι 11 υποστηρίζουν το κόμμα Α. Εκτιμήστε το ποσοστό των υποστηρικτών του κόμματος Α με ένα 99% Δ.Ε. pˆ(1 pˆ) pˆ(1 pˆ) pˆ ˆ 1 a/ p p 1 a/ 11 pˆ 0.108, 1 a/ 0.995.58 100 0.108(1 0.108) 0.108(1 0.108) 0.108.58 p 0.108.58 100 100 0.094 p 0.1474 100 p% (9.4%,14.74%) Υπολογισμός Μεγέθους Δείγματος Παράδειγμα Μεγέθους Δείγματος E 1 a / Τι μέγεθος δείγματος απαιτείται ώστε να έχουμε 90% εμπιστοσύνη πως το σφάλμα εκτίμησης δε θα είναι πάνω από 5; Μια πιλοτική μελέτη προτείνει πως η τυπική απόκλιση είναι 45. 1 a/ E 1a 0. 9 a/ 0. 05, a 0. 95 1. 64545 5 1 /. 1 645 Z 1 a/ 19. 0 E Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 10
Παράδειγμα Μεγέθους Δείγματος Παράδειγμα: Καταστήματα Virgo Η εταιρία Virgo έχει 60 καταστήματα λιανικής σε όλη την χώρα. Αξιολογεί μια υποψήφια θέση για ένα καινούριο κατάστημα στη βάση του μέσου ετήσιου εισοδήματος των ατόμων που κατοικούν στην ευρύτερη περιοχή. H διοίκηση θέλει να εκτιμήσει τον μέσο του πληθυσμού έτσι ώστε με πιθανότητα 0.95 το σφάλμα δειγματοληψίας να μην υπερβεί τα 500. Το = 4,500. Πόσο μεγάλο πρέπει να είναι το μέγεθος του δείγματος ώστε να επιτευχθεί η επιθυμητή ακρίβεια στην εκτίμηση; Παράδειγμα Μεγέθους Δείγματος E 1 / Για 95% Δ.Ε., 0.975 = 1.96. Θυμηθείτε ότι = 4,500. 500 (1.96) (4,500) 311.17 31 (500) Απαιτείται δείγμα μεγέθους 31 ώστε να επιτευχθεί ακρίβεια + 500 με 95% εμπιστοσύνη. Παράδειγμα Εργάζεστε στο τμήμα Ανθρωπίνων Πόρων της Merrill Lych. Σχεδιάζετε μια έρευνα εργαζομένων για να βρείτε το μέσο κόστος περίθαλψης ανά εργαζόμενο. Θέλετε να έχετε 95% εμπιστοσύνη πως ο δειγματικός μέσος είναι ακριβής κατά ±50. Πιλοτική μελέτη έδειξε πως το είναι περίπου 400. Τι μέγεθος δείγματος θα πάρετε; Επίλυση 1 a 0. 95 a / 0. 05, 1. 96 400 50 1a / 45. 86 46 E / 1 a / 1a / _ 1 / 1 a / 0. 975 _ 1. 96 E 1 a/ pˆ(1 pˆ) p*(1 p*) 1 a/ E ˆp pˆ(1 pˆ) 1 a/ ˆp E Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 11
Υπολογισμός Μεγέθους Δείγματος για την Εκτίμηση του p Υπολογισμός Μεγέθους Δείγματος για Εκτίμηση του p Εταιρία Δημοσκοπήσεων VPRB Η VPRB επιθυμεί ακρίβεια εκτίμησης 0.03 με πιθανότητα 0.99 για την αναλογία πληθυσμού. Πόσο μεγάλο πρέπει να είναι το δείγμα ώστε να επιτευχθεί αυτή η ακρίβεια;(από ανάλογο δείγμα προέκυψε δειγματική αναλογία 0.44) Υπολογισμός Μεγέθους Δείγματος για Εκτίμηση του p E 1 / Για 99% Δ.Ε., 0.995 =.576. p* = 0.44 p*(1 p*) 0.03 p p *(1 *) (.576) (0.44)(0.56) E (0.03) 1 / Απαιτείται δείγμα μεγέθους 1817 ώστε να επιτευχθεί ακρίβεια + 0.03 με 99% εμπιστοσύνη. 1817 Υπολογισμός Μεγέθους Δείγματος για Εκτίμηση του p Παρατήρηση: Χρησιμοποιήσαμε την τιμή 0.44 ως την καλύτερη εκτίμηση του p. Αν δεν έχουμε καμιά πληροφορία για την τιμή του p, τότε υποθέτουμε την τιμή 0.5 γιατί δίνει το μεγαλύτερο δυνατό δείγμα για την επιθυμητή ακρίβεια Στο παράδειγμά μας : Αν θέταμε ως τιμή σχεδιασμού την τιμή 0.5, το συνιστώμενο μέγεθος δείγματος θα ήταν 1843. Τέλος Ενότητας Στατιστική ΙI, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 71 Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 1