ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. 18. Ο ρυθμό μεταβολή του πληθυσμού μια πόλη είναι P ( ) = άτομα ανά έτο. Αν ο σημερινό πληθυσμό τη πόλη είναι 1. άτομα, να βρεθεί i. Ο πληθυσμό τη πόλη μετά απο έτη ii. Πότε ο πληθυσμό γίνεται 11. άτομα.. i. Είναι P ( ) =. Αν ολοκληρώσουμε κατά μέλη, θα πάρουμε P d =. Χd Ϋ P =.Χ + c (1) Έχουμε ότι ο σημερινό πληθυσμό τη πόλη είναι 1. άτομα, δηλ. P = 1., οπότε από (1), θα πάρουμε 1. =. Χ + c ή c = 1.. ρα, P( ) = + 1., που είναι η συνάρτηση του πληθυσμού.. Ο πληθυσμό μετά απο χρόνια θα είναι P( ) = + 1. = 1.76 άτομα ii. Έστω ότι ο πληθυσμό των κατοίκων τη πόλη θα γίνει 11. μετά από χρόνια. Τότε ισχύει. 1 P( 1) = 11. Ϋ + 1. = 11. Ϋ = Ϋ 1 = ln χρόνια. 1 19. Ο ρυθμό μεταβολή του πληθυσμού μια πόλη είναι P ( ) = άτομα ανά έτο. Αν ο σημερινό πληθυσμό τη πόλη είναι. άτομα, να βρεθεί i. Ο πληθυσμό τη πόλη μετά απο 4 έτη. ii. Πότε ο πληθυσμό διπλασιάζεται. i. Είναι P ( ) =. Αν ολοκληρώσουμε κατά μέλη, θα πάρουμε 1 P( ) Χ d = Χd ή P( ) = Χ d = 1. Χ d = 1.Χ + c (1) P =., Έχουμε ότι ο σημερινό πληθυσμό τη πόλη είναι. άτομα, δηλ. οπότε από (1), θα πάρουμε P( ) = 1.Χ + c ή. = c ρα, P( ) = 1. +. Ο πληθυσμό μετά απο 4 χρόνια θα είναι P( 4) = 7., που είναι η συνάρτηση του πληθυσμού. ii. Έστω ότι ο πληθυσμό θα διπλασιασθεί μετά απο έτη. Τότε ισχύει P = Χ. Ϋ 1. +. = 1. ή = Ϋ = 1 1 1 1 1 άτομα. έτη. 1 11
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Η θερμοκρασία Τ ενό σώματο που περιβάλλεται απο ένα ψυκτικό υγρό ελαττώνεται με ρυθμό T ( ) =k α Χ k k i. Να αποδειχθεί ότι T = α Χ + c, όπου c σταθερό., όπου α, κ είναι θετικέ σταθερέ και ο χρόνο. Η αρχική θερμοκρασία T του σώματο είναι T + α όπου η θερμοκρασία του υγρού. ii. Να βρεθεί η θερμοκρασία του σώματο τη χρονική στιγμή. T k i. Είναι T = ka Χ. Αν ολοκληρώσουμε κατά μέλη, θα πάρουμε Χ = Χ Χ = Χ Χ = Χ = Χ + k k k k T d ka d a k d a d a c k ρα, Τ a c (1), που είναι το ζητούμενο. = Χ + = a + ή + a = a + Ϋ = ii.έχουμε T = T + a, οπότε απο την (1) για =, θα πάρουμε T c T c c T k. ρα, είναι T = aχ + T, 1 Είναι R ( ) =. Αν ολοκληρώσουμε κατά μέλη, θα πάρουμε 1 1 ( 1) R( ) Χ d = Χ d = Χ d = ln( 1) + c ή R( ) = ln( 1) + c (1) 1 1 που είναι η θερμοκρασία του σώματο τη χρονική στιγμή. 1. Ο ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται η ποσότητα R μια ουσία στον 1 οργανισμό ενό ανθρώπου είναι R ( ) =, όπου ο χρόνο σε ώρε 1 Να βρεθεί πότε η R υπερβαίνει τα mg cm αν είναι γνωστό ότι σε ώρε είναι 4 mg cm. Έχουμε ότι σε ώρε η ποσότητα τη ουσία είναι 4mg / cm, οπότε απο (1) για =, θα πάρουμε ρα, η ποσότητα τη ουσία είναι R( ) = ln1+ c ή c = 4 R( ) = ln( 1) + 4, > 1 Θα βρούμε πότε η ποσότητα R τη ουσία υπερβαίνει τα mg cm, δηλ. 1 > Ϋ + > Ϋ > Ϋ > Ϋ > + R ln 1 4 ln 1 1 1 ( > 1 ). 111
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ένα βιομήχανο επενδύει χιλιάδε ευρώ στην επιχείρησή του και αναμένει να έχει κέρδο P κέρδου από αυτή την επένδυση είναι απο αυτή την επένδυση. Ο ρυθμό μεταβολή του Να βρεθεί το συνολικό κέρδο του βιομήχανου, που οφείλεται σε αύξηση τη επένδυση απο.. ευρώ σε 4.. ευρώ. 1. P = 4, Χ. Είναι P 4, 1. = Χ. Αν ολοκληρώσουμε κατά μέλη, θα πάρουμε 1. P Χ d = 4,Χ Χd ή ζ 1 φ ζ φ 1. 1. P( ) = 4, Χ1. d 4. Χ Χ = Χd η 1. χ θ ψ ηθ ψχ 1. = 4.Χ + c, c Ξ Το κέρδο από την αύξηση τη επένδυση απο.. σε 4.. ευρώ, δηλ. από. σε 4. χιλιάδε ευρώ 4.. 1. 1. είναι P 4. P. = 4.Χ + c + 4.Χ c ( ) 4. 1 4. ζ 1 φ 4. 1 = 4.Χ Χ( + 1) = Χ 1 η = Χ = 4 ηθ ψχ χιλιάδε ευρώ.. Το οριακό κόστο λειτουργία ενό αεροπλάνου σε χιλιάδε ευρώ για την 41 κάλυψη χιλιάδων χιλιομέτρων είναι K = Χln. Να βρεθεί το κόστο που οφείλεται σε αύξηση τη χιλιομετρική κάλυψη, από σε 4 χιλιάδε χιλιόμετρα. 41 Έχουμε ότι το οριακό κόστο λειτουργία είναι K = Χ ln Αν ολοκληρώσουμε κατά μέλη, θα πάρουμε Χ = Χ Χ ή 41 K d ln d 1 1 1 K 4 ln d d c, c 4 4 4 41 41 41 = Χ Χ Χ = Χ = Χ + Ξ Το κόστο που οφείλεται σε αύξηση τη χιλιομετρική κάλυψη απο σε 4 11 1 1 χιλιάδε χιλιόμετρα είναι K 4 K c c 1 4 4 4 1 11 4 = Χ + Χ = Χ( ) 11
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ P 7 ζ7φ 4. Ο ρυθμό μεταβολή των κατοίκων μια πόλη είναι P ( ) = Χln Χη 4 η θ4χψ όπου ο χρόνο σε έτη και P ο πληθυσμό κατά τη χρονική στιγμή =. Να βρεθεί i. Ο πληθυσμό P τη πόλη μετά απο έτη 7 P ii. Πότε ο πληθυσμό των κατοίκων τη πόλη θα είναι. 4 Χ P 7 ζ7φ i. Είναι P ( ) = Χln Χ η. Αν ολοκληρώσουμε κατά μέλη, θα πάρουμε 4 ηθ 4χψ P 7 ζ7φ P d ln η χ d Χ = Χ Χη Χ Ϋ 4 ηθ 4ψχ οπότε 1 7 ζ7φ P( ) = P Χln Χη Χd Ϋ 4 ηθ 4ψχ ι ω ζ7φ P( ) = P η Χd, ηθ 4χψ κλ ϊϋ ζ7φ P( ) = P Χ η + c, c Ξ (1) ηθ 4ψχ Έχουμε ότι ο πληθυσμό τη χρονική στιγμή = είναι, οπότε από την (1), ζ7φ θα πάρουμε P( ) = P Χ η + c ή P = P + c Ϋ c =. ηθ 4χψ ζ7φ ρα, P( ) = P Χ η () ηθ 4ψχ 7 P ii.έστω ότι ο πληθυσμό των κατοίκων τη πόλη θα είναι μετά απο 1 χρόνια. 4 Χ Τότε ισχύει 1 1 ( ) 7P ζ 7φ 7 ζ7φ 7 1 P( 1) = ΫP Χ = ΧP Ϋ = Ϋ = 1Ϋ 1 = χρόνια 4 η θ4ψχ 4 ηθ 4ψχ 4 P 11
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 9. Ο ρυθμό μεταβολή τη θερμοκρασία θ ενό σώματο, όταν αυτό βρεθεί σε περιβάλλον σταθερή θερμοκρασία Τ με Είναι θ > T, δίνεται απο τη σχέση = ( ) θ k θ T, όπου κ θετική σταθερά. Αν θ = θ, να βρεθεί η θερμοκρασία θ του σώματο, τη χρονική στιγμή. ( ) q = k q T Ϋ q = kq + kt Ϋ k ( Χ ) q + kq = kt Ϋ k k q Χ + Χ kq k = k ΧTΧ Ϋ q Χ + Χ q = Χ Ϋ q Χ = Χ k k k k k ( ) ( ) ( ) kt ( ( ) ) ( T ) (*) k k Ϋ q Χ = TΧ + c (1), c Ξ Έχουμε q = q, οπότε απο την (1) για =, θα πάρουμε q Χ = TΧ + c ή q = T + c Ϋ c = q T ρα, από (1) είναι k (: ) k k q T k q Χ = TΧ + q T Ϋ q = T + Ϋ q = T + q k T Χ, που είναι η θερμοκρασία του σώματο τη χρονική στιγμή. (*) Αν δύο συναρτήσει έχουν ίσε παραγώγου, τότε διαφέρουν κατά σταθερά c. ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Σ χο λ ι κ ό Β ι β λ ί ο σ ε λ. 8 / Α σ κ ή σ ε ι : Α :, 6, 7 / Β : 1,, Ομάδα Α. Ένα φύλλο χαρτί παίρνει φωτιά, εξαιτία τη οποία εξαερώνεται σε sc. Αν το εμβαδόν τη επιφάνεια μειώνεται με ρυθμό E =8 cm sc ω προ το χρόνο που πέρασε απο τη στιγμή που πήρε φωτιά, να βρεθεί πόσο ήταν αρχικά το εμβαδόν του. 1. Να βρεθεί η ταχύτητα u και η συνάρτηση θέση ενό κινητού, που κινείται σε άξονα, αν η επιτάχυνση του είναι α = u π και π =π. = ημ και ισχύει 118
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Η επιτάχυνση ενό κινητού τη χρονική στιγμή σε sc είναι α = 1 4 m sc. Να βρεθεί i. Η ταχύτητα u, αν τη χρονική στιγμή = sc είναι u = m sc ii. Η συνάρτηση θέση, αν τη χρονική στιγμή = 1sc η απομάκρυνση είναι 7 m.. Ο πληθυσμό P( ) ενό χωριού είναι σήμερα 1 κάτοικοι και εκτιμάται ότι σε 1 χρόνια θα είναι κάτοικοι. Αν ο πληθυσμό μειώνεται με ρυθμό P = α ΧP ( ), α < i. Η συνάρτηση P. και ο χρόνο σε έτη, να βρεθεί ii. Ο πληθυσμό του χωριού μετά απο χρόνια. 4. Τα αποθέματα νερού μια πόλη μειώνονται με ρυθμό ln6 6 A ( ) =A Χ Χ6 m ημέρα όπου A τα αποθέματα τη χρονική στιγμή 6 = και o χρόνο σε ημέρε. Να βρεθεί μετά απο πόσε ημέρε η απομένουσα A ποσότητα θα είναι. 6 Ομάδα Β. Τη στιγμή τη έξαρση μια επιδημία σε μία πόλη ο αριθμό των ασθενών είναι άτομα. Αν ο ρυθμό με τον οποίο υποχωρεί η επιδημία είναι P ( ) = 1 θα εξαφανιστεί. άτομα ανά ημέρα, να βρεθεί μετά απο πόσε ημέρε ο ιό 6. Ένα κινητό με αφετηρία τη θέση =, κινείται πάνω σε άξονα. Η ταχύτητα του τη χρονική στιγμή είναι u = 4 m sc. Να βρεθεί i. Η συνάρτηση θέση και η επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή. ii. Ποια είναι φορά κίνηση του, το χρονικό διάστημα,6. [ ] 119