4. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση. Αν t = a ή u = x - a και αν t = b ή u = x -b. x ς ς.

Transcript

1

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Αν η συνάρτηση f είναι συνεή στο, να αποδειθεί ότι η συνάρτηση Θέτουμε - t = u ή - dt = du ή dt = -du Αν t = ή u = και αν t = ή u = F = + tχf ( -t) Χ dt = + ( -u) Χf ( u) Χ( -du) 5. Αν για την παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f ισύει f Ά > για κάθε Ξ, να αποδειθεί ότι i. Θέτουμε F = + t Χf -t Χdt είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε την F.Ά = + - u Χf u Χ du = + Χf u Χdu - u Χf u Χdu f ( u) du u f ( u) du = + Χ - Χ Χ Η f είναι συνεή στο, οπότε, η F είναι παραγωγίσιμη στο με Έουμε FΆ = + f u Χ du + Χf - Χ f = + f u Χdu b Ξ i. Η συνάρτηση F = f -t Χdt είναι παραγωγίσιμη ii. Αν υπάρει, ώστε FΆ =, τότε ισύει F = για κάθε Ξ - t = u ή dt = -du Αν t = ή u = - και αν t = b ή u = -b b -b - F = f -t Χ dt = f u Χ - du = f u Χdu - -b - -b - F = f u Χ du + f u Χ du = - f u Χ du + f u Χdu -b Η συνάρτηση f είναι συνεή στο συνεπώ, η F είναι παραγωγίσιμη στο με FΆ = -f - b + f - Ξ FΆ ( ) = ( b) ( ) ( ) ( b) f για κάθε ii. Αφού για κάποιο ισύει έουμε FΆ = Ϋ -f - + f - = Ϋ f - = f - () Ά > Ξ, άρα η f είναι γνησίω αύξουσα στο, οπότε είναι και "-". Επομένω, από την () προκύπτει - = -b Ϋ = b, b οπότε είναι F = f - t Χ dt = f - t Χ dt = για κάθε Ξ. 3

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Γ 4. Έστω η συνεή στο,+ συνάρτηση f για την οποία ισύει f = + f ( t) dt για κάθε Χ Χ Χ ³. Να αποδειθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο,+ και να βρεθεί ο τύπο τη f. Θέτουμε Χ t = u ή Χ dt = du f = + f ( t) dt f ( u) du Χ Χ Χ = + Χ Η f είναι συνεή στο [,+ ), οπότε η f = + f ( u) du () είναι Χ παραγωγίσιμη στο με f Ά = + f Ϋ f - f = Άρα, [ ) [ ) [,+ ) - ( Χe ) Ά Αν t = ή u = και αν t = ή u = Ϋ f Χe -f Χ e = Χe Ϋ e Χ f Ά = Χe Ά , οπότε Χ = Χ Χ =- Χ Ά Χ =- Χ + Χ =- Χ e f e d e d e e d e e c Από την () για, θα πάρουμε f = ή c =, = [ ) e f e e f e,, Χ = - Χ - + Ϋ = Ξ + * 5. Έστω η συνεή συνάρτηση f : για την οποία ισύει Να αποδειθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη και να βρεθεί ο τύπο τη f. f = - t Χf Χt Χdt, Ξ Θέτουμε Χ t = u ή Χ dt = du Αν t = ή u = και αν t = ή u = f = - t Χf ( Χ t) Χdt = - ( Χ t) Χf ( Χ t) Χ Χ dt = - u Χf u Χdu () Η f είναι συνεή στο, οπότε η συνάρτηση u Χf ( u) Χdu είναι παραγωγίσιμη στο,άρα και η f είναι παραγωγίσιμη, με f Ά = - Χf ( ). f Ά ζ - φ Ά - Ά Ά =- Χ Ϋ =- Ϋ = (- ) Ϋ =- + f ηθ f f Από την () για =, θα πάρουμε f = f f c () Από την () για =, θα πάρουμε c = - - Άρα, = - - Ϋ f ( ) =, Ξ f + 35

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Να αποδειθεί ότι η f = ημt Χdt, Ξ είναι συνεή στο. u Για du f = hmt Χ dt = hmu Χ ι ω = u du u du u du hm Χ = Χ - hm Χ + hm Χ κ λ ϊϋ Η συνάρτηση hmu είναι συνεή στο, οπότε οι συναρτήσει Ή hmu Χdu, θέτουμε είναι παραγωγίσιμε, άρα και η f είναι Άρα, η f είναι συνεή στο, που είναι το ζητούμενο. du Χ t = u ή dt = Αν t = ή u = και αν t = ή u = hmu Χdu * παραγωγίσιμη, συνεπώ και συνεή στο. u Για να είναι συνεή στο μηδέν, πρέπει lim f = f ζ φ η ηθ ι ζ φω lim f = lim Χ - hmu Χ du + hmu Χ du κ ηθ λ ϊϋ - hmu Χ du + hmu Χdu = lim - hm + Χhm = lim = ζφ μορφή η, διότι αν F η F είναι παραγωγίσιμη ηθ = hmu Χdu συνεπώ και συνεή, οπότε f = hmχ dt = Αφού lim f = f, η f είναι συνεή στο. lim F = F = hmu Χdu lim F = F = hmu Χdu και 38

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 53. Αν η συνάρτηση f είναι συνεή στο,+ και για κάθε > ισύει Χ f t Χ dt = - + ln, να βρεθεί το f ( ). 54. Αν για τη συνεή συνάρτηση f : ισύει για κάθε Ξ, να αποδειθεί ότι Χf - f ( + ) = 6 + i. Η συνάρτηση F = f t Χdt είναι σταθερή στο και να βρείτε τον τύπο τη ii. - f Χ d = Αν η συνάρτηση f έει συνεή παράγωγο στο και ισύουν Χf ( t) Χdt f = και f Ά =, να υπολογισθεί το όριο lim - ημ Ομάδα Ζ 56. Να αποδειθεί ότι dt π Χ dt + =, για κάθε Ξη, + t t + t ηθ ej sj ζ φ -ej dt ζ π φ 57. Να αποδειθεί ότι η f ( ) =,, είναι σταθερή. Ξη sj + t ηθ ζ t φ 58. Αν η συνάρτηση f = f ( u) Χdu Χdt είναι σταθερή στο, ηθ να αποδειθεί ότι η συνάρτηση g = f Ά -f, είναι σταθερή. ( 59. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα ζ θ φ I = συνt Χ dt Χd η 6. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα pζ συν φ I = dt d Χ Χ ηθ p 3 + ημ t 334

6 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Γ Ομάδα Η ζ t 7 φ 6. Αν f = συν uχdu Χdt, να βρεθεί η ηθ f Ά. 6. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα 63. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα ζ θ φ I = + t Χdt Χd η ζ 3 φ I = dt d Χ Χ η θ + t 64. Αν η συνάρτηση f είναι συνεή στο,+, να βρεθεί η παράγωγο τη ζφ g = + f dt Χ ηθ t 65. Αν η συνάρτηση f είναι συνεή στο,+, να βρεθεί η παράγωγο τη ζ t φ g = + t f Χ Χdt ηθ Ομάδα Θ 66. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού και η παράγωγο τη F τη συνάρτηση + 3 t e = Χdt t Να βρεθεί το πεδίο ορισμού και η δεύτερη παράγωγο τη συνάρτηση ζ u φ F = dt Χ Χdu η θ t Αν η συνάρτηση f είναι συνεή στο, να βρεθεί η παράγωγο η συνάρτηση b F = f 5-t Χdt. 69. Αν η συνάρτηση f είναι συνεή και περιττή στο, να αποδειθεί ότι 4- F = f -t Χdt, είναι σταθερή. 7. Αν η συνάρτηση f είναι συνεή στο, να αποδειθεί ότι u ζ Χf ( u) Χf ( t) Χdt φ Χ du = ζ f ( t) Χdt φ για κάθε Ξ. ηθ ηθ 335