σκήσεις σχ. ιβλίου σελίδας 5 5 ενικές ασκήσεις. ανονικό εξάγωνο ΕΖ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο, ) και έστω, Λ,, Ν, Ρ, Σ τα µέσα των πλευρών του. Να αποδείξετε ότι το ΛΝΡΣ είναι κανονικό εξάγωνο µε κέντρο Ο. Να αποδείξετε ότι (ΛΝΡΣ) ( ΕΖ). i Να βρεθεί, ως συνάρτηση του, το µήκος του εγγεγραµµένου κύκλου στο Ζ ΛΝΡΣ. Ρ Σ Ε O Ν Η Θ Λ (ΛΝΡΣ) 6 (ΟΛ) 6 6 Ο Στο τρίγωνο είναι Λ λ Οµοίως για όλες τις πλευρές του ΛΝΡΣ. () OK α ΟΛ... () 6 πό τις () και () ΛΝΡΣ κανονικό εξάγωνο ακτίνας OK 8 6 (). ( ΕΖ). 6 (Ο). 6 πό τις () και () 8 6 (ΛΝΡΣ) ( ΕΖ). () i Θ το σηµείο τοµής των Λ, Ο. Ο ΟΘ Λ άρα το ΟΘ είναι απόστηµα του ΛΝΡΣ. άρα και ακτίνα του εγγεγραµµένου του κύκλου. ΟΘ Ο ήκος του εγγεγραµµένου κύκλου στο ΛΝΡΣ π ΟΘ π π
. Έστω κύκλος (Ο, ) και µία χορδή του λ. ν ο κύκλος (Ο, α ) τέµνει τις ν ακτίνες Ο και Ο στα και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το εµβαδόν ε του µικτόγραµµου τετραπλεύρου Ά (µε δύο πλευρές τόξα) ισούται µε το εµβαδόν του κυκλικού τοµέα Ο και νε π. Ο ε (κ. τοµέας Ο) (κ. τοµέας Ο ) 60 π πα 60 ν ν 60 60 π ν π ν π ν π π (Ο ν ) ν ε π νε π ν. ε βάσεις τις πλευρές ενός ν-γώνου και στο εξωτερικό του κατασκευάζουµε ν ορθογώνια µε το ίδιο ύψος υ. Συνδέουµε τις εξωτερικές πλευρές τους µε τόξα κύκλων που γράφουµε µε κέντρα τις κορυφές και ακτίνα υ. Να βρεθεί το άθροισµα των εµβαδών των ν κυκλικών τοµέων που σχηµατίζονται. Έστω... το ν γωνο και ν µ, µ,..., µ τα ανοίγµατα των ν κυκλικών τοµέων και ε, ε,..., τα εµβαδά τους αντίστοιχα. ε ν πυ µ πυ µ πυ µ ε + ε +... + ε ν + +... + 60 60 60 ν πυ ( µ + µ +... + µ 60 ν ) () µ + µ +... + µ ν 80 ο ˆ + 80 ο ˆ +... + 80 ο ˆ ν ν 80 ο ( ˆ + ˆ +... + ˆ ) ν ν 80 ο (80 ο ν 60 ο ) 60 ο () ε + ε +... + ε ν πυ 60 ο 60 πυ
. Στο εσωτερικό τετραγώνου γράφουµε τέσσερις ίσους κύκλους πουν εφάπτονται µεταξύ τους εξωτερικά και εφάπτονται των πλευρών του τετραγώνου. Να υπολογισθεί, ως συνάρτηση της πλευράς α του τετραγώνου, το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τους τέσσερις κύκλους. ν x είναι η ακτίνα των ίσων κύκλων, τότε x α, οπότε x α και ΛΝ τετράγωνο x Λ Ν πλευράς α. Ζητ. εµβαδόν (ΛΝ) (τεταρτοκύκλιο) α π x ( ) α π α 6
5. Στο κυκλικό οικόπεδο ακτίνας 0m του σχήµατος, το εγγεγραµµένο τετράγωνο έχει το µέγιστο δυνατό εµβαδόν και πρόκειται να πλακοστρωθεί. Στα τέσσερα κυκλικά τµήµατα θα τοποθετηθούν ισάριθµες κυκλικές γλάστρες µε το µέγιστο δυνατό εµβαδόν επίσης, ενώ το υπόλοιπο θα φυτευθεί µε γκαζόν. Να βρεθεί το εµβαδόν : του µέρους που θα πλακοστρωθεί του µέρους που θα καλύπτουν οι γλάστρες i του µέρους που θα φυτευθεί µε γκαζόν. Πλευρά του τετραγώνου : λ 0 Εµβαδόν του µέρους που θα πλακοστρωθεί εµβαδόν του τετραγώνου Υπολογίζουµε την ακτίνα x της κυκλικής γλάστρας λ Ο + Ο + x 0 + x 0 0 + x 0 Ο ( ) 0 00 x 0 0 x 0( ) Εµβαδόν του µέρους που θα καλύπτουν οι γλάστρες π x m π00( ) 00π( + ) 00π(6 ) 800π( ) i Εµβαδόν του µέρους που θα φυτευθεί µε γκαζόν ( κυκλικά τµήµατα) ( κύκλοι ακτίνας x) (ο αρχικός κύκλος) (το τετράγωνο) ( κύκλοι ακτίνας x) π 00 π x π 600 00 800π( ) π 600 00 00π + 600π 600π 800π 00.
5 6. Στο διπλανό σχήµα το τετράγωνο έχει πλευρά α 50 m. Να βρεθεί : το εµβαδόν του εγγεγραµµένου κύκλου το εµβαδόν καθενός από τους τέσσερις κύκλους που εφάπτονται εσωτερικά του τετραγώνου και εξωτερικά του εγγεγραµµένου κύκλου. Έστω Ο το κέντρο του εγγεγραµµένου κύκλου και Ζ το σηµείο επαφής του µε την, δηλαδή ΟΖ άρα ΟΖ ΟΖ BA Εµβαδόν του κύκλου (Ο, 5) π 5 65π m Ζ 5. Έστω (, x) ο ένας από τους τέσσερις κύκλους, το σηµείο επαφής του µε τον κύκλο Ο και Λ το σηµείο επαφής του µε την. Τρίγωνο Λ ορθογώνιο και ισοσκελές x Είναι Ο + + Ο B 50 5 5 + x + x 5 x( + ) 5 5 x ( ) 5 + ( ) 5 ( + )( ) ( + ) 5 Εµβαδόν του κύκλου (Ο, x) π x π 65( ) 65π(9 + 8) 65π(7 ) m O Λ 5( )
6 7. Να βρεθεί η µικρότερη γωνία που σχηµατίζουν οι προεκτάσεις των πλευρών ενός κανονικού δεκαπενταγώνου. Ο Λ Σ Έστω και Λ δύο τυχαίες πλευρές του κανονικού δεκαπενταγώνου και Σ το σηµείο τοµής τους. 0 Σε κάθε πλευρά αντιστοιχεί τόξο 60 ο 5 Έστω ν 7 πλευρές του καν. δεκαπενταγώνου έχουν τα άκρα τους στο τόξο Λ. Τότε 5 ν ν πλευρές θα έχουν τα άκρα τους στο τόξο. Άρα Λ ν σε µοίρες και ( ν) ν Είναι ˆ Λ ν ( ν) Σ ν + ν 8ν ν 56 ια να έχουµε τη µικρότερη γωνία ˆΣ, θα πρέπει να έχουµε τη µικρότερη τιµή του ν. Άρα ν 7. Οπότε ˆΣ 7 56 68 56 ο
7 8. Θεωρούµε ηµικύκλιο διαµέτρου και σηµείο της. εταβλητή ηµιευθεία x κάθετη στην τέµνει το ηµικύκλιο στο σηµείο Σ. Πάνω στη x παίρνουµε σηµείο, ώστε να ισχύει Σ και φέρουµε ευθεία κάθετη στην στο, που τέµνει την προέκταση της στο. Τότε να αποδείξετε ότι να βρείτε το γεωµετρικό τόπο του σηµείου, καθώς η ηµιευθεία x µεταβάλλεται i να αποδείξετε ότι το µήκος της γραµµής που γράφει το ισούται µε το µήκος του ηµικυκλίου διαµέτρου. x x Τρ. :. M Τρ. Σ : Σ. Σ Η υπόθεση Σ γίνεται ˆ 90 ο Το βρίσκεται στο ηµικύκλιο διαµέτρου επειδή όµως βρίσκεται και στην x µε οριακές θέσεις του τα σηµεία και ο γεωµετρικός τόπος του είναι το τεταρτοκύκλιο i ήκος του τεταρτοκυκλίου π π ήκος του ηµικύκλιο διαµέτρου π π πό τις (), () το ζητούµενο () ()
8 9. ίνεται ηµικύκλιο διαµέτρου Ο, τυχαίο σηµείο του και το µέσο του τόξου. ν ε, ε είναι τα εµβαδά των κυκλικών τµηµάτων των χορδών, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ε ε ( Ο ), όπου ( Ο ) το εµβαδόν του κυκλικού τοµέα Ο. Να αποδείξετε ότι ο µέγιστος κύκλος που εγγράφεται στο κυκλικό τµήµα χορδής είναι αυτός που εφάπτεται στο µέσο της χορδής. i Έστω Ε, Ε τα εµβαδά των µέγιστων κύκλων των εγγεγραµµένων στα κυκλικά τµήµατα χορδών, αντίστοιχα. α) να αποδείξετε ότι Ε + Ε π β) αν B 0 ο, να αποδείξετε ότι Ε + (7 + ) Ε Ο Ε Λ Ζ Η O K Ν ε ε [(κ. τοµέας [(κ. τοµέας π 8 OA ) (Ο)] OA ) (Ο)] (κ. τοµέας OA ) (Ο) (κ. τοµέας OA ) + (Ο) (κ. τοµέας O ) Σηµείωση : Είναι (Ο) (Ο) διότι η Ο είναι διάµεσος του τριγώνου. Έστω ο κύκλος που εγγράφεται στο κυκλικό τµήµα χορδής στο µέσο της χορδής και Ν το σηµείο επαφής. Έστω επίσης Λ ο τυχαίος κύκλος που εγγράφεται στο κυκλικό τµήµα χορδής, Ε το σηµείο επαφής, Ζ η τοµή η τοµή της ΟΕ µε τον κύκλο και Η η τοµή της ΟΕ µε την. ρκεί να αποδείξουµε ότι ΕΖ Ν ΕΖ ΕΟ ΖΗ ΗΟ ΕΟ ΗΟ ΕΟ Ο ΝΟ Ο Ν i α) Ν Ο Ν Ν π Ε + Ε + π π Ν π
9 ε Πυθαγόρειο είναι Ο + Ο + Ν + Ν ( OM ) + ( OM ) Ο Ο + Ο + ( Ο + Ο ) ( + ) Ο A + A + που ισχύει από την τριγωνική ανισότητα i β) B 0 ο B 60 ο και A 0 ο λ και λ. 6 Οπότε Ν ΟΝ Ο α και Ν ΟΝ Ο α 6 ( ) Ε + (7 + ) Ε π π 8 Ν + (7 + ) π ( ) + (7 + ) 6 + (7 + ) Ν π 8 ( ) ( + ) 6 8 8 + (7 + ) (7 ) ( ) 7 9 8 που ισχύει
0 0. ύο ίσοι κύκλοι µε κέντρα Ο και Ο αντίστοιχα εφάπτονται εξωτερικά στο. Φέρουµε δύο ακτίνες Ο και Ο παράλληλες µεταξύ τους και στο ίδιο ηµιεπίπεδο ως προς την ΟΟ. ατασκευάζουµε εξωτερικά από τους δύο κύκλους το ηµικύκλιο διαµέτρου. Να αποδείξετε ότι : (O ) (O Ά ) (O ) + (Ο ) (Ο ), i (O ) + (Ο ) (K ) B O A B O όπου το αντιδιαµετρικό του στον Ο, όπου το µέσο του, iv) το εµβαδόν ε του καµπυλόγραµµου σχήµατος µε πλευρές τα τόξα, και είναι ίσο µε το εµβαδόν του παραλληλογράµµου ΟΌ. ν τα, κινούνται πάνω στους κύκλους, ώστε οι ακτίνες Ο και Ο να διατηρούν τις αρχικές ιδιότητες, σε ποια θέση των, το εµβαδόν γίνεται µέγιστο; OBΟ ˆΟ Ο ˆ (O ) (O Ά ) (O ) + (Ο ) (O Ά ) + (Ο ) (Ο ) i (O ) + (Ο ) (Ο ) (K ) (ίσες διάµετροι) iv) Έστω το δεύτερο σηµείο τοµής της µε τον κύκλο Ο και ε το εµβαδόν του µικτογράµµου τριγώνου. ε (K ) + ε (κυκλικό τµήµα ) (O ) + (Ο ) + ε (κυκλικό τµήµα ) (ΟΌ ) Το εµβαδόν του καµπυλόγραµµου σχήµατος γίνεται µέγιστο, όταν γίνεται µέγιστο το εµβαδόν του παραλληλογράµµου (ΟΌ ). Επειδή, όµως, το παραλληλόγραµµο έχει σταθερή βάση ΟΟ, το εµβαδόν του θα γίνεται µέγιστο, όταν γίνεται µέγιστο το ύψος του, το οποίο συµβαίνει όταν οι Ο, Ο γίνονται κάθετες στην ΟΟ.