ΚΕΦΑΛΑΙΟ 43ο. Από πού έρχοµαι; Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 43ο Σίγουρα την αρχική τιµή! Λύνω προβλήµατα µε ποσοστά: Βρίσκω την αρχική τιµή Από πού έρχοµαι; Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: Να µάθεις να λύνεις προβλήµατα µε ποσοστά και να βρίσκεις την αρχική τιµή όταν ξέρεις την τελική τιµή και το ποσοστό στα εκατό (%). Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 23

ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ραστηριιότητα 1η Ένα µαγαζί µε ποδήλατα διαφηµίζει ότι έχει βάλει έκπτωση 35% σε όλα τα είδη του. Βλέπεις στη βιτρίνα ένα ποδήλατο που κοστίζει µετά την έκπτωση 78. Πόσο κόστιζε αρχικά; Σε τι διαφέρει το πρόβληµα αυτό από τα προβλήµατα ποσοστών του προηγούµενου µαθήµατος;....................................... Θυµήσου το σχήµα του προηγούµενου µαθήµατος σχετικά µε τις διάφορες τιµές στα προβλήµατα ποσοστών και συµπλήρωσε τις τιµές του προβλήµατος. Στη θέση των άγνωστων τιµών µπορείς να βάλεις τις µεταβλητές. Στο συγκεκριµένο ποδήλατο γνωρίζεις την.... τιµή και ψάχνεις...... Στο κλάσµα 35 100 (ποσοστό %) το 100 δηλώνει την.... τιµή ενός ποδηλάτου. Να βρεις την τελική τιµή για το ποδήλατο των 100................... Τώρα µπορείς να συµπληρώσεις τον πίνακα και την αναλογία: ΠΟΣΑ ΤΙΜΕΣ Κοστίζει µετά την έκπτωση Κόστιζε πριν την έκπτωση 100 τελική τιµή... =... αρχική τιµή 100... Μπορείς να το λύσεις µε όποια άλλη από τις µεθόδους των ανάλογων ποσών θέλεις. 24 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

Πώς θα αντιµετωπίσω αποτελεσµατικά τη δραστηριότητα αυτή; - Τι έχεις στη δραστηριότητα αυτή; - Έχω ένα πρόβληµα στο οποίο γνωρίζω το ποσοστό έκπτωσης και την τελική τιµή πώλησης του ποδηλάτου και πρέπει να βρω την αρχική του τιµή. Πόσο κόστιζε πριν τις εκπτώσεις; Θα ακολουθήσω προσεκτικά τα βήµατα της δραστηριότητας και θα το λύσω. Απαντώ στις ερωτήσεις της δραστηριότητας Σε τι διαφέρει το πρόβληµα αυτό από τα προβλήµατα ποσοστών του προηγούµενου µαθήµατος; Απάντηση Στο προηγούµενο µάθηµα γνωρίζαµε το ποσοστό και την αρχική τιµή και βρίσκαµε την τελική τιµή. Στο πρόβληµα αυτό γνωρίζουµε το ποσοστό και την τελική τιµή και θέλουµε να βρούµε την αρχική τιµή. Θυµήσου το σχήµα του προηγούµενου µαθήµατος σχετικά µε τις διάφορες τιµές στα προβλήµατα ποσοστών και συµπλήρωσε τις τιµές του προβλήµατος. Στη θέση των άγνωστων τιµών µπορείς να βάλεις τις µεταβλητές. Απάντηση 35% x έκπτωση 78 = Στον µπλε κύκλο βάζουµε την αρχική τιµή x (άγνωστη). Στο συννεφάκι βάζουµε το ποσοστό έκπτωσης 35%. Στον πράσινο κύκλο βάζουµε την έκπτωση που γίνεται στην αρχική τιµή. Τέλος, στον κόκκινο κύκλο βάζουµε την τελική τιµή. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 25

Στο συγκεκριµένο ποδήλατο γνωρίζεις την.... τιµή και ψάχνεις...... Απάντηση Στο συγκεκριµένο ποδήλατο γνωρίζεις την τελική τιµή και ψάχνεις την αρχική τιµή. Στο κλάσµα 35 100 (ποσοστό %) το 100 δηλώνει την.... τιµή ενός ποδηλάτου. Απάντηση Στο κλάσµα 35 100 (ποσοστό %) το 100 δηλώνει την αρχική τιµή ενός ποδηλάτου. Να βρεις την τελική τιµή για το ποδήλατο των 100. Απάντηση Αφού γίνεται έκπτωση 35%, για το ποδήλατο των 100 η έκπτωση θα είναι 35. Οπότε, η τελική τιµή του θα είναι 100 35 = 65. Τώρα µπορείς να συµπληρώσεις τον πίνακα και την αναλογία: Απάντηση ΠΟΣΑ ΤΙΜΕΣ Κοστίζει µετά την έκπτωση 65 78 Κόστιζε πριν την έκπτωση 100 x τελική τιµή 65 78 = αρχική τιµή 100 x 26 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

Βρίσκουµε τα σταυρωτά γινόµενα: 65 x = 100 78 Άρα 65 x = 7.800, οπότε x = 7.800 : 65, άρα x = 120. Ώστε η αρχική τιµή του ποδηλάτου (πριν την έκπτωση) ήταν 120. Επαλήθευση: Πράγµατι, Το 35% του 120 είναι 0,35 120 = 42 η έκπτωση και 120 42 = 78 η τελική τιµή. Μπορείς να το λύσεις µε όποια άλλη από τις µεθόδους των ανάλογων ποσών θέλεις. Απάντηση Με την απλή µέθοδο των τριών. Βοηθητική πράξη: Στα 100 αρχική τιµή, η έκπτωση είναι 35. Άρα η τελική τιµή είναι 100 35 = 65 Στα 100 αρχική τιµή αντιστοιχεί τελική τιµή 65 Στα x αρχική τιµή αντιστοιχεί τελική τιµή 78. Τα ποσά είναι ανάλογα, εποµένως: x = 100 78 65 = 7.800 65 =120 Ώστε η αρχική τιµή του ποδηλάτου (πριν την έκπτωση) ήταν 120. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 27

ραστηριιότητα 2η Το πρωί η Βασιλική διάβασε πάνω στο κουτί µε το γάλα: «Πίνοντας 500 ml γάλα (2 µεγάλα ποτήρια) ο οργανισµός µας παίρνει το 75% της Συνιστώµενης Ηµερήσιας Ποσότητας ασβεστίου». Είδε στο διατροφικό πίνακα ότι 100 ml γάλα περιέχουν 120 mg ασβέστιο και σκέφτηκε να υπολογίσει πόσα mg ασβεστίου χρειάζεται ο οργανισµός καθηµερινά. Τι πρέπει να βρούµε πρώτα;.............................. Κάνε την πράξη:..................................... Αυτό που βρήκες είναι το σύνολο των αναγκών ή το µέρος;............... Είναι αρκετό αυτό που βρήκες, µαζί µε το 75% για να εφαρµόσεις κάποια από τις µεθόδους λύσης των προβληµάτων µε ποσοστά;..................... Να επιλέξεις µια µέθοδο και να εξηγήσεις πώς θα έλυνες το πρόβληµα........ mg = µιλιγκράµ = τo ένα χιλιοστό του γραµµαρίου. 1 gr = 1.000 mg. Σ.Η.Π.: Συνιστώµενη Ηµερήσια Ποσότητα. Απαντώ στις ερωτήσεις της δραστηριότητας Τι πρέπει να βρούµε πρώτα; Απάντηση Πρέπει να βρούµε τα 500 ml γάλα πόσο ασβέστιο περιέχουν. Κάνε την πράξη: 28 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

Απάντηση Τα 100 ml περιέχουν 120 mg ασβέστιο. Άρα, τα 500 ml που είναι 5 φορές περισσότερα, θα περιέχουν 5 φορές περισσότερο ασβέστιο, δηλαδή 5 120 = 600 mg ασβέστιο. Αυτό που βρήκες είναι το σύνολο των αναγκών ή το µέρος; Απάντηση Αυτό που βρήκα είναι το µέρος των αναγκών (το 75%) και όχι το σύνολο (το 100%). ηλαδή βρήκα ότι τα 600 mg ασβεστίου αποτελούν το 75% της Συνιστώµενης Ηµερήσιας Ποσότητας. Πρέπει όµως να βρω το 100%, δηλαδή την αρχική τιµή του ασβεστίου. Είναι αρκετό αυτό που βρήκες, µαζί µε το 75% για να εφαρµόσεις κάποια από τις µεθόδους λύσης των προβληµάτων µε ποσοστά; Απάντηση Ναι, είναι αρκετό. Με αναλογία: ΠΟΣΑ ΤΙΜΕΣ Ποσοστό επί της τιµής 75 600 Αρχική τιµή ασβεστίου 100 x ποσοστό 75 600 = αρχική τιµή 100 x Βρίσκουµε τα σταυρωτά γινόµενα: 75 x = 100 600 Άρα 75 x = 60.000, οπότε x = 60.000 : 75, άρα x = 800 mg. Ώστε ο ανθρώπινος οργανισµός χρειάζεται καθηµερινά 800 mg ασβεστίου. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 29

Με την απλή µέθοδο των τριών. Βοηθητική πράξη: Στα 500 ml γάλα περιέχονται 600 mg ασβέστιο. Τα 600 mg ασβεστίου είναι το 75% της Σ.Η.Π. Τα x mg ασβεστίου είναι τo 100% της Σ.Η.Π. Τα ποσά είναι ανάλογα, εποµένως: x = 600 100 75 = 60.000 = 800 mg. 75 Ώστε ο ανθρώπινος οργανισµός χρειάζεται καθηµερινά 800 mg ασβεστίου. ΠΡΟΣΟΧΗ! Όταν έχουµε µε προβλήµατα ποσοστών, τα ποσά είναι πάντα ανάλογα. π.χ.: Η τιµή του ηλεκτρικού ρεύµατος αυξήθηκε κατά 5%. Εποµένως στα 100 η αύξηση είναι 5. Στα διπλάσια χρήµατα (200 ) η αύξηση θα είναι διπλάσια (10 ), στα τριπλάσια χρήµατα (300 ), η αύξηση θα είναι τριπλάσια (15 ), κ.ο.κ. εν είναι απαραίτητο να υπολογίσουµε την τιµή που δεν χρειάζεται, δηλαδή την αύξηση ή τη µείωση. Βρίσκουµε απ ευθείας την αρχική τιµή. Παράδειγµα: Πόσο αγοράζει ο κρεοπώλης το µοσχαρίσιο κρέας όταν το πουλάει 8 το κιλό και το ποσοστό κέρδους είναι 25%; Λύση: Αν το αγόραζε 100 (αρχική τιµή) θα είχε κέρδος 25 και θα το πουλούσε 125 (τελική τιµή). Εποµένως (απλή µέθοδος των τριών): Αν το αγόραζε 100 το κιλό θα το πουλούσε 125. Το αγοράζει x ; το κιλό και το πουλάει 8. Επειδή τα ποσά είναι ανάλογα θα έχουµε: x = 100 8 125 = 800 125 Άρα, διαιρώντας 800 : 125, βρίσκω ότι το αγοράζει 6,40 το κιλό 30 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

Τι µάθαµε µέχρι τώρα; Μέχρι τώρα µάθαµε ότι: Σε προβλήµατα ποσοστών στα οποία γνωρίζω την τελική τιµή ενός ποσού και το ποσοστό (αύξησης ή µείωσης), µπορώ εύκολα να βρω την αρχική τιµή χωρίς να χρειάζεται να υπολογίσω πρώτα την αύξηση ή τη µείωση. Παράδειγµα: Η τιµή του ψωµιού αυξήθηκε τον τελευταίο χρόνο κατά 10%. Αν φέτος κοστίζει 55 λεπτά το κιλό, πόσο κόστιζε πέρυσι; Λύση: Αν πέρυσι κόστιζε 100 φέτος µε την αύξηση 10% θα κοστίζει 110. Άρα: τελικ ή τιµή 110 55 = Πολλαπλασιάζω χιαστί: 110 x = 100 55, άρα 110 x = 5.500, οπότε x = 5.500 :110 δηλαδή x = 50 λεπτά κόστιζε το ψωµί πέρυσι. Σε προβλήµατα στα οποία το ποσοστό δηλώνει µέρος ενός συνόλου και όχι κάποια αύξηση ή µείωση της αρχικής τιµής, πρώτα βρίσκουµε το ποσοστό στην αρχική τιµή και µετά την αρχική τιµή. Παράδειγµα: Πίνοντας 500 ml γάλα ο οργανισµός µας παίρνει το 60% της Συνιστώµενης Ηµερήσιας Ποσότητας φωσφόρου. Τα 100 ml γάλα περιέχουν 90 mg φώσφορο. Πόσα mg φώσφορο χρειάζεται ο οργανισµός µας καθηµερινά; Λύση: Πρώτα βρίσκουµε το ποσοστό στην αρχική τιµή: Τα 100 ml περιέχουν 90 mg φώσφορο, άρα τα 500 ml περιέχουν 5 90 = 450 mg. Μετά βρίσκω την αρχική τιµή: ποσοστ ό 60 = 450 Πολλαπλασιάζω χιαστί: 60 x = 100 450, άρα 60 x = 45.000, οπότε x = 45.000 : 60 δηλαδή x = 750 mg φωσφόρου χρειαζόµαστε καθηµερινά. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 31

Εφαρµογές Εφαρµογή Ρωτήσαµε κάποιους µαθητές ηλικίας 12 14 ετών «πόσο συχνά σερφάρετε στο ιντερνετ;» Οι 210 µαθητές (ποσοστό 70%) απάντησαν «µια φορά την εβδοµάδα». Οι υπόλοιποι απάντησαν «µια φορά το µήνα». Πόσοι ήταν οι υπόλοιποι µαθητές; Λύση Θα λύσω το πρόβληµα µε τρεις τρόπους: 1ος τρόπος (µε εξίσωση) Έστω ότι όλοι οι µαθητές ήταν x. Το 70% των x µαθητών ήταν 210. Οπότε: 0,70 x = 210. Εποµένως x = 210 : 0,70, δηλαδή x = 300 µαθητές ήταν όλοι. Αφού όλοι οι µαθητές ήταν 300 και 210 απάντησαν «µια φορά την εβδοµάδα», οι υπόλοιποι 300 210 = 90, απάντησαν «µια φορά το µήνα. 2ος τρόπος (µε απλή µέθοδο των τριών) Έστω ότι όλοι οι µαθητές ήταν x. 1ο βήµα: Κάνουµε την κατάταξη. Στους 100 µαθητές οι 70 απάντησαν «µια φορά την εβδοµάδα» Στους x µαθητές; απάντησαν 210 «µια φορά την εβδοµάδα». 2ο βήµα: Τα ποσά είναι ανάλογα. 3ο βήµα: Λύνουµε το πρόβληµα εφαρµόζοντας τον κανόνα: «Το x θα είναι ίσο µε τον αριθµό που βρίσκεται πάνω του, επί το κλάσµα που βρίσκεται δίπλα του αλλά αντεστραµµένο»: 32 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

x = 100 210 70, δηλαδή x = 100 3 άρα x = 300 ήταν όλοι οι µαθητές. Εποµένως, οι υπόλοιποι ήταν: 300 210 = 90 µαθητές. 3ος τρόπος (µε αναλογία) ποσοστ ό 70 = 210 Πολλαπλασιάζω χιαστί: 70 x = 100 210, άρα 70 x = 21.000, οπότε x = 21.000 : 70 δηλαδή x = 300 ήταν όλοι µαθητές. Εποµένως οι υπόλοιποι ήταν 300 210 = 90 µαθητές. Απάντηση Οι υπόλοιποι ήταν 90 µαθητές. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 33

Ερωτήσειις γιια αυτοέλεγχο καιι συζήτηση Στο κεφάλαιο αυτό µελετήσαµε τη σχέση: αρχική τιµή ποσοστό τελική τιµή και µάθαµε να βρίσκουµε την αρχική τιµή. Μπορείς να δώσεις ένα δικό σου παράδειγµα; Παράδειγµα: Αγοράσαµε ένα ζευγάρι παπούτσια στις εκπτώσεις µε έκπτωση 40% και πληρώσαµε 54. Ποια ήταν η αρχική τους τιµή; Λύση: Αν τα παπούτσια κόστιζαν 100 (αρχική τιµή) θα είχαµε µείωση 40 (40%) και θα πληρώναµε 60 (τελική τιµή). Τώρα που η τελική τιµή είναι 54, ποια είναι η αρχική τιµή; Οπότε συµπληρώνω την αναλογία: τελικ ή τιµή 60 = 54 Πολλαπλασιάζω χιαστί: 60 x = 100 54, άρα 60 x = 5.400, οπότε x = 5.400 : 60 δηλαδή x = 90 κόστιζαν τα παπούτσια πριν τις εκπτώσεις. 34 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

Σηµειώστε αν είναι σωστές ή λάθος και συζητήστε τις παρακάτω εκφράσεις: Σωστό Λάθος Για να υπολογίσω την αρχική τιµή αρκεί να ξέρω άλλες δύο τιµές. Στα προβλήµατα ποσοστών πάντα υπάρχει τελική τιµή. Σε µια έρευνα το δείγµα είναι µέρος του συνολικού πληθυσµού. Απάντηση: Η έκφραση «Για να υπολογίσω την αρχική τιµή αρκεί να ξέρω άλλες δύο τιµές» είναι Σωστή. Πρέπει να ξέρω το ποσοστό και µια τιµή ακόµα. Η έκφραση «Στα προβλήµατα ποσοστών πάντα υπάρχει τελική τιµή» είναι Λάθος. Στα προβλήµατα στα οποία το ποσοστό δηλώνει µέρος του συνόλου (κι όχι κάποια αύξηση ή µείωση της αρχικής τιµής) δεν υπάρχει τελική τιµή. Η έκφραση «Σε µια έρευνα το δείγµα είναι µέρος του συνολικού πληθυσµού» είναι Σωστή. Συµπληρώνουµε λοιπόν: Σωστό Λάθος Για να υπολογίσω την αρχική τιµή αρκεί να ξέρω άλλες δύο τιµές. Στα προβλήµατα ποσοστών πάντα υπάρχει τελική τιµή. Σε µια έρευνα το δείγµα είναι µέρος του συνολικού πληθυσµού. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 35

ΤΕΤΡΑ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 43ο ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1ο Η περιεκτικότητα του ζαχαρότευτλου σε ζάχαρη είναι το 8% του βάρους του. Πόσα κιλά ζαχαρότευτλα απαιτούνται για να παραχθούν τα 50 κιλά ζάχαρης που καταναλώνει µια τετραµελής οικογένεια σε ένα χρόνο; Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση; - Ποια είναι τα δεδοµένα και ποια είναι τα ζητούµενα στο πρόβληµα αυτό; - Τα δεδοµένα είναι ότι γνωρίζω το ποσοστό περιεκτικότητας σε ζάχαρη (8%) και την τελική τιµή της ζάχαρης (50 κιλά) που χρειάζεται µια οικογένεια για ένα χρόνο. Το ζητούµενο είναι να βρούµε πόσα κιλά ζαχαρότευτλα (αρχική τιµή) χρειαζόµαστε για 50 κιλά ζάχαρη. - Πώς θα λύσεις το πρόβληµα; - Με δύο τρόπους: Με αναλογία, όπως έχω κάνει στις δραστηριότητες και στα παραδείγµατα και µε την απλή µέθοδο των τριών. Λύση 1 ος τρόπος (Με αναλογία): Σε αρχική τιµή 100 κιλά ζαχαρότευτλου αντιστοιχεί τελική τιµή 8 κιλά ζάχαρη. Σε πόσα κιλά ζαχαρότευτλα αντιστοιχούν τα 50 κιλά ζάχαρη; Συµπληρώνω την αναλογία: τελική τιµή 8 = 50 36 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

Βρίσκω τα σταυρωτά γινόµενα: 8 x = 100 50 Κάνω τον πολλαπλασιασµό: 8 x = 5.000 ιαιρώ µε το 8 και βρίσκω: x = 5.000 : 8, άρα x = 625 κιλά ζαχαρότευτλα. 2 ος τρόπος (Με απλή µέθοδο των τριών) Ξέρω ότι η περιεκτικότητα των ζαχαρότευτλων σε ζάχαρη είναι 8%. Εποµένως: Από 100 κιλά ζαχαρότευτλα παίρνουµε 8 κιλά ζάχαρη Από x κιλά ζαχαρότευτλα παίρνουµε 50 κιλά ζάχαρη; Επειδή τα ποσά είναι ανάλογα, βρίσκω τον άγνωστο x πολλαπλασιάζοντας το 100 µε το αντίστροφο του διπλανού κλάσµατος. x = 100 50 8, άρα x = 100 50 5.000 = = 625 8 8 κιλά (κάναµε τη διαίρεση 5.000 : 8) Απάντηση Για 50 κιλά ζάχαρη χρειαζόµαστε 625 κιλά ζαχαρότευτλα. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2ο Κάναµε µια έρευνα για να διαπιστώσουµε αν στις συσκευασίες των προϊόντων τους οι εταιρείες χρησιµοποιούσαν υλικά φιλικά προς το περιβάλλον. Μας απάντησαν 152 εταιρείες, ποσοστό 32% από όσες παρέλαβαν το ερωτηµατολόγιο. Πόσα ερωτηµατολόγια στείλαµε; * Υλικά φιλικά προς το περιβάλλον είναι αυτά που ανακυκλώνονται (π.χ. χαρτί, γυαλί κ.λπ.). Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση; - Ποια είναι τα δεδοµένα και ποια είναι τα ζητούµενα στο πρόβληµα αυτό; - Τα δεδοµένα είναι ότι γνωρίζω το ποσοστό των εταιρειών που απάντησαν (32%) και την τελική τιµή αυτών που απάντησαν (152 εταιρείες). Το ζητούµενο είναι να βρούµε πόσες εταιρείες ρωτήθηκαν (αρχική τιµή). - Πώς θα λύσεις το πρόβληµα; Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 37

- Με δύο τρόπους: Με αναλογία, όπως έχω κάνει στις δραστηριότητες και στα παραδείγµατα και µε την απλή µέθοδο των τριών. Λύση 1 ος τρόπος (Με αναλογία): Σε αρχική τιµή 100 εταιρειών αντιστοιχεί τελική τιµή 32 εταιρείες που απάντησαν. Αν απάντησαν 152 εταιρείες πόσες ρωτήθηκαν; Συµπληρώνω την αναλογία: τελική τιµή 32 = 152 Βρίσκω τα σταυρωτά γινόµενα: 32 x = 100 152 Κάνω τον πολλαπλασιασµό: 32 x = 15.200 ιαιρώ µε το 32 και βρίσκω: x = 15.200 : 32, άρα x = 475 εταιρείες. 2 ος τρόπος (Με απλή µέθοδο των τριών) Ξέρω ότι οι εταιρείες που απάντησαν είναι το 32% αυτών που ρωτήθηκαν. Εποµένως: Από τις 100 εταιρείες που ρωτήθηκαν, απάντησαν οι 32. Από x; εταιρείες που ρωτήθηκαν απάντησαν οι 152. Επειδή τα ποσά είναι ανάλογα, βρίσκω τον άγνωστο x πολλαπλασιάζοντας το 100 µε το αντίστροφο του διπλανού κλάσµατος. x = 100 152 32 15200 : 32), άρα x = 100 152 15.200 = = 475 32 32 εταιρείες (κάναµε τη διαίρεση Απάντηση Στείλαµε ερωτηµατολόγια σε 475 εταιρείες. 38 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3ο Ο καθηγητής των µαθηµατικών αφήνει πάντα φιλοδώρηµα το 15% της αξίας του γεύµατος. Σηκώνεται από το διπλανό τραπέζι αφού έφαγε, σας χαιρετά και φεύγει. Βλέπετε στο τραπέζι του να έχει αφήσει 2,40. Πόσος ήταν ο λογαριασµός; Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση; - Ποια είναι τα δεδοµένα και ποια είναι τα ζητούµενα στο πρόβληµα αυτό; - Τα δεδοµένα είναι ότι γνωρίζω το ποσοστό του φιλοδωρήµατος (15%) και την τελική τιµή φιλοδωρήµατος (2,40 ). Το ζητούµενο είναι να βρούµε πόσα χρήµατα ήταν ο λογαριασµός (αρχική τιµή) στον οποίο αντιστοιχεί αυτό το φιλοδώρηµα. - Πώς θα λύσεις το πρόβληµα; - Με δύο τρόπους: Με αναλογία, όπως έχω κάνει στις δραστηριότητες και στα παραδείγµατα και µε την απλή µέθοδο των τριών. Λύση 1 ος τρόπος (Με αναλογία): Σε αρχική τιµή 100 λογαριασµού αντιστοιχεί τελική τιµή 15 φιλοδώρηµα. Σε πόσα χρήµατα αντιστοιχούν τα 2,40 φιλοδώρηµα; Συµπληρώνω την αναλογία: τελική τιµή 15 = 2,40 Βρίσκω τα σταυρωτά γινόµενα: 15 x = 100 2,40 Κάνω τον πολλαπλασιασµό: 15 x = 240 ιαιρώ µε το 15 και βρίσκω: x = 240 : 15, άρα x = 16. 2 ος τρόπος (Με απλή µέθοδο των τριών) Ξέρω ότι το φιλοδώρηµα είναι το 15% του λογαριασµού. Εποµένως: Σε 100 λογαριασµού, αντιστοιχούν 15 ως φιλοδώρηµα. Σε x; λογαριασµού αντιστοιχούν τα 2,40 φιλοδώρηµα; Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 39

Επειδή τα ποσά είναι ανάλογα, βρίσκω τον άγνωστο x πολλαπλασιάζοντας το 100 µε το αντίστροφο του διπλανού κλάσµατος. x = 100 2,40 15, άρα x = 100 2,40 240 = = 16 15 15 (κάναµε τη διαίρεση 240 : 15). Απάντηση Ο λογαριασµός του καθηγητή ήταν 16. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4ο Οι πωλήσεις στο κατάστηµά µας το µήνα Ιανουάριο ήταν 18.000, λέει ο φίλος µου, και ήταν µειωµένος κατά 10% σε σχέση µε αυτές του προηγούµενου µήνα. Πόσα ήταν τα χρήµατα από τις πωλήσεις το εκέµβριο; Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση; - Ποια είναι τα δεδοµένα και ποια είναι τα ζητούµενα στο πρόβληµα αυτό; - Τα δεδοµένα είναι ότι γνωρίζω το ποσοστό της µείωσης των πωλήσεων (10%) του Ιανουαρίου σε σχέση µε το εκέµβριο και την τελική τιµή των πωλήσεων (18.000 ). Το ζητούµενο είναι να βρούµε πόσα χρήµατα ήταν οι πωλήσεις τον εκέµβριο (αρχική τιµή). - Πώς θα λύσεις το πρόβληµα; - Με δύο τρόπους: Με αναλογία, όπως έχω κάνει στις δραστηριότητες και στα παραδείγµατα και µε την απλή µέθοδο των τριών. Λύση 1 ος τρόπος (Με αναλογία): Τον Ιανουάριο, σε αρχική τιµή 100 πωλήσεων η µείωση ήταν 10, άρα οι πωλήσεις ήταν 90. Σε πόσες πωλήσεις (αρχική τιµή) του εκεµβρίου αντιστοιχούν οι 18.000 (τελική τιµή) πωλήσεις τον Ιανουάριο; 40 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

Συµπληρώνω την αναλογία: τελική τιµή 90 = 18.000 Βρίσκω τα σταυρωτά γινόµενα: 90 x = 100 18.000 Κάνω τον πολλαπλασιασµό: 90 x = 1.800.000 ιαιρώ µε το 90 και βρίσκω: x = 1.800.000 : 90, άρα x = 20.000. 2 ος τρόπος (Με απλή µέθοδο των τριών) Ξέρω ότι η µείωση των πωλήσεων είναι 10%. Εποµένως: 100 10 = 90. Σε 100 πωλήσεις το εκέµβριο, αντιστοιχούν 90 πωλήσεις τον Ιανουάριο. Σε x; πωλήσεις το εκέµβριο, αντιστοιχούν οι 18.000 πωλήσεις τον Ιανουάριο; Επειδή τα ποσά είναι ανάλογα, βρίσκω τον άγνωστο x πολλαπλασιάζοντας το 100 µε το αντίστροφο του διπλανού κλάσµατος. x = 100 18.000 90 διαίρεση 1.800.000 : 90)., άρα x = 100 18.000 1.800.000 = = 20.000 90 90 (κάναµε τη Απάντηση Οι πωλήσεις το εκέµβριο ήταν 20.000. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 5ο Σε µια αίθουσα κινηµατογράφου ο διευθυντής παρατήρησε ότι ο συνηθισµένος αριθµός θεατών τις ευτέρες είναι µόνο 70 άτοµα. Για να αυξήσει τον αριθµό διαφήµισε ότι θα δίνει στους 45 πρώτους πελάτες από µια αφίσα του έργου. Την εποµένη ευτέρα υπολόγισε ότι οι 45 που κέρδισαν την αφίσα ήταν το 60% των θεατών. α) Να βρεις πόσοι ήταν οι θεατές εκείνη την ηµέρα. β) Κάθε αφίσα κοστίζει 2 και από το εισιτήριο κερδίζει 6. Υπολογίζοντας πόσο κέρδισε εκείνη τη ευτέρα σε σχέση µε αυτό που κέρδιζε τις προηγούµενες ευτέρες σκέψου και απάντησε αν αξίζει να συνεχιστεί η προσφορά και τις επόµενες ευτέρες. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 41

Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση; - Ποια είναι τα δεδοµένα και ποια είναι τα ζητούµενα στο πρόβληµα αυτό; - Τα δεδοµένα είναι ότι γνωρίζω το ποσοστό των θεατών που κέρδισαν την αφίσα (60%) και την τελική τιµή των θεατών (45 θεατές). Το ζητούµενο είναι να βρούµε πόσοι ήταν όλοι οι θεατές (αρχική τιµή) εκείνη τη ευτέρα. Στη συνέχεια πρέπει να βρω αν άξιζε η προσφορά που έκανε, δεδοµένου ότι από κάθε εισιτήριο κέρδιζε 6 ενώ για κάθε αφίσα που χάριζε, έδινε 2. - Πώς θα λύσεις το πρόβληµα; - Με αναλογία, για να βρω το σύνολο των θεατών εκείνης της ηµέρας. Στη συνέχεια, θα πολλαπλασιάσω τον αριθµό αυτό µε τα 6 για να βρω πόσα χρήµατα κέρδισε και θα αφαιρέσω από το ποσό αυτό τα χρήµατα που πλήρωσε για τις 45 αφίσες. Λύση α) Σε αρχική τιµή 100 θεατών, αυτοί που κέρδισαν αφίσα ήταν 60 θεατές. Σε πόσους θεατές (αρχική τιµή) αντιστοιχούν οι 45 θεατές (τελική τιµή) που κέρδισαν εκείνη τη ευτέρα µια αφίσα; Συµπληρώνω την αναλογία: τελική τιµή 60 = 45 Βρίσκω τα σταυρωτά γινόµενα: 60 x = 100 45 Κάνω τον πολλαπλασιασµό: 60 x = 4.500 ιαιρώ µε το 60 και βρίσκω: x = 4.500 : 60, άρα x = 75 θεατές. Εποµένως, τη ευτέρα υπήρχαν 75 θεατές. β) Κάθε ευτέρα είχε 70 θεατές. Αφού από κάθε εισιτήριο κέρδιζε 6, από τα 70 εισιτήρια κέρδιζε: 70 6 = 420 Τη ευτέρα που έκανε την προσφορά είχε 75 θεατές. Εποµένως, κέρδισε: 75 6 = 450. Όµως αυτή τη ευτέρα έδωσε σε 45 θεατές από µία αφίσα που κόστιζε 2 η καθεµιά. 42 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

Έδωσε λοιπόν για τις αφίσες: 45 2 = 90. Είχε λοιπόν τελικό κέρδος: 450 90 = 360. Τα 360 είναι λιγότερα από τα 420 που κέρδιζε κάθε προηγούµενη ευτέρα. Άρα, δεν τον συµφέρει να συνεχίσει την προσφορά. Απάντηση Α) Εκείνη την ηµέρα ήταν 75 θεατές. Β) Όχι, δεν αξίζει να συνεχίσει την προσφορά. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 43

ραστηριιότητα µε προεκτάσειις: «Έρρεευυννεεςς» Σε µια µελέτη ή µια έρευνα συνήθως είναι αδύνατο να πλησιάσουµε όλο τον πληθυσµό. Το δείγµα είναι το τµήµα του πληθυσµού που έχουµε προσεγγίσει. Αν το δείγµα µας είναι σωστά επιλεγµένο, τα ευρήµατά µας αντιπροσωπεύουν ολόκληρο τον πληθυσµό. Σε µια έρευνα που έγινε σε µαθητές ηλικίας 12 14 ετών στην ερώτηση «πόσο συχνά πηγαίνετε στον κινηµατογράφο;» 210 µαθητές (ποσοστό 70%) απάντησαν «µια φορά το µήνα». Πόσοι µαθητές ήταν το δείγµα της έρευνας; Απαντώ στις ερωτήσεις της δραστηριότητας Σε δείγµα 100 µαθητών (αρχική τιµή), αυτοί που απάντησαν «µια φορά το µήνα» ήταν 70 (τελική τιµή). Σε δείγµα πόσων µαθητών (αρχική τιµή) αντιστοιχούν οι 210 (τελική τιµή) που απάντησαν «µια φορά το µήνα»; Συµπληρώνω την αναλογία: τελική τιµή 70 = 210 Βρίσκω τα σταυρωτά γινόµενα: 70 x = 100 210 Κάνω τον πολλαπλασιασµό: 70 x = 21.000 ιαιρώ µε το 70 και βρίσκω: x = 21.000 : 70, άρα x = 300 µαθητές. Απάντηση Το δείγµα των µαθητών της έρευνας ήταν 300 µαθητές. 44 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

Θέµατα γιια διιερεύνηση καιι συζήτηση Γιατί πρέπει να γίνονται συχνά έρευνες; Αλλάζουν οι συνήθειες των ανθρώπων; Απάντηση Οι έρευνες είναι αναπόσπαστο κοµµάτι των επιστηµών. Η πρόοδος που έχει σηµειωθεί οφείλεται κυρίως στις έρευνες που διεξάγονται σε όλες τις βαθµίδες µιας επιστήµης (π.χ. Ιατρική, Βιολογία, Μαθηµατικά, Φυσική, Οικονοµία, κ.λπ.). Φαντάσου τι πρόοδος έχει σηµειωθεί στην Ιατρική, χάρη στις έρευνες, και ο Μέσος Όρος ζωής των ανθρώπων έχει αυξηθεί κατά 5 χρόνια. Ή στην Βιολογία, που χάρη σε µακροχρόνιες έρευνες κατορθώσαµε να διαβάσουµε το ανθρώπινο DNA, που είναι υπεύθυνο για το γεγονός ότι κάθε άνθρωπος είναι ξεχωριστός και δεν υπάρχει στον κόσµο άλλος όµοιος µ αυτόν. Στους υπολογιστές, στα κινητά τηλέφωνα, παντού η πρόοδος καλπάζει και αυτό οφείλεται στις επιστηµονικές έρευνες που γίνονται. Έρευνες όµως γίνονται και για την ανθρώπινη συµπεριφορά: Τι µας αρέσει να αγοράζουµε; Πόσες ώρες βλέπουµε τηλεόραση και ποια προγράµµατα; Τι προτιµάµε, να στέλνουµε SMS µε το κινητό ή να µιλάµε; Τέτοιες έρευνες γίνονται από τις βιοµηχανίες και από τις διαφηµιστικές εταιρείες, γιατί ανάλογα µε τις προτιµήσεις µας, µας πλασάρουν και τα αντίστοιχα προϊόντα. Και, όπως ήδη θα ξέρεις, οι προτιµήσεις µας και οι συνήθειές µας αλλάζουν, όταν επηρεαζόµαστε από τις διαφηµίσεις. Οι έρευνες λοιπόν των εταιρειών αποσκοπούν στο να µάθουν τις προτιµήσεις µας, ώστε να υποκύψουµε ευκολότερα στις διαφηµίσεις τους. Πώς πρέπει να επιλέγεται το δείγµα για να είναι αντιπροσωπευτικό; Απάντηση Ένα δείγµα είναι αντιπροσωπευτικό όλου του πληθυσµού όταν επιλέγεται στην τύχη. Όταν αποτελείται από άτοµα που ανήκουν σε διαφορετικές ηλικίες, έχουν διαφορετικές γραµµατικές γνώσεις, διαµένουν σε διαφορετικούς τόπους (στις πόλεις και στην ύπαιθρο). Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 45

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΤΟΣ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 43ο ΑΣΚΗΣΗ 1ηη Σε µια έρευνα που έγινε σε µαθητές ηλικίας 12 14 ετών, στην ερώτηση «πώς χρησιµοποιείτε το κινητό σας συνήθως;» 325 µαθητές (ποσοστό 65%) απάντησαν «συνήθως στέλνω µηνύµατα SMS». Πόσοι µαθητές ήταν το δείγµα της έρευνας; Λύση Σε δείγµα 100 µαθητών, αυτοί που απάντησαν «στέλνω µηνύµατα» ήταν 65. Σε δείγµα πόσων µαθητών αντιστοιχούν οι 325 µαθητές που απάντησαν «στέλνω µηνύµατα»; Συµπληρώνω την αναλογία: τελική τιµή 65 = 325 Βρίσκω τα σταυρωτά γινόµενα: 65 x = 100 325 Κάνω τον πολλαπλασιασµό: 65 x = 32.500 ιαιρώ µε το 65 και βρίσκω: x = 32.500 : 65, άρα x = 500 µαθητές. Απάντηση Το δείγµα των µαθητών της έρευνας ήταν 500 µαθητές. ΑΣΚΗΣΗ 2ηη Το τελευταίο εξάµηνο η τιµή του γάλακτος αυξήθηκε κατά 20% και έτσι τώρα κοστίζει 1,38 το λίτρο. Πόσο κόστιζε πριν; Λύση 46 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

Αν το γάλα κόστιζε 100 (αρχική τιµή), µε την αύξηση 20% θα κοστίζει 120 (τελική τιµή) (100 + 20 = 120 ). Πόσο κόστιζε πριν (αρχική τιµή) ώστε τώρα κοστίζει 1,38 ; (τελική τιµή) Συµπληρώνω την αναλογία: τελική τιµή 120 = 1,38 Βρίσκω τα σταυρωτά γινόµενα: 120 x = 100 1,38 Κάνω τον πολλαπλασιασµό: 120 x = 138 ιαιρώ µε το 120 και βρίσκω: x = 138 : 120, άρα x = 1,15. Απάντηση Το γάλα κόστιζε 1,15 το λίτρο. ΑΣΚΗΣΗ 3ηη Αγόρασα ένα παντελόνι 21. Ο υπάλληλος µου είπε ότι το πήρα µε έκπτωση 30%. Πόσο κόστιζε πριν την έκπτωση; Λύση Αν το παντελόνι κόστιζε 100 (αρχική τιµή), µε την έκπτωση 30% θα κοστίζει 70 (τελική τιµή) (100 30 = 70 ). Πόσο κόστιζε πριν (αρχική τιµή) ώστε τώρα κοστίζει 21 ; (τελική τιµή) Συµπληρώνω την αναλογία: τελική τιµή 70 = 21 Βρίσκω τα σταυρωτά γινόµενα: 70 x = 100 21 Κάνω τον πολλαπλασιασµό: 70 x = 2.100 ιαιρώ µε το 70 και βρίσκω: x = 2.100 : 70, άρα x = 30. Απάντηση Το παντελόνι, χωρίς την έκπτωση, κόστιζε 30. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 47