Линейная алгебра. Бадьин А. В.

Линейная алгебра Бадьин А. В. Содержание Содержание......................................... 1 Обозначения......................................... 4 1. Комплексные числа 1-й семестр.......................... 6 1.1. Определение комплексного числа...................... 6 1.2. Модуль и аргумент комплексного числа.................. 8 1.3. Основные функции комплексной переменной............... 11 2. Линейное пространство 2-й семестр........................ 14 2.1. Определение линейного пространства.................... 14 2.2. Примеры линейных пространств...................... 16 2.3. Подпространство линейного пространства................. 24 2.4. Линейная зависимость векторов....................... 27 2.5. Экономное определение линейного пространства............. 31 3. Базис и размерность начало; 2-й семестр..................... 34 3.1. Базис множества векторов.......................... 34 3.2. Размерность линейного пространства.................... 37 4. Матричная алгебра 1-й семестр.......................... 39 4.1. Пространство K N 2 N 1............................. 39 4.2. Перемножение матриц............................ 41 4.3. Транспонирование матрицы......................... 43 4.4. След матрицы................................. 44 5. Определитель матрицы 1-й семестр........................ 45 5.1. Определение определителя. Теория перестановок............. 45 5.2. Существование и единственность определителя.............. 49 5.3. Основные свойства определителя...................... 51 5.4. Метод Гаусса Жордана для вычисления определителя......... 54 6. Базис и размерность окончание; 2-й семестр................... 56 6.1. Теорема о базисном миноре......................... 56 6.2. Базис и размерность............................. 57 7. Подпространства линейных пространств 2-й семестр.............. 60 7.1. Операции над множествами векторов.................... 60 7.2. Операции над подпространствами...................... 62 7.3. Линейно независимые подпространства, прямая сумма подпространств.................................... 64 7.4. Линейное дополнение одного подпространства до другого........ 68 8. Общие сведения о линейных операторах и изоморфизмах 2-й семестр.... 70

2 Содержание 8.1. Линейный оператор и изоморфизм..................... 70 8.2. Простейшие свойства линейных операторов................ 72 8.3. Простейшие свойства линейных обратимых операторов......... 75 8.4. Первая теорема Фредгольма......................... 76 8.5. Факультативный материал.......................... 77 9. Ранг матрицы 1-й семестр............................. 82 10. Система линейных алгебраических уравнений СЛАУ; 1-й семестр...... 86 10.1. Линейное операторное уравнение...................... 86 10.2. Система линейных алгебраических уравнений СЛАУ.......... 87 10.3. Квадратная СЛАУ.............................. 87 10.4. Прямоугольная СЛАУ............................ 90 11. Тензорная алгебра 2-й семестр........................... 93 11.1. Матрица перехода от одного базиса к другому.............. 93 11.2. Числовые наборы............................... 94 11.3. Геометрические объекты........................... 94 11.4. Тензоры..................................... 95 11.5. Возможные обобщения............................ 101 12. Матрица линейного оператора............................ 102 13. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора...... 108 13.1. Инвариантные подпространства линейного оператора.......... 108 13.2. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.. 110 13.3. Общие сведения о полиномах........................ 113 13.4. Характеристический полином линейного оператора........... 115 13.5. Факультативный материал. Теорема Гамильтона Кэли......... 120 14. Линейные, билинейные и квадратичные формы.................. 123 14.1. Линейные формы............................... 123 14.2. Билинейные и квадратичные формы.................... 125 15. Метод Лагранжа, закон инерции, критерий Сильвестра............. 134 15.1. Метод Лагранжа................................ 134 15.2. Закон инерции................................. 143 15.3. Критерий Сильвестра............................. 145 16. Линейные евклидовы и линейные псевдоевклидовы пространства....... 148 16.1. Линейные евклидовы пространства..................... 148 16.2. Линейные псевдоевклидовы пространства................. 159 17. Сопряжённый оператор................................ 163 17.1. Линейные формы в евклидовых пространствах.............. 163 17.2. Полуторалинейные формы в евклидовых пространствах......... 164 17.3. Сопряжённый оператор............................ 165 17.4. Самосопряжённый оператор......................... 167 17.5. Унитарный оператор............................. 168 18. Самосопряжённый оператор. Спектральная теория................ 171 18.1. Самосопряжённый оператор......................... 171 18.2. Эрмитовы полуторалинейные формы в унитарном пространстве.... 175 19. Кривые и поверхности второго порядка...................... 178 19.1. Аффинное пространство........................... 178 19.2. Полином степени не выше 2 в аффинном пространстве......... 181 19.3. Кривые и поверхности второго порядка.................. 191

Содержание 3 20. Элементы теории групп................................ 195 20.1. Определение группоида............................ 195 20.2. Определение группы............................. 196 Список литературы..................................... 200

4 Обозначения Обозначения Логические связки A отрицание; A B конъюнкция; союз «и»; A B дизъюнкция; союз «или»; A = B импликация; оборот «если..., то...»; A B эквивалентность. Кванторы xa квантор всеобщности; xab ограниченный квантор всеобщности; xab xa = B; xa квантор существования; xab ограниченный квантор существования; xab xa B;!xA квантор существования и единственности;!xab ограниченный квантор существования и единственности;!xab!xa B; εxa квантор выбора; εxab ограниченный квантор выбора; εxab = εxa B. Оператор подстановки SubstA;x 1,...,x r ;ϕ 1,...,ϕ r оператор подстановки. Множества SetA «A множество»; x A «объект x принадлежит множеству A»; {x: A} множество всех объектов x, удовлетворяющих условию A; A B «A подмножество множества B»; A B «A собственное подмножество множества B»; A B A B A B; пустое множество; PA множество всех подмножеств множества A; {x 1,...,x r } множество, образованное объектами x 1,...,x r ; {x 1,...,x r } = {u: u = x 1 u = x r }; x 1,...,x r упорядоченный набор длины r, образованный объектами x 1,...,x r ; A B пересечение множеств A, B; A B объединение множеств A, B; µ объединение системы множеств µ; µ = { x: AA µ x A } ; A\B разность множеств A, B; A 1 A r прямое произведение множеств A 1,...,A r ; A r прямая степень множества A. Функции DF область определения функции F; DF,A полный прообраз множества A под действием функции F;

Обозначения 5 RF область значений функции F; F[A] образ множества A под действием функции F; {ϕ} x: A функция, область определения которой определяется утверждением A, а значения которой определяются выражением «ϕ»; {ϕ} x: A = F, где: F функция, DF = {x: A}, xa Fx = ϕ. F: A B «функция F действует из множества A в множество B»; «F функция, DF A, RF B»; funa,b множество всех функций F, удовлетворяющих условию F: A B; F: A = B «функция F действует из всего множества A в множество B»; «F функция, DF = A, RF B»; FunA,B множество всех функций F, удовлетворяющих условию F: A = B; F A ограничение функции F на множество A; F 2 F 1 композиция функций F 2, F 1 ; F 1 обратная функция к обратимой функции F. Числа Z множество всех целых чисел; Z + = {k: k Z k 0}; N = {k: k Z k 1}; Z = Z {,+ }; Z + = {k: k Z k 0}; N = {k: k Z k 1}; Q множество всех рациональных чисел; Q + = {x: x Q x 0}; Q = Q {,+ }; Q + = {x: x Q x 0}; R множество всех вещественных чисел; R + {x: x R x 0}; R R {,+ }; R + {x: x R x 0}; C множество всех комплексных чисел.

6 1. Комплексные числа 1-й семестр Лекция 1. Комплексные числа 1-й семестр 1.1. Определение комплексного числа Будем говорить, что z к омплексное число, если z упорядоченная пара вещественных чисел. Точнее, будем говорить, что z к омплексное число, если x y x R y R z = x,y. Обозначим через C множество всех комплексных чисел. Тогда: { C = z: x y x R y R z = x,y } = R R = R 2. Замечание. Пусть z C. Очевидно: x y x R y R z = x,y, x 1 y 1 x 2 y 2 z = x 1,y 1 z = x 2,y 2 = x 1 = x 2 y 1 = y 2. Пусть z C. Пусть: x, y некоторые объекты, z = x, y. Обозначим: Rez = x, Imz = y. Очевидно, Rez, Imz R. Будем говорить, что: Rez вещественная часть числа z, Imz мнимая часть числа z. Пусть z 1, z 2 C. Обозначим, z 1 + z 2 = Rez 1 + Rez 2,Imz 1 + Imz 2. Очевидно, z 1 +z 2 C. Будем говорить, что z 1 +z 2 сумма чисел z 1, z 2. Обозначим, 0 C = 0,0. Очевидно, 0 C C. Будем говорить, что 0 C нуль на множестве C. Пусть z C. Обозначим, z = Rez, Imz. Очевидно, z C. Будем говорить, что z противоположное число к числу z. Пусть z 1, z 2 C. Обозначим, z 1 z 2 = Rez 1 Rez 2 Imz 1 Imz 2,Rez 1 Imz 2 + Imz 1 Rez 2. Очевидно, z 1 z 2 C. Будем говорить, что z 1 z 2 произведение чисел z 1, z 2. Обозначим, 1 C = 1,0. Очевидно, 1 C C. Будем говорить, что 1 C единица на множестве C. Пусть: z C, z 0 C. Обозначим, z 1 = Rez, Rez 2 +Imz 2 Imz Rez 2 +Imz 2. Очевидно, z 1 C. Будем говорить, что z 1 обратное число к числу z. Обозначим, i = 0,1. Очевидно, i C. Будем говорить, что i мнимая единица на множестве C. Обозначим: ψx = x, 0 при x R. Очевидно, ψ: R = C. Будем говорить, что ψ вложение множества R в множество C. Прямая проверка показывает, что справедливы утверждения: 1. z 1 +z 2 = z 2 +z 1 при z 1, z 2 C; 2. z 1 +z 2 +z 3 = z 1 +z 2 +z 3 при z 1, z 2, z 3 C; 3. z +0 C = z при z C; 4. z + z = 0 C при z C; 5. z 1 z 2 = z 2 z 1 при z 1, z 2 C; 6. z 1 z 2 z 3 = z 1 z 2 z 3 при z 1, z 2, z 3 C; 7. 1 C 0 C, z1 C = z при z C; 8. zz 1 = 1 C при: z C, z 0 C ; 9. z 1 z 2 +z 3 = z 1 z 2 +z 1 z 3 при z 1, z 2, z 3 C; 10. ii = 1 C ; 11. ψ обратимая функция, ψx 1 + x 2 = ψx 1 + ψx 2 при x 1, x 2 R; ψx 1 x 2 = ψx 1 ψx 2 при x 1, x 2 R; 12. z = ψrez+iψimz при z C.

1.1. Определение комплексного числа 7 Утверждение. 1. Пусть a, b C. Существует единственное число z, удовлетворяющее условиям: z C, a+z = b. 2. Пусть: a, b C, a 0 C. Существует единственное число z, удовлетворяющее условиям: z C, az = b. Доказательство. 1. Пусть: z C, a+z = b. Тогда: a+z = b, a+a+z = a+b, a+a+z = a+b, a+ a +z = a+b, 0 C +z = a+b, z +0 C = a+b, z = a+b. Пусть: z 1 C, a + z 1 = b, z 2 C, a + z 2 = b. Тогда: z 1 = a + b, z 2 = a + b. Следовательно, z 1 = z 2. Пустьz = a+b. Тогда:z C,a+z = a+ a+b = a+ a +b = 0 C +b = b+0 C = b. 2. Пусть: z C, az = b. Тогда: az = b, a 1 az = a 1 b, a 1 az = a 1 b, aa 1 z = a 1 b, 1 C z = a 1 b, z1 C = a 1 b, z = a 1 b. Пусть: z 1 C, az 1 = b, z 2 C, az 2 = b. Тогда: z 1 = a 1 b, z 2 = a 1 b. Следовательно, z 1 = z 2. Пусть z = a 1 b. Тогда: z C, az = aa 1 b = aa 1 b = 1 C b = b1 C = b. Пустьz 1,z 2 C. Обозначим,z 1 z 2 = z 1 + z 2. Очевидно:z 1 z 2 C,z 2 +z 1 z 2 = z 1. Будем говорить, что z 1 z 2 разность чисел z 1, z 2. Пусть: z 1, z 2 C, z 2 0. Обозначим, z 1 z 2 = z 1 z2 1. Очевидно: z 1 z z 2 C, z 1 2 z 2 = z 1. Будем говорить, что z 1 z 2 отношение чисел z 1, z 2 частное чисел z 1, z 2. Утверждение. 1. Пусть z C. Тогда z0 C = 0 C. 2. Пусть z C. Тогда z 1 C = z. 3. Справедливо утверждение 1 C 1 C = 1 C. 4. Пусть: z C, z 0 C. Тогда: z 1 0 C, z 1 1 = z. 5. Пусть: z 1, z 2 C, z 1, z 2 0 C. Тогда: z 1 z 2 0 C, z 1 z 2 1 = z 1 1 z 1 6. Справедливо утверждение ψ0 = 0 C. 7. Справедливо утверждение ψ1 = 1 C. 2.

8 1. Комплексные числа 1-й семестр 8. Справедливо утверждение ψ 1 = 1 C. 9. Пусть: x R, x 0. Тогда: ψx 0 C, ψx 1 = ψx 1. 10. Пусть x, y R. Тогда: Re ψx+iψy = x, Im ψx+iψy = y. Доказательство. 4. Предположим, что z 1 = 0 C. Тогда: 1 C = zz 1 = z0 C = 0 C что противоречит утверждению 1 C 0 C. Итак, z 1 0 C. Очевидно, z 1 z 1 1 = 1 C. С другой стороны: z 1 z = zz 1 = 1 C. Так как z 1 0 C, то z 1 1 = z. 5. Предположим, что z 1 z 2 = 0 C. Очевидно, z 1 0 C = 0 C. Так как z 1 0 C, то z 2 = 0 C что противоречит утверждению z 2 0 C. Итак, z 1 z 2 0 C. Очевидно, z 1 z 2 z 1 z 2 1 = 1 C. С другой стороны: z 1 z 2 z1 1 z 1 z1 z 2 z2 1 z1 1 = z 1 1 C z1 1 = z 1 z1 1 = 1 C. Так как z 1 z 2 0 C, то z 1 z 2 1 = z1 1 z2 1. 2 = z 1 z 2 z 1 2 z 1 1 = 9. Так как x 0, то: ψx ψ0 = 0 C. Очевидно: ψxψx 1 = ψxx 1 = ψ1 = 1 C. С другой стороны, ψxψx 1 = 1 C. Так как ψx 0 C, то ψx 1 = ψx 1. Замечание. Пусть z Rψ. Тогда z C. Очевидно, существует число x, удовлетворяющее условиям: x R, z = ψx. Тогда: z = ψx = ψx + iψ0. Следовательно, Imz = 0. Пусть: z C, Imz = 0. Тогда: z = ψrez + iψimz = ψrez + iψ0 = ψrez Rψ. Пусть: x R, z C. Тогда: ψxz = ψx ψrez + iψimz = ψxψrez + i ψxψimz = ψ xrez + iψ ximz. Следовательно: Re ψxz = xrez, Im ψxz = ximz. Пусть z C. Обозначим, z = ψrez iψimz. Очевидно, z C. Будем говорить, что z сопряжённое число к числу z. Утверждение. 1. Пусть z C. Тогда Rez = 0 z = z. 2. Пусть z C. Тогда Imz = 0 z = z. 3. Пусть z C. Тогда z = z. 4. Пусть z 1, z 2 C. Тогда z 1 +z 2 = z 1 +z 2. 5. Пусть z 1, z 2 C. Тогда z 1 z 2 = z 1 z 2. 6. Пусть: z C, z 0 C. Тогда: z 0 C, z 1 = z 1. Замечание. Далее мы будем отождествлять: числа x, ψx, множества R, Rψ. 1.2. Модуль и аргумент комплексного числа Скалярное произведение комплексных чисел Пусть z 1, z 2 C. Обозначим, z 1,z 2 = Rez 1 Rez 2 +Imz 1 Imz 2. Очевидно, z 1,z 2 R. Будем говорить, что z 1,z 2 скалярное произведение чисел z 1, z 2. Утверждение. 1. Пусть z 1, z 2 C. Тогда z 1,z 2 = z 2,z 1. 2. Пусть z 1, z 2, z 3 C. Тогда z 1,z 2 +z 3 = z 1,z 2 +z 1,z 3. 3. Пусть: z 1, z 2 C, λ R. Тогда z 1,λz 2 = λz 1,z 2. 4. Пусть: z C, z 0. Тогда z,z > 0. Замечание. Очевидно: 0,0 = 0,0 0 = 0 0,0 = 0.

1.2. Модуль и аргумент комплексного числа 9 Утверждение неравенство Коши Буняковского. Пусть z 1, z 2 C. Тогда z 1,z 2 z1,z 1 z 2,z 2. Доказательство. Пусть z 2 = 0. Тогда: z 1,z 2 = 0 = z 1,z 1 z 2,z 2. Пусть z 2 0. Тогда z 2,z 2 > 0. Пусть λ R. Тогда: z 1 +λz 2,z 1 +λz 2 0, z 1,z 1 +z 1,λz 2 +λz 2,z 1 +λz 2,λz 2 0, z 1,z 1 +z 1,z 2 λ+z 2,z 1 λ+z 2,z 2 λλ 0, z 1,z 1 +2z 1,z 2 λ+z 2,z 2 λ 2 0. В силу произвольности выбора λ R получаем, что 4z 1,z 2 2 4z 1,z 1 z 2,z 2 0. Тогда z 1,z 2 z 1,z 1 z 2,z 2. Модуль комплексного числа Пусть z C. Обозначим, z C = Rez 2 +Imz 2. Очевидно, z C R. Будем говорить, что z C модуль числа z. Утверждение. 1. Пусть z C. Тогда z C = z,z. 2. Пусть x R. Тогда x C = x. 3. Справедливо утверждение 0 C = 0. 4. Пусть: z C, z 0. Тогда z C > 0. 5. Пусть z 1, z 2 C. Тогда z 1 +z 2 C z 1 C + z 2 C. Доказательство. 5. Очевидно: z 1 +z 2 C = z 1 +z 2,z 1 +z 2 = z 1,z 1 +z 1,z 2 +z 2,z 1 +z 2,z 2 = = z 1,z 1 +2z 1,z 2 +z 2,z 2 z 1,z 1 +2 z 1,z 2 +z 2,z 2 z 1,z 1 +2 z 1,z 1 z 2,z 2 +z 2,z 2 = z 1 2 C +2 z 1 C z 2 C + z 2 2 C = = z1 C + z 2 C 2 = z1 C + z 2 C. «Большой аргумент» Пусть z C. Будем говорить, что ϕ аргумент числа z, если: ϕ R, z = z cosϕ + isinϕ. Пусть z C. Обозначим через Argz множество всех аргументов числа z. Замечание выражение для Argz. Пусть z = 0. Очевидно, Argz = R. Пусть: z C, z 0. Очевидно: Argz = { ϕ: ϕ R z cosϕ = Rez z sinϕ = Imz } = { = ϕ: ϕ R cosϕ = Rez sinϕ = Imz }. z z

10 1. Комплексные числа 1-й семестр Так как Rez z 2 2 + Imz z = 1, то существует число ϕ0, удовлетворяющее условию ϕ 0 Argz. Пусть ϕ 0 Argz. Пусть k Z. Очевидно, ϕ 0 + 2πk Argz. Пусть ϕ Argz. Нетрудно доказать, что существует число k, удовлетворяющее условиям: k Z, ϕ = ϕ 0 +2πk. Очевидно: Argz = {ϕ 0 +2πk: k Z} = { ϕ: kk Z ϕ = ϕ 0 +2πk }. Замечание тригонометрическая форма записи комплексного числа. Пусть: z C, ϕ Argz. Тогда z = z cosϕ+isinϕ. Пусть: ρ [0,+, ϕ R, z = ρ cosϕ+isinϕ. Тогда: z = ρcosϕ Rez 2 +Imz 2 2 2 = + ρsinϕ = ρ2 = ρ. Следовательно, z = z cosϕ+isinϕ. Тогда ϕ Argz. Замечание. Пусть ϕ 1, ϕ 2 R. Тогда: cosϕ1 +isinϕ 1 cosϕ 2 +isinϕ 2 = = cosϕ 1 cosϕ 2 +icosϕ 1 sinϕ 2 +isinϕ 1 cosϕ 2 sinϕ 1 sinϕ 2 = = cosϕ 1 cosϕ 2 sinϕ 1 sinϕ 2 +i sinϕ 1 cosϕ 2 +cosϕ 1 sinϕ 2 = = cosϕ 1 +ϕ 2 +isinϕ 1 +ϕ 2. Пусть ϕ R. Очевидно, cosϕ + i sinϕ 0. Очевидно: 1 cosϕ+isinϕ cosϕ+isinϕ = 1. С другой стороны: cosϕ+isinϕ cos ϕ+isin ϕ = cos0+isin0 = 1. Так как cosϕ+isinϕ 0, то cosϕ+isinϕ 1 = cos ϕ+isin ϕ. Замечание. Пусть: z 1, z 2 C, ϕ 1 Argz 1, ϕ 2 Argz 2. Тогда: z 1 z 2 = z 1 cosϕ 1 +isinϕ 1 z 2 cosϕ 2 +isinϕ 2 = = z 1 z 2 cosϕ 1 +ϕ 2 +isinϕ 1 +ϕ 2. Следовательно: z 1 z 2 = z 1 z 2, ϕ 1 +ϕ 2 Argz 1 z 2. Пусть: z C, z 0, ϕ Argz. Тогда: z 1 = z cosϕ+isinϕ 1 = z 1 cos ϕ+isin ϕ. Следовательно: z 1 = z 1, ϕ Argz 1.

1.3. Основные функции комплексной переменной 11 «Малый аргумент» Пусть: α R,z C,z 0. Существует единственное число ϕ, удовлетворяющее условиям: ϕ Argz, α ϕ < α+2π. Обозначим, arg α z = ϕ. Пусть: α R, z = 0. Обозначим, arg α z = α. Пусть: α R, z C, z 0. Существует единственное число ϕ, удовлетворяющее условиям: ϕ Argz, α < ϕ α+2π. Обозначим, arg αz = ϕ. Пусть: α R, z = 0. Обозначим, arg αz = α+2π. Замечание выражение для arg πz. Пусть: z C, z 0, x = Rez, y = Imz. Тогда z = x 2 +y 2. Пусть ϕ = arg πz. Тогда: ϕ π,π], x cosϕ = x2 +y 2, y sinϕ = x2 +y 2. Пусть x 0. Тогда: ϕ R, cosϕ 0, tgϕ = y. Следовательно, существует число k, x удовлетворяющее условиям: k Z, ϕ = arctg y x +πk. 1. Пусть x > 0. Тогда: ϕ π,π], cosϕ > 0. Следовательно, ϕ π 2, π 2. Тогда ϕ = arctg y x. 2. Пусть: x = 0, y > 0. Тогда: ϕ π,π], cosϕ = 0, sinϕ > 0. Следовательно, ϕ = π. 2 3. Пусть: x = 0, y < 0. Тогда: ϕ π,π], cosϕ = 0, sinϕ < 0. Следовательно, ϕ = π. 2 4. Пусть: x < 0, y 0. Тогда: ϕ π,π], cosϕ < 0, sinϕ 0. Следовательно, ϕ π,π]. Тогда ϕ = arctg y 2 x +π. 5. Пусть: x < 0, y < 0. Тогда: ϕ π,π], cosϕ < 0, sinϕ < 0. Следовательно, ϕ π, π 2. Тогда ϕ = arctg y x π. Пусть z = 0. Тогда: z = 0, arg πz = π. 1.3. Основные функции комплексной переменной Комплексная экспонента Пусть z C. Обозначим, exp C z = exprez cosimz+isinimz. Справедливы утверждения: 1. exp C z 1 exp C z 2 = exp C z 1 +z 2 при z 1, z 2 C; 2. exp C x = expx при x R; 3. exp C ix = cosx+isinx при x R формула Эйлера. Замечание показательная форма записи комплексного числа. Пусть: z C, ϕ Argz. Тогда: z = z cosϕ+isinϕ = z exp C iϕ. Пусть: ρ [0,+, ϕ R, z = ρ exp C iϕ. Тогда: ρ [0,+, ϕ R, z = ρ cosϕ+ isinϕ. Следовательно: ρ = z, ϕ Argz. Комплексный логарифм Пусть: z C, z 0. Обозначим, Lnz = { w: w C exp C w = z }.

12 1. Комплексные числа 1-й семестр Замечание. Пусть: z C, z 0. Очевидно: w Lnz; w C, exp C w = z; [ замена: w C, u = Rew, v = Imw; u, v R, w = u+iv ] u, v R, exp C u+iv = z; u, v R, expuexp C iv = z; u, v R, expu = z, v Argz; { u = ln z, v Argz. Комплексные тригонометрические и гиперболические тригонометрические функции Пусть x R. Тогда: Следовательно: exp C ix = cosx+isinx, exp C ix = cosx isinx. cosx = 1 2 expc ix+exp C ix, sinx = 1 2i expc ix exp C ix. Пусть z C. Обозначим: cos C z = 1 2 expc iz + exp C iz, sin C z = 1 2i expc iz exp C iz. Пусть: z C, cos C z 0. Обозначим, tg C z = sin Cz cos C z. Пусть: z C, sin C z 0. Обозначим, ctg C z = cos Cz sin C z. Пусть z C. Обозначим: ch C z = 1 2 expc z + exp C z, sh C z = 1 2 expc z exp C z. Пусть: z C, ch C z 0. Обозначим, th C z = sh Cz ch C z. Пусть: z C, sh C z 0. Обозначим, cth C z = ch Cz sh C z. Возведение комплексного числа в целую степень Пусть z C. Обозначим: z 0 = 1, z 1 = z. Пусть: z C, n Z, n 2. Обозначим: z 1,...,z n = z, z n = z 1 z n. Справедливы утверждения: 1. z n+1 = z n z при: z C, n Z + ; 2. z n 1+n 2 = z n 1 z n 2 при: z C, n 1, n 2 Z + ; 3. z 1 z 2 n = z n 1z n 2 при: z 1, z 2 C, n Z +. Пусть: z C, z 0, n Z, n 2. Обозначим, z n = z 1 n. Справедливы утверждения:

1.3. Основные функции комплексной переменной 13 1. z n+1 = z n z при: z C, z 0, n Z; 2. z n 1 = z n z 1 при: z C, z 0, n Z; 3. z n 1+n 2 = z n 1 z n 2 при: z C, z 0, n 1, n 2 Z; 4. z 1 z 2 n = z n 1z n 2 при: z 1, z 2 C, z 1, z 2 0, n Z. Замечание. Пусть: ϕ R, n Z. Тогда: cosϕ + isinϕ 0, cosϕ + isinϕ n = cosnϕ + i sinnϕ формула Муавра. Пусть: z C, n Z. Тогда: exp C z 0, exp C z n = expc nz. Возведение комплексного числа в рациональную степень Пусть: z C, n N. Обозначим, n z = {w: w C w n = z}. Замечание. Пусть: z C, z 0, n N, ϕ 1 Argz. Тогда: w n z; w C, w n = z; [ замена: w C, ρ2 = w, ϕ 2 Argw; ρ 2 [0,+, ϕ 2 R, w = ρ 2 exp C iϕ 2 ] Пусть: z = 0, n N. Тогда: ρ 2 [0,+, ϕ 2 R, ρ 2 exp C iϕ 2 n = z; ρ 2 [0,+, ϕ 2 R, ρ 2 n exp C inϕ 2 = z; ρ 2 [0,+, ϕ 2 R, ρ 2 n = z, nϕ 2 Argz; ρ 2 [0,+, ϕ 2 R, ρ 2 n = z, k Z nϕ 2 = ϕ 1 +2πk ; ρ 2 = n z, k Z ϕ 2 = ϕ 1 n + 2πk n w n z; w C, w n = z; w = 0. Пусть: z C, α Q, z 0 α 0. Выберем числа m, n, удовлетворяющие условиям: m Z, n N, m, n взаимно простые числа, α = m n. Обозначим, zα = n z m. Возведение комплексного числа в комплексную степень Пусть: z, α C, z 0. Обозначим, z α = exp C αlnz..

14 2. Линейное пространство 2-й семестр Лекция 2. Линейное пространство 2-й семестр 2.1. Определение линейного пространства Определение линейное пространство. Пусть: K {C, R, Q}; M множество, F 1 : M M = M, F 2 : K M = M. Далее обычно будем писать: «x + y» вместо «F 1 x,y»; «λx» вместо «F 2 λ,x». Пусть существует объект u M, удовлетворяющий условиям: 1. x M y Mx+y = y +x; 2. x M y M z M x+y+z = x+y +z ; 3. x Mx+u = x; 4. x M y Mx+y = u; 5. α K β K x M αβx = αβx ; 6. x M1x = x; 7. α K β K x M α+βx = αx+βx ; 8. λ K x M y M λx+y = λx+λy. Будем говорить, что: M,F 1,F 2 линейное пространство над полем K; M носитель пространства M,F 1,F 2 ; F 1 операция сложения пространства M,F 1,F 2 ; F 2 внешняя операция умножения пространства M,F 1,F 2 ; F 1, F 2 линейные операции пространства M,F 1,F 2. Будем говорить, что x вектор пространства M,F 1,F 2, если x M. Далее обычно будем отождествлять пространство M,F 1,F 2 и множество M. Замечание Внимание! Только для особо интересующихся. Приведённая выше формулировка определения линейного пространства имеет серьёзный недостаток. В этой формулировке слова «существует объект u M, удовлетворяющий условиям:» не допускают перевода на формальный язык. Дадим более аккуратную формулировку того-же определения обратите внимание на то, что количество аксиом изменилось. Пусть: K {C,R,Q}; M множество, F 1 : M M = M, F 2 : K M = M. Далее обычно будем писать: «x+y» вместо «F 1 x,y»; «λx» вместо «F 2 λ,x». Пусть: 1. x M y Mx+y = y +x; 2. x M y M z M x+y+z = x+y +z ; 3. u M x Mx+u = x x M y Mx+y = u ; 4. α K β K x M αβx = αβx ; 5. x M1x = x; 6. α K β K x M α+βx = αx+βx ; 7. λ K x M y M λx+y = λx+λy. Будем говорить, что: M,F 1,F 2 линейное пространство над полем K; M носитель пространства M,F 1,F 2 ; F 1 операция сложения пространства M,F 1,F 2 ; F 2 внешняя операция умножения пространства M,F 1,F 2 ; F 1, F 2 линейные операции пространства M,F 1,F 2. Будем говорить, что x вектор пространства M,F 1,F 2, если x M. Далее обычно будем отождествлять пространство M,F 1,F 2 и множество M. Замечание Внимание! Только для особо интересующихся. Можно доказать смотри конец настоящей лекции, что первая из приведённых в предыдущем замечании аксиом выводится из остальных. Соответственно, определение линейного пространства можно дать следующим образом. Пусть: K {C,R,Q}; M множество, F 1 : M M = M, F 2 : K M = M. Далее обычно будем писать: «x+y» вместо «F 1 x,y»; «λx» вместо «F 2 λ,x».

2.1. Определение линейного пространства 15 Пусть: 1. x M y M z M x+y+z = x+y +z ; 2. u M x Mx+u = x x M y Mx+y = u ; 3. α K β K x M αβx = αβx ; 4. x M1x = x; 5. α K β K x M α+βx = αx+βx ; 6. λ K x M y M λx+y = λx+λy. Будем говорить, что: M,F 1,F 2 линейное пространство над полем K; M носитель пространства M,F 1,F 2 ; F 1 операция сложения пространства M,F 1,F 2 ; F 2 внешняя операция умножения пространства M,F 1,F 2 ; F 1, F 2 линейные операции пространства M,F 1,F 2. Будем говорить, что x вектор пространства M,F 1,F 2, если x M. Далее обычно будем отождествлять пространство M,F 1,F 2 и множество M. Определение нулевой вектор. Пусть: K {C, R, Q}; L линейное пространство над полем K. Будем говорить, что u нулевой вектор пространства L, если: u L, x Lx+u = x. Утверждение существование и единственность нулевого вектора. Пусть: K {C, R, Q}; L линейное пространство над полем K. Существует единственный объект u, удовлетворяющий условию: u нулевой вектор пространства L. Доказательство. Так как L линейное пространство над полем K, то существует вектор u, удовлетворяющий условиям: u L, x Lx + u = x, x L y Lx + y = u. Так как: u L, x Lx+u = x, то u нулевой вектор пространства L. Пусть: u 1 нулевой вектор пространства L, u 2 нулевой вектор пространства L. Тогда: u 1 L, x Lx+u 1 = x; u 2 L, x Lx+u 2 = x. Так как: x Lx+u 2 = x, u 1 L, то u 1 + u 2 = u 1. Так как: x Lx + u 1 = x, u 2 L, то u 2 + u 1 = u 2. Тогда: u 1 +u 2 = u 2 +u 1 = u 2. Следовательно, u 1 = u 2. Определение обозначение для нулевого вектора. Пусть: K {C, R, Q}; L линейное пространство над полем K. Обозначим через θ нулевой вектор пространства L. Утверждение вспомогательный результат. Пусть: K {C, R, Q}; L линейное пространство над полем K. Тогда x L y Lx+y = θ. Доказательство. Так как L линейное пространство над полем K, то существует вектор u, удовлетворяющий условиям: u L, x Lx + u = x, x L y Lx + y = u. Так как: u L, x Lx + u = x, то u нулевой вектор пространства L. Так как θ нулевой вектор пространства L, то u = θ. Так как x L y Lx + y = u, то x L y Lx+y = θ. Утверждение «основное уравнение». Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K; a, b L. Существует единственный объект x, удовлетворяющий условиям: x L, a+x = b. Доказательство. Так как a L, то существует вектор ã, удовлетворяющий условиям: ã L, a+ã = θ. Пусть: x L, a+x = b. Тогда: ã+a+x = ã+b, ã+a+x = ã+b,

16 2. Линейное пространство 2-й семестр a+ã+x = ã+b, θ+x = ã+b, x+θ = ã+b, x = ã+b. Пусть: x 1 L, a+x 1 = b; x 2 L, a+x 2 = b. Тогда: x 1 = ã+b, x 2 = ã+b. Следовательно, x 1 = x 2. Обозначим, x = ã+b. Тогда: x L, a+x = a+ã+b = a+ã+b = θ +b = b+θ = b. Утверждение основные свойства линейных операций. Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K. 1. Пусть x L. Тогда 0x = θ. 2. Пусть x L. Тогда x+ 1x = θ. 3. Пусть λ K. Тогда λθ = θ. Доказательство. 1. Очевидно: 0x+0x = 0+0x = 0x. С другой стороны, 0x+θ = 0x. Тогда 0x = θ. 2. Очевидно: x+ 1x = 1x+ 1x = 1+ 1 x = 0x = θ. 3. Очевидно: λθ = λ0θ = λ0θ = 0λθ = 0λθ = θ. Замечание противоположный вектор. Пусть: K {C, R, Q}; L линейное пространство над полем K. Пусть x L. Будем говорить, что y противоположный вектор к вектору x, если: y L, x+y = θ. Пусть x L. Так как θ L, то существует единственный объект y, удовлетворяющий условиям: y L, x+y = θ. Тогда существует единственный объект y, удовлетворяющий условию: y противоположный вектор к вектору x. Пусть x L. Обозначим через x противоположный вектор к вектору x. Пусть x L. Очевидно, x = 1x. Замечание разность векторов. Пусть: K {C, R, Q}; L линейное пространство над полем K. Пусть x, y L. Будем говорить, что u разность векторов x, y, если: u L, y+u = x. Пусть x, y L. Очевидно, существует единственный объект u, удовлетворяющий условиям: u L, y + u = x. Тогда существует единственный объект u, удовлетворяющий условию: u разность векторов x, y. Пусть x, y L. Обозначим через x y разность векторов x, y. Пусть x, y L. Очевидно, x y = y +x. 2.2. Примеры линейных пространств Утверждение линейное пространство над полем K 0 K. Пусть: K {C,R,Q}; M,F 1,F 2 линейное пространство над полем K. Пусть: K 0 {C,R,Q}, K 0 K. Тогда: M,F 1, F 2 K0 M линейное пространство над полем K 0, θ нулевой вектор пространства M,F 1, F 2 K0 M.

2.2. Примеры линейных пространств 17 Доказательство. Очевидно: K 0 {C,R,Q}; M множество, F 1 : M M = M, θ M. Очевидно: F 2 K0 M функция, DF 2 K0 M = K 0 M DF 2 = K 0 M K M = K 0 M, RF 2 K0 M = F 2[K 0 M] RF 2 M. Тогда F 2 K0 M : K 0 M = M. Далее обычно будем писать «λ x» вместо «F 2 K0 M λ,x». 1. Пусть x, y M. Тогда x+y = y +x. 2. Пусть x, y, z M. Тогда x+y+z = x+y +z. 3. Пусть x M. Тогда x+θ = x. 4. Пусть x M. Тогда x+ x = θ. 5. Пусть: α, β K 0, x M. Тогда: 6. Пусть x M. Тогда: 7. Пусть: α, β K 0, x M. Тогда: αβ x = αβx = αβx = α β x. 1 x = 1x = x. α+β x = α+βx = αx+βx = α x+β x. 8. Пусть: λ K 0, x, y M. Тогда: λ x+y = λx+y = λx+λy = λ x+λ y. Очевидно:M,F 1, F 2 K0 M линейное пространство над полемk 0,θ нулевой вектор пространства M,F 1, F 2 K0 M. Определение векторная функция. Пусть: K {C, R, Q}, L линейное пространство над полем K. Пусть: ϕ функция, Rϕ L. Будем говорить, что ϕ векторная функция. Определение ядро векторной функции. Пусть: K {C, R, Q}, L линейное пространство над полем K. Пусть: ϕ функция, Rϕ L. Обозначим: kerϕ = { x: x Dϕ ϕx = θ }. Будем говорить, что kerϕ ядро функции ϕ множество корней функции ϕ; множество нулей функции ϕ. Очевидно: kerϕ = { x: x Dϕ ϕx = θ } = { x: x Dϕ ϕx {θ} } = D ϕ,{θ}. Определение. Пусть: Q множество, K {C, R, Q}, L линейное пространство над полем K. Рассмотрим множество FunQ, L напоминание: FunQ, L множество всех функций ϕ, удовлетворяющих условию ϕ: Q = L. Пусть ϕ 1, ϕ 2 FunQ,L. Обозначим: ϕ 1 +ϕ 2 x = ϕ 1 x+ϕ 2 x, x Q.

18 2. Линейное пространство 2-й семестр Тогда ϕ 1 + ϕ 2 FunQ,L. Обозначим: F 1 ϕ 1,ϕ 2 = ϕ 1 + ϕ 2 при ϕ 1, ϕ 2 FunQ,L. Тогда F 1 : FunQ,L FunQ,L = FunQ,L. Будем говорить, что F 1 стандартная операция сложения на множестве FunQ,L. Пусть: λ K, ϕ FunQ, L. Обозначим: λϕx = λϕx, x Q. Тогда λϕ FunQ,L. Обозначим: F 2 λ,ϕ = λϕ при: λ K, ϕ FunQ,L. Тогда F 2 : K FunQ,L = FunQ,L. Будем говорить, что F 2 стандартная внешняя операция умножения на множестве FunQ,L. Обозначим: Θx = θ, x Q. Тогда Θ FunQ, L. Будем говорить, что Θ стандартный нулевой элемент на множестве FunQ,L. Утверждение линейное пространство векторных функций. Пусть: Q множество, K {C,R,Q}, L линейное пространство над полем K; F 1 стандартная операция сложения на множестве FunQ,L, F 2 стандартная внешняя операция умножения на множестве FunQ, L, Θ стандартный нулевой элемент на множестве FunQ, L. Тогда: FunQ,L,F 1,F 2 линейное пространство над полем K, Θ нулевой вектор пространства FunQ,L,F 1,F 2. Доказательство. Очевидно: K {C, R, Q}; FunQ, L множество, Θ FunQ, L, F 1 : FunQ,L FunQ,L = FunQ,L, F 2 : K FunQ,L = FunQ,L. 1. Пусть ϕ 1, ϕ 2 FunQ,L. Пусть x Q. Тогда: ϕ 1 +ϕ 2 x = ϕ 1 x+ϕ 2 x = ϕ 2 x+ϕ 1 x = ϕ 2 +ϕ 1 x. Следовательно, ϕ 1 +ϕ 2 = ϕ 2 +ϕ 1. 2. Пусть ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 FunQ,L. Пусть x Q. Тогда: ϕ1 +ϕ 2 +ϕ 3 x = ϕ1 x+ϕ 2 x +ϕ 3 x = ϕ 1 x+ ϕ 2 x+ϕ 3 x = = ϕ 1 +ϕ 2 +ϕ 3 x. Следовательно, ϕ 1 +ϕ 2 +ϕ 3 = ϕ 1 +ϕ 2 +ϕ 3. 3. Пусть ϕ FunQ, L. Пусть x Q. Тогда: ϕ+θx = ϕx+θx = ϕx+θ = ϕx. Следовательно, ϕ+θ = ϕ. 4. Пусть ϕ FunQ, L. Пусть x Q. Тогда: ϕ+ 1ϕ x = ϕx+ 1ϕx = θ = Θx. Следовательно, ϕ + 1ϕ = Θ.

2.2. Примеры линейных пространств 19 5. Пусть: α, β K, ϕ FunQ,L. Пусть x Q. Тогда: αβϕ x = αβϕx = α βϕx = αβϕ x. Следовательно, αβϕ = αβϕ. 6. Пусть ϕ FunQ, L. Пусть x Q. Тогда: 1ϕ x = 1ϕx = ϕx. Следовательно, 1ϕ = ϕ. 7. Пусть: α, β K, ϕ FunQ,L. Пусть x Q. Тогда: α+βϕ x = α+βϕx = αϕx+βϕx = αϕ+βϕ x. Следовательно, α+βϕ = αϕ+βϕ. 8. Пусть: λ K, ϕ 1, ϕ 2 FunQ,L. Пусть x Q. Тогда: λϕ1 +ϕ 2 x = λ ϕ 1 x+ϕ 2 x = λϕ 1 x+λϕ 2 x = λϕ 1 +λϕ 2 x. Следовательно, λϕ 1 +ϕ 2 = λϕ 1 +λϕ 2. Очевидно: FunQ,L,F 1,F 2 линейное пространство над полем K, Θ нулевой вектор пространства FunQ,L,F 1,F 2. Определение. Пусть K {C, R, Q}. Рассмотрим множество K. Обозначим: F 1 x,y = x + y при x, y K. Тогда F 1 : K K = K. Будем говорить, что F 1 стандартная операция сложения на множестве K. Обозначим: F 2 λ,x = λx при: λ K, x K. Тогда F 2 : K K = K. Будем говорить, что F 2 стандартная операция умножения на множестве K. Замечание. Пусть K {C,R,Q}. Очевидно, K 1 = K. Пусть x, y K 1. Тогда x+y = x 1 +y 1. Пусть: λ K, x K 1. Тогда λx = λx 1. Обозначим, θ = 0. Тогда θ = 0. Утверждение линейное пространство K. Пусть: K {C,R,Q}; F 1 стандартная операция сложения на множестве K, F 2 стандартная операция умножения на множестве K. Тогда: K,F 1,F 2 линейное пространство над полем K, 0 нулевой вектор пространства K,F 1,F 2. Доказательство. Очевидно: K {C,R,Q}; K множество, F 1 : K K = K, F 2 : K K = K, 0 K. 1. Пусть x, y K. Тогда x+y = y +x. 2. Пусть x, y, z K. Тогда x+y+z = x+y +z. 3. Пусть x K. Тогда x+0 = x. 4. Пусть x K. Тогда x+ x = 0. 5. Пусть α, β, x K. Тогда αβx = αβx. 6. Пусть x K. Тогда 1x = x. 7. Пусть α, β, x K. Тогда α+βx = αx+βx. 8. Пусть λ, x, y K. Тогда λx+y = λx+λy. Очевидно: K,F 1,F 2 линейное пространство над полем K, 0 нулевой вектор пространства K,F 1,F 2.

20 2. Линейное пространство 2-й семестр Замечание линейное пространство KK 0. Пусть: K {C,R,Q}; F 1 стандартная операция сложения на множестве K, F 2 стандартная операция умножения на множестве K. Пусть: K 0 {C,R,Q}, K 0 K. Тогда: K,F 1, F 2 K0 K линейное пространство над полем K 0, 0 нулевой вектор пространства K,F 1, F 2 K0 K. Обозначим, KK 0 = K,F 1, F 2 K0 K. Определение. Пусть: K {C,R,Q}, N Z, N 2. Рассмотрим множество K N. Пусть x, y K N. Обозначим: x 1 +y 1 x+y =.. x N +y N Тогда x+y K N. Обозначим: F 1 x,y = x+y при x, y K N. Тогда F 1 : K N K N = K N. Будем говорить, что F 1 стандартная операция сложения на множестве K N. Пусть: λ K, x K N. Обозначим: λx 1 λx =.. λx N Тогда λx K N. Обозначим: F 2 λ,x = λx при: λ K, x K N. Тогда F 2 : K K N = K N. Будем говорить, что F 2 стандартная внешняя операция умножения на множестве K N. Обозначим: θ = 0.. 0 Тогда θ K N. Будем говорить, что θ стандартный нулевой элемент на множестве K N. Утверждение линейное пространство K N. Пусть: K {C,R,Q}, N Z, N 2; F 1 стандартная операция сложения на множестве K N, F 2 стандартная внешняя операция умножения на множестве K N, θ стандартный нулевой элемент на множестве K N. Тогда: K N,F 1,F 2 линейное пространство над полем K, θ нулевой вектор пространства K N,F 1,F 2. Доказательство. Очевидно: K {C,R,Q}; K N множество, F 1 : K N K N = K N, F 2 : K K N = K N, θ K N. 1. Пусть x, y K N. Пусть j = 1,N. Тогда: x+y j = x j +y j = y j +x j = y +x j. Следовательно, x+y = y +x. 2. Пусть x, y, z K N. Пусть j = 1,N. Тогда: x+y+z j = x j +y j +z j = x j +y j +z j = x+y +z j. Следовательно, x+y+z = x+y +z.

2.2. Примеры линейных пространств 21 3. Пусть x K N. Пусть j = 1,N. Тогда: Следовательно, x+ θ = x. 4. Пусть x K N. Пусть j = 1,N. Тогда: x+ θ j = x j + θ j = x j +0 = x j. x+ 1x j = x j + 1x j = 0 = θ j. Следовательно, x+ 1x = θ. 5. Пусть: α, β K, x K N. Пусть j = 1,N. Тогда: αβx j = αβx j = αβx j = αβx j. Следовательно, αβx = αβx. 6. Пусть x K N. Пусть j = 1,N. Тогда: 1x j = 1x j = x j. Следовательно, 1x = x. 7. Пусть: α, β K, x K N. Пусть j = 1,N. Тогда: α+βx j = α+βx j = αx j +βx j = αx+βx j. Следовательно, α+βx = αx+βx. 8. Пусть: λ K, x, y K N. Пусть j = 1,N. Тогда: λx+y j = λx j +y j = λx j +λy j = λx+λy j. Следовательно, λx+y = λx+λy. Очевидно: K N,F 1,F 2 линейное пространство над полем K, θ нулевой вектор пространства K N,F 1,F 2. Замечание линейное пространство K N K 0. Пусть: K {C,R,Q}, N Z, N 2; F 1 стандартная операция сложения на множестве K N, F 2 стандартная внешняя операция умножения на множестве K N, θ стандартный нулевой элемент на множестве K N. Пусть: K 0 {C,R,Q}, K 0 K. Тогда: K N,F 1, F 2 K0 K N линейное пространство над полем K 0, θ нулевой вектор пространства K N,F 1, F 2 K0 K N. Обозначим, K N K 0 = K N,F 1, F 2 K0 K N. Определение что такое матрица. Пусть N 1, N 2 N. 1. Будем говорить, что A матрица, имеющая N 2 строки и N 1 столбец, если: A функция, DA = {1,...,N 2 } {1,...,N 1 }. 2. Пусть A матрица, имеющая N 2 строки и N 1 столбец. Далее часто будем писать «A j i» вместо «Aj,i». 3. Пусть A матрица, имеющая N 2 строки и N 1 столбец. Далее часто будем писать «A j,i» вместо «Aj,i».

22 2. Линейное пространство 2-й семестр 4. Пусть A матрица, имеющая N 2 строки и N 1 столбец. Далее часто будем писать «A j,i» вместо «Aj,i». 5. Пусть α1,...,α 1 N 1 1,...,α N 2 1,...,α N 2 N 1 некоторые объекты. Выберем функцию A, удовлетворяющую условиям: Обозначим: DA = {1,...,N 2 } {1,...,N 1 }, j = 1,N 2 i = 1,N 1 Aj,i = α j i. α1 1 αn 1 1... = A. α N 2 1 α N 2 N 1 6. Пусть Q множество. Будем говорить, что A матрица с элементами из множества Q, имеющая N 2 строки и N 1 столбец, если: A: {1,...,N 2 } {1,...,N 1 } = Q. 7. ПустьQ множество. Обозначим черезq N 2 N 1 множество всех матриц с элементами из множества Q, имеющих N 2 строки и N 1 столбец. Определение. Пусть: N 1, N 2 N; A матрица, имеющая N 2 строки и N 1 столбец. Пусть i = 1,N 1. Обозначим: Пусть j = 1,N 2. Обозначим: A i = A 1 i. A N 2 i. A j = A j 1 A j N 1. Определение. Пусть: K {C,R,Q}, N 1, N 2 N. Рассмотрим множество K N 2 N 1. Пусть A, B K N 2 N 1. Обозначим: A+B j i = Aj i +Bj i, i = 1,N 1, j = 1,N 2. Тогда A + B K N 2 N 1. Обозначим: F 1 A,B = A + B при A, B K N 2 N 1. Тогда F 1 : K N 2 N 1 K N 2 N 1 = K N 2 N 1. Будем говорить, что F 1 стандартная операция сложения на множестве K N 2 N 1. Пусть: λ K, A K N 2 N 1. Обозначим: λa j i = λaj i, i = 1,N 1, j = 1,N 2. Тогда λa K N 2 N 1. Обозначим: F 2 λ,a = λa при: λ K, A K N 2 N 1. Тогда F 2 : K K N 2 N 1 = K N 2 N 1. Будем говорить, что F 2 стандартная внешняя операция умножения на множестве K N 2 N 1. Обозначим: Θ j i = 0, i = 1,N 1, j = 1,N 2. Тогда Θ K N 2 N 1. Будем говорить, что Θ стандартный нулевой элемент на множестве K N 2 N 1.

2.2. Примеры линейных пространств 23 Утверждение линейное пространство K N 2 N 1. Пусть: K {C,R,Q}, N 1, N 2 N; F 1 стандартная операция сложения на множестве K N 2 N 1, F 2 стандартная внешняя операция умножения на множестве K N 2 N 1, Θ стандартный нулевой элемент на множестве K N 2 N 1. Тогда: K N 2 N 1,F 1,F 2 линейное пространство над полем K, Θ нулевой вектор пространства K N 2 N 1,F 1,F 2. Доказательство. Очевидно: K {C,R,Q}; K N 2 N 1 множество, Θ K N 2 N 1, F 1 : K N 2 N 1 K N 2 N 1 = K N 2 N 1, F 2 : K K N 2 N 1 = K N 2 N 1. 1. Пусть A, B K N 2 N 1. Пусть: i = 1,N 1, j = 1,N 2. Тогда: A+B j i = Aj i +Bj i = Bj i +Aj i = B +Aj i. Следовательно, A+B = B +A. 2. Пусть A, B, C K N 2 N 1. Пусть: i = 1,N 1, j = 1,N 2. Тогда: A+B+C j i = Aj i +Bj i +Cj i = Aj i +Bj i +Cj i = A+B +C j i. Следовательно, A+B+C = A+B +C. 3. Пусть A K N 2 N 1. Пусть: i = 1,N 1, j = 1,N 2. Тогда: A+Θ j i = Aj i +Θj i = Aj i +0 = Aj i. Следовательно, A+Θ = A. 4. Пусть A K N 2 N 1. Пусть: i = 1,N 1, j = 1,N 2. Тогда: A+ 1A j i = Aj i + 1Aj i = 0 = Θj i. Следовательно, A + 1A = Θ. 5. Пусть: α, β K, A K N 2 N 1. Пусть: i = 1,N 1, j = 1,N 2. Тогда: αβa j i = αβaj i = αβaj i = αβa j i. Следовательно, αβa = αβa. 6. Пусть A K N 2 N 1. Пусть: i = 1,N 1, j = 1,N 2. Тогда: 1A j i = 1Aj i = Aj i. Следовательно, 1A = A. 7. Пусть: α, β K, A K N 2 N 1. Пусть: i = 1,N 1, j = 1,N 2. Тогда: α+βa j i = α+βaj i = αaj i +βaj i = αa+βaj i. Следовательно, α+βa = αa+βa. 8. Пусть: λ K, A, B K N 2 N 1. Пусть: i = 1,N 1, j = 1,N 2. Тогда: λa+b j i = λaj i +Bj i = λaj i +λbj i = λa+λbj i. Следовательно, λa+b = λa+λb.

24 2. Линейное пространство 2-й семестр Очевидно: K N 2 N 1,F 1,F 2 линейное пространство над полем K, Θ нулевой вектор пространства K N 2 N 1,F 1,F 2. Замечание линейное пространство K N 2 N 1 K 0. Пусть: K {C,R,Q}, N 1, N 2 N; F 1 стандартная операция сложения на множестве K N 2 N 1, F 2 стандартная внешняя операция умножения на множестве K N 2 N 1, Θ стандартный нулевой элемент на множестве K N 2 N 1. Пусть: K 0 {C,R,Q}, K 0 K. Тогда: K N 2 N 1,F 1, F 2 K0 K N 2 N 1 линейное пространство над полем K 0, Θ нулевой вектор пространства K N 2 N 1,F 1, F 2 K0 K N 2 N 1. Обозначим, K N 2 N 1 K 0 = K N 2 N 1,F 1, F 2 K0 K N 2 N 1. 2.3. Подпространство линейного пространства Определение подпространство линейного пространства. Пусть: K {C, R, Q}; L линейное пространство над полем K. Будем говорить, что Q подпространство пространства L, если: 1. Q L; 2. Q ; 3. x Q y Qx+y Q; 4. λ K x Qλx Q. Замечание простейшие примеры. Пусть: K {C, R, Q}; L линейное пространство над полем K. Очевидно: {θ} подпространство пространства L; L подпространство пространства L. Утверждение. Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K; Q подпространство пространства L. Тогда θ Q. Доказательство. Так как Q подпространство пространства L, то существует вектор x, удовлетворяющий условию x Q. Так как Q подпространство пространства L, то: θ = 0x Q. Утверждение. Пусть: K {C,R,Q}; M,F 1,F 2 линейное пространство над полем K. Пусть Q подпространство пространства M,F 1,F 2. Тогда: Q M, Q, F 1 Q Q, F 2 K Q линейное пространство над полем K, θ нулевой вектор пространства Q, F 1 Q Q, F 2 K Q. Доказательство. Так как Q подпространство пространства M,F 1,F 2, то Q M. Очевидно: K {C,R,Q}; Q множество, θ Q. Очевидно: F 1 Q Q функция, DF 1 Q Q = Q Q DF 1 = Q Q M M = Q Q. Пусть x, y Q. Так как Q подпространство пространства M,F 1,F 2, то: F 1 Q Q x,y = F 1 x,y Q. Тогда RF 1 Q Q Q. Итак, F 1 Q Q : Q Q = Q. Очевидно: F 2 K Q функция,

2.3. Подпространство линейного пространства 25 DF 2 K Q = K Q DF 2 = K Q K M = K Q. Пусть: λ K, x Q. Так как Q подпространство пространства M,F 1,F 2, то: F 2 K Q λ,x = F 2 λ,x Q. Тогда RF 2 K Q Q. Итак, F 2 K Q : K Q = Q. Далее обычно будем писать: «x y» вместо «F 1 Q Q x,y»; «λ x» вместо «F 2 K Q λ,x». 1. Пусть x, y Q. Тогда: 2. Пусть x, y, z Q. Тогда: 3. Пусть x Q. Тогда: 4. Пусть x Q. Тогда: x y = x+y = y +x = y x. x y z = x+y+z = x+y +z = x y z. 5. Пусть: α, β K, x Q. Тогда: 6. Пусть x Q. Тогда: 7. Пусть: α, β K, x Q. Тогда: 8. Пусть: λ K, x, y Q. Тогда: x θ = x+θ = x. x 1 x = x+ 1x = θ. αβ x = αβx = αβx = α β x. 1 x = 1x = x. α+β x = α+βx = αx+βx = α x β x. λ x y = λx+y = λx+λy = λ x λ y. Очевидно: Q, F 1 Q Q, F 2 K Q линейное пространство над полем K, θ нулевой вектор пространства Q, F 1 Q Q, F 2 K Q. Утверждение. Пусть: K {C,R,Q}; M,F 1,F 2 линейное пространство над полем K. Пусть: Q M, Q, F 1 Q Q, F 2 K Q линейное пространство над полем K. Тогда Q подпространство пространства M,F 1,F 2. Доказательство. По условию, Q M. Так как Q, F 1 Q Q, F 2 K Q линейное пространство над полем K, то Q. Далее обычно будем писать: «x y» вместо «F 1 Q Q x,y»; «λ x» вместо «F 2 K Q λ,x». Пусть x, y Q. Так как Q, F 1 Q Q, F 2 K Q линейное пространство над полем K, то: x+y = x y Q. Пусть: λ K, x Q. Так как Q, F 1 Q Q, F 2 K Q линейное пространство над полем K, то: λx = λ x Q. Итак, Q подпространство пространства M,F 1,F 2.

26 2. Линейное пространство 2-й семестр Утверждение. Пусть: K {C,R,Q}; M,F 1,F 2 линейное пространство над полем K; Q 1 подпространство пространства M,F 1,F 2. Пусть Q 2 подпространство пространства Q 1, F 1 Q1 Q 1, F 2 K Q1. Тогда: Q 2 Q 1, Q 2 подпространство пространства M,F 1,F 2. Доказательство. Так как Q 1 подпространство пространства M,F 1,F 2, то Q 1 M. Так как Q 2 подпространство пространства Q 1, F 1 Q1 Q 1, F 2 K Q1, то: Q 2 Q 1, Q 2. Так как: Q 1 M, Q 2 Q 1, то Q 2 M. Далее обычно будем писать: «x y» вместо «F 1 Q1 Q 1 x,y»; «λ x» вместо «F 2 K Q1 λ,x». Пусть x, y Q 2. Так как Q 2 подпространство пространства Q 1, F 1 Q1 Q 1, F 2 K Q1, то: x+y = x y Q 2. Пусть: λ K, x Q 2. Так как Q 2 подпространство пространства Q 1, F 1 Q1 Q 1, F 2 K Q1, то: λx = λ x Q 2. Итак: Q 2 Q 1, Q 2 подпространство пространства M,F 1,F 2. Утверждение. Пусть: K {C,R,Q}; M,F 1,F 2 линейное пространство над полем K; Q 1 подпространство пространства M,F 1,F 2. Пусть: Q 2 Q 1, Q 2 подпространство пространства M,F 1,F 2. Тогда Q 2 подпространство пространства Q 1, F 1 Q1 Q 1, F 2 K Q1. Доказательство. По условию, Q 2 Q 1. Так как Q 2 подпространство пространства M,F 1,F 2, то Q 2. Далее обычно будем писать: «x y» вместо «F 1 Q1 Q 1 x,y»; «λ x вместо F 2 K Q1 λ,x». Пусть x, y Q 2. Так как Q 2 подпространство пространства M,F 1,F 2, то: x y = x+y Q 2. Пусть: λ K, x Q 2. Так как Q 2 подпространство пространства M,F 1,F 2, то: λ x = λx Q 2. Итак, Q 2 подпространство пространства Q 1, F 1 Q1 Q 1, F 2 K Q1. Утверждение. Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K; Q 1, Q 2 подпространства пространства L. Тогда Q 1 Q 2 подпространство пространства L. Доказательство. Так как Q 1 L, то: Q 1 Q 2 Q 1 L. Так как: θ Q 1, θ Q 2, то θ Q 1 Q 2. Пусть: x 1 Q 1 Q 2, x 2 Q 1 Q 2. Тогда: x 1 Q 1, x 1 Q 2 ; x 2 Q 1, x 2 Q 2. Следовательно: x 1 +x 2 Q 1, x 1 +x 2 Q 2. Тогда x 1 +x 2 Q 1 Q 2. Пусть: λ K, x Q 1 Q 2. Тогда: λ K; x Q 1, x Q 2. Следовательно: λx Q 1, λx Q 2. Тогда λx Q 1 Q 2. Итак, Q 1 Q 2 подпространство пространства L. Утверждение Внимание! Только для особо интересующихся. Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K; I множество, I, Q α подпространство пространства L при α I. Тогда α IQ α подпространство пространства L. Доказательство. Так как I, то существует объект α 0, удовлетворяющий условию α 0 I. Так как Q α0 L, то: α Q α0 L. Так как: θ Q α при α I, то θ α IQ Q α. α I

2.4. Линейная зависимость векторов 27 Пусть x 1 Q α, x 2 α. Тогда: x 1 Q α при α I; x 2 Q α при α I. α I α IQ Следовательно: x 1 +x 2 Q α при α I. Тогда x 1 +x 2 α IQ α. Пусть: λ K, x α IQ α. Тогда: λ K; x Q α при α I. Следовательно: λx Q α при α I. Тогда λx α IQ α. Итак, Q α подпространство пространства L. α I 2.4. Линейная зависимость векторов Определение линейная комбинация векторов. Пусть: K {C, R, Q}; L линейное пространство над полем K; r N, λ 1,...,λ r K, x 1,...,x r L. Будем говорить, что u линейная комбинация векторов x 1,...,x r с коэффициентами λ 1,...,λ r, если u = r λ k x k. k=1 Далее часто будем писать «λ k x k» вместо «r λ k x k» частный случай правила суммирования Эйнштейна. Определение линейная оболочка векторов, линейная зависимость векторов, линейная независимость векторов. Пусть: K {C, R, Q}; L линейное пространство над полем K; r N, x 1,...,x r L. Обозначим: k=1 Lx 1,...,x r = {λ k x k : λ 1 K λ r K} = = { u: λ 1 λ r λ 1 K λ r K u = λ k x k }. Очевидно, Lx 1,...,x r L. Будем говорить, что Lx 1,...,x r линейная оболочка векторов x 1,...,x r. Будем говорить, что x 1,...,x r линейно зависимые векторы, если существуют числа λ 1,...,λ r, удовлетворяющие условиям: λ 1,...,λ r K, λ k x k = θ, k = 1,rλ k 0. Будем говорить, что x 1,...,x r линейно независимые векторы, если для любых чисел λ 1,...,λ r, удовлетворяющих условиям: λ 1,...,λ r K, λ k x k = θ, справедливо утверждение k = 1,rλ k = 0. Будем говорить, что по любой линейной комбинации векторов x 1,...,x r однозначно восстанавливаются её коэффициенты, если для любых чисел α 1,...,α r, β 1,...,β r, удовлетворяющих условиям: α 1,...,α r, β 1,...,β r K, α k x k = β k x k, справедливо утверждение k = 1,rα k = β k. Определение символ Кронекера. Пусть r N. Обозначим: δk m = 1 при: k, m = 1,r, k = m. δ m k = 0 при: k, m = 1,r, k m; Замечание. Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K. Пусть: r N, x 1,...,x r L. Пусть k = 1,r. Тогда: x k = δ m k x m Lx 1,...,x r. Пусть: Q подпространство пространства L, r N, x 1,...,x r Q. Очевидно, Lx 1,...,x r Q. Утверждение. Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K; r N, x 1,...,x r L. Тогда Lx 1,...,x r подпространство пространства L.

28 2. Линейное пространство 2-й семестр Доказательство. Очевидно: Lx 1,...,x r L, 0x 1 + +0x r Lx 1,...,x r. Пусть u, v Lx 1,...,x r. Тогда существуют числа α 1,...,α r, β 1,...,β r K, удовлетворяющие условиям: u = α k x k, v = β k x k. Следовательно: u+v = α k x k +β k x k = α k +β k x k Lx 1,...,x r. Пусть: λ K, u Lx 1,...,x r. Тогда существуют числа α 1,...,α r K, удовлетворяющие условию u = α k x k. Следовательно: λu = λα k x k = λα k x k Lx 1,...,x r. Итак, Lx 1,...,x r подпространство пространства L. Утверждение критерий линейной зависимости векторов. Пусть: K {C, R, Q}; L линейное пространство над полем K. 1. Пусть: x L, x линейно зависимый вектор. Тогда x = θ. 2. Пусть x = θ. Тогда: x L, x линейно зависимый вектор. 3. Пусть: r Z, r 2, x 1,...,x r L. Векторы x 1,...,x r являются линейно зависимыми тогда и только тогда, когда существует номер k 0 = 1,r, удовлетворяющий условию x k0 Lx 1,...,x k0 1,x k0 +1,...,x r. Доказательство. 1. Так как: x L, x линейно зависимый вектор, то существует число λ K, удовлетворяющее условиям: λx = θ, λ 0. Тогда x = θ. 2. Так как x = θ, то: x L, 1x = θ. Так как 1 0, то: x L, x линейно зависимый вектор. 3. Пустьx 1,...,x r линейно зависимые векторы. Тогда существуют числаλ 1,...,λ N K, удовлетворяющие условиям: λ k x k = θ, k = 1,rλ k 0. Выберем номер k 0 = 1,r, удовлетворяющий условию λ k0 0. Тогда: λ 1 x 1 + +λ k 0 1 x k0 1 +λ k 0 x k0 +λ k 0+1 x k0 +1 + +λ r x r = θ, x k0 = λ1 x 1 + + λk0 1 x k0 1 + λk0+1 x k0 +1 + + λr x r, λ k0 λ k0 λ k0 λ k0 x k0 Lx 1,...,x k0 1,x k0 +1,...,x r. Пусть существует номер k 0 = 1,r, удовлетворяющий условию x k0 Lx 1,...,x k0 1,x k0 +1,...,x r. Тогда существуют числа λ 1,...,λ k 0 1, λ k 0+1,...,λ r K, удовлетворяющие условию: Следовательно: x k0 = λ 1 x 1 + +λ k 0 1 x k0 1 +λ k 0+1 x k0 +1 + +λ r x r. λ 1 x 1 + + λ k 0 1 x k0 1 +1x k0 + λ k 0+1 x k0 +1 + + λ r x r = θ. Так как 1 0, то x 1,...,x r линейно зависимые векторы. Утверждение критерий линейной независимости векторов. Пусть: K {C, R, Q}; L линейное пространство над полем K; r N, x 1,...,x r L. Векторы x 1,...,x r являются линейно независимыми тогда и только тогда, когда по любой линейной комбинации векторов x 1,...,x r однозначно восстанавливаются её коэффициенты.

2.4. Линейная зависимость векторов 29 Доказательство. Пусть x 1,...,x r линейно независимые векторы. Пусть: α 1,...,α r, β 1,...,β r K, α k x k = β k x k. Тогда α k β k x k = θ. Так как x 1,...,x r линейно независимые векторы, то k = 1,rα k β k = 0. Тогда k = 1,rα k = β k. Следовательно, по любой линейной комбинации векторов x 1,...,x r однозначно восстанавливаются её коэффициенты. Пусть по любой линейной комбинации векторов x 1,...,x r однозначно восстанавливаются её коэффициенты. Пусть: λ 1,...,λ r K, λ k x k = θ. Тогда: λ 1 x 1 + +λ r x r = 0x 1 + +0x r. Так как по любой линейной комбинации векторовx 1,...,x r однозначно восстанавливаются её коэффициенты, то k = 1,rλ k = 0. Тогда x 1,...,x r линейно независимые векторы. Замечание перестановки произвольного множества. Пусть M множество. Будем говорить, что σ перестановка множества M, если: σ обратимая функция, Dσ = M, Rσ = M. Обозначим через SM множество всех перестановок множества M. Пусть σ 1, σ 2 SM. Обозначим, σ 2 σ 1 = σ 2 σ 1. Очевидно, σ 2 σ 1 SM. Пусть σ SM. Очевидно, σ 1 SM. Обозначим: ex = x при x M. Очевидно, e SM. 1. Пусть σ 1, σ 2, σ 3 SM. Очевидно, σ 3 σ 2 σ 1 = σ 3 σ 2 σ 1. 2. Пусть σ SM. Очевидно: σe = σ, eσ = σ. 3. Пусть σ SM. Очевидно: σσ 1 = e, σ 1 σ = e. Замечание перестановки конечного множества. Пусть M конечное множество. Пусть: σ обратимая функция, Dσ = M, Rσ M. Так как: Dσ конечное множество, σ обратимая функция, то: Rσ конечное множество, card Rσ = card Dσ. Тогда: card Rσ = card Dσ = cardm. Так как: M конечное множество, Rσ M, то Rσ = M. Тогда σ SM. Пусть: σ функция, Dσ = M, Rσ = M. Предположим, что σ необратимая функция. Так как Dσ конечное множество, то: Rσ конечное множество, card Rσ < card Dσ. Тогда: card Rσ < card Dσ = cardm что противоречит утверждению Rσ = M. Итак, σ обратимая функция. Тогда σ SM. Замечание перестановки множеств:, {1,...,r}. Обозначим, S 0 = S. Пусть r N. Обозначим, S r = S {1,...,r}. Пусть: r N, x 1,...,x r некоторые объекты. Обозначим через σ функцию, удовлетворяющую условиям: Dσ = {1,...,r}, σ1 = x 1,...,σr = x r. Тогда: σ функция, Dσ = {1,...,r}, Rσ = {x 1,...,x r }. Далее часто будем отождествлять упорядоченную r-ку x 1,...,x r и функцию σ. Пусть: r N, α 1,...,α r {1,...,r}, α 1,...,α r различные числа. Обозначим через σ функцию, удовлетворяющую условиям: Dσ = {1,...,r}, σ1 = α 1,...,σr = α r. Тогда: σ обратимая функция, Dσ = {1,...,r}, Rσ {1,...,r}. Следовательно, σ S r. Утверждение. Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K; r N, x 1,...,x r L. Пусть: σ S r, x σ1,...,x σr линейно зависимые векторы. Тогда x 1,...,x r линейно зависимые векторы. Доказательство. Так как x σ1,...,x σr линейно зависимые векторы, то существуют числа λ 1,...,λ r K, удовлетворяющие условиям: λ 1 x σ1 + +λ r x σr = θ, m = 1,rλ m