H MΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΚΕΔΑΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ H MΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΚΕΔΑΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΚΤΗΣΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΣΤΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΣ ΦΟΙΤΗΤΗΣ: ΣΩΤΗΡΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ-ΡΙΖΟΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΤΣΟΥΜΠΕΛΗΣ ΠΑΤΡΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 009

Eυχαριστίες Στην διεκπεραίωση αυτής της διπλωματικής εργασίας συνέβαλαν, με διάφορους τρόπους, κάποια άτομα που θέλω να ευχαριστήσω. Πρώτα, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον Καθηγητή (μου) κ. Δημήτρη Τσουμπελή που επέβλεψε την παρούσα εργασία. Είναι αυτός που με έφερε σε επαφή με τις μη γραμμικές Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις και την Μαθηματική Φυσική, και μου υπέδειξε το θέμα αυτής της εργασίας. Επιπλέον, τον ευχαριστώ πολύ για όλη την βοήθεια και την υποστήριξη που μου έχει προσφέρει απλόχερα, από τότε που τον γνώρισα. Κοντά του έμαθα (και συνεχίζω να μαθαίνω) πολλά πράγματα που θα αποτελέσουν την βάση για την συνέχεια των σπουδών μου. Για όλα τα παραπάνω αισθάνομαι τυχερός που δουλεύω μαζί του. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Αναπληρωτή Καθηγητή κ. Βασίλη Παπαγεωργίου για το ενδιαφέρον και την βοήθειά του. Η συμβολή του ήταν σημαντική, ιδιαίτερα, στο να κατανοήσω λεπτά ζητήματα που αφορούν την Μαθηματική Φυσική γενικότερα. Οι υποδείξεις του και οι συζητήσεις μας με βοήθησαν να αναπτύξω το θεωρητικό υπόβαθρο που απαιτείται για τα θέματα που ασχολούμαι. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον διδάκτορα του τμήματος και φίλο Παύλο Ξενιτίδη. Οι γενικότερες υποδείξεις του, αλλά και η βοήθειά του σε τεχνικά σημεία αυτής της εργασίας ήταν πολύ σημαντικές. Κλείνοντας, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους συμφοιτητές και φίλους Γιώργο, Ήλια, Νίκο και Χρήστο για όλες τις όμορφες και παραγωγικές στιγμές που μου πρόσφεραν. i

ii

Περιεχόμενα Εισαγωγή.vii Εξισώσεις Εξέλιξης... Εξισώσεις Εξέλιξης σε μία χωρική διάσταση. Γραμμικές Εξισώσεις Εξέλιξης... Μη Γραμμικές Εξισώσεις Εξέλιξης. 8 Αναζητώντας κυματικές λύσεις μη γραμμικών ΕΕ.... Εξισώσεις Εξέλιξης σε παραπάνω από μία χωρικές διαστάσεις... Από τον μετασχηματισμό Fourier στον μετασχηματισμό αντίστροφης σκέδασης.30. Κατασκευή λύσεων γραμμικών ΕΕ με χρήση του μετα/μού Fourier.30. Κατασκευή λύσεων μη γραμμικών ΕΕ με την μέθοδο αντίστροφης σκέδασης.34 Προκαταρκτικά...34 Μέθοδος ευθείας σκέδασης.35 Σχέση μεταξύ οριζουσών Wronski..40 Δεδομένα σκέδασης συναρτήσει των λύσεων Jost..4 Μέθοδος αντίστροφης σκέδασης.45 3 Κατασκευή λύσεων Προβλημάτων Αρχικών Τιμών μη γραμμικών ΕΕ 57 iii

3. Εφαρμογή στην KdV 58 Διακριτό φάσμα.59 Συνεχές φάσμα...6 3. Το Πρόβλημα Αρχικών Τιμών...63 3.3 Πολυσολιτονική λύση για την KdV...64 Moναχικό κύμα..65 Δισολιτονική λύση.69 Tρισολιτονική λύση...74 N-σολιτονική λύση με Mathematica..79 4 Η μέθοδος των Ablowitz, Kaup, Newell και Segur για αντίστροφη σκέδαση. 85 4. Από τα υπερκαθορισμένα συστήματα στα ζεύγη Lax..85 4. Ζεύγη Lax.86 Ζεύγος Lax για την KdV..88 Χρονική εξέλιξη του δυναμικού-λύση της KdV..90 4.3 Ζεύγη AKNS 9 Ζεύγος AKNS για την KdV.93 Χρονική εξέλιξη του δυναμικού-λύση της KdV... 96 4.4 Αναλυτική περιγραφή της μεθόδου AKNS.97 Μη γραμμικές ΕΕ ως συνθήκες συμβατότητας ζευγών AKNS...98 Το πρόβλημα της ευθείας σκέδασης..03 Το πρόβλημα της αντίστροφης σκέδασης..08 Χρονική εξέλιξη των δεδομένων σκέδασης...7 5 Το πρόβλημα των Riemann και Hilbert.3 5. ΠΣΤ- Πρόβλημα RH...3 Από τις τμηματικά αναλυτικές συναρτήσεις, στο τύπο Plemelj- Sokhotsky..3 Ομογενές και μη ομογενές πρόβλημα RH..37 5. Λύση του προβλήματος RH 37 iv

Προκαταρκτικά για την μέθοδο..38 Λύση του ομογενούς προβλήματος RH..40 Λύση του μη ομογενούς προβλήματος RH.43 5.3 Πρόβλημα RH στην πραγματική ευθεία...43 5.4 Σύνδεση με το πρόβλημα της σκέδασης.44 To πρόβλημα της ευθείας σκέδασης...44 Tο πρόβλημα της αντίστροφης σκέδασης...53 5.5 Σύγχρονες Εξελίξεις 58 Παράρτημα Α....63 Παράρτημα Β....7 Bιβλιογραφία.75 v

vi

Πρόλογος Στην παρούσα εργασία ασχολούμαστε με μεθόδους κατασκευής λύσεων για μη γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις (ΜΔΕ) εξέλιξης, δηλαδή εξισώσεις που περιγράφουν μια φυσική κατάσταση που εξελίσσεται χρονικά, και διακρίνονται σε γραμμικές και μη γραμμικές. Για την επίλυση των γραμμικών ΜΔΕ εξέλιξης υπάρχει η μέθοδος του μετασχηματισμού Fourier. Για τις μη γραμμικές ΜΔΕ εξέλιξης δεν υπάρχει κάποια γενική μέθοδος κατασκευής λύσεων. Πολλές απ αυτές, έχουν την ιδιότητα να επιδέχονται ειδικές λύσεις που ονομάζονται σολιτόνια. Βασικό χαρακτηριστικό των σολιτονίων είναι η «ελαστική» αλληλεπίδρασή τους. Πρώτοι οι Zabusky και Kruskal ανακάλυψαν το 965 ότι η εξίσωση των Korteweg και De Vries (KdV) επιδέχεται σολιτονική λύση. Σχεδόν αμέσως οι Gardner, Greene, Kruskal και Miura [967,974] βρήκαν μια μέθοδο κατασκευής σολιτονικής λύσης για την εξίσωση KdV. Η μέθοδος βασίζεται στην λογική της σκέδασης και της αντίστροφης σκέδασης. Η μέθοδος της αντίστροφης σκέδασης, λειτουργεί ανάλογα με αυτή του μετασχηματισμού Fourier για τις γραμμικές, και αποτελεί το κύριο μέρος αυτής της εργασίας. Ειδικότερα: Στο πρώτο κεφάλαιο, παρουσιάζουμε παραδείγματα γραμμικών εξισώσεων εξέλιξης σε μία χωρική διάσταση, καθώς και λύσεις αυτών. Στη συνέχεια, αναζητούμε σολιτονικές λύσεις για τις μη γραμμικές ΜΔΕ εξέλιξης και κλείνουμε με ένα παράδειγμα μη γραμμικής ΜΔΕ εξέλιξης στις δύο χωρικές διαστάσεις. Στο δεύτερο κεφάλαιο, δείχνουμε πώς μπορούμε να κατασκευάσουμε λύσεις προβλημάτων αρχικών τιμών (ΠΑΤ) για γραμμικές εξισώσεις εξέλιξης, με χρήση του μετασχηματισμού Fourier. Στη συνέχεια, γίνεται εφαρμογή της μεθόδου της αντίστροφης σκέδασης στην κατασκευή λύσεων για μη γραμμικές ΜΔΕ εξέλιξης. Στο τρίτο κεφάλαιο, γίνεται εφαρμογή της μεθόδου της αντίστροφης σκέδασης στο ΠΑΤ για την εξίσωση KdV. Για κατάλληλη επιλογή της αρχικής συνθήκης διαπιστώνουμε ότι η KdV επιδέχεται σολιτονικές λύσεις. Συγκεκριμένα, επιλέγουμε αρχικές συνθήκες που εξελίσσονται χρονικά σε σολιτονική, -σολιτονική vii

και 3-σολιτονική λύση. Τέλος, παρουσιάζουμε ένα πρόγραμμα σε περιβάλλον Mathematica που κατασκευάζει πολυσολιτονική λύση για την εξίσωση KdV. Το τέταρτο κεφάλαιο αφιερώνεται στα ζεύγη Lax, τα οποία είναι ζεύγη γραμμικών εξισώσεων εξέλιξης. Αυτό που τα χαρακτηρίζει είναι ότι, η συνθήκη συμβατότητας αυτών είναι η εξίσωση εξέλιξης που μας ενδιαφέρει. Σε αυτό βασίζεται και η μέθοδος των Ablowitz, Kaup, Newell και Segur (AKNS), για την κατασκευή λύσεων μη γραμμικών εξισώσεων εξέλιξης. Εφαρμόζουμε την μέθοδο AKNS στην εξίσωση KdV για να κατασκευάσουμε σολιτονικές λύσεις. Στο πέμπτο και τελευταίο κεφάλαιο, ασχολούμαστε με την αναδιατύπωση ενός ΠΑΤ ως πρόβλημα Riemann-Hilbert. Επιπλέον, δείχνουμε πώς συνδέεται ένα πρόβλημα αντίστροφης σκέδασης με ένα πρόβλημα Riemann-Hilbert, θεωρώντας την εξίσωση KdV. Τέλος, αναφερόμαστε στην σύνδεση προβλημάτων αρχικώνσυνοριακών τιμών με το πρόβλημα Riemann-Hilbert και κάνουμε μια επισκόπιση στη σύγχρονη βιβλιογραφία και παρουσιάζουμε πρόσφατα αποτελέσματα σε αυτή την κατεύθυνση. viii

. Εξισώσεις Εξέλιξης Εξισώσεις εξέλιξης (ΕΕ) ονομάζουμε τις μερικές διαφορικές εξισώσεις (ΜΔΕ) που αφορούν μια συνάρτηση uix Ø, tm n χωρικών μεταβλητών Hx, x,,x n L που συλλογικά θα παριστάνονται με x Ø, και μιας χρονικής, που θα συμβολίζεται με t, και οι οποίες είναι της μορφής u t = f Hx, u, u x,..., u xn, u x x, u x x,..., u x x x, u x x x 3,...L. Σημειώνουμε ότι, με u t, u xi, i =,..., n, συμβολίζουμε τις μερικές παραγώγους πρώτης τάξης της συνάρτησης uix Ø, tm, ως προς τις μεταβλητές t και x i, i =,..., n, αντίστοιχα, με u xi x j, i, j =,,... m, τις μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης, ως προς τις μεταβλητές x i, x j, i, j =,,... m, κ.ο.κ. Ειδικότερα, όταν η uix Ø, tm παριστάνει το πλάτος μιας κυματικής διαταραχής, η αντίστοιχη εξίσωση εξέλιξης ονομάζεται κυματική. Οπως όλες οι ΜΔΕ, οι εξισώσεις εξέλιξης διακρίνονται σε γραμμικές και μη γραμμικές. Αυτή η διάκριση, όπως θα δούμε στην συνέχεια, παίζει πολύ σημαντικό ρόλο, τόσο από την άποψη των μεθόδων που μπορεί να εφαρμοστούν στην επίλυσή τους, όσο και από την άποψη της συμπεριφοράς των αντίστοιχων λύσεων.. Εξισώσεις Εξέλιξης σε μία χωρική διάσταση Θα λέμε ότι, μια ΕΕ είναι μιας χωρικής διάστασης ή, απλά, μονοδιάστατη, εάν στην αντίστοιχη ΜΔΕ η χωρική μεταβλητή, x Ø, έχει μόνο μία συνιστώσα, οπότε και θα την συμβολίζουμε με x. Γραμμικές Εξισώσεις Εξέλιξης Ανάμεσα στις απλούστερες δυνατές ΕΕ είναι οι μονοδιάστατες και u t + cu x = 0 (..) u t - cu x = 0, (..) όπου c μια θετική σταθερά. Οι λύσεις τους, uhx, tl, παριστάνουν κυματικούς παλμούς που διαδίδονται με ταχύτητα c προς μία μόνο κατεύθυνση του άξονα x. και Εύκολα βλέπουμε ότι, οι (..) και (..) δέχονται λύσεις της μορφής uhx, tl = f Hx - ctl (..3)

ΚΕΦ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ.nb uhx, tl = ghx + ctl, (..4) αντίστοιχα, όπου f και g τυχαίες διαφορίσιμες συναρτήσεις. Οι τελευταίες καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες του προβλήματος, δηλαδή από τη συνάρτηση uhx, 0L. Συγκεκριμένα, οι (..) και (..) περιγράφουν παλμούς που διαδίδονται προς μία μόνο κατεύθυνση, διατηρώντας το σχήμα τους. Αυτό φαίνεται καθαρά, εάν θέσουμε x = x - ct στην (..3) ή x = x + ct στην (..4), οπότε γίνονται uhx, tl = f HxL ή uhx, tl = ghxl, αντίστοιχα. Αυτό σημαίνει ότι, η συνάρτηση uhx, tl διατηρεί την ίδια τιμή κατά μήκος των ευθειών x ct= a του επίδου xt. Κατά συνέπεια, και τις επόμενες χρονικές στιγμές, η μορφή του παλμού παραμένει ίδια με εκείνη που είχε τη στιγμή t = 0. Απλώς, μετατίθεται προς τα δεξιά ή τα αριστερά, αντίστοιχα, κατά ct. Για να γίνει ακόμα πιο ξεκάθαρο, επιλέγουμε η f να είναι η συνάρτηση f HxL = -x, c =, και σχεδιάζουμε την εικόνα της u κατά τις χρονικές στιγμές t = 0, t = και t =, σε κοινό διάγραμμα: u 0.8 0.6 0.4 0. - 4 6 x Σχήμα.. Τα στιγμιότυπα κατά τις χρονικές στιγμές t = 0,,. Λύσεις της μορφής f Hx - ctl αναφέρονται ως οδεύοντα κύματα (travelling waves). Παλμούς που διαδίδονται προς δύο κατευθύνσεις, μπορούμε να πάρουμε από την κυματική εξίσωση Πράγματι, αυτή γράφεται στην μορφή u tt - c u xx = 0. (..5) I ÅÅÅÅÅÅÅÅ - c ÅÅÅÅÅÅÅÅ M u = 0 ή H ÅÅÅÅÅ - c ÅÅÅÅÅÅ t x t x LH ÅÅÅÅÅ - c ÅÅÅÅÅÅ t x L u = 0. Επομένως, δέχεται λύσεις της μορφής (..3) και (..4). Λόγω γραμμικότητας, και το άθροισμα αυτών θα είναι λύση της (..5). uhx, tl = f Hx - ctl + ghx + ctl, (..6) Συγκεκριμένα, η λύση (του D' Alembert) (..6) περιγράφει δύο κύματα. Το ένα απ' αυτά κινείται προς τα δεξιά και έχει την μορφή της f, ενώ το άλλο προς τα αριστερά και έχει

ΚΕΦ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ.nb 3 την μορφή της g, αλλά και τα δύο κινούνται με την ίδια σταθερή ταχύτητα c > 0. Επιπλέον, όπως παραπάνω, διατηρούν το σχήμα τους καθώς διαδίδονται. Mπορούμε να το δούμε με την βοήθεια του Mathematica, επιλέγοντας f HxL = -Hx-tL και ghxl = tanhhxl, και σχεδιάζοντας τα στιγμιότυπα κατά τις χρονικές στιγμές t = 4, 5, 6. u.5 0.5-0 -5 5 0 x -0.5 - Σχήμα.. Τα στιγμιότυπα κατά τις χρονικές στιγμές t = 4, 5, 6. O ένας παλμός κινείται προς τα δεξιά και έχει την μορφή της -x και ο άλλος προς τα αριστερά και έχει την μορφή της tanhhxl. Και οι δύο, κινούνται με μοναδιαία ταχύτητα. Ξεχωριστής σημασίας είναι οι αρμονικές λύσεις, δηλαδή λύσεις της μορφής uhx, tl = i Hkx-w tl, (..7) όπου w, k œ. Προφανώς, αυτές παριστάνουν ημιτονοειδή κύματα. Η κατεύθυνση και η ταχύτητα της διάδοσής τους καθορίζεται από τη σχέση των παραμέτρων k και w. Για να την αναδείξουμε, αρχικά υπολογίζουμε τις παραγώγους δεύτερης τάξης της (..7). Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε το αποτέλεσμα στην (..5), για να πάρουμε u xx =-k i Hkx-w tl, u tt =-w i Hkx-w tl -w i Hkx-w tl + c k i Hkx-w tl = 0, από την οποία έπεται ότι οι παράμετροι w και k πρέπει να ικανοποιούν την σχέση w= ck. (..8) Οι (..8) αναφέρονται ως σχέσεις διασποράς ή σχέσεις διασκόρπισης, ενώ η παράμετρος k λέγεται κυματάριθμος. Επιλέγουμε ο κυματάριθμος k œ, ώστε ik œ και την χρονική στιγμή t = 0 η uhx, 0L = ikx να είναι ταλαντούμενη. H παράμετρος w είναι η γωνιακή συχνότητα. Τελικά, η κυματική εξίσωση (..5) έχει λύση της μορφής

4 ΚΕΦ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ.nb uhx, tl = i Hkx-cktL. Αυτή, επειδή kx- ckt= k Hx - ctl, γράφεται ως εξής uhx, tl = ikhx-ctl. (..9) Μια λύση της μορφής (..9), είναι μια μιγαδική συνάρτηση, που για συγκεκριμένες τιμές της παραμέτρου t, το πραγματικό και το φανταστικό της μέρος, όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα, είναι περιοδικές συναρτήσεις. 0.5 u ReHuHx,0L ReHuHx,L -0-0 0 0 x -0.5 - Σχήμα..3 Τα στιγμιότυπα κατά τις χρονικές στιγμές t = 0,.5 του πραγματικού μέρους της u. 0.5 u ImHuHx,0L ImHuHx,L -0-0 0 0 x -0.5 - Σχήμα..3 Τα στιγμιότυπα κατά τις χρονικές στιγμές t = 0,.5 του φανταστικού μέρους της u. Το ερώτημα είναι, για ποιο λόγο αναζητούμε αρμονικές λύσεις σε γραμμικές εξισώσεις; Η απάντηση στο ερώτημα είναι ότι, στηριζόμενοι σε τέτοιας μορφής λύσεις, μπορούμε να κατασκευάσουμε ως λύση ένα οδεύον κύμα. Αυτό μπορούμε να το κάνουμε για τον εξής απλό λόγο. Η εξίσωση (..5) είναι γραμμική, επομένως, εάν οι συναρτήσεις ik Hx-ctL και ik Hx-ctL είναι λύσεις αυτής, τότε και ο συνδυασμός C HkL ik Hx-ctL + C HkL ik Hx-ctL θα είναι επίσης λύση. Γενικεύοντας, μπορούμε να πάρουμε ένα "άπειρο" άθροισμα λύσεων, ολοκληρώνοντας για όλες τις τιμές της παραμέτρου k œ

ΚΕΦ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ.nb 5 ή Ÿ - CHkL  k Hx-ctL k Ÿ - CHkL - kct  kx k, (..0) που είναι και ο κατά Fourier μετασχηματισμός της συνάρτησης CHkL - kct (βλ. Παραρτ.Β). Συνεπώς, εάν θέλουμε να πάρουμε ένα οδεύον κύμα, για παράδειγμα την συνάρτηση -Hx-ctL, πρέπει να απαιτήσουμε -Hx-ctL = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!! p Ÿ - CHkL - kct  kx k. (..) Παρατήρηση..: Για να έχει νόημα το ολοκλήρωμα της (..), αρκεί να υποθέσουμε ότι η συνάρτηση CHkL είναι απόλυτα ολοκληρώσιμη (βλ. Παραρτ. Β'). Επομένως, οι σταθερές CHkL που πρέπει να επιλέξουμε πριν κάνουμε την υπέρθεση, δίνονται από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier της συνάρτησης -Hx-ctL. Συγκεκριμένα, οι σταθερές CHkL θα δίνονται από την σχέση ή CHkL - kct = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ CHkL = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!! p Ÿ - è!!!!!!! p Ÿ - -Hx-ctL - k x x -Hx-ctL - k Hx-ctL x. (..) Παρατήρηση..: Ο μετασχηματισμός Fourier, εν γένει, δεν απεικονίζει συναρτήσεις ενός χώρου, εντός του ίδιου χώρου. Αυτό, βέβαια, ισχύει όταν ο μετασχηματισμός δρα σε στοιχεία του συναρτησιακού χώρου Schwartz. Όμως, η συνάρτηση -Hx-ctL œ SH L, " t > 0, που σημαίνει ότι και η CHkL œ SH L. Έτσι, η επιλογή (..) εξασφαλίζει ότι θα πάρουμε την -Hx-ctL, μέσω της (..) (βλ.παράρτημα Β ). Aς δούμε τώρα, ποια θα είναι η σχέση διασκόρπισης, εάν απαιτήσουμε η (..7) να είναι λύση της εξίσωσης Kάνουμε τον εξής μετασχηματισμό στις ανεξάρτητες μεταβλητές: 9 xè := x - t è. t := t u t + u x + u xxx = 0. (..3) Οι παράγωγοι της μετασχηματισμένης u (που συμβολίζουμε με το ίδιο σύμβολο u) δίνονται από τις u t = u x è x è t + u t è t è t =-u x è + u t è, u x = u x è x è x + u t è t è x = u x è, u xxx = u x è x è x è. Επομένως, η εξίσωση (..3) μετασχηματίζεται στην u t è + u x è x è x è = 0, ή, για λόγους απλοποίησης του συμβολισμού στην

6 ΚΕΦ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ.nb u t + u xxx = 0 (..4) (εννοώντας ότι αναφερόμαστε στην μετασχηματισμένη u ως προς τις καινούργιες μεταβλητές). Σε αυτή την περίπτωση, αφού u xxx =-Âk 3 i Hkx-w tl, από την (..4) θα έχουμε -i w-âk 3 = 0, ή w=-k 3. Δηλαδή, η εξίσωση (..4), έχει λύση της μορφής ikhx-k tl. Όπως θα δούμε στο επόμενο κεφάλαιο, η υπέρθεση αυτών παριστάνει κυματική διασκόρπιση. Τέλος, εάν θεωρήσουμε την εξίσωση (..) με τον επιπλέον όρο -u xx, u t + cu x - u xx = 0 (..5) μπορούμε να πάρουμε ως λύση κύμα που το πλάτος του μειώνεται εκθετικά με τον χρόνο λόγω τριβών. Πράγματι, απαιτώντας η συνάρτηση i Hkx-w tl, που από εδώ και πέρα θα λέμε κυματοσυνάρτηση, να είναι λύση της (..4), η σχέση διασκόρπισης θα είναι w=ck- ik. (..6) Δηλαδή, μια διπαραμετρική οικογένεια λύσεων της (..4) αποτελούν οι συναρτήσεις u = i Hkx-ckt+ik tl = -k t ikhx-ctl. (..7) Πάλι, λόγω γραμμικότητας, μπορούμε να κάνουμε υπέρθεση αυτών ώστε η παραπάνω έκφραση να είναι επίσης λύση. Ÿ - CHkL -k t  k Hx-ctL k, (..8) Σε αυτή την περίπτωση, εάν επιλέξουμε η CHkL να δίνεται από την (..), θα δούμε ότι από την (..8) παίρνουμε ως λύση της (..5), κύμα που το πλάτος του μειώνεται εκθετικά με τον χρόνο. Πράγματι, εάν αντικαταστήσουμε την (..) στην (..8) έπεται ότι Ο υπολογισμός του ολοκληρώματος με την βοήθεια του Mathematica, δίνει uhx, tl := Ÿ - Ÿ- -Hx-ctL - k Hx-ctL x -k t  k Hx-ctL k = Ÿ - -Hx-ctL Ÿ - -k t  k Hx-xL k x. Ÿ - -k t  k Hx-xL k ÅÅÅÅÅÅÅÅ Hx-xL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! p. t Ÿ - -k t  k Hx-xL k = - 4 t ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!! ÅÅÅÅÅÅÅÅ

ΚΕΦ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ.nb 7 In[]:= Out[]= IntegrateA k t k Hξ xl, 8k,, <, Assumptions t Reals && t > 0E - ÅÅÅÅÅÅÅÅ Hx-xL 4ÅÅÅÅÅÅÅ è!!! t p ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ t Επομένως, το παραπάνω διπλό ολοκλήρωμα που ορίζει την συνάρτηση uhx, tl ισούται με Ÿ - -Hx-ctL Ÿ - -k t  k Hx-xL k x = - -Hx-ctL - Hx-xL 4 è!!! t p ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!! το οποίο με την σειρά του μπορεί να υπολογιστεί για να δώσει ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x = "##### p ÅÅÅÅ t t Ÿ - -Hx-ctL - ÅÅÅÅÅÅÅÅ Hx-xL 4ÅÅÅÅÅÅ t x, "##### p ÅÅÅÅ t Ÿ - -Hx-ctL - ÅÅÅÅÅÅÅÅ Hx-xL 4ÅÅÅÅÅÅ t x = Δηλαδή, η λύση της (..5) δίνεται από την συνάρτηση t Hx-ctL ÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ. 4 t + p è!!!!!!!!!!!!! 4 t + uhx, tl := t Hx-ctL ÅÅÅÅÅÅÅÅ p - ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ 4 t + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!! 4 t + ÅÅÅÅÅÅÅÅ. In[]:= IntegrateA Hξ ctl t Hξ xl $%%%%%% π 4t t, 8ξ,, <, Assumptions t Reals && t > 0 ê. 8c <E; In[]:= Print@"uHx,tL:=", u@x_, t_d = % ê. 8c <D ÅÅÅÅÅÅÅÅ t Hx-tL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 t + p uhx,tl:= ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - è!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 t + Αυτή η λύση όντως περιγράφει ένα κύμα που το πλάτος του μειώνεται εκθετικά με τον χρόνο, και φαίνεται αν σχεδιάσουμε κάποια στιγμιότυπα. 0.5 0.5 0. 0.075 0.05 0.05 0 40 60 80 00

8 ΚΕΦ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ.nb 0.08 0.06 0.04 0.0 0.05 0 40 60 80 00 0.04 0.03 0.0 0.0 0 40 60 80 00 Σχήμα..3 Τα στιγμιότυπα κατά τις χρονικές στιγμές t = 0, 40, 60. Βλέπουμε ότι το κύμα κινείται με μοναδιαία ταχύτητα (το μέγιστο την t = 0 βρίσκεται στην θέση x = 0, την t = 40 στην x = 40,...), ενώ το πλάτος τείνει στο μηδέν. In[7]:= Limit@u@x, td, t D Μη Γραμμικές Εξισώσεις Εξέλιξης Το βασικό μειονέκτημα των μη γραμμικών ΕΕ είναι ότι δεν ισχύει η αρχή της επαλληλίας. Δηλαδή, εάν έχουμε δύο λύσεις μιας μη γραμμικής ΕΕ, δεν σημαίνει ότι και το άθροισμά τους θα είναι λύση. Για παράδειγμα, εάν u και u είναι δύο λύσεις της μη γραμμικής ΕΕ u t + uu x = 0, (..0) τότε το άθροισμα αυτών δεν την ικανοποιεί. Πράγματι, βλέπουμε ότι H..0L Hu + u L t + Hu + u LHu + u L x = u t + u t + u u x + u u x + u u x + u u x = = u u x + u u x 0. Επομένως, ακόμα και αν βρούμε κυματοσυναρτήσεις-λύσεις της μορφής (..7), δεν μπορούμε να κάνουμε υπέρθεση αυτών, ώστε να κατασκευάσουμε ως λύσεις οδεύοντα κύματα.

ΚΕΦ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ.nb 9 Ένα παράδειγμα στο οποίο φαίνεται το πώς μπορεί να επιδράσει η μη γραμμικότητα στις λύσεις μιας εξίσωσης, είναι το εξής. Επιστρέφουμε στην (..), και αντικαθιστούμε την σταθερή c με u, γεγονός που καθιστά την εξίσωση μη γραμμική. u t + uu x = 0 (..) Η παράγωγος της τυχαίας συνάρτησης uhx, tl κατά μήκος μιας ομαλής καμπύλης x = xhtl του επίπεδου xt δίνεται από την du ÅÅÅÅÅÅÅ = u d t t + x HtL u x. Αρα η u t + x HtL u x = 0 δηλώνει ότι μπορεί να υπάρχουν καμπύλες του επίπεδου xt κατά μήκος των οποίων η συνάρτηση uhx, tl παραμένει αμετάβλητη, έστω u = c. Αυτές ονομάζονται χαρακηριστικές καμπύλες της ΜΔΕ (..) και βρίσκονται ολοκληρώνοντας την εξίσωση x HtL = u. Δηλαδή, οι χαρακτηριστικές καμπύλες της (..) δίνονται από την παρακάτω μονοπαραμετρική οικογένεια των συναρτήσεων xhtl = ut+ c. Αφού η u είναι σταθερή κατά μήκος των xhtl, αυτές παριστάνουν ευθείες του επιπέδου xt κλίσης u. Για τη γενική λύση της (..), κατασκευάζουμε επιφάνειες στον χώρο που περιέχουν τις χαρακτηριστικές καμπύλες, θεωρώντας την c ως αυθαίρετη συνάρτηση του c Από αυτήν προκύπτει ότι που ορίζει την u πεπλεγμένα μέσω της f. c = f Hc L. uhx, tl = f Hx - utl. (..) Τώρα, δοσμένης της αρχικής συνθήκης uhx, 0L, προσδιορίζουμε τον τύπο της f HxL και κατ' επέκταση μπορούμε να λύσουμε την (..) ως προς u. Προφανώς αυτό δεν είναι πάντα εφικτό, και εξαρτάται από την uhx, 0L. Συγκεκριμένα, η λύση της (..) θα παραγάγει μια "μονότιμη" λύση u (για κάθε x, διαφορετικό u) μόνο για πεπερασμένο χρόνο, ενώ μετά η λύση θα είναι πλειότιμη. Αυτό μπορούμε να το δούμε, επιλέγοντας ως αρχική συνθήκη την συνάρτηση όπως στο σχήμα uhx, 0L = 9 - x, x œ @-, D 0, x @-, D (..3)

0 ΚΕΦ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ.nb u 0.8 0.6 0.4 0. - -0.5 0.5 x Σχήμα..4 H u την t = 0. Αυτή είναι η εικόνα της λύσης την t = 0. Από τις (..) και (..3) προκύπτει ότι f HxL = - x, για x œ @-, D. Οπότε, uhx, tl = - Hx - utl = - x - u t + xut, Παράγωγίζοντας την παραπάνω σχέση ως προς x παίρνουμε u x =-x-uu x t + ut+ xu x t από την οποία έπεται ότι u x = - x+ ut ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + u t - x t. (..4) Τώρα, για μεγαλύτερες χρονικές στιγμές, για παράδειγμα την χρονική στιγμή t = ÅÅÅÅ, η u στην θέση x = θα έχει τιμή uhx, tl = - - u + u, απ' όπου προκύπτει ότι u = 0. (..5) Οπότε η παράγωγος αυτής ως προς x, λόγω της (..4), απειρίζεται. Επομένως, η u θα δέχεται κατακόρυφη εφαπτομένη στο σημείο x = 0, την t = ÅÅÅÅ. Η εικόνα που παίρνουμε είναι η παρακάτω u - x

ΚΕΦ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ.nb Σχήμα..5 H u την t = 0. Προφανώς, για χρονικές στιγμές t > ÅÅÅÅ, η λύση δεν θα είναι μονότιμη, και η εξέλιξη θα είναι όπως στο σχήμα u - x Σχήμα..6 H u στην θέση x =, την χρονική στιγμή t =. Παρατηρούμε ότι η λύση είναι πλειότιμη. Συγκρίνοντας τώρα τις εξισώσεις (..) και (..), βλέπουμε ότι η αντικατάσταση του c από το u, μετέτρεψε την γραμμική εξίσωση (..) στην μη γραμμική (..), και η λύση από οδεύον κύμα έγινε κύμα που "σπάει" μετά από πεπερασμένο χρόνο. Παρ' όλ' αυτά, πολλές από τις μη γραμμικές ΕΕ επιδέχονται ως λύσεις οδεύοντα κύματα. Αναζητώντας κυματικές λύσεις μη γραμμικών ΕΕ Χαρακτηριστικό παράδειγμα μη γραμμικής ΕΕ που επιδέχεται λύσεις της μορφής f Hx - ctl, αποτελεί η εξίσωση των Korteweg & De Vries (KdV), η οποία έχει την παρακάτω έκφραση όπου a, b œ. Ας αναζητήσουμε λύσεις της KdV της μορφής όπου x = x - ct και c μια σταθερά. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (..6) προκύπτει η u t =auu x + b u xxx, (..6) uhx, tl = f HxL, (..7) -c f' =af f ' + b f ''' (..8) Αυτή είναι μια συνήθης διαφορική εξίσωση ως προς f. Δεδομένου ότι a f f ' = ÅÅÅÅ a H f L', η (..8) μπορεί να ολοκληρωθεί μια φορά και να δώσει -c f= ÅÅÅÅ a f + b f '' + A, (..9) όπου A μια αυθαίρετη πραγματική σταθερά. Πολλαπλασιάζουμε την παραπάνω με f ', για να πάρει την μορφή -c f f' = ÅÅÅÅ a f ' f + b f ' f '' + Af'. Ολοκληρώνουμε ακόμα μια φορά ως προς x, και έπεται ότι

ΚΕΦ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ.nb ή αλλιώς, - ÅÅÅÅ c f = ÅÅÅÅ a 6 f 3 + ÅÅÅÅ b H f 'L + Af+ B (..30) b ÅÅÅÅ H f 'L =-ÅÅÅÅ a 6 f 3 + ÅÅÅÅ c f - Af-B (..3) Θα δούμε ότι εάν επιβάλλουμε κάποιες συνοριακές συνθήκες, μπορούμε να πάρουμε από την τελευταία μοναχικό κύμα-λύση για την KdV. Συγκεκριμένα, επιβάλλουμε τις συνοριακές συνθήκες f, f ', f '' Ø 0, καθώς x Ø. Έτσι, από τις (..9) και (..3) έπεται ότι οι σταθερές A και B είναι μηδέν, αντίστοιχα. Συνεπώς, η (..3) παίρνει την μορφή b H f 'L = ÅÅÅÅÅÅÅ -a f 3 + cf = f Hc - ÅÅÅÅ a 3 3 f L (..3) Προφανώς, για να υπάρχει πραγματική λύση πρέπει H f 'L 0, δηλαδή η ποσότητα c - ÅÅÅÅ a 3 f, να είναι ομόσημη του b. Από την (..3) έπεται ότι (..33) η οποία, έπειτα από ολοκλήρωση, συνεπάγεται την b f f "############## c- ÅÅÅÅÅ a b f ' = f "############### c - ÅÅÅÅ a 3 f, ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = Ÿ x (..34) 3 f Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος της (..34) θέτουμε αρχικά f = 3 ÅÅÅÅ c a sech q, και ακολουθούν τα παρακάτω Άρα, f = 6 c ÅÅÅÅ a c sechq HsechqL' q=-6 ÅÅÅÅ sechq tanhq sechq q, f =-6 ÅÅÅÅ c a sech q tanhq q. Επιπλέον, η υπόρριζος ποσότητα του ολοκληρώματος είναι ίση με δηλαδή Τελικά, η ολοκληρωτέα ποσότητα ισούται με ενώ το ολοκλήρωμα αυτής είναι ίσο με c - a ÅÅÅÅ 3 f = c - c sech q=c tanh q, "################ c - ÅÅÅÅ a 3 f = è!!! c tanhq. f ÅÅÅÅÅÅÅÅ f "############## = - c- ÅÅÅÅÅ a 3 f è!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ a ÅÅÅÅÅÅÅ Å q, c b f ÅÅÅÅÅÅÅÅ f "############## = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - b c- ÅÅÅÅÅ a 3 f è!!! c ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ q

ΚΕΦ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ.nb 3 Συνεπώς, από την (..34) έπεται ότι ή ότι - b ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! c q = Hx +c L, sech q άrtia = sech I è!!! c ÅÅÅÅÅÅ Å b Hx - ct+ c LM. Έτσι, μια λύση της εξίσωσης KdV δίνεται από την συνάρτηση uhx, tl = f Hx - ctl = 3 c ÅÅÅÅ a sech I è!!! c ÅÅÅÅÅÅÅÅ b Hx - ct+ c LM, (..35) που περιγράφει ένα μοναχικό κύμα που διαδίδεται προς τα δεξιά, με σταθερή ταχύτητα c. Μπορούμε να έχουμε μια εικόνα της εξέλιξης του κύματος, αν σχεδιάσουμε τα στιγμιότυπα κατά τις χρονικές στιγμές t = 0 (αρχικό πρότυπο), t =-4 και t = 4, επιλέγοντας να κινείται με σταθερή ταχύτητα c =, και για τις τιμές των παραμέτρων c = 0, a =3 και b =. u 0.8 0.6 0.4 0. -5-0 -5 5 0 5 x u 0.8 0.6 0.4 0. -5-0 -5 5 0 5 x

4 ΚΕΦ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ.nb 0.8 u 0.6 0.4 0. -5-0 -5 5 0 5 x Σχήμα..7 Τα στιγμιότυπα κατά τις χρονικές στιγμές t =-4, 0, 4 της u. Το γράφημα της λύσης, για Hx, tl œ @-6, 6D μ @-6, 6D, δίνεται στο παρακάτω σχήμα. 0.75 u 0.5 0.5 0-5 -.5 t 0.5 5-5 0 -.5 5.5 x Σχήμα..8 Τo γράφημα της -u για Hx, tl œ @-6, 6D μ @-6, 6D. Η KdV αποτελεί παράδειγμα εξίσωσης, όπου η μη γραμμικότητα (λόγω του όρου uu x ) και η διασπορά (λόγω του όρου u xxx ) αλληλοαναιρούνται, και το αποτέλεσμα που παίρνουμε είναι ένα σολιτόνιο. Ως σολιτόνιο αναφέρεται οποιαδήποτε λύση, uhx, tl, μιας μη γραμμικής ΕΕ, που παριστάνει ένα κύμα το οποίο διατηρεί το σχήμα του καθώς εξελίσσεται, ως συνάρτηση του x είναι φραγμένη, και όταν αλληλεπιδρά με άλλα σολιτόνια διατηρεί το σχήμα και την ταχύτητά του. Ένα άλλο παράδειγμα μη γραμμικής εξίσωσης, της οποίας η λύση παριστάνει μια διάδοση προς τα δεξιά, αποτελεί η παρακάτω Η λύση που αναζητάμε πρέπει να έχει την μορφή u t + H + ul u x = u H - u L. (..36) uhx, tl = f Hx - tl.

ΚΕΦ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ.nb 5 Τότε, υπολογίζοντας τις μερικές παραγώγους πρώτης τάξης της u και αντικαθιστώντας στην (..36), καταλήγουμε στο ότι η f πρέπει να ικανοποιεί την παρακάτω συνήθη διαφορική εξίσωση η οποία για f γράφεται ως - f ' + H + f L f ' = f H - f L f ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H- f L = x, όπου x = x - t. Ολοκληρώνοντας την τελευταία, έπεται ότι ÅÅÅÅ ln + f ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ =x+c, ή - f Λύνοντας ως προς f την τελευταία, παίρνουμε την έκφραση f = A x - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ A x +, όπου η A = C είναι μια αυθαίρετη πραγματική σταθερά. + f ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - f = A x. Η παραπάνω, εάν πολλαπλασιάσουμε και διαιρέσουμε την παραπάνω με τον όρο -Hx+CL, θα πάρει την μορφή f = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = tanhhx - t + CL. x+c + -Hx+CL Έτσι, η (..36) έχει ως λύση μοναχικό κύμα, που δίνεται από την x+c - -Hx+CL uhx, tl = tanhhx - t + CL. (..37) Όπως φαίνεται και στα στιγμιότυπα του σχ...9, για κάθε τιμή της παραμέτρου t, η συνάρτηση u έχει το χαρακτηριστικό ότι "συνδέει" χαμηλότερες τιμές της με μεγαλύτερες. Μια τέτοια λύση καλείται ραίβη (kink). Αντίστοιχα, μια λύση που συνδέει μεγαλύτερες τιμές της με μικρότερες, καλείται αντιραίβη (antikink) Σχεδιάζουμε τα στιγμιότυπα κατά τις χρονικές στιγμές t =-7, t = 0 και t = 7, για διάφορες τιμές της παραμέτρου C. u 0.5-0 -5 5 0 x -0.5 -

6 ΚΕΦ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ.nb u 0.5-0 -5 5 0 x -0.5 - u 0.5-0 -5 5 0 x -0.5 - Σχήμα..9 Τα στιγμιότυπα κατά τις χρονικές στιγμές t =-7, 0, 7, της u, για τις τιμές της παραμέτρου C =,, 3, 4. Tο γράφημά της, για C = 0, δείχνουμε στο παρακάτω σχήμα 0.5 uhx,tl 0-0.5-0 x 4 6 8 0 3 t 4 Σχήμα..0 Τo γράφημα της u για Hx, tl œ @-, 8D μ @0, 4D.

ΚΕΦ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ.nb 7 Τέλος, η μη γραμμική εξίσωση του Schrödinger (NLS), επιδέχεται ως λύση ένα οδεύον κύμα. Ξεκινάμε με την υπόθεση ότι, επιδέχεται λύση της μορφής  u t + u xx +» u» u = 0, (..38) uhx, tl = AHx - vtl ÂfHx-vtL, (..39) όπου το πλάτος AHxL και η φάση fhxl είναι πραγματικές συναρτήσεις. Αντικαθιστούμε την (..39) στην σχέση (..38), και βλέπουμε τι σχέση πρέπει να ικανοποιούν οι συναρτήσεις A και f, ώστε να είναι λύση της NLS. Χρησιμοποιούμε την βοήθεια του Mathematica In[5]:= φ@x v td u@x_, t_d := A@x vtd In[6]:= FullSimplify@ Assuming@Im@A@x vtdd == 0&&Im@φ@x vtdd == 0, D@u@x, td, td + D@u@x, td, 8x, <D + HAbs@u@x, tddl u@x, td 0D ê. 8Im@φ@x vtdd 0<D Out[6]= ÂfHx-tvL H- A Hx - tvlhv - f Hx - tvll + A Hx - tvl + AHx - tvlh AHx - tvl + Hv -f Hx - tvll f Hx - tvl +Âf Hx - tvlll 0 In[7]:= ComplexExpand@%D Out[7]= AHx - tvlcoshfhx - tvll AHx - tvl - AHx - tvlcoshfhx - tvll f Hx - tvl + v sinhfhx - tvll A Hx - tvl + vahx-tvlcoshfhx - tvll f Hx - tvl- sinhfhx - tvll A Hx - tvlf Hx - tvl + coshfhx - tvll A Hx - tvl- AHx - tvlsinhfhx - tvll f Hx - tvl +  IAHx - tvlsinhfhx - tvll AHx - tvl - AHx - tvlsinhfhx - tvll f Hx - tvl - v coshfhx - tvll A Hx - tvl + vahx-tvlsinhfhx - tvll f Hx - tvl + coshfhx - tvll A Hx - tvlf Hx - tvl + sinhfhx - tvll A Hx - tvl + AHx - tvlcoshfhx - tvll f Hx - tvlm 0 Η παραπάνω εξίσωση αποτελεί την συνθήκη ώστε η συνάρτηση που ορίζεται από την (..39) να είναι λύση της NLS. Εξισώνοντας τα πραγματικά και φανταστικά μέρη ίσα με το μηδέν, θα πάρουμε δύο διαφορικές εξισώσεις ως προς τις A και f. Συγκεκριμένα, η εξίσωση που θα προκύψει από το πραγματικό μέρος θα είναι η HA 3 + vaf' - A Hf'L + A''L cosf+hva' - A' f' - A f''l sinf =0, ενώ από το φανταστικό μέρος προκύπτει η (A =» A», A œ ). -H-A f'' - A' f' + va'l cosf+ha 3 + vaf' - A Hf'L + A''L sinf =0 (..40) (..4) Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη με cosf, την δεύτερη με sinf, προσθέτουμε κατά μέλη, και προκύπτει η A 3 + vaf' - A Hf'L + A'' = 0. (..4)

8 ΚΕΦ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ.nb Στην συνέχεια, πολλαπλασιάζουμε την πρώτη με sinf, την δεύτερη με cosf, και προσθέτουμε κατά μέλη για να πάρουμε την va' - A' f' - A f'' = 0 (..43) Επειδή είναι δύσκολο να ολοκληρώσουμε το παραπάνω σύστημα {(..4), (..43)} ως προς A και f, κάνουμε κάποιες υποθέσεις για το πλάτος A. Για παράδειγμα, αυτό σαν συνάρτηση του x να τείνει στο μηδέν, καθώς το x Ø+. Με αυτή την υπόθεση, οι (..4) και (..43) θα γίνουν και A'' = 0 ï A = c x + c (..44) v va' - A' f' = 0 ï ÅÅÅÅ =f'. (..45) Δηλαδή, η ασυμπτωτική συμπεριφορά του j στο άπειρο θα είναι η εξής jhxl = ÅÅÅÅ v x + c, x Ø+ (..46) Με αντικατάσταση της (..45) στην (..4) έπεται η σχέση A 3 + ÅÅÅÅÅ v A - A ÅÅÅÅÅ v 4 Αυτή την πολλαπλασιάζουμε με A', και προκύπτει η A' A 3 + ÅÅÅÅÅÅ v AA' + A'' A' = 0, 4 την οποία μπορούμε να ολοκληρώσουμε ως προς x, για να πάρουμε την Τώρα εάν θέσουμε + A'' = 0. (..47) A 4 + ÅÅÅÅ v A + HA'L = 0 (..48) Α = A, A 4 = A A = ΑΑ= Α, Α' = AA', HΑ'L = 4 A HA'L = 4 Α HA'L, η (..48) θα πάρει την μορφή Α + ÅÅÅÅ v Α + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ HΑ'L 4 Α = 0. Απ' αυτή έπεται ότι η HΑ'L δίνεται από την HΑ'L =- Α 3 - v Α =-Α Hv + ΑL. Αυτό είναι άτοπο, γιατί για να ισχύει η παραπάνω πρέπει το Α να είναι μιγαδικό, ενώ αρχικά είχαμε υποθέσει ότι είναι πραγματικό. Υποθέτουμε, λοιπόν, ότι η λύση είναι της μορφής uhxl = AHxL Â @fhxl+a td. (..49) Αντικαθιστούμε την (..49) στην σχέση (..38), και βλέπουμε τι σχέση πρέπει να ικανοποιούν οι συναρτήσεις A και f, ώστε να είναι λύση της NLS. Χρησιμοποιούμε το Mathematica: In[8]:= Quit@D

ΚΕΦ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ.nb 9 In[]:= Hφ@x v td+a tl u@x_, t_d := A@x vtd In[]:= FullSimplify@Assuming@a Reals && Im@A@x vtdd == 0&& Im@φ@x vtdd == 0, D@u@x, td, td + D@u@x, td, 8x, <D + HAbs@u@x, tddl u@x, td 0D ê. 8Im@φ@x vtdd 0, Im@a t+φ@x vtdd 0<D Out[]=  Hat+fHx-tvLL I A Hx - tvlhv - f Hx - tvll - A Hx - tvl + AHx - tvli- AHx - tvl +f Hx - tvl + a - v f Hx - tvl-âf Hx - tvlmm 0 In[3]:= ComplexExpand@%D Out[3]= -AHx - tvlcoshat+fhx - tvll AHx - tvl + AHx - tvlcoshat+fhx - tvll f Hx - tvl + aahx-tvlcoshat+fhx - tvll - v sinhat+fhx - tvll A Hx - tvl- vahx-tvlcoshat+fhx - tvll f Hx - tvl + sinhat+fhx - tvll A Hx - tvlf Hx - tvl - coshat+fhx - tvll A Hx - tvl + AHx - tvlsinhat+fhx - tvll f Hx - tvl +  I-AHx - tvlsinhat+fhx - tvll AHx - tvl + AHx - tvlsinhat+fhx - tvll f Hx - tvl + aahx-tvlsinhat+fhx - tvll + v coshat+fhx - tvll A Hx - tvl- vahx-tvlsinhat+fhx - tvll f Hx - tvl - coshat+fhx - tvll A Hx - tvlf Hx - tvl- sinhat+fhx - tvll A Hx - tvl- AHx - tvlcoshat+fhx - tvll f Hx - tvlm 0 Αν οι A και f ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση, τότε η συνάρτηση που ορίζεται από την (..49) είναι λύση της NLS. Εξισώνοντας, πάλι, τα πραγματικά και φανταστικά μέρη ίσα με το μηδέν, θα πάρουμε δύο διαφορικές εξισώσεις ως προς τις A και f. Συγκεκριμένα, η εξίσωση που θα προκύψει από το πραγματικό μέρος θα είναι η H-A 3 + A Hf'L +aa - vaf' - A''L cosha t +fl + H-vA' + A' f' + A f''l sinha t +fl = 0 ενώ από το φανταστικό μέρος, προκύπτει η H-A 3 + A Hf'L +aa - vaf' - A''L cosha t +fl + H-vA' + A' f' + A f''l sinha t +fl = 0 (A =» A», A œ ). (..50) (..5) Όπως παραπάνω, πολλαπλασιάζουμε την πρώτη με cosha t +fl, την δεύτερη με sinha t +fl, προσθέτουμε κατά μέλη, και καταλήγουμε στην -A 3 + A Hf'L +aa - vaf' - A'' = 0. (..5) Μετά, πολλαπλασιάζουμε την πρώτη με sinha t +fl, την δεύτερη με cosha t +fl, και προσθέτουμε κατά μέλη, για να πάρουμε την -va' + A' f' + A f'' = 0 (..53) Όπως και πριν, υπάρχει δυσκολία στο να ολοκληρώσουμε το παραπάνω σύστημα {(..5),(..53)} ως προς A και f. Επομένως, κάνουμε πάλι την ίδια υπόθεση για το πλάτος A, δηλαδή αυτό σαν συνάρτηση του x να τείνει στο μηδέν, καθώς το x Ø+. Με αυτή την υπόθεση, οι (..5) και (..53) για x Ø έχουν την μορφή και A'' = 0 ï A = c x + c (..54)

0 ΚΕΦ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ.nb v -va' + A' f' = 0 ï ÅÅÅÅ =f'. (..55) Δηλαδή, η ασυμπτωτική συμπεριφορά του j στο άπειρο θα δίνεται από την jhxl = ÅÅÅÅ v x + c, x Ø+ (..56) Η αντικατάσταση της (..55) στην (..5) συνεπάγεται την -A 3 + ÅÅÅÅÅ v 4 Πολλαπλασιάσουμε με A' και προκύπτει η v A +aa- A ÅÅÅÅÅ - A'' = 0. -A 3 v A' +aaa' - AA' ÅÅÅÅÅ - A'' A' = 0, 4 την οποία ολοκληρώνουμε ως προς x για να πάρουμε την Θέτουμε HA'L =-A 4 + a A - ÅÅÅÅÅ v 4 A =-A 4 + Ia - ÅÅÅÅÅ v 4 M A. a = Ia - ÅÅÅÅÅÅ v 4 M, και τότε η παραπανω διαφορική εξίσωση για την A γράφεται ως ή για A 0, a HA'L =-A 4 + a A = A Ha - A L, è!!! Ολοκληρώνοντας την παραπάνω, έπεται ότι è!!! Ÿ A ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ A è!!!!!!!!!!!!! a -A ÅÅÅÅÅÅÅ A ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ A è!!!!!!!!!!!!! = x. ÅÅÅÅÅÅÅ = x. (..57) a -A Για τον υπολογισμό του παραπάνω ολοκληρώματος, κάνουμε τον μετασχηματισμό A = a sech q. Άρα, η ολοκληρωτέα ποσότητα είναι ίση με A è!!!!!!!!!!!!!!! a - A = a sech q tanh q, ενώ Συνεπώς, Ÿ A =-a tanh q sech q q. A ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ A è!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅ = Ÿ ÅÅÅÅÅÅ - a -A a Επομένως, από την σχέση (..57) έπεται ότι - è!!! η οποία συνεπάγεται την ÅÅÅÅ q a =x+c, a è!!! q= -q ÅÅÅÅÅÅ a. sech q=sechi ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hx - vt+ clm

ΚΕΦ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ.nb αφού η συνάρτηση sech x είναι άρτια. Τελικά, το πλάτος δίνεται από την συνάρτηση a è!!! Α = a sechi ÅÅÅÅÅÅÅÅ Hx - vt+ clm. (..58) Συνεπώς, από τις (..49), (..56) και (..58), η (γενικού τύπου) λύση της NLS δίνεται από την συνάρτηση a è!!! uhx, tl = a sechi ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hx - vt+ clm  @ ÅÅÅÅ v Hx-vtL+c+a td, a = Ia - ÅÅÅÅÅ v 4 M. (..59) Σχεδιάζουμε κάποια στιγμιότυπα αυτής. Όμως, πρέπει να λάβουμε υπ'όψιν το εξής. Για σταθερό t, λόγω ύπαρξης του όρου  H.L, η uhx, tl παίρνει τιμές στον και το γράφημά της, GHuL := 8x, ReHuHx, tll, ImHuHx, tll<, είναι μια τρισδιάστατη επιφάνεια. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορούμε να έχουμε εικόνα της. Μπορούμε, ωστόσο, να σχεδιάσουμε το γράφημα του πραγματικού, ReHuHx, tll, και του φανταστικού, ImHuHx, tll, μέρους της uhx, tl. Συγκεκριμένα, σχεδιάζουμε για την επιλογή των παραμέτρων να είναι c = 0, a = και v =. Η επιλογή της τελευταίας εκφράζει ταλάντωση μοναδιαίας ταχύτητας. In[]:= Quit@D In[]:= u@x_, t_d = SechA è!!! Hx tle I Hx tl+tm ; Τα στιγμιότυπα της Re@uD, που αντιστοιχούν στις χρονικές στιγμές t = 0,.5, 3, φαίνονται στο παρακάτω σχήμα 0.75 0.5 0.5-0 -0 0 0 x -0.5-0.5-0.75 u -

ΚΕΦ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ.nb 0.75 0.5 0.5-0 -0 0 0 x -0.5-0.5-0.75 u - 0.75 0.5 0.5-0 -0 0 0 x -0.5-0.5-0.75 u - Σχήμα..α Τα στιγμιότυπα της ReHuL κατά τις χρονικές στιγμές t = 0,,, 3. ενώ τα στιγμιότυπα της ImHuL, που αντιστοιχούν στις χρονικές στιγμές t = 0,.5, 3, είναι τα εξής 0.8 0.6 0.4 0. -0-0 0 0 x -0. -0.4 u

ΚΕΦ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ.nb 3 0.8 0.6 0.4 0. -0-0 0 0 x -0. -0.4 0.8 0.6 0.4 0. u -0-0 0 0 x -0. -0.4 u Σχήμα..b Τα στιγμιότυπα της ImHuL κατά τις χρονικές στιγμές t = 0,,, 3. Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται το γράφημα της ReHuL

4 ΚΕΦ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ.nb 0.5 uhx,tl 0-0.5-4 6-5 0 t x 5 0 0 Σχήμα..α Τo γράφημα της ReHuL για Hx, tl œ @-7, 0D μ @0, 6D. Το γράφημα της ImHuL είναι αυτό του παρακάτω σχήματος 0.5 uhx,tl 0-0.5 - -5 0 4 t 6 x 5 0 0 Σχήμα..β Τo γράφημα της ImHuL για Hx, tl œ @-7, 0D μ @0, 6D. Το πλάτος, βέβαια, της uhx, tl παριστάνει ένα οδεύον κύμα, που φαίνεται από τα παρακάτω στιγμιότυπα

ΚΕΦ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ.nb 5 u 0.8 0.6 0.4 0. -0-5 5 0 x u 0.8 0.6 0.4 0. -0-5 5 0 x u 0.8 0.6 0.4 0. -0-5 5 0 x Σχήμα..3 Τα στιγμιότυπα της» u» κατά τις χρονικές στιγμές t =-3, -,, 3. Το γράφημά του φαίνεται στο παρακάτω σχήμα

6 ΚΕΦ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ.nb 0.75 u 0.5 0.5 0-0 -5 0 t x 0 5-0 Σχήμα..β Τo γράφημα της» u» για Hx, tl œ @-0, 0D μ @-3, 3D.. Εξισώσεις Εξέλιξης σε παραπάνω από μία χωρικές διαστάσεις Η εξίσωση KdV στις δύο διαστάσεις είναι της μορφής και φέρει το όνομα των Kadomtsev και Petviashvili. Αυτή επιδέχεται λύση της μορφής όπου x Ø := Hx, yl œ. Hu t - 6 uu x + u xxx L x + 3 u yy = 0, (..) uix Ø, tm = ÅÅÅÅÅÅÅ - k sech I ÅÅÅÅ Ikx+ ly-ik3 + 3 ÅÅÅÅÅ l M tmm, (..) k Tο επαληθεύουμε με την βοήθεια του Mathematica: In[0]:= In[]:= Quit@D u@x_, y_, t_d := i k k jsecha i j kx+ ly i k k jk3 + 3 l y z k ty z Ey z { { { In[]:= FullSimplify@ D@D@u@x, y, td, td 6u@x, y, td D@u@x, y, td, xd + D@u@x, y, td, x,x,xd, xd + 3D@u@x, y, td, y, ydd Out[]= 0 Εδώ τα στιγμιότυπα θα είναι υποσύνολα του 3. Χρησιμοποιούμε το Mathematica για να δούμε την διάδοση.

ΚΕΦ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ.nb 7 0.5 0.4 u0.3 0. 0. 0-0 y x 0-0.5 0.4 u0.3 0. 0. 0-0 y x 0 -

8 ΚΕΦ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ.nb 0.5 0.4 u0.3 0. 0. 0-0 y x 0 - Σχήμα..3 Τα στιγμιότυπα της u κατά τις χρονικές στιγμές t =-, 0,.

. Από τον μετασχηματισμό Fourier, στον μετασχηματισμό αντίστροφης σκέδασης Σε αυτό το κεφάλαιο, θα δούμε τι μεθόδους μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για να κατασκευάσουμε λύσεις ΕΕ. Συγκεκριμένα, θα δούμε πώς κατασκευάζουμε λύσεις γραμμικών ΕΕ με χρήση του μετασχηματισμού Fourier, και πώς αυτή η μέθοδος μπορεί να γενικευτεί για να λύσουμε μη γραμμικές ΕΕ.. Κατασκευή λύσεων γραμμικών ΕΕ με χρήση μετα/μού Fourier Æ Περιγραφή Μεθόδου Έστω ότι έχουμε να λύσουμε μια γραμμική ΕΕ για την συνάρτηση u = uhx, tl, LHuL = 0, x œ, t > 0 (..) όπου L ένας γραμμικός διαφορικός τελεστής που αποτελείται από μερικές παραγώγους ως προς τις ανεξάρτητες μεταβλητές της u. Υποθέτουμε, επιπλέον, ότι την χρονική στιγμή t = 0 uhx, 0L = f HxL. (..) Αυτό που θέλουμε, είναι να βρούμε ποια θα είναι η uhx, tl για όλες τις υπόλοιπες χρονικές στιγμές t > 0. Μετασχηματίζουμε κατά Fourier την συνάρτηση uhx, tl, ως προς την μεταβλητή x: ùhk, tl := ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!! p Ÿ - uhx, tl - kx x, (..3) και το ίδιο κάνουμε για τις παραγώγους αυτής, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier (βλ. Παράρτ. Β ). Αντικαθιστούμε την μετασχηματισμένη ùhk, tl και τις μετασχηματισμένες παραγώγους αυτής στην (..). Αυτή θα μετασχηματιστεί σε μια μονοπαραμετρική οικογένεια συνήθων διαφορικών εξισώσεων (ΣΔΕ) για την ùhk, tl όπου ο K είναι ένας διαφορικός τελεστής. KHùL = 0, (..4) Εάν μπορέσουμε να ολοκληρώσουμε την (..4), ως προς t, " k œ, τότε θα έχουμε βρει την χρονική εξέλιξη, ùhk, tl, της uhx, tl.

30 ΚΕΦ. ΑΠΟ ΤΟΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER ΣΤΟΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ ΑΝΤΙΣΤΡ. ΣΚΕΔΑΣΗΣ.nb Τέλος, παίρνουμε τον αντίστροφο κατά Fourier μετασχηματισμό της ùhk, tl και καταλήγουμε (υπό προϋποθέσεις, βλ. Παράρτημα Β') στην uhx, tl. Δηλαδή, θα έχουμε βρει την χρονική εξέλιξη της uhx, tl. Τα παραπάνω συνοψίζονται στο παρακάτω διάγραμμα ux (,0) = f( x) Μετα/μος Fourier fˆ ( k) = uˆ ( k,0) Αντίστροφος a uxt (, ) ukt ˆ(, ) Μετα/μος Fourier Σχήμα..: Μετασχηματισμός σκέδασης για μια γραμμική ΕΕ. Παράδειγμα..: Επιστρέφουμε στην εξίσωση διασποράς (ή γραμμική KdV), που είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, u t + u xxx = 0. (..5) Θα κατασκευάσουμε λύση αυτής που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη uhx, 0L = f HxL. (..6) Αρχικά, υποθέτουμε ότι η uhx, tl πληροί τις παρακάτω δύο προϋποθέσεις: α) οι μερικές παράγωγοι αυτής, u x, u xx, u xxx, u t, καθώς και η ίδια η u, ως συναρτήσεις του x, είναι συνεχείς, απόλυτα ολοκληρώσιμες και συγκλίνουν ομοιόμορφα για κάθε t > 0 τα ολοκληρώματα Ÿ -» u» x, Ÿ -» ux» x, Ÿ -» uxx» x, Ÿ -» uxxx» x, Ÿ -» ut» x β) οι uhx, tl, u x Hx, tl, u xx Hx, tl τείνουν στο μηδέν, καθώς» x» Ø+. Οι παραπάνω εξασφαλίζουν κάποιες ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier. Συγκεκριμένα, αν ικανοποιείται η α), τότε τα ολοκληρώματα Ÿ - + uhx, tl -Â kx x και Ÿ - + ut Hx, tl -Â kx x συγκλίνουν και, επιπλέον, μπορεί να γίνει η "εναλλαγή" παραγώγου και ολοκληρώματος, όπως παρακάτω(..7) Ÿ - + ut -Â kx x = t Ÿ - + u -Â kx x. (..7)

ΚΕΦ. ΑΠΟ ΤΟΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER ΣΤΟΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ ΑΝΤΙΣΤΡ. ΣΚΕΔΑΣΗΣ.nb 3 Εάν ικανοποιούνται οι α) και β) F@u xxx Hx, tld = H kl 3 ùhk, tl =-Âk 3 ùhk, tl. (..8) Εφαρμόζουμε τώρα τον μετασχηματισμό Fourier στην (..5), και ακολουθούν τα παρακάτω ï ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!! p Ÿ - u t - kx + u xxx - kx = 0 ï + ut - kx x + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H..7L îîï H..8L è!!!!!!! p Ÿ - + uxxx - kx x = 0 ï ù t Hk, tl -Âk 3 ùhk, tl = 0. (..9) Δηλαδή, ο μετασχηματισμός Fourier μετασχημάτισε την Μ.Δ.Ε. (..5) στην (..9), που είναι μια μονοπαραμετρική οικογένεια γραμμικών Σ.Δ.Ε. πρώτης τάξης. Αυτές μπορούμε να τις ολοκληρώσουμε για κάθε k œ. Η γενική λύση της (..9) δίνεται από την ùhk, tl = chkl - k3 t, (..0) όπου chkl η σταθερά της ολοκλήρωσης. Την chkl μπορούμε να την προσδιορίσουμε από την συνθήκη (..6), η οποία μετασχηματίζεται, κατά Fourier, στην Από την (..0) έπεται ότι ùhk, 0L = f`hkl. (..) Τελικά, η λύση της (..5), δίνεται από την H..L ùhk, 0L = chkl = f`hkl. ùhk, tl = f`hkl - k3 t. (..) Αυτό που έμεινε, είναι να πάρουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό της ùhk, tl, και να επιστρέψουμε στην uhx, tl που είναι λύση του προβλήματος {(..5),(..6)}. Ωστόσο, οι υποθέσεις που κάναμε στην αρχή για την u (α και β), μπορεί να καλύπτουν τις προϋποθέσεις ύπαρξης του μετασχηματισμού Fourier, αλλά δεν είναι ικανές να εξασφαλίσουν ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός της ù θα οδηγήσει στην u. Έτσι, στο σημείο αυτό, πρέπει να υποθέσουμε κάτι ισχυρότερο για την u, όπως, για παράδειγμα, αυτή να ανήκει στην κλάση των συναρτήσεων του Schwartz, SH L. Από την (..) παίρνουμε την uhx, tl ως εξής uhx, tl = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!! p Ÿ - + ùhk, tl  kx k = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!! p Ÿ - Όμως, ο μετασχηματισμός της αρχικής συνθήκης δίνεται από τον τύπο f`hkl := ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!! p Ÿ - Οπότε, από την (..3), η uhx, tl γράφεται ως + f`hkl - k 3 t  kx k. (..3) + f`hxl - kx x. (..4)

3 ΚΕΦ. ΑΠΟ ΤΟΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER ΣΤΟΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ ΑΝΤΙΣΤΡ. ΣΚΕΔΑΣΗΣ.nb uhx, tl = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!! p Ÿ + - 9 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!! p Ÿ - + f`hyl - ky y = - k3 t  kx k = = ÅÅÅÅÅÅÅÅ + + p Ÿ - Ÿ- f`hyl - k 3 t  k Hx-yL y k. (..5) Εάν, επιπλέον, υποθέσουμε ότι και η f œ SH L, τότε είναι εφικτή η αλλαγή στην σειρά της παραπάνω ολοκλήρωσης, και έπεται ότι uhx, tl = ÅÅÅÅÅÅÅ + + p Ÿ - f`hyl Ÿ - - k 3 t  k Hx-yL k y. (..6) Αλλά, η ανάλυση του μιγαδικού όρου της ολοκληρωτέας ποσότητας της (..6) δίνει - k3 t  k Hx-yL = - Hk3 t+k Hx-yLL = coshk 3 t + k Hx - yll + sinhk 3 t + k Hx - yll. Συνεπώς, το ολοκλήρωμα της (..6) είναι ίσο με Ÿ - + - k 3 t  k Hx-yL k = Ÿ - + coshk 3 t + k Hx - yll k +Ÿ - + sinhk 3 t + k Hx - yll k. Επειδή η coshk 3 t + k Hx - yll, ως συνάρτηση του k, είναι άρτια και η συνάρτηση sinhk 3 t + k Hx - yll είναι περιττή, συνάγεται ότι και Ÿ - + coshk 3 t + k Hx - yll k = Ÿ 0 + coshk 3 t + k Hx - yll k Άρα, το ολοκλήρωμα της (..6) είναι ίσο με Ÿ - + sinhk 3 t + k Hx - yll k = 0. Ÿ - + - k 3 t  k Hx-yL k = Ÿ 0 + coshk 3 t + k Hx - yll k. (..7) Έτσι, από την (..6), μια λύση της (..5) σε ολοκληρωτική μορφή δίνεται από την + uhx, tl = Ÿ - f`hyl9 ÅÅÅÅ + p Ÿ 0 coshk 3 t + k Hx - yll= k y. (..8) Γνωρίζουμε ότι, η ολοκληρωτική αναπαράσταση της συνάρτησης του Airy (λύση της διαφορικής εξίσωσης Airy, y'' HxL - xyhxl = 0) δίνεται από την έκφραση AiHxL := ÅÅÅÅ + p Ÿ 0 cosht 3 + xtl t. (..9) (για το "ολοκλήρωμα Airy" και ιδότητες της συνάρτησης Airy βλ. Olver [974]) Από την άλλη, αν στο ολοκλήρωμα της (..8) θέσουμε όπου k το k Ø k ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H3 tl ê3, k ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H3 tl ê3, έπεται ότι + ÅÅÅÅ p Ÿ 0 coshk 3 t + k Hx - yll k = H3 tl -ê3 ÅÅÅÅ + p Ÿ 0 cosi k ÅÅÅÅÅ 3 3 + k ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hx-yL M k H3 tl ê3 και συγκρίνοντας το τελευταίο με την σχέση (..9), προκύπτει ότι Επομένως, ÅÅÅÅ p Ÿ 0 + coshk 3 t + k Hx - yll k = H3 tl -ê3 AiI x-y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H3 tl ê3 M. uhx, tl = H3 tl -ê3 Ÿ - + f`hyl AiI x-y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H3 tl ê3 M y. (..0)

ΚΕΦ. ΑΠΟ ΤΟΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER ΣΤΟΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ ΑΝΤΙΣΤΡ. ΣΚΕΔΑΣΗΣ.nb 33 Δείχνουμε τα στιγιότυπα της uhx, tl, τις χρονικές στιγμές t =,, 4, για την επιλογή της μετασχηματισμένης συνάρτησης f` να είναι η f`hyl = -y. uhxl 0.4 0.3 0. 0. -30-0 -0 0-0. x -0. -0.3 uhxl 0. 0. -30-0 -0 0 x -0. uhxl 0.5 0. 0.05-30 -0-0 0-0.05 x -0. -0.5 Σχήμα..: Τα στιγμιότυπα της λύσης, τις χρ. στ. t =,, 4

34 ΚΕΦ. ΑΠΟ ΤΟΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER ΣΤΟΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ ΑΝΤΙΣΤΡ. ΣΚΕΔΑΣΗΣ.nb. Κατασκευή λύσεων μη γραμμικών ΕΕ με την μέθοδο αντίστροφης σκέδασης Είδαμε πώς χρησιμοποιείται ο μετα/μός Fourier για να κατασκευάσουμε λύσεις ΠΑΤ όπου η ΕΕ είναι γραμμική. Ανάλογη μέθοδος λειτουργεί και για την κατασκευή λύσεων ΠΑΤ όπου η ΕΕ είναι μη γραμμική. Συγκεκριμένα, θα περιγράψουμε την μέθοδο της αντίστροφης σκέδασης. Προκαταρκτικά Γνωρίζουμε ότι, η κίνηση ενός σωματιδίου μάζας m που κινείται υπό την επίδραση μιας δύναμης f HxL σε μια ευθεία, υπακούει στον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα m xhtl ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = f HxL. (..) t Εάν, τώρα, το σωματίδιο ξεκινάει την χρονική στιγμή t = 0, από την θέση x 0 = xh0l, με ταχύτητα v 0 = x H0L, τότε η επίλυση της (..) (στον βαθμό που αυτό είναι εφικτό) θα δώσει την θέση του και την ταχύτητά του, για κάθε χρονική στιγμή t > 0. xhtl = ght; x 0, v 0 L, vhtl = g Ht; x 0, v 0 L, Βέβαια, το παραπάνω μοντέλο κίνησης δεν ισχύει στο επίπεδο της ατομικής κλίμακας. Στην κβαντομηχανική, ένα σωματίδιο δεν έχει συγκεκριμένη θέση ή ταχύτητα. Γενικά, η εξέλιξη ενός κβαντομηχανικού συστήματος περιγράφεται από την εξίσωση του Schrödinger Â Ñ Ψ t = ÅÅÅÅÅÅ -Ñ Å m Ψ xx + VHxL Ψ (..) όπου V το δυναμικό, Ñ = ÅÅÅÅÅÅÅ h p και h η σταθερά του Planck (h = 6.5 ÿ 0-34 kg ÿ m ê sec). Οι λύσεις της (..), ΨHx, tl, λέγονται κυματοσυναρτήσεις. Σε αντίθεση με τις λύσεις της εξίσωσης του Νεύτωνα, οι ΨHx, tl εκφράζουν την πιθανότητα να βρίσκεται το σωμάτιο σε κάποιο σημείο, μια δεδομένη χρονική στιγμή. Πιο συγκεκριμένα, η» ΨHx, tl» είναι μια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π). Το ολοκλήρωμα Ÿ a b» ΨHx, tl» x, εκφράζει την πιθανότητα να βρίσκεται το σωματίδιο στο διάστημα a x b, την χρονική στιγμή t. Επιστρέφουμε στην (..), και υποθέτουμε ότι η λύση ΨHx, tl είναι χωριζομένων μεταβλητών, δηλαδή ότι Αντικαθιστούμε την (..3) στην (..), και προκύπτει ότι ΨHx, tl = yhxl jhtl. (..3) ή Â Ñ yhxl j' HtL = ÅÅÅÅÅÅ -Ñ Å m y'' HxL jhtl + VHxL yhxl jhtl

ΚΕΦ. ΑΠΟ ΤΟΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER ΣΤΟΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ ΑΝΤΙΣΤΡ. ΣΚΕΔΑΣΗΣ.nb 35 Â Ñ j' HtL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ = -Ñ jhtl m y'' HxL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ yhxl + VHxL. (..4) Όμως, ο ρυθμός μεταβολής της ποσότητας Â Ñ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, ως προς t, είναι ίσος με μηδέν ÅÅÅÅÅÅ t IÂ Ñ j' HtL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ jhtl M = ÅÅÅÅÅÅÅ j' HtL jhtl ÅÅÅÅÅÅ Å t I -Ñ m y'' HxL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ yhxl + VHxLM = 0 και το ίδιο ισχύει και για τον ο ρυθμό μεταβολής της ποσότητας ÅÅÅÅÅÅÅ -Ñ Å m ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅ Å x I -Ñ m y'' HxL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + VHxLM = ÅÅÅÅÅÅÅ yhxl x IÂ Ñ j' HtL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ jhtl M = 0 Αυτό σημαίνει ότι πρέπει και τα δύο μέλη να είναι ίσα με μία σταθερά, έστω E Â Ñ j' HtL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ jhtl Από την (..5) συνάγεται ότι = E και -Ñ ÅÅÅÅÅÅ Å m που αποτελεί και το χρονικό κομμάτι της λύσης ΨHx, tl. Η εξίσωση (..6) γράφεται ως Θέτοντας uhxl := m ÅÅÅÅÅÅÅ Ñ -Ñ ÅÅÅÅÅÅ Å m y'' HxL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ yhxl + VHxL, ως προς x: y'' HxL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ yhxl + VHxL = E. (..5), (..6) jhtl = -Â ÅÅÅÅÅÅ Ñ Et, (..7) y'' HxL + HVHxL - EL yhxl = 0. (..8) VHxL και l := m ÅÅÅÅÅÅÅ Ñ E, η (..8) παίρνει την μορφή Λύση αυτής αποτελεί το χωρικό κομμάτι της ΨHx, tl. y'' HxL + Hl -uhxll yhxl = 0. (..9) Η (..9) καλείται χρονοανεξάρτητη διαφορική εξίσωση του Schrödinger. Οι λύσεις της χρονικά εξαρτημένης εξίσωσης του Schrödinger (..) θα είναι της μορφής ΨHx, tl = -Â ÅÅÅÅÅÅ Ñ Et yhxl. (..0) Μέθοδος ευθείας σκέδασης Μένουμε στην μία διάσταση, και θεωρούμε την αντίστοιχη μονοδιάστατη έκφραση της (..9) y xx HxL + Hl -uhxll yhxl = 0, - < x <, (..0) όπου u = uhxl είναι η αρχική κατανομή του δυναμικού u = uhx, tl, που εξελίσσεται σύμφωνα με την μη γραμμική ΕΕ που θέλουμε να λύσουμε. Υποθέτουμε ότι, το δυναμικό την χρονική στιγμή t = 0, ως συνάρτηση του x, είναι τμηματικά συνεχής, φραγμένη και ότι φθίνει στο μηδέν, καθώς» x» Ø uhxl Ø 0,» x» Ø+. (..) Απαιτούμε από την λύση yhxl να είναι συνεχής και φραγμένη. Επειδή η uhxl είναι τμηματικά συνεχής, από την σχέση y'' = Hu -ll y έπεται ότι και η y'' είναι τμηματικά συνεχής.

36 ΚΕΦ. ΑΠΟ ΤΟΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER ΣΤΟΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ ΑΝΤΙΣΤΡ. ΣΚΕΔΑΣΗΣ.nb Η συνέχεια για την y' HxL προκύπτει από την ίδια σχέση, αν ολοκληρώσουμε σε μια γειτονιά, Hx 0 -d, x 0 +dl, του τυχόντος x 0. Συγκεκριμένα, x y'» 0 x0 -d' +d x = 0 +d Ÿ x0 -d HuHxL -llyhxl x =y' Hx0 +dl -y' Hx 0 -dl. (..) Επομένως, αν πάρουμε το όριο για d Ø0, που σημαίνει ότι η παράγωγος είναι συνεχής. y' Hx 0 +dl -y' Hx 0 -dl = 0, (..3) Λύνουμε την εξίσωση (..0) στις περιοχές για x Ø HIL και x Ø- (II). Στις περιοχές αυτές, λόγω της (..), η (..0) έχει την μορφή Η χαρακτηριστική εξίσωση της (..4) είναι η y xx HxL +lyhxl = 0,» x» Ø. (..4) r +l=0. Αν l =k > 0 (συνεχές φάσμα), τότε η λύση της (..4) στις περιοχές HIL και HIIL δίνεται από y=c  kx + c - kx, x Ø-, k = è!!! l >0 (..5) και όπου c i = c i HkL, i =,..., 4. y=c 3  kx + c 4 - kx, x Ø, k = è!!! l >0, (..6) Προφανώς, αφού αναζητάμε συνεχή λύση της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger (..0), πρέπει οι συντελεστές c HkL, c HkL να συνδέονται με τους c 3 HkL και c 4 HkL. Επιπλέον, η λύση στην ενδιάμεση περιοχή καθορίζεται από την συνάρτηση uhxl, η οπoία είναι μη μηδενική. Με αυτή την ένοια, οι c i HkL εξαρτώνται από την uhxl. Οι (..5) και (..6) αποτελούν την ασυμπτωτική συμπεριφορά του χωρικού μέρους των λύσεων, της χρονικά εξαρτημένης εξίσωσης του Schrödinger (..). Οι αντίστοιχες λύσεις της (..) περιγράφουν κύματα που διαδίδονται προς μία κατεύθυνση. Πράγματι, το χρονικό μέρος των λύσεων δίνεται από την σχέση (..7) jhtl = - w t, w := ÅÅÅÅÅ E Ñ, οπότε οι λύσεις της (..) δίνονται από τις και ΨHx, tl = - w t Hc  kx + c - kx L, x Ø- (..7) ΨHx, tl = - w t Hc 3  kx + c 4 - kx L, x Ø. (..8) Δηλαδή, είναι αρμονικά κύματα  Hkx w tl που διαδίδονται προς τα δεξιά ή τα αριστερά. Επιστρέφουμε τώρα στις σχέσεις (..5) και (..6), και κάνουμε τις εξής παρατηρήσεις. Λόγω γραμμικότητας, εάν θέσουμε c 4 HkL = 0, η c 5 HkL  kx παραμένει μορφή λύσης στην περιοχή (I). Επιπλέον, θέτουμε c HkL = c HkL RHkL και c 3 HkL = c HkL THkL. Επειδή η