ΜΕΡΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
|
|
- Κητώ Λόντος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΜΑΣ 3: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εαρινό Εξάμηνο 4 ΜΕΡΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Να ταξινομηθούν οι πιο κάτω ΣΔΕ με βάση τα εξής: τάξη, γραμμική ή μή Να δοθούν επίσης οι ανεξάρτητες και εξαρτημένες μεταβλητές (α) 3 d u du 5v u : 3 ης τάξης, γραμμική, άγνωστη u(v) 3 dv dv (β) d d : ης τάξης, γραμμική, άγνωστη () d d d (γ) (4 )( ) d : ης τάξης, μη-γραμμική, άγνωστη () (δ) (ε) (ζ) 4 dw 4 z z 8 ( ) : 4 ης τάξης, γραμμική, άγνωστη w(z) dz d y dy d d : ης τάξης, γραμμική, άγνωστη y() dy y(3 ) : ης τάξης, μη-γραμμική, άγνωστη u(v) d ( y) Να δείξετε ότι η ( ) είναι λύση του ΠΑΤ : (α) ( ) si( ) cos( ), ΠΑΤ: y( ) y( ), y(), y() (β) ( ) 3e, ΠΑΤ: y( ) y( ) y( ), y() 3, y() 6 Τρόπος επίλυσης: Ελέγχουμε πρώτα τις αρχικές συνθήκες αν ισχύουν για τις ( ) Αν ναι, αντικαθιστούμε τις ( ) στις δοθείσες ΣΔΕ για να δούμε αν τις ικανοποιούν 3 Να βρεθεί ο γενικός τύπος της αναδρομικής ακολουθίας Picard για το ΠΑΤ ( ) () Λύση: Η αναδρομική ακολουθία Picard ορίζεται ως ( ), ( ) f ( s, ( s)) ( ( s) ) ( ) ( ( s) ) ( ) ( ( s) ) (s )
2 3 3( ) ( ( s) ) (s s ) ( ) ( ( s) ) ( s s s ) ( ) ( ( s) ) ( s s s s ) () k k k k!( k) 4 (α) Έστω ( ) (συνεχή) συνάρτηση Cauchy (β) Έστω συνάρτηση Λύση: ( ) ( ) ( ) ακολουθία συνεχών συναρτήσεων που συγκλίνει ομοιόμορφα στην Να δείξετε ότι η ( ) είναι (ομοιόμορφη) ακολουθία (ομοιόμορφη) ακολουθία Cauchy που συγκλίνει στην (συνεχή) Να δείξετε ότι η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη ( ) (α) Έχουμε ότι η συγκλίνει ομοιόμορφα στη (συνεχή) συνάρτηση ( ) Δηλαδή, για κάθε ε > υπάρχει Ν τέτοιο ώστε N ( ) ( ) / Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m m (β) Έχουμε ότι η ( ) είναι (ομοιόμορφη) ακολουθία Cauchy που συγκλίνει στην (συνεχή) συνάρτηση ( ) Δηλαδή, για κάθε ε > υπάρχει δ > τέτοιο ώστε ( ) ( ) / 3 αλλά και Ν τέτοιο ώστε N ( ) ( ) / 3 και m, N / 3 Άρα m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m 5 Να λυθούν οι εξής ΣΔΕ ή ΠΑΤ: (α) dv 4v (β) d 3 v d d cos e 5 6 (γ) dy e y d y() (δ) dy cos d y() / 4 y dy (ε) y e y (ζ) d dw w d w() (η) d e si d cos
3 Απαντήσεις: Οι ΣΔΕ είναι όλες χωριζομένων μεταβλητών 8/3 (α) v ( ) C 6, C (β) si( ) e C, C 4 (γ) y( ) e e (δ) (ε) e y Ce, C (ζ) ( ),C e C (η) cos( ) y ( ) arca( ) w 4 ( ) l( ) l( ) 3 6 Να βρεθεί ο ολοκληρωτικός παράγοντας για τις πιο κάτω ΣΔΕ: (α) (β) ( ) w ( ) w( ) 4 y y Απάντηση: (α) () (β) () e 7 Να λυθούν οι εξής ΣΔΕ ή ΠΑΤ: (α) dy y e 3 d (β) y dy dy y d (γ) e d y() e (δ) dy d y() 3 3 y dw dy 4w e (ε) 4y (ζ) d d w() 4 / 3 Απαντήσεις: Οι ΣΔΕ είναι όλες γραμμικές ης τάξης (η) dy cos( ) si cos d y 5 y( / 4) 3 3 e (α) y( ) Ce, C (β) y( ) Ce, C (δ) y ( ) 3 (ε) 5 4 y( ) C, C 5 (ζ) 3 4 e w( ) e 3 (η) (γ) y( ) e y ( ) cos( ) cos( ) 8 Έστω () λύση του ΠΑΤ d p( ) ( ) g( ) d ( ) όπου τα,, γνωστά και οι p(), g() δοθείσες συνεχείς συναρτήσεις Να δειχτεί ότι s p( s) ( ) ( ) p s p d ( ) e e e g( s)
4 (Υπόδειξη: ο ολοκληρωτικός παράγοντας είναι Λύση: e p( s) Πολλαπλασιάζουμε τη ΣΔΕ με τον ολοκληρωτικό παράγοντα d d 4 ) () p( s) e και έχουμε ( ) ( ) ( ) g( ) ( s) ( s) ( s) g( s) ( ) ( ) ( ) ( ) ( s) g( s) s p( s) ( ) ( ) p s p d s p( s) ( ) ( ) p s p d ( ) ( ) ( ) ( s) g( s) e e e g( s) () e e e g( s) 9 Το πεδίο διευθύνσεων (direcio field) μιας ΣΔΕ δίδεται πιο κάτω Να σχεδιάσετε τη λύση που ικανοποιεί τη δοθείσα αρχική συνθήκη Απάντηση: (β) y(3) = Μία πέτρα περιέχει δύο ραδιενεργά ισότοπα, RA και RA, τα οποία ανήκουν στην ίδια ραδιενεργή σειρά αυτό σημαίνει ότι το RA διασπάται στο RA, το οποίο μετά διασπάται σε σταθερά άτομα Έστω ότι ο ρυθμός διάσπασης του RA στο RA είναι 5 e kg/sec Υποθέτουμε ότι ο ρυθμός διάσπασης του RA είναι ανάλογος της ποσότητας του RA, την οποία συμβολίζουμε με y() Άρα ( ρυθμός μεταβολής του y() ) = (ρυθμός δημιουργίας) (ρυθμός διάσπασης) Αν η σταθερά αναλογίας (του RA) είναι k = και y() = 4 kg, να βρεθεί μια παράσταση για τη y()
5 Λύση: Έστω y() η ποσότητα του RA Τότε, μια και το RA διασπάται στο RA, ο ρυθμός διάσπασης του RA ισοδυναμεί με το ρυθμό δημιουργίας του RA Άρα, έχουμε dy dy 5e ky 5e y, y() 4, d d ό ό ά 5 με λύση y() e e 4 4 Ένα φύλλο μαρουλιού από τα σκουπίδια περιέχει 9999 % Carbo-4 σε σύγκριση με ένα φρέσκο φύλλο μαρουλιού Αν ο χρόνος ημιζωής του Carbo-4 είναι 57 χρόνια, πόσο παλιό είναι το φύλλο από τα σκουπίδια; Λύση: Έστω C() το ποσοστό Carbo-4 στο συγκεκριμένο φύλλο τη χρονική στιγμή (σε χρόνια) k το οποίο δίνεται από C( ) C() e, k Γνωρίζουμε ο χρόνος ημιζωής του Carbo-4 είναι 57 χρόνια, που μας επιτρέπει να βρούμε το k από τη σχέση C( ) C() e Τώρα, C ( ) C() και το φύλλο είναι περίπου μηνών l k, έτσι έχουμε e l Ένα μείγμα νερού με αλάτι εισέρχεται με ρυθμό 5L/mi σε ένα δοχείο το οποίο αρχικά περιείχε 5L καθαρού νερού Το καλά αναδευμένο μείγμα εξέρχεται από το δοχείο με ρυθμό L/mi Αν το μείγμα εισροής περιείχε 3 kg/l αλάτι, να βρεθεί η ποσότητα άλατος στο δοχείο οποιαδήποτε χρονική στιγμή Λύση: Έστω () η ποσότητα άλατος τη χρονική στιγμή Τότε ισχύει () και d R R I O d, όπου RI και RO, οι ρυθμοί εισόδου και εξόδου, αντίστοιχα Ο ρυθμός εισόδου RI είναι RI = 3 kg/l 5L/mi = 5 Kg/mi O ρυθμός εξόδου RO υπολογίζεται ως εξής: () RO L / m έ L / m ό
6 Ο όγκος είναι 5 + (5L/m L/m) = L Άρα, το ΠΑΤ που προκύπτει είναι d 5, () με λύση d ( ) (5 ) /3 6 Μετά θάνατον το σώμα, που αρχικά έχει θερμοκρασία 37 o C, αρχίζει να κρυώνει βάση του νόμου του Νεύτωνα (Newo's Law of Coolig), ο οποίος (σε αυτή την περίπτωση) λέει dh d k H M όπου H() είναι η θερμοκρασία του σώματος τη χρονική στιγμή (σε ώρες), M είναι η (σταθερή) θερμοκρασία του περιβάλλοντος (πχ του δωματίου όπου βρίσκεται το σώμα) και k > είναι μια σταθερά Έστω ότι μετά από ώρες η θερμοκρασία του σώματος είναι 35 o C, και η θερμοκρασία του περιβάλλοντος είναι o C Αν το σώμα βρέθηκε στις 4μμ με θερμοκρασία 3 o C, τι ώρα επήλθε ο θάνατος? Έστω H() η θερμοκρασία του σώματος τη χρονική στιγμή (σε ώρες) μετά θάνατο και έστω * η ώρα θανάτου (η οποία θα είναι αρνητική) Γνωρίζουμε ότι όπως επίσης και H * * ( ) 37, H( ) 35 dh k H, H() 3, d Λύνοντας το ΠΑΤ, βρίσκουμε H( ) k Από τα e H * * ( ) 37, H( ) 35 βρίσκουμε k Άρα * 65, 85 ο θάνατος επήλθε περίπου στις 7:3 πμ Μια πατάτα τοποθετείται σε ένα φούρνο θερμοκρασίας o C και ζεσταίνεται βάση της διαφορικής εξίσωσης dh k H d όπου H() είναι η θερμοκρασία της πατάτας τη χρονική στιγμή (σε λεπτά) και k είναι μία σταθερά Αν η θερμοκρασία της πατάτας είναι αρχικά o C όταν την τοποθετήσουμε στο φούρνο, και αν μετά από 3 λεπτά η θερμοκρασία της πατάτας είναι o C, να βρείτε μια παράσταση για τη θερμοκρασία της πατάτας σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή Έστω H() η θερμοκρασία της πατάτας τη χρονική στιγμή (σε λεπτά) Γνωρίζουμε ότι
7 Η() =, Η(3) =, άρα έχουμε το ΠΑΤ k H dh, Η() = Η λύση του d k είναι H( ) Ce, C Αφού Η() =, βρίσκουμε C = 8 και από το 7 Η(3) =, βρίσκουμε 4 k l 7 Επομένως H( ) 8 e, C 5 Να ελέξετε αν οι δοθείσες ΣΔΕ είναι ακριβής και αν ναι, να τις λύσετε με το τρόπο που είδαμε στο μάθημα Αν όχι, τότε προσπαθείστε να τις λύσετε με κάποιο άλλο τρόπο (α) dy dy (β) ( y) ( y) (γ) ( l y) dy d d y d (y 3) ( ) Απαντήσεις: Οι ΣΔΕ είναι όλες ακριβείς (αν και η (γ) είναι επίσης χωριζομένων μεταβλητών) C 3 (α) y( ), C (β) ( ) y y C, C (γ) C / y( ) e, C dy 6 Να δείξετε ότι η ακριβής ΣΔΕ M (, y) N(, y) έχει σαν λύση την F(, y) C, d με C σταθερά, όπου η F δίδεται απο y, όπου το y y F(, y) N(, ) d M ( s, y ) ένα σταθερό σημείο στο πεδίο συνέχειας των Μ και Ν Γνωρίζουμε ότι Επίσης (, ) F (, ) F (, ) (, ) M y M s y F y M ( s, y ) g ( y ) s F (, ) N y M ( s, y ) g ( y ) N (, y y y ) y y y g( y) g( y ) N(, ) d (, ) (, ) (, ) (, ) y y M s y dy N d M s y M s y y y και η λύση δίδεται από F(, y) = σταθερά, με y F(, y) M ( s, y) N(, ) d M ( s, y) M ( s, y ) y y F(, y) N(, ) d M ( s, y ) y 7 Να βρεθεί η γενική λύση των πιο κάτω ΣΔΕ: (α) y 8y 9y (β) 4y 4y y (γ) 6y y 3y (δ) u u (ε) 49y 4y y (ζ) y 8y 4y (η) 6z 65z 49z
8 Απαντήσεις: Οι ΣΔΕ είναι σταθερών συντελεστών, άρα οι λύσεις βρέθονται μέσω της χαρακτηριστικής εξίσωσης 8 (α) y( ) C e C e 9 (β) y( ) C e cos(3 / ) C e si(3 / ) / / (γ) (ζ) y( ) C e C e (δ) y( ) Csi( ) Ccos( ) (ε) 3 / / y( ) C e C e (η) y( ) C e C e C e ( 53) /4 ( 53) /4 3 y( ) C e C e /7 /7 8 Να βρεθεί η λύση των πιο κάτω ΠΑΤ: (α) y 4y 7y, y(), y() (β) 4y 4y 5y, y(), y() / (γ) y 5y 4y, y() 5, y() (δ) 9y y 4y, y() 3, y() 3 Απαντήσεις: (α) y e (β) ( ) cos( 3 ) y e e / / ( ) 6 si( ) cos( ) (γ) y( ) e 4e 7 (δ) y( ) 3e e /3 /3 9 Να δείξετε ότι ο ολοκληρω-διαφορικός (iegro-differeial) τελεστής L που ορίζεται ως L[ y]( ) y( ) d y( ) είναι γραμμικός για οποιαδήποτε συνάρτηση y η οποία είναι συνεχώς διαφορίσιμη στο [, ] Απάντηση: Ελέγχουμε ότι ισχύει L[ ay by]( ) al[ y]( ) bl[ y]( ) Να ελέγξετε αν οι δοθείσες συναρτήσεις είναι γραμμικώς ανεξάρτητες (α) y ( ) cosl, y ( ) si l, > (β) y ( ) a sec, y ( ) 3 Λύση: Ελέγχουμε την ορίζουσα Wroski και βρίσκουμε ότι η απάντηση είναι ναι για το (α) και όχι για το (β) Έστω η ΣΔΕ y p( ) y q( ) y, όπου οι p, q δοθείσες συνεχείς συναρτήσεις Να δείξετε ότι η αντικατάσταση y( ) u( ) v( ), όπου δοθείσα ΣΔΕ στην u f ( ) u, για κάποια (γνωστή) f Λύση: Έστω y( ) u( ) v( ), όπου v( ) ep p( ) d, μετατρέπει τη v( ) ep p( ) d Τότε y( ) u( ) v( ) y( ) u( ) v( ) u( ) v( ) y( ) u( ) v( ) u( ) v( ) u( ) v( ) με
9 v ( ) p( ) ep p( ) d v ( ) p( ) ep p( ) d p( ) ep p( ) d Άρα, η ΣΔΕ γράφεται ως u( ) v( ) u( ) v( ) u( ) v( ) p( ) u( ) v( ) u( ) v( ) q( ) u( ) v( ) u( ) v( ) v( ) p( ) v( ) q( ) v( ) u( ) u( ) v( ) p( ) u( ) v( ) f ( ) ( ) g 9 Παρατηρούμε ότι η f() είναι γνωστή Απομένει να δείξουμε ότι g() = Πράγματι, g( ) u( ) v( ) p( ) u( ) v( ) u( ) p( ) ep p( ) d p( )ep p( ) d και έτσι έχουμε f( ) u( ) v( ) f( ) u( ) u( ) u( ) u( ) f ( ) u( ) v ( ) f ( ) Δοθέντος ότι η ( ) είναι λύση της ΣΔΕ ( ) y ( ) y ( ) y, (,) (α) να βρείτε μία δεύτερη ΓΑ λύση (σε μορφή ολοκληρώματος) (β) να βρείτε μια αναπαράσταση της λύσης από το (α), σε μορφή δυναμοσειράς (γ) να χρησιμοποιήσετε μερικά κλάσματα για να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα του (α) και έτσι να βρείτε τη γενική λύση της ΣΔΕ Λύση: Πρώτα γράφουμε τη ΣΔΕ ως y( ) y( ) y ( ) ( ) (α) Τώρα, με y ( ) άγνωστη συνάρτηση Έχουμε άρα η ΣΔΕ γράφεται ως ορίζουμε τη δεύτερη λύση ως y ( ) v( ) με v() προς το παρόν y( ) v( ) v( ), y ( ) v( ) v( ) v ( ) v ( ) v( ),
10 v ( ) v( ) v( ) v( ) v( ) ( ) ( ) v ( ) v( ) v( ) ( ) ( ) ( ) v ( ) v( ) ( ) ( ) ( ) v( ) v( ) v( ) p( ) v( ) ( ) όπου p ( ) ( ) Θέτοντας w( ) v( ) παίρνουμε μια γραμμική ΣΔΕ πρώτης τάξης με ολοκληρωτικό παράγοντα ( ) ep p( ) d, και έτσι η λύση της προκύπτει από ( ) w( ) ( ) w( ) C w( ) Ce p( ) d v( ) w( ) d Ce d y ( ) Ce d p( ) d p( ) d όπου p ( ) ( ) ( ) (β) Από το (α), έχουμε τη λύση, αλλά είναι σε μορφή ολοκληρώματος Χρησιμοποιώντας 3 e u u u u, βρίσκουμε! 3! ( ) ( ) 3 p d p d p( ) d y( ) Ce d C p( ) d d! 3! όπου p ( ) ( ) ( ) (γ) Ολοκληρώνοντας με μερικά κλάσματα, βρίσκουμε p( ) d d l ( ) p( ) d l e e ( ) και έτσι y( ) C d C d C l C C l ( ) ( ) με τη γενική λύση να δίδεται από y( ) D C C l, C, D
11 3 Να βρεθεί η γενική λύση των πιο κάτω ΣΔΕ: (α) y 4y a( ) (β) (γ) y y y e y 3y y (δ) u u 4 (ε) (ζ) y 4y 4y e l y y y 9 a(3l ) si( ) Απαντήσεις: (α) y( ) C cos( ) C si( ) cos( ) l 4 cos( ) (β) y( ) C e C e e l( ) (γ) C C y ( ) l( ) l ( ) (ε) y( ) C e C e l 3 (δ) ( ) y Ce Ce 4 e si(3l ) (ζ) y( ) C cos(3l ) C si(3l ) cos(3l ) l 9 cos(3l ) 4 4 Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις ( ) r r y e, y ( ) e είναι γραμμικώς ανεξάρτητες για κάθε στο (,) αν και μόνο αν r r Λύση: Υπολογίζουμε την ορίζουσα Wroski και βρίσκουμε W[ y, y ]( ) e de e e r e re e ( r r ) e e r r r r r r r r r r re re η οποία μηδενίζεται αν και μόνο αν r = r 5 Δοθέντος ότι οι y, y είναι ΓΑ λύσεις του ομοιογενούς προβλήματος, να βρείτε τη γενική λύση της δοθείσας ΣΔΕ Υποθέστε ότι > (α) y y y y e y ( ), ( ), ( ) (β) y 4y 6y, y ( ), y ( ) 3 3 (γ) y ( ) y ( ) y e, y( ) e, y( ) e l Απαντήσεις: (α) y( ) C e C ( ) (β) y( ) C C l (γ) 6 y( ) C e C e l e 4 6 (α) Χρησιμοποιώντας τη Μέθοδο Μεταβολής των Παραμέτρων, να δείξετε ότι η γενική λύση της ΣΔΕ y y f ( ) είναι
12 y( ) Ccos( ) Csi( ) f ( s)si( s), όπου f() δοθείσα συνεχής συνάρτηση στο (,) και C, C σταθερές (ΥΠΟΔΕΙΞΗ: si( s) si cos s si s cos ) (β) Να βρεθεί η γενική λύση της ΣΔΕ y( ) y( ) a( ), ( /, / ) (ΥΠΟΔΕΙΞΗ: sec( ) d l sec( ) a( ) ) Λύση: (α) Το ομοιογενές πρόβλημα δίνει ως χαρακτηριστική εξίσωση r + =, άρα r = ± i και οι δύο ΓΑ λύσεις του είναι y( ) cos( ), y( ) si( ) με W[ y, y]( ) Η ειδική/μερική λύση είναι όπου y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p v y v y f ( ) y ( ) f ( ) y ( ) v ( ) d f ( )si( ) d, v ( ) d f ( )cos( ) d W[ y, y ]( ) W[ y, y ]( ) Επομένως, y ( ) cos( ) f ( )si( ) d si( ) f ( )cos( ) d p cos( ) f ( s)si( s) si( ) f ( s)cos( s) f ( s)cos( )si( s) f ( s)si( )cos( s) f ( s) si( )cos( s) cos( )si( s) f( s) si( s) και η γενική λύση δίδεται από y( ) Ccos( ) Csi( ) f ( s)si( s) (β) Χρησιμοποιούμε το (α) με f() = a() και έχουμε y( ) C cos( ) C si( ) a( s)si( s) si( s) Ccos( ) Csi( ) si( )cos( s) cos( )si( s) cos( s) si ( s) Ccos( ) Csi( ) si( s)si( ) cos( ) cos( s) cos ( s) Ccos( ) Csi( ) si( ) si( s) cos( ) cos( s)
13 y( ) C cos( ) C si( ) si( ) si( s) cos( ) sec( s) cos( s) C cos( ) C si( ) si( ) cos( ) cos() cos( ) l(sec( ) a( )) l(sec() a()) si( ) si() C cos( ) C si( ) si( ) cos( ) cos( )l(sec( ) a( )) cos( )si( ) C cos( ) C si( ) cos( )l(sec( ) a( )), C, C 3 7 Έστω η ΣΔΕ y p( ) y q( ) y με p, q συνεχείς συναρτήσεις και έστω f() μια μη-μηδενική λύση της Να βρείτε μια δεύτερη, γραμμικώς ανεξάρτητη λύση στη μορφή y() = v() f(), για κάποια συνάρτηση v() που θα πρέπει να προσδιορίσετε (Δηλαδή, να βρείτε μια παράσταση για την δεύτερη λύση, σε μορφή ολοκληρώματος, η οποία να περιέχει μόνο γνωστές ποσότητες, πχ f, p, q, κλπ) Λύση: y() = v() f() y( ) v( ) f ( ) v( ) f ( ) y( ) v( ) f ( ) v( ) f ( ) v( ) f ( ) Αντικαθιστώντας στη ΣΔΕ έχουμε v ( ) f ( ) v ( ) f ( ) v( ) f ( ) p( ) v ( ) f ( ) v( ) f ( ) q( ) v( ) f ( ) v( ) f ( ) p( ) f ( ) q( ) f ( ) v( ) f ( ) v( ) f ( ) p( ) v( ) f ( ) v( ) f ( ) v( ) f ( ) p( ) v( ) f ( ) v( ) f ( ) v( ) f ( ) p( ) f ( ) : g( ) : g( ) Έστω w( ) v( ) Τότε η πιο πάνω εξίσωση γράφεται ως f( ) w( ) f ( ) w( ) f ( ) p( ) f ( ) w( ) p( ) w( ) f( ) η οποία είναι γραμμική, ης τάξης, με ολοκληρωτικό παράγοντα ( ) ep g( ) d ep l f ( ) p( ) d f ( )ep p( ) d -Επομένως, έχουμε C ep p( ) d w( ) ( ) w( ) ( ) C w( ) f ( ) ep p( ) d v( ) w( ) d C d f ( ) 8 Θεωρούμε ΣΔΕ της μορφής ( ) ( ) ( ),,,,, και a y by cy a b c r ψάχνουμε για λύσεις στη μορφή y( ), r Να βρείτε τη χαρακτηριστική εξίσωση
14 r που θα πρέπει να ικανοποιεί το r έτσι ώστε η συνάρτηση y( ), r να είναι λύση της δοθείσας ΣΔΕ Στη συνέχεια να αναπτύξετε τις τρεις περιπτώσεις για τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης, δηλαδή να αποφασίσετε ποια μορφή θα έχουν οι λύσεις στις τρεις περιπτώσεις: ρίζες πραγματικές και άνισες, ρίζες μιγαδικές και ρίζα επαναλαμβανόμενη (Υπόδειξη: Στη τελευταία περίπτωση πολλαπλασιάστε τη μία λύση που δίδει η χαρακτηριστική εξίσωση με το l() για να ορίσετε τη δεύτερη ΓΑ λύση) 4 Λύση: Με y( ) r έχουμε y( ) r, y ( ) r( r ) r r και αντικαθιστώντας στη ΣΔΕ παίρνουμε r r r a r r br c ar r br c ar b a r c ( ) ( ) ( ) ( b a) ( b a) 4 ac ( a b) b a ab 4ac ( a b) b a a b c r a a a Τώρα, αν b a a b c θα έχουμε δύο άνισες πραγματικές ρίζες, ας πούμε r, r Η λύση σε αυτή τη περίπτωση θα είναι Aν b a a b c y( ) C C, C, C r r θα έχουμε δύο μιγαδικές ρίζες, Επομένως a b r i r i ac b a a,,, 4 ( ) Παρατηρούμε ότι y( ) C C, C, C i i l i i i l e e cos l i si l άρα η λύση σε αυτή τη περίπτωση θα είναι Τέλος, αν b a a b c r y( ) C cos l C si l, C, C a b θα έχουμε μία ρίζα, r Μία λύση είναι η a y ( ) C, C Μια δεύτερη ΓΑ λύση είναι (βάση της υπόδειξης) y ( ) C l( ), C και η γενική λύση σε αυτή τη περίπτωση είναι r y( ) C C l( ), C, C r r
15 Για να δούμε ότι η υπόδειξη είναι λογική, έστω y ( ) ( ) r v με v() προς το παρόν, 5 άγνωστη συνάρτηση που θα προσδιορίσουμε Αντικαθιστώντας την y() στη ΣΔΕ βρίσκουμε ( ) ( ) ( ) r r r a v b v cv r r r r r a v ( ) rv( ) b v ( ) rv( ) cv( ) r r r r r r r a v ( ) v ( ) r r( r ) v( ) rv ( ) b v ( ) rv( ) cv( ) av av r ar r v r r r ( ) ( ) ( ) ( ) r v( ) c br ar( r ) v ( ) b ar av ( ) v( ) c ( b a) r ar v( ) b a r av( ) ab a Έστω w( ) v( ) Τότε έχουμε r r r r arv ( ) bv ( ) brv( ) cv( ) av av v v ( ) ( ) ( ) ( ) w( ) w( ) w( ) v( ) d l( ) 9 Χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση e, να δείξετε ότι η 3 ης τάξης ΣΔΕ τύπου Cauchy-Euler 3 a y ( ) b y ( ) cy( ) dy( ),, a, b, c, d γράφεται σαν ay ( ) ( b 3 a) y( ) ( a b c) y( ) dy( ) dy dy d dy dy Λύση: Με e, έχουμε e d d d d d dy dy (*) d d Επίσης, d y d dy d dy d dy dy d y d dy d y d d d d d d d d d d d d d y d y dy (**) d d d Τέλος, 3 d y d d y dy d d y d d y d y d y d y d d y 3 d d d d d d d d d d d d d e e 3 3 d y d y d y d d y d y 3 d y = d d d d d d d e
16 (***) d y d y d y d y d y d y d y dy d d d d d d d d d y d y d y dy 3 3 d d d d 6 Επομένως, από τις (*) (***), η ΣΔΕ γίνεται 3 d y d y dy d y dy dy a 3 b c dy( ) 3 d d d d d d 3 d y d y dy 3 d d d a b 3a c b a dy( ) 3 Να λυθούν οι πιο κάτω ΣΔΕ με τη μέθοδο των δυναμοσειρών, γύρω από το = (α) y y y (β) y y (γ) y y Απαντήσεις: (α) ( )! ( )! (3)! ή y( ) a a ( ) y( ) a a a3 (β) y( ) a a a όπου a, 3 ή ( ) y( ) a a (γ) y( ) a a ( )! ()! ή y( ) a a Η διαφορική εξίσωση του Legedre είναι ( ) y y ( ) y, Να λύσετε τη πιο πάνω ΣΔΕ με τη μέθοδο των δυναμοσειρών, γύρω από το = Λύση: Θέτοντας k y( ) a έχουμε k k k ( ) kak και k y k k k y( ) k( k ) a Αντικαθιστώντας στη ΣΔΕ παίρνουμε ( ) ( ) k k k k a ( ) k k kak ak k k k k k k k k k( k ) ak k( k ) ak kak ( ) ak
17 (*) k k k ( k )( k ) a k( k ) ( ) a k( k ) ( ) ak ak, k,,, ( k)( k) k 7 Τώρα, μια και το είναι ακέραιος, οι πιο πάνω συντελεστές θα μηδενιστούν από ένα σημείο και μετά Συγκεκριμένα, αν = k, τότε a ( ) ( ) a ( )( ) και έτσι η λύση θα είναι πολυώνυμο βαθμού, το λεγόμενο πολυώνυμο Legedre: = : = : = : = 3: y( ) y( ) a a ( ) a a 3 a y( ) a 3a a 3 ()() 3(3 ) a a a y( ) a a a (3)() = 4: a a, 6 4(5) 7 a a a (4)(3) 6 4 κλπ 7 7 y( ) a a a Η λύση του πιο κάτω ΠΑΤ καλείται συνάρτηση Bessel τάξης μηδέν, (), () y y y y y Να λύσετε το πιο πάνω ΠΑΤ με τη μέθοδο των δυναμοσειρών, γύρω από το κανονικό ιδιάζων σημείο = Λύση: Με c c c, y( ) a, y ( ) ( c) a, y ( ) ( c)( c ) a αντικαθιστούμε στην ΣΔΕ και έχουμε c c c ( c)( c ) a ( c) a a ( )( ) c ( ) c c c c a c a a c c c c a c c a a ( )( ) ( ) Για = παίρνουμε τη δεικτική εξίσωση
18 ( c)( c ) a ca c c c a c 8 Για = παίρνουμε a, ενώ για ( )( ) a ( ) a a a a a a a a a a a Για ζυγό, a, a 4,, a a a4 a ( ) 4 ( ) () (4) ( ) a a ( ) () (4) ( ) a a3 Για περιττό, a3, a 5,, a και έτσι 3 5 y( ) a a ( ) () (4) ( ) a 33 Να βρεθούν οι γενικές λύσεις των πιο κάτω συστημάτων ΣΔΕ: d 3 d (α) d (β) d 4 d (γ) d d (δ) 4 d 3 d d (ε) d 3 (ζ) d 4 3 d 7 d 3 / (η) d 4 3 (θ) d / 6 Απαντήσεις: (α) ( ) C e C e, ( ) C e C e (β) ( ) C e C e, ( ) C e C e C e, ( ) C e C e C e (γ) ( ) C si( ) C cos( ), ( ) C si( ) cos( ) C si( ) cos( ) (δ) e C C (ε) ( ) si( ) cos( ), 3 e ( ) C(cos( ) si( )) C3(cos( ) si( ) 5 C, 5 ( ) e C si( ) C cos( ) C 3 3 ( ) C e C e, ( ) C e C e 4 4 (ζ) ( ) e C C, ( ) e C C ( ) (η) 5 5 ( ) e C C, ( ) e C C ( ) 3 / (θ) ( ) e C C, ( ) C C ( ) e 3 3 /
ΜΕΡΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΜΑΣ : Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εαρινό Εξάμηνο 14 ΜΕΡΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1. Να ταξινομηθούν οι πιο κάτω ΣΔΕ με βάση τα εξής: τάξη, γραμμική ή μή. Να δοθούν επίσης οι ανεξάρτητες και εξαρτημένες μεταβλητές.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ 203: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εαρινό Εξάμηνο 2017 ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΜΑΣ 3: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εαρινό Εξάμηνο 17 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να ταξινομηθούν οι πιο κάτω ΣΔΕ με βάση τα εξής: τάξη, γραμμική ή μή. Να δοθούν επίσης οι ανεξάρτητες και εξαρτημένες μεταβλητές. 3 d
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)
ΜΑΣ00: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να κατατάξετε τις διαφορικές εξισώσεις, δηλ να δώσετε την τάξη της, να πείτε αν είναι γραμμική ή όχι, να δώσετε την ανεξάρτητη μεταβλητή
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των
Διαβάστε περισσότεραHMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι
HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #7 Μοντέλα διαφορικών εξισώσεων για ΓΧΑ Συστήματα Επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων Η γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης Παραδείγματα Μοντέλα διαφορικών εξισώσεων
Διαβάστε περισσότερα10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
SECTION 0 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0. Ορισµοί Συνήθης διαφορική εξίσωση (Σ Ε) καλείται µια εξίσωση της µορφής f [y (n), y (n ),..., y'', y', y, x] 0 όπου y', y'',..., y (n ), y (n) είναι οι παράγωγοι
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/017 Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης dx y + x y. x Παρατηρούμε ότι η δ.ε. είναι ομογενής. Πράγματι, dx y x + 1 x y x y x + 1 (
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων
Διαβάστε περισσότεραh(t) δ(t+3) ( ) h(t)*δ(t)
f()* δ ( ) = f( ) x () = δ ( + 3) = 3 h () = u () u ( ) h()* δ ( + 3) = h ( + 3) = u ( + 3) u ( + 1) 1 h() * -3 δ(+3) ( ) h()*δ() 1-3 -1 MY : Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #6 Μοντέλα διαφορικών εξισώσεων
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,
Διαβάστε περισσότερα1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής
Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραy 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, 6-7 ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΠΙΚ. ΚΑΘ. ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους 6-7. Περιοδικές Συναρτήσεις) Έστω συνεχής συνάρτηση f : R R περιοδική
Διαβάστε περισσότεραΚεφαλαιο 7: Η ΜΠΣ για ελλειπτικά προβλήματα με μη-ομαλές λύσεις
Κεφαλαιο 7: Η ΜΠΣ για ελλειπτικά προβλήματα με μη-ομαλές λύσεις Όπως είδαμε μέχρι τώρα η ομαλότητα της ακριβούς λύσης επηρεάζει τις εκτιμήσεις σφάλματος με τέτοιο τρόπο ώστε ολα όσα αποδείξαμε ισχύουν
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville
Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές
Διαβάστε περισσότερα4 ΣΥΝΕΧΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
4 ΣΥΝΕΧΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Τα συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα, γνωστά και ως συστήματα διαφορικών εξισώσεων, περιγράφουν φαινόμενα που μεταβάλλονται συνεχώς στο χρόνο.
Διαβάστε περισσότεραΑόριστο Ολοκλήρωμα Μέθοδοι Ολοκλήρωσης
8 Αόριστο Ολοκλήρωμα Μέθοδοι Ολοκλήρωσης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Δ. Ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ, μια συνάρτηση F παραγωγίσιμη
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικές εξισώσεις
Διαφορικές εξισώσεις Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Διαφορικές εξισώσεις τεχνικές 73 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglys.gr 1 1 / 1 / 0 1 8 εκδόσεις Καλό
Διαβάστε περισσότεραΚυκλώματα, Σήματα και Συστήματα
Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών
Διαβάστε περισσότερα3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 0: Εισαγωγή
Κεφάλαιο : Εισαγωγή Διαφορικές εξισώσεις Οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ) αλλά και οι Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (ΣΔΕ) εμφανίζονται παντού στις επιστήμες από τη μηχανική μέχρι τη βιολογία Τις περισσότερες
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων
Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση
Διαβάστε περισσότεραΜέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 8
Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΤΟΠΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θεωρούμε τη γενιϰή ομογενή γραμμιϰή διαφοριϰή εξίσωση τάξης n N στην ϰανονιϰή μορφή της
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερμότητας.
1 Εισαγωγή KΕΦΑΛΑΙΟ H εξίσωση θερμότητας Εστω είναι ανοικτό σύνολο του με γνωστή θερμοκρασία στο σύνορό του κάθε χρονική στιγμή και γνωστή αρχική θερμοκρασία σε κάθε σημείο του Τότε οι φυσικοί νόμοι μας
Διαβάστε περισσότεραΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 2006
ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 006 Θέµα ο. Για την διαφορική εξίσωση + ' =, > 0 α) Να δειχτεί ότι όλες οι λύσεις τέµνουν κάθετα την ευθεία =. β) Να βρεθεί η γενική λύση. γ) Να βρεθεί και να σχεδιαστεί
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)
ΜΑΣ00: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΣΕΙΡΕΣ:. Να γράψετε τους πρώτους πέντε όρους της κάθε ακολουθίας: (β) (γ), Απαντήσεις: {/, /, 7/8, 5/6, /} (β) {, /5, /,5/, /7} (γ) {, /,, /,
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας
Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι ικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 207 Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Επισκόπηση γνωστών εννοιών. -8. Σειρές πραγµατικών αριθµών..2 Σειρές συναρτήσεων..3 Γενικευµένα ολοκληρώµατα. Κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικές εξισώσεις
Διαφορικές εξισώσεις Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Διαφορικές εξισώσεις τεχνικές 73 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglyos.gr 3 / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)
1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).
ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Διαφορική Εξίσωση 2 ου βαθμού
//04 Γραμμική Διαφορική Εξίσωση ου βαθμού, με τη βοήθεια του αορίστου ολοκληρώματος, της χρήσιμης γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτου βαθμού af ( ) f ( ) cf ( ) g( ), ac,, σταθεροί πραγματικοί αριθμοί
Διαβάστε περισσότεραΓ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες
Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα
Διαβάστε περισσότεραA N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ , Β= 1 y, όπου y 0. , όπου y 0.
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 8:-: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμα (Α) ( 5 μονάδες) Δίδονται οι πίνακες Α=,
Διαβάστε περισσότεραΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α
ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 0 ΘΕΜΑΤΑ Α Θέµα ο. Να βρεθεί (α) η γενική λύση yy() της διαφορικής εξίσωσης y' y + καθώς και (β) η µερική λύση που διέρχεται από το σηµείο y(/). (γ) Από ποια σηµεία του επιπέδου
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 26/10/2017. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς
Συνθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκσεις - 26/0/207 Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης της
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.
Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή
Διαβάστε περισσότερα40 Ασκήσεις στον ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ( Επεξεργασία του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ)
Άσκηση η 4 Ασκήσεις στον ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ( Επεξεργασία του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ) Έστω f, g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα, να δείξετε: Α. (Ανισότητα των Cauchy-Schwarz) Β.( Ανισότητα του Minkowski)
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156. Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017
Βιομαθηματικά BIO-156 Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 2017 lika@biology.uoc.gr Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα Τα συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα περιγράφουν φαινόμενα
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικές Εξισώσεις.
Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά
Διαβάστε περισσότεραΜέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 2019
Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών ΜΕΜ 74 Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 9 Ζήτημα Α Α. Δείξτε ότι αν p, q πραγματιϰά πολυώνυμα ίδιου βαϑμού, τότε p q ϰαϑώς ±. Λύση. Αρϰεί να δείξουμε ότι για με αρϰετά μεγάλο
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Το πρόβλημα αρχικών τιμών. Προκαταρκτικά. Το πρόβλημα αρχικών τιμών μιας σδε πρώτης τάξης
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Το πρόβλημα αρχικών τιμών Προκαταρκτικά Το πρόβλημα αρχικών τιμών μιας σδε πρώτης τάξης y = F (, y), y( ) = y, (, y) D R 2 συνίσταται στο να βρούμε την συνάρτηση y = f(),
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικές Εξισώσεις.
Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις πρώτου φυλλαδίου ασκήσεων.. Για κάθε μία από τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις πείτε αν είναι γραμμική ή όχι και προσδιορίστε την τάξη της. α. y + y +
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο
Διαβάστε περισσότερα[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)
[] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει
Διαβάστε περισσότεραsup(a + B) = sup A + sup B inf(a + B) = inf A + inf B.
Ασκήσεις, Φυλλάδιο. Βρειτε το συνολο Φ A ολων των ανω ϕραγματων του A, και το συνολο φ A ολων των κατω ϕραγματων του A, οταν: a) A = m :, m N}, b) A = + m 2. Βρειτε το if και sup οποτε υπαρχουν) των συνολων
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 4: Ολοκλήρωση. 4.1 Εισαγωγή
Κεφ. 4: Ολοκλήρωση 4. Εισαγωγή 4. Εξισώσεις ολοκλήρωσης Newto Cotes 4.. Κανόνας τραπεζίου 4.. Πρώτος και δεύτερος κανόνας Simpso 4.. Πολλαπλά ολοκληρώματα 4. Ολοκλήρωση Gauss 4.. Πολυώνυμα Legedre, Chebyshev,
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. z x y 2xyi. Re z x y. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι. z z zz. zz zz z z 1 0 z z 1 (1)
Αριθμός Εξέτασης 7 α.α) ος τρόπος: Έστω z i. Τότε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ z i και Re z. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι z z,ισχύει επίσης ότι. Είναι z z z z z z z z z z z
Διαβάστε περισσότεραO n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n
Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές
Διαβάστε περισσότερα~ 1 ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2013 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
~ ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Μια συνάρτηση f ( ) u( x, y) iv( x, y ) έχει παράγωγο σε ένα σημείο x iy αν ικανοποιούνται
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουλίου Θέμα ( μονάδες) 4 Θεωρούμε τον Ευκλείδειο χώρο και τον υποχώρο του V που παράγεται
Διαβάστε περισσότερα- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης
Διαβάστε περισσότερα12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές
Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ
Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ για Γενική Επανάληψη Πολυχρόνη Μωυσιάδη, Καθηγητή ΑΠΘ ΟΜΑΔΑ 1. Συναρτήσεις 1. Δείξτε ότι: και υπολογίστε την τιμή 2. 2. Να υπολογισθούν οι τιμές και 3. Υπολογίστε τις τιμές
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα Διαφορικές εξισώσεις
Βιομαθηματικά BIO-156 Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα Διαφορικές εξισώσεις Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 2018 lika@uoc.gr Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα Τα συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα περιγράφουν
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις
Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! ookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών
Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών
Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3
Διαβάστε περισσότεραIV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ
IV.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΕΩΣ.Γενική λύση.χωριζόμενων μεταβλητών 3.Ρυθμοί 4.Γραμμικές 5.Γραμμική αυτόνομη 6.Bernoulli αυτόνομη 7.Aσυμπτωτικές ιδιότητες 8.Αυτόνομες 9.Σταθερές τιμές.διάγραμμα ροής.ασυμπτωτική
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ. 2.1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ 1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου] ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1 ΘΕΜΑ Β Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις 2- διαστάσεις
Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις - διαστάσεις Στις -διαστάσεις, η περιγραφή της εκδοχής hp της ΜΠΣ είναι αρκετά πολύπλοκη. Στο παρόν κεφάλαιο θα δούμε κάποια στοιχεία της, ξεκινώντας με
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace 1. Επίλυση Γραμμικών
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί
Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί 0 Βασικοί ορισμοί και πράξεις Είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση x Η ανάγκη επίλυσης τέτοιων εξισώσεων οδηγεί στο σύνολο των μιγαδικών
Διαβάστε περισσότεραΜερικές Διαφορικές Εξισώσεις
Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 24-25, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας
Διαβάστε περισσότεραΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Ασκήσεις 1.
ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο -7 Ασκήσεις Αποδείξτε την ανισότητα Cuch-Schwr Για R Δείξτε ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά Αποδείξτε την τριγωνική ανισότητα
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Τμήμα Φαρμακευτικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις & Λυμένα Θέματα Εξετάσεων
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τμήμα Φαρμακευτικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Λυμένες Ασκήσεις & Λυμένα Θέματα Εξετάσεων ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 014 ΘΕΜΑ 1 Δίνεται ο πίνακας: 1) Να
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Εισαγωγή Οι γεννήτριες συναρτήσεις είναι ένα από τα ισχυρά εργαλεία για μια ενοποιημένη αντιμετώπιση πολλών κατηγοριών προβλημάτων απαρίθμησης Ο Lplce έθεσε πρώτος τις
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier
Διαβάστε περισσότερα7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει
8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y
Διαβάστε περισσότεραα. y = y x 2 β. x + 5x = e x γ. xy (xy + y) = 2y 2 δ. y (4) + xy + e x = 0 η. x 2 (y ) 4 + xy + y 5 = 0 θ. y + ln y + x 2 y 3 = 0 d 3 y dy + 5y
Ασκήσεις στα Μαθηματικά ΙΙΙ Τμήμα Χημ. Μηχανικών ΑΠΘ Μουτάφη Ευαγγελία Θεσσαλονίκη 2018-2019 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Στις παρακάτω Δ.Ε. να προσδιορίσετε: α) την ανεξάρτητη και την εξαρτημένη
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)
ΜΑΣ: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ:. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: 5 d d csc cot d (β) Απάντησεις: C (β) ln C C. Να υπολογιστούν τα ορισμένα ολοκληρώματα: d csc( ) C C d d (β) /5
Διαβάστε περισσότεραΚανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)
8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J
Διαβάστε περισσότεραΚλασική Ηλεκτροδυναμική Ι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας
Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα
Διαβάστε περισσότερα2 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση
η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση --8 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Άσκηση η Υπολογίστε τα κάτωθι όρια: cos α) β) γ) δ) ε) sin 5 α) Εφαρμόζουμε τον κανόνα L Hospital μια φορά (απροσδιοριστία της μορφής /)
Διαβάστε περισσότερα1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d
Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις6: Βάση και Διάσταση Βασικά σημεία Βάση διανυσματικού χώρου (ορισμός, παραδείγματα, μοναδικότητα συντελεστών) Θεώρημα (ύπαρξη, πρώτη μορφή) Έστω V K μη μηδενικός με K πεπερασμένο
Διαβάστε περισσότεραΜέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 2
Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗΣ ΣΕΙΡΑΣ Εστω μη ϰενά διαστήματα J, I R, με 0 Ī. Ονομάζουμε μεταβλητή το x J ϰαι ασυμπτωτιϰή (ή διαταραϰτιϰή) παράμετρο
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Σημάτων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα : Συστήματα Διακριτού Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Συστήματα Διακριτού Χρόνου Εξισώσεις Διαφορών Επίλυση Εξισώσεων Διαφορών με Γραμμικούς Συντελεστές
Διαβάστε περισσότεραwebsite:
Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα
Διαβάστε περισσότερα(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις
(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΣύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων;
Σύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων; Σώμα Σ μάζας προσδένεται στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Πάνω στο πρώτο σώμα στερεώνεται δεύτερο ελατήριο σταθεράς,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5. Γραμμικές Βαθμωτές ΔΕ
Κεφάλαιο 5 Γραμμικές Βαθμωτές ΔΕ Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με τη θεωρία όσο και με τη μεθοδολογία επίλυσης βαθμωτών γραμμικών ΔΕ 2ης και n-στής τάξης. Θα μελετήσουμε, ως επί το πλείστον, γραμμικά
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με την χρήση των οριζουσών βασική είναι η παρακάτω επισήμανση:
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η επίλυση συστήματος εμφανίστηκε για πρώτη φορά σε αρχαία κινέζικη συλλογή προβλημάτων και αργότερα στο έργο «Αριθμητικά» του Έλληνα μαθηματικού της Αλεξανδρινής περιόδου Διόφαντου όπου για πρώτη
Διαβάστε περισσότερα1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων
Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τις βασικές έννοιες και ορισμούς των Διαφορικών Εξισώσεων. Στο εδάφιο 1.1 παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες και ορισμοί των διαφορικών εξισώσεων
Διαβάστε περισσότερα(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις
(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις
Διαβάστε περισσότερα2 Περιεχόμενα. Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )
Περιεχόμενα Γράφημα της συνάρτησης f( ), αν p < 0 F( ) = f( ), αν 0 p και F( + p) = F( ), R (δηλ της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( ), 0 p στο R ) Περιεχόμενα 5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται
Διαβάστε περισσότεραΜερικές Διαφορικές Εξισώσεις
Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 14-15, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: Πρόβλημα 1. Για κάθε μια από τις
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Οι διαφορικές εξισώσεις είναι ο κλάδος των μαθηματικών που περισσότερο ίσως από κάθε άλλον οφείλει την γέννηση του στην Μηχανική, στην Αστρονομία και στη Θεωρητική
Διαβάστε περισσότεραΑριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Λογισμός 3 Ασκήσεις. Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ.
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Λογισμός 3 Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, 2015 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότερα(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις
(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες:. Φωτάκης. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότερα