Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών. και Μετάδοσης

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών και Μετάδοσης Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής & Δρ. Στυλιανός Π. Τσίτσος Επίκουρος Καθηγητής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο : ΔΙΑΚΙΝΗΣΗ ΤΗΛΕΦΩΝΙΚΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ 2

Ιδιότητες τηλεπικοινωνιακής κίνησης γ) Μαρκοβιανή ιδιότητα Είναι μία ιδιότητα που ισχύει για φαινόμενα τα οποία ακολουθούν εκθετική κατανομή (π.χ. η διαδικασία εξυπηρέτησης των κλήσεων). Σύμφωνα με την εκθετική κατανομή, η πιθανότητα ο χρόνος εξυπηρέτησης της κλήσεως (έστω Χ) να είναι μεγαλύτερος από x, δηλαδή η πιθανότητα το φαινόμενο να συνεχίζεται μετά τη χρονική στιγμή x, δίνεται από τη σχέση: µ x P( X > x) = e (4.7) Η πιθανότητα ότι το φαινόμενο συνεχίζεται μετά από χρονική περίοδο t, δεδομένου ότι έχει διαρκέσει μέχρι τη χρονική στιγμή x, προκύπτει ως εξής: µ ( x+ t) P( X > x + t) e µ t P( X > x + t / X > x) = = = e = P( X > t) µ x (4.8) P( X > x) e Δηλαδή η πιθανότητα το φαινόμενο να συνεχιστεί μετά από χρονική περίοδο t, δεδομένου ότι έχει διαρκέσει μέχρι τη χρονική στιγμή x, είναι ανεξάρτητη από το x. 3

Διάκριση μοντέλων τηλεπικοινωνιακής κίνησης Για την ταξινόμηση των μοντέλων τηλεπικοινωνιακής κίνησης χρησιμοποιείται ο συμβολισμός του Kedall: A/B/s. To A δηλώνει την κατανομή αφίξεως των κλήσεων, το Β δηλώνει την κατανομή εξυπηρέτησης των κλήσεων και το s τον αριθμό των εξερχόμενων γραμμών και λαμβάνει κάποια ακέραια τιμή. Το Α και το Β λαμβάνουν σαν τιμές τα αρχικά των κατανομών που χρησιμοποιούνται για την άφιξη ή την εξυπηρέτηση. Έτσι μπορούν να εκφράζονται από τους χαρακτήρες: M (Mαρκοβιανή) ή G (Γενική) ή D (ντετερμινιστική) κατανομή. Για παράδειγμα, ένα σύστημα με Poisso κατανομή άφιξης των κλήσεων και εκθετική κατανομή του χρόνου εξυπηρέτησης δηλώνεται ως Μ/Μ/s. Mε πεπερασμένες γραμμές εισόδου δηλώνεται ως Μ()/Μ/s, ενώ με ουρά m θέσεων δηλώνεται ως Μ/Μ/s(m) ή ως Μ/Μ/s/s+m. 4

Mαρκοβιανά συστήματα απωλειών Είναι συστήματα με χρόνους άφιξης και εξυπηρέτησης εκθετικά κατανεμημένους και χρησιμοποιήθηκαν στο παρελθόν στα παλαιά συμβατικά τηλεφωνικά δίκτυα. Στα συστήματα απωλειών κριτήριο αξιολόγησης της απόδοσης αποτελεί η πιθανότητα απώλειας κλήσεως. Τα βασικότερα συστήματα απωλειών είναι: To σύστημα Μ/Μ/s(0): σύστημα με Poisso κατανομή άφιξης των κλήσεων, εκθετική κατανομή του χρόνου εξυπηρέτησης και s αριθμό εξερχόμενων γραμμών (εξυπηρετητών), με μηδενική ουρά αναμονής «πελατών». Το σύστημα Μ()/M/s(0): σύστημα με εκθετική κατανομή άφιξης και εξυπηρέτησης των κλήσεων και s αριθμό εξερχόμενων γραμμών, με μηδενική ουρά αναμονής «πελατών», αλλά με πεπερασμένο αριθμό εισόδων. 5

Mαρκοβιανά συστήματα απωλειών α) Σύστημα απωλειών Μ/Μ/s(0) Οι αφίξεις ακολουθούν κατανομή Poisso και ο χρόνος εξυπηρέτησης των κλήσεων εκθετική κατανομή. Το σύστημα διαθέτει άπειρο αριθμό εισερχόμενων γραμμών. Σε περίπτωση που οι αφίξεις βρουν όλους τους εξυπηρετητές απασχολημένους, εγκαταλείπουν αμέσως το σύστημα. Συνεπώς, ο αριθμός των κλήσεων που μένουν στο σύστημα και δεν το εγκαταλείπουν, ισούται με τον αριθμό των εξυπηρετητών (εξερχόμενων γραμμών του συστήματος). Η προσφερόμενη κίνηση θεωρείται ως καθαρά τυχαία κίνηση, δηλαδή οι αφίξεις των κλήσεων έχουν κατανομή Poisso. 6

Mαρκοβιανά συστήματα απωλειών O αριθμός των ταυτόχρονων καταλήψεων των εξερχόμενων γραμμών έχει την ονομαζόμενη κατανομή ERLANG. Σύμφωνα με αυτήν, η πιθανότητα να βρεθούν r εξερχόμενες γραμμές ταυτόχρονα κατειλημμένες σε μία χρονική στιγμή ισούται με: r a P = r! r S i r = 0, 1, 2, s (4.9) a i= 0! i (όπου α είναι το προσφερόμενο φορτίο κίνησης, s ο αριθμός των εξερχόμενων γραμμών ή εξυπηρετητών του συστήματος και r o αριθμός των κατειλημμένων εξερχόμενων γραμμών). α= προσφερόμενο φορτίο κίνησης c= αριθμός κλήσεων που φθάνουν σε ένα τηλεπικοινωνιακό σύστημα h=μέση διάρκεια των κλήσεων Στην ειδική περίπτωση που ο αριθμός των εξερχόμενων γραμμών γίνει πολύ μεγάλος (s ) η κατανομή ERLANG μετατρέπεται στην κατανομή Poisso: r a a Pr e (4.10) r! 7

Mαρκοβιανά συστήματα απωλειών H πιθανότητα σε μία χρονική στιγμή να βρεθούν όλες οι εξερχόμενες γραμμές κατειλημμένες (r=s), δίνεται από τον τύπο απωλειών του ΕRLANG (εξίσωση ΕRLANG B), που εκφράζει το ποσοστό απωλειών κλήσεων: S a B s! T = = ES ( a) S i (4.11) a i= 0! i Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ο αναδρομικός τύπος της εξίσωσης ΕRLANG B: a ES 1 ( a) ES ( a) = E 0 (α)=1 (4.12) s + a E H σχέση (4.12) είναι χρήσιμη, όταν δίνεται το φορτίο κίνησης (α=ch) και η επιθυμητή πιθανότητα απώλειας κλήσεων (βαθμός εξυπηρέτησης) και ζητείται να υπολογιστεί ο αριθμός των εξερχόμενων γραμμών. S 1 ( a) 8

Mαρκοβιανά συστήματα απωλειών β) Σύστημα απωλειών Μ()/Μ/s(0) O αριθμός των εισόδων του συστήματος έχει πεπερασμένη τιμή. Oι αφίξεις των κλήσεων ακολουθούν εκθετική κατανομή με μέση τιμή 1/λ, όπου λ είναι ο ρυθμός αφίξεων των κλήσεων στο σύστημα. Κάθε μία από τις εισερχόμενες πεπερασμένες γραμμές είναι - όσον αφορά την κίνησή της - ανεξάρτητη από τις άλλες γραμμές. Κάθε μία από τις γραμμές έχει την ίδια κίνηση. 9

Mαρκοβιανά συστήματα απωλειών Ο αριθμός των ταυτόχρονα κατειλημμένων r εξερχόμενων γραμμών, ακολουθεί κατανομή ΕNGSET. Η πιθανότητα μία χρονική στιγμή να υπάρχουν ταυτόχρονα r κατειλημμένες γραμμές ισούται με: P r = S r λ µ λ i= 0 i µ r i r = 0, 1, 2, s (4.13) όπου λ ο ρυθμός αφίξεων των κλήσεων στο σύστημα, μ ο ρυθμός εξυπηρέτησης των κλήσεων (πολλές φορές αντί του μ δίνεται ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης των κλήσεων: h=1/μ), s o αριθμός των εξερχόμενων γραμμών και r o αριθμός των εξερχόμενων κατειλημμένων γραμμών. 10

Mαρκοβιανά συστήματα απωλειών Η πιθανότητα σε μία χρονική στιγμή να βρεθούν όλες οι εξερχόμενες γραμμές κατειλημμένες, ονομάζεται πιθανότητα συμφόρησης του συστήματος και δηλώνει το ποσοστό του χρόνου στην ώρα αιχμής κατά το οποίο το σύστημα είναι πλήρως κατειλημμένο: B T = S S λ µ λ i= 0 i µ S i (4.14) 11

12 Mαρκοβιανά συστήματα απωλειών Η πιθανότητα απώλειας κλήσεως δίνεται από τον τύπο απωλειών του ENGSET: = = S i i i S S B 0 1 1 µ λ µ λ (4.15)! )! (! B B A A A B = Ισχύει γενικά: H παραπάνω πιθανότητα, ορίζεται ως το πηλίκο των μπλοκαρισμένων κλήσεων προς τον συνολικό αριθμό κλήσεων, δηλαδή εκφράζει το ποσοστό απωλειών με το οποίο διαβιβάζεται η κίνηση. και

13 Mαρκοβιανά συστήματα απωλειών Αναδρομική σχέση για τον τύπο απωλειών του ENGSET: ), 1, ( ) ( ), 1, ( ) ( ),, ( h v s B h v s s h v s B h v s h v s B + = όπου Β(s,,v h) είναι η πιθανότητα απώλειας κλήσεων, ενώ v αντιπροσωπεύει τον ρυθμό άφιξης των κλήσεων από μία πηγή εισόδου. Από το συνολικά προσφερόμενο φορτίο κίνησης α=(-r) v h, προκύπτει h v a h v r = όπου r είναι ο αριθμός των κατειλημμένων εξερχόμενων γραμμών. (4.16) ν=λ

Mαρκοβιανά συστήματα απωλειών Από το μεταφερόμενο φορτίο κίνησης (φορτίο που εξυπηρετείται v h a από το σύστημα): ac = a (1 Bs ) = (όπου Β s είναι ο v h v h βαθμός εξυπηρέτησης), προκύπτει a = + v h(1 B ), απ όπου προκύπτει ότι το φορτίο κίνησης για κάθε ελεύθερη πηγή εισόδου είναι: 1 s a v h = (4.17) a ( 1 Bs ) Απόδοση των γραμμών (πηλίκο κίνησης που εξυπηρετείται a a B προς συνολικό αριθμό γραμμών): c ( 1 s ) Q = = (4.18) s s 14

Mαρκοβιανά συστήματα αναμονής Οι κλήσεις που εισέρχονται στο σύστημα μπορούν να περιμένουν για να γίνει η σύνδεση. Κριτήριο αξιολόγησης της απόδοσης του συστήματος είναι η πιθανότητα αναμονής ή ο μέσος χρόνος αναμονής στην ουρά. Σύστημα αναμονής Μ/Μ/s Είναι σύστημα με Poisso κατανομή άφιξης κλήσεων, εκθετική κατανομή του χρόνου εξυπηρέτησης, s αριθμό εξερχόμενων γραμμών και άπειρες θέσεις αναμονής στις οποίες όλες οι κλήσεις παραμένουν μέχρι να εξυπηρετηθούν, κατά μέσον όρο επί χρόνο W. Στα συστήματα αυτού του είδους υπάγονται τα δίκτυα υπολογιστών και τα ψηφιακά τηλεφωνικά κέντρα. 15

Mαρκοβιανά συστήματα αναμονής Σχήμα 4.1: Σύστημα αναμονής λ: ρυθμός άφιξης των κλήσεων στο σύστημα μ: ρυθμός εξυπηρέτησης των κλήσεων s: αριθμός των εξερχόμενων γραμμών r: αριθμός των κλήσεων στο σύστημα 16

Mαρκοβιανά συστήματα αναμονής Για να είναι ευσταθές το σύστημα, δηλαδή για να μην αυξάνεται απεριόριστα η ουρά αναμονής, θα πρέπει το προσφερόμενο φορτίο κίνησης να είναι μικρότερο από τον αριθμό των εξυπηρετητών: a a < s < 1 (4.19) s Το μέγεθος ρ=α/s ονομάζεται απόδοση των γραμμών. Ως πιθανότητα αναμονής Μ(0), ορίζεται η πιθανότητα ότι μία κλήση θα περιμένει στην ουρά μέχρι να εξυπηρετηθεί (εξίσωση ΕRLANG C): S a s M (0) = s! s a (4.20) S 1 r S a a s + r! s s a r= 0! 17

Mαρκοβιανά συστήματα αναμονής Αναδρομική σχέση της εξίσ. ΕRLANG C: s ES ( a) M (0) = (4.21) s a [1 ES ( a)] όπου το Ε S (α) δίνεται από τον τύπο απωλειών του ΕRLANG B [εξίσ. (4.12)]. Μέση τιμή των κλήσεων αναμονής (αριθμός των κλήσεων που περιμένουν να εξυπηρετηθούν): a L = M ( 0) (4.22) s a Από το νόμο του Little: L=λ W και τη σχέση (4.22) υπολογίζεται ο μέσος χρόνος αναμονής στην ουρά (χρονικό διάστημα που πρέπει να περιμένει μία κλήση μέχρι να εξυπηρετηθεί.: L Μ(0) W = = λ µ ( s a) (4.23) 18

Mαρκοβιανά συστήματα αναμονής Κατανομή του χρόνου αναμονής (ποσοστό των κλήσεων που θα καθυστερήσουν περισσότερο από χρόνο t, ως προς όλες τις κλήσεις): (1 ρ) sµ t M ( t) = M (0) e (4.24) 19