Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος του β (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: α > β ) όταν η διαφορά α-β είναι θετικός αριθμός δηλαδή: α > β όταν α β > 0 Αντίστοιχα εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μικρότερος του β (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: α < β ) ό- ταν η διαφορά α-β είναι αρνητικός αριθμός δηλαδή: α < β όταν α β < 0 Αντίστοιχα εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι ίσος με τον β (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: α = β ) όταν η διαφορά α-β είναι ίση με το μηδέν δηλαδή: α = β όταν α β = 0 ΑΜΕΣΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΣΜΩΝ Από τους παραπάνω ορισμούς προκύπτει ότι για να συγκρίνουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β,βρίσκουμε το πρόσημο της διαφοράς α β οπότε: αν α β > αν α β < αν α β 0, τοτε 0, τοτε α = 0, τοτε α α > β < β Β. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ Έστω α, β,γ πραγματικοί αριθμοί τότε ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: Αν στα δύο μέλη μιας ανισότητας προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά. Δηλαδή: = β Αν α > β, τοτε α ± γ > β ± γ

30 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Αν προσθέσουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες της ί- διας φοράς τότε προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς. Δηλαδή: α > β Αν τοτε α + γ > β + δ γ > δ Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη μιας ανισότητας με έναν θετικό αριθμό, η φορά της ανισότητας που προκύπτει δεν αλλάζει. Δηλαδή: α > β Αν τοτε α.γ > β.γ η α : γ > β : γ γ > 0 Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη μιας ανισότητας με τον ίδιο αρνητικό αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα με α- ντίθετη φορά. Δηλαδή: α > β Αν τοτε α.γ < β.γ η α : γ < β : γ γ < 0 Από τις παραπάνω ιδιότητες προκύπτει και η μεταβατική ιδιότητα α > β Αν τοτε α > γ β > γ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ Αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες που έχουν την ίδια φορά και θετικά μέλη, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά, Δηλαδή: α > β Αν τοτε α.γ > β.δ α,β, γ,δ θετικοί πραγματικοί αριθμοί γ > δ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1. Το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού α είναι μη αρνητικός α- ριθμός, δηλαδή. α 0. Αν για πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει α + β = 0, τότε α = 0 ή β = 0. 3. Δεν αφαιρούμε ή διαιρούμε κατά μέλη ανισότητες, γιατί μπορεί να προκύψει λανθασμένο συμπέρασμα. Γ. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΕΝΑ ΑΓΝΩΣΤΟ Για να λύσουμε μια ανίσωση πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες της διάταξης όπως θα δούμε στις ασκήσεις που ακολουθούν.

ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 31 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες : α) Αν α > 6, τότε α > 4. β) Αν α > β, τότε α < β. γ) Αν α < 0, τότε α > 0. δ) Αν 3 x > 1, τότε x > 4 x y ε) Αν >, τότε x > y. 4 4 στ) Αν x > 0, τότε x + 5 > 0. ζ) Αν α > 6 και β > 4, τότε α + β >. η) Αν x > και y > 3, τότε x y > 6. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η α είναι σωστή (Σ) γιατί αν αφαιρέσουμε και από τα δύο μέλη το προκύπτει το συμπέρασμα που αναφέρεται παραπάνω. Η β είναι σωστή (Σ) γιατί αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη με το -1 προκύπτει το συμπέρασμα που αναφέρεται παραπάνω. Η γ είναι σωστή (Σ) γιατί πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με το -1. Η δ είναι λάθος (Λ) γιατί αν διαιρέσουμε με αρνητικό αριθμό τα μέλη μιας ανισότητας αυτή αλλάζει φορά, άρα θα έπρεπε να είναι x < 4 Η ε είναι λάθος (Λ) γιατί αν πολλαπλασιάσουμε με αρνητικό αριθμό τα μέλη μιας ανισότητας αυτή αλλάζει φορά, άρα θα έπρεπε να είναι x < y. Η στ είναι Σωστή (Σ) γιατί αν προσθέσαμε το 5 και στα δύο μέλη x + 5 > 5 ή x+5>5>0 ισχύει. Η ζ είναι σωστή (Σ) γιατί προσθέτουμε δύο ομόστροφες ανισότητες κατά μέλη. Η η είναι σωστή (Σ) γιατί ξέρουμε ότι οι x,y είναι θετικοί αριθμοί και ε- φαρμόζουμε την ιδιότητα: α > β Αν τοτε α.γ > β.δ γ > δ α,β, γ,δ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να συμπληρώσετε τα κενά μ ένα από τα σύμβολα >, <,,, ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις. α) Αν α > 3, τότε α 3. 0. β) Αν α < β και β < γ, τότε α.γ. α γ) Αν α > 0 και β < 0, τότε 0. δ) Αν γ < 0 και α γ β γ,τότε α β β. ε) Αν α 0, τότε α 0. στ) Αν α 0 και β 0, τότε α + β.0.

3 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Αν α > 3, τότε α 3 > 0. β) Αν α < β και β < γ, τότε α <γ. γ) Αν α > 0 και β < 0, τότε β α <0. δ) Αν γ < 0 και α γ β γ,τότε α β. ε) Αν α 0, τότε α > 0. στ) Αν α 0 και β 0, τότε α + β 0. 3. Ποιες ιδιότητες της διάταξης χρησιμοποιούμε, ώστε από την ανίσωση 3 x 4 < 7 να γράψουμε 3 x < 7 + 4 και από την ανίσωση 3 x < 11 να 11 γράψουμε x < ; 3 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Την ιδιότητα που μας επιτρέπει στα μέλη μιάς ανίσωσης να προσθέτουμε τον ίδιο αριθμό. Συγκεκριμένα προσθέτουμε τον αριθμό 4 και έχουμε : 3x 4 < 7 ή 3x 4 +4< 7+4 ή 3x <11.Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε την ιδιότητα που μας επιτρέπει να πολλαπλασιάζουμε τα μέλη μίας ανίσωσης επί ένα θετικό αριθμό χωρίς να αλλάξει φορά. Συγκεκριμένα πολλαπλασιάζουμε επί τον αριθμό >0 και έχουμε : 3x< 11 ή x < 3 3 3 1 1 1 11 3 4. Με ποιες ιδιότητες της διάταξης από την ανισότητα x >3 προκύπτουν οι παρακάτω ανισότητες ; α) x + 4 > 7 β) x > 1 γ) 5x > 15 δ) 6x < 18 ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Με την ιδιότητα που μας επιτρέπει στα μέλη μιάς ανίσωσης να προσθέτουμε τον ίδιο αριθμό. Συγκεκριμένα προσθέτουμε τον αριθμό 4 και έχουμε : x >3 ή x+4>3+4 ή x +4 >7 β) Με την ιδιότητα που μας επιτρέπει στα μέλη μιάς ανίσωσης να προσθέτουμε τον ίδιο αριθμό. Συγκεκριμένα προσθέτουμε τον αριθμό και έχουμε : x >3 ή x >3 ή x > 1 γ) Με την ιδιότητα που μας επιτρέπει να πολλαπλασιάζουμε τα μέλη μιάς ανίσωσης επί τον ίδιο θετικό αριθμό. Συγκεκριμένα πολλαπλασιάζουμε επί τον αριθμό 5 και έχουμε : x >3 ή 5x >5 3 ή 5x > 15 δ) Με την ιδιότητα που μας επιτρέπει να πολλαπλασιάζουμε τα μέλη μιάς ανίσωσης επί τον ίδιο αρνητικό αριθμό και αλλάζει φορά. Συγκεκριμένα πολλαπλασιάζουμε επί τον αριθμό 6 και έχουμε : x >3 ή 6 x < 6 3 ή 6x < 18

ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 33 5. Αν α > 1 και β > 3, τότε ποιες από τις παρακάτω ανισότητες προκύπτουν από τις ιδιότητες της διάταξης ; α) α + β > 15 β) α β > 9 γ) α β > 36 δ) β α > 4 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Με δοσμένο ότι α > 1 και β > 3, από ιδιότητες της διάταξης προκύπτουν οι : α) α + β > 15. Με πρόσθεση κατά μέλη των ανισοτήτων αυτών. β) Επειδή δεν αφαιρούμε ανισότητες κατά μέλη, η ανισότητα α-β>1-3 ή α- β>9 δεν προκύπτει από τις ιδιότητες της διάταξης. γ) α β > 36. Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των ανισοτήτων αυτών επειδή οι αριθμοί αυτοί είναι θετικοί. δ) Επειδή η διαίρεση ανισοτήτων κατά μέλη δεν επιτρέπεται η παραπάνω ανισότητα δεν προκύπτει από τις ιδιότητες της διάταξης. α γ 6. Ένας μαθητής γνωρίζει ότι για να είναι =, αρκεί να ισχύει β δ α γ α δ = β γ. Βασιζόμενος σ αυτό σκέφτηκε ότι για να ισχύει >, β δ αρκεί να αποδείξει ότι α δ > β γ. Η σκέψη που έκανε είναι σωστή; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η σκέψη που έκανε δεν είναι σωστή γιατί δεν έλαβε υπόψη του τα πρόσημα των αριθμών αυτών. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ 1 Αν ισχύει 3 (α β) > (α + β), τότε να αποδείξετε ότι α > 5β. 3 (α β) > (α + β) 3α 3β > α + β ή 3α α > β + 3β ή α > 5β Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα. Μεταφέρουμε στο πρώτο μέλος τα α και στο δεύτερο μέλος τα β και κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων ΑΣΚΗΣΗ Ποιες ιδιότητες της διάταξης πρέπει να εφαρμόσουμε στην ανισότητα x > 6 για να αποδείξουμε τις παρακάτω ανισότητες; α) 5x 30 < 0 β) 3x + 18 > 0 γ) (x + 4) > 4.

34 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ α) Αρχικά με πολλαπλασιασμό των μελών της επί τον αρνητικό αριθμό 5 έχουμε : 5x < 30, και στην συνέχεια με πρόσθεση και στα δύο μέλη της, του αριθμού 30 οπότε έχουμε : 5x 30 < 30 30 ή 5x 30 < 0 β) Αρχικά με πολλαπλασιασμό των μελών της επί τον θετικό αριθμό 3 έχουμε : 3x > 18, και στην συνέχεια με πρόσθεση και στα δύο μέλη της, του αριθμού 18 οπότε έχουμε : 3x +18> 18 +18 ή 3x + 18 > 0 γ) Αρχικά με πρόσθεση και στα δύο μέλη της, του αριθμού 4 οπότε έχουμε : x+4 > 6+4 ή x+4 > και στην συνέχεια με πολλαπλασιασμού των μελλών της επί τον θετικό αριθμό οπότε έχουμε : ( x+4) > ( ) ή ( x+4) > 4 ΑΣΚΗΣΗ 3 Αν < α < 6, να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκονται οι αριθμοί α) α β) α 5 γ) 1 3 α. α) Προσθέτοντας στα μέλη της < α < 6 τον αριθμό έχουμε : <α < 6 ή 0 < α < 4. Άρα ο αριθμός α βρίσκεται μεταξύ του 0 και του 4 β) Αρχικά πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της < α < 6 επί τον αριθμό και έχουμε : < α < 6 ή 4 < α <1. Προσθέτουμε στη συνέχεια στα μέλη της τον αριθμό 5 και έχουμε : 4 5< α 5<1 5 ή 1< α 5< 7. Άρα ο αριθμός α 5 βρίσκεται ανάμεσα στους 1 και 7. γ) Αρχικά πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της < α < 6 επί τον αρνητικό αριθμό 3 και έχουμε : 3 > 3 α > 3 6 ή 6 > 3α > 18. Προσθέτουμε στη συνέχεια στα μέλη της τον αριθμό 1 και έχουμε : 1 6 >1 3α >1 18 ή 5 >1 3α > 17. Άρα ο αριθμός 1 3 α βρίσκεται ανάμεσα στους 17 και 5. ΑΣΚΗΣΗ 4 Αν α < β, τότε να αποδείξετε ότι α + β α + β α) 5α 3 < 5β 3 β) α + 4 > β + 4 γ) α < δ) < β.. α) Αρχικά με πολλαπλασιασμό των μελών της α < β επί τον θετικό αριθμό 5 έχουμε : 5α < 5β. Προσθέτουμε στη συνέχεια στα μέλη της τον αριθμό 3 και προκύπτει : 5α 3< 5β 3.

ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 35 β) Αρχικά με πολλαπλασιασμό των μελλών της α < β επί τον αρνητικό αριθμό έχουμε : α > β. Προσθέτουμε στη συνέχεια στα μέλη της τον αριθμό +4 και προκύπτει : α +4 > β +4 γ) Προσθέτουμε στα μέλη της α < β τον αριθμό α και έχουμε : α+α <α + β ή α < α+β. Διαιρούμε στη συνέχεια τα μέλη της α α + β α + β α < α+β δια του οπότε : < ή α <. δ) Προσθέτουμε στα μέλη της α < β τον αριθμό β και έχουμε : α+β <β + β ή α+β < β. Διαιρούμε στη συνέχεια τα μέλη της α + β β α + β α +β < β δια του οπότε : < ή < β. ΑΣΚΗΣΗ 5 Αν 1 < x < 3 και < y < 5, να αποδείξετε ότι α) 3 < x + y < 8 β) 4 < x + y < 11 γ) 4 < x y < 1. α) Προσθέτουμε τις δύο δοσμένες ανισώσεις κατά μέλη και έχουμε : 1 < x < 3 < y < 5 3< x+y <8 β) Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της ανίσωσης 1 < x < 3 επί και έχουμε : < x < 6. Προσθέτουμε στη συνέχεια κατά μέλη τις ανισώσεις όπως παρακάτω φαίνεται : < x < 6 < y < 5 4 <x+y<11 γ) Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της ανίσωσης επί τον αρνητικό αριθμό 1 και έχουμε : 1 > 1 y > 1 5 ή > y> 5 ή 5 < y <. Προσθέτουμε τώρα κατά μέλη τις ανισώσεις όπως παρακάτω φαίνεται : 1 < x < 3 5 < y < 4< x y < 1 ΑΣΚΗΣΗ 6 Αν x > και y > 3, τότε να αποδείξετε ότι α) x y > 6 β) ( x ) ( y 3 ) > 0 γ) ( x + )y > 1. «Αν ανοίξετε το βιβλίο σας, το γινόμενο των δύο αντικριστών σελίδων μέσα στις οποίες είναι γραμμένες οι ασκήσεις, είναι 506»..

36 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Μπορείτε να βρείτε σε ποιες σελίδες είναι γραμμένες οι ασκήσεις ; α) Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις δύο δοσμένες ανισώσεις έχουμε :xy >6 β) Είναι : x > ή x > 0 y > 3 y 3 > 0 Επειδή οι αριθμοί x και y 3 είναι θετικοί όπως φαίνεται παραπάνω, θα είναι θετικός αριθμός και το γινόμενό τους. Άρα ( x ) ( y 3 ) > 0. γ) Προσθέτουμε στα μέλη της ανίσωσης x > τον αριθμό οπότε προκύπτει : x + > + ή x + > 4. Πολλαπλασιάζουμε στη συνέχεια κατά μέλη τις ανισώσεις όπως παρακάτω φαίνεται : x + > 4 y > 3 (x+y)y > 1 ΑΣΚΗΣΗ 7 Αν α, β θετικοί αριθμοί με α > β, τότε να αποδείξετε ότι α > β.. 1 ος Τρόπος Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της ανίσωσης α > β επί τον θετικό αριθμό α και έχουμε : α α >α β ή α >αβ. Παρόμοια πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της α > β επί τον θετικό αριθμό β έχουμε α β>β β ή αβ>β Είναι λοιπόν α >αβ και αβ>β οπότε από την μεταβατική ιδιότητα προκύπτει ότι α > β ος Τρόπος Είναι α >β ή α β > 0. Επειδή οι αριθμοί α και β είναι θετικοί θα είναι και το άθροισμά τους θετικός αριθμός.είναι λοιπόν α + β > 0. Τότε όμως και το γινόμενο (α + β)(α β) είναι θετικός αριθμός, ως γινόμενο θετικών αριθμών. Επομένως (α + β)(α β) > 0 ή α β > 0 ή α > β ΑΣΚΗΣΗ 8 Να αποδείξετε ότι α) Αν α > 1, τότε α > α β) Αν x >, τότε x 3 > x. α) Ο αριθμός α είναι θετικός αφού είναι α > 1. Πολλαπλασιάζοντας τα

ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 37 μέλη της ανίσωσης α > 1 επί τον θετικό αριθμό α, έχουμε α α >α 1 ή α > α β) Επειδή ότι ο αριθμός x είναι θετικός, πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της x > επί τον x έχουμε : x x > x ή x 3 > x. ΑΣΚΗΣΗ 9 Αν α > β και α, β ομόσημοι, τότε να αποδείξετε ότι 1 1 <. α β Αφού οι αριθμοί α και β είναι ομόσημοι, τότε και το γινόμενό τους είναι θετικός αριθμός. Έχουμε λοιπόν αβ > 0, οπότε και ο αντίστροφός του αβ 1 είναι θετικός αριθμός. Πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της ανίσωσης α > β επί τον θετικό α- 1 1 1 1 1 1 1 ριθμό έχουμε : α > β ή > ή <. αβ αβ αβ β α α β ΑΣΚΗΣΗ 10 Αν x > 3 και y <, τότε να αποδείξετε ότι α) ( x 3 ) ( y ) < 0 β) x y + 6 < x + 3 y. α) Από τις σχέσεις : x > 3 προκύπτει ότι : x 3 > 0 y < y < 0 Αφού οι αριθμοί x 3 και y είναι ετερόσημοι, το γινόμενό τους είναι αρνητικός οπότε ( x 3 ) ( y ) < 0 β) Είναι τώρα (x 3 )( y ) < 0 ή xy x 3y +6 < 0 ή xy +6 <x +3y ΑΣΚΗΣΗ 11 Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x, y, να αποδείξετε ότι α) x +1 x β) ( x + y) 4 x y γ) x + y +1 y. Σε κάθε περίπτωση να βρείτε πότε ισχύει η ισότητα. α) Για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό x 1 είναι x 1 0. Επομένως ο αριθμός (x 1) είναι θετικός και μόνο στην περίπτωση x = 1 θα είναι μηδέν. Άρα για οποιονδήποτε x θα έχουμε : (x 1) 0 ή x x +1 0 ή x +1 x β) Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x και y με x y είναι

38 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ x y 0. Επομένως ο αριθμός (x y) είναι θετικός και μόνο στην περίπτωση x = y θα είναι μηδέν. Άρα για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x και y θα έχουμε : (x y) 0 ή x xy +y 0 ή x +y xy γ) Είδαμε παραπάνω ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x και y έχουμε : (x y) 0. Προσθέτοντας στα μέλη της (x y) 0 τον αριθμό 1 έχουμε (x y) +1 1. Ο αριθμός (x y) +1 ως μεγαλύτερος ή το πολύ ίσος με τον 1 είναι θετικός.άρα (x y) +1 > 0 ή x xy +y +1 > 0 ή x +y +1 > xy ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αποδείξετε ότι 1 1 α) αν x > 0, τότε x + β) αν x < 0, τότε x + x x α) Αν x > 0 τότε x 1 0 και μόνο στην περίπτωση x = 1 θα είναι μηδέν. Επομένως είναι (x 1) 0. Άρα έχουμε : x x +1 0 ή x +1 x. Διαιρούμε τα μέλη της x +1 x διά του θετικού αριθμού x και έχουμε : ή + ή x + x + 1 x x 1 1 x x x x x β) Αν x < 0 τότε x +1 0 και μόνο στην περίπτωση x = 1 θα είναι μηδέν. Επομένως είναι (x + 1) 0. Άρα έχουμε : x + x +1 0 ή x +1 x. Διαιρούμε τα μέλη της x +1 x διά του αρνητικού x + 1 x x 1 1 αριθμού x και έχουμε : ή + ή x + x x x x x ΑΣΚΗΣΗ 13 Να βρείτε το φυσικό αριθμό που είναι μεταξύ των αριθμών 114 και 135 και ο οποίος, όταν διαιρεθεί με το 15, δίνει υπόλοιπο 6. Εάν συμβολίσουμε με κ τον αναζητούμενο αριθμό τότε :114 < κ < 135.Από την ταυτότητα της αλγοριθμικής διαίρεσης προκύπτει ότι : κ = 15ν + 6.Άρα 114 < 15ν +6 < 135 ή 114 6 < 15ν < 135 6 ή 108 19 108 < 15ν < 19 ή < ν < ή 7, < ν < 8,6. Επειδή ν φυσικός, 15 15 είναι ν = 8. Άρα ο κ = 15 8 + 6 = 16.

ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 39 ΑΣΚΗΣΗ 14 Η τιμή ενός παντελονιού κυμαίνεται από 30 έως 35 ευρώ και μιας μπλούζας από έως 5 ευρώ. Αν κάποιος θέλει ν αγοράσει παντελόνια και 3 μπλούζες, τότε μεταξύ ποιών αριθμών θα κυμαίνεται το ποσό που πρέπει να πληρώσει ; Εάν συμβολίσουμε με x την τιμή του παντελονιού και y την τιμή της μπλούζας τότε 30 < x <35 και < y <5.Επομένως για την αγορά παντελονιών και 3 μπλουζών,πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της πρώτης ανίσωσης επί και της δεύτερης επί 3 έχουμε : 60 < x < 70 66 < 3y < 75 Προσθέτοντας τις ανισώσεις αυτές κατά μέλη έχουμε: 16< x+3y <145 Το απαιτούμενο χρηματικό ποσό πρέπει να κυμαίνεται μεταξύ 16 και 145 ευρώ. ΑΣΚΗΣΗ 15 Μ ένα πούλμαν ταξιδεύουν 51 άτομα (ο οδηγός και 50 επιβάτες). Αν το βάρος κάθε ατόμου κυμαίνεται μεταξύ 60 Κg και 100 Κg, οι αποσκευές κάθε επιβάτη ζυγίζουν από 4 Κg έως και 15 Κg και το πούλμαν έχει α- πόβαρο 13,5 t, τότε να εκτιμήσετε το συνολικό βάρος του πούλμαν. Είναι δυνατόν το πούλμαν να διασχίσει μια γέφυρα επαρχιακού δρόμου που το ανώτατο επιτρεπόμενο βάρος διέλευσης είναι 0 t ; Εάν συμβολίσουμε με x το συνολικό βάρος των επιβατών τότε πρέπει :51 60 < x <51 100 ή 3060 < x < 5100. Αντίστοιχα το συνολικό βάρος των αποσκευών αν συμβολισθεί y πρέπει 51 4 < y < 51 15 ή 04 < y < 765. Για να βρούμε μεταξύ ποιων ορίων θα κυμαίνεται το βάρος των επιβατών και των αποσκευών τους προσθέτουμε κατά μέλη τις ανισότητες 3060 < x < 5100 04 < y < 765 364< x+y <5865, ή 3,64t < x+y < 5,865t. Εάν στα μέλη αυτής της ανίσωσης προσθέσουμε το απόβαρο του αυτοκινήτου, τότε θα βρούμε τα όρια μέσα στα οποία θα βρίσκεται το συνολικό βάρος. Είναι λοιπόν 3,64t +13,5 < x + y + 13,5 < 5,865t +13,5 ή 16,514t < x + y + 13,5t < 19,115t.Μπορεί λοιπόν να διασχίσει το πούλμαν την γέφυρα.

40 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ΑΣΚΗΣΗ 16 Να λύσετε τις ανισώσεις α) 11-3 x < 7 x +1 β) x 9 > 5 x + 6 γ) 4 (3x 5) > 3 (4x +5) 3 4x 3x 6 x x + 1 3 x 1 x + 4 δ) > ε) x < στ) 1 x + < 5 10 6 3 3 6 10 α) 11-3 x < 7 x +1 ή 3 x 7x< +1 11 ή 10x< 10 ή x > ή x > 1 10 15 β) x 9 > 5 x + 6 ή x 5x >6+9 ή 3x >15 ή x < ή x < 5 3 γ) 4 (3x 5) > 3 (4x +5) ή 1x 0 > 1x +15 ή 1x 1x >15 +0 ή 0x >35 η οποία είναι αδύνατη. δ) Επειδή το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών είναι το 10, πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της εξίσωσης επί 10 και έχουμε : 3 4x 3x 6 x 10 10 > 10 ή (3 4x) 3x > 5(6 x) ή 6 8x 3x >30 5 10 4 5x ή 8x 3x +5x >30 6 ή 6x > 4 ή x < ή x < 4 6 ε) Επειδή το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών είναι το 6, πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της εξίσωσης επί και έχουμε : x + 1 3 x 6 6x < 6 ή x +1 6x <(3 x) ή x +1 6x <6 4x ή 6 3 x 6x+4x <6 1 ή 0x <5 η οποία είναι ταυτότητα και ισχύει για κάθε x 1 x + 4 x x + 4 στ) 1 x + < ή 1 <. Επειδή το Ε.Κ.Π. των 3 6 6 6 παρονομαστών είναι το 6, πολλαπλασιάζουμε τους όρους της ανίσωσης επί 6 και έχουμε : 6 1 6 6 < 6 ή 6 3x < x + 4 ή x x + 4 6 6 0 3x x < 4 6+ ή 4x < 0 ή x > ή x > 0. 4 ΑΣΚΗΣΗ 17 Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων

ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 41 7x 1< 8 + 6x 4x + 3 < 9 + 5x α) β) γ) 3x > x 10 1 x < x + 7 x x + 5 < + x 1 + 1 > x + 1 3 Επιλύουμε κάθε μία των ανισώσεων και βρίσκουμε τις κοινές λύσεις εάν υπάρχουν. α) Επίλυση της : 7x 1<8+6x ή 7x 6x<8+1 ή x < 9 8 Επίλυση της : 3x >x 10 ή 3x x > 10 + ή x > 8 ή x > ή x > 4 Επομένως η κοινή λύση των ανισώσεων είναι : 4 < x <9 β) Επίλυση της :4x +3 <9+5x ή 4x 5x <9 3 ή 1x <6 ή x > 6 Επίλυση της : 1 x <x+7 ή x x<+7 1 ή 3x <6 ή x > 3 6 1 ή x > 6 ή x > Επομένως η κοινή λύση των ανισώσεων είναι : x > γ) Επίλυση της : x + 5 < x +. Επειδή το ΕΚΠ είναι το πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της ανίσωσης επί και έχουμε. x x + 5 < + ή 4x +10 < x +4 ή 4x x < 4 10 ή 3x < 6 ή 6 x < ή x <- 3 x -1 1 x -1 1 Επίλυση της : +1> x + ή 6 +6 1> 6 x + 6 ή 3 (x 1) + 6 > 3 3 6x + ή 3x 3 + 6 > 6x + ή 3x 6x > + 3 6 ή 3x > 1 ή x < 1 1 ή x < 3 3 Επομένως η κοινή λύση των ανισώσεων είναι : x < - ΑΣΚΗΣΗ 18 x 31 x+1 31 Να βρεθεί θετικός ακέραιος αριθμός x ώστε < και > x+1 40 x+ 40 Επειδή x θετικός και οι αριθμοί x +1 και x + είναι θετικοί.

4 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ x 3 Επίλυση της : < 1. Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της ανίσωσης x+1 40 επί το ΕΚΠ των παρονομαστών που είναι ο θετικός αριθμός 40(x+1) και έχουμε : x 40(x+1) x + 1 < 40(x+1) 31 ή 40x < 31(x+1) ή 40x < 31x +31 ή 40x 40 31 31x < 31 ή 9x < 31 ή x < 9 x+1 31 Επίλυση της : >. Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της ανίσωσης x+ 40 επί το ΕΚΠ των παρονομαστών που είναι ο θετικός αριθμός 40(x+) και έχουμε : x + 1 31 40(x+) > 40(x+) ή 40(x+1) > 31(x+) ή 40x + 40 >31x +6 ή x + 40 18 40x 31x > 6 40 ή 9x > 18 ή x > ή x >. 9 Παρατηρούμε ότι η κοινή λύση των δύο αυτών ανισώσεων είναι < x 31 <. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι ο μοναδικός ακέραιος αριθμός που 9 βρίσκεται ανάμεσα στους αριθμούς και 31 είναι ο αριθμός 3. 9

ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 43 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1. Αν α β, να λύσετε τις εξισώσεις α) (x + α) (x + β) = β α x + α x + β α β) = 1 β α β α) (x + α) (x + β) = β α x +αx + α (x +βx + β ) = β α x +αx + α x βx β = β α αx βx = β + β α α (α β)x = (β α ). Αφού α β είναι α β 0 επομένως ( β α ) α β (α β)(α+ β) x = = = = (α + β) (α - β) α - β α β x + α x + β α β) = 1. Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της εξίσωσης επί β α β το ΕΚΠ των παρονομαστών που είναι ο αριθμός αβ και έχουμε : x + α x + β α αβ αβ = αβ αβ 1 β α β α(x + α) β(x + β) = α αβ αx + α βx β = α αβ αx βx = α αβ α +β (α β)x = β αβ (α β)x = β(β α). Αφού α β είναι α β 0 επομένως. - β(α - β) β(α β ) x = = = β α β α β. Δίνονται τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ ( Α =90 0 ) και ΒΓΔ ( Β =90 0 ). Να βρείτε τις τιμές των x, y του διπλανού σχήματος.

44 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με εφαρμογή του Πυθαγορείου θεωρήματος έχουμε : (x+1) + x = (x+). Επιλύουμε την εξίσωση αυτή και έχουμε : x +x +1 +x = x +4x+ 4 x + x +1 + x x 4x 4 = 0 x + x +1 + x x 4x 4 = 0 x x 3 = 0. Είναι α =1, β =, γ = 3 και Δ = β 4αγ = ( ) 4 1 ( 3) = 4 +1 = 16. ( ) ± 16 ± 4 Επομένως : x = =. Άρα : 1 + 4 6 4 x = = = 3 η οποία είναι δεκτή, ή x = = = 1<0 η οποία απορρίπτεται. Τότε ΑΒ = 3, ΑΓ = 3+1 = 4 και ΒΓ = 3+ = 5 Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΓΔ με εφαρμογή του Πυθαγορείου θεωρήματος έχουμε : 5 +(y+) = (3y ) 5 + 4y + 8y + 4 = 9y 1y + 4 4y 9y +8y + 1y + 5 + 4 4 = 0 5y +0y + 5 = 0 Είναι α = 5, β = 0, γ = 5 και Δ = β 4αγ = 0 4 ( 5) 5 = 400 +500 = 900. 0 ± 900 0 ± 30 Επομένως : y = =. Άρα ( 5) 10 0 + 30 10 y = = = 1 < 0 η οποία απορρίπτεται, 10 10 0 30 50 ή y = = = 5 >0 η οποία είναι δεκτή. 10 10 Τότε ΒΔ = 5 + = 1 και ΓΔ = 3 5 = 13 3. Το γινόμενο δύο θετικών διαδοχικών ακεραίων, αν διαιρεθεί με το ά- θροισμά τους, δίνει πηλίκο 7 και υπόλοιπο 3. Να βρείτε τους αριθμούς. Εάν x και x +1 είναι οι δύο θετικοί ακέραιοι, τότε το γινόμενό τους είναι x(x+1) και το άθροισμά τους x+x+1 = x +1.

ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 45 Επομένως προκύπτει η εξίσωση. x(x+1) = 7 (x +1) + 3 ή x +x = 14x + 7+3 ή x + x 14x 30 = 0 ή x 13x 30 = 0 Είναι α = 1,β = 13, γ = 30 και Δ = β 4αγ = ( 13) 4 1 ( 30) = 169 +10 = 89. ( 13) ± 89 13 ± 17 Επομένως : x = =. Άρα 1 13 + 17 30 13 17 4 x = = = 15 >0 η οποία είναι δεκτή ή x = = = <0 η οποία απορρίπτεται. Οι ζητούμενοι ακέραιοι είναι οι x = 15 και x = 15 + 1 = 16 4. Να λύσετε τις εξισώσεις, για οποιαδήποτε τιμή του αριθμού α με α 0. x x α 3α 1 6x α) + = β) + = x α x + α x α x αx x + αx x α α ) Επειδή το ΕΚΠ των παρονομαστών των όρων της εξίσωσης είναι το x α = ( x+α)(x α) πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της εξίσωσης επί το ΕΚΠ και έχουμε. x x α ( x + α)(x α) + ( x + α)(x α) = ( x + α)(x α) x α x + α ( x + α)(x α) ( x + α)x + (x α)x = α x +αx + x αx α = 0 3x αx α = 0 Η διακρίνουσα είναι : Δ = ( α) 4 3 ( α ) = α + 4α = 5α ( α) ± 5α α ± 5α Επομένως : x = =. Άρα 3 6 α + 5α 6α α 5α α x = = = α ή x = =. Η λύση x=α απορρίπτεται 6 6 6 3 β) Επειδή το ΕΚΠ των παρονομαστών των όρων της εξίσωσης μετά την παραγοντοποίησή τους είναι το x( x+α)(x α), πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της εξίσωσης επί το ΕΚΠ και έχουμε. 3α 1 x( x + α)(x α) + x( x + α)(x α) = x(x α) x(x + α) 6x = x( x + α)(x α) (x α)(x + α) 3α(x +α) + (x α) = 6x

46 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 3αx + 3α + x α = 6x 6x +(3α +1)x +3α α = 0 Η διακρίνουσα είναι : Δ = (3α+1) 4 ( 6) (3α α) = = 9α + 6α +1 + 7α 4α = 81α 18α + 1 = (9α 1). (3α + 1) ± (9α -1) (3α + 1) ± (9α 1) Επομένως : x = =. Άρα. (-6) -1 (3α + 1) + (9α 1) 3α 1+ 9α 1 6α 3α 1 x = = = = ή -1-1 -1 6 (3α + 1) (9α 1) 3α 1 9α + 1 1α x = = = = α, η οποία απορρίπτεται -1-1 -1 5. Αν μια λύση της εξίσωσης x + (λ 5) x + λ = 0 είναι ο αριθμός 1, να βρείτε την άλλη λύση. Αφού ο αριθμός 1 είναι λύση της εξίσωσης, τότε αυτός την επαληθεύει, επομένως θέτοντας όπου λ = 1 έχουμε : 1 + (λ 5) 1 +λ = 0 ή 1 + λ 5 +λ = 0 ή λ 4 = 0 ή λ = 4 ή λ =. Άρα η εξίσωση γράφεται : x 3x + = 0 μετά την αντικατάσταση του λ με την τιμή. Επιλύοντας τώρα την εξίσωση x 3x + = 0 βρίσκουμε τις ρίζες της.είναι Δ = ( 3) 4 1 = 9 8 = 1 και έχουμε : ( 3) ± 1 3 ± 1 3 1 x = =. Άρα x = = = 1 ή x 3 + 1 4 = = =.Επομένως η άλλη ρίζα της εξίσωσης είναι x =. 6. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ (x) = x 3 + 3 x 13 x 15.Nα λύσετε την εξίσωση Ρ (x) = 0, αν είναι γνωστό ότι το x 3 είναι παράγοντας του πολυωνύμου Ρ (x). Αφού το x 3 είναι παράγοντας του πολυωνύμου Ρ (x), αυτό σημαίνει ότι το x 3 διαιρεί το Ρ (x). Κάνουμε την διαίρεση και έχουμε : x 3 + 3 x 13 x 15 x 3 x 3 + 3x x + 6x + 5 +6x 13x 15 6x +18x 5x 15 5x +15

ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 47 0 Επομένως έχουμε : Ρ (x) = x 3 + 3 x 13 x 15 = (x 3)( x + 6x + 5) και η εξίσωση Ρ (x) = 0, γράφεται : (x 3)( x + 6x + 5) = 0.Από την ε- ξίσωση αυτή προκύπτουν οι εξισώσεις : x 3 = 0 και x + 6x + 5 = 0 Από την x 3 = 0 έχουμε την τιμή x = 3. Επιλύοντας την x + 6x + 5 = 0 έχουμε : Δ = 6 4 1 5 = 36 0 = 16 και 6 ± 16 6 ± 4 6 + 4 6 4 x = =. Άρα x = = = 1ή x = = 5 1 7. Να βρείτε δύο διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς, τέτοιους ώστε το ά- θροισμα των αντιστρόφων τους αυξημένο κατά τον αντίστροφο του γινομένου τους να είναι ίσο με 1. Εάν συμβολίσουμε με x και x+1 τους ζητούμενους ακέραιους αριθμούς τότε πρέπει : + + = 1 επειδή το ΕΚΠ των παρονο- 1 1 1 x x + 1 x(x + 1) μαστών των όρων της εξίσωσης είναι x(x+1) κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών και έχουμε : 1 1 1 x(x + 1) + x(x + 1) + x(x + 1) = 1 x(x + 1) x x + 1 x(x + 1) x+1 +x +1 = x +x ή x +x+x x+ = 0 ή x +x+ = 0 Είναι α = 1, β = 1, γ = και Δ = 1 4 ( 1) = 1+8 = 9, επομένως x = 1± 9 1± 3 1+ 3 1 3 4 =. Άρα x = = = 1 ή x = = =. ( 1) Οι ζητούμενοι ακέραιοι είναι οι αριθμοί και 3 που προκύπτουν από την ρίζα x =. Από την ρίζα x = 1 δεν προκύπτει λύση του προβλήματος αφού ο επόμενος ακέραιος του 1 είναι ο αριθμός μηδέν (0) ο οποίος δεν έχει αντίστροφο. 8. Να βρείτε τις διαστάσεις ενός οικοπέδου σχήματος ορθογωνίου, αν είναι γνωστό ότι οι πλευρές του διαφέρουν κατά m και το εμβαδόν του οικοπέδου είναι 399 m. Εάν συμβολίσουμε με x και x + τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου οικοπέδου, τότε πρέπει : x(x+) = 399. Επιλύουμε την εξίσωση αυτή και έχουμε :

48 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ x +x 399 = 0 Είναι : α = 1, β =, γ = 399 και Δ = 4 1 ( 399) = 4 +1596 = 1600. ± 1600 ± 40 Επομένως : x = =. Άρα 1 + 40 38 40 4 x = = = 19 > 0 δεκτή ή x = = = 1< 0 απορρίπτεται. Επομένως οι διαστάσεις του οικοπέδου είναι 19m και 1 1 1m. 9. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(Â = 90 0 ) και το ύψος του Α Δ. Αν είναι Α Δ = x,β Δ = x + 9 και Γ Δ = 3, να υπολογίσετε τον αριθμό x. Από την ομοιότητα των τριγώνων ΔΑΒ και ΔΑΓ έχουμε : Α Δ Γ Δ x 3 = ή = ή x = 3 (x+9) ή x = 6x + 7 ή x 6x 7 = 0 Β Δ Α Δ x + 9 x. Είναι α = 1, β = 6, γ = 7 και Δ = ( 6) 4 1 ( 7) = 36 + 108 = ( 6) ± 144 6 ± 1 144. Άρα x = =. Τότε : 6 + 1 18 6 1 6 x = = = 9 > 0 δεκτή ή x = = = 3 < 0 η οποία απορρίπτεται.... 10. Να συγκρίνετε τους αριθμούς (1 + α) (1 + β) και 1 + α + β. Παίρνουμε την διαφορά ( 1 + α)( 1+ β) ( 1+ α + β) = αβ Διακρίνοντας περιπτώσεις έχουμε: Αν αβ>0, Δηλαδή α, β ομόσημοι,τότε ( 1 + α)( 1+ β) > 1+ α + β. Αν αβ<0,τότε ( 1 + α)( 1+ β) < 1+ α + β. αβ=0, Δηλαδή α=0 ή β=0,τότε ( 1 + α)( 1+ β) = 1+ α + β.

ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 49 11. α) Να αποδείξετε ότι (α β) + (β γ) + (γ α) = (α + β + γ α β β γ γα ). β) Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α,β,γ ισχύει α + β + γ = α β + β γ + γα, να αποδείξετε ότι α = β = γ. α) Κάνουμε πράξεις στην παράσταση και έχουμε : (α β) + (β γ) + (γ α) = = α αβ + β + β βγ + γ + γ γα + α = α + β + γ αβ βγ γα = = (α + β + γ α β β γ γα ). β) Είναι : α + β + γ = α β + β γ + γα ή α + β + γ α β β γ γα = 0.Επομένως και το διπλάσιο της ποσότητας αυτής ισούται με μηδέν. Άρα και : (α + β + γ α β β γ γα ) = 0. Τότε όμως σύμφωνα με το πρώτο ερώτημα της άσκησής μας είναι : (α β) + (β γ) + (γ α) = (α + β + γ α β β γ γα ) = 0 έχουμε δηλ. για τους αριθμούς α, β, γ ότι : (α β) + (β γ) + (γ α) = 0. Για να είναι όμως το άθροισμα των μη αρνητικών αριθμών (α β), (β γ), (γ α) ίσο με το μηδέν πρέπει καθένας από αυτούς να ισούται με μηδέν. Άρα (α β) = 0, (β γ) = 0 και (γ α) = 0.Επομένως πρέπει :α β= 0, β γ = 0 και γ α = 0 ή α = β, β = γ και γ = α, δηλαδή α = β = γ. 4 1 1. Να αποδείξετε ότι > για κάθε θετικό ν(ν + ) (ν + 1)(ν + ) ν(ν + 1) ακέραιο ν. Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα παρατηρώντας ότι το ΕΚΠ των παρονομαστών είναι ν(ν+1)(ν+) και αρκεί να δείξουμε ότι : 4 1 > 0 ή ν(ν + ) (ν + 1)(ν + ) ν(ν + 1) 4(ν + 1) 1ν (ν + ) > 0 ή ν(ν + 1)(ν + ) ν(ν + 1)(ν + ) ν(ν + 1)(ν + ) 4(ν + 1) - ν - (ν + ) > 0 ή ν(ν + 1)(ν + ) 4ν + 4 - ν - ν - 4 ν(ν + 1)(ν + ) > 0 ν ή > 0 ν(ν + 1)(ν + )

50 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ το οποίο ισχύει αφού ν θετικός. 13. Αν α, β, γ μήκη πλευρών τριγώνου, να αποδείξετε ότι α) α + β > γ α β. β) α + β < γ + α β. γ) α + β + γ < α β + β γ + γα α) Αρχικά παρατηρούμε ότι α, β, γ είναι θετικοί ως μήκη πλευρών τριγώνου. Από την τριγωνική ανισότητα έχουμε : α + β > γ. Επειδή δε μπορούμε να πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη ομόστροφες ανισώσεις αν τα μέλη τους είναι θετικοί αριθμοί, από την ανίσωση α + β > γ θεωρώντας ότι πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη την ανίσωση αυτήν επί τον ε- αυτό της προκύπτει (α + β) > γ ή α + αβ + β >γ ή α + β > γ αβ. β) Παρόμοια από την τριγωνική ανισότητα έχουμε : α β < γ ή β α < γ ανάλογα με το ποιος από τους α, β είναι μεγαλύτερος από τον άλλο. Σε κάθε όμως περίπτωση, οποιαδήποτε από τις σχέσεις αυτές και αν ισχύει, επειδή τα τετράγωνα δύο αντιθέτων είναι ίσα μεταξύ τους, δηλ. (α β) = (β α) τελικά έχουμε (α β) < γ ή α αβ + β < γ ή α + β < γ +αβ. γ) Επαναλαμβάνοντας την σχέση αυτή κυκλικά έχουμε : α + β < γ + αβ β + γ < α + βγ προσθέτουμε κατά μέλη τις ανισώσεις και έχουμε : γ + α < β + γα α +β + γ < α + β + γ +αβ + βγ + αγ ή α + β + γ α β γ < αβ + βγ + αγ ή α + β + γ < α β + β γ + γα 14. Να διατάξετε τους θετικούς αριθμούς α, β, γ από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο, αν ισχύει 005 α = 006 β = 007 γ. α 006 α Από την 005 α = 006 β προκύπτει ότι : = >1 ή > 1 και ε- β 005 β πειδή ο β είναι θετικός αριθμός πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της ανίσωσης αυτής επί τον θετικό αριθμό β και έχουμε : β β α >1 β ή α > β.

ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 51 Παρόμοια από την 006 β = 007 γ προκύπτει ότι : β 007 β = >1 ή > 1 γ 006 γ ή πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της ανίσωσης αυτής επί γ έχουμε : γ γ β > 1 γ ή β > γ.επομένως είναι : α > β > γ. 15. Αν α > 4, να αποδείξετε ότι η εξίσωση (α +1) x (3α ) x + α + 1 = 0 έχει δύο λύσεις άνισες. Βρίσκουμε την διακρίνουσα της εξίσωσης η οποία είναι : Δ = [ (3α )] 4 (α +1) (α +1) = (3α ) 4 (α +1) = 9α 1α+ 4 4(α +α +1) = = 9α 1α + 4 4α 8α 4 = 5α 0α = 5α(α 4) το ο- ποίο είναι θετικός αριθμός ως γινόμενο των θετικών αριθμών 5α και α 4. Αφού Δ >0 η παραπάνω εξίσωση έχει δύο λύσεις άνισες. 16. Nα υπολογίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ, που ικανοποιούν τη σχέση α +β +γ α 4β 6γ + 14 = 0.(Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε. 1995). Η παραπάνω σχέση α + β + γ α 4β 6γ + 14 = 0 γράφεται : (α α +1) + (β 4β + 4) + (γ 6γ + 9) = 0 ή (α 1) + (β ) + (γ 3) = 0.Για να είναι όμως το άθροισμα των τριών μη αρνητικών αριθμών (α 1), (β ) και (γ 3) ίσο με το μηδέν πρέπει ο καθένας από αυτούς να είναι μηδέν επομένως : (α 1) = 0 ή α 1 = 0 ή α = 1, (β ) = 0 ή β = 0 ή β = και (γ 3) ή γ 3 = 0 ή γ = 3. 17. Να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιμή της παράστασης Α = α 10 α β + 7β 8 β + 8. Για ποιες τιμές των α, β η παράσταση Α γίνεται ελάχιστη; (Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε. 001). Η δοσμένη παράσταση Α = α 10 α β + 7β 8 β + 8 γράφεται : Α = α 10αβ + 5β + β 8 β + 8 = α α (5β) +(5β) + (β 4 β + 4) = =(α 5β) + (β ). Επειδή οι αριθμοί (α 5β), (β ) είναι μη αρνητικοί η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση Α είναι το μηδέν. Τότε όμως πρέπει να είναι : (α 5β) = 0 ή α 5β = 0 ή α = 5β και (β ) = 0 ή (β ) = 0 ή β = 0 ή β =. Τότε όμως τελικά α = 5 = 10 και β =

5 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 18. Ο καθηγητής : x 19 x 17 x 15 x 13 Να λυθεί η εξίσωση + + + = 4. 001 003 005 007 - Ο μαθητής : Κύριε, αυτή η εξίσωση ούτε μέχρι το 00 δεν λύνεται. Εσείς μπορείτε να λύσετε την εξίσωση ; Υπόδειξη : Παρατηρήστε ότι x 19 x 00 + 001 x 00 = = + 1, κ.τ.λ. 001 001 001 Εφαρμόζοντας την υπόδειξη και για τους υπόλοιπους όρους (κλάσματα ) της εξίσωσης έχουμε : x 17 x 00 + 003 x 00 = = + 1 003 003 003 x 15 x 00 + 005 x 00 = = + 1 005 005 005 x 13 x 00 + 007 x 00 = = + 1 007 007 007 Επομένως η εξίσωση γράφεται : x 00 x 00 x 00 x 00 + 1 + + 1 + + 1 + + 1 001 003 005 007 x 00 x 00 x 00 x 00 + + + +4 = 4 ή 001 003 005 007 x 00 x 00 x 00 x 00 + + + = 4 4 = 0 ή 001 003 005 007 1 1 1 1 (x 00)( + + + ) = 0 001 003 005 007 = 4 ή 1 Επειδή το κλάσμα 001 1 1 1 + + + 003 005 007 είναι αριθμός διάφορος του μηδενός πρέπει x 00 = 0 ή x = 00

ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 53 Σταυρόλεξο Να λύσετε το σταυρόλεξο 3 1 4 6 1 3 4 5 5 6 7 Οριζόντια 1. Είναι η εξίσωση αx + βx + γ = 0 με α 0.. Ορίζεται μεταξύ πραγματικών αριθμών. 3. H εξίσωση αυτή επαληθεύεται για κάθε τιμή του αγνώστου. 4. Ο αριθμός είναι.. της εξίσωσης x 5x + 6 = 0. 5. Είναι η λύση της εξίσωσης (x 1) = 0. 6. Η επίλυση μιας εξίσωσης ου βαθμού γίνεται και με τετραγώνου. 7. Η εξίσωση αυτή περιέχει κλάσμα με άγνωστο στον παρονομαστή. Κάθετα 1. Το πρόσημό της καθορίζει το πλήθος των λύσεων μιας εξίσωσης ου βαθμού.. Η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 μεβ 4αγ > 0 έχει. λύσεις. 3. Ιδιότητα που ισχύει και στη διάταξη πραγματικών αριθμών. 4. Η εξίσωση α x + β = 0 με α 0 έχει λύση. 5. Λέγεται και ρίζα μιας εξίσωσης. 6. Είναι η εξίσωση 0x = 7.

54 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 3 1 Μ 4 6 1 Δ Ε Υ Τ Ε Ρ Ο Β Α Θ Μ Ι Α Ι Τ Ι Δ Α Δ Ι Α Τ Α Ξ Η Α Υ Κ Υ Β Ν Ρ Ο 3 Α Ο Ρ Ι Σ Τ Η Α Ι Τ 5 Τ Ν 4 Ρ Ι Ζ Α 5 Δ Ι Π Λ Η Ο Κ Υ 6 Σ Υ Μ Π Λ Η Ρ Ω Σ Η Σ Σ Η 7 Κ Λ Α Σ Μ Α Τ Ι Κ Η

ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 55 ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΧΕΙΡΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ Α ΤΡΙΜΗΝΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 Ο : Α. 1. Ποια είναι η μορφή που έχει μια δευτεροβάθμια εξίσωση και ποιος είναι ο τύπος που μας δίνει τις λύσεις της εξίσωσης αυτής;. Πότε μια δευτεροβάθμια εξίσωση έχει δύο, μία, καμιά λύση; Β. Βρείτε δύο αριθμούς που έχουν άθροισμα 1 και γινόμενο 104. ΘΕΜΑ Ο : Να λύσετε τις εξισώσεις: x + 1 β + βx +1 1. =. β β -1 4 1. =. x x 3 x + 1 ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΧΕΙΡΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ Α ΤΡΙΜΗΝΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 Ο : Α. 1. Ποιες εξισώσεις ονομάζουμε κλασματικές;. Ποιοι περιορισμοί πρέπει να ισχύουν σε μια κλασματική εξίσωση και γιατί; 10 Β Το άθροισμα ενός αριθμού και του αντίστροφου του είναι,να βρεθεί 3 ο αριθμός. ΘΕΜΑ Ο : Να λυθούν οι εξισώσεις: i) x( x 9) = 4( x 9) 3 ii) x 4x 5x = 0

56 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ: 3 Ο Κεφάλαιο ΤΕΣΤ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ 1. Ονομάζουμε εξίσωση 1 ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε... που έχει την μορφή... με... 0.. Ονομάζουμε λύση ή ρίζα μιας εξίσωσης τον... που... την εξίσωση. 3. Ονομάζουμε επίλυση μιας εξίσωσης την διαδικασία για να βρούμε την... της εξίσωσης. 4. Ονομάζουμε γραμμική εξίσωση (1 ου βαθμού) με δύο αγνώστους κάθε... που έχει την μορφή... με... 0 και... 0. 5. Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε... που έχει την μορφή... με... 0. 6. Οι λύσεις της εξίσωσης αx +βx+γ = 0 με α 0 δίνονται από τον τύπο... με προϋπόθεση ότι... 0. 7. Η παράσταση β -4αγ ονομάζεται... και συμβολίζεται με.... 8. α) Αν Δ = 0 η εξίσωση έχει...... την.... β) Αν Δ < 0 η εξίσωση είναι.... 9. Ονομάζουμε κλασματική εξίσωση κάθε εξίσωση που έχει... στο.... ΤΕΣΤ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ 1. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι λύση της εξίσωσης 5(x 10) = x+10. 5 14 8 0. Ποιο από τα παρακάτω ζεύγη αριθμών είναι λύση της γραμμικής εξίσωσης x+4y = 0. ( 0,6) ( 1,4) ( 3,4) ( 4,3) 3. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι λύση της εξίσωσης 3x -5x- =0 1 1 3 4. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι λύση της εξίσωσης x +8x-1 =0. 4 17 + 3 4 + 17 5. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι λύση της εξίσωσης: 3x 1 3x + 4 = x x x x 3 4 1

ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 57 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ: 3 Ο Κεφάλαιο ΤΕΣΤ ΔΙΑΖΕΥΚΤΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ Η ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟ- ΛΑΘΟΣ» Από τις παρακάτω προτάσεις μερικές είναι σωστές και μερικές λάθος. Βάλτε σε κύκλο το Σ για τις σωστές και το Λ για τις λανθασμένες. 1. Σε μια εξίσωση αx = β (1 ου βαθμού) α α) Αν α 0 η εξίσωση έχει μοναδική λύση την x = β Σ Λ β) Αν α 0 και β 0 η εξίσωση είναι αδύνατη Σ Λ γ) Αν α = 0 και β = 0 η εξίσωση είναι ταυτότητα Σ Λ. Σε μια εξίσωση αx +βx+γ = 0 ( ου βαθμού) α) Αν Δ > 0 τότε η εξίσωση έχει ρίζα μόνο την β) Αν Δ = 0 τότε η εξίσωση έχει ρίζα μόνο την x x β + Δ α β α = Σ Λ = Σ Λ γ) Αν Δ<0 τότε η εξίσωση είναι αόριστη Σ Λ 3. Αν α.β = 0 τότε α = 0 ή β = 0 Σ Λ 4. Για να είναι η εξίσωση αx +βx+γ = 0 ου βαθμού πρέπει α 0 Σ Λ 5. Η εξίσωση x + 1 4 x + x = + 3 3 6 9 είναι κλασματική Σ Λ

58 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ: 3 Ο Κεφάλαιο ΤΕΣΤ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Η ΣΥΖΕΥΞΗΣ Να ενώσετε κάθε μια από τις παρακάτω εξισώσεις που βρίσκονται αριστερά με τις αντίστοιχες λύσεις τους που βρίσκονται δεξιά. (x 1)(x 7) = 0 (0,1/6) 6x x = 0 ( 0,1) (x+3)(x 4) = 1 (1,7) x 8x 84 = 0 ( 4,5) z 5 = z 5 (0, 8) x 4 ( 6, 14) 4 = 0 x + 5 x + 4x x = x + 3 4 1 = x x 3 x 1 5-3 8