1 3 ΜΕΣΚΘΕΤΣ ΕΥΘΥΡΜΜΥ ΤΜΗΜΤΣ ΘΕΩΡΙ Μεσοκάθετος ευθυγράµµου τµήµατος Λέγεται η ευθεία που διέρχεται από το µέσο του ευθυγράµµου τµήµατος και είναι κάθετη σ αυτό. Ιδιότητα : Κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός ευθυγράµµου τµήµατος ισαπέχει από τα άκρα του ευθυγράµµου τµήµατος. Kαι αντίστροφα ν ένα σηµείο ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθυγράµµου τµήµατος, τότε το σηµείο βρίσκεται στην µεσοκάθετο του ευθυγράµµου τµήµατος. Ιδιότητα : Η µεσοκάθετος ενός ευθυγράµµου τµήµατος είναι άξονας συµµετρίας του. εωµετρική κατασκευή : Είναι η κατασκευή γεωµετρικού σχήµατος χρησιµοποιώντας µόνο τον κανόνα (αβαθµολόγητος χάρακας) και το διαβήτη. 5. άση των γεωµετρικών κατασκευών Όλες οι γεωµετρικές κατασκευές γίνονται, αφού κατά τον Ευκλείδη ισχύουν τα παρακάτω «αιτήµατα» πό δύο σηµεία διέρχεται µία µόνο ευθεία Κάθε ευθύγραµµο τµήµα προεκτείνεται απεριόριστα κύκλος ορίζεται από ένα σηµείο (κέντρο) και ένα ευθύγραµµο τµήµα (ακτίνα).
2 ΣΧΛΙ Κατασκευή του µέσου ευθυγράµµου τµήµατος Με την κατασκευή της µεσοκαθέτου βρίσκουµε µε απόλυτη ακρίβεια το µέσο του τµήµατος. Κατασκευή κάθετης σε σηµείο Μ ευθείας ε Στην ε ορίζουµε ευθύγραµµο τµήµα µε µέσο το Μ και κατασκευάζουµε την µεσοκάθετό του. Κατασκευή κάθετης σε ευθεία ε από σηµείο Μ εκτός αυτής Με κέντρο το Μ και κατάλληλη ακτίνα γράφουµε κύκλο που να τέµνει την ε και στη συνέχεια κατασκευάζουµε την µεσοκάθετο της χορδής που ορίζεται. Συµµετρία και µεσοκάθετος ν τα σηµεία και είναι συµµετρικά ως προς µία ευθεία ε, τότε η ε είναι µεσοκάθετος του τµήµατος ΣΚΗΣΕΙΣ Να σχεδιάσετε έναν κύκλο και µία διάµετρο αυτού. Να βρείτε σηµεία του κύκλου τα οποία ισαπέχουν από τα και. Στον διπλανό σχήµα έχουµε τον κύκλο (, ρ) και την διάµετρο αυτού. Επειδή ζητάµε σηµεία του κύκλου τα οποία ισαπέχουν από τα και, αυτά θα είναι τα σηµεία τοµής της µεσοκάθετης του τµήµατος µε τον κύκλο. Με τη γνωστή διαδικασία, κατασκευάζουµε την µεσοκάθετο ΚΛ του τµήµατος, η οποία τέµενει τον κύκλο στα Ε και Ζ. Τα Ε και Ζ είναι τα ζητούµενα Κ Λ Ε Ζ
3 Έστω ένα ευθύγραµµο τµήµα = 3 cm. Να κατασκευάσετε τρία ισοσκελή τρίγωνα µε βάση το τµήµα. Πόσα τέτοια τρίγωνα υπάρχουν; Λ Κατασκευάζουµε ευθύγραµµο τµήµα = 3 cm και φέρνουµε την µεσοκάθετό του ε. Μ Θεωρούµε τυχαίο σηµείο Μ της µεσοκαθέτου και γράφουµε τα τµήµατα Μ, Μ. Τότε είναι Μ = Μ, δηλαδή το τρίγωνο Μ είναι ισοσκελές. Επαναλαµβάνουµε τη διαδικασία για άλλα δύο τυχαία σηµεία Λ, Ρ της µεσοκαθέτου. Όπως είναι φανερό υπάρχουν άπειρα ισοσκελή τρίγωνα µε βάση την Ρ Να σχεδιάσετε µία οξεία γωνία x y. Στην πλευρά x να πάρετε δύο σηµεία και. Να βρείτε σηµείο της y που να ισαπέχει από τα,. Στο διπλανό σχήµα έχουµε σχεδιάσει γωνία x y και δύο σηµεία και της πλευράς της x. Επειδή το ζητούµενο σηµείο θέλουµε να ισαπέχει από τα,, θα ανήκει στη µεσοκάθετο του τµήµατος. Φέρνουµε λοιπόν τη µεσοκάθετο του, η οποία τέµνει την y σε σηµείο Ρ, οπότε το Ρ είναι το ζητούµενο σηµείο. O Ρ x y Σε ισοσκελές τρίγωνο µε =, να κατασκευάσετε τους κύκλους µε διαµέτρους τις ίσες πλευρές και και να φέρεται την κοινή χορδή αυτών. Φέρνουµε τη µεσοκάθετο της πλευράς και έτσι ορίζεται το µέσο Κ. µοίως βρίσκουµε το µέσο Λ της. ΚΛ ράφουµε τους κύκλους (Κ, Κ), (Λ, Λ), οι οποίοι επανατέµνονται σε σηµείο Μ και φέρνουµε την κοινή χορδή Μ. Μ
4 5. Να κατασκευάσετε σκαληνό τρίγωνο µε µήκη πλευρών = 4cm, = 2cm και = 3 cm, και ευθεία ε που διέρχεται από το και είναι παράλληλη στη. Να βρείτε σηµείο της ε που ισαπέχει από τα και Κατασκευάζουµε ευθύγραµµο τµήµα = 4cm Ρ ε µε κέντρα τα και γράφουµε τους κύκλους 2cm 3cm (, 2cm) και (, 3cm) οι οποίοι τέµνονται σε σηµείο. Το τρίγωνο είναι το ζητούµενο. 4cm πό το φέρνουµε την ευθεία ε παράλληλη στη και την µεσοκάθετο του που τέµνει την ε στο Ρ. Το Ρ είναι το ζητούµενο σηµείο, αφού ισχύει Ρ = Ρ λόγω του ότι το Ρ ανήκει στη µεσοκάθετο. 6. ν τα σπίτια,, τριών µαθητών ισαπέχουν από το σχολείο τους να βρείτε την θέση του σχολείου τους. Έστω, και τα σπίτια των τριών µαθητών φού το σχολείο απέχει εξίσου από τα σπίτια και θα βρίσκεται στην µεσοκάθετο του και για τον ίδιο λόγο στην µεσοκάθετο του Σχ εποµένως η θέση του σχολείο είναι το σηµείο τοµής των µεσοκαθέτων των τµηµάτων και. εν έχουµε λοιπόν παρά να κατασκευάσουµε τις µεσοκάθετες των,. 7. Να κατασκευάσετε τετράπλευρο έτσι ώστε = = 2 cm και = = 3cm εξετάστε αν η είναι µεσοκάθετος της Κατασκευάζουµε ένα ευθύγραµµο τµήµα < 4cm. 2cm ι κύκλοι (, 2cm), (, 2cm) τέµνονται σε σηµείο, και οι κύκλοι (, 3cm), (, 3cm) τέµνονται σε σηµείο. φού = = 2cm, το ανήκει στη µεσοκάθετο του και αφού = = 3cm, το ανήκει στη µεσοκάθετο του. Εποµένως η ευθεία είναι η µεσοκάθετος του 3cm 2cm 3cm
5 8. Σχεδιάστε έναν κύκλο και µία διάµετρό του. ν και είναι δύο σηµεία του κύκλου να εξετάσετε αν υπάρχει σηµείο της διαµέτρου από το οποίο διέρχονται οι µεσοκάθετες των χορδών και Στο διπλανό σχήµα κατασκευάζουµε τις µεσοκάθετες των χορδών και. Έστω το κέντρο του κύκλου. Επειδή = = = ρ, το θα βρίσκετε αφ ενός στη µεσοκάθετο της χορδής, αφ ετέρου στη µεσοκάθετο της χορδής. Συνεπώς οι δύο µεσοκάθετες θα περάνε από το µέσο της, το οποίο είναι το κέντρο του κύκλου 9. Σχεδιάστε έναν κύκλο και κατασκευάστε την εφαπτοµένη του ε σε ένα σηµείο του. ν είναι οποιοδήποτε σηµείο της εφαπτοµένης, να δικαιολογήσετε γιατί το είναι εξωτερικό σηµείο του κύκλου. Η κατασκευή της εφαπτοµένης στο σηµείο γίνεται ως εξής. Φέρω την ακτίνα, και στην προέκτασή της παίρνω τµήµα =. Φέρνω τη µεσοκάθετο ε του τµήµατος. Η ευθεία ε είναι η εφαπτοµένη του κύκλου στο σηµείο του, αφού είναι κάθετη της ακτίνας στο. Σχόλιο 2 ν είναι οποιοδήποτε σηµείο της ε, τότε είναι >, αφού το είναι κάθετο στην ε ενώ το είναι πλάγιο. Και επειδή = ρ θα είναι > ρ, συνεπώς το είναι εξωτερικό σηµείο του κύκλου ε 10. α) Στο διπλανό σχήµα, δικαιολόγησε γιατί τα Μ και Μ είναι συµµετρικά ως προς την ευθεία β) Να συγκρίνετε τα τµήµατα Μ και Μ καθώς επίσης τα Μ και Μ α) Επειδή Μ = Μ = ρ και ΜΜ, η είναι η µεσοκάθετος του τµήµατος ΜΜ. Συνεπώς τα σηµεία Μ και Μ είναι συµµετρικά ως προς άξονα την, δηλαδή την. β) Σχόλιο 4 φού η είναι η µεσοκάθετος του τµήµατος ΜΜ θα είναι Μ = Μ και Μ = Μ. Μ Μ