Βαγγέλης Φύχας 0
ΒΑΗΚΟΗ ΟΡΗΜΟΗ ΗΟΓΧΝΗΔ ΔΤΘΔΗΔ Γύν επζείεο θαη (πνπ δηέξρνληαη από ηε θνξπθή ηεο γωλίαο ιέγνληαη ηζνγώληεο, όηαλ δεκηνπξγνύλ ίζεο γωλίεο κε ηηο πιεπξέο ηεο γωλίαο ηζνδύλακα όηαλ δεκηνπξγνύλ ίζεο γωλίεο κε ηε δηρνηόκν ηεο γωλίαο ˆ Γειαδή όηαλ ˆ ˆ ή ηζνδύλακα ˆ ˆ (Σρήκα ) ˆ ) ζα ˆ ή Σρήκα Πξνθαλώο νη εκηεπζείεο θαη είλαη ζπκκεηξηθέο ωο πξνο ηε δηρνηόκν ηεο γωλίαο ˆ Η είλαη δηρνηόκνο ηεο γωλίαο ˆ θαη ηεο γωλίαο ˆ Σρήκα ελίδα από 7
ΤΜΜΔΣΡΟΓΗΑΜΔΟΗ ΣΡΗΓΧΝΟΤ - ΖΜΔΗΟ LEMOINE ηε πεξίπηωζε ηξηγώλνπ (Σρήκα ), νη θαη είλαη ηζνγώληεο αλ θαη κόλν αλ ε είλαη δηρνηόκνο ηεο γωλίαο ˆ θαη ηεο γωλίαο ˆ ΤΜΜΔΣΡΟΓΗΑΜΔΟΗ Γίλεηαη ηξίγωλν κε δηάκεζν θαη δηρνηόκν Θεωξνύκε ηε ζπκκεηξηθή εκηεπζεία ηεο δηακέζνπ ωο πξνο ηε δηρνηόκν, ε νπνία ηέκλεη ηελ ζην ζεκείν Σν επζύγξακκν ηκήκα, ιέγεηαη ζπκκεηξνδηάκεζνο ηνπ ηξηγώλνπ πνπ αληηζηνηρεί ζηελ θνξπθή θαη ηε ζπκβνιίδνπκε κε (Σρήκα 3) Γειαδή ε ζπκκεηξνδηάκεζνο είλαη ε ηζνγώληα ηεο δηακέζνπ Σρήκα 3 Πξνθαλώο θάζε ηξίγωλν, έρεη ηξεηο ζπκκεηξνδηακέζνπο νη νπνίεο ζα απνδείμνπκε όηη πεξλάλε από ην ίδην ζεκείν (εκείν Lemoine) Από ηε ζπκκεηξία ηεο ζπκκεηξνδηακέζνπ θαη ηεο δηακέζνπ ωο πξνο ηε δηρνηόκν, πξνθύπηνπλ ηζόηεηεο γωληώλ κε θνξπθή ην ζεκείν 3 ΗΟΓΧΝΗΑ ΤΕΤΓΖ ΖΜΔΗΑ Σρήκα 4 ελίδα 3 από 7
Αλ P είλαη ηπρόλ ζεκείν ζην εζωηεξηθό ηξηγώλνπ ηόηε (ζα ην απνδείμνπκε παξαθάηω) νη ηζνγώληεο ηωλ,, πεξλάλε από ην ίδην ζεκείν (Σρήκα 4) ην νπνίν νλνκάδνπκε ηζνγώλην ζπδπγέο ηνπ ζεκείνπ ωο πξνο ην ηξίγωλν Σν ζεκείν Lemoine είλαη ην ηζνγώλην ζπδπγέο ηνπ βαξπθέληξνπ ηνπ ηξηγώλνπ Σν νξζόθεληξν ηξηγώλνπ είλαη ην ηζνγώλην ζπδπγέο ηνπ πεξηθέληξνπ ηνπ ηξηγώλνπ Σν ηζνγώλην ζπδπγέο ηνπ ζεκείνπ P νξίδεηαη θαη ζηε πεξίπηωζε πνπ απηό βξίζθεηαη εθηόο ηνπ ηξηγώλνπ Δηδηθόηεξα, αλ ην ζεκείν P επξίζθεηαη ζην πεξηγεγξακκέλν θύθιν ηνπ ηξηγώλνπ, ηόηε νη ηζνγώληεο ηωλ,, είλαη παξάιιειεο ελίδα 4 από 7
ΤΜΜΔΣΡΟΓΗΑΜΔΟΗ ΣΡΗΓΧΝΟΤ - ΖΜΔΗΟ LEMOINE ΒΑΗΚΑ ΘΔΧΡΖΜΑΣΑ ΘΔΧΡΖΜΑ STEINER Αλ είλαη ε ηζνγώληνο ηεο ζε ηξίγωλν, ηόηε: Απόδεημε (Σρήκα ) (Γηα ηελ απόδεημε ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηελ εμήο πξόηαζε: Αν δύο ηρίγωνα έτοσν μία γωνία ηοσς ίζη ή παραπληρωμαηική, ηόηε ο λόγος ηων εμβαδών ηοσς ιζούηαι με ηο λόγο ηοσ γινομένοσ ηων πλεσρών ποσ περιέτοσν ηις ίζες ή παραπληρωμαηικές γωνίες ) Από ηελ ηζόηεηα ηωλ γωληώλ ˆ θαη ˆ ( ), έρνπκε: () ( ) Γηα ηα εκβαδά ηωλ ηξηγώλωλ θαη, ηζρύνπλ δηαδνρηθά νη ζρέζεηο: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Από ηηο ζρέζεηο ( ) θαη ( ) έρνπκε: ( A) ( ) Από ηελ ηζόηεηα ηωλ γωληώλ ˆ θαη ˆ ( ), έρνπκε: ( ) ( 3 ) Γηα ηα εκβαδά ηωλ ηξηγώλωλ θαη, ηζρύνπλ δηαδνρηθά νη ζρέζεηο: ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 ) ( ) Από ηηο ζρέζεηο ( 3 ) θαη ( 4 ) έρνπκε: ( ) ( ) Πνιιαπιαζηάδνληαο ηώξα ηηο ζρέζεηο ( ) θαη ( ) θαηά κέιε έρνπκε: ΘΔΧΡΖΜΑ (ΔΦΑΡΜΟΓΖ ΘΔΧΡΖΜΑΣΟ STEINER ΣΗ ΤΜΜΔΣΡΟΓΗΑΜΔΔ) H είλαη ε ζπκκεηξνδηάκεζνο πνπ αληηζηνηρεί ζηε θνξπθή ηξηγώλνπ, αλ θαη κόλν αλ: Απόδεημε (Γηα ηελ απόδεημε κπνξνύκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ην ζεώξεκα ηνπ Steiner ή λα ιεηηνπξγήζνπκε απηόλνκα, αθνινπζώληαο αλάινγε δηαδηθαζία) ελίδα 5 από 7
Έζηω όηη ε είλαη ζπκκεηξνδηάκεζνο ηεο πνπ αληηζηνηρεί ζηε θνξπθή ηνπ ηξηγώλνπ (Σρήκα 3) Από ηελ ηζόηεηα ηωλ γωληώλ ˆ θαη ˆ ( ), έρνπκε: () ( ) Γηα ηα εκβαδά ηωλ ηξηγώλωλ θαη, ηζρύνπλ δηαδνρηθά νη ζρέζεηο: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Από ηηο ζρέζεηο ( ) θαη ( ) έρνπκε: ( A) ( ) Από ηελ ηζόηεηα ηωλ γωληώλ ˆ θαη ˆ ( ), έρνπκε: ( 3 ) ( ) Γηα ηα εκβαδά ηωλ ηξηγώλωλ θαη, ηζρύνπλ δηαδνρηθά νη ζρέζεηο: ( ) ( ) ( 4 ) ( ) ( ) ( ) Από ηηο ζρέζεηο ( 3 ) θαη ( 4 ) έρνπκε: ( ) ( ) Πνιιαπιαζηάδνληαο ηώξα ηηο ζρέζεηο ( ) θαη ( ) θαηά κέιε έρνπκε: Αληίζηξνθα Έζηω ζεκείν ηεο πιεπξάο ηνπ ηξηγώλνπ γηα ην νπνίν ηζρύεη θαη ε ζπκκεηξνδηάκεζνο πνπ αληηζηνηρεί ζηε θνξπθή Σόηε ζα ηζρύεη Γλωξίδνπκε όκωο όηη ην ζεκείν πνπ ρωξίδεη εζωηεξηθά ηε πιεπξά ζε δνζκέλν ιόγν, είλαη κνλαδηθό Οπόηε 3 ΖΜΔΗΟ LEMOINE Οη ζπκκεηξνδηάκεζνη ηξηγώλνπ πεξλάλε από ην ίδην ζεκείν ην νπνίν νλνκάδεηαη ζεκείν Lemoine Απόδεημε νο ηξόπνο (Με ηε βνήζεηα ηνπ ζεωξήκαηνο ηνπ Ceva) ελίδα 6 από 7
ΤΜΜΔΣΡΟΓΗΑΜΔΟΗ ΣΡΗΓΧΝΟΤ - ΖΜΔΗΟ LEMOINE Έζηω, θαη νη ζπκκεηξνδηάκκεζεο ελόο ηξηγώλνπ (Σρήκα 5) Γηα λα απνδείμνπκε όηη πεξλάλε από ην ίδην ζεκείν, αξθεί ζύκθωλα κε ην ζεώξεκα ηνπ Ceva λα απνδείμνπκε όηη: Από ηελ εηδηθή πεξίπηωζε ηνπ ζεωξήκαηνο ηνπ Steiner ηζρύνπλ νη ζρέζεηο:, θαη Πνιιαπιαζηάδνληαο ηηο ηξεηο ηειεπηαίεο ηζόηεηεο θαηά κέιε, παίξλνπκε: Σρήκα 5 νο ηξόπνο (Με ηε βνήζεηα ηεο ηξηγωλνκεηξηθήο εθδνρήο ηνπ ζεωξήκαηνο ηνπ Ceva) (Χξεζηκνπνηήζηε ζε ζπλδπαζκό ηα ρήκαηα 5 θαη 6, γηα λα γίλνπλ θαηαλνεηέο νη ηζόηεηεο γωληώλ πνπ πξνθύπηνπλ από ηηο ζπκκεηξνδηάκεζεο) Αξθεί (ζύκθωλα κε ηε ηξηγωλνκεηξηθή εθδνρή ηνπ ζεωξήκαηνο ηνπ Ceva) λα απνδείμνπκε (Σρήκα 5), όηη: ελίδα 7 από 7
Σρήκα 6 Γλωξίδνπκε όηη νη ζπκκεηξνδηάκεζεο θαη νη αληίζηνηρεο δηάκεζεο δεκηνπξγνύλ ίζεο γωλίεο κε ηηο πιεπξέο ηνπ ηξηγώλνπ (Σρήκα 6) Γλωξίδνπκε επίζεο όηη νη δηάκεζεο ηξηγώλνπ ζπληξέρνπλ ζην βαξύθεληξν G ηνπ ηξηγώλνπ Άξα (ζύκθωλα κε ηελ ηξηγωλνκεηξηθή εθδνρή ηνπ ζεωξήκαηνο ηνπ Ceva), ζα ηζρύεη: 4 ΒΑΗΚΖ ΗΓΗΟΣΖΣΑ ΤΜΜΔΣΡΟΓΗΑΜΔΟΤ (Πνπ είλαη αλεζηξακκέλε ε δεηνύκελε ζρέζε) Γίλεηαη ηξίγωλν Αλ νη εθαπηόκελεο ζηα ζεκεία θαη ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηέκλνληαη ζην ζεκείν T, ηόηε ε T είλαη ε ζπκκεηξνδηάκεζνο πνπ αληηζηνηρεί ζηε θνξπθή ηνπ ηξηγώλνπ Απόδεημε (Γηα ηελ απόδεημε ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε θαη πάιη ιόγνπο εκβαδώλ θαζώο επίζεο θαη ηνπο γλωζηνύο ηύπνπο γηα ην εκβαδό ηξηγώλνπ: ) Έζηω όηη ε ηέκλεη ηε ζην ζεκείν (Σρήκα 7) Θέηνπκε: ( ) x θαη ( ) y ελίδα 8 από 7
ΤΜΜΔΣΡΟΓΗΑΜΔΟΗ ΣΡΗΓΧΝΟΤ - ΖΜΔΗΟ LEMOINE Σρήκα 7 Αξθεί (ζύκθωλα κε ηελ εθαξκνγή ηνπ ζεωξήκαηνο ηνπ Steiner ζηηο ζπκκεηξνδηακέζνπο ) λα απνδείμνπκε όηη: x y Χάξηλ ζπληνκίαο ζέηνπκε: ( ), ( ), ( ) 3 θαη ( ) 4 Σα ηξίγωλα θαη έρνπλ ηηο γωλίεο ηνπο ˆ θαη ˆ παξαπιεξωκαηηθέο x Άξα: y Σα ηξίγωλα θαη έρνπλ ηηο γωλίεο ηνπο ˆ θαη ˆ παξαπιεξωκαηηθέο x Άξα: 3 y Από ηηο δύν παξαπάλω αλαινγίεο, πξνθύπηεη: x 3 3 ( ) y ( ) 4 4 4 Οη γωλίεο ˆ θαη ˆ δεκηνπξγνύληαη από ρνξδή θαη εθαπηνκέλε, νπόηε ζα ηζρύεη: ˆ ˆ ˆ θαη θαηά ζπλέπεηα, ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆ ελίδα 9 από 7
( ) x ( ) ( ) Άξα: y ( ) ( ) ( ) (Η ηειεπηαία ηζόηεηα ηζρύεη από ηελ εθαξκνγή ηνπ λόκνπ ηωλ εκηηόλωλ ζην ηξίγωλν Γειαδή: R ) 5 ΒΑΗΚΖ ΗΓΗΟΣΖΣΑ ΤΜΜΔΣΡΟΓΗΑΜΔΟΤ Ο ιόγνο ηωλ απνζηάζεωλ ηπρόληνο ζεκείνπ ηεο ζπκκεηξνδηακέζνπ από ηηο πιεπξέο ηξηγώλνπ ηζνύηαη κε ην ιόγν ηωλ πιεπξώλ Λύζε Έζηω ηπρόλ ζεκείν ηεο ζπκκεηξνδηακέζνπ πνπ αληηζηνηρεί ζηε θνξπθή ηνπ ηξηγώλνπ Θα απνδείμνπκε όηη : Δπεηδή όκωο ηζρύεη ε πξνθαλήο αλαινγία:, αξθεί λα απνδείμνπκε όηη: Από ην Θεώξεκα (Δθαξκνγή Θεωξήκαηνο Steiner ηηο πκκεηξνδηάκεζεο), έρνπκε: () Σα ηξίγωλα θαη έρνπλ ηηο γωλίεο ηνπο ˆ θαη ˆ παξαπιεξωκαηηθέο ελίδα 0 από 7
ΤΜΜΔΣΡΟΓΗΑΜΔΟΗ ΣΡΗΓΧΝΟΤ - ΖΜΔΗΟ LEMOINE ( ) Άξα: ( ) ( ) Γηα ηα εκβαδά ηωλ ηξηγώλωλ θαη ηζρύνπλ νη ζρέζεηο: ( ) θαη ( ) ( ) Άξα: ( 3 ) ( ) Από ηηο ζρέζεηο ( ),( ),( 3 ), έρνπκε: ΣΥΜΜΔΤΡΟΓΙΑΜΔΣΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Γηα λα απνδείμνπκε όηη ε εκηεπζεία Ax είλαη ζπκκεηξνδηάκεζνο ηξηγώλνπ, αξθεί λα απνδείμνπκε (γηα ην ηπρόλ ζεκείν ηεο) όηη: Ο ιόγνο ηωλ απνζηάζεώλ ηνπ από ηηο πιεπξέο θαη ηνπ ηξηγώλνπ ηζνύηαη κε ην ιόγν ηωλ πιεπξώλ 6 ΒΑΗΚΖ ΗΓΗΟΣΖΣΑ ΤΜΜΔΣΡΟΓΗΑΜΔΟΤ 3 Έζηω ε εζωηεξηθή θαη εμωηεξηθή δηρνηόκνο ηξηγώλνπ Αλ ν πεξηγεγξακκέλνο θύθινο ηνπ ηξηγώλνπ (Απνιιώληνο θύθινο) θαη ν πεξηγεγξακκέλνο θύθινο ηνπ ηξηγώλνπ ηέκλνληαη ζηα ζεκεία θαη, ηόηε είλαη ε ζπκκεηξνδηάκεζνο πνπ αληηζηνηρεί ζηε θνξπθή ηνπ ηξηγώλνπ Λύζε Έζηω ε ηνκή ηωλ θαη Από ην ζεώξεκα ηεο εμωηεξηθήο θαη εζωηεξηθήο δηρνηόκνπ, πξνθύπηνπλ νη ζρέζεηο:,,, ( ) Από ηε δύλακε ηνπ ζεκείνπ ωο πξνο ηνπο δύν θύθινπο, πξνθύπηνπλ νη ηζόηεηεο: Από ηε πξνεγνύκελε ζρέζε (κε ηε βνήζεηα ηωλ ηδηνηήηωλ ηωλ αλαινγηώλ) έρνπκε: ελίδα από 7
Αληηθαζηζηώληαο ηώξα από ηε ζρέζε ( ) έρνπκε: Όκνηα βξίζθνπκε : Άξα: ελίδα από 7
ΤΜΜΔΣΡΟΓΗΑΜΔΟΗ ΣΡΗΓΧΝΟΤ - ΖΜΔΗΟ LEMOINE 3 ΜΔΣΡΗΚΔ ΥΔΔΗ 3 ΜΖΚΖ ΤΜΜΔΣΡΟΓΗΑΜΔΧΝ Τα κήθε ηωλ ζπκκεηξνδηακέζωλ ηξηγώλνπ δίλνληαη από ηηο ζρέζεηο:,, Λύζε Γλωξίδνπκε όηη θαη ρξεζηκνπνηώληαο ηηο ηδηόηεηεο ηωλ αλαινγηώλ, έρνπκε: θαη Χξεζηκνπνηώληαο ηώξα ην ζεώξεκα ηνπ Stewart παίξλνπκε ηε ζρέζε: Λύλνληαο ηώξα ωο πξνο, θαηαιήγνπκε: ελίδα 3 από 7
4 ΑΚΖΔΗ 4 ΆΚΖΖ (ΒΜΟ 009) Γίλεηαη ηξίγωλν ABC θαη επζύγξακκν ηκήκα MN παξάιιειν ζηελ πιεπξά BC (ην ζεκείν M αλήθεη ζηε πιεπξά AB θαη ην ζεκείν N ζηε πιεπξά AC ) Οη επζείεο MC θαη BN ηέκλνληαη ζην ζεκείν P Οη πεξηγεγξακκέλνη θύθινη ηωλ ηξηγώλωλ MBP θαη NCP ηέκλνληαη ζηα ζεκεία P θαη Q Απνδείμηε όηη: BÂQ CÂP Λύζε Ιζρύνπλ νη παξαθάηω ηζόηεηεο γωληώλ Qˆ Pˆ (από ην εγγεγξακκέλν ηεηξάπιεπξν BMPQ ) Pˆ Pˆ3 (ωο θαηά θνξπθή) Pˆ 3 Qˆ (από ην εγγεγξακκέλν ηεηξάπιεπξν CNPQ ) Άξα: Qˆ Qˆ () Mˆ Pˆ (από ην εγγεγξακκέλν ηεηξάπιεπξν BMPQ ) Pˆ Ĉ (εμωηεξηθή γωλία ηνπ εγγεγξακκέλνπ ηεηξάπιεπξνπ CNPQ ) Άξα: Mˆ Ĉ ( ) Από ηηο ζρέζεηο ( ) θαη ( ) ζπκπεξαίλνπκε όηη ηα ηξίγωλα BMQ θαη NCQ είλαη όκνηα Αλ ηώξα ζπκβνιίζνπκε κε d θαη d ηηο απνζηάζεηο ηνπ ζεκείνπ Q από ηηο AB θαη AC d MB αληίζηνηρα, ηόηε (ιόγω ηεο νκνηόηεηαο) ζα ηζρύεη ε αλαινγία: d NC ελίδα 4 από 7
ΤΜΜΔΣΡΟΓΗΑΜΔΟΗ ΣΡΗΓΧΝΟΤ - ΖΜΔΗΟ LEMOINE MB AB Από ηελ παξαιιειία ηωλ MN θαη BC πξνθύπηεη: NC AC d AB Από ηηο δύν ηειεπηαίεο αλαινγίεο πξνθύπηεη: d AC Άξα AQ είλαη ε ζπκκεηξνδηάκεζνο πνπ αληηζηνηρεί ζηε θνξπθή A ηνπ ηξηγώλνπ ABC 4 ΆΚΖΖ (ALL-RUSSIAN OLYMPIAD 009) Γίλεηαη ηξίγωλν ABC Η δηρνηόκνο AD ηέκλεη ην πεξηγεγξακκέλν θύθιν ζην ζεκείν E Ο θύθινο κε δηάκεηξν ηελ DE, ηέκλεη ην πεξηγεγξακκέλν θύθιν ζην ζεκείν F Απνδείμηε όηη AF είλαη ζπκκεηξνδηάκεζνο ηνπ ηξηγώλνπ ABC Λύζε Δθόζνλ ε AE είλαη δηρνηόκνο ηεο γωλίαο Â, ην ζεκείν E είλαη ην κέζν ηνπ ηόμνπ BC Έζηω όηη ν θύθινο κε δηάκεηξν DE ηέκλεη ηελ BC ζην ζεκείν M θαη ην πεξηγεγξακκέλν o θύθιν ζην ζεκείν F Σόηε DFˆE DMˆ E 90 θαη ην ζεκείν M είλαη ην κέζν ηεο BC ελίδα 5 από 7
Άξα ε ME ζα δηέξρεηαη από ην θέληξν O ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ θαη έζηω L ην αληηδηακεηξηθό ηνπ E o Δθόζνλ DFˆE 90, ηα ζεκεία F,D, L είλαη ζπλεπζεηαθά Αλ ηώξα ε δηάκεζνο AM ηέκλεη ηνλ πεξηγεγξακκέλν θύθιν ζην ζεκείν K θαη ε LK ηελ BC ζην ζεκείν N, ηόηε από ην ζεώξεκα ηεο πεηαινύδαο ζπκπεξαίλνπκε όηη ην ζεκείν M είλαη κέζν θαη ηεο DN Άξα ην ηξίγωλν LDN είλαη ηζνζθειέο, νπόηε Lˆ Lˆ Ιζρύνπλ επίζεο νη ηζόηεηεο γωληώλ Lˆ Â θαη Lˆ Â (εγγεγξακκέλεο θαη βαίλνπλ ζε ίζα ηόμα) Άξα Â Â (Γειαδή ε AD είλαη δηρνηόκνο θαη ηεο γωλίαο F ÂK ) ελίδα 6 από 7
ΤΜΜΔΣΡΟΓΗΑΜΔΟΗ ΣΡΗΓΧΝΟΤ - ΖΜΔΗΟ LEMOINE ΠΔΡΗΔΥΟΜΔΝΑ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ιζνγώληεο Δπζείεο πκκεηξνδηάκεζνη 3 3 Ιζνγώληα πδπγή εκεία 3 ΒΑΣΙΚΑ ΘΔΩΡΗΜΑΤΑ 5 ΘΔΩΡΗΜΑ Steiner 5 ΘΔΩΡΗΜΑ (Δθαξκνγή Θεωξήκαηνο Steiner ηηο πκκεηξνδηάκεζεο) 5 3 ΗΜΔΙΟ Lemoine 6 4 Βαζηθή Ιδηόηεηα πκκεηξνδηακέζνπ 8 5 Βαζηθή Ιδηόηεηα πκκεηξνδηακέζνπ 0 6 Βαζηθή Ιδηόηεηα πκκεηξνδηακέζνπ 3 3 ΑΣΚΗΣΔΙΣ 4 3 Άζθεζε (ΒΜΟ 009) 4 3 Άζθεζε (All-Russian Olympiad 009) 5 ελίδα 7 από 7