Τόκος Διαχωρίζεται ανάλογα με το είδος σε: Απλός τόκος Σύνθετος τόκος ή Ανατοκισμός Το αρχικό κεφάλαιο παραμένει ίδιο Το αρχικό κεφάλαιο μεταβάλλεται αυξανόμενο με τον τόκο κάθε χρονικής περιόδου
Ανατοκισμός Αρχικό κεφάλαιο Κο ή PV Τελικό κεφάλαιο Κn ή FV Επιτόκιο i ή r Χρόνος n Ακέραιες περιόδους μ/ρ κλάσμα χρονικών περιόδων
Τόκος για n περιόδους K 1 =K 0 +K 0 *i K 2 =K 1 +K 1 *i K 3 =K 2 +K 2 *i K 4 =K 3 +K 3 *I Kn=K n-1 +K n-1 *i K0 K1 K2 K3 K4 Kn 0 1 2 3 4 n
Τόκος για n περιόδους K 1 =K 0 +K 0 *i =K 0 (1+i) K 2 =K 1 +K 1 *i =K 1 (1+i) =K 0 (1+i)* (1+i) K 3 =K 2 +K 2 *i =K 2 (1+i) =K 0 (1+i)*(1+i)*(1+i) K 4 =K 3 +K 3 *I = K 0 (1+i)*(1+i)*(1+i) * (1+i) K n =K n-1 +K n-1 *i= = K 0 (1+i) n K0 K1 K2 K3 K4 Kn 0 1 2 3 4 n
Τύπος ανατοκισμού Κ n =K o (1+i) n (1+i) n συντελεστής κεφαλαιοποίησης Κn Χρόνος n
Σημεία προσοχής Ακέραιες χρονικές περίοδοι n Επιτόκιο που αντιστοιχεί σε μία από τις n χρονικές περιόδους (έτος, ή εξάμηνο ή μήνας ) και γράφεται σε δεκαδική μορφή (όχι σε %)
Άσκηση Πόσο θα γίνει κεφάλαιο 10.000 ευρώ το οποίο ανατοκίζεται για 5 έτη με ετήσιο επιτόκιο 3%; Λύση Κο=10000 i=3%=0.03 n=5 έτη Κ n =K o (1+i) n =10000* (1+0.03) 5 = =10000*1.15927=11592.7
Άσκηση Πόσο θα γίνει κεφάλαιο 10.000 ευρώ το οποίο ανατοκίζεται για 5 έτη με ετήσιο επιτόκιο 3%; Λύση Κο=10000 i=3%=0.03 n=5 έτη Κ n =K o (1+i) n =10000* (1+0.03) 5 = =10000*1.15927=11592.7
Άσκηση Πόσο θα γίνει κεφάλαιο 10.000 ευρώ το οποίο ανατοκίζεται για 5 έτη με εξαμηνιαίο επιτόκιο 3%; Λύση Κο=10000 i=3%=0.03 n=5 έτη =10 εξάμηνα Κ n =K o (1+i) n =10000* (1+0.03) 10 = =10000*1.343916=13439.16
Ερώτηση Μετά από δύο έτη, ο ανατοκισμός 100 ευρώ κάθε εξάμηνο θα είναι συμφερότερος από τον ανατοκισμό κάθε έτος; Υποθέστε ότι το επιτόκιο είναι 2,5% κάθε εξάμηνο και 5% κάθε έτος.
απάντηση Κεξαμηνα =100(1+0,025) 4 = =110.38 =Κέτη= 100(1+0,05) 2 = =110.25 Συμφέρει ο ανατοκισμός που γίνεται σε πιο σύντομες χρονικές περιόδους.
Κλασματικές μονάδες χρόνου Κ n =K o (1+i) n+μ/ρ μ/ρ εκφράζει το υπόλοιπο των ακέραιων περιόδων ρ=6 αν ο χρόνος μετριέται σε εξάμηνα ρ=12 αν ο χρόνος μετριέται σε έτη Ρ=360 αν ο χρόνος μετριέται σε μέρες Μεικτός ανατοκισμός Κ n =K o (1+i) n * (1+μ/ρ*i) Εφαρμόζεται σε Τράπεζες και Ταμιευτήριο, σε βραχυπρόθεσμες οικονομικές πράξεις δηλαδή ανατοκισμός για τον ακέραιο χρόνο και απλός τόκος για τον υπόλοιπο χρόνο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου 3000 ευρώ το οποίο ανατοκίζεται για 3 έτη με ετήσιο επιτόκιο 4%. 2. Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου 3000 ευρώ το οποίο ανατοκίζεται για 3 έτη με επιτόκιο τριμήνου 1%. 3. Κεφάλαιο 4500 ευρώ ανατοκίζεται κάθε εξάμηνο, για 6 έτη με εξαμηνιαίο επιτόκιο 2%. α) Πόσο θα είναι το κεφάλαιο μετά από 4 έτη;. β) Πόσο θα είναι το κεφάλαιο μετά από τα 6 έτη; γ) Αν το εξαμηνιαίο επιτόκιο ήταν 2,5% πόση θα ήταν η διαφορά στο κεφάλαιο μετά τα 6 έτη; 4. Συμφέρει να αγοράσουμε ένα αυτοκίνητο σήμερα πληρώνοντας 13.000 ευρώ, ή να καταθέσουμε το ποσό αυτό στην τράπεζα με ανατοκισμό και εξαμηνιαίο επιτόκιο 2% και να αγοράσουμε το αυτοκίνητο σε δύο χρόνια που θα στοιχίζει 14.000 ευρώ; (υπολογίστε την τελική αξία του κεφαλαίου μετά τα δύο έτη και συγκρίνετε με τις 14.000 ευρώ)
Ασκήσεις 5. Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου 3000 ευρώ το οποίο ανατοκίζεται για 8 έτη με ετήσιο επιτόκιο 6% αν ο ανατοκισμός γίνεται κάθε τρίμηνο. 6. Κεφάλαιο 15000 ευρώ κατατίθεται σε τράπεζα και ανατοκίζεται κάθε εξάμηνο, για 6 έτη με εξαμηνιαίο επιτόκιο 2%. Κατόπιν το επιτόκιο αλλάζει σε 2,5% το εξάμηνο και η κατάθεση διαρκεί ακόμη 5 έτη με ανατοκισμό ανά εξάμηνο. α)πόσο θα είναι το κεφάλαιο μετά από τα 6 έτη; β)πόσο θα είναι το κεφάλαιο μετά από τα 11 έτη; γ)αν το ίδιο κεφάλαιο κατατεθεί σε τράπεζα με ετήσιο ανατοκισμό και ετήσιο επιτόκια 3% για 11 έτη πόσο θα γίνει το τελικό κεφάλαιο; 7. Υπάλληλος δανείστηκε στις 1-2-2005 από το ταμείο Παρακαταθηκών και Δανείων ποσό 7000 ευρώ με ετήσιο επιτόκιο 4%. Ο ανατοκισμός γίνεται κάθε εξάμηνο. Τι ποσό θα πρέπει να επιστρέψει στις 1-2-2015; 8. Συμφέρει να αγοράσουμε ένα οικόπεδο σήμερα πληρώνοντας 40.000 ευρώ, ή να καταθέσουμε το ποσό αυτό στην τράπεζα με ανατοκισμό και εξαμηνιαίο επιτόκιο 3% και να αγοράσουμε το οικόπεδο σε τρία χρόνια που θα στοιχίζει 45.000 ευρώ; 9. Ποια θα είναι η τελική αξία κεφαλαίου 8.000 ευρώ που τοκίζεται με ανατοκισμό για 7 έτη με επιτόκιο α) 8% ετήσιο, β) 4% εξαμηνιαίο, γ) 2% τριμηνιαίο; Αν αντί για ανατοκισμό είχαμε απλό τόκο τι τελική αξία θα είχε το παραπάνω κεφάλαιο σε κάθε περίπτωση;
Ασκήσεις με κλασματικές μονάδες χρόνου 1. Να βρεθεί το τελικό κεφάλαιο κατάθεσης 6000 ευρώ, το οποίο ανατοκίζεται κάθε έτος με ετήσιο επιτόκιο 4% μετά από 5 έτη και 9 μήνες. 2. Να βρεθεί το τελικό κεφάλαιο κατάθεσης 6000 ευρώ, το οποίο ανατοκίζεται κάθε εξάμηνο με ετήσιο επιτόκιο 4% μετά από 5 έτη και 9 μήνες. 3. Να βρεθεί το τελικό κεφάλαιο κατάθεσης 6000 ευρώ, το οποίο ανατοκίζεται κάθε εξάμηνο με ετήσιο επιτόκιο 4% μετά από 5 έτη, 9 μήνες και 14 μέρες. 4. Να βρεθεί το τελικό κεφάλαιο κατάθεσης 5000 ευρώ, το οποίο ανατοκίζεται κάθε έτος, την 1-1-2015 αν το καταθέσουμε σήμερα σε μια τράπεζα με ετήσιο επιτόκιο 4%.
Ασκήσεις με κλασματικές μονάδες χρόνου 5. Να βρεθεί το τελικό κεφάλαιο κατάθεσης 5000 ευρώ, το οποίο ανατοκίζεται κάθε έτος με ετήσιο επιτόκιο 5% μετά από 4 έτη και 8 μήνες. 6. Να βρεθεί το τελικό κεφάλαιο κατάθεσης 5000 ευρώ, το οποίο ανατοκίζεται κάθε εξάμηνο με ετήσιο επιτόκιο 5% μετά από 4 έτη και 8 μήνες. 7. Να βρεθεί το τελικό κεφάλαιο κατάθεσης 5000 ευρώ, το οποίο ανατοκίζεται κάθε εξάμηνο με ετήσιο επιτόκιο 5% μετά από 4 έτη, 8 μήνες και 23 μέρες. 8. Να βρεθεί το τελικό κεφάλαιο κατάθεσης 5000 ευρώ, το οποίο ανατοκίζεται κάθε έτος, την 1-3-2018 αν το καταθέσουμε σήμερα σε μια τράπεζα με ετήσιο επιτόκιο 4%. 9. Υπάλληλος δανείστηκε στις 1-2-2008 από το ταμείο Παρακαταθηκών και Δανείων ποσό 8000 ευρώ με ετήσιο επιτόκιο 5%. Ο ανατοκισμός γίνεται κάθε εξάμηνο. Τι ποσό θα πρέπει να επιστρέψει στις 1-1-2016;