ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ Διδάσκων: Δρ. Ριζιώτης Βασίλης Εισαγωγή στις πλεγματικές μεθόδους Υπολογιστικής Ρευστομηχανικής
Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.
Εισαγωγή CFD(Computational Fluid Dynamics) -Αριθμητική επίλυση ρευστόμηχανικων προβλημάτων -Χρησιμοποιείται για βιομηχανικές εφαρμογές (π.χ. πρόλεξη φορτίων αεροσκαφών) -Κατανόηση της φυσικής του προβλήματος (3D ροές) -Μειώνει την ανάγκη για πειράματα καθώς αυτά γίνονται πιο στοχευμένα Βασικές κατηγορίες: -Πλέγμα μόνο στο σύνορο -Χωρίς πλέγμα -Πλέγμα σε όλο το υπολογιστικό χωρίο
Πλεγματικές Μέθοδοι Από το πλέγμα εξαρτώνται: -Η λύση -Η σύγκλιση -Το χρονικό βήμα Δεν είναι πάντα εύκολη η κατασκευή του πλέγματος. -Δυσκολίες λόγω γεωμετρίας -Δυσκολίες λόγω ροής Υπάρχουν γενικοί κανόνες για την κατασκευή πλέγματος αλλά τελικά: Grid generation is considered to be an art
Πλεγματα Το πλέγμα αποτελεί το χώρο που λύνονται οι διακριτές εξισώσεις. Στοιχειώδης γεωμετρικές οντότητες που απαρτιζουν το πλέγμα
Τύποι πλεγμάτων C-type O-type H-type
Δομημενα/Μη Δομημενα Πλεγματα Τα Μη Δομημενα πλεγματα ιδανικα για πολυπλοκες γεωμετριες Σταδιακή αυξομοίωση των κελιών Δομημενα πλεγματα παραγουν καλα πλεγματα με λιγοτερα κελια Καλης ποιοτητας πλεγμα στο συνορο.
Υβριδικα Πλεγματα Δομημένο πλεγμα στο οριακό στρώμα. Μη Δομημένο πλέγμα στο υπόλοιπο χωρίο. Καλή ποιότητας πλέγμα κοντά αλλά και μακριά απο το σύνορο.
Adaptive Mesh Refinement (AMR) Δεν είναι δυνατή η κατασκευή πλεγμάτων με ισομεγέθη κελία.(υπολογιστικό Κόστος) Η κατασκευη του πλέγματος προυποθέτει την a priori γνώση της φυσικής του προβλήματος. Η φυσική του προβλήματος οδήγει στην επιλογή των περιοχών που θα πυκνώσει/αραιώση το πλέγμα. Δυστυχώς δεν είναι πάντα γνωστη απο πριν.(π.χ. Θέση του Κύματος Κρούσης)
Adaptive Mesh Refinement (AMR) Ξεκινώντας από αραιά πλέγματα πυκνώση/αραίωση με βάση τη λύση. Αρχικο πλέγμα Μετα απο 5 πυκνώσεις
Η φυσική... Navier Stokes/Euler Συμπιεστές/Ασυμπίεστες εξισωσεις Μοντέλα Τύρβης Μόνιμα/Δυναμικά προβλήματα
Νόμοι Διατήρησης(1/4) Νόμοι Διατήρησης Για δεδομένο χωρίο D που επιτρέπει τη ροή απο το σύνορο του, κάθε ιδιότητα F(π.χ. πυκνοτητα) που μεταφέρεται απο το ρευστό (συνήθως ανά μονάδα μάζας) θα ικανοποιεί την παρακάτω εξίσωση διατήρησης: d dt!! FdD + FundS = D D D QdD (sources) D D ν!
Νόμοι Διατήρησης(2/4) Εξισώσεις Διατήρησης Χρησιμοποιώντας το θεωρημα του Gauss περνουμε τη διαφορικη μορφη: d dt D F dd +!! FundS = ( F ) t t D ( F ) + +!! ( Fu) ( u ) F D = Q ( F ) t ( F ) D Dt + ( Fu)! = Q F u Αν το D είναι υλικό χωρίο(περιέχει συνεχώς τα ίδια στοιχεία ρευστού) τότε D=D(t) :! dd d dt F dd = F t dd D( t) D( t) D( t) D( t) +!! FundS = DF Dt + F! u dd
Νόμοι Διατήρησης(3/4) ( F) ρ t Εξισώσεις Διατήρησης! DF +! t Dt Μάζα F = ρ: ( Fu) = Q or + F u = Q +. ρu = 0 Dρ Dt + ρ. u = 0 F t + u. F = Q ρ or DF Dt = Q ρ Incompressible fluid:. u=0 Ορμή F = ρu: ρu t D ρu t +. ρu u = ρb = ρg p +. τ + ρu. u = ρb or Du Dt = b
Νόμοι Διατήρησης(4/4) Εξισώσεις Διατήρησης Ενέργεια F = ρe = ρ(e + BC C ), p = (γ 1)(ρe? @ ρu@ ) ρe t +. ρeu = ρg u. pu +. τu Θερμοδυναμική: Tds = de + p. d? H Ισεντροπικές ροές: ds = 0 IJ H = h L h = e + p ρ, h L = γ γ 1 p ρ
Συνοψίζοντας Οι εξισώσεις μπορούν να γραφτούν στην μορφή: dv da grad da t ρφ + n ( ρφ u) = n ( Γ φ) + D D D Ρυθµός αύξησης του φ στον όγκο D Αλλαγή στο φ λόγο µεταφοράς ρευστού από τα όρια του D Αλλαγή στο φ λόγο διάχυσης ρευστού από τα όρια του D + = + D S φ dv Πηγές/ Καταβόθρες του φ Στον όγκο D Όπου φ= 1, u, E, k, ω, ή αλλιώς: M P U t dω + R = M QdΩ P Όπου U = ρ, ρu, ρe, k, ω,
Συμπιεστό ρευστό: Οι εξισώσεις των ρευστων επιτρέπουν ασυνέχειες (κύματα κρούσης, φύλλα στροβιλότητας κ.τ.λ.) Το σύστημα των εξισώσεων διατήρησης «κλείνει» με την καταστατικη εξίσωση που συνδέει την πίεση με την πυκνότητα και την θερμοκρασία. Ασυμπίεστο ρευστό: Δεν υπάρχει καταστατική εξίσωση (ρ=σταθερό,e=σταθερό) Η εξίσωση ενέργειας ισοδυναμεί με την διατήρηση Ορμής.
Τύρβη Σε περίπτωση υψηλών αριθμων Reynolds τοτε δημιουργείται τυρβώδης ροή. Οι εξισώσεις κλείνουν με τη μοντελοποίηση της τύρβης. Μοντέλα τύρβης (ενος η περισσοτερων εξισώσεων) με σκοπό τον υπολογισμό της τυρβώδους κινηματικής συνεκτικότητας.(rans) Συνεκτικές τάσεις: τ = 2 μ + μ W S LY? Z [\ ] [^] δ LY DNS(Direct Numerical Simulation).Δεν χρησιμοποιούνται μοντέλα τύρβης αλλα πολύ πυκνά πλέγματα με πολύ μικρά χρονικά βήματα ώστε να μπορεί η λύση να παράγει ολές τις χωρικές και χρονικές κλίμακες της τύρβης.
Menter SST Παράδειγμα μοντέλου τύρβης 2 εξισώσεων(menter SST) Ρυθµός αύξησης του φ στον όγκο D Αλλαγή στο φ λόγο µεταφοράς ρευστού από τα όρια του D Αλλαγή στο φ λόγο + = διάχυσης ρευστού + από τα όρια του D Πηγές/ Καταβόθρες του φ Στον όγκο D μ t = ρk ω
Διακριτοποίηση Οι παραπανω εξισωσεις ανάλογα με την διακριτοποίηση μπορούν να λυθούν με Πεπερασμένες διαφορες Πεπερασμένα στοιχεία Πεπερασμένους όγκους Σύνηθως για προβλήματα ρευστομηχανικής προτιμάται η μέθοδος των πεπερασμένων όγκων γιατί επιτρέπουν τις ασυνέχειες.
Πεπερασμένοι όγκοι Ο στοιχειώδης όγκος οπου εφαρμόζονται οι νόμοι διατήρησης είναι ενα πλεγματικό κελί Σε κάθε κελί οι μεταβλητές ορίζονται στους κόμβους (κεντροκομβικά) ή στα κέντρα των κελιών (κεντροκυψελικά) Η μέση τιμή της μεταβλητης σε κάθε κελί(για την οποία λύνονται η εξισώσεις): Ue =? P P U g^hiw dω
Τυπικος Πεπερασμένος Ογκος Κεντρο κελιού d dt D du dt U dd D dd + + D D!! FundS!! FundS = D = Q QdD D dd
Διακριτοποίηση 0 1 1 1 = + Δ Ω Δ = Ω = + + face N i i i n n n n Ω A n F t U U t U U UdΩ f! U left A right A up A down A Ω = 0 + Ω dγ n F UdΩ t Ω! Το σχήμα των πεπερασμένων όγκων: = E U u ρ ρ ρ + + = = = ) ( ) ( ) ( ) ( 1 n u p n u E pn n u u n u n F dγ n F d i i i Γ!!!!!!!!!!! ρ ρ ρ
Επιφανειακός όρος Ο υπολογισμος του επιφανειακού όρου προϋποθέτει την τιμη στην επιφανεια αναμεσα σε 2 κελια(face)? Α Β Ω F unds!! Το προφάνες θα ήταν να πάρουμε τη μέση τιμη... Οι νόμοι διατήρησης γράφονται και για τα δύο κελία, η διεπιφάνεια συμμετέχει στην εξίσωση και των δυο κελιών.
2,5 5 3 2 10 0 Οταν η λύση είναι λεία, η μέση τιμή είναι λογική. Οταν η λύση έχει ασυνέχειες η μεση τιμη είναι λάθος.
Εξίσωση Μεταφοράς Μονοδιάστατη Εξίσωση Μεταφοράς: t u + a xu = 0, a = const, u = u( x, t) Επιδέχεται λύσεις της μορφής: t u(x,t) f (x at) u u u dx u dx du = dt + dx = +, along = a (characteristic curves) t x t dt x dt u t u + a x = 0 Δεν υπάρχει μεταβολή!!! Οι αρχικές συνθήκες μεταφέρονται αυτούσιες πάνω στη γραμμή με κλίση α travelling wave: u( x, t) = u0( x at), x R, t 0 t x u(x,0) x
Πρόβλημα Riemann Τι γίνεται όταν έχουμε ασυνέχεια στις αρχικές συνθήκες? Η ασυνέχεια μεταφέρεται πάνω στην χαρακτηριστική t u L x-at=0 u R x at < 0 u = u L u L u R x x at > 0 u = u R
Εφαρμογή στους Πεπερασμένους όγκους Οι εξισώσεις Euler (πεπλεγμένες) απεμπλέκονται και μετατρέπονται σε μονοδιάστατα προβλήματα Riemann. U t + G( U) = Q x U t + G U U x = Q U t + U A( U) x = Q U U + A t x = Q, A = RΛRo?, W = R o? U W t + Λ W x = Ro? Q O πίνακας Λ είναι διαγώνιος και ορίζει τις ιδιοτιμές του προβλήματος. t Προσοχη σε αυτή την περίπτωση η χαρακτηριστική αλλάζει μαζί με τη λύση. dx = dt a( x, t) u(x,0) x
Upwinding Οταν ή φυσική έχει ασυνέχειες (π.χ. Κυμα κρούσης) θέλουμε να τις διατηρήσουμε... Επίλυση του Riemann Προβλήματος για την διεπιφάνεια Με αυτό τον τρόπο διατηρούμε τις ασυνέχειες. 10 Κελι Α 10 0 Κελι Β 0 10 0
Upwinding Η μέση τιμή θα μπορούσε να αντικασταθεί απο κάποια μέθοδο παρεμβολής ανώτερης τάξης(π.χ. Πολυώνυμα)? Το ίδιο ισχύει και για τις τιμές στην διεπιφάνεια (reconstruction) Α Β H Βασική ιδέα παραμένει όμως η ίδια. L and R states?: Λυση του προβλήματος Riemann με L,R αρχικες συνθηκες L R
Συνοψίζοντας τη Βασική ιδέα U t +. G U = Q f g M U t dd + M N tg G U ds P r up r = M QdD P r Ωg P N tg f g Υποθέτουμε U=const στα κελιά αλλα ΑΣΥΝΕΧΗ U w, U x, U y είναι διαφορετικα άνάλογα με τα L/R states Η τιμή στο face μπορεί να βρεθεί με κάποιου είδους παρεμβολή (reconstruction) L R Λύνουμε το πρόβλημα Riemann σε κάθε face M N tg G U ds N tg G U w, U x S G U w, U x εξαρτάται από U t r
Διακριτοποίηση στο χρόνο Μεθοδος των γραμμων(method of lines) Η χωρική με τη χρονική διακριτοποιήση μπορει να είναι διαφορετικής τάξης: }~ ~ o~ }W W Άμεσες μεθόδοι(explicit Methods)-O χωρικος ορος στο βήμα n. 1 t U + R U = Q + 1 t U o? Έμμεσες μεθόδοι (Implicit Methods)-O χωρικος ορος στο βήμα n+1 R U ƒ? = R U + R U U U 1 R U + t U U = R U + Q
Σύστημα εξισώσεων Γράφοντας τις εξισώσεις για κάθε κελί προκύπτει ένα σύστημα τύπου Αx=B Άμεσες μέθοδοι( LU,TDMA, Gauss Elimination) Επαναληπτικές μέθοδοι(jacobi, Gauss Seidel, SOR) -Προτιμούνται στις εφαρμογές γιατί δεν χρειάζεται αποθήκευση του Μητρώου Α -Βολεύουν σε πολυεπεξεργαστικό περιβάλλον
Παράλληλη επεξεργασια Για την επίλυση σε πολυπεξεργαστικο περιβαλλόν Χωρισμός του πλέγματος ανα επεξεργαστή(blocks) Επικοινωνία μεταξύ των επεξεργαστών όταν χρειάζεται. MPI(Message Parsing Interface). GPU(CUDA,OpenCL)
Αποτελέσματα FB3500-1750 airfoil Σχεδιασμένη για την ρίζα πτέρυγας ανεμογεννήτριας Μεγαλύτερη αδράνεια Αύξηση της άνωσης αλλά και αύξηση της αντίστασης Τα φορτία δεν είναι ευαίσθητα στην αλλοίωση της επιφάνειας της πτέρυγας.?
FB-3500-1750
FB-3500-1750
FB-3500-1750 -Traling edge devices reduce drag for a wide flow range
Υπολογιστική προσέγγιση Πειράματος Spalart-Allmaras (SA) και k-w μοντέλα τύρβης 2D και 3D προσομοιώσεις Πλέγμα C-type για farfield conditions (Πλέγμα 50c) 38k cells (2D) 912k cells (3D AR 2.0) Μοντελοποίηση του θαλάμου δοκιμών της Αεροσήραγγας. (Πλέγμα WT walls) Υ+ < 1 22.5k cells (2D) 540k cells (3D AR 2.0) Υπολογιστικές Λεπτομέρειες Υ
Example of 3D flow Example of 3D Computational Results around NTUA s T-18 Wing. Mach=0.08,alpha=16,Re = 1 million SLV Symmetry Plane SC vortex Free stream TELV Inviscid Wall
Example of 3D flow Ποιοτικα τα 3D υπολογιστικά ταιρίαζουν με τα πειραματικα αποτελέσματα. Σημαντικη διαφοροποιήση από τα δυσδιάστατα υπολογιστικά μετα τις 9 μοιρες. Συντελεστής πίεσης στις 16 μοίρες Ικανοποιητική πρόλεξη της αποκόλλησης
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα» του ΕΜΠ έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.