ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ᄃ Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων RF Ασκήσεις Ενότητας: Ανάδραση και Κριτήρια Ταλάντωσης Στυλιανός Μυτιληναίος Τμήμα Ηλεκτρονικής, Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους 2
1 Άσκηση 81 2 Άσκηση 825 3 Άσκηση 8105 Άσκηση 8116 3
1 Άσκηση 81 1 1 Βρείτε μια έκφραση για το β 2 Εάν Α=10^, βρείτε το λόγο R2/R1 έτσι ώστε Af = 10 3 Πόσο είναι το ποσό ανάδρασης σε db? Εάν Vs=1 Volt, βρείτε τα Vo, Vf, Vi 5 Εάν το Α μειωθεί κατά 20%, ποια η αντίστοιχη μείωση του Af? ΛΥΣΗ Αν θεωρήσουμε ως σήμα την τάση στους διάφορους κόμβους του κυκλώματος, παρατηρούμε ότι το σχήμα είναι άμεση εφαρμογή του γενικού σχήματος για αρνητική ανάδραση Πράγματι, ο τελεστικός παίζει το ρόλο του αθροιστή και του ενισχυτή ταυτόχρονα Στην πράξη δεν θα είναι πάντα τόσο εύκολα τα πράγματα και χρειάζεται προσπάθεια για να βρούμε την αντιστοιχία με το γενικό σχήμα της αρνητικής ανάδρασης Η έκφραση για τον συντελεστή ανάδραση βρίσκεται ως εξής: Έστω ότι η τάση στην αρνητική είσοδο του τελεστικού είναι Vf (σήμα ανάδρασης) Επειδή στον τελεστικό δεν ρέει ρεύμα, η τάση αυτή θα είναι ίση με i*r1, όπου i ρεύμα που ρέει στα άκρα της R1 με φορά προς τη γη Θα ισχύει i = Vo/(R2+R1), οπότε β = Vf/Vo = R1/(R1+R2) Αφού Α=10^ και Af=10, θα πρέπει να ισχύει β=(10^3-1)/10^=00999, οπότε 1 + R2/R1 = 1/00999 => R2/R1 = 901 Εναλλακτικά, αν θεωρηθεί ότι Α*β>>1, τότε β~=01 οπότε 1 + R2/R1 ~= 1/01 => R2/R1 ~= 9 Το ποσό της ανάδρασης είναι 1+Α*β = 1 + (10^)*00999 = 1000, οπότε 20*log10(1+A*β) = 60 db (πολλαπλασιάζουμε με 20 επειδή είναι σήμα τάσης) Επίσης, Vo = Af*Vs = 10 Volt, Vf = Vs*A*β/(1+Α*β) = Vs*(10^)*00999/(1000) => Vf = Vs*999/1000 => Vf = 0999 Volt, και συνεπώς Vi=Vs-Vf => Vi = 0001 Volt Μείωση Α κατά 20 % σημαίνει ότι το νέο Α θα είναι ίσο με 8*(10^3), οπότε το νέο Af θα είναι ίσο με Af = 8*(10^3)/(1+8*(10^3)*00999) => Εφόσον, Af = 9998 προκύπτει ότι η μείωση είναι (10 9998)*100/10 % = 002 % 1 A Sedra, K Smith, «Μικροηλεκτρονικά Κυκλώματα», Εκδόσεις Παπασωτηρίου, 5 η έκδοση, Αθήνα 2010: Σχήμα Α81
κέρδος βρόχου A είναι ένας μιγαδικός αριθμός που είναι ίσος με L( j) A( j) ( j) abs L( j) exp j ( ) Έστω 180, όπου 180 είναι η συχνότητα για την οποία ( 180) 180 o Θα ισχύει L( j ) L( j ), δηλαδή το κέρδος βρόχου είναι πραγματικός αριθμός με 180 180 αρνητικό πρόσημο Άρα, το ποσό ανάδρασης θα γίνει ίσο με1 L( j180), δηλαδή η ανάδραση γίνεται θετική 2 Άσκηση 82 Στο κύκλωμα της άσκησης 81, έστω ότι ο ενισχυτής έχει κέρδος DC (ανοιχτού βρόχου) ίσο με 10^, πτώση 6dB/οκτάβα (=ένας πόλος) και άνω συχνότητα 3 db ίση με 100 Hz Βρείτε το κέρδος DC και την άνω-συχνότητα 3 db για τον ενισχυτή με ανάδραση αν R1=1 kω και R2=9 kω ΛΥΣΗ Ισχύει ότι β=r1/(r1+r2), άρα β=01 Συνεπώς, 1+Αβ=1001, οπότε το κέρδος DC γίνεται ίσο με 10^/1001 = 999, ενώ η άνω-συχνότητα 3 db γίνεται ίση με 100*1001 = 1001 khz 3 Άσκηση 810 Έστω 10 A( s) 1 s /10 3 Ποιό το κέρδος dc? Πόσους πόλους έχει ο ενισχυτής; Ποιές οι τιμές τους; Έστω ότι ανάδραση με σταθερό β(s)=β Ποιά η συχνότητα 180? Δείξτε ότι υπάρχει cr cr για το οποίο αν τότε ο ενισχυτής είναι ασταθής ο ενισχυτής είναι ευσταθής, ενώ αν cr ΛΥΣΗ Το κέρδος dc είναι A(s=0) = 10^3=1000 Ο ενισχυτής έχει 3 πόλους, και όλοι έχουν την ίδια τιμή 10 Είναι δε βαθυπερατός ενισχυτής (όπως οι περισσότεροι) p Με την ανάδραση, το κέρδος βρόχου ισούται με A(s)*β(s), δηλαδή 5
3 10 A( s) ( s) 1 s /10 Ορίζουμε L( j) A( j) ( j) και ψάχνουμε την 180 για την οποία ( ) 180 L 180, όπου L( ) phase( L( j)) Ισχύει ότι 1 s /10 X exp( j ( )), όπου ( ) arctan( /10 ) Προφανώς, ( ) 3 ( ) L, επειδή ο όρος 1 s /10 είναι στον παρονομαστή και υψωμένος ^3 Άρα, λύνουμε την ( ) 3 ( ) 180 και παίρνουμε ( ) 60 arctan( /10 ) 60 /10 3 3 10 L Άρα, 180 3 10 Στην συχνότητα αυτή το μέτρο του κέρδους βρόχου είναι ίσο με 3 3 3 3 10 10 10 10 1000 / 8 125 3 3 1 j 3 10 /10 1 j 3 1 j 3 2 Για να είναι ευσταθής ο ενισχυτής θα πρέπει L( j180) 1 125 1 0008 Αν 0008 τότε ο ενισχυτής παρουσιάζει διατηρούμενες ταλαντώσεις, ενώ αν 0008 τότε ο ενισχυτής παρουσιάζει αυξανόμενες ταλαντώσεις Άσκηση 811 Έστω τελεστικός με έναν πόλο στα 100 Hz, κέρδος dc ίσο με 10^5 σε ανάδραση με β=001 Κατά ποιό παράγοντα μετακινεί η ανάδραση αυτόν τον πόλο; Εάν το β πάρει τιμή τέτοια ώστε το κέρδος dc κλειστού βρόχου να γίνει ίσο με 1, σε ποιά συχνότητα μετακινείται ο πόλος; Α) Κατά το ποσό ανάδρασης 1+Αo*β = 1+10^5*001=1001 Πράγματι, το κέρδος ανοιχτού βρόχου θα είναι ίσο με A( s) το κέρδος κλειστού βρόχου γίνεται ίσο με A 0 1 s / p όπου 5 A0 10 A0 /1 A0 Af ( s) s 1 p (1 A0 ) p 100 και Άρα, Ο νέος πόλος θα είναι ίσος με 100*(1+1000)=100*1001=100100Hz=1001 khz Β) Το κέρδος dc κλειστού βρόχου ισούται με Αο/(1+Αο*β), άρα πρέπει να ισχύει Αο/ (1+Αο*β)=1 => Αο=1+Αο*β => β=(αο-1)/αο=099999 6
Με αυτήν την τιμή, ο νέος πόλος θα είναι ίσος με 5 2 5 p(1 A0 ) 100 (1 10 099999) 100 (1 99999) 10 10 10MHz 7