ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Υποστήριξης Αποφάσεων Ενότητα # 8: Σχεσιακά Μοντέλα Αποφάσεων(β) Διονύσης Γιαννακόπουλος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Να γίνουν κατανοητά τα σχεσιακά μοντέλα αποφάσεων 4
Περιεχόμενα ενότητας Μέθοδος ELECTRE II Αλγόριθμος κατάταξης ELECTRE II Παράδειγμα ELECTRE II Αλγόριθμος κατάταξης PROMETHEE Προσδιορισμός των βαρών των κριτηρίων Έμμεση εκτίμηση από διμερείς συγκρίσεις Προσδιορισμός των βαρών των κριτηρίων - Μέθοδος των Καρτών 5
Μέθοδος ELECTRE II Προσεγγίζει προβλήματα διάταξης των δράσεων (προβληματική γ). Η διάταξη των δράσεων προκύπτει μέσω εκμετάλλευσης του γραφήματος υπεροχής από ειδικό αλγόριθμο της μεθόδου. Η μέθοδος έχει ως εξής: Σχέση υπεροχής Προτείνονται δυο σχέσεις υπεροχής, ως εξής: - Ισχυρή υπεροχή S 1 : Υψηλό κατώφλι συμφωνίας s 1 Χαμηλά (αυστηρά) κατώφλια βέτο:, j = 1, n - Ασθενής Υπεροχή S 2 : Χαμηλό κατώφλι συμφωνίας s 2 < s 1 Υψηλά (χαλαρά) κατώφλια βέτο: v 2 j v 1 j 1 v j 6
Αλγόριθμος κατάταξης ELECTRE II (α) Για την κατάταξη των δράσεων του συνόλου Α ακολουθούνται τέσσερα βήματα: 1. Απαλοιφή κυκλωμάτων: Εντοπισμός αντικατάσταση των μέγιστων κυκλωμάτων του γραφήματος υπεροχής S 1 με πλασματικές δράσεις. 2. Πλήρης κατάταξη Z 1 (κατερχόμενη): Στο γράφημα S 1 τοποθετούνται στην κεφαλή της κατάταξης ως ισοδύναμες οι δράσεις (σύνολο B 1 ) των οποίων δεν υπερέχει καμία άλλη δράση του Α. Ακολούθως, επαναλαμβάνεται η ίδια διαδικασία στο γράφημα Α-Β 1, κ.ο.κ. Τέλος, η σχέση υπεροχής S 2 χρησιμοποιείται για ενίσχυση-ξεκαθάρισμα της κατάταξης στο εσωτερικό των Β i. 7
Αλγόριθμος κατάταξης ELECTRE II (β) 3. Πλήρης κατάταξη Z 2 (ανερχόμενη): Στο γράφημα S 1 τοποθετούνται στην ουρά της κατάταξης ως ισοδύναμες οι δράσεις που δεν υπερέχουν καμιάς άλλης δράσης του συνόλου Α. Μετά την αφαίρεση του συνόλου αυτού από το Α, ακολουθείται παρόμοια διαδικασία με εκείνη της κατάταξης Z 1, από κάτω προς τα πάνω, ενώ η σχέση S 2 ξεκαθαρίζει περισσότερο την κατάταξη στο εσωτερικό κάθε κλάσης ισοδυναμίας. 4. Καθορισμός της μερικής κατάταξης Z: Z = Z 1 Z 2 azb az 1 b και az 2 b όπου, az i b σημαίνει: η a στην ίδια ή ανώτερη κλάση από την b στην κατάταξη Z i. Δράσεις για τις οποίες δεν επαληθεύεται η σχέση Z θεωρούνται ως μη συγκρίσιμες (arb). 8
Παράδειγμα ELECTRE II (α) Στο παράδειγμα αυτό θα δείξουμε πώς εφαρμόζεται ο παραπάνω αλγόριθμος στο γράφημα υπεροχής ELECTRE II του παρακάτω σχήματος: 9
Παράδειγμα ELECTRE II (β) Βήμα 1: Το γράφημα ισχυρής υπεροχής S 1 δεν περιέχει κυκλώματα. Βήμα 2: Κατερχόμενη κατάταξη Z 1 Οι δράσεις που δεν υπερέχονται ισχυρώς είναι οι 1 και 3, οι οποίες τοποθετούνται στην κεφαλή της κατάταξης. Αφαιρούμε από το γράφημα τις δράσεις 1 και 3 καθώς και τα τόξα που έχουν τις δράσεις αυτές ως αφετηρία. Η δεύτερη κλάση ισοδυναμίας αποτελείται από τις δράσεις 2 και 5 που δεν υπερέχονται από καμία άλλη. Τέλος, η δράση 4 κλίνει την κατάταξη Z 1. Η σχέση ασθενούς υπεροχής (διακεκομμένα τόξα) ξεκαθαρίζει την κατάταξη μόνο στο εσωτερικό της πρώτης κλάσης, διαφοροποιώντας την 1 από την 3. 10
Παράδειγμα ELECTRE II (γ) Βήμα 3: Ανερχόμενη κατάταξη Z 2 Οι δράσεις που δεν υπερέχουν ισχυρώς καμιάς άλλης δράσης είναι οι 4 και 5, οι οποίες τοποθετούνται στην ουρά της κατάταξης. Οι δράσεις αυτές αφαιρούνται από το γράφημα, όπως και τα τόξα που καταλήγουν σε αυτές. Εν συνεχεία, οι δράσεις που δεν υπερέχουν καμιάς άλλης είναι οι 2, 3 και τέλος η 1. Η ασθενής υπεροχή διαφοροποιεί μόνο τις δράσεις 4 και 5, λόγω του διακεκομμένου τόξου στο σχήμα 7.6, ενώ δεν μπορεί να διαφοροποιήσει τις 2 και 3 στη δεύτερη κλάση 11
Παράδειγμα ELECTRE II (δ) Βήμα 4: Τελική (μερική) κατάταξη των δράσεων Το τελικό αποτέλεσμα της μεθόδου είναι η τομή των δυο κατατάξεων Z 1 και Z 2, η οποία συνήθως είναι μια μερική προδιάταξη λόγω των ασυμφωνιών (σχήμα 7.9). Για παράδειγμα, έχουμε: 5Z 1 4, όχι 5Z 2 4 4R5 (4 και 5 ασύγκριτες) 12
Αλγόριθμος κατάταξης PROMETHEE στο γράφημα υπεροχής Εναλλακτικές μέθοδοι κατάταξης των δράσεων, βασισμένες στο γράφημα υπεροχής των μεθόδων ELECTRE I και II είναι οι αλγόριθμοι κατάταξης PROMETHEE I και II. Οι τεχνικές αυτές, κατά την άποψη του συγγραφέα, δεν θα πρέπει να εφαρμόζονται αυτόνομα, καθώς επηρρεάζονται από την παρουσία «κακών δράσεων», αλλά σε συνδυασμό με τον αλγόριθμο ELECTRE II. Για κάθε δράση a A, υπολογίζονται οι αριθμοί: Δείκτης Εξερχόμενων Ροών φ + (a) = {bϵa, asb}, αριθμός δράσεων των οποίων υπερέχει η a Δείκτης Εισερχόμενων Ροών φ - (a) = {bϵa, bsa}, αριθμός δράσεων οι οποίες υπερέχουν της a 13
PROMETHEE I Ο αλγόριθμος προτείνει τη δημιουργία μερικής κατάταξης Z των δράσεων σε τρία βήματα: 1. Πλήρης κατάταξη των δράσεων (Z 1 ) ως προς τις τιμές των εξερχόμενων ροών φ + : az 1 b φ + (a) φ - (b) 2. Πλήρης κατάταξη των δράσεων (Z 2 ) ως προς τις τιμές των εισερχόμενων ροών φ - : az 2 b φ - (a) φ - (b) 3. Z = Z 1 Z 2, δηλαδή: azb az 1 b και az 2 b 14
PROMETHEE II Ο αλγόριθμος καταλήγει σε πλήρη κατάταξη των δράσεων σύμφωνα με τις τιμές του δείκτη: Δείκτης καθαρών Ροών φ(a) = φ + (a) φ - (a) azb φ(a) φ(b) 15
Αλγόριθμος κατάταξης PROMETHEE στο γράφημα υπεροχής - Παράδειγμα Εφαρμόζουμε PROMETHEE I & II στο παράδειγμα που είχαμε λύσει με ELECTRE II. 16
Προσδιορισμός των βαρών των κριτηρίων - Άμεση εκτίμηση (direct assessment) Στη μέθοδο αυτή, ο αποφασίζων ερωτάται από τον αναλυτή να προσδιορίσει πόσο σημαντικό είναι ένα κριτήριο, π.χ. σε μια απόλυτη κλίμακα 1 (ελάχιστα σημαντικό) έως 10 (πάρα πολύ σημαντικό). Μετά την αξιολόγηση της σημαντικότητας όλων των κριτηρίων, ο αναλυτής υπολογίζει τη σχετική σημαντικότητα (relative importance) των κριτηρίων, διαιρώντας κάθε απόλυτη βαθμολογία κριτηρίου με το άθροισμα που έχει επιτευχθεί, ώστε το άθροισμα των βαρών να είναι η μονάδα 17
Προσδιορισμός των βαρών των κριτηρίων - Έμμεση εκτίμηση από διμερείς συγκρίσεις Στη μέθοδο αυτή, ο αποφασίζων καλείται να συγκρίνει ανά δυο και σε όρους σημαντικότητας μεμονωμένα κριτήρια ή ενώσεις κριτηρίων. Στο σύστημα των διμερών συγκρίσεων (pairwise comparisons) που παράγεται, ο αναλυτής αναζητά τα σχετικά βάρη τα οποία επαληθεύουν το σύστημα αυτό. Επειδή ενδέχεται το σύστημα των ανισοεξισώσεων να είναι κενό, επιστρατεύεται η τεχνική του προγραμματισμού στόχων (goal programming) του γραμμικού προγραμματισμού για την επίλυσή του, με το ελάχιστο σφάλμα συμβατότητας του συστήματος. 18
Έμμεση εκτίμηση από διμερείς συγκρίσεις Παράδειγμα (1) Ας δούμε πρακτικά πως λειτουργεί η μέθοδος αυτή, σε ένα πολυκριτήριο πρόβλημα 5 κριτηρίων: οικονομικά κριτήρια: {1,2} κοινωνικά κριτήρια: {3,4} αναπτυξιακό κριτήριο: {5} Μετά από σχετικές ερωτήσεις του αναλυτή, ο αποφασίζων κρίνει ότι: Τα οικονομικά κριτήρια είναι ισοβαρή. Τα οικονομικά κριτήρια έχουν μικρότερη βαρύτητα από τα κοινωνικά. Το κριτήριο 3 είναι πιο σημαντικό από το 4, με διαφορά τουλάχιστον 10 %. Το αναπτυξιακό κριτήριο είναι λιγότερο σημαντικό από το 3. Το κριτήριο 5 είναι πιο σημαντικό από το 4. Το κριτήριο 5 πρέπει να μετρήσει τουλάχιστον στο 20 % της αξιολόγησης. 19
Έμμεση εκτίμηση από διμερείς συγκρίσεις Παράδειγμα (2) Ένα τέτοιο σύστημα δημιουργεί μεταξύ των βαρών p j, j = 1,2,3,4,5 τις παρακάτω σχέσεις: p 1 = p 2 p 1 + p 2 < p 3 + p 4 p 3 p 4 0,10 p 5 < p 3 p 4 < p 5 p 5 0,2 p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 = 1 p 1, p 2, p 3, p 4, p 5 0 Οι γνήσιες ανισότητες απαιτούν την εισαγωγή ενός κατωφλίου, ελάχιστης διαφοράς, έστω ε = 0,01. Επειδή ένα τέτοιο σύστημα ενδέχεται να μην είναι συμβατό, εισάγονται 1 2 μεταβλητές σφάλματος σ τύπου «προγραμματισμού στόχων» (goal programming) και ελαχιστοποιείται το άθροισμά τους σε ένα εξειδικευμένο γραμμικό πρόγραμμα. 20
Έμμεση εκτίμηση από διμερείς συγκρίσεις Παράδειγμα (3) Έτσι, έχουμε το παρακάτω γραμμικό πρόγραμμα: Για τον περιορισμό 2, ισχύει: p 1 + p 2 < p 3 + p 4 p 1 + p 2 p 3 + p 4 0,01 - p 1 p 2 + p 3 + p 4 0,01. Επειδή όμως ενδέχεται το πρώτο μέλος να μην είναι μεγαλύτερο από το δεύτερο, εισάγεται ένα σφάλμα έλλειμμα. Στον περιορισμό 1, λόγω της ισότητας, εισάγονται δυο σφάλματα. 21
Προσδιορισμός των βαρών των κριτηρίων - Μέθοδος των Καρτών (1) Στη μέθοδο αυτή, η οποία αναπτύχθηκε αρχικά για προβλήματα περιβαλλοντικής διαχείρισης (Simos, 1990), ακολουθείται μια πρακτική διαδικασία κατάταξης των κριτηρίων μέσω ενός συνόλου καρτών που περιλαμβάνει μια κάρτα ανά κριτήριο και πανομοιότυπες λευκές κάρτες. Ο αποφασίζων πρέπει να επιλέξει πρώτα τα κριτήρια που είναι τα λιγότερο σημαντικά και έχουν την ίδια βαρύτητα. Μετά την αφαίρεση των καρτών από το πακέτο, επιλέγονται τα επόμενα λιγότερο σημαντικά, κλπ. μέχρις ότου εξαντληθούν οι κάρτες με τα ονόματα των κριτηρίων. Στο μεταξύ, προκειμένου ο αποφασίζων να πολλαπλασιάσει την απόσταση μεταξύ των κλάσεων που δημιουργήθηκαν, παρεμβάλλει 1,2 ή περισσότερες λευκές κάρτες. 22
Προσδιορισμός των βαρών των κριτηρίων - Μέθοδος των Καρτών (2) Ο υπολογισμός των βαρών, με άθροισμα 100, ακολουθεί την εξής διαδικασία: - Αριθμός καρτών: Για κάθε κλάση που δημιουργείται (συμπεριλαμβάνονται και οι κλάσεις των λευκών καρτών) καταγράφονται οι κάρτες που την αποτελούν και υπολογίζεται το άθροισμά τους. - Θέσεις: Για κάθε κάρτα γίνεται η αρίθμηση θέση 1,2,3, αρχίζοντας από την ουρά της κατάταξης μέχρι την κεφαλή. Η θέση της τελευταίας κάρτας είναι προφανώς ο συνολικός αριθμός των καρτών. - Μη κανονικοποιημένα βάρη: Ως βάρος της κάθε κλάσης υπολογίζεται το άθροισμα των θέσεων της κλάσης δια του αριθμού των καρτών της κλάσης. - Κανονικοποιημένα βάρη στρογγύλευση: Τα μη κανονικοποιημένα βάρη διαιρούνται δια του αθροίσματος των θέσεων, όπου δεν συνυπολογίζονται οι θέσεις των λευκών καρτών και πολλαπλασιάζονται επί 100. Εν συνεχεία, τα βάρη αυτά στρογγυλεύονται στον πλησιέστερο ακέραιο. 23
Προσδιορισμός των βαρών των κριτηρίων - Μέθοδος των Καρτών (3) Τα παραπάνω βήματα της μεθόδου υλοποιούνται στήλη στήλη στον πίνακα όπου ένας αποφασίζων έχει κατατάξει δώδεκα κριτήρια F = {g 1, g 2,, g 12 } σε 7 ισόβαρες κλάσεις (μια από τις κλάσεις αυτές κατέχεται από μια λευκή κάρτα). Στην κατάταξη αυτή, η κλάση κριτηρίων {g 3, g 7, g 12 } είναι η λιγότερο σημαντική (ουρά) ενώ η κλάση {g 11 } η περισσότερο σημαντική (κεφαλή κατάταξης). 24
Τέλος Ενότητας